Gà lớp k11 sư phạm toán
Trường cao đẳng sư phạm Hà Giang
Các cách chứng minh định lí đương trung bình của hình thang
Giả thiết Hình thang ABCD (AB // CD)
Có: AE = ED, BF = FC
Kết luận EF // AB, EF // DC;
EF = .
1. Cách 1:
F
E
A
B
C
D
I
Gọi I là giao điểm của các đường thẳng AF và DC.
xét ΔABF và ΔICF có:
AFB = IFC (đối đỉnh)
BF = FC (giả thiết)
ABF = ICF (so le trong, AB // DI).
=> ΔABF = ΔICF (g.c.g)
=> AF = FI và AB = CI.
Mà AE = ED và AF = FI nên EF là đường trung bình của tam giác ADI
=> EF // DI (tức EF // DC và EF // AB) và EF = DI.
Mặt khác DI = DC + CI = AB + CD.
=> EF = .
2. Cách 2:
F
E
A
B
C
D
I
Gọi I là giao điểm của các đường thẳng BF và DC.
xét ΔABE và ΔDIE có:
AEB = DEI (đối đỉnh)
AE = ED (giả thiết)
BAE = IDE (so le trong, AB // CI).
=> ΔABE = ΔDIE (g.c.g)
=> BE = EI và AB = ID.
Mà BF = FC và BE = EI nên EF là đường trung bình của tam giác BCI
=> EF // IC (tức EF // DC và EF // AB) và EF = CI.
Mặt khác CI = DC + DI = AB + CD.
=> EF = .
3. Cách 3:
F
E
A
B
C
D
I
Gọi I là giao điểm của các đường thẳng DF và AB.
xét ΔBIF và ΔCDF có:
CFD = BFI (đối đỉnh)
BF = FC (giả thiết)
IBF = DCF (so le trong, AI // DC).
=> ΔBIF = ΔCDF (g.c.g)
=> BI = DC và DF = FI.
Mà AE = ED và DF = FI nên EF là đường trung bình của tam giác DAI
=> EF // AI (tức EF // DC và EF // AB) và EF = AI.
Mặt khác AI = AB + BI = AB + CD.
=> EF = .
4. Cách 4:
F
E
A
B
C
D
I
Gọi I là giao điểm của các đường thẳng AB và FC.
xét ΔIAE và ΔCDE có:
AEI = DEC (đối đỉnh)
AE = ED (giả thiết)
IAE = CDE (so le trong, IB // DC).
=> ΔIAE = ΔCDE (g.c.g)
=> IA = DC và IE = EC.
Mà BF = FC và IE = EC nên EF là đường trung bình của tam giác BCI
=> EF // IB (tức EF // DC và EF // AB) và EF = BI.
Mặt khác BI = AB + AI = AB + CD.
=> EF = .
5. Cách 5:
I
F
E
A
B
C
D
Gọi I là trung điểm của BD
Ta có: BI = ID và BF = FC
=> IF là đường trung bình của ΔBCD
=> IF // DC và IF = .
Tương tự EI là đường trung bình của ΔDAB (vì AE = ED và DI = IB)
=> EI // AB và EI = .
Qua I ta có EI // AB, IF // AB (AB // CD)
=> E, I, F thẳng hàng, do đó EF // AB // CD
=> EF = EI + IF = + = .
6. Cách 6:
I
F
E
A
B
C
D
Gọi I là trung điểm của AC
Ta có: AI = IC và BF = FC
=> IF là đường trung bình của ΔABC
=> IF // AB và IF = .
Tương tự EI là đường trung bình của ΔACD (vì AE = ED và AI = IC)
=> EI // CD và EI = .
Qua I ta có EI // AB, IF // AB (AB // CD)
=> E, I, F thẳng hàng, do đó EF // AB // CD
=> EF = EI + IF = + = .
7. Cách 7:
I
F
E
A
B
C
D
Giả thiết Cho tứ giác ABCD có:
AE = ED; BF = FC; AI = IC
Kết luận Chứng minh EF
Ta có AE = ED và AI = IC => EI la đường trung bình của tam giác ADC
=> EI = .
Tương tự BF = FC và AI = IC => IF la đường trung bình của tam giác CAB
=> IF = .
Mà EF EI + IF ( bất đẳng thức trong tam giác)
<=> EF + = .
Dấu “=” xảy ra <=> I thuộc đường thẳng EF và AB // CD // EF.