Toán tử tích phân và cơ sở sóng nhỏ trên một số không gian hàm_luận án tiến sĩ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI






Đào Văn Dƣơng





TOÁN TỬ TÍCH PHÂN VÀ CƠ SỞ SÓNG NHỎ
TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM





LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC




HÀ NỘI – 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI

Đào Văn Dƣơng




TOÁN TỬ TÍCH PHÂN VÀ CƠ SỞ SÓNG NHỎ
TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM

Chuyên ngành: Phƣơng trình vi phân và tích phân
Mã số : 62 46 01 03


LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC



NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH. Nguyễn Minh Chƣơng




HÀ NỘI – 2013
1
Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng
dẫn khoa học của Giáo sư Nguyễn Minh Chương. Các kết quả viết chung
với người hướng dẫn đã được sự nhất trí của người hướng dẫn khi đưa
vào luận án. Các kết quả của luận án đều là mới và chưa từng được công
bố trong bất kỳ công trình khoa học của ai khác.
Tác giả
Đào Văn Dương
2
Lời cảm ơn
Luận án này được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán - Tin, Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc
của Giáo sư Nguyễn Minh Chương. Thầy hướng dẫn và truyền đạt cho
tác giả những kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học và cả những
điều thật quý báu trong cuộc sống. Sự động viên, tin tưởng của Thầy là
một trong những động lực để tác giả hoàn thành luận án. Nhân dịp này,
tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án, tác giả luôn nhận
được sự động viên, hướng dẫn của các Thầy trong Khoa Toán - Tin,
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là Bộ môn Giải tích. Tác giả
xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của các Thầy.
Trong quá trình học tập và hoàn thành luận án, tác giả cũng nhận
được sự giúp đỡ, góp ý của GS.TSKH. Đỗ Ngọc Diệp, GS.TSKH. Nguyễn
Mạnh Hùng, PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn, TS. Trần Đình Kế, TS. Cung Thế
Anh. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ của các Thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô giáo cùng các anh chị
em NCS, Cao học trong Xêmina "Toán tử giả vi phân, sóng nhỏ trên
3
các trường thực, p-adic" do Giáo sư Nguyễn Minh Chương chủ trì, Viện
Toán học, và Xêmina của Bộ môn Giải tích, Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội, đã động viên, giúp đỡ tác giả trong nghiên cứu cũng như trong

cuộc sống.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội, Phòng đào tạo Sau đại học cùng toàn thể cán bộ, công
nhân viên Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận
lợi cho tác giả trong quá trình thực hiện luận án.
Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các Thầy, Cô trong
khoa Toán Trường Đại học Quy Nhơn cũng như các Thầy ở Viện Toán
học đã tham gia giảng dạy cao học, khóa 7, Đại học Quy Nhơn, đã truyền
đạt cho tác giả những kiến thức toán học hữu ích.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Xây dựng Miền Trung,
nơi tác giả đang công tác, đã tạo điều kiện thuận lợi về mọi mặt để tác
giả yên tâm hoàn thành luận án.
Tác giả chân thành cảm ơn các bạn bè, đồng nghiệp gần xa, đặc biệt
là cha mẹ, vợ và con trai cùng những người thân trong gia đình, đã giúp
đỡ, động viên tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận án.
Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Tác giả
Đào Văn Dương
4
MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT
Ký hiệu Diễn giải
N : Tập hợp các số tự nhiên
Z : Tập hợp các số nguyên
Q : Trường các số hữu tỷ
R : Trường các số thực
R
n
: Không gian véctơ n chiều trên trường R
Q
p

: Trường các số p-adic, với p là số nguyên tố
Q
n
p
: Không gian véctơ n chiều trên trường Q
p
I
p
: Tập hợp các phần phân thức của số p-adic
Z
p
: Hình cầu đơn vị trong Q
p
Z
∗
p
: Tập hợp các phần tử của Z
p
khác không
I
n
p
: Tích Descartes của n tập I
p
B
γ
(a), B
γ
: Hình cầu tâm a, tâm 0, bán kính p
γ

S
γ
(a), S
γ
: Mặt cầu tâm a, tâm 0, bán kính p
γ
|x|
p
: Chuẩn của một phần tử x trong Q
n
p
L
q
(R
n
), L
q
(Q
n
p
) : Tập các hàm khả tích bậc q trên R
n
, trên Q
n
p
L
q
loc
(Q
n

p
) : Tập các hàm khả tích địa phương bậc q trên Q
n
p
L
1
loc
(R
n
) : Tập các hàm khả tích địa phương trên R
n
B
α,q

(R
n
) : Không gian Besov trên R
n
BMO(R
n
) : Không gian BMO trên R
n
H

(R
n
) : Không gian Hardy trên R
n
5
V MO(R

n
) : Không gian VMO trên R
n
B
α,q
,k
(R
n
) : Không gian Besov có trọng trên R
n
BMO
k
(R
n
) : Không gian BMO có trọng trên R
n
F
α,β
r,q
(Q
n
p
) : Không gian Triebel-Lizorkin trên Q
n
p
K
α
,q
(Q
n

p
) : Không gian Herz trên Q
n
p
M
λ
q
(Q
n
p
) : Không gian Morrey trên Q
n
p
MK
α
,q
(Q
n
p
) : Không gian Morrey-Herz trên Q
n
p
D(Q
n
p
) : Tập các hàm hằng địa phương có giá compact trên Q
n
p
D


