Giải bài tập chương 2 xác suất thống kê trong sách bài tập

1

longtkt.tk

bài tập chương II
Bài 2.1

GT

Bài 2.2

GT

Bài 2.3

Gọi X là số cầu được lấy ra

P (X = 1) =

1, 2, 3

3
2 3
2 1
= 0, 6; P (X = 2) = · = 0, 3; P (X = 3) = · .1 = 0, 1
5
5 4
5 4
X
P

Bµi 2.4

1
0,6

2

3

0,3

0,1

GT

Bµi 2.5

a) Gäi X là số chính phẩm được lấy ra từ hộp 2

Hi

X = 0; 1; 2

= "sè chÝnh phÈm chuyÓn tõ hép 1 sang hép 2 lµ i" (i=0,2,3)

2
0
1 1
C8 .C2
C8 C2

1
16
P (H0 ) =
= ; P (H1 ) =
= ;
2
2
C10
45
C10
45
H0 , H1 , H2 là nhóm đầy đủ các biến cè vµ

2 0
C8 C2
28
P (H2 ) =
=
2
C10
45

0 2
0 2
0 2
C7 C5
C8 C4
C9 C3
10
6

3
P (X = 0|H0 ) =
= ; P (X = 0|H1 ) =
= ; P (X = 0|H2 ) =
=
2
2
2
C12
66
C12
66
C12
66
2

⇒ P (X = 0) =
P (X = 1|H0 ) =
⇒ P (X = 1) =

P (Hi )P (X = 0|Hi ) =
i=0
1 1
C5 C7
2
C12
2

=

1 10 16 6 28 3
190
· + · + · =
= 0, 06397
45 66 45 66 45 66 2970

C 1C 1
C 1C 1
35
32
27
; P (X = 1|H1 ) = 8 2 4 = ; P (X = 1|H2 ) = 9 2 3 =
66
C12
66
C12
66

P (Hi )P (X = 1|Hi ) =
i=0

1 35 16 32 28 27 1303
· + · + · =
= 0, 43872
45 66 45 66 45 66 2970

⇒ P (X = 2) = 1−P (X = 0)−P (X = 1) = 1−0, 06397−0, 43872 = 0, 49731
X
P

0
0,06397

1

2

0,43872

0,49731

b) Hàm phân phối xác suất của X lµ

F (x) =


 0





0, 06397
0, 50269





 1

víi

x

0

víi

0
1

víi

1
2

víi

2

2

longtkt.tk

Bµi 2.6

GT

Bµi 2.7

E(X) = −5.0, 4 + 2.0, 3 + 3.0, 1 + 4.0, 2 = −0, 3
V (X) = (−5)2 .0, 4 + 22 .0, 3 + 32 .0, 1 + 42 .0, 2 − (−0, 3)2 = 15, 21
√
σX = V (X) = 15, 21 = 3, 9
b) Giá trị Mốt m0 là giá trị có xác suất lín nhÊt ⇒ m0 = −5
a)

Bµi 2.8

a) Sè xe trung bình bán được mỗi tuần là

E(X) = 0.0, 05+1.0, 12+2.0, 17+3.0, 08+4.0, 12+5.0, 2+6.0, 07+7.0, 02+8.0, 07
+9.0, 02 + 10.0, 03 + 11.0, 05
= 4, 33
V (X) = 02 .0, 05+12 .0, 12+22 .0, 17+32 .0, 08+42 .0, 12+52 .0, 2+62 .0, 07+72 .0, 02
+82 .0, 07 + 92 .0, 02 + 102 .0, 03 + 112 .0, 05 − 4, 332
= 8, 3411
√
σX = V (X) = 8, 3411 = 2, 8881

b)

X

đánh giá mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên theo đơn vị đo của nó

Bài 2.9

E(X1 ) + E(X2 ) + E(X3 )
= 0, 8;
3
V (X1 ) + V (X2 ) + V (X3 )
= 0, 12;
V (X) =
9

E(X) =

Bµi 2.10

E(X) = 20.0, 2 + 25.0, 3 + 30.0, 15 + 35.0, 1 + 40.0, 25 = 29, 5
V (X) = 202 .0, 2 + 252 .0, 3 + 302 .0, 15 + 352 .0, 1 + 402 .0, 25 − 29, 52 = 54, 75
√
σX = V (X) = 54, 75 = 7, 3993
Bµi 2.11

3
2
3
2
(3X − 2Y )
⇒ E(Z) = E(X) − E(Y ) = .3 − .2 = 1
5
5
5
5

5
2 2
3 2
2 2
35
3 2
= 1, 4
V (X) +
V (Y ) =
.3 +
.2 =
V (Z) =
5
5
5
5
25
Z − E(Z)
Z − E(Z)
Z −1
E(Z) − 1
b) T =
⇒ E(T ) = E(
) = E(
)=
=0
V (Z)
V (Z)
1, 4
1, 4

a)

