giải tích

PHẠM GIA HƯNG















GIẢI TÍCH

Bộ Môn Toán 2012
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG

2




3
Mục lục

Chương 1. Giới hạn 5
1. Các khái niệm cơ bản 5
1.1. Tập hợp – Mệnh đề 5
1.2. Hàm số 8
2. Giới hạn của dãy số 12
2.1. Các khái niệm 12
2.2. Các tính chất về dãy hội tụ và các phép toán về dãy hội tụ 14
2.3. Các tiêu chuẩn hội tụ 16
3. Giới hạn của hàm số thực 18
3.1. Các khái niệm 18
3.2. Các phép toán về giới hạn hàm số 20
3.3. Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn hàm số 21
3.4. Vô cùng bé - Vô cùng lớn 22

4. Hàm số liên tục 23
4.1. Các khái niệm 23
4.2. Các phép toán về hàm liên tục 24
4.3. Các định lý cơ bản 25
Bài tập 26
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến 29
1. Đạo hàm và vi phân 29
1.1. Đạo hàm và vi phân cấp 1 29
1.2. Các định lý cơ bản 33
1.3. Đao hàm và vi phân cấp cao 34
2. Ứng dụng của phép tính vi phân 35
2.1. Công thức Taylor 35
2.2. Quy tắc L'Hospital 38
2.3. Khảo sát hàm số 41
Bài tập 46
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến 49
1. Nguyên hàm và tích phân bất định 49
1.1 Các khái niệm 49
1.2 Các phương pháp tính tích phân bất định 49
1.3 Tích phân các hàm hữu tỷ, vô tỷ, lượng giác 51
2. Tích phân xác định 56
2.1. Định nghĩa tích phân xác định 56
2.2. Liên giữa nguyên hàm và tích phân xác định 59
2.3. Các phương pháp tính tích phân xác định 60
2.4. Ứng dụng của tích phân xác định 61
3. Tích phân suy rộng 63

4
3.1 Tích phân suy rộng loại 1 63
3.2 Tích phân suy rộng loại 2 65

Bài tập 67
Chương 4. Hàm nhiều biến 70
1. Giới hạn và tính liên tục 70
1.1. Không gian
n
\ 70
1.2. Khái niệm hàm nhiều biến 71
1.3. Giới hạn và tính liên tục 72
2. Đạo hàm riêng và vi phân 74
2.1. Đạo hàm riêng và vi phân cấp một 74
2.2. Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao 77
3. Cực trị 79
3.1. Cực trị tự do 79
3.2. Hàm ẩn - Cực trị có điều kiện 83
3.3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 87
Bài tập 88
Chương 5. Phương trình vi phân 91
1. Các khái niệm chung 91
2. Phương trình vi phân cấp một 91
2.1. Các khái niệm 91
2.2. Phương trình tách biến 92
2.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 93
3. Phương trình vi phân cấp hai 95
3.1. Các khái niệm 95
3.2. Một số dạng phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được 96
3.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 97
3.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng số 101
Bài tập 109
Tài liệu tham khảo 110
Phụ lục 111

5
Chương 1. Giới hạn
1. Các khái niệm cơ bản

1.1. Tập hợp - Mệnh đề
1.1.1. Tập hợp
1) Khái niệm. Tập hợp (gọi tắt là tập) và các phần tử của nó là những khái niệm cơ bản
của toán học không được định nghĩa, chúng được làm cơ sở để định nghĩa các khái niệm khác.
• Nếu
x
là phần tử thuộc (/ không thuộc) tập
A
thì ta viết
(
)
/xAxA∈∉
. Ta nói
A
là
tập con của
B
, ký hiệu AB⊂ , nếu mọi phần tử của
A
đều là phần tử của
B
. Nếu AB⊂ và
BA⊂ thì ta nói A và B bằng nhau, ký hiệu AB= . Một tập không chứa phần tử nào gọi
là tập rỗng, ký hiệu ∅. Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.
2) Các cách diễn tả tập hợp.

a) Liệt kê các phần tử của tập hợp trong hai dấu ngoặc nhọn, mỗi phần tử chỉ viết một
lần.
b) Chỉ ra tính chất chung của các phần tử trong tập hợp.
c) Dùng hình phẳng giới hạn bởi một đường cong kín để minh họa tập hợp; mỗi điểm
trong hình phẳng chỉ một phần tử của tập đó.
3) Các phép toán.
a) Giao của hai tập A và B là tập được cho bởi
{}
::AB xx Ax B∩= ∈∧∈
.
b) Hợp của hai tập A và B là tập được cho bởi
{}
::AB xx Ax B∪= ∈∨∈ .
c) Hiệu của hai tập A và B là tập được cho bởi
{}
\: :AB xx A x B=∈∧∉.
d) Tích Descartes của n tập không rỗng
12
, , ,
n
AA A
là tập được cho bởi
()
{}
12 12
: , , , : , 1,
nnii
AA A aa a a Ai n××× = ∈ = .
Nếu
12

n
AA AA==== thì ta viết
12
:
n
n
AAA A=×××.

1.1.2. Mệnh đề
1) Khái niệm. Mệnh đề (toán học) là một khẳng định hoặc đúng hoặc sai. Sai hay đúng
được gọi là chân trị của mệnh đề.
2) Các ký hiệu logic. Để diễn đạt thuận lợi các lập luận toán học người ta thường dùng các
ký hiệu sau đây
• :p = biểu thức: Định nghĩa p là biểu thức vế phải.

