Tich phan lien ket- NT

Tích phân liên kết
Trong một số bài toán tính tích phân I =
( )
b
a
f x dx
∫
– ta tìm đến
tích phân K=
( )
b
a
g x dx
∫
và tính I trong các mối ràng buộc với K ( K
được gọi là tích phân liên kết với I ) .
Ta đi xác lập các đẳng thức liên hệ giữa I và K :
mI nK a
pI qK b
+ =


+ =


Giải hệ 2 phương trình 2 ẩn I , K ta tính được I và cả K .
Ta thường gặp trường hợp :
* I = K khi đó tính I+K từ đó suy ra I .
* K là một tính phân được tính đơn giản , khi đó từ đẳng thức : mI
+nK =a ta suy ra I (và K)
Việc tìm đến tích phân liên kết K , tùy thuộc vào kinh nghiệm

của bạn . Thường biểu thức các tích phân (liên kết ) f(x) ,g(x) có tính
cân xứng hoặc bổ sung cho nhau .
Chúng ta hãy tìm hiểu qua một số ví dụ :
Bài 1: Tính I =
6
2
0
cos 2 .x sin xdx
π
∫

Có thể tính trực tiếp tích phân này – Một cách tính gián tiếp ?
Vì sin
2
x + cos
2
x =1 , ta xét tích phân tương tự :
K =
6
2
0
cos 2 . osx c xdx
π
∫

Ta có : I +K =
6
0
cos 2xdx
π

∫
=
1
2
sin2x |
6
0
π
=
3
4
(*)
Mặt khác : K-I =
6
2 2
0
cos 2 (cos )x x sin x dx
π
−
∫

=
6
2
0
cos 2xdx
π
∫
=
6

0
1
(1 cos4 )
2
x dx
π
+
∫

=
6
0
1 1 1 3 1 3
( sin 4 ) | ( ) ( )
2 4 2 6 8 4 3 4
x x
π
π π
+ = + = +
(**)
Từ (*) (**) suy ra : I =
1 3 3
( )
8 4 3
π
−
Bài 2: Tính I =
2
0
sin

sin cos 1
x
dx
x x
π
∫
+ +
Xét bài toán (tích phân) tương tự : K =
2
0
os
sin cos 1
c x
dx
x x
π
∫
+ +
Bằng phép thay biến x = π/2-t
Ta có : dx =-dt , x = 0 → t= π/2 , x = π/2→ t= 0
Khi đó : I = = K
Ta có : I + K =
2
0
cos sin
sin cos 1
x x
dx
x x
π

+
∫
+ +
=
2
0
1dx
π
∫
-
2
0
1
sin cos 1
dx
x x
π
∫
+ +
= π/2 -
2
0
1
sin cos 1
dx
x x
π
∫
+ +
Tính

2
0
1
sin cos 1
dx
x x
π
∫
+ +
=
2
0
1 1
sin( / 4) sin( / 4)
2
dx
x
π
π π
∫
+ +
=
2
0
1 1
2 2
sin( ) os( )
2 4 2
dx
x x

c
π
π
∫
+
=
2
0
os[( ) ( )]
1
2 4 2
2
sin( ) os( )
2 4 2
x x
c
dx
x x
c
π
π
π
+ −
∫
+
2
0
1
[cot( ) tan( )]
2 2 4 2

x x
dx
π
π
= + +
∫
=
/2
0
[ln sin( ) ln os( )]|
2 4 2
x x
c
π
π
+ −
=
/2
0
sin( )
2
2 4
ln | ln 2 ln ln 2
2
os( )
2
x
x
c
π

π
+
= − =
Ta có : I=K và I+K = ln2 → I=K =
ln 2
2
Chú ý : + Bạn có thể không thay biến , tính I-K = = 0 →
I=K .
Bài 3: I =
3
2
4 4
0
cos sin
sin cos
x x
dx
x x
π
∫
+
2
Nếu tính được I =
3
2
4 4
0
cos sin
sin cos
x x

dx
x x
π
∫
+
thì ta cũng tính được
K =
3
2
4 4
0
sin cos
sin cos
x x
dx
x x
π
∫
+
.
Biểu thức của K là biểu thức của I trong đó : sinx được thay bởi
cosx và cosx được thay bởi sinx .
Bằng phép thay biến x = π/2-t Ta chứng minh được I = K
Ta có : I+K =
2
4 4
0
sin cos
sin cos
x x

dx
x x
π
∫
+
=
2
2
0
sin 2
1 cos 2
x
dx
x
π
∫
+
Đặt t = cos2x → dt = -2sin2xdx
x = 0 → t=1 , x = π/2 → t= -1
I+K =
1
2
1
1 1
2 1
dt
t
−
∫
+

