Chuyen de pt vo ti

Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Trà Vinh
Trường THPT Trà Cú
Tổ Toán.
CHUYÊN ĐỀ
Gv: Cao Vaên Soùc
Năm Học: 2008 – 2009.
Lời nói đầu
Phương trình vô tỉ là kiến thức rất quan trọng trong bộ môn toán nói chung và môn toán 10
nói riêng. Tuy nhiên khi giải phương trình vô tỉ thì học sinh thường lúng túng không biết nên giải
như thế nào hay dùng phương pháp nào để giải.
Vì vậy Tôi viết chuyên đề “ MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ VÀ CÁCH
GIẢI” nhằm củng cố và giải tôt bài toán PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
I. ĐỊNH NGHĨA
Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn thức.
II. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ GỒM CÁC CĂN THỨC BẬC HAI
1. Dạng 1:
( )
f x c=
( )
1
Đây là dạng đơn giản nhất của phương trình chứa căn bậc hai
- Nếu
0c <
: (1) vô nghiệm
- Nếu
0c =
: Ta có (1)
( )
0f x⇔ =
(1a)
Giải phương trình (1a)

Nếu (1a) vô nghiệm thì (1) vô nghiệm.
Nếu (1a) có 1 nghiệm, 2 nghiệm… thì (1) có 1 nghiệm, 2 nghiệm…
- Nếu
0c >
: Ta có
( ) ( ) ( )
2
1f x c f x c b= ⇔ =
. Giải phương trình (1b)
suy ra nghiệm của phương trình (1).
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
( )
( )
( )
2
2
2
. 1 1
. 5 6 0
. 3 1 5
a x x a
b x x b
c x x c
+ + = −
+ + =
− + =
Giải:
a. Phương trình (a) vô nghiệm.
b. Ta có
2 2

3
5 6 0 5 6 0
2
x
x x x x
x
= −

+ + = ⇔ + + = ⇔

= −

c. Ta có
2 2
3 105
2
3 1 5 3 1 25
3 105
2
x
x x x x
x

−
=


− + = ⇔ − + = ⇔

+

=


2. Dạng 2:
( ) ( )
f x g x=
(2)
Điều kiện:
( )
0g x ≥
(2a)
Bình phương hai vế của (2), ta có
( ) ( )
2
f x g x
 
=
 
(2b)
Giải (2b) chọn nghiệm thỏa điều kiện (2a), suy ra nghiệm của (2)
Sơ đồ giải:
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
0g x
f x g x
f x g x

≥


= ⇔

 
=

 

Ví dụ: Giải phương trình
2 1 8x x− = −
Giải:
( )
2
2
8 0
2 1 8
2 1 8
8
8
5
5
18 65 0
13
x
x x
x x
x
x
x
x

x x
x
− ≥


− = − ⇔

− = −



≤

≤


⇔ ⇔ ⇔ =
=

 
− + =

 
=



Vậy: nghiệm của phương trình là
5x
=

.
3. Dạng 3:
( ) ( )
f x g x=
(3)
Điều kiện:
( )
( )
0
0
f x
g x

≥


≥


(3a)
Bình phương hai vế phương trình (3) ta có:
( ) ( )
f x g x=
(3b)
Giải phương trình (3b) chọn nghiệm thỏa hệ (3a). Suy ra nghiệm của pt (3).
Sơ đồ giải:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )

0
0
f x
f x g x g x
f x g x

≥

= ⇔ ≥


=

Ví dụ: Giải phương trình
2 3 4 7x x+ = −
(*)
Giải:
Ta có
( )
3
2
2 3 0
7
* 4 7 0 5
4
2 3 4 7
5
x
x
x x x

x x
x


≥ −


+ ≥


 
⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ =
 
 
+ = −
=
 
 


Vậy: Nghiệm của phương trình là
5x =
.
4. Dạng 4:
( ) ( )
f x g x c+ =
(4)
- Nếu
0c
<

: (4) vô nghiệm.
- Nếu
0c
=
: Ta có
( ) ( )
( )
( )
0
0
0
f x
f x g x
g x

=

+ = ⇔

=


(4a)
Nếu hệ (4a) có nghiệm thì hệ (4) có nghiệm.
- Nếu
0c
>
: Điều kiện
( )
( )