Z=

Bµi 2.12

→ X = 0; 1; 2; 3
P (X = 0) = 0, 7.0, 6.0, 4 = 0, 168

Gọi X là số lần b¾n tróng bia

P (X = 1) = 0, 3.0, 6.0, 4 + 0, 7.0, 4.0, 4 + 0, 7.0, 6.0, 6 = 0, 436


3

longtkt.tk

P (X = 3) = 0, 3.0, 4.0, 6 = 0, 072
P (X = 2) = 1 − 0, 168 − 0, 436 − 0, 072 = 0, 324
X

0

1

2

3

P

0,168

0,436

0,324

0,072

E(X) = 0.0, 168 + 1.0, 436 + 2.0, 324 + 3.0, 072 = 1, 3
V (X) = 02 .0, 168 + 12 .0, 436 + 22 .0, 324 + 32 .0, 072 1, 32 = 0, 69
Bài 2.13

a) Bảng phân phối xác suất của X: số nhân viên bán hàng ở cửa hàng là
X

2

3

4

5

P

0,192

0,231

0,308

0,267

Hàm phân phối xác suất của X lµ


 0





0, 192



F (x) = 0, 432



0, 74





 1

víi

x

2

víi

2
3

víi

3
4

víi
víi

4
5

x>5

E(X) = 2.0, 192 + 3.0, 231 + 4.0, 308 + 5.0, 269 = 3, 654
V (X) = 22 .0, 192 + 32 .0, 231 + 42 .0, 308 + 52 .0, 269 − 3, 6542 = 1, 1483

b)

Bµi 2.14

P3 = 1 − P1 − P2 = 1 − 0, 5 − 0, 3 = 0, 2
8 = E(X) = 4.0, 5 + 0, 6.0, 3 + x3 .0, 2 ⇒ x3 = 29, 1
Bµi 2.15

0, 1 = E(X) = −1.P1 + 0.P2 + 1.P3 ⇒ −P1 + P3 = 0, 1
0, 9 = E(X 2 ) = (−1)2 .P1 + 02 .P2 + 12 .P3 ⇒ P1 + P3 = 0, 9
⇒ P1 = 0, 4; P3 = 0, 5; P2 = 1 − 0, 4 − 0, 5 = 0, 1
Bµi 2.16

P1 = 1 − 0, 7 = 0, 3
2, 7 = E(X) = x1 .0, 3 + x2 .0, 7 ⇒ 3x1 + 7x2 = 27
0, 21 = V (X) = x2 .0, 3 + x2 .0, 7 − 2, 72 ⇒ 3x2 + 7x2 = 75
1
2
1
2
⇒ x1 = 2; x2 = 3
Bµi 2.17


4

longtkt.tk

a) X là số phế phẩm có thể gặp phải

Ai

X = 0; 1

= "lần thứ i lấy được phế phÈm" (i=1,2)

4 3
P (X = 0) = P (A1 A2 ) = P (A1 )P (A2 /A1 ) = · = 0, 6
5 4
P (X = 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − 0, 6 = 0, 4
X

0

1

P

0,6

0,4

b)

→ E(X) = 0.0, 6 + 1.0, 4 = 0, 4
V (X) = 02 .0, 6 + 12 .0, 4 − 0, 42 = 0, 24
c) Y lµ sè chính phẩm có thể gặp phải X + Y = 2 → Y = 2 − X
Y

2

P
d)

1
0,4

0,6

E(Y ) = 2 − E(X) = 2 − 0, 4 = 1, 6; V (Y ) = V (Y ) = 0, 24

Bài 2.18

X là số xe được bán trong 1 tuần và

E(X) = 4, 33

Doanh thu bình quân hàng tuần của cửa hàng đó là

12.E(X) = 12.4, 33 = 51, 96 triệu

đồng
Bài 2.19

Gọi a là giá vé quy định thì a ph¶i tháa m·n

a.E(X) = 200 + 100 ⇒ a =

300
300

=
= 10, 17
E(X) 29, 5

Phải quy định giá vé là 10,17 ngàn đồng.
Bài 2.20

a) X là số sản phẩm được 1 khách hàng mua
Y là số tiền hoa hồng mà nhân viên bán hàng được nhận từ mỗi khách hàng

Y = 110.X.10% = 11X ⇒ E(Y ) = 11E(X)
E(X) = 0.0, 5 + 1.0, 1 + 2.0, 2 + 3.0, 2 = 1, 1 → E(Y ) = 11.1, 1 = 12, 1 (ngàn đồng)
b) V (Y ) = 112 V (X) = 121(02 .0, 5 + 12 .0, 1 + 22 .0, 2 + 32 .0, 2 − 1, 12 ) = 180, 29
√
σY = V (Y ) = 180, 29 = 13, 427
Bµi 2.21

a)

Px = 0, 1 + 0, 2 + 0, 35 + 0, 2 + 0, 1 + 0, 05 = 1
b) E(X) = 0.0, 1 + 10.0, 2 + 20.0, 35 + 30.0, 2 + 40.0, 1 + 50.0, 05 = 21, 5
c)

P (X > 20) = P (X = 30) + P (X = 40) + P (X = 50) = 0, 2 + 0, 1 + 0, 05 = 0, 35


5

longtkt.tk

Bài 2.22

X là tổng số chấm thu được
a)

X = 2, 3, ..., 12

X

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

P

1
36

2
36

3
36

4
36

5
36

6
36

5
36

4
36

3
36

2
36

1
36

x

2

b)

F (x) =

F (x) =

c)

m0 = 7



























































0

;

1
36

;

2
3

3

36

;

3
4

6
36

;

4
5

10
36

;

5
6

15
36

;

6
7

21
36

;

7
8

26
36

;

8
9

30
36

;

9

10

33
36

;

10 < x

11

35
36

;

11 < x

12

1

;

x > 12

Bµi 2.23

a)

P (X
12) = P (X = 12) + P (X = 13) + P (X = 14) + P (X = 15) =
0, 2 + 0, 15 + 0, 1 + 0, 05 = 0, 5
b) E(X)

= 9.0, 05 + 10.0, 15 + 11.0, 3 + 12.0, 2 + 13.0, 15 + 14.0, 1 + 15.0, 05 = 11, 75
c) V (X) = 92 .0, 05 + 102 .0, 15 + 112 .0, 3 + 122 .0, 2 + 132 .0, 15 + 142 .0, 1 + 152 .0, 05 −
− 11, 752
= 2, 2875
√
σX = V (X) = 2, 2875 = 1, 5124
Bµi 2.24