6
• p : Phủ định của mệnh đề p , là mệnh đề đúng khi p sai và ngược lại.
• pq∧ (đọc là p vàq ): Hội của hai mệnh đề p và q , là mệnh đề đúng khi p và q đều
đúng và sai trong các trường hợp còn lại.
• pq∨ (đọc là
p
hoặc q): Tuyển của hai mệnh đề
p
và
q
, là mệnh đề sai khi
p
và
q

đều sai và đúng trong các trường hợp còn lại.
• pq⇒ (đọc là
p
suy ra
q
): Mệnh đề
p
kéo theo mệnh đề
q
, là mệnh đề đúng khi
p

đúng
q
đúng. Khi đó ta cũng nói
p
là điều kiện đủ của
q
và
q
là điều kiện cần của
p
.
• pq⇔ : Mệnh đề p tương đương với mệnh đề q , là mệnh đề được xác định bởi
()()
pq qp⇒∧⇒. Khi đó ta cũng nói p là điều kiện cần và đủ của q .
• Mệnh đề “Với mọi
1
, ,

n
xx thuộcX , ta có
()
1
, ,
n
Px x ” được ký hiệu
(
)
11
, , : , ,
nn
xxXPxx∀∈
.
• Mệnh đề “Tồn tại
1
, ,
n
xx thuộc X , sao cho
(
)
1
, ,
n
Px x " được ký hiệu
()
11
, , : , ,
nn
xxXPxx∃∈ .

3) Một số tính chất.
""" "pq pq∧⇔ ∨, """ "pq pq∨⇔ ∧, """ "pq pq⇔⇔ ⇔,
""" "pq q p⇒⇔⇒, """"pq pq⇒⇔∧,
() ()
1111
, , : , , , , : , ,
nnnn
xxXPxx xxXPxx∀∈ ⇔∃∈ ,
() ()
1111
, , : , , , , : , ,
nnnn
xxXPxx xxXPxx∃∈ ⇔∀∈
.

1.1.3. Số thực - Số phức
1) Số thực. Tập số tự nhiên, tập các số nguyên và tập các số hữu tỷ lần lượt được ký hiệu

{}
:1,2,3 = ,

{}
: 0, 1, 2, =±± ,

{}
:/: ,pqp q=∈∈
.
Số hữu tỷ bao gồm các số nguyên, số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn. Số thập phân
vô hạn không tuần hoàn được gọi là số vô tỷ. Tập gồm các số hữu tỷ và vô tỷ được gọi là tập
các số thực, ký hiệu  .

Ví dụ. Các số
51 1
5; 0,25; 0,333
14 3
== =

là các số hữu tỷ; còn các số
3,1415926 ,π =
2 1, 4421356 =
là các số vô tỷ.

7
• Để tiện trong nhiều vấn đề, người ta thường đưa vào hai phần tử mới
+∞
và −∞,
gọi là các số vô cực và quy ước các phép tính đại số giữa các số vô cực và các số thực như
sau: với mọi x ∈  , ta có
x−∞ < < +∞ , ±∞ = +∞ ,
()() ()()
xx±∞+±∞= +±∞=±∞+ =±∞,
()()
khi 0
khi 0
x
xx
x
⎧
⎪
±∞ >
⎪

±∞ = ±∞ =
⎨
⎪
∞<
⎪
⎩
∓
,
()()
.±∞ ±∞ = +∞ ,
(
)
(
)
.±∞ ∞ = −∞∓ , 0
x
=
±∞
.
• Các dạng vô định
00
0
,,0., ,1,0,
0
∞
∞
∞∞−∞ ∞
∞
.
• Các khoảng trong tập số thực

{}
,: :ab x a x b
⎡⎤
=∈ ≤≤
⎢⎥
⎣⎦

,
(){ }
,: :ab x a x b=∈ <<
,
{}
[,): :ab x a x b=∈ ≤< ,
{}
(, ]: :ab x a x b=∈ <≤ ,
{}
(0, ) : : 0xx+∞ = ∈ > ,
{}
(,0): : 0xx−∞ = ∈ < .
{}
:[0, ): : 0xx
+
=+∞= ∈ ≥
,
{}
:( ,0]: : 0xx
−
=−∞ = ∈ ≤
.
()

:,=−∞+∞ ,
{}
,
⎡
⎤
=∪±∞=−∞+∞
⎢
⎥
⎣
⎦
 .
Tập  được gọi là tập số thực mở rộng.
2) Số phức.
• Đơn vị ảo, ký hiệu i , là một số có tính chất
2
1i =− . Số phức là số có dạng
zabiaib=+ =+ với ,ab∈  .
Ta gọi ,ab tương ứng là phần thực và phần ảo của z . Ký hiệu tập tất cả các số phức là  .
Nhận xét. Ta có
⊂. Thật vậy, do
0aaai∀∈ ⇒ = + ∈.
• Số phức liên hợp của số phức zabi=+ là số phức :zabi=−.
• Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng
bằng nhau, nghĩa là
11 22 1 21 2
abiabiaabb+=+⇔=∧=
.
• Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các số phức được thực hiện giống như việc thực
hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các nhị thức trong số thực với lưu ý
2345