(Q
n
p
) : Tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Q
n
p
)
Ff : Biến đổi Fourier của hàm f trên trường số p-adic
χ : Hàm đặc trưng cộng tính trên trường số p-adic
U
ψ
: Toán tử Hardy-Littlewood có trọng
V
ψ
: Toán tử Cesàro có trọng
[b, U
ψ
] , [b, V
ψ
] : Giao hoán tử của toán tử U
ψ
, V
ψ
với hàm b
MRA : Xấp xỉ đa phân giải (Multiresolution Analysis)
BMO : Bounded Mean Oscillation
VMO : Vanishing Mean Oscillation
6
Mục lục
Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2
Bảng ký hiệu 4
MỞ ĐẦU 8
Chương 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ SỞ 18
1.1 Không gian Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 Tích chập và biến đổi Fourier trên trường thực . . . . . . 20
1.3 Trường số p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Độ đo và tích phân trên trường số p-adic . . . . . . . . . 25
1.5 Biến đổi Fourier và tích chập p-adic . . . . . . . . . . . . 27
1.6 Các định lý nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Chương 2. TOÁN TỬ TÍCH PHÂN SÓNG NHỎ TRÊN
MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM 34
2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7
2.2 Toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov,
BMO và Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov,
BMO có trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Chương 3. TOÁN TỬ TÍCH PHÂN HARDY-LITTLEWOOD
CÓ TRỌNG TRÊN TRƯỜNG P-ADIC 56
3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Toán tử Hardy-Littlewood có trọng trên không gian Triebel-
Lizorkin trên trường p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Toán tử Hardy-Littlewood có trọng trên không gian Morrey-
Herz trên trường p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4 Giao hoán tử của toán tử Hardy-Littlewood có trọng trên
không gian Morrey-Herz trên trường p-adic . . . . . . . . 78
Chương 4. TOÁN TỬ TÍCH PHÂN VLADIMIROV VÀ
CƠ SỞ SÓNG NHỎ P-ADIC TRONG L
r

(Q
n
p
) 87
4.1 Toán tử tích phân Vladimirov và sóng nhỏ p-adic . . . . 88
4.2 Cơ sở sóng nhỏ không điều kiện gồm các hàm riêng của
toán tử D
α
trong không gian L
r
(Q
n
p
) . . . . . . . . . . . 96
4.3 Cơ sở Greedy trong không gian L
r
(Q
n
p
) . . . . . . . . . . 110
Kết luận và kiến nghị 116
Danh mục công trình công bố 118
Tài liệu tham khảo 119
8
MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Trong khoảng 20 năm trở lại đây, lý thuyết sóng nhỏ xuất hiện và phát
triển rất mạnh. Lý thuyết này đang là một công cụ rất có hiệu lực để
giải quyết nhiều bài toán quan trọng trong Vật lý toán nói riêng và trong
Khoa học, Công nghệ nói chung (xem trong các công trình [8], [21], [22],

[36], [49], [50], [51], ). Nhờ lý thuyết sóng nhỏ, người ta nghiên cứu lý
thuyết toán tử (đặc biệt là lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị Calderón-
Zygmund hay lý thuyết toán tử giả vi phân) và lý thuyết các không gian
phiếm hàm, từ đó đã tìm được những đặc trưng mới về các không gian
phiếm hàm quan trọng như H¨older, Zygmund, Sobolev, Besov, Hardy,
BMO (xem, chẳng hạn, [21], [36], [49]). Ngược lại, cũng có thể sử dụng
lý thuyết toán tử để nghiên cứu lý thuyết sóng nhỏ, đặc biệt trong việc
nghiên cứu cấu trúc nghiệm của phương trình lọc (xem [18], [19], [20]).
Ngày nay sự phát triển của lý thuyết sóng nhỏ gắn với lý thuyết các
toán tử giả vi phân và lý thuyết các không gian hàm đã làm cho tính
khoa học và tính ứng dụng của chúng ngày càng cao.
Toán tử tích phân sóng nhỏ là một bộ phận quan trọng trong lý
thuyết sóng nhỏ. Sóng nhỏ, toán tử tích phân sóng nhỏ là một trong
9
những công cụ hữu hiệu để giải quyết nhiều bài toán quan trọng trong
Toán học, Vật lý, Khoa học và Công nghệ như xử lý ảnh, xử lý tín hiệu,
địa chấn, nén dữ liệu, sinh học, y học, thị trường chứng khoán Đã có
nhiều nhà toán học như Yves Meyer, Ingrid C. Daubechies, David L.
Donoho, Ronald R. Coifman, Nguyễn Minh Chương, P. R. Massopust,
A. Rieder, R. S. Pathak, G. Strang (xem [8], [13], [14], [21], [23], [49],
[52], [59], [64], [69], ) tham gia nghiên cứu và công bố nhiều công trình
về lĩnh vực lý thuyết sóng nhỏ, đặc biệt là toán tử tích phân sóng nhỏ.
Năm 2004, Ram S. Pathak [59] đã nghiên cứu toán tử tích phân sóng
nhỏ xác định bởi (W
ψ
φ)(b, a) =