X là số đèn đỏ có thể gặp

Ai

X = 0; 1; 2; 3

= "người đó gặp đèn đỏ ở ng· t­ thø i" (i=1,2,3)

P (X = 0) = P (A1 A2 A3 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ) = 0, 8.0, 6.0, 5 = 0, 24


6

longtkt.tk

P (X = 3) = P (A1 A2 A3 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ) = 0, 2.0, 4.0, 5 = 0, 04
P (X = 1) = 0, 2.0, 6.0, 5 + 0, 8.0, 4.0, 5 + 0, 8.0, 6.0, 5 = 0, 46

P (X = 2) = 1 − 0, 24 − 0, 46 − 0, 04 = 0, 26
X

0

P

0,24

1

2

0,46

0,26

Gọi Y là thời gian phải dừng trên đường do đèn đỏ

3
0,04

Y = 3X

E(Y ) = 3E(X) = 3(0.0, 24 + 1.0, 46 + 2.0, 26 + 3.0, 04) = 3, 3
Bµi 2.25

GT

Bµi 2.26

E(X) = 1.0, 3 + 4.0, 1 + 8.0, 6 = 5, 5
P (|X − E(X)| < 4) = P (|X − 5, 5| < 4) = P (5, 5 − 4 < X < 5, 5 + 4)

= P (1, 5 < X < 9, 5) = P (X = 4) + P (X = 8) = 0, 1 + 0, 6 = 0, 7

Bµi 2.27


k(30 − x);
x ∈ (0; 30)
f (x) =

0 ; x ∈ (0; 30)
/

a) Do f(x) lµ hµm mật độ xác suất của 1 biến ngẫu nhiên nên

3

x2
1
f (x)dx = k (30 − x)dx = k 30x −
1=
0 = 450k ⇒ k =
2 0
450
−∞
0
2 12

12 1
12
1
x
(30 − x)dx =
30x −
f (x)dx =
b) P (X
12) =
= 0, 64
450
2 0
−∞
0 455
30
30
+∞
1
x3
1
2
= 10
(30 − x)dx =
15x −
xf (x)dx = x
c) E(X) =
450
450
3 0
−∞

0
+∞

30

Bµi 2.28

F (x) =







0

;

x

0

ax3 − 3x2 + 2x
; 0



1

; x>1

⇒ f (x) = F ′ (x) =




0

3ax2 − 6x + 2

;

1

x ∈ (0; 1)
/
;

x ∈ (0; 1)

a) Do f(x) là hàm mật độ xác suất của 1 biến ngẫu nhiªn nªn


7

longtkt.tk

1

+∞

1=
−∞
b)

1

f (x)dx = (3ax2 − 6x + 2)dx = (ax3 − 3x2 + 2x) 0 = a − 1
0

1

+∞

xf (x)dx =

E(X) =
−∞

0

⇒a=2

1
3
1
x(6x2 − 6x + 2)dx = ( x4 − 2x3 + x2 ) 0 = = 0, 5
2
2

c) X¸c suất để 1 người nào đó xếp hàng phải chờ quá 0,5 phút là

P (X > 0, 5) = 1 − P (X

0, 5) = 1 − F (0, 5) = 1 − (2.0, 53 − 3.0, 52 + 2.0, 5) = 0, 5

Xác suất để có không qua 2 trong 3 người nào đó xếp hàng phải chờ quá 0,5 phót

Pc = 1 − 0, 53 = 0, 875
Bµi 2.29

a)

P (0 < X < 1) = F (1)−F (0) =

b)

f (x) = F ′ (x) =

Bµi 2.30; 2.31

1 π
1
1 1
1 1
+ arctg1 − + arctg0 = ( −0) =
2 π
2 π
π 4

4

1 1
1
1
(arctgx)′ =
=
π
π 1 + x2
π(1 + x2 )

GT

Bµi 2.32

1

Ta cã

−∞

f (x)dx = P (−∞ < X < 1) = 1 − P (X

1) = 1 − 0, 3 = 0, 7

Bµi 2.33


 0




F (x) = (1/2)x − 1



 1

a)
b)

;

x
;

;

2
2
4

x>4

P (X < 3) = F (3) = (1/2).3 − 1 = 1/2
P (2

X < 3) = F (3) − F (2) = 1/2 − 0 = 1/2

Bµi 2.34


 0



F (x) = sin2x



 1

 0
′
f (x) = F (x) =
2cos2x

;
;

x

0

0;

π/4

x > π/4

;
;

x ∈ (0; π/4)
/
x ∈ (0; π/4)


8

longtkt.tk

Bµi 2.35

GT

Bµi 2.36


acosx
f (x) =
 0

;

x ∈ (−π/2; π/2)
;

x ∈ (/2; /2)
/

a) Do f(x) là hàm mật độ xác suất cđa 1 biÕn ngÉu nhiªn nªn

f (x) 0, ∀x ⇒ acosx
⇒a 0

0, ∀x ∈ (−π/2; π/2)

+

+

−∞
b)

acosxdx = asinx

f (x)dx =

1=
P (0

π/2

π/2

+∞

−π/2

−π/2
π/4

X < π/4) =

= 2a ⇒ a = 1/2
π/4

0

−∞

π/2

= 0 + cosx

2/4

π/2

π/2

(1/2)xcosxdx = (1/2)xsinx

xf (x)dx =

=

√

0

+∞
c) E(X)

=

(1/2)cosxdx = (1/2)sinx

−π/2

−π/2

π/2

−(1/2)

sinxdx =
−π/2

=0
−π/2

Bµi 2.37


 0




F (x) = 1/2 − kcosx



 1

;

x
;

;

0

0
π

x>π

a) Do F(x) là hàm phân phối xác suất của 1 biến ngẫu nhiên nên nó liên tục trái

lim+ F (x) = F (π) ⇒ 1 = 1/2 − kcoxπ ⇒ k = 1/2
x→π

b)
c)

P (0 < X < π/2) = F (π/2) − F (0) = [1/2 − (1/2)cos(π/2)] − 0 = 1/2

+∞

⇒ E(X) =
Bµi 2.38.