1, , 1, , . iiiiii=− =− = =
Ví dụ. Với
1
23zi=+
và
2
45zi=−
, ta có

8
()( )
12
24 35 62zz i i+=++− =−;
()()
12
24 35 28zz i i−=−++ =−+;
()()
()
()
2
12
2 34 5 24 35 3425 23 2zz i i i i i= + − = ×−× + ×−× = + ;
()
3
3322233
1
23 2 32 3 323 3 469zi iiii=+ =+××+×× + =−−;
()()
()()
112

222
2345
722
41
4545
ii
zzz
i
zzz
ii
++
−+
== =
−+
.
• Phương trình bậc hai
2
0ax bx c++= với ,, , 0abc a∈≠
có hai nghiệm thực phân biệt hay trùng nhau
2
b
x
a
−± Δ
=
khi
2
40bacΔ= − ≥
và có hai nghiệm phức liên hợp nhau
2

bi
x
a
−± −Δ
=
khi 0Δ< .
Ví dụ.
(v1) Phương trình
2
320xx−+= có
2
23 23iΔ=− = nên có hai nghiệm là
123
6
i
x
±
=
.
(v2) Phương trình
2
250xx++= có
2
44i
′
Δ=− =
nên có hai nghiệm là
12xi=− ± .

1.2. Hàm số
1.2.1. Ánh xạ
1) Khái niệm. Một ánh xạ f từ tập X vào tập Y là một quy tắc sao cho mỗi phần tử
xX∈

()
xX∀∈ tương ứng với duy nhất một phần tử yY∈
()
!yY∃∈ , ký hiệu
:

fX Y
xy
→

hay :,fX Yx y→  .
Ta nói y là ảnh của x qua f và viết
()
yfx= . Ảnh của tập DX⊂ qua ánh xạ f là tập
() ()
{}
:/fD fx Y x D=∈∈.

2) Các loại ánh xạ. Cho ánh xạ :fX Y→ . Ta nói

9
(i)
f là đơn ánh nếu
() ()
12 1 2 1 2

,:xx X x x fx fx∀∈ ≠⇒ ≠
hay
() ()
12 1 2 1 2
,:xx X fx fx x x∀∈ = ⇒=.
(ii) f là toàn ánh nếu
()
,:yYx Xy fx∀∈ ∃∈ = hay
()
fX Y= .
(iii)
f là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh hay
()
,! :yY x Xy fx∀∈ ∃ ∈ = .
Ví dụ.
(v1) Ánh xạ
{} ()
2
:\1 ,
1
x
fxyfx
x
→==
−
 là đơn ánh vì
{} () ()
12
12 1 2
12

22
,\1:
11
xx
xx fx fx
xx
∀∈ = = =
−−


() ()
12 12 1 2
2121xx xx x x⇒−=−⇒=.
(v2) Ánh xạ
()
2
:,|fxyxfx
+
→→== là toàn ánh vì
()
2
,:yxyxyyxfx
+
∀∈ ∃= ∨ =− ∈ = =.
(v3) Ánh xạ
()
:, 35fxyxfx→=+= là song ánh vì
()
5
,! : 3 5

3
y
yx yxfx
−
∀∈ ∃ = ∈ = + =
 .
1.2.2. Hàm số
1) Khái niệm. Một hàm số thực một biến (gọi tắt là hàm) xác định trên D ⊂  là ánh xạ
()
:,fD x y fx→=
.
Ta gọi D là tập xác định,
(
)
fD là tập giá trị của hàm số f ; x là biến độc lập (hay đối số),
y là biến phụ thuộc (hay hàm số). Đồ thị của hàm f là tập
() ()
()
{}
2
Graph : , :fxfx xD=∈∈ .
• Thông thường người ta cho hàm số bởi một biểu thức dạng
()
yfx= . Nếu không chỉ
rõ thì ta hiểu tập xác định của hàm số là tập tất cả các giá trị của
x
làm cho biểu thức đó có
nghĩa.
Ví dụ. Hàm
(v1) Hàm số trị tuyệt đối

, 0
, 0
xx
yx
xx
⎧
⎪
≥
⎪
==
⎨
⎪
−<
⎪
⎩

có tập xác định là D =  và tập giá trị là
()
fD
+
=  .

10
(v2) Hàm số
2
1yx=−
có tập xác định là
1, 1D
⎡⎤
=−

⎢⎥
⎣⎦
và có tập giá trị là
()
0, 1fD
⎡
⎤
=
⎢
⎥
⎣
⎦
.
2) Hàm ngược. Nếu hàm :fD→  là đơn ánh thì nó có hàm ngược
()
1
:ffDD
−
→
trong đó
() ()
1
.xfy yfx
−
=⇔=
Ví dụ. Tìm hàm ngược của các hàm số
(v1)
()
35yx fx=+= (v2)
()

2
1
x
ygx
x
==
−

♣ (v1) Ta có :fD=→ là đơn ánh nên có hàm ngược
() ()
1
5
:,
3
y
xfy y fD
−
−
== ∈=
 .
(v2) Ta có
{}
:\1gD=→
là đơn ánh nên có hàm ngược
() {} ( )
1
:,\2
2
y
xgy y fD

y
−
== ∈ =
−

. ♣
3) Các phép toán về hàm số. Cho các hàm f và g có tập xác định tương ứng là
f
D và
g
D . Ta nói tổng, hiệu, tích, thương và hợp của f và g là các hàm lần lượt được xác định bởi
•
( )() () ()
:,
f
g
fgx fx gxxD D±=± ∈∩
.
•
( )() ()()
:,
f
g
fg x f x g x x D D=∈∩.
•
()
()
()
()
:, , 0

fg
fx
f
xxDDgx
g
gx
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
=∈∩ ≠
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
.
•
( )() ()
()
()
{}
:, :
f
g
gfx gfx x x D fx D=∈∈∈ .
Ví dụ. Cho hai hàm số
(
)