R
n
φ(t)ψ


t−b
a

dt
a
n
, trong đó a là một số
thực dương và b ∈ R
n
. Nếu φ, ψ ∈ L
2
(R
n
) thì bởi đẳng thức Parseval của
biến đổi Fourier ta có (W
ψ
φ)(b, a) = (2π)
−n

R
n
e
iωb
ˆ
ψ(aω)
ˆ
φ(ω)dω. Từ biểu
thức này, ta thấy toán tử tích phân sóng nhỏ cũng là một toán tử giả vi
phân với biểu trưng σ(a, ω) =

ˆ
ψ(aω). Với nhận xét tinh tế này, Ram S.
Pathak đã sử dụng lý thuyết toán tử giả vi phân để nghiên cứu toán tử
tích phân sóng nhỏ trên không gian các phân bố. Ngày nay do nhu cầu
của thực tiễn ứng dụng, lý thuyết sóng nhỏ không chỉ phát triển trên
trường số thực, phức mà đã được chuyển sang nghiên cứu trên trường số
p-adic, hoặc tổng quát hơn trên các trường địa phương, trên các không
gian siêu metric. Năm 2002, các tác giả trong [53] đã nghiên cứu các kết
quả ban đầu của toán tử tích phân sóng nhỏ trên trường p-adic mà ý
tưởng nghiên cứu tương tự như trên trường thực.
Toán tử tích phân sóng nhỏ đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài
nước nghiên cứu trên nhiều không gian hàm khác nhau như Lebesgue,
10
Sobolev (kể cả trường hợp có trọng), Triebel-Lizorkin, không gian các
hàm suy rộng, (xem, chẳng hạn, [14], [59], [60], [61], [64]), trong đó
các nhà toán học chủ yếu tập trung nghiên cứu tính bị chặn, tính đẳng
cấu, dáng điệu tiệm cận, cho toán tử tích phân sóng nhỏ. Tính bị chặn
của các toán tử tuyến tính, dưới tuyến tính, trong các không gian tuyến
tính định chuẩn là một trong những vấn đề quan trọng của giải tích và
có nhiều ứng dụng. Chẳng hạn, từ tính bị chặn của toán tử trong một
số trường hợp có thể giải quyết được tính tồn tại, duy nhất, nghiệm
của phương trình, hay nói theo ngôn ngữ đại số, giải quyết được tính
toàn ánh, đơn ánh, của toán tử. Thậm chí Charles Fefferman [27] đã
đưa ra được một chứng minh mới cho sự hội tụ từng điểm của chuỗi
Fourier trong không gian L
q
[0, 2π] (q > 1) bằng cách nghiên cứu tính bị
chặn của một lớp toán tử cực đại. Đối với toán tử tích phân sóng nhỏ,
việc nghiên cứu tính bị chặn, tính đẳng cấu, dáng điệu tiệm cận ứng với
tham biến thang bậc a nhỏ, trên một số không gian hàm đang là vấn

đề thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học.
Giải tích điều hòa và lý thuyết phương trình đạo hàm riêng trên trường
thực cũng như trên trường p-adic ngày càng được nhiều nhà toán học
quan tâm nghiên cứu. Một trong những toán tử quan trọng trong giải
tích điều hòa là toán tử Hardy-Littlewood. Năm 1920, G. H. Hardy [34]
đã thiết lập một bất đẳng thức tích phân (ngày nay gọi là bất đẳng thức
tích phân Hardy), từ đó đưa ra một chứng minh đơn giản cho định lý về
chuỗi kép của Hilbert. Bất đẳng thức Hardy giữ một vai trò quan trọng
trong lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết các
không gian phiếm hàm (xem, chẳng hạn, [5], [24], [48]). Năm 1984, các
11
tác giả C. Carton-Lebrun và M. Fosset [87] đã giới thiệu toán tử tích phân
Hardy-Littlewood có trọng, là tổng quát của toán tử Hardy-Littlewood
từ một chiều lên nhiều chiều. Kể từ đó, toán tử Hardy-Littlewood có
trọng đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới,
trong đó các nhà toán học chủ yếu tập trung nghiên cứu các điều kiện
cần và đủ cho hàm trọng để toán tử Hardy-Littlewood có trọng là bị
chặn trên các không gian Lebesgue, BMO, Herz, Triebel-Lizorkin và
đánh giá chuẩn của toán tử Hardy-Littlewood có trọng trong các không
gian hàm, (xem [29], [30], [47], [48], [72], [73], [74], [86]). Trên trường
p-adic, trong những năm gần đây toán tử tích phân Hardy-Littlewood có
trọng, toán tử Hausdorff cũng được nghiên cứu trên một số không gian
hàm như L
q
, BMO, Hardy, H¨older, Morrey, Herz (trong không gian Herz
chỉ mới nghiên cứu cho điều kiện đủ với số chiều n = 1), (xem [63],
[79], [80], [81], [82], [83]). Đặc biệt, gần đây công trình [35] đã nghiên
cứu tính bị chặn của một lớp toán tử tích phân Hardy-Cesàro có trọng
trên các không gian Lebesgue, BMO có trọng trên trường p-adic, và từ
đó đưa ra một bất đẳng thức Hardy dạng rời rạc trên trường thực.

