cac phuong phap giai toan bat dang thuc

Phương pháp 1: Phương pháp dựa vào định nghĩa
- Lập hiệu A-B
- Biến đổi biểu thức (A-B) và chứng minh A-B 0
- Kết luận A B
- Xét trường hợp A=B khi nào
VD: CMR:
với mọi a, b cùng dấu.
CM: Ta có:

a, b cùng dấu => ab>o =>
Vậy
Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi a-b=0, hay a=b ./.
Bài tập tương tự : CMR:
với ab>1
1Phương pháp 2: Phương pháp chứng minh trực tiếp
- Biến đổi vế phức tạp, thường là vế trái:
vì nên
=>
Dấu “ =” sảy ra khi và chỉ khi M=0
VD: CMR:
với mọi x
CM:
Ta có:
=>
Dấu”=” sảy ra khi và chỉ khi x=2
Bài tập tương tự:CMR: Bài tập tương tự:CMR:
Phương pháp 3: Phương pháp so sánh
- Biến đổi riêng từng vế rồi so sánh kết quả. Suy ra đpcm.
Nếu
VD: CMR:
CM:

=>
Phương pháp4: Dùng tính chất tỉ số
Cho 3 số dương a,b,c :
Nếu thì
Nếu thì
Nếu b,d>o thì từ
VD: a,b,c là 3 số dương. CMR:
CM:
Do c>o => (3)
Tương tự ta có : (4)
và: (5)
cộng vế với vế 3 BĐT kép(3),(4) và (5) ta được:
(đpcm)
Bài tập tương tự: Cho các số dương a1,a2,a3,b1,b2,b3 thoả:
CMR:
Phương pháp 5: Dùng phép biến đổi tương đương
Ta biến đổi BĐT cần chứng minh tương đưng với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh đúng.
Chú ý các BĐT sau:
- Bình phương của tổng, hiệu
- Lập phương của tổng, hiệu
-
VD: Cho a,b là các số thực. CMR:
CM:
Ta có:
<=>
<=>
<=> (luôn đúng)
=>đpcm
Bài tập tương tự:Cho a,b,c là các số thực. CMR::
Phương pháp 6: Phương pháp làm trội

Dùng tính chẩt của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính tổng hữa hạn hoặc tích hữu hạn.
- Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn:
là biểu diễn số hạng tổng quát về hiệu của 2 số hạng liên tiếp nhau :
Lúc đó :
-Phương pháp chung để tính tích hữu hạn là biểu diễn số hạng tổng quát về thương của 2 số hạng liên tiếp
nhau
Lúc đó
VD:Chứng minh các BĐT sau với n là STN:
a,
(k>1)
b,
CM:
a.
Với k>1 ta có
Lần lượt thay k=2,3, ,n rồi cộng lại có:
=> đpcm
b.
Với mọi k>1 ta có:
Vậy :
Lần lượt thay k=2,3, ,n vào rồi cộng lại ta được:
Bài tập tương tự
CMBĐT: :
Bài tập tương tự
Phương pháp 8: Dùng BĐT trong tam giác
Nếu a,b,c là số đó 3 cạnh của một tam giác thì a,b,c>0 và |b-c|<a<b+c
|a-c|<b<a+c
|a-b|<c<a+b
VD: Cho a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác.CMR:
CM:
a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác nên ta có :

Cộng vế với vế của BĐT trên ta được
(đpcm)
Bài tập tương tự:
Cho a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác. CMR:
với a< b<cCMBĐT: :
Phương pháp 9: Dùng phương pháp quy nạp
Để chứng minh BĐT T(n) : n là số tự nhiên ta thực hiện các bước sau :
+ Chứng minh BĐT T(1) đúng( Kiểm tra mệnh đề đúng với số nhỏ nhất)
+ Giả sử BĐT T(k) đúng
+ Ta chứng minh BĐT T(k+1) cũng đúng
Khi đó BĐT T(n) đúng với mọi n
VD: CMR với n>2 ta có :
CM:
Với n=3 ta có BĐT đúng
Giả sử BĐT đúng với n=k,nghĩa là:
Ta CM BĐT đúng với n=k+1, nghĩa là phải CM:
Thật vậy, ta có:
Vậy BĐT đúng với mọi n
Bài tập tương tự:
Phương pháp 10: Sử dụng tính chất hàm lồi
Cho hàm số f(a,b) -> R có tính chất :
Dấu của đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi x1=x2
Khi đó: (1)
với mọi x1, x2 thuộc (a,b) và dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi
VD:
CMR: Nếu thì
CM:
Ta có:
Vì
và

