chuyen de phương trình lượng giác (DH)

Tài liệu ôn thi đại học 2011 – 2012 Chuyên đề PTLG VQT 1
Tài liệu ôn thi đại học 2011 – 2012 Chuyên đề PTLG VQT 2
Tài liệu ơn thi đại học 2011 – 2012 Chun đề PTLG VQT 3
Các công thức thường dùng khác:

cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
π π
α α α α
π π
α α α α
+ = − = +
− = + = − −

8
4cos35
sincos
4
4cos3
sincos
66
44
α
αα
α
αα
+
=+
+

=+

B. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
Các bước giải một phương trình lượng giác
Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghóa
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)
Bước 4: Kết luận
Phương trình cơ bản: ( Quan trọng ) Các trường hợp đặc biệt:


( u; v là các biểu thức chứa ẩn và
Zk
∈
)
Một số PTLG đơn giản
1. Phương trình bậc 2 đối với một HSLG.
Dạng: Cách giải:
2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos:
Dạng :
cos sin (1) ( a;b 0)a x b x c
+ = ≠
Cách giải:
2 2 2
Pt acosx + bsinx = c có nghiệm a b c
⇔ + ≥



Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx)

Ta được phương trình :
2
0at bt c+ + =
(1)
Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x
Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
phụ (nếu có)
Tài liệu ơn thi đại học 2011 – 2012 Chun đề PTLG VQT 4
3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin và cos
Dạng:
2 2
sin sin .cos cos (a;c 0)a x b x x c x d+ + = ≠
Cách giải:
Cách 1: Cách 2:
4. Phương trình đối xứng đối với sin và cos
Dạng:
(cos sin ) sin .cos 0a x x b x x c+ + + =
Cách giải:
• Đặt
cos sin 2 cos( ) với - 2 2
4
t x x x t
π
= + = − ≤ ≤
Do
2
2
t 1
(cos sin ) 1 2sin .cos sinx.cosx=
2

x x x x
−
+ = + ⇒
• Thay vào (1) ta được phương trình :

2
1
0
2
t
at b c
−
+ + =
(2)
• Giải (2) tìm t . Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt:
2 cos( )
4
x t
π
− =
tìm x.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Giải phương trình sau:
1.)
2
cos4 12sin 1 0x x+ - =
11.)
tan 3cot 4(sin 3 cos )x x x x- = +
2.)
5 3

4cos cos 2(8sin 1)cos 5
2 2
x x
x x+ - =
12.)
2 2
tan sin 2sin 3(cos2 sin cos )x x x x x x- = +
3.)
2
(1 2sin ) cos 1 sin cosx x x x+ = + +
13.)
4 6
cos cos2 2sin 0x x x- + =
4.)
sin3 3 cos3 2sin2x x x- =
14.)
2 2
3cot 2 2sin (2 3 2)cosx x x+ = +
5.)
2
1 sin2 cos2
2 sin sin2
1 cot
x x
x x
x
+ +
=
+
15.)

5 7
sin 2 3cos 1 2sin
2 2
x x x
p p
ỉ ư ỉ ư
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
+ - - = +
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
6.)
sin2 cos sin cos cos2 sin cosx x x x x x x+ = + +
16.)
cos (cos 2sin ) 3sin (sin 2)
1
sin2 1
x x x x x
x
+ + +
=
-
7.)
sin2 2cos sin 1
0

tan 3
x x x
x
+ - -
=
+
17.)
1 tan (1 tan )(1 sin2 )x x x+ = - +
8.)
sin2 cos2 3sin cos 1 0x x x x- + - - =
18.)
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x
p
ỉ ư
÷
ç
÷
- - =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
9.)
(sin2 cos2 )cos 2cos2 sin 0x x x x x+ + - =

19.)
3 tan 1(sin 2cos ) 5(sin 3cos )x x x x x+ + = +
10.)
(1 sin cos2 )sin
4
1
cos
1 tan
2
x x x
x
x
p
ỉ ư
÷
ç
+ + +
÷
ç
÷
ç
÷
è ø
=
+
20.)
3 4cos2 2cosx x+ =
p dụng công thức hạ bậc :
2 2
1 cos2 1 cos2

sin và cos
2 2
x x
x x
− +
= =
và
công thức nhân đôi :
1
sin .cos sin2
2
x x x=

thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3
Tài liệu ôn thi đại học 2011 – 2012 Chuyên đề PTLG VQT 5
21.)
sin cos sin cos 2x x x x- + + =
28.)
2
cos (cos 1)
2(1 sin )
sin cos
x x
x
x x
-
= +
+
22.)
sin2 2 2 cos 2sin 3 0