Như chúng ta đã biết, nhiều lý thuyết toán học đã sớm được chuyển
sang xây dựng và nghiên cứu trên trường p-adic. Tuy nhiên đối với lý
thuyết các hàm suy rộng Schwartz trên trường p-adic, mãi đến năm 1988,
V. S. Vladimirov mới xây dựng không gian các hàm suy rộng, phép biến
đổi Fourier, tích chập và lớp toán tử giả vi phân p-adic D
α
. Đến năm
1994, các tác giả V. S. Vladimirov, I. V. Volovich và E. I. Zelenov [77]
đã đề cập một cách có hệ thống giải tích p-adic và vật lý toán. Như
đã nói ở trên, việc nghiên cứu và phát triển một số kết quả từ trường
12
thực sang trường p-adic đã được nhiều nhà toán học trên thế giới quan
tâm. Tuy nhiên đối với giải tích điều hòa p-adic, còn rất nhiều bài toán
quan trọng chưa được nghiên cứu. Chẳng hạn, mở rộng nghiên cứu các
bất đẳng thức tích phân Hardy, toán tử tích phân Hardy-Littlewood có
trọng, toán tử Hausdorff, trên các không gian hàm trên trường p-adic.
Ngày nay nhiều lĩnh vực khác nhau trong Toán học đều có ảnh hưởng,
thâm nhập lẫn nhau. Đặc biệt, đối với lý thuyết toán tử vi tích phân kỳ
dị (giả vi phân), lý thuyết các không gian hàm và lý thuyết sóng nhỏ,
đã có rất nhiều công trình nghiên cứu mối liên quan qua lại giữa chúng
(xem [2], [3], [8], [9], [41], [45], [49], [52], ). Ở đây, chúng tôi chỉ giới
thiệu mối quan hệ sâu sắc giữa toán tử Vladimirov D
α
với một cơ sở
sóng nhỏ p-adic được phát hiện từ một hệ hàm riêng của toán tử này.
Cụ thể, năm 2002 nhà toán học người Nga S. V. Kozyrev trong [45] lần
đầu tiên đã phát hiện mối liên quan đặc biệt giữa giải tích phổ trên
trường p-adic và giải tích sóng nhỏ trên trường thực nhờ phép biến đổi
p-adic liên tục nhưng không 1 −1 từ Q
p

sang R
+
như sau: ρ : Q
p
→ R
+
,
ρ(

∞
i=γ
a
i
p
i
) =

∞
i=γ
a
i
p
−i−1
, ở đó a
i
= 0, , p − 1, γ ∈ Z. Hơn nữa,
ánh xạ ρ là một song ánh từ tập Q
p
/Z
p

(gồm các số p-adic có dạng

−1
i=γ
x
i
p
i
) vào tập các số tự nhiên gồm cả số không. Ngoài ra, S. V.
Kozyrev còn xây dựng một phép biến đổi unita ρ
∗
: L
2
(R
+
) → L
2
(Q
p
)
xác định bởi ρ
∗
f(x) = f(ρ(x)). Ánh xạ này, với p = 2, đã chuyển một
cơ sở trực chuẩn các sóng nhỏ trong L
2
(R
+
) thành một cơ sở trực chuẩn
trong L
2

(Q
2
) gồm các véctơ riêng của toán tử Vladimirov D
α
. Cũng
nhờ ánh xạ ρ
∗
, S. V. Kozyrev đã định nghĩa được toán tử Vladimirov
trên L
2
(R
+
), cụ thể là ∂
α
p
f(x) = ρ
∗
−1
D
α
ρ
∗
f(x). Như vậy, nhờ toán tử
13
Vladimirov mà S. V. Kozyrev đã xây dựng được một cơ sở gồm các hàm
riêng của toán tử Vladimirov D
α
, đặc biệt với p = 2 tồn tại một song
ánh chuyển cơ sở này thành một cơ sở sóng nhỏ trên trường thực. Bởi
lý do này, S. V. Kozyrev gọi cơ sở gồm các hàm riêng của toán tử D