21fx x=+ và
()
2
1gx x=−
.
Ta có
,1,1
fg
DD
⎡⎤
==−
⎢⎥
⎣⎦

và
( )() ()
()
() () ()
2
21 121 41 , 1,0gfx gfx gx x x xx
⎡⎤
==+=−+=−+∈−
⎢⎥
⎣⎦

.
()() ()
()
()
22

1211,1,1fgx fgx f x x x
⎡
⎤
==−=−+∈−
⎢
⎥
⎣
⎦
 .
4) Hàm sơ cấp. Đó là các hàm được thành lập từ các hàm sơ cấp cơ bản (xem phụ lục 1)
bởi một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và hàm hợp.
Ví dụ.
(v1) Các hàm sau đây là hàm sơ cấp
()
2
22
35
4 5, sin 4 lg 5 , ,
2
xx
yxxy x x y
x
−+
=−+= + + =
−


11
(v2) Các hàm sau đây không phải là hàm sơ cấp
sin

,0
,
0, 0
x
x
y
x
x
⎧
⎪
⎪
≠
⎪
⎪
=
⎨
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎩

23
1 yxxx=++ + +

5) Tập bị chặn. Tập A ⊂  được gọi là bị chặn trên (/ dưới), nếu
()
000
const, : /xxAxxxx∃= ∀∈ ≤ ≥

.
Khi đó
0
x được gọi là một cận trên (/ dưới) của
A
. Cận trên (/ dưới) nhỏ nhất (/ lớn nhất)
được gọi là cận trên (/ dưới) đúng của A , ký hiệu
()
sup / infAA
. Nếu sup AA∈
()
/infAA∈ thì
()
max : sup / min : infAAAA== và được gọi là giá trị lớn nhất (/ nhỏ
nhất) của
A . Tập A được gọi là bị chặn hay giới nội nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn
dưới.
Ví dụ.
(v1) Tập
{}
2:Ann=∈ là bị chặn dưới, không bị chặn trên và inf min 2AA==.
(v2) Tập
1
:An
n
⎧⎫
⎪⎪
⎪⎪
=∈
⎨⎬

⎪⎪
⎪⎪
⎩⎭

là tập bị chặn và inf 0 ;sup max 1AAA A=∉ = =.
Tiên đề về cận trên đúng.
Mỗi tập con của  , không rỗng, bị chặn trên (/dưới) đều tồn tại cận trên (/dưới) đúng.
Tiên đề Archimèd.
,:1xnnxn∀∈ ∃∈ −≤ < .
Tiên đề về tính trù mật.
,, , :ab a b r a r b∀∈ <∃∈ <<.

6) Các đặc tính của hàm số. Cho hàm số f xác định trênD .
a) Hàm bị chặn. Ta nói
f bị chặn trên, (/ dưới) trên D , nếu tập
(
)
fD bị chặn hay
() ()
()
const, : , /MxDfxMfxM∃= ∀∈ ≤ ≥ .
và nói f bị chặn hay giới nội trên D , nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới trên D , nghĩa
là
()
const, :MxDfxM∃= ∀∈ ≤.
Ví dụ. Các hàm
() ()
sin , cosfx xfx x== là bị chặn trên  , vì
:sin 1,cos 1xxx∀∈ ≤ ≤
.

b) Hàm đơn điệu. Ta nói f tăng (/ không giảm) trên D , nếu
() ( ) () ( )
()
,: ,/xxDxx fxfx fxfx
′′ ′ ′
∀∈ <⇒ < ≤ .

12
và nói
f giảm (/ không tăng) trênD , nếu
() () () ()
()
,' : ,/xxDxx fxfx fxfx
′′′
∀∈ <⇒ > ≥ .
Ví dụ. Hàm
()
2
fx x= giảm trên (,0]−∞ và tăng trên [0, )+∞ .
c) Hàm chẵn, lẻ. Ta nói f là hàm chẵn (/ lẻ) nếu
( )() () () ()
()
,: /xD aafx fx fx fx∀∈ =− −= −=− .
Đồ thị của hàm chẵn đối xứng qua trục 0y và đồ thị của hàm lẻ đối xứng qua gốc 0 .
Ví dụ.
(v1) Hàm
(
)
2
1yfx x==+

là hàm chẵn trên

, vì
( )()() ()
2
2
,: 1 1xfxxxfx∀ ∈ =−∞+∞ − =− + = + = .
(v2) Hàm
()
3
5yfx x==
là hàm lẻ trên

, vì
( )() () ()
3
3
,: 5 5xfxxxfx∀ ∈ = −∞+∞ − = − =− =− .
d) Hàm tuần hoàn. Cho hàm f xác định trênD . Ta nói f là hàm tuần hoàn nếu
(
)
(
)
const 0,LxDxLDfxLfx∃= ≠ ∀∈ + ∈ ∧ + =
.
Ta nói T là chu kỳ của f nếu T là số dương bé nhất sao cho
()()
:,x kT D fx kT fx k∀+ ∈ + = ∈ .
Ví dụ. Hàm phần thập phân của x
() {}

:,yfx x xx
⎡⎤
===−
⎢⎥
⎣⎦
(
yx
⎡
⎤
=
⎢
⎥
⎣
⎦
được gọi là hàm phần nguyên của
x
)
là hàm tuần hoàn với chu kỳ 1T = (Hình 1.1).









