động lực học vật rắn

1
BỔ TÚC TOÁN
I. Hệ tọa độ Descartes:
1. Giới thiệu hệ tọa độ:
Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz là
gồm 3 trục Ox, Oy, Oz vuông góc nhau
từng đôi một và tạo thànhmột tam diện
thuận.
Điểm M trong không gian được xác đònh
bởi 3 tọa độ x, y, z trên các trục Ox, Oy, Oz
(hay bởi bán kính vectơ
(,,)
rxyzOM
=
uuuur
r
).

rixjykz
=++
r
rr
r

Thể tích vi cấp của không gian tại
M(x,y,z) có các thànhphần theo các trục là
dx, dy, dz là:
dV=dxdydz
2. Các phép toán của vectơ:
Cho 2 vectơ:
(,,);(,,)

xyzxyz
aaaabbbb
r
r

- Độ lớn (môdun):
222
xyz
aaaa
=++
r

- Tích vô hướng 2 vectơ:
cos(,)
ababab
=
rrr
rrr


xxyyzz
ababab
=++

- Tích hữu hướng:
Kí hiệu
,
ab



r
r
;
ab
∧
r
r
hay
ab
×
r
r

Đặt
abc
∧=
r
rr
thì
c
r
có đặt điểm:
+Phương vuông góc với mp
(
)
,
ab
r
r

+Quay theo chiều từ
a
r
đến
b
r
theo góc nhỏ
+Độ lớn bằng diện tích hình bình hành tạo
bởi
a
r
và
b
r
:
sin(,)
cabab
=
r
r

Biểu thức:

yzxy
zx
xyz
yzxy
zx
xyz
ijk

aaaa
aa
caaaijk
bbbb
bb
bbb
==++
r
rr
r
rr
r

- Đạo hàm:

y
x
z
da
da
da
da
ijk
dtdtdtdt
=++
r
r
rr

2
II. Hệ tọa độ cầu:
Thực hiện phép biến đổi:

222
22
arctan
arctan
rxyz
xy
z
y
x
θ
ϕ

=++


+

=



=


hay

cossin
sinsin
cos
xr
yr
zr
ϕθ
ϕθ
θ

=

=


=

với
0
0
02
r
θπ
ϕπ
≥


≤≤



≤≤


Khi đó một điểm M trong không gian
được xác đònh bởi 3 tọa độ
,,
r
ϕθ
.
Thể tích vi cấp:
2
sin
dVrdrdd
θθϕ
=




III. Hệ tọa độ trụ:
Thực hiện phép biến đổi:

22
arctan
xy
y
x
zz
ρ
ϕ


=+


=



=

hay
cos
sin
x
y
zz
ρϕ
ρϕ

=

=


=

với
0
02
zR

ρ
ϕπ
≥


≤≤


∈


Khi đó một điểm M trong không gian
Được xác đònh bởi 3 tọa độ
,,
z
ρϕ
.
Thể tích vi cấp:
dVdddz
ρρϕ
=

3
PHẦN I: CƠ HỌC
Chương I: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM

Động học chất điểm nghiên cứu chuyển động của chất điểm mà không quan tâm đến
nguyên nhân gây ra các chuyển động đó

I.1. Những khái niệm mở đầu
1. Chuyển động và hệ qui chiếu
- Chuyển động là sự thay đổi vị trí của vật này đối với các vật khác trong không gian,
theo thời gian.
- Một hệ vật đứng yên dùng làm mốc để định vị các vật trong không gian được gọi là
hệ qui chiếu. Để xác định thời gian ta gắn vào hệ qui chiếu một đồng hồ.
2. Chất điểm và hệ chất điểm
- Một vật có kích thước nhỏ không đáng kể so với những khỏang cách, những kích
thước mà
ta đang khảo sát gọi là chất điểm.
- Hệ chất điểm là tập hợp các chất điểm. Vật rắn chính là
một chất điểm trong đó khoảng cách giữa các chất điểm
không thay đổi
3. Phương trình chuyển động của chất điểm
Ta gắn vào hệ qui chiếu một hệ trục tọa độ, thường
là hệ trục tọa đô Đềcác. Vị trí của chất điểm M trong

không gian được xác định bởi bán kính vectơ
r
r
hoặc
bởi ba tọa độ (x, y, z) của nó theo thời gian ta có:

(
)
rrt
=
rr
(1.1)
hoặc
(
)
(
)
;
xxtyyt
== và
(
)
zzt
= . (1.2)
Các phương trình (1.1) hay (1.2) gọi là những phương trình chuyển động của chất
điểm M.
4. Quĩ đạo
Quĩ đạo là đường cong mà chất điểm vạch nên khi
chuyển động. Để xác định phương trình quĩ đạo, ta khử
biến thời gian trong các phương trình chuyển động (1.2).

5. Hoành độ cong
Giả sử quĩ đạo là đường cong (C). Chọn trên đường
cong đó một điểm A cố định làm gốc và chọn chiều
dương. Khi đó, tại một thời điểm t vị trí của điểm M
trên (C) sẽ được xác định bởi cung
¼
AMs
=
,
s gọi là hoành độ cong của M và :

(
)
sst
= (1.3)
I.2. Vận tốc
1. Định nghĩa
Xét một vật đang chuyển động trên đường cong (C)
Vào thời điểm t vật ở vị trí M xác định bởi
¼
AMs
=
.
4
Vào thời điểm
tt
+∆
vật ở vị trí M’ xác định bởi
¼
//

AMsss
==+∆
.
Trong khoảng thời gian
t
∆
vật đi được quãng đường
s
∆
.
Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian trên:

tb
s
v
t
∆
=
∆
(1.4)
- Khi xét trong khoảng thời gian rất nhỏ (
0
t
∆→
), ta được vận tốc tức thời (gọi tắt là
vận tốc) tại thời điểm t:

0
lim
t

sds
v
tdt
∆→
∆
==
∆
(1.5)
*Vận tốc có giá trị bằng đạo hàm hoành độ cong của chất điểm theo thời gian.
Vận tốc cho bởi (1.5) là một đại lượng đại số:
v>0 chất điểm chuyển động theo chiều dương của quĩ đao;
v<0 chất điểm chuyển động theo chiều ngược lại.
Độ lớn của v xác định độ nhanh chậm của chuyển động chất điểm.
2. Vectơ vận tốc
Để biểu diễn một cách đầy đủ về phương chiều chuyển động cũng như độ lớn của vận
tốc. Ta đưa ra khái niệm vectơ vận tốc.

dsds
v
dtdt
τ
==
r
rr
(1.6)
3. Vectơ vận tốc trong hệ tọa độ Đềcác.
Khi dt vô cùng nhỏ
drds
=
rr

. Khi đó (1.6) trở thành

dr
v
dt
=
r
r
(1.7)
nghĩa là vectơ vận tốc bằng đạo hàm của bán kính vectơ đối với thời gian.
Phân tích
v
r
thành 3 thành phần theo các trục Ox, Oy, Oz:

xyz
xyz
vvnvnvn
=++
rrrr

Trong đó: ;
xy
dxdy
vv
dtdt
== và
z
dz
v

dt
= .
Khi đó độ lớn vận tốc

222
222
xyz
dxdydz
vvvv
dtdtdt

=++=++


r
.

I.3. Gia tốc
1. Định nghĩa và biểu thức của vectơ gia tốc
Giả sử chất điểm đang chuyển động, ở thời điểm t vật có vận tốc
v
r
, vào thời điểm
tt
+∆
vật đạt vận tốc
vv
+∆
rr
. Trong khoảng thời gian

t
∆
vận tốc của vật biến thiên một
lượng
v
∆
r
. Độ biến thiên vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian trên gọi là
gia tốc trung bình:

tb
v
a
t
∆
=
∆
r
r

Nếu khoảng thời gian
t
∆
vô cùng nhỏ (
0
t
∆→
), ta được gia tốc tức thời của vật ở thời
điểm t:
5

0
lim
t
vdv
a
tdt
∆→
∆
==
∆
rr
r
(1.8)
- Phân tích vectơ gia tốc
a
r
theo ba tọa độ của hệ toa độ Đềcác:

,
xyz
xyz
aananan
=++
rrrr

Trong đó:
22
22
;

y
x
xy
dv
dv
dxdy
aa
dtdtdtdt
==== và
2
2
z
z
dv
dz
a
dtdt
==.
- Độ lớn
222
222
222
222
xyz
dxdydz
aaaa
dtdtdt

=++=++



r
.

2. Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến trong chuyển động cong
Ta có
ds
v
dt
τ
=⇒
r
r

2
2
.
dvdsdsd
a
dtdtdtdt
τ
τ==+
r
r
r
r
(1.9)
Vì thành phần
2
2

ds
dt
τ
r
theo hướng của tiếp tuyến của quỹ đạo nên gọi là gia tốc tiếp
tuyến:
2
2
t
dsdv
a
dtdt
ττ
==
rrr
. Nó đặc trưng cho sự biến thiên về độ lớn của vận tốc.
Xét thành phần
dsdd
v
dtdtdt
ττ
=
rr
:
Ta có:
dddsdd
v
dtdsdtdds
τττϕ
ϕ

==
rrr

Mà
0
lim
t
d
n
d
ττ
ϕϕ
∆→
∆
==
∆
rr
r


0
lim
t
dss
R
dϕϕ
∆→
∆
==
∆

( với:
n
r
là vectơ pháp tuyến hướng về bề lõm của quỹ đạo tại điểm đang xét
R là bán kính chính khúc của quỹ đạo tai điểm đang xét )
Từ 3 biểu thức ở trên ta viết được:
2
n
dsdv
na
dtdtR
τ
==
r
rr
. Ta thấy rằng thành phần này
vuông góc với quỹ đạo và hướng về bề lõm của quỹ đạo. Nên ta gọi thành phần này là
gia tốc hướng tâm. Nó đặt trưng cho sự thay đổi về hướng của vận tốc
Vậy
tn
aaa
=+
rrr
. (1.10)

2
2
2
22

tn
dvv
aaa
dtR


=+=+




r
(1.11)
* Một số trường hợp đặc biệt:
1.
0
a
=
r
chuyển động thẳng đều
2.
0
n
a
=
r
chuyển động thẳng
3.
0
t

a
=
r
chuyển động cong đều

I.4 Phép biến đổi vận tốc và gia tốc:
Xét một hệ quy chiếu đứng yên Oxyz. Một hệ O’x’y’z’ chuyển động tịnh tiến với vận
tốc
V
r
so với hệ Oxyz. Vì chuyển động có tính tương đối, phụ thuộc vào hệ quy chiếu nên
6
một chất điểm M đang chuyển động thì đối với hai hệ quy chiếu trên chất điểm sẽ có vận
tốc và gia tốc khác nhau. Bây giờ ta sẽ thiết lập mối quan hệ giữa vận tốc và gia tốc của
chất điểm trong hai hệ quy chiếu trên.
Trong hệ Oxyz vị trí chất điểm được xác định:

rOM
=
uuuur
r

Trong hệ O’x’y’z’ vị trí chất điểm được xác định:

//
rOM
=
uuuuur
r

Ta có:
//
OMOOOM
=+
uuuuruuuuur
uuuur

Hay
//
rOOr
=+
uuuur
rr

Lấy đạo hàm 2 vế theo thời gian:

//
drdOOdr
dtdtdt
=+
uuuur
rr

Hay
/
vvV
=+
r
rr
(1.12)

trong đó: v
r
: vận tốc của chất điểm trong hệ O.

/
v
r
: vận tốc của chất điểm trong hệ O
/

V
r
: vận tốc của hệ O
/
đối với hệ O.
Lấy đạo hàm 2 vế của (2.10) theo t ta được:

dt
Vd
dt
rd
dt
rd
r
r
v
+=
/

hay Aaa

r
r
r
+=
/
(1.13)
trong đó: a
r
: gia tốc của vật trong hệ O.

/
a
r
: gia tốc của vật trong hệ O
/


A
r
: gia tốc của hệ O
/
đối với hệ O.
Các cơng thức (1.12) và (1.13) là các cơng thức tổng hợp vận tốc và gia tốc, nó thể hiện
tính tương đối của chuyển động trong khơng gian.

I.5 Một số chuyển động cơ đặc biệt
1. Chuyển động thẳng biến đổi đều. 0,
t
n
aaaconst

===
rruuuuur

Vậy
t
dv
aaconst
dt
===
Suy ra
0
vvat
=+
. (1.14)
mà
ds
v
dt
= nên suy ra:
2
0
1
2
svtat
=+ (1.15)
Khử t trong (1.12) và (1.13) ta được:

22
0
2

vvas
−= (1.16)
Chọn trục Ox theo hướng chuyển động của vật, ban đầu vật ở A có tọa độ x
o
, sau một
khoảng thời gian t vật tại M, qng được vật đi được là s. Khi đó vị trí của vật được xác
định bởi tọa độ:

xOM
=

2
000
1
2
xxsxvtat
=+=++ (1.16’)
Đây chính là phương trình là chuyển động của vật.
7
2. Chuyển động tròn
Chuyển động tròn là chuyển động mà quỹ đạo của chất điểm là đường tròn. Trong
chuyển động tròn, để đăc trưng cho chuyển động, ngoài các đại lượng vận tốc và gia tốc
đã biết, ta còn sử dụng vận tốc góc và gia tốc góc.
Xét chất điểm chuyển động trên một đường tròn tâm O có bán
kính R
a. Vận tốc gốc
Trong khoảng thời gian
t
∆
vật đi được quãng đường

s
∆

ứng với góc quét của bán kính là
θ
∆
.Vận tốc trung bình
của vật trong khoảng thời gian trên:

tb
t
θ
ω
∆
=
∆


tb
ω
biểu thị góc quay trung bình của bán kính trong một đơn vị thời gian.
Nếu khoảng thời gian
t
∆
vô cùng nhỏ (
0
t
∆→
), ta được vận tốc góc tức thời của vật
ở thời điểm t:

0
lim[/]
t
ds
rads
tdt
θ
ω
∆→
∆
==
∆
(1.17)
vậy, vận tốc gốc bằng đạo hàm của gốc quay đối với thời gian.
Đối với chuyển động tròn đều (
const
ω
=
) còn có: chu kỳ là chất điểm đi được một
vòng
2
T
π
ω
= và tần số là số chu kỳ trong một đơn vị thời gian
1
2
T
ω

ν
π
== .
b.Vectơ vận tốc gốc
ω
ur
nằm trên trục của vòng tròn quĩ đạo, thuận chiều đối với chiều
quay của chuyển động và có giá trị bằng
ω
.
c. Mối liên hệ giữa
ω
ur
và
v
r
:
vì sR
θ
∆=∆
nên
.
tb
s
vR
tt
θ
∆∆
==
∆∆

Khi
0
t
∆→
, ta có
0
lim
t
vRR
t
θ
ω
∆→
∆
==
∆
.
Biểu thị dưới dạng vectơ
vR
ω

=×

rurur

d. Gia tốc gốc:

2
2

2
0
lim[/]
t
dd
rads
tdtdt
ωωθ
β
∆→
∆
===
∆
(1.18)
Gia tốc gốc bằng đạo hàm của vận tốc gốc đối với thờigian hay bằng đạo hàm bậc hai
của gốc quay đối với thời gian.
- Trong chuyển động tròn biến đổi đều:
const
β
=
, ta có:
0
22
0
2
0
2
1
2
t

tt
ωωβ
ωωβθ
θωβ
=+
−=
=+
(1.19)
e. Vectơ gia tốc gốc
β
ur
nằm trên trục của quĩ đạo tròn; cùng chiều với
ω
ur
khi
0
β
>

(nhanh dần); nguợc chiều
ω
ur
khi
0
β
<
(chậm dần) và độ lớn
d
dt
ω

β = .

8

f. Mối liên hệ giữa
t
a
r
và
β
ur
:
()
t
dvd
aRR
dtdt
ωβ
=== hoặc
t
aR
β

=×

rurur

3. Chuyển động với gia tốc không đổi (bài toán ném xiên)
Một vật (chất điểm) được ném từ mặt đất với góc nghiêng
α

và vận tốc ban đầu
0
v
r
.
Hãy xác định vị trí của vật tại từng thời điểm sau đó, độ cao cực đại mà vật đạt được,
khoảng cách từ điểm rơi đến vị trí ném (tầm xa).

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ:
Tại thời điểm t, chất điểm ở vị trí M(x, y), có gia
tốc
ag
=
rur
.

0
x
y
a
a
ag
=


=

=−



r
.
Chuyển động của chất điểm gồm 2 chuyển động
thành phần:
-Chuyển động theo phương ngang là chuyển động
thẳng đều với
0
cos
x
VV
α
= .
-Chuyển động theo phương thẳng đứng là chuyển động biến đổi đều với gia tốc
y
ag
=−
và vận tốc ban đầu
00
sin
y
vV
α
= .
Ta có

(
)
()
00
2

00
coscos
1
sinsin
2
x
y
vVxVt
vgtVygtVt
αα
αα
=⇒=
=−+⇒=−+
(1.20)
Khử thời gian t trong hai phương trình chuyển động (1.20) ta được phương trình quĩ đạo

2
22
0
1
2cos
g
ytgxx
V
α
α
=− (1.21)
Đó là đường parabol OSA, phần lõm quay về phía dưới.
Tại đỉnh S,
0

y
V
=
, suy ra thời gian
s
t
, khi chất điểm đến đỉnh

0
sin
s
V
t
g
α
= .
Thay
s
t
vào (1.20), ta được

22
0
2
0
sin
,
2
sin2
1

2
s
s
V
y
g
V
x
g
α
α
=
=

Suy ra
2
0
sin2
2
s
V
OAx
g
α
== .



9
Chương II: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM

Động lực học chất điểm nghiên cứu chuyển động của các vật trong sự tương tác của
nó với các vật khác.

II.1. Khái niệm về lực:
Xét các sự tương tác sau:
- Dùng chân đá một quả bóng, quả bóng chuyển động tức quả bóng đã thu gia tốc.
Như vậy, trong trường hợp này, sự tương tác giữa chân và quả bóng đã làm quả bóng thu
gia tốc.
- Dùng tay kéo một lò xo, lò xo dãn ra. Sự tương tác giữa tay và lò xo đã làm lò xo bị
biến dạng.
Qua nhiều hiện tượng ta thấy rằng: kết quả của sự tương tác giữa các vật là gây ra gia
tốc và làm vật biến dạng. Để đặc trưng cho tác dụng này ta có khái niệm về lực:
Lực là đại lượng đặc trưng cho tác dụng của vật này lên vật khác, kết quả là truyền
gia tốc cho vật hoặc làm vật biến dạng.

II.2. Định luật I Newton_Định luật quán tính:
Khi một chất điểm cô lập nếu đang đứng yên, nó sẽ tiếp tục đứng yên, nếu đang
chuyển động thì chuyển động của nó là chuyển động thẳng ñeàu.
Trong cả hai trường hợp vận tốc
v
r
đều không đổi, tức là trạng thái hcuyển động của
chất điểm được bảo toàn. Tính bảo toàn này gọi là quán tính. Do đó định luật I còn gọi là
định luật quán tính.

II.3. Định luật II Newton:
Gia tốc chuyển động của chất điểm tỉ lệ thuận với tổng hợp lực
F
ur

tác dụng và tỉ lệ
nghịch với khối lượng của chất điểm ấy.

F
a
m
=
ur
r
(2.1)
phương trình Newton
Fma
=
urr
(2.2)
là phương trình cơ bản của động học chất điểm.
* Chú ý: Hệ quy chiếu mà các định luật 1, 2 Newton thỏa mãn gọi là hệ quy chiếu quán
tính.

II.4. Định luật III Newton:
1. Định luật:
Khi chất điểm A tác dụng lên chất điểm B một lực
F
ur
thì chất điểm B cũng tác dụng
lại chất điểm A một lực
F
′
ur
: hai lực

F
ur
và
F
′
ur
tồn tại đồng thời, cùng phương, ngược
chiều và cùng độ lớn.
Nói cách khác, tổng hình học các lực tương tác giữa hai chất điểm bằng không:

0
FF
′
+=
urur

Hai lực
F
ur
và
F
′
ur
không khử nhau vì điểm đặt của chúng khác nhau.

10

2. Các lực liên kết:
a. Phản lực và lực ma sát:
Khi vật chuyển động trượt trên một mặt thì vật này

tác dụng lên mặt đó một lực nén. Ngược lại, theo định
luật 3 Niutơn, mặt này cũng tác dụng lên vật một phản
lực
R
r
gọi là phản lực của mặt.

mst
RNf
=+
r
rr

N
r
: vng góc với mặt gọi là phản lực pháp tuyến
mst
f
r
: cùng phương, ngược chiều với vận tốc gọi là lực
ma sát trượt.
Thực ngiệm chứng tỏ: f
mst
=k.N
Trong trường hợp vật chỉ có xu hướng chuyển động mà khơng trượt thì tại mặt tiếp xúc
xuất hiện lực ma sát nghỉ:
msnmst
ff
≤

b. Lực căng:
Một sợi dây buột một đầu cố định, tác dụng một lực
F
r
vào
đầu còn lại, dây bị căng. Tại những điểm trên dây sẽ xuất hiện
những lực gọi là lực căng.
Khi xem dây có khối lượng khơng đáng kể thì lực căng có
cường độ khơng đổi dọc theo một sợi dây
3. Ví dụ:
VD1. Một hệ gồm 2 vật m
1
= 4kg; m
2
= 2kg. Hệ số ma sát µ= 0,2. dây không co giãn
và khối lượng không đáng kể.
a. Hệ sắp xếp như hình (1). ChoF = 18N. Tính gia tốc và sức căng dây.
b. Hệ sắp xếp như hình (2). Tính F để hệ chuyển động thằng đều theo hướng của F



ĐS: a) 1m/s
2
; 6N; b) 28N
VD2 . Do tác dụng của quả cân m = 100g, một miếng gổ
khối lượng M = 400g từ vò trí nằm yên, xe dòch 80cm
trong 2s.
a. Tính gia tốc của hai vật
b. Tính lực ma sát và hệ số ma sát
c. Sau đó dây nối đứt, vật M di chuyển một đoạn bao

nhiêu thì dừng lại.
ĐS: a) 0,4m/s
2
; b) 0,8N; 0,2 ; c) 0,16( m)
VD3. Cho hai vật m
1
= 5kg, m
2
= 2kg; hệ số ma sát m
1
và mặt
nghiêng µ =0,1; α = 30
0
.
a. Vật m
1
chuyển động theo chiều nào khi bỏ qua ma sát.
α

m
1
m
2
11
b. Tính gia tốc chuyển động ( có ma sát)
c. Đoạn đường m
1
, đi được trong một giây đầu.
Cho g = 10m/s
2

.
ĐS: a) Hướng xuống; b) 0,1(m/s
2
); c) 0,05m
VD4. Hai vật m
1
= 3kg; m
2
=2kg được nối vào hai đầu một
sợi dây mảnh vắt qua ròng rọc theo hình vẽ. Vật m
1
trượt
không ma sát trên mặt phằng một góc α = 30
0
với
phương ngang. Cho g = 10m/s
2
.
a. Vẽ các lực tác dụng lên hai vật cho biết vật m1
chuyển động theo chiều nào? Vì sao?
b. Tìm gia tốc chuyển động của hai vật.
c. Tính lực căng của hai sợi dây nối.
d. Nếu có ma sát giữa m1 và mặt nghiêng của hệ số ma sát µ = 0,115, gia tốc
chuyển động hai vật bằng bao nhiêu ?
ĐS: a) Theo chiều đi lên; b) a=1m/s
2
; c) T = 18N ; d) a=0,4m/s
2

3. Lực hấp dẫn:
Trái đất hút mọi vật về phía nó, trái đất và mặt trời hút nhau, mặt trăng và trái đất hút
nhau… Qua nhiều hiện tượng, Newton đã tổng qt và tìm ra định luật vạn vật hấp dẫn
(gắn liền với truyền thuyết “quả táo rơi”)
a. Định luật:
Hai chất điểm có khối lượng m và m’ đặt cách nhau r sẽ hút nhau bằng những lực có
phương nằm trên đường thẳng nối hai chất điểm và có độ lớn:

/
/
2
mm
FFG
r
== (2.3)
Trong đó G = 6,67.10
-11
Nm
2
/kg
2
là hằng số hấp dẫn.
b. Ứng dụng:
Xét một vật có khối lượng m đang ở độ cao h.
Gọi M và R lần lượt là khối lượng và bán kính trái đất
Khi đó, lực hấp dẫn mà trái đất tác dụng lên vật chính là trọng lực:

2
()
mM

PG
Rh
=
+
(2.4)
Mà P = mg
Suy ra
2
()
M
gG
Rh
=
+

Nếu vật ở trên mặt đất (h=0) thì
0
2
M
gG
R
=
Ta biết rằng tại mặt đất g
0
=9,81m/s
2
, bán kính trái đất là 6400km.
Thế số ta “cân” được trái đất: M = 6.10
24
kg.

Sau khi Newon phát hiện định luật vạn vật hấp dẫn hơn một thế kỷ sau, nhà bác học
người Anh Cavendish đã lần đầu tiên đo được hằng số hấp dẫn bằng cân xoắn. Kết quả
mà ơng đo được chỉ sai lệch 1% so với kết quả mà khoa học hiện đại ngày nay đo được.

α

m
1
m
2
12
II.5. Chuyển động tương đối, ngun lý Galilê:
1. Khơng gian và thời gian theo cơ học cổ điển
Cơ học cổ điển xây dựng trên cơ sở những quan điểm của Niutơn về khơng gian và thời
gian:
- Thời gian tuyệt đối, khơng phụ thuộc vào hệ quy chiếu.
- Vị trí khơng gian có tính chất tương đối, phụ thuộc vào hệ quy chiếu. Do đó, chuyển
động có tính tương đối, phụ thuộc vào hệ quy chiếu.
- Khoảng cách khơng gian có tính tuyệt đối, khơng phụ thuộc vào hệ quy chiếu.
2. Nguyên lý Galilê:
Xét một hệ quy chiếu đứng n Oxyz. Một hệ O’x’y’z’ chuyển động tịnh tiến với vận tốc
V
r
so với hệ Oxyz .
Phương trình đònh luật 2 Niutơn cho một vật trong hệ Oxyz:
Fam
r
r
= (2.5)
từ (1.13): Aaa

r
r
r
+=
/

nếu hệ O
/
chuyển động thẳng đều đối với hệ O thì 0
r
r
=A
khi đó:
/
aa
r
r
=
Suy ra: Fam
r
r
=
/
(2.6)
Đây chính là phương trình đònh luật 2 Niutơn cho vật trong hệ O
/

Như vậy: mọi hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều đối với một hệ quy chiếu quán
tính cũng là hệ quy chiếu quán tính. Nói cách khác, các phương trình động lực học
trong các hệ quy chiếu quán tính có dạng như nhau. Đây chính là nội dung của

nguyên lý tương đối của Galilê.

II.6. Hệ quy chiếu khơng qn tính. Lực quán tính:
Giả sử hệ O
/
chuyển động với gia tốc 0
r
r
≠A so với hệ quy chiếu quán tính O.
Ta có: Aaa
r
r
r
+=
/

Nhân 2 vế với m: Amamam
r
r
r
+=
/

hay AmamF
r
r
r
+=
/

suy ra
(
)
/
amAmF
r
r
r
=−+ (2.7)
Như vậy, trong hệ quy chiếu không quán tính, ngoài các lực tác dụng lên vật ta
phải kể thêm lực AmF
qt
r
r
−= gọi là lực quán tính. Khi đó, hệ quy chiếu O
/
gọi là hệ quy
chiếu không quán tính.
VD1: Trong một thang máy có treo một lực kế. Một người trong thang máy treo một
vật 10kg vào lực kế. Lực kế chỉ bao nhiêu nếu:
a. Thang máy đứng n.
b. Thang máy chuyển động đi lên với gia tốc 1m/s
2
.
c. Thang máy chuyển động di xuống với gia tốc 1m/s
2

Lấy g=9,8m/s
2
.

ĐS: a. 98N b. 108N c.88N
VD2: Trên một đĩa nằm ngang đang quay, người ta đặt vật có khối lượng 1kg cách
trục quay r=50cm. Hệ số ma sát trượt giữa vật và đãi là k=0,25.
13
a. Lực ma sát phải có độ lớn bắng bao nhiêu để vật giữ trên đĩa nếu đĩa quay với vận
tốc n=12vòng/phút.
b. Với vận tốc góc nào thì vật bắt đầu trượt trên đĩa.
ĐS: 0,784N; 2,2 rad/s
VD3: Một con lắc đơn treo lên trần của một ôtô. Ôtô đang tăng tốc với gia tốc
a=4,9m/s
2
. Tính góc lệch của dây treo so với phương thẳng đứng khi vật cân bằng.
ĐS: 30
0
.

II.7. Động lượng:
1. Động lượng, các định lí về động lượng:
Từ định luật II Newton, ta viết lại:

dt
vmd
dt
vd
mamF
)(
r
r
r
r

=== (2.8)
Đặt
pmv
=
rr
: gọi là vectơ động lượng của chất điểm.
Khi đó ta viết (2.3):
dp
F
dt
=
r
r
(2.9)
Định lí 1: Đạo hàm động lượng của một chất điểm đối với thời gian có giá trị bằng lực
(hay tổng hợp các lực) tác dụng lên chất điểm đó. Đây là một dạng viết khác của định
luật II Newton.
Từ (2.4):
dpFdt
=
r
r
(2.10)
Tích phân 2 vế của (2.5):

2
1
21
t
t

pppFdt
∆=−=
∫
r
rrr
(2.11)
Định lí 2: Độ biến thiên động lượng của một chất điểm trong một khoảng thời gian nào
đó có giá trị bằng xung lượng của lực (hay tổng hợp các lực) tác dụng lên chất điểm trong
khoảng thời gian đó.
2. Ý nghĩa của động lượng và xung lượng:
*Ý nghĩa của động lượng: Vận tốc là đại lượng đặc trưng cho vật về chuyển động.
Nhưng xét về khía cạnh động lực học thì vận tốc và khối lượng liên quan chặt chẽ nhau
và cùng đặc trưng cho chuyển động về mặt động lực học. Do đó, động lượng đặc trưng
cho chuyển động của vật về mặt động lực học.
*Ý nghĩa của xung lượng: xung lượng của một lực trong khoảng thời gian
t
∆
là đại
lượng đặc trưng cho tác dụng của lực trong khoảng thời gian đó. Tức là thời gian tác
dụng lực càng dài thì kết quả tác dụng của lực càng lớn và ngược lại.

II.8. Mômen động lượng:
1. Mômen của một vectơ đối với một điểm:
Momen của vectơ MAV =
r
đối với điểm O là một vectơ.
Kí hiệu:
/
VO
M

r
r


/VO
MOMMArV
=∧=∧
r
uuuuruuur
rr
r


/
VO
M
r
r
là một vectơ có:
- Gốc tại O
- Phương vuông góc với mặt phẳng chứa O và
V
r

14
- Chiều theo quy tắc tam diện thuận (quy tắc nắm tay phải)
- Độ lớn:
/
sin(,).
VO

MrVrVdV
==
r
r
r

Nếu vectơ đang xét là vectơ lực thì ta được momen lực.
Nếu vectơ đang xét là vectơ động lượng thì ta được momen động lượng
2. Định lí về mơmen động lượng:
Ta nhân hữu hướng
r
r
với 2 vế của (2.9):

dp
rrF
dt
∧=∧
r
r
rr
(2.12)
Mà
()
ddrdpdp
rpprr
dtdtdtdt
∧=∧+∧=∧
rrr
rrrrr

vì
0
dr
p
dt
∧=
r
r

Nên ta có:
()
d
rprF
dt
∧=∧
r
rrr
(2.13)
Trong đó:

F
r
r
r
∧
là vectơ mơmen của lực
F
r
đối với điểm O.

rp
∧
rr
là vectơ mơmen đối với điểm O của vectơ động lượng
K
r
, gọi là vectơ mơmen
động lượng của chất điểm đối với O.
Kí hiệu:
Lrp
=∧
r
rr
.
Phương trình (2.8) được viết lại:

/0
F
dL
M
dt
=
r
r
(2.14)
*Định lí mơmen động lượng: Đạo hàm theo thời gian của mơmen động lượng đối với
O của một chất điểm chuyển độngbằng tổng mơmen đối với O của các lực tác dụng lên
chất điểm.
3. Chuyển động trong trường xun tâm:
Trong trường xun tâm, vật ln chịu tác dụng của lực xun tâm

F
r
, lực này ln
hướng về tâm 0 của trường. (Ví dụ trường hấp dẫn của trái đất là trường xun tâm)
Trong trường hợp này, momen của lực
F
r
đối với tâm O:

/0
0
F
M
=
r

constL
dt
Ld
=⇒=
r
r
0
Do đó, chất điểm ln chuyển động trong một mặt phẳng cố định. Các hành tinh trong
hệ mặt trời chuyển động trong trường xun tâm của mặt trời nên quỹ đạo của chúng là
các elip phẳng. Điều này hồn tồn phù hơp với số liệu đo đạt của các nhà thiên văn.

II. 9. Cơ năng của chất điểm:
1. Công, công suất:
a. Công:

Tác dụng lực
F
r
không đổi lên vật làm vật dòch chuyển
một đoạn sMM
r
=
/
thì
F
r
đã thực hiện một công A:

cos(,)
AFsFsFs
==
rr
rr
(2.15)
Nếu
F
r
thay đổi hoặc vật dòch chuyển trên một
đường cong thì ta chia đường cong thành những khoảng
15
vô cùng nhỏ sao cho có thể xem nó là thẳng và
F
r
trên
đoạn dòch chuyển đó là không đổi. Khi đó:

sdFdA
r
r
= (2.16)
Lấy tích phân (4.2) ta tính được công thực hiên trên cả đường cong.

∫
∫
== sdFAdA
r
r
(2.17)
b. Công suất:
Để so sánh sức mạnh (khả năng thực hiên cơng) của các máy ta khơng chỉ so sánh cơng
của các máy đã thực hiện mà phải so sánh thời gian mà các máy thực hiện các cơng ấy.
Đại lượng đặc trưng cho sức mạnh của máy là cơng suất, nó là cơng mà máy thực hiện
trong một đơn vị thời gian
- Công suất trung bình:
t
A
P
tb
∆
∆
= (2.18)
- Công suất tại một thời điểm (cơng suất tức thời):

0
lim
t

A
P
t
∆→
∆
=
∆

hay
dt
dA
P = (2.19)
Từ (2.16) ta có: vF
dt
sdF
dt
dA
P
r
r
r
r
=== (2.20)
Cơng thức (2.20) rất có ý nghĩa trong cuộc sống. Với một máy nhất định nếu chúng ta
muốn có lực lớn thì vận tốc phải nhỏ va ngược lại. Người ta ứng dụng điều này để chế tạo
hộp số.
2. Năng lượng, đònh luật bảo toàn năng lượng:
-Mọi vật chất đều có năng lượng, năng lượng đặc trưng cho khả năng sinh công của
vật.
Ví dụ:

*Vật đang ở độ cao h sẽ có năng lượng vì nếu rơi, vật sẽ sinh công làm lún đất
hoặc hoặc làm biến dạng các vật khác.
*Một chiếc xe đang chạy trên đường có mang năng lượng vì nếu va vào vật khác
nó sẽ sinh công làm biến dạng các vật.
- Một vật ở trạng thái xác đònh thì có năng lượng xác đònh.
- Khi hệ biến đổi từ trạng thái 1 (có năng lượng W
1
) sang trạng thái 2 (có năng
lượng W
2
) thì hệ nhận từ bên ngoài 1 công A, thực nghiệm chứng tỏ rằng:
W
1
-W
2
=A
- Khi hệ cô lập: A = 0 thì W
1
= W
2
, tức năng lượng của hệ bảo toàn.
*Đònh luật bảo toàn năng lượng: Trong một hệ cô lập, năng lượng của hệ được bảo
toàn.
Đònh luật bảo toàn có ý nghóa rất quan trọng trong sự phát triển của khoa học kó
thuật. Nó khẳng đònh rằng: năng lượng không tự sinh ra cũng không tự mất đi, nó chỉ
chuyển từ dạng này sang dạng khác và từ vật này sang vật khác. Vì vậy nó đã chấm
16
dứt công cuộc đi tìm “công thức” để chế tạo các động cơ vónh cửu của các nhà khoa
học đương thời.
3. Động năng:

Xét vật có khối lượng m chòu tác dụng
của lực
F
r
chuyển động từ 1 à2.
Công lực
F
r
thực hiện:
∫
=
)2(
)1(
sdFA
r
r
(2.21)
Trong đó: .
dvdvdsdv
Fmammmv
dtdsdtds
====
rrrr
r
r
rr

Suy ra:
2
1

2
dv
Fdsmvdsmvdvdmv
ds

===


r
r
rrrrrr
r

Thế vào (2.21), ta được:
222
2
1
2
2
)2(
)1(
2
mvmv
mv
dA −=









=
∫
(2.22)
Gọi W
đ
2
2
mv
= là động năng của vật.
Khi đó (2.22) trở thành:W
đ2
- W
đ1
= A (2.23)
Biểu thức (2.23) là biểu thức của đònh lý động năng.
*Đònh lý động năng: Độ biến thiên động năng của một chất điểm trong một quãng
đường nào đó có giá trò bằng công của ngoại lực tác dụng lên chất điểm sinh ra trong
quãng đường đó.
4. Trường lực thế, thế năng trong trường lực thế:
a. Trường lực thế:
Một chất điểm gọi là chuyển động trong trường lực nếu tại mọi vò trí chất điểm
đều chòu tác dụng của lực do trường gây ra.
Lực
F
r
do trường tác dụng nói chung phụ thuộc vào vò trí của chất điểm và cũng có
thể phụ thuộc thời gian.

Xét trường hợp
F
r
chỉ phụ thuộc vào
r
r
: )(rFF
r
r
r
=
Khi chất điểm chuyển động từ M à N, công của lực
F
r
thực hiện:

∫
=
MN
MN
sdFA
r
r
(2.24)
Nếu công A
MN
không phụ vào dạng đường dòch chuyển mà chỉ phụ thuộc vào điểm
đầu M và điểm cuối N thì ta gọi )(rF
r
r

là lực của một trường lực thế.
Thí dụ:
- Trường hấp dẫn.
- Trường Colomb.
b. Thế năng :
Từ khái niệm về trường lực thế, ta biết rằng công A
MN
ở (2.24) chỉ phụ thuộc vào
các vò trí của M và N. Từ điều này, ta có thể đưa ra khái niệm đặc trưng cho năng
lượng của vật ở các vò trí trên trong trường lực, đó là khái niệm thế năng.
17
Thế năng của chất điểm trong trường lực thế W
t
là một hàm phụ thuộc vào vò trí của
chất điểm sao cho:
)()( NWMWA
ttMN
−= (2.25)
Chú ý: thế năng của chất điểm tại một vò trí được xác đònh sai khác một hằng số
cộng tùy thuộc việc chon gốc thế năng.
Thí dụ:
Trường trọng lực (trọng trường): W
t
(z) = mgz + C (2.26)
Trường Colomb:
0
2
()
t
qq

WrkC
r
ε
=+
(2.27)
5. Đònh luật bảo toàn cơ năng trong trường lực thế:
Xét một vật chuyển động từ vò trí M đến N trong trường lực thế.
Theo (2.25): )()( NWMWA
ttMN
−= (2.26)
Mặt khác, theo đònh lý động năng:
A
MN
= W
đ
(N) - W
đ
(M) (2.27)
Từ (2.26) và (2.27): W
đ
(N) + W
t
(N) = W
đ
(M) + W
t
(M)
Vậy: W = W
đ
+ W

t
= Const (2.28)
Gọi W = W
đ
+ W
t
là cơ năng của chất điểm.
Đònh luật bảo toàn cơ năng: chất điểm chuyển động trong trường lực thế thì cơ năng
của chất điểm được bảo toàn.
Chú ý: Đònh luật bảo toàn cơ năng chỉ đúng trong trường hợp vật không chòu tác
dụng của các lực nào khác ngoài lực thế. Nếu có các lực không phải là lực thế (lực
phi thế) thì chúng ta sẽ sử dụng đònh lý động năng (2.27) để giải quyết.
6. Trường hấp dẫn:
a. Trường hấp dẫn:
Ở chương trước chúng ta biết rằng các vật có khối lượng thì chúng tương tác với nhau
theo định luật vạn vật hấp dẫn của Newton. Vậy các tương tác này sẽ truyền đi như thế
nào? Các tương tác này phải nhờ một mơi trường để truyền đi trong khơng gian và mơi
trường để truyền tương tác hấp dẫn gọi là trường hấp dẫn.
Ví dụ: Khơng gian xung quanh trái đất là trường hấp dẫn của trái đất, thường gọi là
trường trọng lực hay trọng trường.
b. Thế năng hấp dẫn:
Xét một vật m chuyển động theo đường cong AB
trong trường hấp dẫn của vật M.
Cơng vi cấp của lực hấp dẫn
F
r
dịch chuyển vật
trong đoạn vi phân
dsMN
=

uuuur
r
:
cos.
dAFPQFPQFPHFdr
α===−=−
uuur
r

Hay
2
Mm
dAGdr
r
=−
Cơng của
F
r
thực hiện dịch chuyển vật từ B:

2
B
A
r
B
AB
Ar
Mm
AdAGdr
r

==−
∫∫

18

AB
AB
MmMm
AGG
rr

=−−−



Ta nhận thấ rằng: công A
AB
không phụ thuộc vào dạng quỹ đạo AB mà chỉ phụ thuộc
vào vị trí của điểm đầu A và điểm cuối B. Nên trường hấp dẫn là trường lực thế.
Từ đây chúng ta có thể định nghĩa thế năng hấp dẫn của một vật m trong trường hấp
dẫn của M, cách M một khoảng r như sau:

t
A
Mm
WGC
r
=−+
(2.29)
Khi đó:

ABtAtB
AWW
=− (2.30)


c. Chuyển động trong trường hấp dẫn:
Vì trường hấp dẫn là là trường xuyên tâm nên vật chuyển động trong trường hấp dẫn
sẽ bảo toàn mômen động lượng tức quỹ đạo của vật là phẳng. Ngoài ra, trường hấp dẫn
cũng là trường lực thế nên cơ năng của vật sẽ được bảo toàn (nếu bỏ qua ma sát).
Xét trường hợp trường hấp dẫn của trái đất:
Giả sử tại một vị trí M trong trường hấp dẫn của trái đất, chúng ta bắn một vật có khối
lượng m với vận tốc v
0
. Từ thực nghiệm ta nhận được các kết quả sau:

+
0
I
vv
<
: vật rơi trở lại trái đất.
+
0
I
vv
=
: vật chuyển động tròn quanh trái đất
+
0
III

vvv
<<
: vật chuyển động quanh trái đất theo quỹ đạo là một elip.
+
0
II
vv
=
: vật chuyển động ra xa trái đất theo quỹ đạo là parabol.
+
0
II
vv
>
: vật chuyển động ra xa trái đất theo quỹ đạo là hyperbol.
Với
,
III
vv
: gọi là các vận tốc vũ trụ cấp 1, cấp 2.
Vận dụng kết quả này, muốn phóng một vật lên không trung để nó thành một vệ tinh
của trái đất thì vận tốc đầu lúc phóng phải thỏa
0
III
vvv
≤<
. Ngoài ra còn có một điều
kiện ràng buộc nữa là góc phóng phải là 0
0
. Vì vậy, để thiết lập một vệ tinh của trái đất, ta

phải phóng một tên lửa dẫn đường đưa vệ tinh lên độ cao h. Sau đó, tên lửa sẽ truyền cho
vệ tinh vận tốc đầu v
0
với góc phóng
0
α
≈
.
*Tính vận tốc vũ trụ cấp 1:
Với vận tốc vũ trụ cấp 1, vật chuyển động tròn đều quanh trái đất. Nên gia tốc trọng
trường đóng vai trò là gia tốc hướng tâm. Vì vậy:

2
I
v
g
Rh
=
+

Hay
()
2
2
I
v
M
G
Rh
Rh

=
+
+

Suy ra:
I
GM
v
Rh
=
+
(2.31)
Nếu xét ở độ cao h nhỏ (
0
h
≈
). Thế số ta được
7,9/
I
vkms
≈.
* Tính vận tốc vũ trụ cấp 2:
19
Lúc bắn, vật có vật tốc v
0
ở độ cao h, cơ năng của vật:

2
0
1

2
GMm
Wmv
Rh
=−
+

Khi vật đã bay ra rất xa so với trái đất (ở
∞
) thì:

/2
1
2
GMm
Wmv
∞
=−
∞

Bảo tồn cơ năng, ta được:

22
0
11
0
22
GMm
mvmv
Rh

∞
−=≥
+

Suy ra:
0
2
GM
v
Rh
≥
+
(2.32)
Giá trị
2
GM
Rh
+
gọi là vận tốc vũ trụ cấp 2. Thế số ta được
11,2/
II
vkms
≈ .
7. Sơ đồ thế năng của chuyển động có giới hạn:
Thế năng của một vật trong trường lực thế là một hàm theo 3 tọa độ (x,y,z). Giả sử thế
năng chỉ phụ thuộc vào tọa độ x thì:

()
tt
WWx

=
Khi đó, ta có thể vẽ đồ thị của
()
t
Wx
theo x, đồ thị này gọi là sơ đồ thế năng. Dựa vào
sơ đồ thế năng của vật ta có thể suy ra một cách định tính về tính chất chuyển động của
vật.
Ta biết rằng, theo định luật bảo tòan cơ năng thì:
W = W
đ
+ W
t
(x)

= Const
Mà
d
0
W
≥

Nên ()
t
WxW
≤
(2.33)
Từ (2.33), trong bài tóan cụ thể chúng ta sẽ thấy rằng:
AB
xxx

≤≤
. Tức là, vị trí của vật bị
giới hạn trong một phạm vi nào đó (chuyển động có giới hạn).
Ví dụ 1: Thả quả banh tennis từ độ cao h, bỏ qua mọi ma sát và mất mát năng lượng
thì vật sẽ rơi nhanh dần xuống mặt đất (thế năng giảm động năng tăng). Khi chạm đất, vật
nảy lên và chuyển động chậm dần lên độ cao h ban đầu (thế năng tăng dần và động năng
giảm dần). Tới độ cao h, vật sẽ dừng lại và tiếp tục rơi xuống. Như vậy, độ cao của vật
được giới hạn từ 0 đến h.
Ví dụ 2: vật dao động điều hòa (tự phân tích). Li độ:
AxA
−≤≤


8. Các dạng cân bằng:
a. Cân bằng bền:
Là dạng cân bằng mà khi dịch chuyển vật ra khỏi
vị trí cân bằng thì vật quay trở lại vị trí cũ.
b. Cân bằng khơng bền:
Là dạng cân bằng mà khi dịch chuyển vật ra khỏi
vị trí cân bằng thì vật sẽ khơng quay trở lại vị trí cũ.


Ta nhận thấy rằng, trường hợp thế năng của vật là nhỏ nhất so với các vị trí lân cận thì
vật cân bằng bền và ngược lại.
20
Chương III: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM – VẬT RẮN

III.1. Khối tâm:
1. Đònh nghóa:
Khối tâm của một hệ chất điểm M

1
,M
2
, ….,M
n
lần lượt có khối lượng m
1
,m
2
,…,m
n
là
một điểm G được xác đònh bằng biểu thức:

0
1
=
∑
=
GMm
i
n
i
i
(3.1)
Khi đó, tọa độ của khối tâm đối với gốc tọa độ O:

i
i
OGOMMG

=+
uuuruuuuruuuur

Nhân 2 vế cho m
i
rồi lấy tổng theo i ta được:


111
nnn
i
iiii
iii
mOGmOMmMG
===

=+


∑∑∑
uuuruuuuruuuur

Từ (3.1), ta được:
11
nn
iii
ii
mOGmr
==


=


∑∑
uuur
r

Suy ra:
1
1
n
ii
i
n
i
i
mr
ROG
m
=
=
==
∑
∑
ur
uuur
r
(3.2)
Nếu chiếu lên các trục tọa độ:

∑
∑
=
=
=
n
i
i
i
n
i
i
m
xm
X
1
1
;
∑
∑
=
=
=
n
i
i
i
n
i
i

m
ym
Y
1
1
;
∑
∑
=
=
=
n
i
i
i
n
i
i
m
zm
Z
1
1
(3.3)
Các công thức (3.2) và (3.3) cho ta xác đònh vò trí của khối tâm của vật rắn.
2. Vận tốc của khối tâm:
Lấy đạo hàm theo thời gian hai vế của phương trình (3.2), ta được công thức xác
đònh vận tốc khối tâm:
∑
∑

∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
==












==
n
i
i
i
n
i

i
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
i
n
i
i
m
vm
m
dt
rd
m
m
rm
dt
d
dt
Rd
V
1
1

1
1
1
1
r
r
r
r
r

Vậy:
∑
∑
=
=
=
n
i
i
i
n
i
i
m
vm
V
1
1
r
r

(3.4)
Gọi
P
r
là tổng động lượng của hệ:
∑∑
==
==
n
i
ii
n
i
i
vmpP
11
r
r
r

21
Từ (3.4):
∑
=
=
n
i
i
m
P

V
1
r
r

Suy ra: VmP
n
i
i
r
r






=
∑
=1
(3.5)
Vậy: tổng động lượng của hệ bằng động lượng của một chất điểm đặt tại khối tâm
của hệ, có khối lượng bằng tổng khối lượng của hệ và có vận tốc bằng vận tốc của khối
tâm.
3. Phương trình chuyển động của khối tâm:
Gọi
i
F
r
là ngoại lực tác dụng lên chất điểm m

i


i
f
r
là nội lực tác dụng lên chất điểm m
i


iii
maFf
=+
r
r
r

Lấy đạo hàm hai vế (4.4) theo t:

∑
∑
=
=
=
n
i
i
i
n
i

i
m
dt
vd
m
dt
Vd
1
1
r
r

Suy ra:
dt
vd
m
dt
Vd
m
i
n
i
i
n
i
i
r
r
∑∑
==

=






11

Hay
()
111
nnn
iiii
iii
maFfF
===

=+=


∑∑∑
r
rr
r

Vì theo đònh luật III Newton, nội lực tồn tại theo các cặp trực đối nên tổng nội lực
trong hệ bằng không:
1
0

n
i
i
f
=
=
∑
r

Do đó:
11
nn
ii
ii
maF
==

=


∑∑
r
r
(4.5)
Vậy: Khối tâm của hệ chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng tổng
khối lượng của hệ và chòu tác dụng của một lực bằng tổng hợp các ngoại lực tác dụng
lên hệ.

III.2. Đònh luật bảo toàn động lượng cho hệ chất điểm:
1. Bảo toàn động lượng hệ chất điểm:

Với
i
F
r
là lực tác dụng lên chất điểm m
i
, ta có:

i
ii
dv
mF
dt
=
r
r

Lấy tổng hai vế theo i, ta được:

11
nn
i
ii
ii
dv
mF
dt
==
=
∑∑

r
r

22
Hay
1
n
ii
i
d
mvF
dt
=

=


∑
r
r
(3.7)
trong đó
1
n
i
i
FF
=
=
∑

rr
là tổng ngoại lực tác dụng lên hệ.
Nếu hệ cô lập thì tổng các ngoại lực tác dụng lean hệ 0
r
r
=F
Khi đó:
Constvm
n
i
ii
=
∑
=1
r
(3.8)
Vậy tổng động lượng của hệ cô lập được bảo toàn.
Từ (3.8) suy ra: Const
m
vm
V
n
i
i
n
i
ii
==
∑
∑

=
=
1
1
r
r

Như vậy, khối tâm của một hệ cô lập hoặc đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều.
2. Bảo toàn động lượng theo phương
Chiếu (3.7) lên phương x, nếu F
x
= 0 thì động lượng của hệ theo phương x được
bảo toàn.

Constvm
n
i
ixi
=
∑
=1
(3.9)
3. Ứng dụng:
- Hiện tượng súng giật
- Chuyển động bằng phản lực.
- Các hiện tương trong cuộc sống hàng ngày.

III.3. Mômen động lượng của hệ chất điểm:
1. Mômen động lượng của hệ chất điểm đối với một điểm:
Chất điểm m

i
chuyển động với vận tốc
i
v
r
đối với hệ quy chiếu có gốc O. Vò trí của
m
i
được xác đònh bằng bán kính vectơ
i
r
r
. Khi đó, mômen động lượng của chất điểm
m
i
được xác đònh ở chương II:
iiii
Lrmv
=∧
r
rr

Mômen động lượng của hệ chất điểm m
i
được xác đònh bằng tổng mômen động
lượng của hệ chất điểm đối với O:

ii
i
i

i
i
vmrLL
r
r
r
r
∧==
∑
∑
(3.10)
2. Mômen động lượng của hệ chất điểm đối với một trục cố đònh:
Xét một chất điểm chuyển động quanh một trục cố đònh
∆
thì mômen động lượng
của nó đối với trục quay
∆
được xác đònh:

iii
LI
ω
=
r
r
(3.11)
Với
2
iii
Imr

= : gọi là mơmen qn tính của chất điểm đối với trục quay
∆
.

i
ω
r
: vận tốc góc của chất điểm đối với trục quay
∆
.
Đối với hệ chất điểm thì mơmen động lượng
L
r
:
23

iii
ii
LLI
ω
==
∑∑
rr
r
(3.12)
• Nếu hệ chất điểm là vật rắn thì vận tốc góc của các chất điểm là như nhau và
bằng
ω
r
, do đó:

ii
ii
LLI
ω

==


∑∑
rr
r


LI
ω
=
r
r

Với
2
iii
ii
IImr
==
∑∑
: mơmen qn tính của vật rắn đối với trục quay
∆
. (3.13)

3. Đònh lý về mômen động lượng của một hệ chất điểm:
Theo (2.14), ta có:

/0
i
i
F
dL
M
dt
=
r
r

Lấy tổng hai vế theo i ta được:

/0
i
i
F
ii
dL
M
dt
=
∑∑
r
r

Hay
/0
i
i
F
ii
d
LM
dt
=
∑∑
r
rr


d
LM
dt
=
rr
(3.14)
*Định lí mơmen động lượng cho hệ chất điểm: Đạo hàm theo thời gian của mơmen
động lượng đối với O của một hệ chất điểm bằng tổng mơmen đối với O của các lực tác
dụng lên tất cả các chất điểm trong hệ.
Từ (3.14):
dLMdt
=
rr
(3.15)
Nếu tổng mơmen tác dụng lên hệ chất điểm khơng đổi. Lấy tích phân (3.15) ta được:

22
11
LMdtMdtMt
∆===∆
∫∫
rrrr
(3.16)
Ứng dụng: Con quay tỳ lên một điểm cố định (đọc thêm sách)
4. Đònh luật bảo toàn mômen động lượng:
Theo (3.14), ta có:

d
LM
dt
=
rr

Nếu hệ chất điểm cô lập hoặc ngoại lực không có tác dụng làm quay vật thì:
0=
dt
Ld
r

hay ConstL =
r
(3.17)
Như vậy, nếu như các lực tác dụng lên hệ chất điểm không có tác dụng làm quay
vật thì mômen động lượng của hệ chất điểm được bảo toàn.
3. Ứng dụng:

- Vũ công balê, trượt băng.
- Ghế Giucôpxki.
24
III.4. Cơ năng của hệ chất điểm:
1. Động năng của hệ chất điểm:
Động năng của hệ chất điểm là tổng động năng của tất cả các chất điểm trong hệ.
W
đ
=
2
1
2
diii
ii
Wmv
=
∑∑
(3.18)
2. Thế năng tương tác của hệ chất điểm:
Ta biết rằng các chất điểm trong hệ tương tác với nhau, sự tương tác giữa các chất
điểm trong hệ tạo nên thế năng tương tác của hệ
W
t
=
,()
tij
ijij
W
>
∑

(3.19)
3. Cơ năng của hệ chất điểm, định luật bảo tòan cơ năng:
Cơ năng của hệ chất điểm gồm tổng động năng và thế năng của hệ chất điểm:
W= W
đ
+ W
t
(3.20)
Nếu hệ là cơ lập hoặc tổng ngoại lực tác dụng lên hệ bằng 0 thì cơ năng của hệ được
bảo tòan.
W = const

III.5. Chuyển động của vật rắn:
Vật rắn là một hệ chất điểm trong đó khoảng cách giữa các chất điểm là không
thay đổi. Chuyển động của vật rắn tương đối phức tạp nhưng ta có thể phân tích thành
hai chuyển động cơ bản là chuyển động tònh tiến và chuyển động quay
1. Chuyển động tònh tiến:
Chuyển động tònh tiến là chuyển động mà mọi điểm trên vật vạch ra những quỹ
đạo giống nhau trong lúc chuyển động. Tại mỗi thời điểm các chất điểm của vật rắn
chuyển động tònh tiến có vectơ vận tốc và gia tốc như nhau.
Giả thiết các chất điểm m
i
chòu tác dụng bởi các ngoại lực
i
F
r
, nội lực
i
f
r

và có
cùng gia tốc
a
r
,. Theo đònh luật II Newton ta có:

iii
maFf
=+
r
r
r

Lấy tổng hai vế phương trình trên theo i ta được phương trình chuyển động của vật
rắn:

∑∑
==
=






n
i
i
n
i

i
Fam
11
r
r
(3.21)
hay
1
n
i
i
MaF
=
=
∑
r
r

Ta nhận thấy rằng phương trình (3.21) giống với phương trình chuyển động cho hệ
chất điểm. Nó chính là phương trình chuyển động của khối tâm hệ chất điểm. Như
vậy đối với vật rắn chuyển động tònh tiến ta có thể xem vật như một chất điểm có
khối lượng là khối lượng của vật và đặt tại khối tâm của vật.
2. Chuyển động quay:
Khi vật rắn quay quanh một trục
∆
thì:
- Mọi điểm trên vật rắn vạch nên những đường tròn có trục là
∆
.
25

- Tại cùng một thời điểm, mọi điểm trên vật rắn đều có cùng vận tốc góc và gia
tốc góc:
+Vận tốc góc trong chuyển động quay:
dt
d
θ
ω =
+Gia tốc gốc trong chuyển động quay:
dt
d
ω
β =
- Tại một một điểm trên vật rắn:
+Vận tốc dài: rv
r
r
r
∧
=
ω

+Gia tốc tiếp tuyến:
t
ar
β
=∧
r
rr

3. Động năng của chuyển động quay:

Ta có

tt
dAFdsrFdMdMdtMdt
ααωω
=====
r
r

Mà
()
dLdId
MI
dtdtdt
ωω
===
r
rr
r

Suy ra
dAId
ωω
=
rr

Biến đổi, ta được:









=
2
2
ω
IddA
(3.22)
Lấy tích phân 2 vế của phương trình (3.22)

2
2
2
1
2
2
ωω II
A −= (3.23)
Suy ra biểu thức động năng cvủa vật rắn quay:
W
đ
=
2
2
ωI
(3.24)
4. Mômen quán tính, đònh lý Huyghen_Stainer:

Mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay
∆
được xác đònh bằng công thức:
Irm
i
i
i
=
∑
2

Nếu khối lượng của vật phân bố một cách liên tục thì phép lấy tổng chuyển thành
tích phân:

∫
= dmrI
2
(3.25)
Thí dụ:
Momen quán tính quanh của một số vật đặc biệt:
- Momen quán tính của thanh thẳng, đồng chất có chiều dài l,
khối lượng M quanh trục quay
∆
là trung trực của thanh:

2
1
12
IMl
=

- Momen quán tính của đóa tròn phẳng, đồng chất có bán
kính R, khối lượng M quanh trục quay
∆
là trục đối xứng của
đóa:

2
1
2
IMR
=