α
vừa tìm được là cơ sở sóng nhỏ p-adic. Rõ ràng, đây là một phát hiện
rất quan trọng nói lên mối tương quan giữa hai lĩnh vực toán học khác
nhau, đó là giải tích phổ và lý thuyết sóng nhỏ. Từ đó giải tích sóng nhỏ
và giải tích phổ p-adic đã dựa vào nhau và cùng phát triển song song.
Kể từ khi S. V. Kozyrev đưa ra các sóng nhỏ p-adic, lý thuyết sóng
nhỏ và toán tử giả vi phân trên trường p-adic phát triển mạnh và đã
được nhiều nhà toán học trên thế giới và trong nước quan tâm như S.
Albeverio, J. J. Benedetto, R. L. Benedetto, A. Yu. Khrennikov, V. M.
Shelkovich, M. Skopina, S. V. Kozyrev, Nguyễn Minh Chương , trong
đó các nhà toán học chủ yếu tập trung vào nghiên cứu xấp xỉ đa phân
giải p-adic, phương trình lọc p-adic, các cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn p-adic,
bài toán Cauchy đối với phương trình giả vi phân, phổ của toán tử giả vi
phân p-adic và những ứng dụng của chúng trong Khoa học và Công nghệ
(xem [1], [2], [3], [4], [7], [12], [40], [41], [42], [45], [46] ). Việc nghiên
cứu, phát triển lý thuyết sóng nhỏ p-adic, đặc biệt là việc biểu diễn các
hàm trong những không gian hàm qua các hàm riêng của toán tử giả vi
phân p-adic, đang là một trong những chủ đề được quan tâm hiện nay.
Với những lý do nói trên, Giáo sư Nguyễn Minh Chương đã gợi ý cho
tôi nghiên cứu, phát triển một số lớp toán tử tích phân sóng nhỏ, toán
tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng và các cơ sở sóng nhỏ p-adic
14
gồm các hàm riêng của toán tử D
α
trên một số không gian hàm.
II. Mục đích, đối tượng, phạm vi và phương pháp nghiên cứu
Luận án này đề cập đến một số vấn đề của giải tích sóng nhỏ, giải tích
điều hòa trên trường thực cũng như trên trường p-adic. Cụ thể, chúng
tôi nghiên cứu một số vấn đề sau đây:
(a) Nghiên cứu một số tính chất như tính bị chặn, dáng điệu tiệm cận

ứng với tham biến thang bậc a nhỏ của toán tử tích phân sóng nhỏ
trên các không gian hàm như Besov, BMO, VMO, Hardy, kể cả
trường hợp có trọng;
(b) Nghiên cứu các điều kiện cần và đủ cho hàm trọng để toán tử
tích phân Hardy-Littlewood có trọng bị chặn trên các không gian
Triebel-Lizorkin, Morrey-Herz trên trường p-adic. Nghiên cứu các
điều kiện đủ để các giao hoán tử của toán tử tích phân Hardy-
Littlewood có trọng với toán tử nhân các hàm Lipschitz là bị chặn
trên không gian Morrey-Herz trên trường p-adic;
(c) Nghiên cứu cơ sở không điều kiện (unconditional basis), cơ sở Greedy
của hệ các hàm sóng nhỏ p-adic gồm các hàm riêng của toán tử tích
phân Vladimirov D
α
trong không gian L
r
(Q
n
p
) với 1 < r < ∞.
Một trong những thuận lợi khi nghiên cứu bài toán (a) là một số tính
chất của toán tử tích phân sóng nhỏ đã được nghiên cứu trước đó trên
một số không gian hàm như Lebesgue, Sobolev Tuy nhiên để giải
quyết bài toán (a), chúng tôi cần hiểu cách thiết lập các không gian
Besov, BMO và Hardy, các tính chất của lớp hàm trọng ôn hòa, cũng
15
như sử dụng một cách thích hợp các bất đẳng thức tích phân Minkowski,
Young, H¨older để thu được kết quả.
Trên trường thực toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng đã thu
hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học và đạt được nhiều
kết quả. Trên trường p-adic, toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng

cũng đã được nghiên cứu trên một số không gian hàm. Đây là một trong
những thuận lợi khi nghiên cứu bài toán (b). Tuy nhiên việc chuyển sang
nghiên cứu bài toán trên trường p-adic gặp phải những khó khăn nhất
định. Khó khăn thứ nhất là ở sự khác biệt về cấu trúc số học và hình
học giữa hai trường thực và trường p-adic. Điều này làm thay đổi nhiều
kết quả và phải đưa ra một chứng minh hoàn toàn khác so với trường số
thực. Một số kỹ thuật sử dụng trên trường thực khi chuyển sang nghiên
cứu trên trường p-adic sẽ không còn thích hợp. Thứ hai, phép tính tích
phân trên trường p-adic căn bản là khác so với phép tính tích phân trên
trường thực. Do đó không phải kết quả nào cũng dễ dàng chuyển sang
nghiên cứu được trên trường p-adic. Chẳng hạn, bổ đề van der Corput
trên trường p-adic chỉ mới được thiết lập gần đây bởi Keith M. Rogers
[65]. Tuy nhiên cũng có một số thuận lợi khi nghiên cứu trên trường
p-adic, chẳng hạn chuẩn trên trường p-adic thỏa mãn bất đẳng thức tam
giác mạnh (tính chất siêu metric).
Một trong những thuận lợi khi nghiên cứu bài toán (c) là đã có lược đồ
nghiên cứu cụ thể. Tuy nhiên do các hàm sóng nhỏ p-adic có dạng khác
so với các hàm sóng nhỏ trên trường thực và không có đạo hàm hiểu
theo nghĩa cổ điển, cho nên nhiều kỹ thuật chứng minh phải thay đổi.
16
Trong luận án này, chúng tôi chủ yếu sử dụng một số tính chất hình học
đặc thù trên trường p-adic mà trên trường thực không có, một số tính
chất của hàm đặc trưng cộng tính trên trường p-adic. Đặc biệt, sử dụng
một số kiến thức về giải tích điều hòa trên trường p-adic như lý thuyết
hàm cực đại, biểu diễn Calderón-Zygmund.
III. Những đóng góp mới của Luận án
Những đóng góp chính của Luận án, về mặt kết quả là:
1. Thiết lập được tính bị chặn của toán tử tích phân sóng nhỏ trên các
không gian Besov, BMO, VMO và Hardy H
1

