bài giảng sức bền vật liệu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG

TS.TRẦN HƯNG TRÀ





BÀI GIẢNG

SỨC BỀN VẬT LIỆU

















NTU - 2014

Sức bền vật liệu Mechanics of materials

Trang 2

Lời nói đầu
Nhằm hỗ trợ sinh viên tự học môn học Sức bền vật liệu. Cuốn tài liệu này được biên soạn với nội dung gồm 12
chương. Trong mỗi chương sẽ giới thiệu tóm tắt về cơ sở lý thuyết và ví dụ minh hoạ để sinh viên dễ dàng nắm lý thuyết và
vận dụng giải bài tập. Toàn bộ nội dung trong tài liệu đều dùng hệ thống ký hiệu và các qui ước theo các tài liệu đang dùng
phổ biến trên thế giới. Ngoài hệ đơn vị SI thường dùng, trong tài liệu này có dùng thêm hệ đơn vị USCS. Hy vọng cuốn tài
liệu này sẽ hỗ trợ sinh viên tiếp cận môn học Sức bền vật liệu được hiệu quả hơn, tạo bước đệm cho việc tiếp cận và khai
thác các tài liệu tiếng Anh liên quan đến môn học này thuận lợi hơn. Ngoài ra, cuốn tài liệu này cũng mong đợi sẽ là tài liệu
tham khảo hữu hiệu cho những sinh viên ôn thi đầu vào cao học các ngành kỹ thuật.
Nội dung được trình bày tập trung vào phân tích và tính toán độ bền trong các chi tiết hay kết cấu cơ bản (thanh
chịu lực dọc trục, thanh chịu xoắn, thanh chịu uốn, và thanh chịu tải kết hợp) đáp ứng hai tiêu chí chính: (1) Đảm bảo độ
bền – thanh không bị phá huỷ do quá tải, (2) Đảm bảo độ cứng – Thanh không bị biến dạng quá giới hạn cho phép. Ngoài
biến dạng ổn định thông thường, chương 11 đề cập đến biến dạng do mất ổn định (buckling), trong đó tập trung vào thanh
bị mất khả năng làm việc do biến dạng lớn đột ngột khi bị nén. Nội dung cuốn tài liệu gồm các chương như sau:
Chương 1 – Giới thiệu tổng quan và các khái niệm liên quan đến môn học.
Chương 2 – Phân tích và tính toán độ bền của thanh, hệ thanh chịu lực đơn giản, kéo/nén đúng tâm đơn giản.
Chương 3 – Phân tích và tính toán độ bền của thanh, hệ thanh chịu tác dụng của thuần tuý mô men xoắn.
Chương 4 – Xây dựng biểu đồ nội lực cho dầm chịu uốn ngang phẳng.
Chương 5 – Xác định ứng suất pháp và biến dạng dài trong dầm cho mô men uốn gây ra.
Chường 6 – Xác định ứng suất tiếp do lực cắt trong dầm gây ra.
Chương 7 – Định vị và xác định ứng suất pháp cực đại, ứng suất tiếp cực đại tại điểm trên thanh có nhiều thành
phần ứng suất.
Chương 8 – Phân tích và tính toán các thanh chịu lực tổng hợp (kéo/nén, xoắn, và uốn đồng thời).
Chương 9 – Thiết lập đường cong biến dạng dầm (đường đàn hồi ) và giải bài toán dầm siêu tĩnh.
Chương 10 – Xác định lực tới hạn gây mất ổn định theo chịu nén và thiết kế thanh chịu nén.
Chương 11 – Xác định năng lượng biến dạng trong thanh; dùng phương năng lượng để tính chuyển vị, giải các bài

toán siêu tĩnh, tính toán tải va đập.
Chương 12 – Các tiêu chuẩn đánh giá độ bền cho vật liệu dẻo và vật liệu giòn.
Đây là cuốn tài liệu được viết lần đầu, không thể tránh khỏi sai sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của tất
cả bạn đọc (email: ).










Sức bền vật liệu Mechanics of materials

Trang 3


PHỤ LỤC

Nội dung Trang
Chương 1. Giới thiệu chung
Chương 2. Thanh chịu lực dọc trục
Chương 3. Thanh chịu xoắn
Chương 4. Xây dựng biểu đồ nội lực cho dầm chịu uốn
Chương 5. Ứng suất pháp trong dầm chịu uốn
Chương 6. Ứng suất tiếp trong dầm chịu uốn
Chương 7. Đường đàn hồi của dầm chịu uốn
Chương 8. Trạng thái ứng suất và biến dạng

Chương 9. Thanh chịu lực tổng quát
Chương 10. Ổn định thanh
Chương 11. Các phương pháp năng lượng
Chương 12. Các tiêu chuẩn bền






TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. R.C.Hibbeler, Mechanics of materials, Prentice Hall, 2011.
2. F.P. Beer, E.R. Johnston, J.T. Dewolf, D.F. Mazurek, Mechanics of materials, Mc Graw Hill, 2009.
3. R.R. Craig, Mechanics of materials, John Wiley&Son, 2011.
4. J.M. Gere, Mechanics of materials, Thomson Learning Inc., 2004.
5. S. Patnail and D. Hopkins, Strength of materials ,Elsevier, 2004.
6. A. Pytel, J. Kiusalaas, Mechanics of materials, Cengage Learning, 2012.











Sức bền vật liệu Mechanics of materials

Trang 4
Chương 1 GIỚI THIỆU CHUNG
NGOẠI LỰC, NỘI LỰC, ỨNG SUẤT, BIẾN DẠNG, CƠ TÍNH, THIẾT KẾ

1.1. Ngoại lực:
Ngoại lực là các lực (kể cả mô men) từ bên ngoài tác dụng lên vật. Ngoại lực gồm 4 loại chính:

- Lực tập trung – F (concentrated force), mô men tập
trung – F.L (concentrated couple), xem hình 1.1.
- Tải phân bố đường –F/L (line load), xem hình 1.1.
- Tải phân bố mặt – F/L
2
(surface load), xem hình 1.1.
- Tải phân bố khối – F/L
3
(body load) – Đây là tải gây ra
tải gây ra ở khoảng cách xa, như lực hút trọng trường
hay lực hấp dẫn.


Hình 1.1. Minh hoạ các loại ngoại lực.

1.2. Các loại liên kết và phản lực liên kết: Để cố định hay liên kết các vật ta cần dùng đến các loại liên kết. Lực tác dụng
giữa liên kết và vật gọi là lực liên kết/phản lực liên kết. Vật bị liên kết được gọi là vật không tự do, vật được giải phóng liên
kết và thay vào đó các phản lực liên kết tương ứng được gọi là vật tự do (free body). Các loại liên kết thường gặp và các
phản lực liên kết tương ứng được thể hiện trong bảng 1.1.

Bảng 1.1. Các loại liên kết 2D thường gặp và phản lực tương ứng

Tên liên kết Biểu diễn trên hình Các phản lực liên kết tương ứng Số phản lực liên kết

Gối đỡ di động.






Một phản lực vuông góc
với mặt tựa.


Liên kết thanh.
Liên chốt lỏng.
Liên kết dây mềm.






Có một phản lực dọc
trục.


Gối đỡ cố định.

Hai thành phần phản
lực.

Liên kết ngàm.
Liên kết bằng mối
hàn.