2. Giới hạn của dãy số

2.1. Các khái niệm

2.1.1. Dãy số. Dãy số thực (gọi tắt là dãy) là ánh xạ (hàm số)
()
:, |:
n
fnxfn→→=
Số hạng
n
x được gọi là số hạng tổng quát của dãy số. Dãy số thường được cho dưới dạng
y
x
1
2
-1
-2 3-3
-4
4
1
0
Hình 1.1

13
()
n
xfn= hay
{} ()
{}
() () ( )
{}
: 1 , 2 , , ,

n
xfnff fn== .
2.1.2. Giới hạn của dãy số. Số a được gọi là giới hạn của dãy số
n
x khi n dần đến
+∞

()
n →∞ , nếu
00
0, :
n
nn n x aεε∀> ∃ > ⇒ − < .
Định nghĩa được viết dưới dạng ký hiệu
•
lim
n
n
xa
→∞
=∈
⇔ "
00
0, :
n
nn n x aεε∀> ∃ > ⇒ − <
".
Tương tự ta có các định nghĩa sau
•
lim

n
n
x
→∞
=+∞
⇔ "
00
0, :
n
MnnnxM∀>∃ > ⇒ >
".
•
lim
n
n
x
→∞
=−∞
⇔ "
00
0, :
n
MnnnxM∀>∃ > ⇒ <−".
•
lim
n
n
x
→∞
=∞

⇔ lim
n
n
x
→∞
=+∞.
• Một dãy số được gọi là hội tụ nếu nó có giới hạn hữu hạn và được gọi là phân kỳ trong
trường hợp ngược lại (có giới hạn vô cực hoặc không có giới hạn).
Nhận xét. Ta có
lim 0 lim 0
nn
nn
xx
→∞ →∞
=⇔ =.
Thật vậy, do
00
1
"0, : 0"
n
nnnxεε
ε
∀> ∃ = > ⇒ − <
00
1
"0, : 0"
n
nnnxεε
ε
⇔∀> ∃ = > ⇒ − < .

Nhận xét.
(n1)
lim
n
CC
→∞
=
(
C
là hằng số). Thật vậy do
00
0, 0 : 0 .nnnCCεε∀> ∃ = > ⇒ − = <
(n2)
0, 1
lim
, 1
n
n
q
q
q
→∞
⎧
⎪
<
⎪
⎪
=
⎨
⎪

∞>
⎪
⎪
⎩
(
q
là hằng số). Do
00
00
0, log : 0 khi 1
0, log : 0 khi 1.
n
n
q
n
n
q
nnnqqq
Mn Mnnq qMq
εε ε
⎧
⎪
⎪
∀> ∃ = > ⇒ − = < <
⎪
⎪
⎨
⎪
∀>∃= > ⇒ −= > >
⎪

⎪
⎪
⎩

(n3)
0, 0
lim
, 0
n
n
α
α
α
→∞
⎧
⎪
<
⎪
=
⎨
⎪
+∞ >
⎪
⎩
(α là hằng số). Do
1/
00
1/
00
0, : 0 khi 0.

0, : khi 0.
nnnnn
MnMnnnM
ααα
αα
εε εα
α
⎧
⎪
∀> ∃ = > ⇒ − = < <
⎪
⎪
⎨
⎪
∀>∃= > ⇒ > >
⎪
⎪
⎩
.
2.1.3. Dãy con. Xét dãy số
n
x và dãy số tăng ,
k
nk∈∈. Khi đó dãy số
k
n
x được gọi là
một dãy con của dãy số
n
x

.

14
Ví dụ. Các dãy
221 3
111
, , ,
2213
kk k
xx x
kk k
−
== =
−
là các dãy con của
1
n
x
n
= .


2.2. Các tính chất và các phép toán về dãy hội tụ
Định lý 1.1. Nếu dãy
n
x hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất.
♦ Giả sử ngược lại có đồng thời
lim
n
n

xa
→∞
=
và
lim
n
n
xb
→∞
=
với ab< . Theo tính trù mật của
số thực, lấy
()
,rab∈ . Với
lim ,
n
n
xar
→∞
=<
chọn ε sao cho arε+<. Theo định nghĩa, ta
có
11
:
n
nn n a x a rεε∃>⇒−<<+<
Tương tự với lim ,
n
n
xbr

→∞
=> chọn ε sao cho brε−>. Ta có
22
:
n
nn n r b x bεε∃>⇒<−<<+.
Suy ra
()
0120
max , :
n
nnnnnxr∃= > ⇒ < và
n
xr>
(vô lý).♦
Định lý 1.2. Nếu dãy số hội tụ về a thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ về a .
♦ Xét dãy con bất kỳ
k
n
x của
n
x . Ta có
00
lim " 0, : "
nn
n
xa nnn xaεε
→∞
=⇒∀>∃ > ⇒ −< .
Suy ra