, cũng như các không
gian Besov và BMO có trọng. Từ đó, thu được dáng điệu tiệm cận
của toán tử tích phân sóng nhỏ ứng với tham biến thang bậc a nhỏ.
2. Đưa ra các điều kiện cần và đủ cho hàm trọng để các toán tử
tích phân Hardy-Littlewood có trọng và toán tử Cesàro có trọng
là bị chặn trên các không gian Triebel-Lizorkin, Morrey-Herz trên
trường p-adic. Đặc biệt, tính được chuẩn của các toán tử này trong
các không gian đó. Ngoài ra, luận án cũng đưa ra các điều kiện
đủ để các giao hoán tử của toán tử tích phân Hardy-Littlewood có
trọng và toán tử Cesàro có trọng với toán tử nhân hàm Lipschitz
là bị chặn trên không gian Morrey-Herz trên trường p-adic.
3. Chứng minh hệ các sóng nhỏ p-adic gồm các hàm riêng của toán
tử tích phân Vladimirov D
α
tạo thành một cơ sở không điều kiện
trong không gian L
r
(Q
n
p
) với 1 < r < ∞. Từ đó, đưa ra một đặc
trưng cho không gian L
r
(Q
n
p
) theo các hệ số Fourier sóng nhỏ p-adic.
17
Ngoài ra, luận án cũng chỉ ra rằng các sóng nhỏ p-adic sau khi được
chuẩn hóa lập thành một cơ sở Greedy trong không gian L

r
(Q
n
p
).
IV. Bố cục của Luận án
Luận án, ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo,
gồm 4 chương:
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở về không gian Lebesgue,
trường số p-adic, lý thuyết tích phân và biến đổi Fourier. Đây là những
kiến thức cần thiết cho việc trình bày các chương sau.
Chương 2 dành cho việc nghiên cứu tính bị chặn, dáng điệu tiệm cận
ứng với tham biến thang bậc a nhỏ của toán tử tích phân sóng nhỏ trên
các không gian Besov, BMO và Hardy H
1
cũng như trên các không gian
Besov và BMO có trọng ứng với lớp hàm trọng ôn hòa.
Chương 3 dành cho việc nghiên cứu các điều kiện cần và đủ cho hàm
trọng để các toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng và toán tử
Cesàro có trọng là bị chặn trên các không gian Triebel-Lizorkin, Morrey-
Herz trên trường p-adic; đưa ra các điều kiện đủ để các giao hoán tử của
toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng và toán tử Cesàro có trọng
với toán tử nhân hàm Lipschitz là bị chặn trên không gian Morrey-Herz
trên trường p-adic.
Chương 4 dành cho việc nghiên cứu cơ sở không điều kiện, cơ sở Greedy
của hệ cơ sở sóng nhỏ p-adic gồm các hàm riêng của toán tử tích phân
Vladimirov D
α
trong không gian L
r

(Q
n
p
) với 1 < r < ∞.
18
Chương 1
MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT
QUẢ CƠ SỞ
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả sẽ
được sử dụng trong toàn bộ luận án. Bởi vì luận án nghiên cứu một
số kết quả đồng thời trên trường số thực và trên trường số p-adic, cho
nên một số kiến thức cơ sở như không gian Lebesgue, bất đẳng thức
Minkowski, bất đẳng thức H¨older sẽ được trình bày trên không gian
đo được tổng quát và sẽ được sử dụng cho cả hai trường hợp trên trường
số thực và trên trường số p-adic. Phần còn lại, chúng tôi trình bày sơ
lược về trường số p-adic, lý thuyết tích phân và biến đổi Fourier, toán
tử giả vi phân trên trường số p-adic. Trong chương 1, chúng tôi có tham
khảo các tài liệu [28], [31], [42], [56], [71], [77].
1.1 Không gian Lebesgue
Giả sử (X, M, µ) là một không gian đo với µ là một độ đo σ-hữu hạn
trên σ-đại số M trong không gian X. Cho 0 < q < ∞. Ta ký hiệu
19
L
q
(X, M, µ), hay viết ngắn gọn hơn L
q
(X), là tập hợp tất cả các hàm f
đo được, nhận giá trị phức trên X thỏa mãn
f
L