 0
′
f (x) = F (x) =
(1/2)sinx

x ∈ (0; π)
/
;

x ∈ (0; π)

π

xf (x)dx =

−∞

;

π

x.(1/2).sinxdx = (1/2)(−xcosx + sinx)

0

= π/2
0


9

longtkt.tk


1 − (x /x)α
; x x0
0
F (x) =
 0
; x < x0 ; α > 0
Gäi a lµ møc thu nhËp sao cho nÕu lÊy ngÉu nhiªn 1 ng­êi trong vùng đó thì thu nhập
của người này vượt quá a với xác suất , nghĩa là

P (X > a) = 0, 5 ⇔ P (X

a) = 1 − P (X > a) = 1 − 0, 5 = 0, 5

⇔ F (a) = 0, 5 ⇔ 1 − (x0 /a)α = 0, 5 ⇔ a = x0 /(0, 5)1/α = x0 .21/α
Bµi 2.39



(2/π)cos2 x
f (x) =
 0
;

;

x ∈ (−π/2; π/2)

x (/2; /2)
/

Xác suất để trong 1 phép thử bất kì X nhận giá trị trong khoảng

/4

/4

2 2
2
cos xdx =



P (0 < X < π/4) =

0

0

(0; π/4) lµ

π
1 1
1 + cos2x
2 x 1
dx =
+ sin2x 4 = +
2
π 2 4
4 2
0

Theo công thức Bernouuli ta có xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá
trị trong khoảng

(0; /4) là
2
P () = C3 .

1
1
+
4 2

2

1

1

1

= 0, 297
4 2π

Bµi 2.40


x2 /9
f (x) =
0

;

x ∈ (0; 3)

;

x ∈ (0; 3)
/

a) Hµm f(x) tháa m·n
+

f (x)

0, ∀x

x3
f (x)dx = (x /9)dx =

+
27

0
+

3

3

2

=1
0

Vậy f(x) là hàm mật độ xác suất của 1 biến ngẫu nhiên nào đó.
b) Xác suất ®Ĩ trong 1 phep s thư nµo ®ã X nhËn giá trị trong khoảng (1;2) là

2

P (1 < X < 2) =

2

f (x)dx =
1

1

x2

x3
dx =
9
27

2

=
1

7
27


10

longtkt.tk

Xác suất để trong 3 phép thử độc lập có ít nhất 1 lần X nhận giá trị trong khoảng (1;2) lµ

P () = 1 − (1 − P (1 < X < 2))3 = 1 − 1 −
Bµi 2.41

F (x) = c + b.arctg

x
a

víi

7
27

3

= 0, 594

(−∞ < x < +); a > 0

a) Do F(x) là hàm phân phối xác suất của 1 biến ngẫu nhiên nên nó có tÝnh chÊt

F (−∞) = 0; F (+∞) = 1


c = 1/2
0 = F (−∞) = c + b. −π
2
⇔
b = 1/π
1 = F (+∞) = c + b. π
2
2
1
1
a
′
=
b) f (x) = F (x) =
.
π 1+ x 2

π(x2 + a2 )
a
Bµi 2.42


1/20
f (x) =
0

;
;

x ∈ (5; 25)
x ∈ (5; 25)
/

P (|X −10| > 2, 5) = 1−P (|X −10| 2, 5) = 1−P (10−2, 5 < X < 10+2, 5) =
12,5
1
1
=1−
dx = 1 − (12, 5 − 7, 5) = 0, 75
20
7,5 20
25
25 1
+∞
1 2
= 15
xf (x)dx = x dx = x

b) E(X) =
20
40 5
−∞
5
25
25
25
1
2
2
2 1
2
− 225 = 33, 33
V (X) = x f (x)dx − (E(X)) = x
dx − 15 =
20
60 5
5
5
a)

Bài 2.43. biến ngẫu nhiên phân phối đều


k
f (x) =
0

;

x ∈ (a; b)

;

x ∈ (a; b)
/

a) Do f(x) là hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiªn nª +f (x)

b

+∞

1
>0
b−a
a
−∞
b
+∞
1
a+b
1
x2 b
xf (x)dx = x
b) E(X) =
=
dx =
·

a
b−a
b−a 2
2
a
−∞
b
+∞
1
a+b 2
2
2
x f (x)dx − (E(X)) = x2
dx −
V (X) =
b−a
2
a
−∞
+

1=

f (x)dx =

kdx = kx

b
a

= k(b − a) ⇒ k =

0, ∀x ⇒ k

0


11

longtkt.tk

x3
=
3(b − a)

c)

b
a

(b − a)2
(a + b)2
=
4
12

 0


x − a

F (x) =
b − a


 1

−

;
;

x

a

x ∈ (a; b)
;

x

b

Bµi 2.44


Csin2x
f (x) =
0

;