0
0
f x
g x

≥


≥


(4b)
Bình phương hai vế phương trình (4) ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
2
f x g x f x g x c
f x g x c f x g x
+ + =
⇔ = − −
(4c)
Ta có một phương trình dạng 2 mà cách giải đã biết
Điều kiện:
( ) ( )
2
0c f x g x− − ≥
(4d)

Bình phương hai vế phương trình (4c), ta có

( ) ( ) ( ) ( )
2
2
4 f x g x c f x g x
 
= − −
 
(4e)
Giải phương trình (4e). Chọn nghiệm thỏa các điều kiện (4b) và (4d). Suy ra nghiệm
của phương trình (4)
Sơ đồ giải:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
0
0 0
2
0
0
2
f x
f x g x c g x

f x g x f x g x c
f x
g x
f x g x c f x g x

≥


+ = > ⇔ ≥


+ + =



≥


⇔ ≥


= − −


( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2

2
0
0
0
4
f x
g x
c f x g x
f x g x c f x g x

≥

≥

⇔

− − ≥


 
= − −
 

• Chú ý: Nếu ta có
( ) ( )
f x g x c− =
thì ta giải như sau:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )

( ) ( )
( )
2
0
0 0
f x
f x g x c f x g x c g x
f x g x c

≥


− = > ⇔ = + ⇔ ≥


 = +

( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2
0 0
0 0
2 2
f x f x
g x g x
f x g x c c g x c g x f x g x c



≥ ≥


 
⇔ ≥ ⇔ ≥
 
 
= + + = − −
 


( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2
0
0
0
4
f x
g x
f x g x c
c g x f x g x c

≥


≥

⇔

− − ≥


 
= − −
 

Ví dụ: Giải các phương trình sau
a.
2 3 1 5x x+ + − = −
b.
2 3 1 0x x+ + − =
c.
1 2 1 5x x− + − =
d.
2 2
9 3 2x x x+ − − − =
Giải:
a. Ta có phương trình
2 3 1 5x x+ + − = −
vô nghiệm.
b.
2 3 1 0x x+ + − =
3
2 3 0

2
1 0
1
x
x
x
x


+ =
= −
 
⇔ ⇔
 
− =
 
=


Hệ vô nghiệm
⇒
Phương trình đã cho vô nghiệm.
c.
1 2 1 5x x− + − =
( )
( ) ( )
2
1
1 0
1

2 1 0
2
1 2 1 25
2 1 2 1 27 3
x
x
x x
x x
x x x


≥
− ≥


 
⇔ − ≥ ⇔ ≥
 
 
− + − =
 
− − = −


( )
( )
2
2
1
1 9

1
1 9
2
5
5
150 725 0
27 3 0
145
4 2 3 1 27 3
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x x x
≥


≤ ≤


≥
≤ ≤

 
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =

=

  
− + =


− ≥
 
=



− + = −


Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là
5x =
.
d.
2 2
9 3 2x x x+ − − − =
2 2
9 3 2x x x⇔ + = − + +
(
)
2
2
2 2
2
1 13 1 13

3 0
;
2 2
9 3 2
4 3 8
x x
x x
x x x
x x x


− +
− − ≥
≤ ≥


⇔ ⇔
 
+ = − − +
 
− − = +


( )
2
2 2
1 13 1 13
;
2 2
1 13 1 13

8 ;
8
2 2
15 32 112 0
16 3 16 64
x x
x x
x
x x
x x x x

− +
≤ ≥


− +

− ≤ ≤ ≥
 
⇔ ≥ − ⇔
 
 
− − =

− − = + +



1 13 1 13
8 ;

4
2 2
4
28
15
28
15
x x
x
x
x
x

− +
− ≤ ≤ ≥

=




⇔ ⇔
=



= −






= −



Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:
1 2
28
4;
15
x x= = −
* Ngoài các dạng cơ bản trên thì có một số phương trình vô tỉ mà khi bình phương hai vế
gặp nhiều khó khăn nên ta có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ: Giải các phương trình
a.
2 2
6 9 4 6 6x x x x− + = − +
b.
2 2
2 4 5 8 13x x x x+ − − = +
.
Lời kết.
Mục đích của chuyên đề này giúp học sinh giải MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ
TỈ tốt hơn, tuy nhiên do khả năng và thời gian có hạn nên chắc chắn chuyên đề còn nhiều
thiếu sót, mong quý Thầy cô trong Tổ góp ý. Xin chân thành cám ơn.
Người thực hiện
Cao Văn Sóc.