Ba thành phần phản lực:
2 lực và 1 mô men.
Sức bền vật liệu Mechanics of materials

Trang 5

1.3. Nội lực:
1.3.1. Khái niệm nội lực
Trong môn học sức bền vật liệu chúng ta không chỉ quan tâm đến ngoại lực và phản lực liên kết tác dụng lên vật (tác dụng
ở bên ngoài vật) mà phải quan tâm đến tác dụng xảy ra ở bên trong vật – gọi là nội lực. Thực chất nội lực là lực liên kết
giữa các nguyên tử bên trong vật liệu, được biểu diễn bằng một hệ lực phân bố trên tiết diện mặt cắt. Trong trường hợp đơn

giản xét nội lực phân bố
∆
F như hình 1.2b. Nếu ta thu hệ nội lực phân bố trong hình 1.2b về điểm O trên mặt cắt thì ta
được một hệ nội lực thu gọn (internal resultant) gồm một véc tơ chính F
R
nội lực và một mô men chính M
Ro
nội lực, hình
1.2c. Nếu ta tách véc tơ chính F
R
và mô men chính M
Ro
, mỗi véc tơ thành hai véc tơ thành phần nằm theo phương vuông
góc với mặt cắt và nằm trên mặt cắt như hình 1.2d thì ta được:
- Một thành phần nội lực nằm vuông góc với mặt cắt ký hiệu là F (Normal force), được gọi lực pháp tuyến.
- Một thành phần lực nằm trên mặt cắt ký hiệu là V (shear force), được gọi là lực cắt.
- Một thành phần mô men quanh trục vuông góc với mặt cắt ký hiệu là T (Torsion moment), được gọi là mô men
xoắn.
- Một thành phần mô men quanh trục nằm trên mặt cắt ký hiệu là M (bending moment), gọi là mô men uốn.



(a)




(b)

(c)
Hình 1.2 a) Vật chịu tác dụng của ngoại lực F
1
, F
2
, F
3
, F
4
; b) Nội lực phân bố trên mặt cắt của vật; b) Hệ lực thu gọn về
tâm O trên mặt cắt (được 1 véc tơ chính F
R
và mô men chính M
Ro
).


Hình 1.2d. Tách véc tơ chính và mô men chính của nội lực trên mặt cắt về các thành phần theo phương vuông góc với mặt
cắt và phương nằm trên mặt cắt.

Trong trường hợp tổng quát của môn học sức bền vật liệu, trên mặt cắt được thiết lập hệ trục toạ độ đề các như hình 1.3,
trong đó trục x nằm vuông góc với mặt cắt, trục y và trục z nằm trên mặt cắt. Các thành phần nội lực gồm:
- Lực F nằm dọc theo trục x được gọi là lực dọc trục (axial force).
Sức bền vật liệu Mechanics of materials

Trang 6
- Hai thành phần lực V
y
, V
z

nằm trong mặt cắt gọi là lực cắt (shear force).
- Thành phần mô men T đối với trục x được gọi là mô men xoắn (torque hay torsion moment).
- Hai thành phần mô men còn lại đối với hai trục y và z nằm trên mặt cắt, M
y
và M
z
, được gọi là mô men uốn
(bending moment).
Để xác định các nội lực tại mặt cắt bất kỳ trên chi tiết, công việc quen thuộc là thiết lập các phương trình cân bằng cho
phần cắt chứa hệ lực gồm ngoại lực tác dụng lên nó (kể cả lực liên kết) và các thành phần nội lực trên mặt cắt.


Hình 1.4. Sáu thành phần nội lực trên mặt cắt trong thanh chịu lực tổng quát.

1.3.2. Phương pháp mặt cắt xác định nội lực:
Cách thông thường nhất để xác định nội lực là dùng phương pháp mặt cắt. Tại vị trí mặt cắt ta đặt tất cả các thành phần nội
lực có thể có. Để tìm nội lực ta tiến hành thiết lập điều kiện cân bằng tĩnh cho phần cắt. Cần chú ý rằng, trước khi tìm nội
lực phải xác định các phản lực liên kết.

Ví dụ: Phân tích thanh chữ L chịu lực P như hình 1.5, để xác định nội lực bên trong ta cần dùng một mặt cắt cách điểm A
một khoảng x như hình 1.5a. Đặt tất cả các thành phần nội lực lên mặt cắt như hình 1.5b. Vì đây là hệ lực phẳng nên trên
mặt cắt có tối đa là 3 thành phần nội lực, một mô men và hai lực, hình 1.5b.
Để xác định ba thành phần nội lực trong hình 1.5b, thiết lập điều kiện cân bằng tĩnh cho phần cắt bên trái hoặc phần cắt bên
phải. Trong đó với phân cắt bên trái (hoặc bên phải), hệ lực tác dụng gồm: ngoại lực P, nội lực F(x), nội lực V(x), nội lực
mô men M(x). Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng có 3 phương trình, vì vậy ta hoàn toàn tìm được ba nội lực F(x), V(x),
M(x).
Cụ thể, trong hình 1.5, cho lực P nghiêng với phương ngang một góc α, mặt cắt nằm cách A một đoạn x = L
o
, nội lực sẽ
được xác định:

(a) (b)
Hình 1.5. a) Thanh chữ L chịu ngoại lực P, b) Các thành phần nội lực trên mặt cắt.

Xét cân bằng cho phần bên trái:

( )
0sin)(0
0sin)(0
0cos)(0
=−=
=−=
=−=
∑
∑
∑
xPxMM
PxVF
PxFF
y
x
α
α
α

Nếu cho biết trước vị trí mặt cắt, giả dụ x = L
o
, ta được:

Sức bền vật liệu Mechanics of materials

Trang 7

( )
0sin)(0
0sin)(0
0cos)(0
=−=
=−=
=−=
∑
∑
∑
o
y
x
LPxMM
PxVF
PxFF
α
α
α

1.4. Ứng suất và biến dạng:
Thực chất thì nội lực thu gọn chỉ nói lên độ lớn của lực tác dụng lên toàn bộ mặt cắt và không nói lên được giá trị nội lực
tại từng điểm cụ thể trên mặt cắt, chính vì vậy nó cũng không cho biết được điểm nào trên mặt cắt sẽ nguy hiểm nhất (nội
lực lớn nhất). Để tiếp cận bài toán bền vật liệu, ta cần biết nội lực ở tại từng điểm trên mặt cắt, chính vì thế mà khái niệm
ứng suất được đưa ra. Như vậy ứng suất tại một điểm trên mặt cắt thực chất là cường độ nội hay là giá trị phân bố của nội
lực tại điểm đó. Việc tách nội lực thu gọn về sáu thành phần như đã đề cập ở mục 1.3.1 nhằm tạo điều kiện dễ dàng cho

tiếp cận bài toán sức bền vật liệu, đưa bài toán phức tạp về thành các bài toán đơn giản, trong đó mỗi bài toán đơn giản chỉ
có một hoặc vài thành phần nội lực.
Ứng suất còn được gọi là cường độ nội lực trên một đơn vị diện tích mặt cắt, ứng suất dùng để mô tả sự phân bố nội lực
trên mặt cắt. Ứng suất thường được chia làm thành phần: (1) thành phần nằm vuông góc với mặt cắt gọi là ứng suất pháp,
ký hiệu σ (sigma); (2) thành phần nằm trong mặt cắt gọi là ứng suất tiếp, ký hiệu là τ (tau).
Biến dạng dùng để mô tả sự thay đổi hình dạng của vật thể. Biến dạng được chia làm hai loại: (1) biến dạng dài, ký hiệu
ε

(epsilon); (2) biến dạng góc, ký hiệu
γ
(gamma). Trong đó biến dạng dài dùng mô tả sự thay đổi kích thước vật thể còn biến
dạng góc dùng mô tả biến đổi hình dạng của vật thể.

1.4.1. Ứng suất pháp và biến dạng dài
1.4.1.1. Ứng suất pháp - ứng suất vuông góc với mặt cắt
Xét trường hợp đơn giản nhất là một thanh thẳng có tiết diện không đổi, chịu tác dụng ở hai đầu một cặp lực ngược chiều
nhau và cùng nằm trên trục thanh và đường tác dụng lực đi qua tâm của các tiết diện ngang của thanh, hình 1.6. Theo điều
kiện cân bằng tĩnh thì độ lớn hai lực này phải bằng nhau. Nếu các lực này hướng từ thanh ra ngoài thì thanh được nói là bị
kéo, và ngược lại, nếu các lực này hướng vào thanh thì thanh được gọi là chịu nén.