;

x ∈ (0; π/2)
x ∈ (0; π/2)
/

Do f(x) lµ hµm mật độ xác suất của 1 biến ngẫu nhiên nên
+

f (x)
+∞

+

0, ∀x ⇒ Csin2x
π/2

f (x)dx =

1=
−∞

0

0, ∀x ∈ (0; π/2) ⇒ C 0
π/2
C
=C⇒C=1
Csin2xdx = − cos2x
2

0

Bµi 2.45

f (x) =

k
; (−∞ < x < +∞)
ex + e−x

Do f(x) lµ hµm mËt độ xác suất của 1 biến ngẫu nhiên nên
+

f (x)
+

+

0, ∀x ⇒

k
ex + e−x
+∞

f (x)dx =

1=
−∞

2

⇒k=
π

−∞

0, ∀x ⇒ k

0

+∞ d(ex )
k
dx = k
= karctg(ex )
x + e−x
2x + 1
e
−∞ e

+∞
−∞

π
= k( 0)
2

Bài 2.46

Gọi X là số tiền công ty bảo hiểm nhận được khi bán 1 thẻ bảo hiểm.
X có bảng phân phối xác suất như sau:
X

10000

-990000

P

0,995

0,005

Lợi nhuận trung bình khi bán 1 thẻ bảo hiểm là

E(X) = 10000.0, 995 990000.0, 005 = 5000 đồng
Bài 2.47

a) Xác suất để giá đường vào 1 ngày nào đó ít nhất 0,8 (USD/fao) lµ

P (X

0, 8) = P (X = 0, 8) + P (X = 0, 81) + P (X = 0, 82) + P (X = 0, 83)


12

longtkt.tk

= 0, 25 + 0, 4 + 0, 15 + 0, 05 = 0, 85
b) Xác suất để giá đường vào 1 ngày nào đó thấp hơn 0,82 (USD/fao) là

P (X < 0, 82) = P (X = 0, 78) + P (X = 0, 79) + P (X = 0, 80) + P (X = 0, 81)
= 0, 05 + 0, 1 + 0, 25 + 0, 4 = 0, 8
X1 , X2
có bảng phân phối xác suất giống như X. Ta cần tìm xác suất P (X1 > 0, 8; X2 > 0, 8).
P (Xi > 0, 8) = P (X > 0, 8) = P (X 0, 8) − P (X = 0, 8) = 0, 85 0, 25 = 0, 6

c) Gọi

X1 , X2

lần lượt là giá đường của ngày thứ nhất và ngày thứ hai. Khi ®ã

P (X1 > 0, 8; X2 > 0, 8) = P (X1 > 0, 8).P (X2 > 0, 8) = 0, 6.0, 6 = 0, 36
Bµi 2.48

m0 = 2
b) E(X) = −2.0, 1 − 1.0, 1 + 0.0, 2 + 1.0, 2 + 2.0, 3 + 3.0, 1 = 0, 8 > 0
a) Mức lợi nhuận có khả năng nhiều nhất khi đầu tư vào dự án đó là

Đầu tư vào dự án đó có hiệu quả.

V (X) hoặc độ lệch chuẩn X
V (X) = (2)2 .0, 1 + (−1)2 .0, 1 + 02 .0, 2 + 12 .0, 2 + 22 .0, 3 + 32 .0, 1 − 0, 82 = 2, 16
σx = V (X) = 1, 47
c) Đo mức độ rủi ro bằng phương sai

Bài 2.49

Từ bảng phân phối xác suất ta tìm được

E(XA ) = −500.0, 2 − 100.0, 3 + 100.0, 2 + 500.0, 2 + 700.0, 1 = 60
V (XA ) = (−500)2 .0, 2+(−100)2 .0, 3+1002 .0, 2+5002 .0, 2+7002 .0, 1−602 = 150400
√
σA = V (XA ) = 150400 = 387, 81
E(XB ) = −200.0, 1 + 50.0, 6 + 100.0, 3 = 40
V (XB ) = (−200)2 .0, 1 + 502 .0, 6 + 1002 .0, 3 − 402 = 6900
√
σB = V (XB ) = 6900 = 83, 06
a) Nếu đầu tư 10 triệu đồng thì lợi nhuận kì vọng khi đầu tư vào công ty A và công ty B
lần lượt là

E1 = E(10XA ) = 10E(XA ) = 10.60 = 600 (ngµn)
E2 = E(10XB ) = 10E(XB ) = 10.40 = 400 (ngµn)
b)

387, 81
σA
.100% =
.100% = 646, 36%
E(XA )
60
σB
83, 06
CVB =
.100% =
.100% = 207, 7%
E(XB )
40

CVA =

13

longtkt.tk

Như vậy đầu tư vào công ty A rủi ro cao hơn.
Bài 2.50

Gọi (triệu đồng) là số tiền luật sư nhận được theo phương án 2 và p là khả năng thắng
kiện (do luật sư đánh giá) của phương án này.
X

15

P

0,1

p

1-p

Ta tìm được

E(X) = 15.p + 0, 1.(1 p) = 14, 9p + 0, 1
Do luËt s­ ®· chän phương án 2 nên theo đánh giá của luật sư thì phương án 2 có lợi
nhuận trung bình cao hơn phương án 1 nhận 5 triệu. Nghĩa là

E(X)

5 14, 9p + 0, 1

5p

0, 329

Luạt sư đánh giá khả năng thắng kiện tối thiểu là 0,329.
Bài 2.51

Gọi X là số tiền phải bồi thường cho 1 khách hàng do mất hành lý
X có bảng phân phối xác suất như sau:
X

600

P

0

0,005

0,995

E(X) = 600.0, 005 + 0.0, 995 = 3 (ngàn đồng)
giá vé phả tăng thêm 3 ngàn đồng
Bài 2.52

a)

