Bài giảng sức bền vật liệu

Mục lục
NguyÔn Danh Tr-êng
- 1 -
MỤC LỤC

MỤC LỤC - 1 -
Bài Mở đầu: MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA MÔN HỌC - 5 -
Chương 1: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT - 6 -
§1. Khái niệm về ứng suất, trạng thái ứng suất - 6 -
1.1 Ứng suất - 6 -
1.2 Khái niệm về trạng thái ứng suất - 7 -
1.3 Định luật đối ứng của ứng suất tiếp - 8 -
1.4 Công thức xoay trục - 9 -
§2. Ứng suất chính, phương chính – Tenxơ ứng suất - 11 -
2.1 Ứng suất chính – Phương chính - 11 -
2.2 Tenxơ ứng suất - 15 -
§3. Trạng thái ứng suất phẳng - 16 -
§4. Trạng thái ứng suất cầu, trạng thái ứng suất lệch - 20 -
§5. Mặt ứng suất pháp - 21 -
§6. Phương trình vi phân cân bằng - 22 -
Chương 2: TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG - 23 -
§1. Các khái niệm ban đầu - 23 -
1.1 Chuyển vị - 23 -
1.2 Biến dạng dài - 23 -
1.3 Biến dạng góc - 25 -
§2. Biến dạng chính - phương chính biến dạng - Tenxơ biến dạng - 27 -
2.1 Tenxơ biến dạng - 27 -
2.2 Biến dạng chính và phương chính biến dạng - 28 -
§3. Vòng tròn Mo biến dạng - 31 -
§4. Tenxơ biến dạng cầu, tenxơ biến dạng lệnh - 32 -
§5. Phương trình tương thích biến dạng - 32 -

Chương 3: QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG - 35 -
§1. Các hằng số đàn hồi - 35 -
1.1 Chứng minh phương chính ứng suất trùng với phương trình biến dạng . - 35 -
1.2 Hệ số đàn hồi trong vật liệu đẳng hướng - 36 -
1.3 Hệ số đàn hồi trong trạng thái ứng suất đơn - 38 -
1.4 Hệ số đàn hồi trong trạng thái ứng suất khối - Định luật Hooker tổng
quát - 39 -
Mục lục
NguyÔn Danh Tr-êng
- 2 -
§2. Thế năng biến dạng đàn hồi - 40 -
§3. Các phương pháp cơ bản giải bài toán đàn hồi - 41 -
Chương 4: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG - 47 -
§1. Các định nghĩa - 47 -
1.1 Mômen tĩnh - 47 -
1.2 Mômen quán tính - 47 -
§2. Công thức chuyển trục song song - 48 -
§3. Công thức xoay trục - 49 -
§4. Ví dụ tính đặc trung hình học của một số hình đơn giản - 50 -
4.1 Hình tam giác vuông - 51 -
4.2 Hình nửa hình tròn - 52 -
4.3 Hình quạt - 53 -
4.4 Hình chữ nhật - 53 -
4.5 Hình tròn - 53 -
4.6 Xác định trọng tâm, hệ trục quán tính chính trung tâm của hình phẳng được
ghép từ các hình phẳng đã có trọng tâm - 54 -
Chương 5: THANH, NỘI LỰC TRONG THANH - 55 -
§1.Một số định nghĩa về thanh, liên kết thanh - 55 -
§2. Nội lực trong thanh - 56 -
§3. Tương quan giữa nội lực và ứng suất - 57 -

§4. Tương quan giữa nội lực và cường độ tải trọng phân bố trong bài toán phẳng . -
57 -
§5. Biểu đồ nội lực - 58 -
5.1 Trường hợp thanh thẳng - 58 -
5.2 Trường hợp khung phẳng - 60 -
5.3 Trường hợp thanh cong - 61 -
5.4 Trường hợp khung không gian - 63 -
Chương 6: THANH CHỊU UỐN - KÉO(NÉN) - 64 -
§1. Trạng thái ứng suất của thanh chịu uốn – kéo(nén) - 64 -
§2. Các trường hợp riêng - 66 -
2.1 Thanh chịu kéo(nén) đúng tâm - 66 -
2.2 Uốn thuần túy - 66 -
2.3 Uốn xiên - 67 -
2.4 Kéo (nén) lệch tâm - 68 -
§3. Thí nghiệm kéo và nén vật liệu - 69 -
Mục lục
NguyÔn Danh Tr-êng
- 3 -
3.1 Thí nghiệm kéo - 69 -
3.2 Thí nghiệm nén - 71 -
§4. Các điều kiện dẻo và điều kiện bền - 73 -
4.1 Điều kiện dẻo của Culong-Tơretska - 73 -
4.2 Điều kiện dẻo của Vông Midet - 73 -
4.3 Biểu diễn hình học của điều kiện dẻo - 74 -
4.4 Đường nội tại – Thuyết bền của Mohr - 76 -
Chương 7: UỐN NGANG PHẲNG - 78 -
§1. Ứng suất của dầm chịu uốn ngang phẳng - 78 -
1.1 Định nghĩa - 78 -
1.2 Công thức của ứng suất tiếp - 78 -
§2. Áp dụng với một số mặt cắt thường gặp - 80 -

§3. Điều kiện bền của dầm chịu uốn ngang phẳng - 83 -
§4. Dầm chống uốn đều và dầm có mặt cắt hợp lý - 84 -
Chương 8: ĐƯỜNG ĐÀN HỒI - 87 -
§1. Định nghĩa và nhận xét - 87 -
§2. Phương trình vi phân của đường đàn hồi - 87 -
§3. Các phương pháp xác định đường đàn hồi - 88 -
3.1 Phương pháp tích phân không định hạn - 88 -
3.2 Phương pháp thông số ban đầu - 89 -
3.3 Phương pháp dầm giả tạo - 91 -
Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY - 93 -
§1. Khái niệm chung - 93 -
§2. Xoắn thuần túy thanh tiết diện tròn - 93 -
2.1 Thí nghiệm - 93 -
2.2 Giả thuyết về biến dạng - 94 -
2.3 Ứng suất thanh chịu xoắn - 94 -
2.4 Biến dạng thanh chịu xoắn - 97 -
2.5 Điều kiện bền và điều kiện cứng thanh chịu xoắn - 97 -
2.6 Các dạng bài toán cơ bản - 98 -
2.7 Các ví dụ - 98 -
§3. Xoắn thanh mặt cắt bất kỳ - 101 -
3.1 Công thức ứng suất và biến dạng - 101 -
3.2 Một số trường hợp cụ thể - 103 -
Chương 10: BÀI TOÁN THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP - 105 -
Mục lục
NguyÔn Danh Tr-êng
- 4 -
§1. Uốn và xoắn đồng thời - 105 -
1.1 Thanh tiết diện tròn chịu uốn, xoắn đồng thời - 105 -
1.2 Thanh tiết diện hình chữ nhật chịu uốn, xoắn đồng thời - 106 -
§2. Uốn cộng kéo(nén) và xoắn đồng thời - 107 -