Hình 1.6. Minh họa thanh chịu kéo dọc trục (a) thanh lúc chưa chịu lực, (b) thanh bị dài ra khi chịu lực, (c) phân bố ứng
suất tại tiết diện qua vị trí A*, (d) phân bố ứng suất tại tiết diện qua vị trí B*.

Hình 1.6c&d mô tả sự phân bố của nội lực và hợp của các lực phân bố tương ứng F
A
và F
B
trên mặt cắt qua A* và B*. F
A

và
F
B
gọi là nội lực chỉ có ý nghĩa về mặt độ lớn. Biểu diễn chính xác tác dụng của nội lực là biểu diễn lực phân phân bố - giá
trị phân bố của nội lực trên mặt cắt được gọi là ứng suất. Như vậy ứng suất chính là độ lớn nội lực trên một đơn vị diện tích
mặt cắt. Ứng suất pháp được định nghĩa:
A
F
∆
∆
=
σ
, trong đó
∆
F là nội lực tác dụng trên phân tố diện tích
∆
A trên mặt cắt.
Đơn vị ứng suất là lb/in.
2
hay N/m
2
, thường dùng Mpa (1Pa = 1N/m
2
, 1MPa = 1N/mm
2
).
Sức bền vật liệu Mechanics of materials

Trang 8

Ta thấy ở hình 1.6c rằng ứng suất phân bố không đều trên toàn bộ mặt cắt. Để đơn giản trong tính toán, với thanh chịu lực
dọc trục, khái niệm ứng suất trung bình thường được dùng
A
F
avg
=
σ
,
trong đó F là lực dọc trục tác dụng trên mặt cắt và A là diện tích mặt cắt.
Nếu dùng giá trị ứng suất trung bình thì ứng suất trung bình trên các tiết diện trong thanh hình 1.6 là như nhau:
( )
( )
( ) ( )
**
*
*
B
avg
A
avg
B
B
avg
A
A
avg
A
P
A
F

A
P
A
F
σσ
σ
σ
=→







==
==

1.4.1.2. Biến dạng dài:
Xét thanh chịu lực dọc trục như hình 1.7. Chiều dài ban đầu của thanh là L, sau khi bị tác dụng lực thanh dài đến L*. Biến
dạng dài trung bình được ký hiệu là
ε
(epsilon) và định nghĩa:
L
L
L
LL
∆
=
−

=
*
ε

Nếu
ε
> 0 ta gọi thanh bị biến dạng kéo và ngược lại,
ε
< 0, thanh bị biến dạng nén. Biến dạng không có đơn vị hoặc đôi
khi dùng đơn vị mm/mm hay in./in.



(a)

(b)

Hình 1.7. (a) Thanh chưa có lực tác dụng, (b) thanh bị biến dạng dài khi chịu lực dọc trục.

Biến dạng nhiệt (thermal strain): Đây là vấn đề vô cùng quan trọng trong các kết cấu làm việc ở nhiệt độ cao như động cơ
turbine máy bay hay các hệ thống đường ống dẫn dầu, khí… Biến dạng nhiệt là biến đổi hình dạng do sự thay đổi nhiệt độ
gây ra, được ký hiệu là
ε
T
và
T
T
∆=
αε

trong đó α là hệ số giãn nở nhiệt,
∆
T là độ chênh nhiệt độ.
Hệ số giãn nở nhiệt
α
αα
α
(Thermal Coefficient of Expansion): Đại lượng này được định nghĩa là sự thay đổi chiều dài của
thanh thẳng dưới tác dụng của sự thay đổi nhiệt độ 1
o
C và thường được ký hiệu là α. Giá trị hệ số này không phụ thuộc vào
đơn vị chiều dài mà phụ thuộc vào thang đo nhiệt độ được dùng. Ví dụ, hệ số giãn nở nhiệt đối với thép là 6.5x10
-6
/
o
F
nhưng là 12x10
-6
/
o
C.

1.5. Biểu đồ quan hệ ứng suất biến dạng:
1.5.1. Thí nghiệm kéo và thí nghiệm nén:
Để xác định các đặc trưng cơ học của vật liệu, các mẫu của vật liệu thường được tiến hành thí kéo/nén đúng tâm. Mẫu test
được thực hiện trên máy thí nghiệm kiểu truyền động bánh răng dẫn động điện hoặc máy thuỷ lực. Thông thường quá trình
thí nghiệm được điều khiển bằng máy tính và kết quả xuất ra máy tính. Cả hai loại máy đang được dùng rất phổ biến trong
các phòng thí nghiệm vật liệu để test cho mẫu chịu kéo dọc trục. Trong một nỗ lực để tiêu chuẩn hoá kỹ thuật test vật liệu,
một tổ chức của Mỹ về test vật liệu (American Society for Testing Materials –ASTM) đã đưa ra các qui định mà được dùng
rất phổ biến. Mẫu thí nghiệm thông dụng có thể thấy trong hình 1.8a. Tốc độ kéo thường được chọn theo tốc độ biến dạng

10
-3
/s.

Sức bền vật liệu Mechanics of materials

Trang 9

(a) Hình dạng mẫu ban đầu.

(b) Mẫu sau khi bị kéo, đoạn L
0
dài lên L*.
Hình 1.8. Hình dạng hình học của mẫu thí nghiệm.

Hình 1.9. Đường cong quan hệ ứng suất của các loại vật liệu khác nhau.

1.5.2. Quan hệ ứng suất và biến dạng của vật liệu:
Quá trình thí nghiệm kéo hay nén mẫu cho phép ta vẽ được đường cong quan hệ giữa ứng suất với biến dạng trong vật liệu
mẫu.
0
A
P
=
σ

L
L
L
LL ∆
=
−
=
*
ε

Giá trị ứng suất được đo thông qua lực kéo P. Giá trị biến dạng được đo thông qua sự thay đổi chiều dài mẫu. Thiết bị dùng
để đo biến dạng dài thường là các extensometer hay các strain gage. Ứng với mỗi giá trị lực P ta có mỗi cặp giá trị ứng suất
và biến dạng tương ứng. Cho P thay đổi từ zero cho đến lực làm đứt vật liệu ta sẽ có nhiều cặp giá trị ứng suất biến dạng.
Với vô số cặp giá trị ứng suất σ và biến dạng ε đo đạt được, các số liệu thực nghiệm này được vẽ trên hệ trục toạ độ với
ứng suất trên trục tung và biến dạng trên trục hoành. Đây là đường cong quan hệ ứng suất với biến dạng hay còn gọi là biểu
đồ của vật liệu trong trường hợp chịu kéo dọc trục. Biểu đồ quan hệ giữa ứng suất và biến dạng rất đa dạng với nhiều loại
vật liệu khác nhau. Hình 1.9 thể hiện các đường cong quan hệ ứng suất (stress) và biến dạng (strain) tiêu biểu của vật liệu
giòn ceramic, kim loại dẻo, và polymer dẻo.

1.5.3. Vật liệu dẻo và vật liệu giòn
Các vật liệu kỹ thuật thường được phân thành hai loại, vật liệu dẻo và vật liệu giòn. Vật liệu dẻo là vật liệu có biến dạng
kéo tương đối lớn trước khi bị đứt, hình 1.9 (kim loại dẻo hay polymer dẻo), trong khi đó vật liệu giòn có biến dạng tương
đối nhỏ khi bị đứt, hình 1.9 (ví dụ các vật liệu thuộc nhóm ceramic). Ranh giới để phân biệt giữa vật liệu dẻo và giòn
thường được chọn là biến dạng 0.05 in/in (hoặc m/m) tại điểm mẫu bị đứt. Đối với vật liệu dẻo thường thì khả năng chịu
kéo và chịu nén là như nhau; đối với vật liệu giòn thì thường thì khả năng chịu nén tốt hơn chịu nén rất nhiều (bê tông là ví
dụ điển hình).