4
x x x
p
æ ö
÷
ç
÷
+ + + + =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
29.)
cos (cos 2sin ) 3sin (sin 2)
1
sin2 1
x x x x x
x
+ + +
=
-
23.)
3 3 5 5
sin cos 2(sin cos )x x x x+ = +
30.)
cos3 1 3sin3x x= -
24.)
2

4
4
(2 sin 2 )sin3
tan 1
cos
x x
x
x
-
+ =
31.)
3 3
sin sin cos 1 cosx x x x+ = -
25.)
6 6
2(cos sin ) sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
+ -
=
-
32.)
3 3
cos sin sin2 sin cosx x x x x+ = + +
26.)
cot sin 1 tan tan 4
2
x

x x x
æ ö
÷
ç
÷
+ + =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
33.)
2
cos (cos 1)
2(1 sin )
sin cos
x x
x
x x
-
= +
+
27.)
4sin 2cos 2 3tanx x x+ = +
Phương trình lượng giác trong các đề thi đại học từ năm 2002-2009
Bài 1: Giải phương trình
a)
3 cos5x - 2sin3x cos2x - sin x 0
=

(KD-09)
b) 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx (KD-08)
c)
2
x
sin c 3c
2
x
os osx=2
2
 
+ +
 ÷
 
(KD-07)
d) cos3x + cos2x − cosx − 1 = 0 (KD-06)
e)
4
3
c x sin x c sin 3x 0
4 2
4
os os x-
4
π π
   
+ + − − =
 ÷  ÷
   
(KD-05)

f) (2cosx −1)(2sinx + cosx) = sin2x − sinx (KD-04)
g)
2 2
x x
sin tan x c 0
2 4 2
2
os
π
 
− − =
 ÷
 
(KD-03)
Bài 2: Tìm x thuộc đoạn
[ ]
0;14
nghiệm đúng phương trình: cos3x − 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 (KD-02)
Bài 3: Giải phương trình
a) sinx + cosxsin2x +
( )
3c x
3
os3x=2 cos4x+sin
(KB-09)
b)
3 2
sin x 3c x s x 3sin xc
3 2
os inxcos osx

− = −
(KB-08)
c)
2
2sin 2x sin 7x 1 s i nx
+ − =
(KB-07)
d) cotx + sinx(1 + tanx
tan
2
x
) = 4 (KB-06)
e) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 (KB-05)
f) 5sinx − 2 = 3(1 − sinx)
2
tan x
(KB-04)
g)
c
2
otx-tanx+4sin2x=
sin2x
(KB-03)
h)
2 2
sin 3x c 4x sin 5x c 6x
2 2
os os− = −
(KB-02)
Bài 4: Giải phương trình

a)
( )
( ) ( )
1 2s c
3
1 2s 1 sin
inx osx
inx x
−
=
+ −
(KA-09)
b)
1 1 7
4sin x
3
s 4
sin x
2
inx
π
 
+ = −
 ÷
π
 
 
−
 ÷
 

(KA-08)
c)
( ) ( )
2
1 sin x c x s
2
osx+ 1+cos inx=1+sin2x
+
(KA-07)
Tài liệu ôn thi đại học 2011 – 2012 Chuyên đề PTLG VQT 6
d)
( )
6
2 sin x c x s
0
2 2s
6
os inxcosx
inx
+ −
=
−
(KA-06)
e)
c 3xc x 0
3 2
os os2x-cos
=
(KA-05)
f)

2
1
c sin x sin 2x
2
cos2x
otx-1=
1+tanx
+ −
(KA-03)
Bài 5: Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2
π
) của phương trình:
5 s c
1 2sin 2x
cos3x+sin3x
inx+ os2x+3
 
=
 ÷
+
 
(KA-02)