00
lim
kk
kn n
k
kn n n x a x aε
→∞
>⇒>⇒ −<⇒ =.♦
Nhận xét. Từ định lý 1.2 ta thấy rằng, để chứng minh một dãy số không có giới hạn ta chỉ ra
hai dãy con của nó có giới hạn khác nhau.
Ví dụ. Dãy số
()
1
n
n
x =−
không có giới hạn vì nó có hai dãy con
()
2
2
11
k
k
x =− =
và
()
21
21
11
k

k
x
−
−
=− =−
lần lượt có giới hạn là 1 và 1− khi k →∞.
Định lý 1.3. Nếu dãy
n
x hội tụ thì nó bị chặn.
♦ Giả sử
lim
n
n
xa
→∞
=
. Với 0ε > cho trước, ta có
00
:1
nn
nNnn xa a x aεε∃∈ > ⇒ −<⇒−< <+
()
0
1
: max , , , ,
nn
nx M x x a aεε⇒∀ ≤ = − +
. ♦
Định lý 1.4. Nếu
,

nn
xyn≤∀
thì
lim lim
nn
nn
xy
→∞ →∞
≤
.
♦ Tương tự định lý 1.1. ♦

15
Định lý 1.5 (Các phép toán về dãy hội tụ). Giả sử các dãy số ,
nn
xy hội tụ. Khi đó
(m1)
()
lim lim lim
nn n n
nnn
xy x y
→∞ →∞ →∞
±= ± (m2)
()
lim lim . lim
nn n n
nnn
xy x y
→∞ →∞ →∞

=
(m3)
(
)
lim lim
nn
nn
Cx C x ,C
→∞ →∞
= là hằng số (m4)
lim
lim , lim 0
lim
n
nn
n
nn
nn
n
x
x
y
yy
→∞
→∞ →∞
→∞
⎛⎞
⎟
⎜
⎟

⎜
=≠
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠

♦ (m1) Với mọi 0ε > , ta có
11
2
22
2
lim
:
lim
:
n
n
n
n
n
n
xa
nn n x a
yb
nn n y b
ε
ε

→∞
→∞
⎧⎧
⎪
⎪
=
∃>⇒−<
⎪
⎪
⎪⎪
⇒
⎨⎨
⎪⎪
=
∃>⇒−<
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎩

⇒
() ( )()
0120
max , :
nn n n
nnnnnxyabxaybε∃= > ⇒ ± −±≤ −+ −<
(m2) Với mọi 0ε > , xét
()()
2
4.ab abεε

′
=−++ + +Ta có

11
2
22
2
lim
:
lim
:
n
n
n
n
n
n
xa
nn n x a
yb
nn n y b
ε
ε
′
→∞
′
→∞
⎧⎧
⎪
⎪

=
∃>⇒−<
⎪
⎪
⎪⎪
⇒
⎨⎨
⎪⎪
=
∃>⇒−<
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎩

Suy ra
() ()()()()()()
0120
max , :
nn n n n n
nnnnnxyabxabybaxayb∃= >⇒ − =−+−+− −
()()()()
()
2
1
22
4
nnnn
xab yba xayb a bεεεε
′′′

≤− +− +− −≤ + +=.
(m3) Suy từ (m2) với
n
yC=
.
(m4) Giả sử
lim .
n
n
yb
→∞
=
Do (m2), ta chỉ cần chứng minh
11
lim
n
n
yb
→∞
=
. Với mọi 0ε > , ta
có
22
11
222
22
22
,:
,:
bbb

nn n
bb
n
nn n b y y b y
nn n y b
εε
ε
ε
⎧
⎪
′
=∃ >⇒− <−<⇒ >
⎪
⎪
⎨
⎪
′′
=∃ >⇒−<
⎪
⎪
⎩

⇒
()
2
0120
11
max , : :
22
n

n
n
yb b
b
nnnnn b
yb
yb
ε
ε
⎛⎞
⎛⎞
−
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
∃= > ⇒ −= < ⎟=
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎟

⎜
⎝⎠
.♦
Ví dụ. Sử dụng định lý 1.5 và nhận xét trong mục 2.2.2, ta có
12
212
21212
lim 2 3 lim lim
231 23 2
lim lim
3
3 2 5 3 2 5 lim 3 2 lim 5 lim
nn n
nn
nn n
nn
nn nn
nn n n n n
−−
−−
→∞ →∞ →∞
−− − −
→∞ →∞
→∞ →∞ →∞
+−
+− + −
== =
−+ − + − +
.
Nhận xét. Đối với các dãy có giới hạn vô cực, ta cũng có thể áp dụng định lý 1.5 để tính giới

hạn, với lưu ý sử dụng các phép tính đã quy ước trên tập số thực mở rộng .
Ví dụ. Tính giới hạn

3
22
lim lim
11
kk
nn
nn
−
→∞ →∞
==+∞
++
,
2
1
lim 0
1
k
n
→∞
=
+
,

16
2
lim 0
1

k
n
n
n
→∞
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
+=+∞=+∞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
+
.