1.6. Các đặc tính cơ học cơ bản của vật liệu
Biến dạng
ε
=
∆
L/L
Ứ
ng suất
σ
= P/A
o

Vật liệu giòn, ceramic
Vật liệu dẻo, kim loại
Vật liệu dẻo, polyme
Sức bền vật liệu Mechanics of materials

Trang 10
Đường cong quan hệ ứng suất và biến dạng trong hình 1.10 được dùng để mô tả nhiều đặc trưng cho độ bền của vật liệu
(mechanical properties).
1.6.1. Giới hạn tỉ lệ
Tung độ của điểm A được gọi là giới hạn tỉ lệ (proportional limit), σ

pl
, là giá trị ứng suất lớn nhất trong giai đoạn ứng suất
và biến dạng quan hệ tuyến tính với nhau.
1.6.2. Giới hạn đàn hồi - điểm chảy dẻo (yielding point)
Sau điểm A, đường cong có xu hướng phi tuyến. Tung độ của điểm B, σ
y
, được gọi giới hạn chảy, đó là giá trị ứng suất lớn
nhất khi vật liệu bắt đầu bị biến dạng dẻo. Với nhiều vật liệu thì giá trị của giới hạn chảy và giới hạn tỉ lệ rất gần nhau. Sau
điểm B, vật liệu bắt đầu bị biến dạng dẻo (plastic deformation), giai đoạn biến dạng từ B đến C được gọi là biến dạng dẻo
hoàn toàn. Đoạn CD được gọi là giai đoạn biến cứng (ứng suất tăng lên hay độ bền tăng lên). Sau điểm D, tiết diện mẫu
kéo bị teo lại cho đến lúc đứt tại F. Giới hạn đàn hồi của các vật liệu kỹ thuật được trình bày trong bảng 1.2.


Hình 1.10. Đường cong quan hệ ứng suất-biến dạng tiêu biểu.

1.6.3. Độ bền cực đại (ultimate strength) hay độ bền kéo hay giới hạn bền
Tung độ của điểm D trong hình 1.10 là tung độ lớn nhất của đường cong, được gọi là độ bền cực đại hay độ bền kéo của vật
liệu, ký hiệu
σ
u
(ultimate strength). Độ bền cực đại đôi lúc cũng được ký hiệu σ
ts
. Giá trị của độ bền cực đại của các vật liệu
kỹ thuật được trình bày trong bảng 1.2.

1.6.4. Giới hạn phá huỷ hay giới hạn bền đứt (fracture)
Tung độ của điểm F trong hình 1.10 được gọi là giới hạn phá huỷ của vật liệu, ký hiệu σ
f
, biến dạng tại điểm đứt được ký
hiệu

ε
f
– mô tả độ dẻo dai của vật liệu. Biến dạng
ε
f
của các vật liệu kỹ thuật được trình bày trong bảng 1.2.

1.6.5. Phạm vi đàn hồi và phạm vi dẻo
Khu vực ứng suất và biến dạng kéo dài từ gốc O đến giới hạn tỉ lệ tại A được gọi là phạm vi đàn hồi (elastic region), khu
vực kéo dài từ giới hạn tỉ lệ B đến điểm đứt được gọi là phạm vi dẻo (plastic region).

1.6.6. Năng lượng biến dạng đàn hồi
Công trên một đơn vị thể tích vật liệu khi lực kéo tăng chậm từ 0 đến giới hạn tỉ lệ của vật liệu được gọi là năng lượng của
biến dạng đàn hồi. Giá trị này chính là diện tích bên dưới của đường cong quan hệ ứng suất và biến dạng tính từ gốc đến
giới hạn tỉ lệ và là vùng diện tích của hình tam giác vuông có cạnh huyền là OA trong hình 1.10. Đơn vị của đại lượng này
là lb×in./in
3
, hay N×m/m
3
trong hệ đơn vị SI. Biến dạng đàn hồi của vật liệu là khả năng hấp thu năng lượng trong phạm vi
đàn hồi.

1.6.7. Năng lượng biến dạng tổng thể
(Modulus of Toughness)
Sức bền vật liệu Mechanics of materials

Trang 11
Công trên một đơn vị thể tích vật liệu khi lực kéo tăng dần từ 0 đến khi làm đứt vật liệu được định nghĩa là năng lượng biến
dạng tổng thể. Giá trị này chính là phần diện tích bên dưới đường cong quan hệ ứng suất và biến dạng tính từ 0 đến điểm
đứt. Toughness được dùng mô tả khả năng hấp thu năng lượng của vật liệu.

1.6.8. Hệ số co giảm diện tích tiết diện
Phần trăm giảm diện tích tiết diện trong mẫu kéo được xác định ݇
௔
=
஺
೑
஺
೚
× 100, trong đó A
f
là diện tích tiết diện tại thời
điểm đứt và A
o
là diện tích tiết diện ban đầu.
Cần chú ý rằng khi lực kéo tác dụng lên thanh thì thanh bị dài ra và đồng thời diện tích tiết diện sẽ bị giảm, tuy nhiên khi
tính toán cho ứng suất pháp thường vẫn lấy giá trị diện tích tiết diện ban đầu. Khi ở biến dạng lớn, việc có xét đến sự thay
đổi diện tích tiết diện (bị giảm) là rất cần thiết. Đường cong nét đứt trong hình 1.10 là kết quả của việc có xét đến sự thay
đổi diện tích tiết diện.

1.6.9. Hệ số giãn dài
Chiều dài mẫu tăng lên sau khi bị đứt chia cho chiều dài ban đầu và nhân với 100 được gọi là phần trăm biến dạng dài. Cả
hai đại lượng, phần trăm co giảm diện tích và phần trăm giãn dài, được dùng để đo độ dẻo dai của vật liệu.

1.6.10. Ứng suất làm việc
Những đặc trưng độ bền được đề cập ở trên có thể được dùng để chọn ứng suất làm việc. Thông thường ứng suất làm việc
được xác định một cách đơn thuần bằng cách lấy ứng suất giới hạn đàn hồi σ
Y
(tại điểm bắt đầu biến dạng dẻo) hay ứng
suất cực đại chia cho hệ số an toàn. Việc lựa chọn hệ số an toàn được dựa trên sự đánh giá và kinh nghiệm của người thiết

kế. Các hệ số an toàn đôi lúc được cho trong các qui phạm thiết kế.


1.6.11. Biến cứng (Strain Hardening)
Với một vật liệu dẻo, sau điểm giới hạn đàn hồi, nếu ứng suất tiếp tục tăng lên được gọi là hiện tượng biến cứng vật liệu
(đoạn CD trong hình 1.10). Điều này đúng với nhiều kết cấu kim loại. Đây là một trong những thuộc tính quan trọng cho
phép dùng để tăng độ bền vật liệu bằng giải pháp biến dạng cơ học (work hardening).

1.6.12. Giới hạn chảy hay độ bền chảy (yield strength hay proof stress).
Tung độ một điểm trên đường cong quan hệ ứng suất/ biến dạng mà tại đó khi thôi tác dụng lực thì sẽ tồn tại một lượng
biến dạng dư cho trước nào đó được gọi là giới hạn chảy của vật liệu. Lượng biến dạng dư này thường lấy là 0.02 hoặc
0.035 (in/in hay m/m). Để xác định độ bền giới hạn chảy, ta vẽ một đường thẳng O’A’ song song với OA và nằm bên trái
OA với khoảng cách bằng 0.02 (hay 0.035). Tung độ của diểm giao giữa đường O’A’ với đường cong ứng suất – biến dạng
là giới hạn chảy của vật liệu.

