CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIUTON

a.Hãy tính:
0
2
C
1
2
C
2
2
C
= 1 = 2 = 1
0
3
C
= 1
1
3
C
= 3
2
3
C
= 3
3
3
C
= 1
b. Khai triển các hằng đẳng thức sau:
(a + b)

2
(a + b)
3
= a
2
+ 2ab + b
2
a
2
ab b
2
1 2 1+ +=
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
a
3
a
2
b ab
2
1 3
3
=
+ +

b
3
+ 1
1. Công thức nhị thức Niu - tơn

a.Hãy tính:
0
2
C
1
2
C
2
2
C
= 1 = 2 = 1
0
3
C
= 1
1
3
C
= 3
2
3
C
= 3
3
3

C
= 1
b. Khai triển các hằng đẳng thức sau:
(a + b)
2
(a + b)
3
= a
2
+ 2ab + b
2
a
2
ab1 2+ +=
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
a
3
a
2
b ab
2
1 3
3

=
+ +
b
3
+ 1
0
2
C
1
2
C
2
2
C
0
3
C
1
3
C
2
3
C
3
3
C
(a + b)
n
=
0 1 1

n n k n k k n n
n n n n
C a C a b C a b C b
− −
+ + + + +
1. Công thức nhị thức Niu - tơn
b
2
1
?

a.Hãy tính: = 1 = 2 = 1
= 1 = 3 = 3 = 1
b. Khai triển các hằng đẳng thức sau:
(a + b)
2
(a + b)
3
= a
2
+ 2ab + b
2
a
2
ab b
2
1 2 1+ +=
= a
3

+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
a
3
a
2
b ab
2
1 3
3
=
+ +
b
3
+ 1
0
2
C
1
2
C
2
2
C
0
3

C
1
3
C
2
3
C
3
3
C
(a + b)
n
=
0 1 1

n n k n k k n n
n n n n
C a C a b C a b C b
− −
+ + + + +
1. Công thức nhị thức Niu - tơn

(a + b)
n
=
0 1 1
0 0
0

n n k n k k n n

n n n n
n
k n k k
n
k
C a C a b C a b C b
C a b
− −
−
=
+ + + + +
=
∑
(quy öôùc a = b = 1)
Chú ý:
gọi là số hạng tổng quát.
k n k k
n
C a b
−
−
k n k k
n
C a b
−
−
gọi là số hạng thứ k + 1.
Ví dụ 1: Viết khai triển các biểu thức sau:
a. (x + y)
4

b. (x - y)
4
c. (2x + y)
5
d. (2x - y)
5
1. Công thức nhị thức Niu - tơn

Đáp án:
a. (x + y)
4
b. (x - y)
4
c. (2x + y)
5
d. (2x - y)
5
= x
4
+ 4x
3
y + 6x
2
y
2
+ 4xy
3
+ y
4
= 32x

5
+ 80x
4
y + 80x
3
y
2
+ 40x
2
y
3
+ 10xy
4
+ y
5
= 32x
5
– 80x
4
y + 80x
3
y
2
– 40x
2
y
3
+ 10xy
4
- y

5
= x
4
- 4x
3
y + 6x
2
y
2
- 4xy
3
+ y
4

Ví dụ 2: Tìm hệ số của x
2
trong khai triển (3x – 4)
5
Số hạng tổng quát là:
( ) ( ) ( )
5
5 5
5 5
3 4 3 4
k k k
k k k k
C x C x
−
− −
− = −

Số hạng chứa x
2
khi
Vậy hệ số của x
2
là:
( )
3
3 2
5
3 4 5760C − = −
(a + b)
0
= 1
(a + b)
1
= a + b
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2

(a + b)
3
= a
3
+ 3a
2

b + 3ab
2
+ b
3

(a + b)
4
= a
4
+ 4a
3
b + 6a
2
b
2
+ 4ab
3
+ b
4
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1
4 6
4
1
5 – k = 2, suy ra k = 3
Giải:

Ví dụ 2: Tìm hệ số của x
2
trong khai triển (3x – 4)
5
Số hạng tổng quát là:
( ) ( ) ( )
5
5 5
5 5
3 4 3 4
k k k
k k k k
C x C x
−
− −
− = −
Số hạng chứa x
2
khi 5 – k = 2, suy ra k = 3
Vậy hệ số x
2
là:
( )
3
3 2
5
3 4 5760C − = −
(a + b)
0
= 1

(a + b)
1
= a + b
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2

(a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3

(a + b)
4
= a
4
+ 4a
3
b + 6a
2
b

2
+ 4ab
3
+ b
4
Giải:

1
2. Tam giác Pa-xcal:
n = 0
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
n = 5
n = 6
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
5 10 10 5
6
15 15 6
1
1
120
Nhận xét:
Các số ở hàng thứ n trong tam giác Pa-xcal là dãy số
gồm n + 1 số:

0 1
1 1
1 1, C C= =
0 1 2
2 2 2
1 ,, 2 1=C C C= =
0 1 2 3
3 3 3 3
1 , ,, 3 3= 1=CC C C= =
0
0
1 C=
0 1 2 1
, , , , , C
n n
n n n n n
C C C C
−
2
3
3

Bài tập:
1. Tìm hệ số của x
101
y
99
trong khai triển (2x – 3y)
200
2. Tìm hệ số của x

5
y
8
trong khai triển (x + y)
13
3. Tìm hệ số của x
7
trong khai triển (1 + x)
11
4. Tìm hệ số của x
9
trong khai triển (2 - x)
19
Giải:
1. Số hạng tổng quát là:
( ) ( )
200
200
2 3
k k
k
C x y
−
−
( ) ( )
200
200
200
2 3
k k

k k k
C x y
−
−
= −
Số hạng chứa x
101
y
99
khi:
k = 99
Vậy hệ số của x
101
y
99
là:
( ) ( )
101 99
99
200
2 3C −
Giải tương tự:
8
13
2 1. 287C =
7
11
3. 330 C =
( )
9

9 10
19
4 2 1 94 595 07. 2 C − = −

Bài tập:
1. Tìm hệ số của x
101
y
99
trong khai triển (2x – 3y)
200
2. Tìm hệ số của x
5
y
8
trong khai triển (x + y)
13
3. Tìm hệ số của x
7
trong khai triển (1 + x)
11
4. Tìm hệ số của x
9
trong khai triển (2 - x)
19
Giải:
1. Số hạng tổng quát là:
( ) ( )
200
200

2 3
k k
k
C x y
−
−
( )
200 200
200
2 3
k
k k k k
C x y
− −
= −
Số hạng chứa x
101
y
99
khi:
k = 99
Vậy hệ số của x
101
y
99
là:
( )
99
99 101
200

2 3C −
Giải tương tự:
8
13
2 1. 287C =
7
11
3. 330 C =
( )
9
9 10
19
4 2 1 94 595 07. 2 C − = −

Bài tập:
5. Tìm tổng các hệ số trong khai triển (2x + y)
100
Giải:
Ta có: (2x + y)
100
=
( )
100
100
100
0
2
k
k k
k

C x y
−
=
∑
100
100 100
100
0
2
k k k k
k
C x y
− −
=
=
∑
Vậy tổng các hệ số trong khai triển (2x + y)
100
là
= (2 + 1)
100
= 3
100
100
100
100
0
2
k k
k

C
−
=
∑

Bài tập:
5. Tìm tổng các hệ số trong khai triển (2x + y)
100
Giải:
Ta có: (2x + y)
100
=
( )
100
100
100
0
2
k
k k
k
C x y
−
=
∑
100
100 100
100
0
2

k k k k
k
C x y
− −
=
=
∑
Vậy tổng các hệ số trong khai triển (2x + y)
100
là
= (2 + 1)
100
= 3
100
100
100
100
0
2
k k
k
C
−
=
∑
100
100
100
0
2

k k
k
C
−
=
∑

Bài tập:
6. Với n là số nguyên dương. CMR
Giải:
0 2 2 1 3 2 1
2 2 2 2 2 2

n n
n n n n n n
C C C C C C
−
+ + + = + + +
Ta có: (1 – x)
2n
=

( ) ( )
2
2
0
1 1
n
k
k k

n
k
C x
=
−
∑
Thay x = 1 vào (1), ta được
0 1 2 3 2 1 2
2 2 2 2 2 2
0
n n
n n n n n n
C C C C C C
−
= − + − + − +
0 2 2 1 3 2 1
2 2 2 2 2 2

n n
n n n n n n
C C C C C C
−
⇒ + + + = + + +

CỦNG CỐ:
(a + b)
n
=
0 1 1
0 0

0

n n k n k k n n
n n n n
n
k n k k
n
k
C a C a b C a b C b
C a b
− −
−
=
+ + + + +
=
∑
(quy öôùc a = b = 1)
Công thức nhị thức Niu - tơn
Chú ý:
gọi là số hạng tổng quát.
k n k k
n
C a b
−
−
gọi là số hạng thứ k + 1.
k n k k
n
C a b
−

−
- Về nhà làm bài tập trong sgk trang 67.
- Tiết sau: Luyện tập.