2.3. Các tiêu chuẩn hội tụ
Định lý 1.6 (Tiêu chuẩn kẹp). Giả sử
lim lim
nn
nn
xza
→∞ →∞
==∈
và ,
nnn

xyzn≤≤∀. Khi
đó
lim
n
n
ya
→∞
=
.
♦ Với mọi 0ε > , theo định nghĩa ta có
11
22
lim :
lim :
nn
n
nn
n
xa nnna xa
za nnna za
εε
εε
→∞
→∞
⎧
⎪
=⇒∃ > ⇒−< <+
⎪
⎪
⎨

⎪
=⇒∃ > ⇒−< <+
⎪
⎪
⎩

⇒
()
0120
max , : lim
nnn n
n
nnnnnaxyza yaεε
→∞
∃= > ⇒−< < <<+⇒ =.♦
Ví dụ. Chứng minh rằng
lim 1.
n
n
n
→∞
=

♣ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
12
12


n
n

n
aa a
aa a
n
+++
≤
với
12
,aa n==
3
1
n
aa== =
ta được
222 2
2:1 1 0 1
nn
nn
nn n
n
nn
+−
∀≥ < ≤ < +⇒< −< ⇒
ĐPCM. ♣
Định lý 1.7 (Tiêu chuẩn Weierstrass). Một dãy không giảm (/ không tăng) và bị chặn trên
(/dưới) thì hội tụ.
♦ Xét dãy
n
x không giảm và bị chặn trên (trường hợp dãy
n

x không tăng và bị chặn dưới
được chứng minh tương tự). Do
n
x bị chặn trên nên tồn tại
{}
sup / :
n
xn a∈= và theo
định nghĩa của sup ta có
0
0
0, :
n
nx aεε∀> ∃ > −.
Do
n
x không giảm ta được
0
0
:
nn n
nna x x a x aεεε∀> −< < <+ ⇒ − <.♦
Nhận xét. Nếu dãy
n
x
là không giảm (/ không tăng) và không bị chặn trên (/ không bị chặn
dưới) thì
lim
n
n

x
→∞
=+∞
(/
lim
n
n
x
→∞
=−∞
).
Ví dụ. Chứng minh dãy số
1
1,
n
n
xn
n
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
=+ ∈
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠


hội tụ.
* Dãy
n
x
là tăng do

17
()( )
02
1 1
11
:.1.11
!
kk
nn
knk
nn
kk
nn n k
nx C
nkn
−
==
⎛⎞ ⎛⎞
−−+
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
∀∈ = =++
⎜⎜

⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎝⎠ ⎝⎠
∑∑

2
11 2 1
2 1 1 1
!
n
k
k
knn n
=
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
−
⎟⎟ ⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟ ⎟
=+ − − −
⎜⎜ ⎜
⎟⎟ ⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟ ⎟
⎜⎜ ⎜
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
∑

1
1
2
11 2 1
2 1 1 1
!1 1 1
n
n
k
k
x
kn n n
+
+
=
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−
⎟⎟ ⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟ ⎟
<+ − − − =
⎜⎜ ⎜
⎟⎟ ⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟ ⎟
⎜⎜ ⎜
++ +
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
∑
.

* Dãy
n
x là bị chặn trên do
()
()
1
1
22
11/2
111
:2 2 2. 3
!2
2
11/2
n
nn
n
k
kk
nx
k
−
−
==
−
∀∈ ≤+ <+ =+ <
−
∑∑
 .
Vậy theo định lý Weierstrass

n
x
hội tụ và ta đặt
1
: lim 1 .
n
n
e
n
→∞
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
=+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠

Định lý 1.8 (Nguyên lý Cantor). Cho dãy đoạn lồng nhau và thắt lại, nghĩa là
11
:, ,
nn nn
nabab
++
⎡⎤⎡⎤
∀∈ ⊂

⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
 và
()
lim 0.
nn
n
ba
→∞
−=
Khi đó sẽ có một điểm chung duy nhất cho dãy đoạn ấy.
♦ Dãy
n
a không giảm và bị chặn trên và dãy
n
b không tăng và bị chặn dưới nên
lim
n
n
aa
→∞
∃=
và
lim
n
n
bb
→∞
∃=
. Do

nn
aabb≤≤≤ và
()
lim 0
nn
n
ba
→∞
−=
nên
ab=
là điểm chung của dãy đoạn đã cho. Mặt khác nếu
c
là điểm chung của các đoạn
đã cho thì
:
nn
nacb∀∈ ≤≤ và
() ()
lim 0 lim 0
nn nn
nn
ba ac ba
→∞ →∞
−=⇒−≤ −=.
Vậy
ac=
là điểm chung duy nhất của các đoạn đã cho.♦
Định lý 1.9 (Bolzano - Weierstrass). Mọi dãy vô hạn bị chặn đều có ít nhất một dãy con hội
tụ.

♦ Giả sử
n
x là dãy bị chặn. Khi đó tồn tại
11
,ab sao cho
11
,.
n
xab
⎡
⎤
∈
⎢
⎥
⎣
⎦
Chia
11
,ab
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
ra thành hai
đoạn có độ dài bằng nhau thì ít nhất một trong hai đoạn đó chứa vô số phần tử của
n
x ký hiệu
đoạn đó là
22
,.ab
⎡⎤

⎢⎥
⎣⎦
Lại chia đôi đoạn này ta được đoạn con
33
,ab
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
chứa vô số phần tử của
dãy Tiếp tục quá trình đó ta được dãy đoạn lồng nhau và thắt lại với
11
0
2
nn
n
ba
ba
−
−= →

khi n →∞. Theo nguyên lý Cantor dãy đoạn đó có điểm chung duy nhất a . Bây giờ ta lập
dãy con như sau: lấy
1
n
x là phần tử của
n
x , thuộc