6.13. Mô đun tiếp tuyến (Tangent Modulus)
Trong trường hợp quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là phi tuyến thì các đặc trưng mô đun đàn hồi được giới thiệu bên
trên không thể dùng được mà sẽ dùng đặc trưng mô đun tiếp tuyến. Tỉ lệ thay đổi của ứng suất đối với biến dạng được gọi
là mô đun tiếp tuyến của vật liệu. Giá trị mô đun tức thời được xác định bởi E = dσ/dε

1.7. Định luật Hooke và hệ số Poision
1.7.1. Định luật Hooke
Với hầu hết các vật liệu, ở ở biến dạng tương đối nhỏ, ứng suất quan hệ tuyến tính với biến dạng. Đây cũng chính là quan
hệ tuyến tính giữa độ giãn dài và lực dọc trục (thực chất thì đường cong ứng suất-biến dạng và đường cong chuyển vị dọc
trục-lực dọc trục có hình dạng hoàn toàn giống nhau, chỉ khác nhau một hằng số), được Robert Hooke phát hiện trước tiên
vào năm 1678 và được gọi là định luật Hooke. Để mô tả mối quan hệ tuyến tính này của vật liệu chúng ta có thể viết:
ε
σ
E
=

, trong đó E là hệ số góc (hay độ dốc) của đoạn thẳng AB trong các hình 1.10.

1.7.2. Mô đun đàn hồi
Sức bền vật liệu Mechanics of materials

Trang 12
Đại lượng E, tỉ lệ giữa đơn vị ứng suất trên đơn vị biến dạng, được gọi là mô đun đàn hồi kéo của vật liệu hay thường gọi là
mô đun Young. Giá trị E của các loại vật liệu kỹ thuật được cho dưới dạng bảng trong các cuốn sổ tay. Do biến dạng là đại
lượng không có thứ nguyên (in/in hay m/m) nên E có cùng đơn vị với ứng suất, ví dụ như lb/in
2
, hay N/m
2
. Với nhiều vật
liệu kỹ thuật thông thường thì mô đun đàn hồi nén gần như bằng với mô đun đàn hồi kéo. Mô đun đàn hồi E của các vật
liệu kỹ thuật được trình bày trong bảng 1.3. Cần chú ý rằng, ứng xử của vật liệu trong tài liệu này được giới hạn trong
phạm vi ứng suất quan hệ tuyến tính với biến dạng.

1.7.3. Hệ số Poission
ν
νν
ν
(Poisson’s Ratio)
Khi thanh chịu tác dụng của lực kéo dọc trục thì chiều dài thanh tăng lên theo phương lực tác dụng, nhưng kích thước lại bị
giảm trong các phương vuông góc với phương lực tác dụng. Tỉ lệ giữa biến dạng theo phương ngang và biến dạng theo
phương dọc trục được định nghĩa là hệ số Poission. Được ký hiệu trong tài liệu này bằng một ký tự Hy Lạp
ν
(nu). Với hầu
hết kim loại, hệ số
ν
nằm trong khoảng từ 0.25 đến 0.35. Với cork thì ν ≈ 0. Một vật liệu kỹ thuật mới, chỉ trong phạm vi

nghiên cứu trong phòng thí nghiệm, có tìm thấy có giá trị ν < 0, ở đó, nếu được kéo trong một phương thì nó giãn nở trong
các phương còn lại.
xzy
νεεε
−==

Biến dạng dài theo phương x lên quan đến sự co lại của hai phương y và z. Giả thiết vật liệu là đẳng hướng (isotropic),
0≠=
zy
εε

Hệ số Poisson được định nghĩa:
x
z
x
y
ε
ε
ε
ε
ν
−=−=


1.7.4. Định luật Hooke tổng quát (General Form of Hooke’s Law)
Dạng đơn giản của định luật Hooke đã được giới thiệu trong phần thanh chịu kéo dọc trục, áp dụng cho thanh thẳng, đồng
trục. Chỉ có thành phần biến dạng theo phương lực tác dụng là được xét và được xác định bởi:
E
x
x

σ
ε
=

Trong trường hợp tổng quát, xét một phân tố chịu tác dụng của 3 thành phần ứng suất pháp theo 3 phương vuông góc nhau,
σ
x
,
σ
y
,
σ
z
, và tương ứng với 3 thành phần biến dạng
ε
x
,
ε
y
,
ε
z
(hình 1.11). Áp dụng qui tắc cộng tác dụng cho các thành phần
biến dạng, lúc này có kể thêm thành phần biến dạng theo phương ngang do hiệu ứng Poision (Poisson’s effect), chúng ta sẽ
thu được định luật Hooke tổng quát như sau:
(
)
[
]
zyxx

E
σσνσε
+−=
1

( )
[
]
zxyy
E
σσνσε
+−=
1

(
)
[
]
xyzz
E
σσνσε
+−=
1



Hình 1.11. Phân tố chịu lực tổng quát của 3 thành phần ứng suất pháp.


1.8. Ứng suất cắt, biến dạng góc, mô đun đàn hồi trượt

1.8.1. Ứng suất tiếp(shear stress) - ứng suất nằm trong mặt cắt
Sức bền vật liệu Mechanics of materials

Trang 13
Ứng suất tiếp là cường độ của lực cắt trên một đơn vị diện tích. Nếu trên phân tố diện tích ∆A chịu lực cắt ∆V thì ứng suất
tiếp, ký hiệu τ (tau), được định nghĩa:






∆
∆
=
→∆
A
V
A 0
lim
τ
. Đơn vị ứng suất tiếp tương tự như ứng suất pháp.
Như vậy, lực cắt V trên toàn bộ mặt cắt A sẽ quan hệ với ứng suất tiếp sẽ là
∫
=
A
dAV
τ

(a) Phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt


(b) Lực cắt trên mặt cắt
Hình 1.12. Phân bố ứng suất và lực cắt trên mặt cắt.

Ứng suất cắt trung bình: Thường rất khó xác định chính xác phân bố của ứng suất tiếp. Để đơn giản cho tính toán, đôi lúc
ta dùng đại lượng ứng suất cắt trung bình τ
avg
.
A
V
avg
=
τ
(V – lực cắt; A – diện tích mặt cắt)
Ứng suất cắt trung bình thường được áp dụng để tính toán các chi tiết chịu cắt đơn giản như bulông, chốt, then, đinh tán,
hai tấm hàn chồng… Đây là những trường hợp mà chi tiết chịu lực trong làm cắt đứt chi tiết như ở hình 1.12,1.13&1.14.


(a)

dt
P
avg
π
τ

=

(b)
Hình 1.13. (a) Đục lỗ tấm, (b) Ứng suất cắt trên bề mặt của lát cắt.

Sức bền vật liệu Mechanics of materials

Trang 14


Hình 1.14. Ứng suất cắt trong chốt của kìm.

(a) Hai tấm được hàn chồng mí


(b) Lực cắt trên bề mặt liên kết

(b) Ứng suất tiếp trên mặt
liên kết
s
avg
wL
P
=
τ

Hình 1.15. Ứng suất cắt trên mặt dán.

Điều kiện cân bằng của ứng suất tiếp – Đối ứng suất tiếp
Xét phân tố ứng suất trong chi tiết chịu nội lực cắt như hình 1.16. Lực cắt trên hai mặt nằm ngang là

∆
V
P
, và trên hai
phương đứng là
∆
V
Q
(chú ý: đây là các cặp lực cân bằng nên chúng phải bằng nhau và ngược chiều từng đôi một).
Xét phương trình cân bằng mô men cho phân tố (hình 1.16b) ta được;
( )
( )
τττττ
==→=∆∆−∆∆
PQPQ
yxtxyt 0

Như vậy ứng suất tiếp trên 4 mặt đều như nhau, trong đó từng cặp một có hai véc tơ ngược chiều quay với nhau. Đây còn
gọi là đối ứng suất tiếp trong phân tố chịu cắt.

(a)

(b)

(c)
Hình 1.16 (a) Phân tố A chịu lực cắt ∆V
P
, (c,d) Ứng suất cắt trong phân tố.