q
(X)
=



X
|f(x)|
q
dµ


1
q
< ∞. (1.1)
Ký hiệu L
∞
(X) là tập hợp tất cả các hàm giá trị phức, đo được trên X
sao cho tồn tại B > 0 để
f
L
∞
(X)
= inf {B > 0 : µ({x ∈ X : |f(x)| > B}) = 0}. (1.2)
Khi đó L
q
(X), với 0 < q ≤ ∞, là một không gian véctơ trên trường phức.
Hai hàm trong không gian L
q
(X) được gọi là bằng nhau nếu chúng bằng

nhau từng điểm hầu khắp theo độ đo µ. Với 1 ≤ q ≤ ∞, ta có L
q
(X)
là một không gian Banach với chuẩn ·
L
q
(X)
. Trường hợp 0 < q < 1,
không gian L
q
(X) là tựa Banach với tựa chuẩn ·
L
q
(X)
.
Định lý 1.1.1. (Định lý hội tụ Lebesgue [28, trang 54]) Giả sử
{f
k
}
∞
k=1
là một dãy các hàm trong L
1
(X) hội tụ điểm hầu khắp nơi theo
độ đo µ đến hàm f trên X và giả sử tồn tại một hàm g ∈ L
1
(X) sao cho
|f
k
(x)| ≤ g(x), µ-hầu khắp nơi trên X với mọi k. Khi đó, f ∈ L

1
(X) và

X
f(x)dµ = lim
k→∞

X
f
k
(x)dµ.
Định lý 1.1.2. (Bất đẳng thức H¨older [56, trang 153]) Nếu f ∈
L
q
(X) và g ∈ L
q

(X), thì fg ∈ L
1
(X) và
fg
L
1
(X)
≤ f
L
q
(X)
g
L

q

(X)
,
trong đó 1 ≤ q, q

≤ ∞ thỏa
1
q
+
1
q

= 1.
20
Định lý 1.1.3. (Bất đẳng thức Minkowski [56, trang 159]) Giả
sử (X, M, µ) và (Y, N, ν) là các không gian đo σ-hữu hạn, và f(x, y) là
một hàm giá trị phức, µ ×ν-đo được trên X ×Y sao cho với ν-hầu khắp
y ∈ Y , f(·, y) ∈ L
q
(X) với 1 ≤ q ≤ ∞. Khi đó



X








Y
f(x, y)dν(y)






q
dµ(x)


1
q
≤

Y



X
|f(x, y)|
q
dµ(x)


1
q

dν(y)
với giả thiết vế trái của bất đẳng thức trên là hữu hạn.
Định lý 1.1.4. (Fubini [28, trang 68]) Giả sử (X, M, µ) và (Y, N, ν)
là các không gian đo σ-hữu hạn, và f(x, y) là một hàm đo được theo độ đo
λ = µ ×ν. Nếu f(x, y) không âm hoặc khả tích trên tập A ×B ∈ M ×N
thì ta có

A×B
f(x, y)dλ =

A


B
f(x, y)dν

dµ =

B


A
f(x, y)dµ

dν.
1.2 Tích chập và biến đổi Fourier trên trường thực
Định nghĩa 1.2.1. ([31, trang 95]) Không gian Schwartz S(R
n
) là
tập hợp tất cả các hàm khả vi vô hạn ϕ xác định trên R

n
sao cho với
mọi đa chỉ số α, β ∈ N
n
,
sup
x∈R
n
|x
α
(D
β
ϕ(x))| < ∞,
trong đó D
β
= D
β
1
1
D
β
2
2
···D
β
n
n
, D
β
j

j
=
∂
β
j
∂x
β
j
j
với β = (β
1
, β
2
, , β
n
), và
x
α
= x
α
1
1
···x
α
n
n
với α = (α
1
, , α
n

).
Tô pô trên S(R
n
) được xác định như sau: dãy {ϕ
j
} ⊂ S(R
n
) được gọi là
21
hội tụ về 0 khi j → ∞ nếu với mọi đa chỉ số α, β ∈ N
n
ta có
sup
x∈R
n
|x
α
(D
β
ϕ
j
(x))| → 0 khi j → ∞.
Không gian Schwartz S(R
n
) trù mật trong L
q
(R
n
) với 1 ≤ q < ∞. Ký
hiệu S


(R
n
) là không gian đối ngẫu (tôpô) của S(R
n
). Giả sử f ∈ L
1
(R
n
)
và g ∈ L
q
(R
n
) với 1 ≤ q ≤ ∞, ký hiệu (f ∗ g)(x) =

R
n
f(x − y)g(y)dy
gọi là tích chập của hai hàm f và g. Ta ký hiệu f
q
là chuẩn của hàm
f trong không gian L
q
(R
n
).
Định lý 1.2.2. (Bất đẳng thức Young [56, trang 192]) Nếu f ∈
L
1

(R
n
) và g ∈ L
q
(R
n
), với 1 ≤ q ≤ ∞, thì tích chập f ∗ g ∈ L
q
(R
n
).
Hơn nữa, ta có
f ∗ g
q
≤ f
1
g
q
.
Nếu f ∈ S

(R
n
) và ϕ ∈ S(R
n
) thì tích chập của hàm f và hàm ϕ
được định nghĩa bởi (f ∗ϕ)(x) = f, ϕ
x
 với ϕ
x