2.1 Thanh tiết diện tròn chịu uốn, kéo(nén) và xoắn đồng thời - 107 -
2.2 Thanh tiết diện hình chữ nhật chịu uốn, kéo(nén) và xoắn đồng thời - 107 -
§3. Tính lò xo xoắn ốc hình trụ bước ngắn - 108 -
Bài Mở đầu
NguyÔn Danh Tr-êng
- 5 -
Bài Mở đầu: MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA MÔN HỌC

Một kỹ sư chế tạo máy có thể thiết kế ra một chi tiết máy, một kỹ sư xây dựng
thiết kế một kết cấu dầm chịu lực…Những chi tiết máy hay dầm chịu lực đó có thể
làm việc đạt yêu cầu đặt ra, nhưng vẫn đề tiếp theo cần quan tâm là chúng làm việc
đạt yêu cầu như vậy được trong bao lâu? Đó chính là vẫn đề tuối thọ. Giải quyết vấn
đề này chính là nhiệm vụ của môn học Sức bền vật liệu.
Mục địch chính của môn học là cung cấp cho người học những kiến thức cơ bản
về phương pháp tính toán độ bền, độ cứng và ổn định của kết cấu chịu lực. Cụ thể là
tính toán cho hệ thanh, dầm, tấm, vỏ, thanh thành mỏng…. Từ đó người học có thể
phân tích và thiết kế các kết cấu chịu lực đảm bảo:
- Độ bền: tức là đảm bảo cho kết cấu có một kích thước hợp lý nhất làm việc
trong một thời gian dài mà không bị hỏng.
- Độ cứng: tức là đảm bảo cho kết cấu chịu lực có biến dạng nhưng vẫn nằm
trong một giới hạn cho phép.
- Ổn định: tức là đảm bảo cho kết cấu khi làm việc luôn trong trạng thái cân
bằng ban đầu.
Đối tượng của môn học Cơ lý thuyết là vật rắn tuyệt đối còn đối tượng nghiên
cứu của môn học Sức bền vật liệu là vật rắn thực, có biến dạng được làm từ các cật
liệu thực như: sắt, thép, gỗ, bê tong…với giả thuyết là vật liệu có tính liên tục và
đồng nhất.
- Tính liên tục có nghĩa là tại mọi nơi trong vật thể đều có vật liệu
- Tính đồng nhât nghĩa là tất mọi nơi trong vật thể, vật liệu đều có tính chất
cơ, lý, hóa như nhau.

- Ngoài hai giả thuyết trên ta còn thừa nhận khi không có tác dụng của ngoại
lực thì trong lòng vật thể không tồn tại ứng suất, nói các khác vật thể không
có ứng suất ban đầu trước khi chịu tác dụng của ngoại lực.



Chương1: Trạng thái ứng suất
NguyÔn Danh Tr-êng
- 6 -
Chương 1: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT
§1. Khái niệm về ứng suất, trạng thái ứng suất
1.1 Ứng suất
Xét một vật thể đàn hồi chịu tác dụng của ngoại lực.
Ứng xử bên trong lòng vật thể xảy ra như thế nào?
 Để tìm hiểu, ta lấy một điểm M thuộc vật thể và tưởng tượng cắt qua M một
mặt cắt π. Mặt cắt π chia vật thể làm hai phần: A và B


Hình 1.1

Tưởng tưởng vứt bỏ phần B đi và xét cân bằng cho phần A: Phần A ở trạng thái
cân bằng là do phần B tác dụng lên phần A một hệ lực phân bố trên toàn mặt cắt, hệ
lực đó cân bằng với các ngoại lực tác dụng lên phần A.
Hệ lực đó gọi là nội lực hay ứng lực trong lòng vật thể.
Xét một phân tố diện tích ∆F bao quanh điểm M, trên phần diện tích đó có lực
P

(thuộc hệ nội lực trên).
Khi đó:

0
lim
F
P dP
p
F dF


(1.1)
được gọi là ứng suất toàn phần tại điểm M trên mặt cắt
Ta dựng một hệ trục tọa độ Oxyz với Oz vuông góc với mp
Gọi là các véc tơ đơn vị tương ứng trên các trục Ox, Oy , Oz
Khi đó ứng suất tại M có thể được biểu diện như sau:
(1.2)
Trong biểu thức (1.2) ta gọi là ứng suất pháp, là các ứng suất tiếp.
Ứng suất tiếp có chỉ số đầu chỉ phương pháp tuyến của mặt cắt, chỉ số thứ
hai chỉ phương song song của ứng suất tiếp đó.

A
P
1
P
2
P
3

B
A
P
1

P
2
P
3
P
5
P
4
?
Chương1: Trạng thái ứng suất
NguyÔn Danh Tr-êng
- 7 -
1

p

x
P


C
x
P


z
x
P


y
x
P


x
x
P


O
x
P


B
x
P


A
x
P


Hình 1.2: Phân tố tứ diện
2

p

x
P


3

p

x
P


4

p

x
P


1.2 Khái niệm về trạng thái ứng suất
Qua điểm M có vô số mặt cắt, ứng với mỗi mặt cắt khác nhau, ta có các véc tơ
ứng suất
p

khác nhau. Vậy có vô số véc tơ ứng suất qua một điểm trong lòng vật thể.
Tập hợp tất cả các véc tơ ứng suất
p

trên các mặt cắt qua một điểm được gọi là trạng

thái ứng suất tại điểm đó.
Tập các véctơ ứng suất tại một điểm là tập độc lập hay phụ thuộc lẫn nhau?
 Xét tại một điểm, ta thấy rằng chỉ cần biết được véctơ ứng suất trên 3 mặt cắt
bất kỳ, thì ứng suất trên mặt cắt thứ 4 phải cân bằng với ứng 3 ứng suất kia.
Vì sao?
Vì 4 mặt cắt đó tạo nên một phân tố
bao quanh điểm đang xét. Mà vật thể
nằm cân bằng nên phân tố đó cũng phải
nằm cân bằng suy ra tổng véctơ ứng suất
trên 4 mặt đó phải bằng không, tức chúng
phụ thuộc lẫn nhau.
Vậy tại một điểm chỉ có 3 véctơ
ứng suất độc lập với nhau.
Để thuận tiện ta xét 3 mặt cắt đi qua
M vuông góc với nhau từng cặp một. Giao
của các mặt cắt đó tạo nên hệ trục Oxyz.
Xét thêm mặt cắt thứ 4 có cosin chỉ
phương trong hệ trục Oxyz là (l,m,n).
Mặt cắt thứ 4 này cắt các trục Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C.
Vậy 4 mặt cắt tạo nên một tứ diện vuông OABC, vuông tại O
Trên 3 mặt cắt ban đầu có véctơ ứng suất chiếu lên các trục tọa độ là:

1
2
3
:
:
:
x xy xz
yx y yz

zx zy z
OBC p i j k
OCA p i j k
OAB p i j k









(1.3)
,,i j k


là các véctơ đơn vị trên hệ trục Oxyz.
Gọi ứng suất trên mặt thứ 4 là:

4
p Xi Yj Zk



(1.4)
Trong đó X, Y, Z là tọa độ của véctơ ứng suất p
4
chiếu lên các trục.
Tứ diện vuông OABC nằm cân bằng nên ta có:

1 2 3 4
. . . . 0
OBC OAC OAB ABC
p F p F p F p F

   
(1.5)
?
Chương1: Trạng thái ứng suất
NguyÔn Danh Tr-êng
- 8 -
z
x
P


y
x
P


x
x
P


Hình 1.3

yz

x
P


G
x
P



zy

x
P


x’
x
P


Chiếu (1.5) lên các trục tọa tọa độ ta có:
. . . .
. . . .
. . . .
ABC x OBC yx OAC zx OAB
ABC xy OBC y OAC zy OAB
ABC xz OBC yz OAC z OAB
X F F F F

Y F F F F
Z F F F F
(1.6)
Trong đó F
i
là diện tích của mặt i tương ứng.
Chia 2 vế của (1.6) cho F
ABC
với chú ý:

F F F
;;
F F F
OBC OAC OAB
ABC ABC ABC
l m n

là các cosin chỉ phương của mặt nghiêng với các mặt Oxy, Oyz, Ozx.
Viết lại (1.6):
. . .
. . .
. . .
x yx zx
xy y zy
xz yz z
X l m n
Y l m n
Z l m n
(1.7)
Viết (1.7) dưới dạng ma trận ta có:

x yx zx
xy y zy
xz yz z
σ τ τ
X
Y=τ σ τ .
Z
τ τ σ
l
m
n
(1.8)
Trong đó ta ký hiệu:

x yx zx
xy y zy
xz yz z
σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ
T
(1.9)
chứa các thành phần của các véctơ ứng suất trên 3 mặt cắt vuông góc với nhau.
T
ς
đặc trưng cho trạng thái ứng suất tại điểm đang xét.
Kết luận:
Khi biết được 3 véctơ ứng suất trên 3 mặt đi qua một điểm thì của véctơ ứng
suất


u
p

trên mặt cắt thứ 4 bất kỳ có véctơ chỉ phương là
,,

u l m n
được xác định
thông qua biểu thức (1.8).
Các thành phần của T
ς
có gì đ
ặc biệt
không?
1.3 Định luật đối ứng của ứng suất tiếp
Xét phương trình cân bằng mômen qua
các trục đi qua trọng tâm của tứ diện và
vuông góc với các cạnh của phân tố.
Ví dụ: phương trình cân bằng mômen qua
trục Gx’ chỉ có
,
yz zy
gây mômen:
?
Chương1: Trạng thái ứng suất
NguyÔn Danh Tr-êng
- 9 -
'
. . . .
33

yz OAC zy OAB
hh
FF

Trong đó:
'

33
OAC OAB
hh
F F V
là thể tích tứ diện. Suy ra:
Tương tự với các ứng suất tiếp còn lại, ta có:

;;
xy yx yz zy zx xz
(1.10)
Kết luận:
Xét trên hai mặt cắt vuông góc với nhau. Nếu mặt này xuất hiện ứng suất tiếp thì
bề mặt kia cũng xuật hiện ứng suất tiếp với trị số bằng nhau, có chiều cùng hướng
vào hoặc hướng ra khỏi cạnh chung  Định luật đối ứng của ứng suất tiếp.
Tiếp tục ta xét tiếp các thành phần của T
ς
khi ta ch
ọn các mặt cắt vuông góc
khác nhau hay nói cách khác, các thành phần đó thay đổi như thế nào trong một
hệ trục tọa độ mới?

1.4 Công thức xoay trục
Xét một hệ trục mới với gốc như cũ: Ouvw

Các cosin chỉ phương của các trục trong hệ trục tọa độ mới được xác định trong hệ
trục cũ như sau:

1 11 12 13
2 21 22 23
3 31 32 33
Ou : , ,
Ov: , ,
Ow : , ,



n n n n
n n n n
n n n n
(1.11)
Theo công thức (1.8) véctơ ứng suất toàn phần trên mặt Ovw là:

x yx zx
11
'
1 xy y zy 12
13
xz yz z
σ τ τ
τ σ τ .
τ τ σ
n
pn
n

(1.12)
ứng suất pháp trên mặt Ovw là hình chiếu của
'
1
p

lên trục
Ou
:
x yx zx
11 11
xy y zy 12 12
13 13
xz yz z
σ τ τ
τ σ τ .
τ τ σ
T
u
nn
nn
nn
(1.13)
ứng suất pháp trên mặt Ovw là hình chiếu của
'
1
p


lên các trục Ov,Ow:

x yx zx
11 21
xy y zy 12 22
13 23
xz yz z
σ τ τ
τ σ τ .
τ τ σ
T
uv
nn
nn
nn

;

x yx zx
11 31
xy y zy 12 32
13 33
xz yz z
σ τ τ
τ σ τ .
τ τ σ
T
uw
nn
nn
nn
(1.14)

Tương tự các thành phần còn lại ta có:
?
Chương1: Trạng thái ứng suất
NguyÔn Danh Tr-êng
- 10 -
x yx zx
21 21
xy y zy 22 22
23 23
xz yz z
σ τ τ
τ σ τ .
τ τ σ
T
v
nn
nn
nn
;
x yx zx
21 31
xy y zy 22 32
23 33
xz yz z
σ τ τ
τ σ τ .
τ τ σ
T
vw
nn

nn
nn
;

x yx zx
31 31
xy y zy 32 32
33 33
xz yz z
σ τ τ
τ σ τ .
τ τ σ
T
w
nn
nn
nn
(1.15)
Vậy
σ
T
đã hoàn toàn xác định trong hệ trục tọa độ mới qua cá biểu thức (1.13-1.15).
Một cách tổng quát ta có công thức xoay trục:
'
T
jj
T T n n
với
, 1,2,3
, 1,2,3

ij
(1.16)
(1.16) là công thức tổng quát cho phép ta xác định tất cả các thành phần của T
ς
trong
hệ trục tọa độ mới.
Ví dụ1.1:
Cho trạng thái ứng suất tại một điểm trong hệ
trục tọa độ Oxyz đặc trưng bởi:

3 1 1
1 0 2
1 2 0
T

Xác định T
ς
tại điểm đó trong hệ trục mới
Ouvw bằng cách xoay hệ trục Oxyz quanh Ox
góc 45
0
(quay ngược chiều kim đồng hồ)
Giải:
Với cách xoay hệ trục như trên ta có các véctơ chỉ phương của hệ Ouvw trong
hệ trục Oxyz là:
: (1,0,0)
22
: (0, , )
22
22

: (0, , )
22
ou
ov
ow




Dùng công thức xoay trục (1.16) ta có:
3 1 1 1 1
1 0 2 0 0 3
1 2 0 0 0
T
u

0
3 1 1 1
2
1 0 2 0 2
2
1 2 0 0
2
2
T
uv

O
z
y

x
w
v
u
45
0
Chương1: Trạng thái ứng suất
NguyÔn Danh Tr-êng
- 11 -
0
3 1 1 1
2
1 0 2 0 0
2
1 2 0 0
2
2
T
uw

00
3 1 1
22
1 0 2 2
22
1 2 0
22
22
T
v

00
3 1 1
22
1 0 2 0
22
1 2 0
22
22
T
vw

00
3 1 1
22
1 0 2 2
22
1 2 0
22
22
T
w


Vậy ta có được T
ς
tại điểm đó trong hệ trục mới Ouvw là:

3 2 0
2 2 0

0 0 2
T

Từ việc xoay trục như trên ta thấy sẽ tồn tại một hệ trục mà ở đó T
ς
có dạng
đường chéo(các ứng suất tiếp bằng không).
§2. Ứng suất chính, phương chính – Tenxơ ứng suất
2.1 Ứng suất chính – Phương chính
Khái niệm: Trên mặt cắt đi quan một điểm mà ở đó chỉ có ứng suất pháp(ứng
suất tiếp bằng không) thì ta gọi mặt cắt đó là mặt chính, ứng suất trên mặt đó được
gọi là ứng suất chính, phương của véctơ pháp tuyến của mặt cắt đó được gọi là
phương chính.
*) Xác định ứng suất chính và phương chính
Gọi phương chính cần tìm là khi đó ứng suất trên mặt chính đó
được tính theo công thức (1.8) là:
yx 1
2
3
.
x zx
n xy y zy
xz yz z
n
pn
n
(1.17)
Do

n

p
là ứng suất chính nên ta cũng có:
1
2
3
.

.
nn
n
p n p n
n

(1.18)
Trong đó ς là trị số ứng suất chính.
Từ (1.17) và (1.18) ta có:
1 yx 2 zx 3 1
xy 1 2 zy 3 2
xz 1 yz 2 3 3



x
y
z
n n n n
n n n n
n n n n

Chương1: Trạng thái ứng suất

NguyÔn Danh Tr-êng
- 12 -
Chuyển vế ta có:
1 yx 2 zx 3
xy 1 2 zy 3
xz 1 yz 2 3
. . 0
. . 0
. . 0
x
y
z
n n n
n n n
n n n
(1.19)
Do
222
1 2 3
1nnn
nên n
1
, n
2
, n
3
không đồng thời bằng không hay nói cách khác (1.19)
không có nghiệm tầm thường nên ta có:
yx zx
xy zy

xz yz

0

x
y
z
(1.20)
Khai triển ta có:
32
1 2 3
I . I . -I 0
(1.21)
Trong đó:
1
yx
3
yx zy
xz
2
xy yz
zx
I
; I
I
x y z
x zx
xy y zy
xy
z

xz yz z
yz
x
(1.22)
Giải (1.21) ta tìm được nghiệm ς thế lên (1.19) ta tìm được phương chính
n


Phương trình bậc 3 (1.21) có gì đặc biệt?

 Do là phương trình bậc 3 với các hệ số là các số thực nên phương trình (1.21)
luôn có 3 nghiệm thực (có thể nghiệm bằng không).
 Gọi 3 nghiệm thực đó là
1 2 3
, tương ứng ta tìm được 3 phương chính là

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
, , ; , , ; , ,u l m n u l m n u l m n
  
ta sẽ chứng minh
1 2 3
;;u u u
  
vuông góc với
nhau từng cặp một.
Điều này dễ nhận thấy theo định luật đối ứng của ứng suất tiếp thì nếu tồn tại một
mặt cắt là mặt chính(ứng suất tiếp trên đó bằng 0) thì sẽ tồn tại mặt cắt khác vuông
góc với mặt cắt ban đầu và trên đó ứng suất tiếp cũng bằng không vậy đây cũng là
mặt chính.
Một cách khác để chứng minh là từ phương trình (1.19) ta có:

1 yx 1 zx 1 2
xy 1 1 zy 1 2
xz 1 yz 1 1 2
. . 0
. . 0
. . 0
x
y
z
l m n l
l m n m
l m n n
(1.23)
Và:

2 yx 2 zx 2 1
xy 2 2 zy 2 1
xz 2 yz 2 2 1
. . 0
. . 0
. . 0
x
y
z
l m n l
l m n m
l m n n
(1.24)

?
Chương1: Trạng thái ứng suất
NguyÔn Danh Tr-êng
- 13 -
Cộng 3 phương trình trong (1.23) trừ đi tổng 3 phương trình trong (1.24) ta có:

1 2 1 2 1 2 1 2
0l l m m n n
(1.25)
Do (1.25) đúng với mọi
12
,
nên:

1 2 1 2 1 2
0l l m m n n
(1.26)
Vậy
12
uu

, tương tự ta chứng minh được
23
uu

và
31
uu

.

 Các nghiệm của phương trình (1.21) không thay đổi khi ta thay đổi hệ trục tọa độ.
Để chứng minh điều này, ta đi chứng minh các hệ số I
1
, I
2
, I
3
không đổi khi ta
xoay trục.
Ví dụ với
1
I
x y z

Từ biểu thức (1.13),(1.15) ta tìm được:

2 2 2
11 12 13 11 12 12 13 13 11
2 2 2
21 22 23 21 22 22 23 23 21
2 2 2
31 32 33 31 32 32 33 33 31
2 2 2
2 2 2
2 2 2
u x y z xy yz zx
v x y z xy yz zx
w x y z xy yz zx
n n n n n n n n n
n n n n n n n n n

n n n n n n n n n
(1.27)
Ta sẽ đi chứng minh:

1
I
u v w x y z
(1.28)
Việc chứng minh (1.28) đi tới chứng minh:

2 2 2
11 21 31
2 2 2
12 22 32
2 2 2
13 23 33
1
1
1
n n n
n n n
n n n
và
11 12 21 22 31 32
12 13 22 23 32 33
13 11 23 21 33 31
0
0
0
n n n n n n

n n n n n n
n n n n n n
(1.29)
Thực vậy:
Xét từ:
2 2 2
11 12 13
1n n n
suy ra
2 2 2
11 11 11 12 11 13 11
n n n n n n n


11 21 12 22 13 23
0n n n n n n
suy ra
2
11 21 12 21 22 13 21 23
0n n n n n n n n
(1.30)

11 31 12 32 13 33
0n n n n n n
suy ra
2
11 31 12 31 32 13 31 33
0n n n n n n n n

Cộng 3 phương trình ở (1.30) lại ta có:

2 2 2
11 11 21 31 12 11 12 21 22 31 32 13 11 13 21 23 31 33 11
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
(1.31a)
Tương tự ta có:
2 2 2
21 11 21 31 22 11 12 21 22 31 32 32 11 13 21 23 31 33 21
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
(1.31b)
2 2 2
31 11 21 31 32 11 12 21 22 31 32 33 11 13 21 23 31 33 31
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
(1.31c)
Nhân phương trình (1.31a) với n
11
, phương trình (1.31b) với n
21
, phương trình
(1.31c) với n
31
sau đó cộng lại ta có:
22
2 2 2 2 2 2
11 21 31 11 21 31 11 12 21 22 31 32 11 13 21 23 31 33
10n n n n n n n n n n n n n n n n n n

(1.32)
Xét (1.32) ta suy ra:
2 2 2 2 2 2
11 21 31 11 21 31

10n n n n n n

Chương1: Trạng thái ứng suất
NguyÔn Danh Tr-êng
- 14 -
2 2 2
11 21 31
1n n n

Tương tự ta có:
2 2 2
12 22 32
1n n n
(1.33)
2 2 2
13 23 33
1n n n

Xét (1.33) có tổng vế trái:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
11 12 13 21 22 23 31 32 33
3n n n n n n n n n

Suy ra:

2 2 2
11 21 31
2 2 2
12 22 32
2 2 2

13 23 33
1
1
1
n n n
n n n
n n n
(1.34)
Thay (1.34) vào (1.32) suy ra:

11 12 21 22 31 32
12 13 22 23 32 33
13 11 23 21 33 31
0
0
0
n n n n n n
n n n n n n
n n n n n n
(1.35)
Vậy (1.29) đã được chứng minh hay nói cách khác ta đã chứng minh được I
1

không thay đổi khi ta thay đổi hệ trục tọa độ.
Tương tự ta cũng chứng minh được I
2
, I
3
không đổi khi ta thay đổi hệ trục tọa độ.
Các đại lượng I

1
, I
2
, I
3
được gọi là các bất biết.
Kết luận:
Với một hệ ngoại lực xác định tác dụng lên vật thể đàn hồi, thì trạng thái ứng
suất tại một điểm M bên trong vật thể có các ứng suất chính
1 2 3
và 3
phương chính không đổi với mọi hệ trục tọa độ.
Ví dụ 1.2: Cho trạng thái ứng suất tại một điểm đặc trưng bởi:

3 1 1
1 0 2
1 2 0
T

Xác định ứng suất chính và phương chính?
Giải:
Các ứng suất chính là nghiệm của phương trình:

32
1 2 3
3 1 1
1 2 0 I . I . -I 0
12

Trong đó:

1
yx zy
xz
2
xy yz
zx
yx
3
I 3 0 0 3
3 1 0 2 0 1
I 1 4 1 6
1 0 2 0 1 3
3 1 1
I 1 0 2 8
1 2 0
x y z
xy
z
yz
x
x zx
xy y zy
xz yz z

Chương1: Trạng thái ứng suất
NguyÔn Danh Tr-êng
- 15 -
Suy ra phương trình:
32
3 6 8 0 1 4 2 0

Suy ra nghiệm cũng là các ứng suất chính cần tìm:

1 2 3
4; 1; 2

Xác định các phương chính tương ứng:
*) Với
1
4

Ta có:
11
12
13
2 2 2
11 12 13
1 1 1
1 4 2 0
1 2 4
1
n
n
n
n n n
11 12 13
2 1 1
;;
666
n n n

Tương tự với các ứng suất chính còn lại.
Ta có:

21 22 23
31 32 33
111
;;
333
11
0; ;
22
n n n
n n n

2.2 Tenxơ ứng suất
Xét một vật thể đàn hồi chịu tác dụng dưới một ngoại lực xác định. Trạng thái
ứng suất tại điểm bên trong lòng vật thể hoàn toàn xác định với các đại lượng vật lý
không đổi là: ứng suất chính, phương chính, mặt chính.
Trạng thái ứng suất tại M được gọi là Tenxơ ứng suất.
Các thành phần của tenxơ ứng suất:
x yx zx
xy y zy
xz yz z
σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ
T
chuyển sang trục tọa độ chính (1.36)
Có ba trường hợp xảy ra:

Nếu đều khác không thì ta có trạng thái ứng suất khối.
Nếu có một trong 3 bằng không thì ta có trạng thái ứng suất phẳng.
Nếu có hai trong 3 bằng không thì ta có trạng thái ứng suất đơn.

Hình 1.4a Hình 1.4b Hình 1.4c












Chương1: Trạng thái ứng suất
NguyÔn Danh Tr-êng
- 16 -
Hình 1.4a.Trạng thái ứng suất đơn, 1.4b.Trạng thái ứng suất phẳng,
1.4c.Trạng thái ứng suất khối
Trạng thái ứng suất tại một điểm còn được biểu thông qua phân tố hình hộp:

Hình 1.5: Biểu diễn trạng thái ứng suất qua phân tố hình hộp
Để tiện cho tính toán sau này ta gọi các phương của hệ trục Oxyz là 1, 2, 3 khi đó
các ứng suất pháp được ký hiệu là: ς
11
, ς
22

, ς
33
còn các ứng suất tiếp là ς
12
, ς
23
, ς
31,
chỉ số đầu chỉ phương pháp tuyến của mặt cắt, chỉ số thứ hai chỉ phương song song
của ứng suất tiếp đó.
Khi đó Tenxơ ứng suất được viết lại như sau:
(1.37)
Dạng thu gọn: với i,j=1,2,3
Trong đó chỉ số đầu chỉ cột, chỉ số sau chỉ hàng.
Định luật đối ứng của ứng suất tiếp lúc này trở thành:
với i≠j, i,j=1,2,3
Trạng thái ứng suất trong trường hợp ví dụ 1.2 là trạng thái ứng suất khối
§3. Trạng thái ứng suất phẳng
Trong phần này ta sẽ đi tìm ứng suất trên một mặt nghiêng bất kỳ, đi tìm ứng
suất chính, phương chính của một trạng thái ứng suất phẳng bằng phương pháp giải
tích và hình học.
Xét phân tố hình hộp tạo bởi 3 mặt chính trong đó: Oz là một phương chính
với : như hình 1.6a:
xy

yx

zy

yz

z

zx

xz

y

x

y

x

z

Chương1: Trạng thái ứng suất
NguyÔn Danh Tr-êng
- 17 -

Phân tố trên là phân tố chịu trạng thái ứng suất phẳng.
Do các mặt cắt còn lại là bất kỳ nên : (Nếu trùng
với mặt chính thì, )
Một phân tố chịu trạng thái ứng suất phẳng như trên khi biết được thì
trạng thái đó xác định. Từ đây ta có thể tính được bất kỳ ứng suất tại các mặt cắt
khác nhau song song với Oz.

*)Phương pháp giải tích
Bây giờ ta cắt phân tố trên bằng một mặt cắt bất kỳ song song với Oz.

Ta gọi pháp tuyến của mặt cắt bất kỳ đó là
u

có phương hợp với Ox một góc
, xoay
u

90
0
theo chiều kim đồng hồ ta có véctơ

, bây giờ ta đi tìm ứng suất pháp
và ứng suất tiếp
uvu
,
. Thực tế đây là một bài toán tìm các thành phần của tenxơ ứng
suất trong hệ trục tọa độ mới Ouv. (Hình 1.6b)
Các cosin chỉ phương của u,v trong hệ trục tọa độ Oxy là:
os( , ) os
os( , ) sin
c u x c
u
c u y
;
os( , ) sin
os( , ) os
c v x
v
c v y c
(1.38)

Sử dụng công thức quay trục ta có:
os os
sin sin
os sin
sin os
T
x yx
u
xy y
T
x yx
uv
xy y
cc
c
c

Khai triển ra ta có:
22
22
( sin cos 2 cos sin
( )sin cos (cos sin )
u y x xy
uv x y xy

2cos2sin
2
)(

2sin
2
12cos
)(
2cos2sin
2
)(
2sincos)(
2
xy
yx
uv
xyyyxu
xy
yx
uv
xyyyxu

y

x

yx

xy

x
y
u

A
C
B
Hình 1.6b



x
y
z
Hình 1.6a
Chương1: Trạng thái ứng suất
NguyÔn Danh Tr-êng
- 18 -
O


x

y

P
M

M

M

xy

C
M
0
M’
β
Hình 1.8: Vòng tròn Mohr ứng suất
0

0

Hình 1.7: Quy ước dấu ứng suất
2cos2sin
2
)(
2sin2cos
2
)(
2
)(
xy
yx
uv
xy
yxyx
u
(1.39)
(1.39) là biểu thức xác định trạng thái ứng suất tại mặt cắt song song với trục Oz và
tạo với Ox một góc .
*)Phương pháp đồ thị - Vòng tròn Mohr ứng suất

Biến đổi (1.39) ta có:
( ) ( )
cos2 sin 2
22
()
sin 2 cos2
2
x y x y
u xy
xy
uv xy
(1.40)
Bình phương 2 vế của hai phương trình ở (1.40) sau đó cộng lại với nhau ta có:
2
2
22
2
)(
)()
2
)(
(
xy
yx
uv
yx
u
là phương trình một đường tròn trong hệ
trục
uvu

O
với tâm là điểm :
0,
2
)(
yx
và bán kính
2
2
2
)(
xy
yx
R

Vòng tròn trên được gọi là vòng tròn Mohr ứng suất.
Trước khi vẽ vòng tròn Mo ta quy ước dấu của ứng suất như sau:
Để thuận mắt ta vẽ
u
O
// Ox và
uv
O
// Oy và lấy điểm P có tọa độ
y xy
P σ ,τ
được
gọi là điểm cực của vòng tròn Mo ứng suất.
Từ điểm cực P ta vẽ tia tạo với trục
u

O
góc α ngược chiều kim đồng hồ. tia đó
cắt vòng tròn Mo tại M khi đó hoành độ điểm M là ứng suất pháp, tung độ của M là
ứng suất tiếp tại mặt cắt của phân tố có phương pháp tuyến trùng với
PM
.
Chứng minh:
Từ tâm C của vòng tròn Mo, gọi M’ là hình chiếu của M trên trục hoành. Gọi β là
góc

0
M CM

Chương1: Trạng thái ứng suất
NguyÔn Danh Tr-êng
- 19 -
Ta có:
OM'=OC+CO'=OC+CM.cos( +2 )
MM'=CM.sin( +2 )

Áp dụng công thức lượng giác:
sin( 2 ) sin os2 sin 2 oscc

và để ý thấy:
xy
0
0 xy
σ -σ
CM.cosβ=CM .cosβ
2

CM.sinβ=CM .sinβ=τ

Suy ra:
x y x y x y
xy
σ +σ σ +σ σ -σ
OM'= +CM.cosβcos2α-CMsinβsin2α= + cos2α- sin2α
2 2 2
σ -σ
MM'=CM.sinβcos2α+CM.cosβsin2α= cos2α+ sin2α
2
xy
xy
(1.41)
So sánh với công thức (1.41) với (1.39) dễ dàng thấy điều phải chứng minh.
Chú ý: điểm P lấy như trên để PM
0
song song với trục Ox như vậy để thuận mắt khi
biểu diễn ứng suất tại điểm M trên mặt cắt(khi đó mặt cắt sẽ nhận PM làm
pháp tuyến luôn), còn thực ra có thể lấy tùy ý bất kỳ điểm nào trên đường
tròn làm điểm cực và ta vẫn có các tính chất biểu diễn như trên.
Tọa độ
y xy
P(σ ,τ )
cũng phụ thuộc vào quy ước dấu của ứng suất tiếp.
* Xác định ứng suất chính, phương chính trong trạng thái ứng suất phẳng
Từ (1.39) ta có, nếu
u

là phương chính thì ứng suất pháp tại đây là ứng suất

chính và đó chính là giá trị cực trị nên suy ra:
()
2 sin2 2 cos2 2 0
2
xy
u
xy uv
(1.42)
(vậy ứng suất tiếp bằng không khi ứng suất pháp đạt cự trị)
yx
xy
xy
yx
uv
tg
2
202cos2sin
2
)(
0
(1.43)
Ta có:
21
1
2cos
2
tg
(1.44)
Thay (1.43),(1.44) vào:
( ) ( )

cos2 sin2
22
x y x y
u xy

( ) ( )
( 2 )cos2
22
x y x y
u xy
tg

2
2
2
2
2
2
2
)(
2
)(
)
2
)(
2
)(
.(
2
)(

2
)(
2
)(
xy
yxyx
xy
yx
yx
yx
xy
yx
yx

Suy ra:
2
2
min
max
2
)(
2
)(
xy
yxyx
(1.45)
và
y
xy
tg

max
min
max
(1.46)
Chương1: Trạng thái ứng suất
NguyÔn Danh Tr-êng
- 20 -
Công thức (1.45), (1.46) chính là công thức dùng để xác định ứng suất chính
và phương chính tại trạng thái ứng suất phẳng đang xét.
Trên vòng tròn Mo ứng suất,
gọi điểm mà vòng tròn giao với trục
hoành là M
1
,M
2
thì OM
1
, OM
2

chính là hai giá trị ứng suất chính và
1
PM
và
2
PM
là hai phương chính cần
xác định.

*)Trạng thái ứng suất trượt thuần túy
Là trạng thái phân tố chỉ chịu
ứng suất tiếp τ, ứng suất pháp bằng
không. Vòng tròn Mo cho trạng thái
ứng suất trượt thuần túy có tâm trùng
gốc tọa độ.
Nhìn vòng tròn Mo dễ dàng thấy trong
trường hợp này:
ς
max
= τ v{ ς
min
= -τ

§4. Trạng thái ứng suất cầu, trạng thái ứng suất lệch
Một trạng thái ứng suất bất kỳ có thể được xem là cộng tác dụng của hai trạng
thái ứng suất
Cho Tenxơ ứng suất
σ
T
ta phân tích như sau:
yx yx
00
T 0 0
00
x zx bd x bd zx
xy y zy bd xy y bd zy
xz yz z bd xz yz z bd

Trong đó:
1
3
bd x y z
được gọi là ứng suất bát diện
00
00
00
bd
c
bd
bd
T

(1.47)
gọi là Tenxơ của trạng thái ứng suất cầu –Ten sơ cầu
yxx bd zx
xy y bd zy
xz yz z bd
D
(1.48)
O


x

y

P

xy

M
2
M
1
max

min

Hình 1.9: Ứng suất chính, phương chính
O


P

M
2
M
1
max

min



45
0
3

3

1

1

Hình 1.10: TTƯS trượt thuần túy
Chương1: Trạng thái ứng suất
NguyÔn Danh Tr-êng
- 21 -
gọi là Tenxơ trạng thái ứng suất lệch – Ten sơ lệch
Tenxơ cầu chỉ gây nên biến dạng thể tích, tenxơ lệch gây nên biến dạng góc
§5. Mặt ứng suất pháp
Để có một hình tượng về sự biến thiên của ứng suất tại một điểm trên các mặt cắt
khác nhau trong không gian. Ta đưa vào khái niệm “Mặt ứng suất pháp”.
Mặt ứng suất pháp được khái niệm như sau:
Từ biểu thức (1.8) ta có:





Trong đó: (X,Y,Z) là tọa độ của véctơ ứng suất trên mặt cắt có véctơ pháp tuyến
n

(n
1
,n
2
,n

3
).
Từ đó ta có ứng suất pháp là hình chiếu của véctơ ứng suất trên véctơ pháp tuyến

2 2 2
1 2 3 1 2 3 2 3 3 1 1 2
2 2 2
n x y z yz zx xy
Xn Yn Zn n n n n n n n n n
(1.49)
Chọn một véctơ
r

có phương trùng với phương pháp tuyến
n

, gốc trùng với gốc tọa
độ. Nếu gọi (x,y,z) là tọa độ của điểm cuối thì:
x=
r

.n
1
; y=
r

.n
2
; z=
r


.n
3


1 2 3
; ;
x y z
n n n
r r r
  
(1.50)
Thay (1.50) vào (1.49) ta có:
2
2 2 2
2 2 2 .
x y z yz zx xy n
x y z yz zx xy r

(1.51)
Lấy
n
k
r

trong đó k là hằng số chọn tùy ý khi đó (1.51) trở thành:

2 2 2 2
2 2 2
x y z yz zx xy

x y z yz zx xy k
(1.52)
Nhìn vào phương trình (1.52) ta thấy khi thay đổi véctơ pháp tuyến dẫn đến
ứng suất pháp trên nó thay đổi thì tọa độ điểm cuối của véctơ
r

thay đổi và tập các
điểm cuối đó là một mặt bậc hai(phương trình (1.52). Mặt bậc hai đó người ta gọi là
mặt ứng suất Cauchy.
Chú ý: khi tọa độ Oxyz chọn trùng với các phương chính ứng suất tức khi đó
các ứng suất tiếp bằng không khi đó mặt ứng suất Cauchy trở thành:
2 2 2 2
x y z
x y z k
(1.53)
x yx zx
1
xy y zy 2
3
xz yz z
σ τ τ
X
Y=τ σ τ .
Z
τ τ σ
n
n
n
Chương1: Trạng thái ứng suất
NguyÔn Danh Tr-êng

- 22 -
Ngoài mặt ứng suất Cauchy ta còn có khái niệm mặt ứng suất dạng elip nếu
cũng như trên nhưng ta lấy véctơ
r

trùng với véctơ ứng suất toàn phần. Khi đó điểm
cuối véctơ
r

hay chính là điểm cuối véctơ ứng suất toàn phần vẽ nên một mặt Elip.

§6. Phương trình vi phân cân bằng
Các mục trước ta xét một phân tố hình hộp để biểu diễn cho trạng thái ứng
suất tại một điểm, ở đó ta coi phân tố vô cùng bé và ta coi ứng suất trên hai mặt đối
diện nhau là bằng nhau. Bây giờ để nghiên cứu trường ứng suất tại một điểm trong
vật thể dưới tác dụng của ngoại lực chúng ta xét cũng phân tố hình hộp như trên
nhưng ứng suất trên hai mặt đối diện lúc này khác nhau như hình 1.11.