1.8.2. Biến dạng trượt (shear strain)

Biến dạng trượt hay còn gọi là biến dạng góc, ký hiệu γ (gamma). Biến dạng trược là biến dạng làm thay đổi hình dạng mà
không làm thay đổi thể tích. Xét một phân tố hình vuông, sau khi bị biến dạng chuyển thành hình thoi như hình 1.17. Biến
dạng góc được định nghĩa:
*
2
θ
π
γ
−=


Sức bền vật liệu Mechanics of materials

Trang 15
Vì góc biến dạng rất nhỏ nên
S
S
L
δ
γγ
=≈
)tan(






Biểu đồ quan hệ giữa ứng suất cắt và biến dạng trượt,
(

)
xyxy
f
γτ
=
, giống với biểu đồ quan hệ giữa ứng suất pháp và biến
dạng dài. Với biến dạng nhỏ, trong giới hạn đàn hồi
zxzxyzyzxyxy
GGG
γτγτγτ
===

Ở đây G là mô đun đàn hồi trượt hay còn gọi là mô đun độ cứng.

Hình 1.18. Phân tố chịu ứng suất trượt.

Hình 1.19. Biến dạng trượt của phân tố.

Ví dụ:
Một khối chữ nhật có mô đun đàn hồi trượt G = 90 ksi được dán vào hai tấm cứng. Tấm bên dưới được cố định với nền,
tấm trên chịu tác dụng lực P. Biết rằng tấm trên di chuyển ngang 0.04 in. dưới tác dụng của lực P, xác định a) biến dạng
trung bình trong khối, và b) lực P tác dụng lên tấm.


Hình 1.20. Tấm composite chịu lực.

Hình 1.21. Tấm composite bị biến dạng trượt.

Giải:
Xác định biến dạng góc trung bình,

rad020.0
in.2
in.04.0
tan ==≈
xyxyxy
γγγ

Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng trượt để tìm ứng suất cắt,
(
)
(
)
psi1800rad020.0psi1090
3
=×==
xyxy
G
γτ

Dùng định nghĩa ứng suất cắt để xác định lực P,
(
)
(
)
(
)
lb1036in.5.2in.8psi1800
3
×=== AP

xy
τ
⇒
kips0.36
=
P

Định luật Hooke trong trường hợp vật liệu bị cắt:
Sức bền vật liệu Mechanics of materials

Trang 16
Trương tự như trong trường hợp chịu kéo, trong giới hạn đàn hối tuyến tính, quan hệ giữa ứng suất cắt và biến dạng trượt
như Hooke mô tả như sau:
γ
τ
G
=
, trong đó G gọi là mô đun đàn hồi trược (shear modulus of elasticity). Cũng ging như
mô đun đàn hồi E, G có đơn vị (Mpa, N/m
2
, …).

1.9. Quan hệ gữa E,
ν
νν
ν
, và G

Một thanh thẳng tiết diện đều sẽ bị biến dạng dài dọc trục và co lại trong hai hướng còn lại, hình 1.22a.
Một phân tố khối vuông như trong hình 1.22 sẽ biến dạng thành hình chữ nhật. Tải dọc trục sinh ra một biến dạng dài.

Nếu phân tố khối nằm theo phương nghiêng như hình 1.22b thì phân tố sẽ bị biến dạng thành hình thoi. Tải dọc trục cũng
sinh ra biến dạng trượt. Các thành phần của biến dạng dài và biến dạng góc quan hệ với nhau:
( )
ν
+=
1
2
G
E
hay
( )
ν
+
=
12
E
G
, với ν ≈ 0.3 thì E ≈ 2.6G.


(a)


(b)

Hình 1.22. (a) Biến dạng dài và (b) biến dạng góc trong thanh chịu kéo.

1.10. Giới thiệu bài toán thiết kế:
Bài toán thiết kế là bài toán tính chọn cấu hình, chọn vật liệu và chọn kích thước cho từng chi tiết kết cấu và đảm bảo kết
cấu làm việc an toàn (không hư hỏng). Ngoài ra, yêu cầu về khối lượng, hiệu quả kinh tế, và tác động môi trường cũng là

những ràng buộc quan trọng trong thiết kế.
Trong kết cấu kỹ thuật, có rất nhiều kiểu hư hỏng khác nhau: Hự hỏng di thiếu bền, thiếu cứng, thiếu dẻo dai. Trong học
phần này chúng ta quan tâm chủ yếu đến thiết kế theo độ bền (ứng suất cho phép theo giới hạn đàn hồi) và thiết kế theo độ
cứng (đảm bảo kết cấu bị biến dạng nằm trong giới hạn cho phép và không bị mất ổn định).
Hệ số an toàn:
Trong thiết kế, yêu cầu kết cấu phải có giới hạn bền (khả năng chịu đựng) lớn hơn mức tác dụng của ngoại lực. Mức chênh
lệch này tuỳ thuộc vào từng loại kết cấu (tầm quan trọng, điều kiện làm việc…) và được gọi là hệ số an toàn – SF:

phÐpcho iT¶
phÐpcho iT¶
FS =
, FS > 1.
Ứng suất cho phép (allowable stress): Ứng suất pháp cho phép ký hiệu là
σ
all
hay [
σ
]. Ứng suất tiếp cho phép ký hiệu là
τ
all
hay [
τ
]
Ứng suất cho phép được xác định theo giới hạn đàn hồi vật liệu (yield strength), đôi lúc được xác định theo giới hạn bền,
σ
U
:
FS
ych¶ h¹n Giíi
phÐpchosuÊt øng =

Ứng suất cho phép xác định theo giới hạn đàn hồi kéo (
σ
Y
) và theo giới hạn đàn hồi cắt (
τ
Y
):
FS
FS
Y
all
Y
all
τ
τ
σ
σ
==


Trong thiết kế kết cấu, chúng ta luôn mong muốn thiết kế được kết cấu với khối lượng nhỏ nhất với giá thành thấp nhất
nhưng vẫn đảm bảo được độ bền. Đây được gọi là những bài toán thiết kế tối ưu.

1.11. Độ bền riêng (Specific Strength)
Sức bền vật liệu Mechanics of materials

Trang 17
Đại lượng này được định nghĩa là tỉ lệ giữa độ bền cực đại với trọng lượng riêng (trọng lượng trên đơn vị thể tích). Như
vậy, trong hệ đơn vị USCS, ta có:

.
22
in
in
lb
in
lb
=
và trong hệ đơn vị SI, ta có:
m
m
N
m
N
=
22

ví vậy trong mỗi hệ đơn vị đo, độ bền riêng có đơn vị là chiều dài. Đây là thông số rất hữu dụng để so sánh tính hiệu quả
của vật liệu.

1.12. Mô đun riêng (Specific Modulus)
Đại lượng này được định nghĩa là tỉ lệ giữa mô đun đàn hồi với trọng lượng riêng. Tương tự như độ bền riêng, sau khi thay
thế các đơn vị và rút gọn, đơn vị của mô đun riêng là chiều dài (trong hệ SI hay USCS).




Chương 2. THANH CHỊU LỰC DỌC TRỤC

2.1. Giới thiệu chung

Trong chương này sẽ đề cập đến tính toán ứng suất pháp, độ giãn dài, biến dạng dài của các thanh chịu lực dọc trục.
Những chi tiết chịu lực dọc trục là những chi tiết chịu tác dụng của lực dọc theo đường tâm trục của nó (hình 2.1&2.3), chi
tiết bị ngàm hai đầu và bị nung nóng (hình 2.3) hoặc những chi tiết liên kết khớp nối tại hai đầu (hình 2.4).


(a)


(b)


(c)


(d)
Hình 2.1.



Hình 2.2. Tấm composite bị kéo dọc
trục

Hình 2.3. Khi thanh AB liên kết cố
định ở hai đầu và bị nung nóng.

Hình 2.4. Thanh AB và thanh CD
chịu lực dọc trục.

2.2. Nội lực trong thanh chịu lực dọc trục
Trong các thanh chịu lực dọc trục thì trên mặt ngang của nó chỉ có duy nhất một thành phần nội lực là lực dọc trục F. Nội

lực F qui ước là dương khi đi từ trong mặt cắt hướng ra ngoài như hình 2.5.
Sức bền vật liệu Mechanics of materials

Trang 18

Hình 2.5. Nội lực F trên mặt cắt và chiều dương của nó.
Biểu đồ phân bố nội lực dọc theo chiều dài trục gọi là biểu đồ nội lực dọc trục.
2.3. Ứng suất và biến dạng trong thanh chịu tải dọc trục
2.3.1. Ứng suất pháp trong thanh chịu lực dọc trục
Trên mặt cắt ngang trong thanh chịu dọc trục chỉ có ứng suất pháp, được xác định:
A
F
ave
==
σσ
(2.1)
Trong đó, F là nội lực dọc trục trên mặt cắt, A là diện tích tiết diện mặt cắt, σ
ave
là ứng suất trung bình trên mặt cắt.
Phân bố ứng suất trên mặt cắt được thể hiện trong hình 2.6.



Hình 2.6. Nội lực dọc trục F
BC
và ứng suất pháp trung
bình
σ
trong tiết diện của thanh.

Hình 2.7. Biến dạng dài trong thanh chịu lực dọc trục.

Ta có thể thấy rằng ứng suất σ chính là lực phân bố trên toàn bộ mặt cắt và nội lực F
BC
chính là hợp lực của lực phân bố
(hay ứng suất) σ.



L
A
P
δ
ε
σ
=
=






Sức bền vật liệu Mechanics of materials

Trang 19
L
A
P

A
P
δ
ε
σ
=
==
2
2

LL
A
P
δδ
ε
σ
==
=
2
2

Hình 2.8. Ứng suất pháp và biến dạng trong các thanh có tiết diện và chịu lực khác nhau.
2.3.2. Biến dạng dài trong thanh chịu lực dọc trục
Biến dạng dài tuyệt đối chính là độ giãn dài δ của thanh, hình 2.7.
Biến dạng dài tương đối của thành được ký hiệu là ε và được tính
L
δ
ε
=
(2.2)

trong đó L là chiều dài thanh, hình 2.7.
Theo định luật Hooke,
AE
F
E
E
==
⇒
=
σ
εεσ
(2.3)
Kết hợp (2.2) ta được,
AE
FL
=
δ
(2.4)
Với thanh có nhiều tiết diện khác nhau hay vật liệu khác nhau,
∑
=
i
ii
ii
EA
LF
δ
(2.5), trong đó i là số đoạn thanh.
Trong trường hợp tổng quát:
∫

=
L
dx
xAxE
xF
)()(
)(
δ
(2.5)
Ví dụ trong hình 2.8 cho thấy 3 thanh kích thước khác nhau, chịu lực khác nhau nhưng có cùng ứng suất và biến dạng.

Ví dụ 2.1. Xác định biến dạng trong thanh chịu lực như hình 2.9a.
Cho biết các thông số của các đoạn thanh 1, 2, và 3 như sau:
2
21
21
in 9.0
in. 12
==
=
=
AA
LL
và
2
3
3
in 3.0
in. 16
=

=
A
L


Giải:
Chia thanh làm 3 đoạn, AB, BC, CD, và dùng mặt cắt
trên từng đoạn để tìm nội lực trong mỗi đoạn thanh, hình
2.9c.
Áp dụng phân tích cân bằng tĩnh cho mỗi đoạn cắt xác
định được nội lực,
lb1030
lb1015
lb1060
3
3
3
2
3
1
×=
×−=
×=
P
P
P

Xác định biến dạng dài toàn bộ,
( ) ( ) ( )
in.109.75

3.0
161030
9.0
121015
9.0
121060
1029
1
1
3
333
6
3
33
2
22
1
11
−
×=






×
+
×−
+

×
×
=








++==
∑
A
LP
A
LP
A
LP
EEA
LP
i
ii
ii
δ


in. 109.75
3−
×=

δ


(a)

Hình 2.9.

Sức bền vật liệu Mechanics of materials

Trang 20
Ví dụ 2.2.
Thanh cứng tuyệt đối BDE được treo bỏi hai thanh AB
và CD. Thanh AB được làm từ nhôm (E = 70 GPa) và
tiết diện ngang 500 mm2. Thanh CD làm bằng thép (E
= 200 GPa) có tiết diện ngang 600 mm2. Lực tác dụng
30 kN tại E, xác định chuyển vị tại B, D và E.

Hình 2.10.
Giải:
Sơ đồ chịu lực của thanh BDE. Thiết lập điều kiện cân bằng cho thanh BDE, được
( )
( )
ncompressioF
F
tensionF
F
M
AB
AB
CD

CD
B
kN60
m2.0m4.0kN300
0M
kN90
m2.0m6.0kN300
0
D
−=
×−×−=
=
+=
×+×−=
=
∑
∑


Hình 2.11.

Chuyển vị tại B chính là độ giãn dài thanh AB,

( )
( )
( )( )
m10514
Pa1070m10500
m3.0N1060
6

926-
3
−
×−=
××
×−
=
=
AE
PL
B
δ


Hình 2.12.

Chuyển vị tại C chính là độ giãn dài thanh CD,

( )
( )
( )( )
m10300
Pa10200m10600
m4.0N1090
6
926-
3
−
×=
××

×
=
=
AE
PL
D
δ


Hình 2.13.

Quan hệ chuyển vị:

( )
mm

7
.
73
mm 200
mm 0.300
mm 514.0
=
−
=
=
′
′
x
x

x
HD
BH
DD
BB



Sức bền vật liệu Mechanics of materials

Trang 21
( )
mm 928.1
mm 7.73
mm7.73400
mm 300.0
=
+
=
=
′
′
E
E
HD
HE
DD
EE
δ
δ

↓= mm 928.1
E
δ


Hình 2.14.
2.3. Bài toán siêu tĩnh
Kết cấu siêu tĩnh là kết cấu có số liên kết nhiều hơn mức cần thiết để một kết cấu có thể tồn tại cân bằng ổn định. Số liên
kết thừa được gọi là số bậc siêu tĩnh. Kết cấu siêu tĩnh sẽ có độ cứng lớn hơn so với kết cấu tĩnh định. Ví dụ các kết cấu
siêu tĩnh được thể hiện trong hình 2.15 đến 2.18.




Hình 2.15. Thanh bị ngàm hai đầu.

Hình 2.16. Thanh bị nung nóng.

Hình 2.17.


Hình 2.18. Siết bu lông trong ống bao.

Những kết cấu siêu tĩnh (statically indeterminate) thì phản lực liên kết không thể xác định chỉ đơn thuần từ điều kiện cân
bằng tĩnh thông thường. Để giải bài toán siêu tĩnh, ngoài việc thiết lập các phương trình cân bằng tĩnh còn cần phải thiết lập
phương trình tương thích chuyển vị.
Thông thường, trong kết cấu siêu tĩnh, các liên kết thừa được thay thế bằng các phản lực tương ứng và xem chúng như
ngoại lực (chưa biết giá trị). Khi đó, kết cấu sẽ trở về kết cấu tĩnh định thông thường với ngoại lực gồm cả các phản lực từ

các liên kết thừa. Chuyển vị trong kết cấu tĩnh định này phải tương thích với chuyển vị của kết cấu siêu tĩnh tương ứng. Ví
dụ, với kết cấu trong hình 2.15 thì điều kiện chuyển vị là độ giãn dài trong toàn bộ thanh bằng 0 (vì thanh bị ngàm hai đầu).
Cụ thể, xét kết cấu siêu tĩnh trong hình 2.19. Thay thế liên kết thừa tại đầu B bằng phản lực tương ứng R
B
. Lúc này ta đã
chuyển từ kết cấu siêu tĩnh trong hình 2.19 về kết cấu tĩnh định là hanh bị liên kết tại đầu A, chịu tác dụng của ngoại lực
gồm 300kN, 600kN, và lực R
B
như hình 2.20a.
Điều kiện tương thích chuyển vị trong trường hợp này độ giãn dài của toàn bộ thanh AB bằng 0.
Sức bền vật liệu Mechanics of materials

Trang 22


Hình 2.19.