= = π/4
Suy ra : I = π/8
Chú ý : (cos
4
x )’= -4 cos
3
xsinx - xét đến (sin
4
x )’= 4 sin
3
xcosx
Ta có: (sin
4
x + cos
4
x )’= - sin4x
Khi đó : 4(I-K) =
2
4 4
0
sin 4
sin cos
x
dx
x x
π
∫
+
= - ln(
4 4

sin cosx x+
)|
/2
0
π
= 0 → I= K
Bài 4: I =
1
2
0
3
x
dx
e
∫
+

* Chọn K =
2
1
2
0
3
x
x
e dx
e
∫
+
Ta có :

1
0
3 1I K dx+ = =
∫
(1)
* Tính K . Để ý (e
2x
+3 )’= 2 e
2x
.
Khi đó : K =
1
0
2 2
1
2
2
0
1 2 1 1 3
ln( 3)| ln( )
2 3 2 2 4
x
x
x
e dx e
e
e
+
= + =
∫

+
(2)
Từ (1) (2) suy ra : I =
2
1 1 3
ln( )
3 6 4
e +
−
.
Bài 5:
4
1
6
0
1
1
x
I dx
x
+
=
∫
+

3
Liên hệ đến hằng đẳng thức : x
6
+1 = (x
2

+1) ( x
4
- x
2
+1) , ta
chọn
2
1
6
0
1
x
K dx
x
=
∫
+

Ta có : I - K =
2
4
1
6
0
1
1
x x
dx
x
− +

∫
+
=
1
2
0
1
1
dx
x
∫
+

Đặt x = tant → dx = (1+tan
2
t)dt ; x = 0 → t =0 , x = 1 → t = π/4
Khi đó : I-K =
/4
0
1
4
dt
π
π
=
∫

và
2 2
1

0
1 1
6
6 6
0 0
1 3 1 1
ln( 1) | ln 2
1 3 1 3 3
x x
K dx dx x
x x
= = = + =
∫ ∫
+ +
suy ra : I =
1
ln 2
3
+
4
π
.
Đây là nội dung còn nhiều điều tìm hiểu – vấn đề chọ tích phân
liên kết đòi hỏi khả năng tư duy linh hoạt của bạn . Bạn suy nghĩ tìm
tòi thêm nhé . Mời bạn cùng giải một số bài tập sau :
Bài tập đề nghị :
Bài 1: a/
2
4
0

sin 2 . osx c xdx
π
∫
b/
2
4
0
os2 . osc x c xdx
π
∫
Bài 2: a/
3
6
sin
cos sin
x
dx
x x
π
π
+
∫
b/
2
2012 2010
0
sin osxc xdx
π
∫

c/
2
2
0
sin os
n n
xc xdx
π
+
∫
d/
2
4
0
sin os
n n
xc xdx
π
+
∫
Bài 3: a/
dx
x
x
I
∫
=
6
0
2

2cos
cos
π
b/
2
0
2sin 3cos
sinx cos 1
x x
dx
x
π
−
∫
+ +

Bài 4: a/
2
0
2sin 1
sin cos 1
x
dx
x x
π
+
∫
+ +
b/
2

4
1 os
sin cos 1
c x
dx
x x
π
π
+
∫
− +

Bài 5: a/
2
0
2sin 3cos
sinx cos
x x
dx
x
π
−
∫
+
b/
3
6
2cot 3tan
cotx tan
x x

dx
x
π
π
−
∫
+
Bài 6: a/ *
2
3
0
sin
3 sinx cos
x
dx
x
π
∫
+
b/
2
2
0
os
sin cos 1
c x
dx
x x
π
∫

+ +
4
Bài 7 a/
3
6 2
1
1
(1 )
dx
x x+
∫
b/
1
4
1
1 2
x
x
dx
−
+
∫
c/
1
2
2
0
( 2)
x
x e

dx
x +
∫

Bài 8 : a/ *
3
6
os5
sin 2
c x
dx
x
π
π
∫
b/ *
3
6
sin 5
os
x
dx
c x
π
π
∫
Và bạn có thể đề xuất thêm nhiều bài toán mà khi giải nó ta
phải xét đến tích phân liên kết phải không nào. Chúc bạn vui – thành
công.

17/6/2012
5