Phương pháp giải toán bất đẳng thức

Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP
Phần 1. Mục lục:
Mục lục …………………………….. trang 1
Đặt vấn đề .…………………………….. trang 2
Cơ sở khoa học ……………………………... trang 4
Nội dung giải quyết vấn đề ……………………………. trang 5
Kết quả thực nghiệm ……………………………… trang 23
Kết luận ……………………………… trang 23
Tài liệu tham khảo ………………………………. trang 24
Phần 2. Đặt vần đề:
1
Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP
Tư duy là một hình thức nhận thức lí tính của con người. Về mặt tâm
lí thì tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất,
những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hịên
tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó con người chưa biết.
Tư duy thể hiện sự phát triển của con người trong xã hội. Tư duy không tự
nhiên mà có mà do quá trình rèn luyện lâu dài, muốn tư duy phát triển cần
được rèn luyện thường xuyên, học các môn các môn khoa học tự nhiên đặc
biệt là môn Toán sẽ phát triển tư duy rất tốt. Lứa tuổi THCS đang phát
triển mạnh về tư duy nên giáo viên cần quan tâm không được xem nhẹ vấn
đề này. Qua một bài toán có thể phát triển tư duy lô gíc, tư duy trừu tượng,
tư duy lí luận ... của học sinh. Điều quan trọng là giáo viên truyền thụ kiến
thức như thế nào để phát triển tư duy của học sinh một cách tốt nhất.
Trong thực tế học sinh thường thụ động tiếp thu kiến thức, thường làm bài
tập một cách máy móc, không linh hoạt và chỉ dừng lại ở việc ra kết quả
bài toán. Với bài toán đó nếu được biến đổi thành bài toán khác thì đa số
học sinh không nhận ra, lúng túng và không làm được. Đây là cách học hết
sức nguy hiểm cho học sinh lười học và không phát triển được tư duy. Đối
với môn Toán bài tập rất phức tạp và đa dạng, học sinh không thể làm hết
được bài tập mà chỉ nắm được dạng bài tập nên học sinh cần hiểu được bản

chất của bài tập phụ thuộc vào mức độ nhận thức của học sinh, sau đó tạo
ra bài toán mới, dạng toán mới vừa hệ thống kiến thức vừa phát triển được
tư duy.
Bất đẳng thức là dạng bài tập khó trong các dạng bài tập ở THCS, bất đẳng
thức yêu cầu tư duy rất cao, sự nhạy cảm toán học cũng như kĩ năng của
môn Đại Số. Nếu học sinh biết cách giải một số bài tập bất đẳng thức cùng
dạng thì đã thực sự trưởng thành về mặt tư duy toán học. Những bài tập bất
2
Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP
đẳng thức rất đa dạng học sinh không thể làm hết mà chỉ có thể nắm được
một số dạng, chính vì vậy học sinh cần nắm được bản chất của bài tập và
phân loại bài toán là việc vô cùng cần thiết. Vì vậy mà giáo viên cần đưa
cho học sinh bài tập có hệ thống và liên hệ các bài tập cùng dạng với nhau
giúp các em tự tin hơn.
Trong định hướng đổi mới phương pháp bậc THCS thì tự học là một yêu
cầu quan trọng đối với học sinh. Tự học giúp cho HS say mê học tập, hiểu
sâu kiến thức và quan trọng hơn là phát triển óc sáng tạo. Vấn đề đặt ra là
làm thế nào có thể giúp HS tạo hứng thú trong việc tự học, tìm thấy niềm
vui khi học toán. Để làm được như vậy thì GV phải cung cấp cho học sinh
hệ thống bài tập từ dễ đến khó, cho học sinh nhìn thấy những bài toán khó
đều bắt đầu từ những bài toán cơ bản. HS cảm thấy bản thân cũng có thể
tạo ra các bài toán có dạng tương tự như vậy.
Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài này, giúp học sinh thay đổi cách nhìn
về bài toán, thay đổi phong cách học tập và tư duy cho phù hợp với lứa
tuổi, bằng cách dạy một bài bất đẳng thức quen thuộc trong 3 tiết, biến đổi
thành các bài toán khác nhau hoặc vận dụng làm các bài bất đẳng thức khó
hơn. Làm được như vậy học sinh sẽ thấy tự tin hơn khi gặp bài toán lạ có
khả năng tự tìm lời giải cho bài toán, phát huy tính sáng tạo để đáp ứng nhu
cầu của cuộc sống hiện đại.
Phần 3. Cơ sở khoa học:

1. Cơ sở lí luận:
3
Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP
Do tư duy là thuộc tính của tâm lí, tư duy hình thành và phát triển theo
từng giai đoạn trong quá trình trưởng thành của con người. Tư duy đặc biệt
phát triển mạnh ở giai đoạn thanh, thiếu niên. Vì vậy giáo viên cần phải
quan tâm đến phương pháp giảng dạy nhằm phát triển tư duy cho học sinh
một cách tốt nhất. Tất cả các môn học đều phát triển tư duy cho học sinh
nhưng môn toán có vai trò quan trọng hơn cả. Giải bài tập toán là lúc học
sinh được thể hiện kĩ năng, tính sáng tạo, phát triển óc tư duy. Các bài tập
toán trong SGK chủ yếu hình thành kĩ năng cho học sinh, mục đích phát
triển tư duy cho học sinh ở mức độ thấp nhằm đảm bảo tính giáo dục phù
hợp với học sinh đại trà. Giải bài tập toán chứng minh bất đẳng thức trong
quá trình ôn thi HSG là điều kiện cần thiết để học sinh giỏi hình thành và
phát triển tư duy ở mức độ cao hơn.
2. Cơ sở thực tiễn:
Trường THCS Nhân Hoà là một trường nhỏ không có lớp chọn, trường
có 8 lớp chia đều cho các khối. Phần lớn học sinh chăm học, ý thức tốt
nhưng tác phong tư duy và tác phong học tập chưa đúng làm cho kết quả
của học sinh chưa cao, đặc biệt là kết quả thi học sinh giỏi. Chính vì vậy
vấn đề ôn thi HSG cần được đẩy mạnh. Năm học 2006-2007, tôi được phân
công dạy đội tuyển Toán 9 và Giải toán trên máy tính, số lượng được dự thi
là 4HS. Tôi lựa chọn 6 HS để ôn thi và nhằm phát triển tư duy cho nhóm
HS đó. Mục “phát triển tư duy của học sinh qua 1 bài chứng minh bất đẳng
thức” nằm trong chuyên đề bất đẳng thức được thực hiện trong 3 đến 4 tiết
gồm hệ thống bài tập trên lớp và hệ thống bài tập tương tự giao về nhà cho
HS
Phần 4. Nội dung:
4
Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP

Chúng ta xét một bất đẳng thức cơ bản trong chương trình trung học cơ
sở nhưng nó là cơ sở cho rất nhiều bài toán khó.
Bài toán xuất phát:
Bài 1: Với a, b dương chứng minh rằng: a
3
+b
3


ab(a+b). (*)
Giải : Thật vậy bất đẳng thức trên tương đương với :
⇔ (a+b)(a
2
–ab+b
2
) – ab(a+b)
)
0
⇔ (a+b)(a
2
-2ab +b
2
)
)
0
⇔ (a+b)(a-b)
2


0 đúng với mọi a,b dương.

Đẳng thức xảy ra khi a = b.
Học sinh có thể biến đổi theo hướng khác:
Với a,b dương ta vẫn có thể biến đổi (*) thành :
ba
ba
+
+
33
≥
ab
⇔ a
2
– ab + b
2


ab
⇔ ( a - b)
2


0 (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b
Nếu chỉ dừng ở đây thì bất đẳng thức (*) không có gì đặc biệt không
có gì mới lạ. Học sinh khá, giỏi không khó khăn trong việc giải bài tập này.
GV hướng dẫn học sinh nhận thấy rằng:
Bất đẳng thức (*) vẫn còn đúng khi a,b không âm. Nếu a,b là các số dương
thì bất đẳng thức (*) có thuận lợi gì khi thay đổi thành bất đẳng thức
khác?
Nếu ta biến đổi bất đẳng thức (*) thành bất đẳng thức:

⇔
3
a
b
+ b
2


a(a+b) ( do b>0)
⇔
3
a
b
+ b
2


a
2
+ ab
Tương tự với a,b,c dương thì :
5
Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP

3
b
c
+ c
2

b
2
+ bc

3
c
a
+ a
2
2
c
2
+ ac
Từ đó ta có bài toán hay:
Bài 2: Với 3 số a,b,c dương chứng minh rằng :

3
a
b
+
3
b
c
+
3
c
a

ab +bc+ca
Đây là bài toán không hề đơn giản, nếu tách hạng tử để sử dụng kĩ thuật
của bất đẳng thức CôSi thì rất khó.
Học sinh có thể thử bằng cách như sau:
3
a
b
+ b
2


2a
ab
dấu “=” xảy ra
khi a = b
Tương tự
3
b
c
+ c
2


2b
bc

3
c
a
+ a

2


2c
ac
Với cách thử này giáo viên sẽ dẫn học sinh đến một bài tập khác:

3
a
b
+
3
b
c
+
3
c
a


2a
ab
+2b
bc
+2c
ac
- (a
2
+b
2

+c
2
)
Khi đó học sinh sẽ xuất hiện câu hỏi:
Hai bất đẳng thức
3
a
b
+
3
b
c
+
3
c
a


ab +bc+ca
và
3
a
b
+
3
b
c
+
3
c

a


2a
ab
+2b
bc
+2c
ac
- (a
2
+b
2
+c
2
)
thì bất đẳng thức nào chặt hơn?
Cách làm đơn giản nhất là GV cho học sinh thử một vài giá trị đặc biệt sẽ
nhận thấy ab +bc+ca
n
2a
ab
+2b
bc
+2c
ac
- (a
2
+b
2