P (4

X

7) = P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) + P (X = 7) =

0, 3 + 0, 1 + 0, 1 + 0, 05 = 0, 55
b)

F (x) =


0





0, 2





0, 4






0, 7

0, 8





0, 9





0, 95





1

;

x

2

;

2
3

;

3
4

;

4
5

;

5
6

;

6
7

;
;

7x>1

8


14

longtkt.tk

c) P (X 6) = P (X = 6) + P (X < 6) = P (X = 6) + F (6) = 0, 1 + 0, 8 = 0, 9
Hc P (X 6) = P (X < 7) = F (7) = 0, 9
d) m0 = 4
e) Sè thuyÒn trung bình đóng được trong 1 tháng là
E(X) = 2.0, 2 + 3.0, 2 + 4.0, 3 + 5.0, 1 + 6.0, 1 + 7.0, 05 + 8.0, 05 = 4, 05

Chi phí bình quân hàng tháng là
P = 25 + 5E(X) = 25 + 5.4, 05 = 45, 25 (triệu đồng)
Bài 2.53

a) P (X 4) = 1 P (X > 4) = 1 − P (X = 5) − P (X = 6) = 1 − 0, 1 0, 1 = 0, 8
b) Số sản phẩm mà người công nhân đó phải làm bù trong 1 tháng nào đó là X 2
Số sản phẩm phải làm bù bình quân mỗi tháng là
E(X 2 ) = 02 .0, 01 + 12 .0, 09 + 22 .0, 3 + 32 .0, 2 + 42 .0, 2 + 52 .0, 1 + 62 .0, 1 = 12, 39
Bµi 2.54

a) P (X 4) = P (X = 4) + P (X = 5) = 0, 3 + 0, 1 = 0, 4
b) Chi phí cho hoạt động của đại lý trong 1 tuần là Y = E(X).3

E(Y ) = 3E( E(X)) = 3(0.0, 1+1.0, 1+ 2.0, 2+ 3.0, 2+2.0, 3+ 5.0, 1) = 4, 66

Chi phí trung bình mỗi tuần là 4,66 triƯu
Bµi 2.55

a) E(X) = 400.0, 05 + 500.0, 15 + 600.0, 41 + 700.0, 34 + 800.0, 04 + 900.0, 01 = 620
V (X) = 4002 .0, 05 + 5002 .0, 15 + 6002 .0, 41 + 7002 .0, 34 + 8002 .0, 04 + 9002 .0, 01−
−6202 = 9000
√
σX = V (X) = 9000 = 94, 8683

b) NÕu cửa hàng đặt mua 600 chiếc thì xác suất bán hÕt lµ
P (X

600) = 1−P (X < 600) = 1−P (X = 400)−P (X = 500) = 1−0, 05−0, 15 = 0, 8

Xác suất còn thừa lại là
P (X < 600) = 1 − P (X

600) = 1 − 0, 8 = 0, 2

c) Để chắc chắn tới 95% sẽ đủ bánh bán thì cửa hàng phải đặt mua a c¸i b¸nh tháa m·n
P (X

a) = 0, 95 ⇔

i:i a

P (i) = 0, 95 ⇔ i = 700


15

longtkt.tk

Cửa hàng phải đặt ít nhất là 700 chiếc bánh.
Bài 2.56

Gọi X (ngàn đồng) là số tiền lÃi nhận được khi mua 1 vé số. X có bảng phân phối xác
suất như sau:
X
P

49995

4995,0

20
900000

995,00

150
900000

-5,0000

1600
900000

898230
900000

Số tiền lÃi trung bình là

E)X) =

1
(49995.20 + 4995.150 + 995.1600 − 5.898230) = −1, 278
900000

Cø mua 1 vé số thì trung bình lỗ 1278 (đồng)
Bài 2.57

Gọi X là lÃi suất khi đem tiền đầu tư vào công ty
x là biến ngẫu nhiên liên tục phân phối theo quy luật đều trên đoạn [4;14]
Ta cần tìm xác suất

P (X > 8)

Do X phân phối đều trên đoạn [4;14] nên nó có hàm mật độ xác suất dạng


0
f (x) =
 1
14 − 4

;
;

+∞

⇒ P (X > 8) =

x ∈ [4; 14]
/
x ∈ [4; 14]
14

f (x)dx =
8

14

x
1
dx =
10
10

= 0, 6
8

8

Bµi 2.58

Gäi i lµ sè kg thùc phÈm nhËp vµo và j là số kg thực phẩm theo nhu cầu.
Lợi nhuận hàng ngày phụ thuộc vào i, j, giá bán (4), giá mua (2,5) và giá bán nếu bị ế
(1,5) nh­ sau:

LNi,j


4j − 2, 5i + 1, 5(i − j)
=
4i − 2, 5i = 1, 5i

;

j

i

;

j>i


16

longtkt.tk

Khi đó ta có bảng lợi nhuận như sau:
j

30

31

32

33

34

35

Ei

Pj

0,15

0,2

0,35

0,15

0,1

0,05

(ngàn)

30

45

45

45

45

45

45

45

31

44

46,5

46,5

46,5

46,5

46,5

46,125

32

43

45,5

48

48

48

48

46,75

33

42

44,5

47

49,5

49,5

49,5

46,5

34

41

43,5

46

48,5

51

51

45,875

35

40

42,5

45

47,5

50

52,5

45

i

Trong đó

Ei

là sè tiỊn l·i k× väng khi nhËp i kg thùc phẩm

35

LNi,j .Pj

Ei =
i=30

Như vậy để có lÃi nhiều nhất thì nên nhập 32 kg thực phẩm.
Bài 2.59


x
xm e
m!
f (x) =

0

;

x
;

0

x<0

Sử dơng hµm Gamma ta cã

+∞

xn e−x dx = n!
0
+∞

E(X) =
−∞

+∞
2

V (X) =

+∞

1

xf (x)dx =
m!

xm+1 e−x dx =
0
+∞

2

x f (x)dx−[E(X)] =
−∞

1
(m + 1)! = m + 1
m!