Hình 2.20.

Ta có thể tính độ giãn dài tổng thể thanh AB bằng độ giãn dài δ
L
do ngoại lực 300kN và 600kN gây ra ở hình 2.20b và độ
giãn dài δ
R
do phản lực R
B
gây ra ở hình 2.20c.
Tìm chuyển vị tại B do ngoại lực (300 kN và 600 kN) gây ra với thanh tĩnh định ở hình 2.20b (đã giải phóng liên kết tại B):

EEA
LP
LLLL
AAAA
PPPP
i
ii
ii
9
L
4321
26
43
26
21
3
4
3
321
10125.1
m 150.0
m10250m10400
N10900N106000
×
==
====
×==×==
×=×===
∑
−−

δ


Hình 2.20b

Tìm chuyển vị tại B do phản lực R
B
tại B gây ra với thanh tĩnh định ở hình 2.20a (đã giải phóng liên kết tại B):

( )
∑
×
−==
==
×=×=
−
=
=
−−
i
B
ii
ii
R
B
E
R
EA
LP
δ

LL
AA
RPP
3
21
26
2
26
1
21
1095.1
m 300.0
m10250m10400


Hình 2.20c.
Yêu cầu chuyển vị tại B do ngoại lực gây ra và do phản lực tại B gây ra phải như nhau, hay tổng của chúng phải bằng 0,
0
=+=
RL
δδδ



( )
kN 577N10577
0
1095.110125.1
0
3

39
=×=
=
×
−
×
=
=
+
=
B
B
RL
R
E
R
E
δ
δ
δ
δ


Hình 2.20a.

Sức bền vật liệu Mechanics of materials

Trang 23
Tìm phản lực tại A do ngoại lực và phản lực tại B gây ra,
kN323

kN577kN600kN 3000
=⇒
+−−==
∑
A
Ay
R
RF


kN577
kN323
=
=
B
A
R
R


2.4. Ứng suất và biến dạng do nhiệt gây ra
Sự thay đổi nhiệt độ gây nên thay đổi chiều dài hay còn gọi là biến dạng nhiệt (thermal strain). Biến dạng nhiệt không gây
ra ứng suất trừ khi kết cầu bị ràng buộc biến dạng.

Thay ràng buộc thừa bằng phản lực và áp dụng nguyên lý cộng
tác dụng.
(
)
AE
PL

LT
P
T
=
∆=
δ
αδ
(2.6)
Trong đó
α
là hệ số giãn nở nhiệt (thermal expansion
coefficient), ∆T mức thay đổi nhiệt độ.
Biến dạng do nhiệt và do phản lực thừa sinh ra phải tương
thích.
( )
0
0
=+∆
=+=
AE
PL
LT
PT
α
δδδ
(2.7)

( )
( )
TE

A
P
TAEP
PT
∆−==
∆−=
=
+
=
ασ
α
δ
δ
δ
0
(2.8)


Hình 2.21.



Chương 3. XOẮN THUẦN TUÝ
Trong chương này sẽ đề cập đến tính ứng suất tiếp, góc xoắn và biến dạng góc trong trục chịu xoắn.
3.1. Giới thiệu chung
Với các thanh chịu xoắn thuần tuý, ngoại lực tác dụng lên thanh chỉ có mô men xoắn quanh trục x, hình 3.1. Thanh chịu
xoắn thường được gọi là trục.


Sức bền vật liệu Mechanics of materials

Trang 24


Hình 3.1.


Hình 3.2

Với các trục truyền động quay thì luôn chịu xoắn, hình 3.2. Turbine tác dụng mô men xoắn T lên trục, trục truyền mô men
T đến máy phát, máy phát sinh ra một mô men T’ xoắn cùng độ lớn và ngược chiều với T.

3.2. Nội lực trong trục tròn chịu xoắn
Trong trục tròn chịu xoắn, trên mặt cắt của nó chỉ có duy nhất một thành phần nội lực là mô men xoắn T.





Hình 3.3.


Hình 3.4.
Để xác định nội lực T tại vị trí nào đó trên trục ta dùng mặt cắt tại vị trí đó (ví dụ tại vị trí C), hình 3.4.
Qui ước dấu: T > 0 khi nhìn từ ngoài mặt cắt vào thấy chiều T thuận chiều kim đồng hồ, và ngược lại.
Cân bằng cho phần cắt, hình 3.4, ta được:
TTTT
=
⇒
=

−
'0'


Nội lực T tương được với hệ lực phân bố dF trên mặt cắt như hình 3.4,
(
)
∫
∫
== dAdFT
τρρ
(3.1), trong đó τ là ứng suất tiếp nằm trên mặt cắt.
Mặc dù mô men xoắn nội lực do ứng suất cắt sinh ra được biết, nhưng sự phân bố của ứng suất là chưa thể biết. Để biết
được sự phân bố của ứng suất ta cần xét đến biến dạng của trục.

3.3. Biến dạng trượt trong trục chịu xoắn
Thí nghiệm xoắn trục như hình 3.5&3.6.

Sức bền vật liệu Mechanics of materials

Trang 25

Hình 3.5.

Hình 3.6.

Từ quan sát thực nghiệm thấy rằng góc xoắn của trục tỉ lệ với mô men xoắn và chiều dài trục
L
T
∝

∝
φ
φ
. Dưới tác dụng của
momen xoắn, mọi tiết diện ngang của thanh tròn vẫn còn phẳng và không bị vênh. Tiết diện ngang của trục tròn không bị
vênh là do tiết diện của nó đối xứng trục. Tiết diện ngang của trục có tiết diện khác sẽ bị vênh khi chịu xoắn.
Xét sự biến dạng bên trong trục tròn như hình 3.7. Xét một vị trí trên trục, dưới tác dụng của mô men xoắn, một phân tố
trên bề mặt bên trong trục bị biến dạng thành hình thoi. Do hai đầu của phân tố vẫn giữ được phẳng nên biến dạng truợt
bằng với góc xoay γ.
Biến dạng trượt tỉ lệ với góc xoắn và bán kính
maxmax
and
γ
ρ
γ
φ
γ
c
L
c
==
(3.2)
Ta rút được
L
L
ρφ
γρφγ
==
or
(3.3)

Nhân hai vế (3.3) với G - mô đun đàn hồi trượt (shear modulus) ta được
max
γ
ρ
γ
G
c
G
=
(3.4)
Theo định luật Hooke ta có
γ
τ
G
=
(3.5)
Kết hợp (3.4) với (3.5) ta được
max
τ
ρ
τ
c
=
(3.6)
Từ (3.6) thấy rằng ứng suất cắt phân bố tuyến tính từ tâm ra bên ngoài trên tiết diện.
Từ (3.1) ta có
J
c
dA
c

dAT
max
2
max
τ
ρ
τ
ρτ
∫∫
===
(3.7)
Trong đó
∫
= dAJ
2
ρ
là mô men quán tính đối với tâm O của tiết diện.
Từ (3.7) ta có được
và
max
J
T
J
Tc
ρ
ττ
==
(3.8)
Với tiết diện tròn đặc, hình 3.8a:
32

4
4
2
1
d
cJ
π
π
==
(c và d là bán kính và đường kính trục)
Với tiết diện tròn rỗng, hình 3.8b:
(
)
(
)
4
1
4
2
4
1
4
2
2
1
32
ddccJ
−=−=
π
π

(c
1
, c
2
và d
1
, d
2
là bán kính và đường kính trục).