Cách khác: f(x)=sinx có f’’(x)= nên f(x) là hàm lõm trên và ta có BĐT 1
Bài tập tương tự:
Cho A,B,C là ba góc của một tam giác, CMR:
Phương pháp 11: Dùng miền giá trị hàm
Bài toán: Chứng minh rằng B<f(x) <A với mọi x.
Đặt y=f(x) <=> y-f(x)=0 ( * )
Biện luận phương trình ( * ) theo y, =>
=>đpcm
VD: với mọi x
CM:
Đặt : có miền xác định D=R
=> có nghiệm
+, Với y=1=>x=0
+>Với y khác 1, ta có
(đpcm)
Bài tập tương tự:
CMR: với mọi x
Phương pháp 12: Dùng tam thức bậc 2
(*Định lí về dấu tam thức bậc 2:
Cho tam thứcbậc 2 :f(x) (a khác 0)
+ Nếu thì af(x)>0 với mọi x
+ Nếu thì với mọi x
Dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi
+Nếu lập bảng xét dấu
*Định lí đảo về dấu cho tam thức bậc 2:
Cho:f(x) (a khác 0)
Nếu tồn tại sao cho af(x)<p thì f(x) có 2 nghiệm pb và
Hệ quả: Nếu tồn tại sao cho thì f(x) có 2 nghiệm pb và trong 2 số có một số nằm ngoài khoảng hai nghiệm)
Dạng 1:Chứng minh mọi x
Ta chứng minh

VD: CMR: với mọi x,y
CM:Bđt cần Cm tương đương với
Đặt f(x)=VT
Ta có mọi y
mọi x,y. ( vì )
Bài tập tương tự: Cm các BĐT sau:
a, mọi x,y
b, mọi x,y,z
c, mọi x,y
d,
Phương pháp 13: Dùng đạo hàm
Dạng 1: Dùng tính đơn điệu của hàm số
Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b)
+ Nếu f(x)>0 với mọi x thuộc (a,b)thì hàm f(x) tăng trên [a,b]. Khi đó mọi x>a thì f(x)>f(a)
+ Nếu f'(x)<o mọi x thuộc (a,b) thì hàm f giảm trên [a,b]. Khi đó với mọi x>a thì f(x)<f(a)
VD: CMR : với mọi x khác 0
CM: đặt f(x)= . Khi đó f'(x)=
* Nếu x>0 thì f(x)>0 nên f tăng với mọi . Do đó f(x)>0, f(0)=0 =>
* Nếu x<0 thì f(x)<0 nên f giảm khi x<0. Dó đó f(x)>f(0)=0 =>
Vậy với mọi x khác 0
Bài tập tương tự: CMR với thì
Ngoài ra còn có 1 số phương pháp để cm nữa
1.Dồn biến : Mục đích đặt ra ta giảm dần biến số đi để cuối cùng chỉ cần cm bdt 1 biến , với điều này công việc của ta chỉ là đạo hàm thôi
Muốn CM minh ta CM : . Sau đó CM .
Ngoài ra có thể dồn theo trung bình nhân , trung bình điều hòa .
Cụ thể ở đây (nguồn Lê Quý Bảo:D ) download bằng link bên dưới OK?
2.SOS : phương pháp đưa về các tổng bình phương
đa số BĐT xuất phát từ . vì vậy phương pháp này có ý tương khá tự nhiên . sau khi đưa về được dạng
Chỉ cần kiểm tra 1 số tiêu chuẩn ta thu được đpcm ước gì mấy anh này nói rõ thêm cho đàn em hiểu với
3. Các hàm sơ cấp đối xứng 3 biến

Đặt
ta đưa về được theo p,q,r . Từ đây cm bdt theo p,q,r . Kết hợp với BDT schur ta có đpcm.
tạm thời chừng đó đã . (và đến giờ vẫn vậy ) các anh ơi em chưa hiểu :-s
Tiếp tục cho phương pháp lượng giác , không chỉ là với các bài đổi ẩn theo sinx , cosx , mà phức tạp hơn là liên quan đến các đẳng thức lượng giác của 3 góc trong
tam giác , cái này thì nhiều lắm
Hệ thức I
.
Cái này gặp cũng khá nhiều , trong những bài này có thể làm theo dồn biến hoặc vân dụng các đẳng thức
VD: Các số x,y,z thỏa mãn:
.
Tìm GTLN:
Cách 1: Đổi biến x,y,z thành
Cách 2: Có thể thấy x,y,z nằm trong khoảng [-1;1] , Xét hệ thức , đưa về ẩn là Đạo
hàm
Cách 3: Dồn biến điều kiện ban đầu theo phương trình bậc 2 , theo cách này cũng gợi ý làm theo lượng giác như cách 1 ở biêt thức (làm sẽ thấy ),
nhưng có thể làm trực tiếp
Hệ thức 2:

hoặc
VD:
Quote from: quybao on 18 Tháng Hai, 2010, 02:09:13 PM
2. Cho là các số thực thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Hệ thức 3
hoặc
VD:
Quote from: quybao on 18 Tháng Hai, 2010, 02:09:13 PM
3. Cho là các số thực thoả mãn
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: