Động lực học vật rắn

CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH
1. Tọa độ góc
Để khảo sát quy luật chuyển động quay của vật rắn quanh một
trục cố định ta đi khảo sát quy luật chuyển động tròn của điểm M
thuộc vật rắn. Quy luật chuyển động của điểm M phản ánh quy luật
chuyển động quay của vật rắn quanh trục cố định.
Vị trí của điểm M xác định bởi góc
ϕ
hợp giữa
- Đường thẳng OM
0
cố định được chọn tùy ý.
- Bán kính động OM quay theo sự quay của vật rắn.
Góc
ϕ
có dấu phụ thuộc chiều dương quy ước của sự quay được chọn trước. Nếu OM
quay theo chiều dương chọn trước thì
ϕ
>0, ngược lại
ϕ
<0.
ϕ
: Được gọi là tọa độ góc của vật rắn quay, đơn vị của
ϕ
là rad.
2. Tốc độ góc
Gọi ϕ là tọa độ góc của vật rắn tại thời điểm t. Giả thiết sau
khoảng thời gian ∆t vật rắn quay được một góc ∆ϕ, vậy ϕ+∆ϕ
chính là tọa độ góc của vật rắn tại thời điểm t+∆t. Người ta định
nghĩa thương số
t

∆
∆
ϕ
là tốc độ góc trung bình của vật rắn trong
khoảng thời gian ∆t.
t
tb
∆
∆
=
ϕ
ω
Giới hạn của thương số trên khi ∆t dần tới 0 cho ta tốc độ góc tức thời của vật rắn quay tại
thời điểm t
( )






==
∆
∆
=
→∆
s
rad
t
dt

d
t
t
'
0
lim
ϕ
ϕϕ
ω
3. Gia tốc góc
Gọi ω là tốc độ góc của vật rắn tại thời điểm t. Giả thiết sau khoảng thời gian ∆t, tốc độ
góc của vật rắn biến thiên một lượng ∆ω. Người ta định nghĩa thương số
t
∆
∆
ω
là gia tốc góc
trung bình của vật rắn trong khoảng thời gian ∆t.
t
tb
∆
∆
=
ω
γ
Giới hạn của thương số trên khi ∆t dần tới 0 cho ta gia tốc góc tức thời của vật rắn quay tại
thời điểm t
( ) ( )







===
∆
∆
=
→∆
2
"'
0
lim
s
rad
tt
dt
d
t
t
ϕω
ωω
γ
4. Phương trình động lực học của chuyển động quay
a) Vật quay có tốc độ góc ω không đổi
( )
C
=
ω
Phương trình xác định tọa độ góc ϕ của vật rắn quay theo thời gian

t
ωϕϕ
+=
0
0
ϕ
: Là tọa độ góc của vật rắn tại thời điểm ban đầu t=0.
b) Vật quay có gia tốc góc quay không đổi
( )
C
=
γ
+ Phương trình xác định tọa độ góc ϕ của vật rắn quay theo thời gian
2
00
2
1
tt
γωϕϕ
++=
00
,
ωϕ
: Tương ứng là tọa độ góc, tốc độ góc của vật rắn tại thời điểm ban đầu t=0.
1
+
M
0
O
ϕ

M
( )
ttM
∆+
M(t)
+
M
0
O
ϕ
ϕ
∆
+ Phương trình xác định tốc độ góc của vật rắn theo thời gian
t
γωω
+=
0
0
ω
: Là tốc độ góc của vật rắn tại thời điểm ban đầu t=0.
+ Phương trình liên hệ giữa tọa độ góc và tốc độ góc
Từ phương trình
2
00
2
1
tt
γωϕϕ
++=
và

t
γωω
+=
0
2
00
00
2
1








−
+








−
+=⇒
γ

ωω
γ
γ
ωω
ωϕϕ
γ
ωωωω
γ
ωωω
ϕϕ
2
00
22
00
0
2
222
+−
+
−
+=⇒
( )
0
2
0
2
2
ϕϕγωω
−=−⇒
5. Vận tốc và gia tốc của điểm trên vật quay

a. Vận tốc
rv
ω
=
ω: Là tốc độ góc của vật quay; r là khoảng cách từ điểm xét đến trục quay
b. Gia tốc
Nếu vật quay đều, vectơ gia tốc của điểm xét luôn hướng về tâm quỹ đạo nằm trên trục
quay(gọi là gia tốc hướng tâm). Độ lớn xác định theo phương trình
r
r
v
a
n
2
2
ω
==
Nếu vật quay không đều, gia tốc của vật được phân tích thành 2 thành phân
+ Thành phần hướng tâm xác định theo phương trình(gia tốc hướng tâm).
r
r
v
a
n
2
2
ω
==
+ Thành phần có phương tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động tròn(gia tốc tiếp tuyến) xác
định theo phương trình

( )
r
dt
d
r
dt
rd
dt
dv
a
t
γ
ωω
====
Gia tốc toàn phần có độ lớn
22
tn
aaa
+=
PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH MỘT TRỤC
CỐ ĐỊNH
1. Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh trục cố định
Xét trường hợp đơn giản vật rắn là một quả cầu nhỏ khối lượng m gắn vào đầu một thanh
nhẹ, có độ dài r quay trên mặt phẳng nằm ngang quanh trục thẳng đứng qua một đầu O của
thanh như hình vẽ.
Lực
t
F
có phương tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động
Theo định luật II Niutơn ta có

( )
γ
rmmaF
tt
==
Mômen của lực
t
F
đối với trục quay qua O
( )
( )
γγ
2
mrrrmrFM
t
===
Trường hợp tổng quát vật rắn có hình dạng bất kì quay quanh một
trục
∆
cố định. Ta chia vật rắn thành vô số chất điểm m
i
, mỗi chất điểm
m
i
chuyển động trên những vòng tròn nằm trong những mặt phẳng
vuông góc với trục quay có bán kính r
i
.
Mômen lực tác dụng lên mỗi chất điểm
γ

.
2
iii
rmM
=
2
m
O
r
t
F
m
i
m
j
O
i
O
j
ω
Tổng các mômen lực tác dụng lên toàn bộ vật rắn
γγ






===
∑∑∑

===
n
i
ii
n
i
ii
n
i
i
rmrmMM
1
2
1
2
1
.
Đặt
∑
=
=
n
i
ii
rmI
1
2
: Mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay
∆
.

γ
IM
=⇒
Phương trình trên được gọi là phương trình động lực học của vật rắn quay quanh trục cố
định.
MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG
ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG
1. Mômen động lượng
Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh trục cố định
dt
d
IIM
ω
γ
==
Nếu I=const ta có thể viết
( )
dt
Id
M
ω
=
Đặt
ω
IL
=
, phương trình động lực học được viết dưới dạng
dt
dL
M

=
L : Mômen động lượng của vật rắn đối với trục quay.
2. Định luật bảo toàn mômen động lượng
Từ phương trình động lực học viết dưới dạng
dt
dL
M
=
Nếu
0
=
M
constL
dt
dL
=⇒=⇒
0
Nếu tổng mômen lực tác dụng lên một vật rắn đối với một trục quay bằng 0 thì mômen động
lượng của vật rắn đối với trục quay đó được bảo toàn.
2211
ωω
IIconstL
=⇒=
ĐỘNG NĂNG CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH
1. Động năng của vật rắn quay quanh một trục cố định
Coi vật rắn như là một hệ chất điểm, mỗi chất điểm có khối lượng
và vận tốc tương ứng là m
i
, v
i

Động năng của vật rắn quay
( )
( )
∑∑∑
===
=






=






=
n
i
ii
n
i
ii
n
i
iid
rmrmvmW

1
2
1
2
2
1
2
22
1
2
1
ω
ω
( )
I
L
I
I
IW
d
2
2
2
2
1
2
1
2
1
===

ω
ω
Câu : Phát biểu nào sau đây là đúng.
a) Khi một vật rắn chuyển động tịnh tiến thì mômen động lượng của nó đối
với một trục quay bất kì không đổi.
b) Mômen quán tính của vật đối với một trục quay là lớn thì mômen động lượng của nó đối với trục đó
cũng lớn.
c) Đối với một trục quay nhất định nếu mômen động lượng của vật tăng 4 lần thì Mômen quán tính của
nó cũng tăng 4 lần.
d) Mômen động lượng của một vật bằng không khi hợp lực tác dụng lên vật bằng không.
3
m
i
m
j
O
i
O
j
ω
i
v
j
v
Câu : Hai đĩa tròn có cùng mômen quán tính đối với cùng một trục quay đi qua tâm của các đĩa. Lúc
đầu đĩa 2 đứng yên, đĩa 1 quay với tốc độ góc không đổi
0
ω
. Ma sát ở trục quay nhỏ không đáng kể.
Sau đó cho hai đĩa dính vào nhau, hệ quay với tốc độ góc

ω
. Động năng của hệ hai đĩa lúc sau tăng
hay giảm so với lúc đầu.
a) Tăng 3 lần b) Giảm 4 lần c) Tăng 9 lần d) Giảm 2 lần
Giải
Bảo toàn mômen động lượng cho ta phương trình
4