Bây giờ ta xét phân tố cân bằng, chiếu trên các phương ox,oy,oz ta có hệ
phương trình cân bằng:
2
2
2
2
2
2
w
yx
x zx
x

xy y zy
x
yz
xz
z
x
u
F
x y z t
v
F
x y z t
F
x y z t
(1.54)
Trong đó: F(F
x
, F
y
, F
z
) là lực thể tích tác động lên phân tố. ρ là khối lượng riêng của
vật thể. (u,v,w) là chuyển vị của phân tố theo các phương x,y,z.
Phương trình (1.54) được gọi là phương trình Naviê.

yx
yx
dx
x

yx
yx
dy
y

zy
zy
dz
z

yz
yz
dy
y

z
z
dz
z

zx
zx
dz
z

xz
xz
dx
x

y
y
dy
y

x
x
dx
x

y

x

z

Hình 1.11
Chương2: Trạng thái biến dạng
NguyÔn Danh Tr-êng
- 23 -
Chương 2: TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG
§1. Các khái niệm ban đầu
1.1 Chuyển vị
Xét một điểm K(x,y,z) thuộc một vật thể
đàn hồi ban đầu chưa chịu lực. Sau khi
chịu lực điểm chuyển dịch tới
khi đó khoảng cách được
gọi là chuyển vị toàn phần của điểm K.
Chiếu lên các trục tọa độ Ox,
Oy, Oz được các tọa độ là (u,v,w), các tọa

độ này phụ thuộc vào hệ ngoại lực tác
dụng vào vật thể và phụ thuộc vào tọa độ
điểm K. Vậy u,v,w sẽ là hàm số theo
(x,y,z). Ta có:

Khi đó tọa độ K’ là:

'
,,K x u y v z w
(2.1)
1.2 Biến dạng dài
Xét một điểm lân cận điểm , tọa độ
,,A x dx y dy z dz

Tọa độ của
,,KA dx dy dz
(2.2)
dx,dy,dz là các vi phân của tọa độ x,y,z.
Sau biến dạng trở thành:

'
,
,
w w w

u u u
A x dx u dx dy dz
x y z
v v v
y dy v dx dy dz

x y z
z dz w dx dy dz
x y z

Tọa độ sau khi biến dạng:
''
,
,
w w w

u u u
K A dx dx dy dz
x y z
v v v
dy dx dy dz
x y z
dz dx dy dz
x y z
(2.3)
Gọi chiều dài KA=ds và K’A’=ds’ khi đó người ta gọi tỷ số:
K
K’
y
z
A
A’
B
Hình 2.1
B’
x

O
Chương2: Trạng thái biến dạng
NguyÔn Danh Tr-êng
- 24 -
'ds ds
ds
(2.4)
là biến dạng dài theo phương KA.
? Tỷ số
ε thay đ
ổi như thế nào trên các phương khác nhau?
 Bây giờ ta đi tìm tỷ số ε.
Từ biểu thức (2.2) và (2.3) ta tính được:
2 2 2
2
w w w
'
u u u v v v
ds dx dx dy dz dy dx dy dz dz dx dy dz
x y z x y z x y z
khai triển và bỏ qua những số hạng vô cùng bé bậc cao ta có:
2 2 2 2 2
22
' 2 2 2 2 2 2
www
2 2 2
u u u v v v
ds dx dx dydx dzdx dy dxdy dy dydz
x y z x y z
dz dxdz dydz dz

x y z
(2.5)
2 2 2 2 2
2
'
2 2 2 2 2 2
ww
2 2
ds dx u dx u dydx u dzdx dy v dxdy v dy v dydz
ds ds x ds y dsds z dsds ds x dsds y ds z dsds
dz dxdz dydz
ds x dsds y dsds
2
w
2
dz
z ds

Chú ý:
;;
dx dy dz
ds ds ds
lần lượt chính là các cosin chỉ phương (l,m,n) của KA ta có:
2
2 2 2 2
22
'
2 2 2 2 2 2
w w w
2 2 2

ds u u u v v v
l l lm ln m ml m mn
ds x y z x y z
n nl nm n
x y z
(2.6)
Từ biểu thức định nghĩa (2.4) ta có:

22
2
2
' ' '
1 1 2 1
ds ds ds
ds ds ds

(2.7)

bỏ qua vô cùng bé bậc hai ta có:

2
'
21
ds
ds

Thay biểu thức (2.6) vào (2.7) với chú ý l
2
+m
2

+n
2
=1 ta có:
2
2 2 2
' w w w
2 1 2
ds u u u v v v
l lm ln ml m mn nl nm n
ds x y z x y z x y z

2 2 2
w w wu v v u u v
l m n lm mn ln
x y z x y y z z x

(2.8)
Chương2: Trạng thái biến dạng
NguyÔn Danh Tr-êng
- 25 -
Biểu thức (2.8) là biểu thức xác định biến dạng dài cần tìm trên phương KA
với cosin chỉ phương là (l,m,n).
Khi KA song song với các trục tọa độ Ox,Oy,Oz ta có biến dạng trên các
phương trục tọa độ là:

w
;;
x y z
uv
x y z

(2.9)
1.3 Biến dạng góc
Xét thêm một điểm lân cận điểm nữa, sao cho góc vuông tại K, sau
biến dạng góc trở thành góc khi đó biến dạng góc của góc vuông
được gọi là biến dạng góc tỷ đối,ký hiệu là γ.
 Sau đây ta đi tính biến dạng góc tỷ đối đó:
Điểm B lấy như trên có cosin chỉ phương của KB là: (l
1
,m
2
,n
3
)
Bây giờ ta cần tìm cosin chỉ phương
' ' '
,,l m n
của K’A’, và cosin chỉ phương

' ' '
1 2 3
,,l m n
của K’B’.
Từ (2.3) ta có:
'
1
'.
'
'
w w w
u u u

dx dx dy dz
x y z
l
v v v
m dy dx dy dz
x y z ds
n
dz dx dy dz
x y z
(2.10)
thay ds’=(1+ε
KA
)ds vào (2.10) ta có:
'
1
1 ' .
'
w w w
KA
u u u
dx dx dy dz
x y z
l
v v v
m dy dx dy dz
x y z ds
n
dz dx dy dz
x y z

Nhân hai vế với (1-ε
KA
) và lấy:
2
11
KA
(bỏ qua VCB bậc cao)
Ta có:
'
1
' . 1
'
w w w
KA
u u u
dx dx dy dz
x y z
l
v v v
m dy dx dy dz
x y z ds
n
dz dx dy dz
x y z