(m + 2)!
xm+2 e−x
dx−[E(X)]2 =
−(m+1)2 = m+
m!
m!

0

Bµi 2.60


3


1 − x0
x3
F (x) =

 0


 3x3
 0
′
⇒ f (x) = F (x) = x4

 0

;

x
;

x0

; x0 > 0

x < x0
;

x
;

x0

x < x0


17

longtkt.tk

+∞

E(X) =

+∞

xf (x)dx =
−∞

x0

+∞

−∞

Bµi 2.61

+∞
2

V (X) =

3x3

3x3
0
0
x 4 dx = − 2
x
2x

3
2 3x0
x 4 dx
x

2

x f (x)dx − [E(X)] =

x0

+∞

=
x0

3x3
9x2
0
−
=− 0
4
x

3x0
2
+∞
x0

9x2
3x2
0
−
= 0
4
4

GT

Bµi 2.62

Gäi A = "trong 3 giÊy lÊy ra cã Ýt nhÊt 1 giÊy ghi sai"

Ai

= "giÊy lÊy ra thø i bÞ ghi sai" (i=1,2,3)

Ta cã

P (A) = 1 − P (A) vµ A = A1 A2 A3

3 2 1
P (A) = P (A1 A2 A3 ) = P (A1 )P (A1 /A2 )P (A3 /A1 A2 ) = · · = 0, 1

5 4 3
⇒ P (A) = 1 − 0, 1 = 0, 9
Bµi 2.63

Gäi X lµ sè giÊy ghi sai trong 3 giÊy rót ra

→ X = 0; 1.2

P (X = 0) = P (A) = 0, 1
P (X = 2) = P (A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 )

= P (A1 )P (A2 /A1 )P (A3 /A1 A2 ) + P (A1 )P (A2 /A1 )P (A3 /A1 A2 )
+P (A1 )P (A2 /A1 )P (A3 /A1 A2 )
2 1 3 2 3 1 3 2 1
= · · + · · + · · = 0, 3
5 4 3 5 4 3 5 4 3
P (X = 1) = 1 − 0, 1 − 0, 3 = 0, 6
X

0

1

2

P

0,1

0,6

0,3

E(X) = 0.0, 1 + 1.0, 6 + 2.0, 3 = 1, 2
Số tiền thiệt hại trung bình có thể xảy ra đối với công ty do phải trả nợ quá hạn là

T = E(5X) = 5E(X) = 5.1, 2 = 6 (triệu đồng)
Bài 2.64


0
f (x) =
100/x2

;
;

x

100

x > 100

Xác suất để để 1 van điện bất kì bị hỏng (phải thay thế) trong 150 giờ hoạt động đầu tiên


18

longtkt.tk

là

150

P (X

150) =

150

100
100
dx =
x2
x

f (x)dx =


100

150

=
100

1
3

Bài toán thỏa mÃn lược đồ Bernoulli với n=5; p=1/3

+ Coi việc hoạt dộng của mỗi van điện là 1 phép thử

có 5 phép thử độc lập

+ Trong mỗi phép thử chỉ quan tâm tới việc van điện hỏng trước 150 giờ (biến cố A) hay
không (A)
+ trong mỗi phép thử

P (A) = 1/3; P (A) = 2/3

Xác suất để có 2 trong số 5 van điện bị hỏng trong 150 giờ hoạt động đầu tiên là:

2
P5 (2) = C5 .(1/3)2 .(2/3)3 = 0, 3292
Bài 2.65


kex/100
f (x) =
0

Tìm k:

+

1=

f (x)dx =

ke

;

x<0

x/100

dx = −100ke

0

P (50 < X < 150) =

0

= 100k ⇒ k = 1/100

150
1 −x/100
dx
100 e

f (x)dx =
50
−1/2

=e

P (X < 100) = 1 − P (X
=1−

0

+∞
−x/100

100

b)

x

+∞

−∞
a)

;

50
−3/2

−e

≈ 0, 3834

100) = 1 −

+∞
e−x/100 100

= −e−x/100

+∞

100
−1

=1−e

f (x)dx = 1 −

150
50

+∞
1 −x/100
dx
100 e
100

= 0, 6321

Bµi 2.66

a) Nếu đầu tư vào ngành A thì mức lÃi kì väng lµ

E(XA ) = 20.0, 3 + 80.0, 5 + 120.0, 2 = 70 (triệu)
Nếu đầu tư vào ngành B thì mức lÃi kì vọng là

E(XB ) = 30.0, 3 + 100.0, 5 + 140.0, 2 = 69
Như vậy đầu tư vào ngành A sẽ có mức lÃi kì vọng cao hơn.
b) Mức độ rủi ro khi đầu tư là

V (XA ) = 202 .0, 3 + 802 .0, 5 + 1202 .0, 2 − 702 = 1300


19

longtkt.tk

V (XB ) = (−30)2 .0, 3 + 1002 .0, 5 + 1402 .0, 2 − 692 = 4429
§é rđi ro của ngành A thấp hơn !!!
Bài 2.67

