Đề+Đ.án Chọn đội tuyển HSG tỉnh huyện Yên Lạc 2012-2013

PHềNG GD & T YấN LC thi chn hc sinh gii Tnh
Mụn Thi: Toỏn Lp 9
Nm hc 2012-2013
(Thi gian lm bi 150 phỳt (khụng k giao
))
Ngy thi: 24 thỏng 2 nm 2013
Bài 1 (2 điểm): Rút gọn các biểu thức sau:
1/ A =
5122935
2/ B =
2
43
24
48
++
++
xx
xx
Bài 2 (2 điểm):
1/ Cho a > c; b > c; c > 0. Chứng minh rằng:

abcbccac + )()(
2/ Cho 3 số dơng x, y, z có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

zxyzxyxyzzxyyzx ++++++++ 1
.
Bài 3 (42điểm):
1/ Giải phơng trình: x
2
+ 3x +1 = (x + 3)
1

2
+x
2/ Giải hệ phơng trình:
x + y + z = 6
xy + yz - zx = -1
x
2
+ y
2
+ z
2
= 14

Bài 4 (2 điểm):
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Gọi chân đờng vuông góc hạ từ điểm
M nằm trong tam giác đến các cạnh BC, CA, AB lần lợt là D, E, F. Xác định vị trí
của M để :
1/
MFMEMD
111
++
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị đó .
2/
MDMFMFMEMEMD +
+
+
+
+
111
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị đó .

Bài 5 (2 điểm):
1/ Chứng minh rằng 2
2p
+ 2
2q
không thể là số chính phơng, với mọi p, q là các
số nguyên không âm.
2/ Có hay không 2009 điểm trên mặt phẳng mà bất kỳ 3 điểm nào trong chúng
đều tạo thành 1 tam giác có góc tù.
=========Hết==========
Hớng dẫn chấm môn toán
Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 Năm học 2012-13
1
CHNH THC
Nội dung Điểm
Bài 1 (4 điểm)
1/ A=
( )
3 - 5235
= 1
2/ B =
2 x
x- 2) (
24
424
++
+
x
x
= x

4
x
2
+ 2
1.
Bài 2 (4 điểm) (1) =
1
2
b
c
- 1
a
c

2
a
c
- 1
b
c

b
c
- 1
a
c

a
c
- 1 =

+
+
+







+






b
c
(Bất đẳng thức côsi). Suy ra điều phải chứng minh

2/ Trớc hết ta chứng minh:
yz x ++ yzx
(1)
Ta có (1)
yz 2x x yz
2
+++ yzx

yz2 x 1 +

yz2 x +++ zyx
(vì x + y + z = 1)
( )
0 z -
2
y

Tơng tự có
zx y ++ zxy
(2) và
xy z ++ xyz
(3)
Từ (1), (2), (3) ta có

zxyzxyxyzzxyyzx ++++++++ 1
(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
3
1
0.5
1.0
0.5
0.5
0.25
Bài 3 (4 điểm)
1/ Đặt
1 t 1
2
=+x

x
2
= t
2
- 1, phơng trình đã cho trở thành
t
2
(x + 3)t + 3x = 0



=
=
3 t
x t
Với t = x thì
x 1
2
=+x
phơng trình này vô nghiệm.
Với t = 3 thì
3 1
2
=+x
x
2
= 8 x =
22
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm là x =
22

2/ Ta có x
2
+ y
2
+ z
2
= (x + y + z)
2
2(xy + yz + zx) = 14
xy + yz + zx = 11 kết hợp với xy + yz - zx = -1 có y(x + z) =
5
y và x+z là nghiệm của phơng trình t
2
6t + 5 = 0
0.25
0.25
0.5
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
2

=+
=
1
5
zx
y
hoặc



=+
=
5
1
zx
y
Với



=+
=
1
5
zx
y
hệ vô nghiệm
Với

=+
=
5
1
zx
y
hệ có 2 nghiệm (x;y;z)=(2;1;3) và (x;y;z)=(3;1;2)
0.5
Bài 4 (4 điểm)
Từ đó ta có
1/
a
36

3a
9.2

9111111
==++=++
hzyxMFMEMD
2/
a
33

3a
9

2
9111111

==
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+ hxzzyyxMDMFMFMEMEMD
Trong cả hai trờng hợp đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z
M là trọng tâm tam giác đều ABC
0.5
0.5
Bài 5 (4 điểm)
1/ Không mất tính tổng quát giả sử p q, ta có: 2
2p
+ 2
2q
= 4
q
(4
p-q
+ 1)
4
q
là số chính phơng, nên cần chứng minh 4
p-q

+ 1 không chính phơng.
Giả sử ngợc lại, 4
p-q
+ 1 = (2k + 1)
2
(k N) 4
p-q-1
= k(k + 1)
vô lí vì tích hai số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phơng
2/ Trên mặt phẳng vẽ đờng tròn đờng kính AB bất kì.
Trên nửa đờng tròn đó lấy 2009 điểm A
1
; A
2
; ; A
2009
khác nhau và
khác B
Bất kì 3 điểm nào A
i
, A
j
, A
k
(i j k) đều tạo thành một tam giác chắc
chắn có một góc tù
luôn tồn tại 2009 điểm thỏa mãn điều kiện bài toán
0.5
0.25
0.5

0.5
0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
Lu ý : Thí sinh làm theo cách khác, đúng kết quả vẫn cho tối đa số điểm.
3
4