(y) = ϕ(x −y). Hơn nữa,
ta có f ∗ ϕ ∈ C
∞
(R
n
) (xem [28, trang 294]).
Định nghĩa 1.2.3. Phép biến đổi Fourier của hàm f ∈ L
1
(R
n
) được
xác định bởi

f(ξ) =

R
n
e
−ixξ
f(x)dx, ξ ∈ R
n
.
Định lý 1.2.4. (Định lý Parseval [31, trang 103]) Ánh xạ f →

f
xác định trên S(R
n
) có thể mở rộng duy nhất thành một đẳng cấu từ
L
2

(R
n
) vào chính nó.
22
1.3 Trường số p-adic
Cho p là một số nguyên tố, ta định nghĩa chuẩn p-adic |·|
p
như sau. Đặt
|0|
p
= 0. Với mọi số hữu tỷ x ∈ Q khác không có biểu diễn x = p
γ
m
n
,
trong đó m, n là các số nguyên không chia hết cho p, ta đặt |x|
p
= p
−γ
. Dễ
thấy rằng chuẩn p-adic |·|
p
cảm sinh một metric tự nhiên ρ(x, y) = |x−y|
p
trên trường các số hữu tỷ Q. Ta có không gian metric (Q, ρ) là không
đủ. Thật vậy, dãy số {x
n
} xác định bởi x
n
=

n

k=0
p
k
2
với mọi n ≥ 1 là
một dãy Cauchy trong Q ứng với metric ρ, tuy nhiên không có một số
hữu tỷ nào là giới hạn của nó. Làm đầy trường Q bởi metric ρ ta được
trường các số p-adic và ký hiệu là Q
p
. Trường số p-adic có một số tính
chất quan trọng sau đây.
Mệnh đề 1.3.1. ([77, trang 2-8]) (a) Mọi số p-adic khác không đều
biểu diễn được duy nhất dưới dạng chính tắc sau đây
x = p
γ
(x
0
+ x
1
p + x
2
p
2
+ ···), (1.3)
trong đó γ = γ(x) ∈ Z phụ thuộc vào x, x
0
= 0 và x
j

∈ {0, 1, , p − 1}.
(b) Nếu số p-adic x có biểu diễn (1.3) thì |x|
p
= p
−γ
. Chuẩn | · |
p
thỏa
mãn các tính chất sau đây:
(i) |x|
p
≥ 0 với mọi x ∈ Q
p
và |x|
p
= 0 ⇔ x = 0;
(ii) |xy|
p
= |x|
p
|y|
p
với mọi x, y ∈ Q
p
;
(iii) |x + y|
p
≤ max(|x|
p
, |y|

p
) với mọi x, y ∈ Q
p
. Đặc biệt, trường
hợp khi |x|
p
= |y|
p
ta có đẳng thức |x + y|
p
= max(|x|
p
, |y|
p
).
(c) Q
p
là một trường tôpô compact địa phương, đầy đủ, khả ly, Hausdorff
23
và hoàn toàn không liên thông.
Giả sử phần tử x trong Q
p
có biểu diễn như trong (1.3) và phần tử y
có biểu diễn y = p
γ(y)
(y
0
+y
1
p+y

2
p
2
+···). Phép cộng hai phần tử x và y
xác định bởi x+y = p
γ(x+y)
(a
0
+a
1
p+a
2
p
2
+···), trong đó γ(x+y) ∈ Z,
các a
j
∈ {0, 1, , p − 1}, a
0
= 0 được xác định bằng phương pháp hệ số
bất định lấy theo modulo p. Phép nhân trên Q
p
được định nghĩa tương
tự. Với hai phép toán cộng và nhân như vậy, Q
p
là một trường có phần
tử không, ký hiệu là 0, và có phần tử đơn vị, ký hiệu là 1.
Ví dụ 1.3.2. Số −1 trong Q
p
được biểu diễn dưới dạnh chính tắc là

−1 = (p − 1) + (p − 1)p + (p −1)p
2
+ ···
Định lý 1.3.3. (Ostrowski [77, trang 3]) Mọi chuẩn không tầm
thường trên trường số hữu tỷ Q đều tương đương với hoặc là chuẩn giá
trị tuyệt đối | · |, hoặc là chuẩn | · |
p
với một số nguyên tố p nào đó.
Không gian (Q
p
, |·|
p
) có những tính chất đặc thù mà không gian các
số thực và không gian các số phức không có, chẳng hạn tính chất không-
Archimedean của chuẩn p-adic, tính chất không liên thông của Q
p
.
Ký hiệu S
γ
(a) là mặt cầu tâm a bán kính p
γ
và B
γ
(a) là hình cầu tâm
a bán kính p
γ
. Viết dưới dạng biểu thức toán học là như sau
S
γ
(a) = {x ∈ Q

p
: |x − a|
p
= p
γ
}, S
γ
= S
γ
(0);
B
γ
(a) = {x ∈ Q
p
: |x − a|
p
≤ p
γ
}, B
γ
= B
γ
(0).
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số tính chất hình học đặc thù của
trường số p-adic.