ã Nếu chọn hình thức 1: Gọi X1 là số điểm có thể đạt được X1 = 0; 5; 10
P (X1 = 0) = 0, 25.0, 25 = 0, 0625
P (X1 = 10) = 0, 75.0, 75 = 0, 5625
P (X1 = 5) = 1 − 0, 0625 − 0, 5625 = 0, 375
E(X1 ) = 0.0, 0625 + 5.0, 375 + 10.0, 5625 = 7, 5
ã Nếu chọn hình thức 2: Gọi X2 là ố điểm có thể đạt được X2 = 0; 5; 15
P (X2 = 0) = 0, 25
P (X2 = 5) = 0, 75.0, 25 = 0, 1875
P (X2 = 15) = 0, 75.0, 75 = 0, 5625
E(X2 ) = 0.0, 25 + 5.0, 1875 + 15.0, 5625 = 9, 375

Chọn hình thức 2 để số điểm đạt được trung bình cao hơn.
Bài 2.68

Câu hỏi: Có nên thuê thêm 1 công nhân nữa hay không?

a) Nếu 5 người công nhân cũ chỉ đồng ý làm đúng 40 giờ/tuần

ã Nếu không thuê thêm công nhân: Gọi Y là lợi nhuận thu được
Y = 30X 5.800 = 30X 4000
Số giờ tối đa mà cửa hàng đáp ứng được là 5.40=200 giờ.
Khi đó ta có bảng phân phèi x¸c st cđa Y nh­ sau:
Y

1550

1850

2000

P

0,03

0,09

0,88

⇒ E(Y ) = 1550.0, 03 + 1850.0, 09 + 2000.0, 88 = 1973 (nghìn)
ã Nếu thuê thêm 1 công nhân: Gọi Z là lợi nhuận thu được
Z = 30X 6.800 = 30X 4800
Số giờ tối đa mà cửa hàng đáp ứng được là 6.40=240 giờ.
Khi đó ta có bảng phân phối x¸c st cđa Z nh­ sau:
Z

750

1050

1350

P

0,03

0,09

0,12

1650

1950

0,15

0,22

2250
0,21

2400
0,18

E(Z) = 750.0, 03 + 1050.0, 09 + 1350.0, 12 + 1650.0, 15 + 1950.0, 22 + 2250.0, 21+

20

longtkt.tk

+2400.0, 18
= 1860 (nghìn)
Như vậy chủ cửa hàng không nên thuê thêm 1 công nhân nữa.
b)

ã Nếu không thuê thêm công nhân: Gọi T là lợi nhuận thu được

30X 4000
;
⇒T =
30X − 4000 − 25(X − 200) = 5X + 1000
;

X

200

X > 200

Trong đó X là số giờ theo nhu cầu, 4000 (ngàn) là lương cứng của 5 công nhân, (X-200)
là số giờ làm thêm phải trả lương 25 ngàn/giờ.
Số giờ tối đa mà cửa hàng đáp ứng được là 5.40+5.5=225 giờ
Khi đó ta có bảng phân phối xác suÊt cña Y nh­ sau:
T

1550

1850

2025

P

0,03

0,090

2075

0,120

0,150

2112,5

2125

0,110

0,50

⇒ E(T ) = 1550.0, 03+1850.0, 09+2025.0, 12+2075.0, 15+2112, 5.0, 11+2125.0, 5
= 2062, 125 (ngàn)
ã Nếu thuê thêm 1 công nhân: Gọi S là lợi nhuận thu được

30X 4800

S=
30X 4800 25(X 240) = 5X + 1200

;

X
;

240

X > 240

Số giờ tối đa mà cửa hàng đáp ứng được là 6.40+5.5=265 giờ
Khi đó ta có bảng phân phối xác suất của S như sau:
S

750

1050

1350

P

0,03

0,09

0,12

1650

1950

0,15

0,22

2250
0,21

2425

2475

0,13

0,05

E(S) = 750.0, 03 + 1050.0, 09 + 1350.0, 12 + 1650.0, 15 + 1950.0, 22 + 2250.0, 21+
+2425.0, 13 + 2475.0, 05
= 1867 (ngàn)
Như vậy không nên thuê thêm 1 công nhân.
Xét chung cả 4 trường hợp thì cách không thuê thêm người mới và để 5 công nhân cũ
làm thêm giờ là có lợi cho ông chủ cửa hàng nhất.
Thứ tự do ông chủ sắp xếp: T > Y > S > Z !!!⌣!!!
Bµi 2.69


 √ 1


f (x) = π a2 − x2

 0
;

;

x ∈ (−a; a)
x ∈ (−a; a)
/


21

longtkt.tk

a

+∞

E(X) =

f (x)dx =
−∞

−a

x
1

√
dx = arcsin
π
a
π a2 − x2
1

a

=1
−a

Bµi 2.70

F (x) =

a)







0

1 1
x
+ arcsin
2 π

2



1

;

x
;

−2

−2 < x

;

2

x>2

1 1
1
1 1
−1
P (−1 < X < 1) = F (1) − F (−1) = [ + arcsin ] − [ + arcsin ]
2 π
2
2 π
2

1 π −π
1
= [ −
]=
π 6
6
3

b) Tõ bµi 2.69, víi a=2 ta cã

f (x) = F ′ (x) =

Bµi 2.73





0
 √1

π 4 − x2

;

x ∈ (−2; 2)
/
;

x ∈ (−2; 2)

Gọi a là giá vé cần quy định để giải thưởng trung bình cho mỗi vé bằng nửa giá vé.

n

m i ki

Tổng tiền thưởng là

i=1
Khi đó a thỏ mÃn

n

n

m i ki
i=1

N

a
= ⇔a=
2

m i ki

2
i=1

N