+c
2
)
GV yêu cầu học sinh về nhà tìm hướng chứng minh.
6
Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP
Vẫn tiếp tục ý tưởng biến đổi bất đẳng thức (*) trên cơ sở a,b là các số
dương, ta có hướng biến đổi khác:
Từ a
3
+b
3


ab(a+b) (*) suy ra:
3 3
a
ab
b+


a+b
tương tự
3 3
cb
c b+


c+b

3 3
a
ac
c+


a+c Với a,b,c là các số dương.
Từ đó ta có bài toán:
Bài 3: Với a,b,c dương chứng minh rằng:

3 3
a
ab
b+
+
3 3
cb
c b+
+
3 3
a
ac
c+


2(a+b+c)
Bất đẳng thức này đơn giản hơn, học sinh có thể biến đổi thành nhiều cách
nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức Cô si
3 3
a

ab
b+



ab
abab2
= 2
ab
Tương tự ta có:
3 3
a
ab
b+
+
3 3
cb
c b+
+
3 3
a
ac
c+


2
ab
+ 2
bc
+ 2

ca
Học sinh lại gặp vấn đề tương tự, trong hai bất đẳng thức:

3 3
a
ab
b+
+
3 3
cb
c b+
+
3 3
a
ac
c+


2(a+b+c)

3 3
a
ab
b+
+
3 3
cb
c b+
+
3 3

a
ac
c+


2
ab
+ 2
bc
+ 2
ca
thì bất đẳng thức nào chặt hơn?
Yêu cầu này đơn giản hơn vì hầu hết học sinh đều quen thuộc với bất đẳng
thức: 2(a+b+c)
t
2
ab
+ 2
bc
+ 2
ca
(a,b là số dương)
Như vậy bài tập
3 3
a
ab
b+
+
3 3
cb

c b+
+
3 3
a
ac
c+


2
ab
+ 2
bc
+ 2
ca
hay hơn bất
đẳng thức trong bài tập 3.
Ta có bài tập sau:
7
Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP
Bài 4: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:

3 3
a
ab
b+
+
3 3
cb
c b+
+

3 3
a
ac
c+


2
ab
+ 2
bc
+ 2
ca
GV nhắc nhở học sinh luôn có ý thức tự đặt câu hỏi. Ví dụ: “hai vế bất
đẳng thức a
3
+b
3


ab(a+b)(*) có gì quen thuộc?”. “Biến đổi như thế nào
để có lập phương của một tổng?”.
Khi đó HS biến đổi (*) ⇔ 3(a
3
+b
3
)
)
3ab(a+b)
⇔ 4(a
3

+b
3
)
)
a
3
+ b
3
+ 3ab(a+b).
⇔ 4(a
3
+b
3
)
)
(a+b)
3
.
Từ đó ta đề xuất được bài toán mới:
Bài 5: Với a,b,c dương chứng minh rằng:
8(a
3
+b
3
+c
3
)

(a+b)
3

+(c+b)
3
+(a+c)
3
Bài tập này học sinh có thể chứng minh bằng cách biến đổi tương
đương, hoặc sử dụng phương pháp tách để chứng minh.
Ta đã có: 4(a
3
+b
3
)
)
(a+b)
3
Tương tự: 4(b
3
+c
3
)
)
(b+c)
3
4(a
3
+c
3
)
)
(a+c)
3

Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều này ta suy ra điều phải
chứng minh.
Ta áp dụng bất đẳng thức CôSi cho 2 số dương của vế phải bài 5 thì được
điều gì?
Học sinh thấy ngay (a+b)
3


(2
ab
)
3
= 8ab
ab
(b+c)
3


8bc
bc
(a+c)
3


8ac
ca
8
Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP
Khi đó tự học sinh sẽ thấy bài toán mới đẹp hơn bài 5.
Bài 6: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:

a
3
+b
3
+c
3


ab
ab
+bc
bc
+ac
ca
Bài toán sẽ trở nên khó hơn nếu bổ xung thêm giả thiết abc = 1.Khi đó:
ab =
c
1
; bc =
a
1
; ac =
b
1
Như vậy học sinh đã tạo ra được bài toán mới hay hơn bài 6.
Bài 7: Cho a,b,c là các số dương thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
a
3
+b
3

+c
3




aa
1
+
bb
1
+
cc
1
Kĩ năng tách các hạng tử là một trong những kĩ năng quan trọng để
chứng minh bất đẳng thức. GV biến đổi bất đẳng thức (*) cũng tạo ra
được một số bài tập cho HS rèn luyện kĩ năng này.
Bài 8: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:
2(a
3
+b
3
+c
3
)
)
ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)
Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức (*) cho lần lượt cặp số a,b,c ta có:
a
3

+b
3
3
ab(a+b)
b
3
+c
3


bc(b+c)
a
3
+c
3
3
ca(c+a)
Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta được :
2(a
3
+b
3
+c
3
)
)
ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
9