11
,ab
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
; lấy
21
nn
xx≠ là phần tử của
n
x ,
thuộc
22
, , ab
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
Quá trình đó cho ta dãy con ,.
k
nkk
xab
⎡
⎤
∈
⎢
⎥
⎣

⎦
Do 0
k
nkk
xaba−≤− → hay
k
n
xa→ khi k →∞.♦

18
3. Giới hạn của hàm số thực

3.1 Các khái niệm
3.1.1. Lân cận.
• Lân cận (
δ −
lân cận), lân cận phải và lân cận trái của a ∈  tương ứng là tập
() ( ) ( )
,: ,Ua Ua a aδδδ==−+,
() ( )
()
,: ,Ua Ua aaδδ
++
==+,
() ( )
()
,: ,Ua Ua a aδδ
−−
==−.
• Lân cận (Δ− lân cận) của ,+∞ −∞ tương ứng là tập

() ( )( )
:,:,UU+∞ = +∞ Δ = Δ +∞ ,
() ( )( )
:,:,UU−∞ = −∞ Δ = −∞ −Δ .

3.1.2. Giới hạn của hàm số.
Định nghĩa (Heine). Cho hàm số f xác định trong lân cận
()
U α của α ∈  (có thể không
xác định tại α ). Ta nói f có giới hạn là β ∈  khi x dần đếnα , nếu
() {} ( )
\: , khi
nnn
xU x fx nαα α β∀∈ →⇒ → →∞
Ký hiệu
() ()
lim hay khi
x
fx fx x
α
ββα
→
=→→
Nhận xét. Ta có
(n1)
lim , const,
x
CCC
α
α

→
== ∈
. Thật vậy, do
() {} ( )
\: , khi
nnn
xU x fx CC nαα α∀∈ →⇒ =→ →∞.
(n2)
() ()
lim 0 lim 0
xx
fx fx
αα→→
=⇔ =
. Do
() () {} ( )
lim 0 \ : 0, khi
nnn
x
fx x U x fx n
α
αα α
→
=⇔∀ ∈ →⇒ → →∞
() {} ( )
\: 0, khi
nnn
xU x fx nαα α⇔∀ ∈ → ⇒ → →∞.
(n3) Từ định nghĩa ta thấy rằng, để chứng minh một hàm số không có giới hạn khi x α→ ,
ta chỉ cần chỉ ra hai dãy đối số dần đến α nhưng các dãy giá trị tương ứng của hàm số có giới

hạn khác nhau.
Ví dụ. Chứng minh rằng hàm số
()
1
sin
fx
x
= không có giới hạn khi 0x → . Thật vậy do khi
n →∞, ta có
12
2
11
0, 0
2
nn
xx
nn
π
ππ
=→ = →
+

nhưng
() ()
12
sin 0, sin 2 1
2
nn
fx n fx n
π

ππ
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
=→ =+→
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
.
(n2) Người ta đã chứng minh được định lý 1.10 sau đây và có thể dùng định lý này làm
định nghĩa.

19
Định lý 1.10 (Cauchy). Cho hàm số f xác định trong lân cận nào đó của α ∈  (có thể
không xác định tại
α
). Khi đó
() () () () {} () ()
lim " , : \ "
xR
fx U U x U fx U
α
ββααα β
→∈
=∈ ⇔∀ ∃ ∈ ⇒ ∈ .
Cụ thể là

•
() () () {} ()
lim " 0, : \ "
x
fx L U x U fx L
α
εααα ε
→
=∈ ⇔∀>∃ ∈ ⇒ −<
.
•
() () () {} ()
lim " 0, : \ "
x
fx M U x U fx M
α
ααα
→
=+∞⇔ ∀ > ∃ ∈ ⇒ > .
•
() () () {} ()
lim " 0, : \ "
x
fx M U x U fx M
α
ααα
→
=−∞⇔ ∀ > ∃ ∈ ⇒ <− .
♦ Xem tài liệu tham khảo [1], [2], [3] hoặc [6]. ♦
Nhận xét.

(n1) Ký hiệu
()
lim
x
fx
α→
=∞ khi
(
)
lim
x
fx
α→
=+∞

và ký hiệu
(
)
lim
x
fx β
→∞
= khi
() ()
lim lim
xx
fx fx β
→+∞ →−∞
==.
(n2) Có thể thay thế mệnh đề

() () {}
": \"UxUααα∃∈
bởi
• "0:0 "xaδδ∃> < − < khi aα =∈ .
• "0:"x∃Δ > > Δ khi
α =+∞
.
• "0: "x∃Δ > < −Δ khi α =−∞.
Ví dụ. Chứng minh rằng
, 0
lim
0, 0
x
x
α
α
α
→+∞
⎧
⎪
+∞ >
⎪
=
⎨
⎪
<
⎪
⎩
.
Thật vậy, do

1/
0, :MMxxM
αα
∀>∃Δ= >Δ⇒ > tức là lim
x
x
α
→+∞
=+∞ nếu 0α > .
1/
0, : 0xx
αα
εε ε∀> ∃Δ= >Δ⇒ − < tức là lim 0
x
x
α
→+∞
= nếu
0α <
.
3.1.3. Giới hạn một phía. Cho hàm số f xác định trong lân cận phải
()
Ua
+
(/ trái
(
)
Ua
−
)

của
a ∈ 
. Ta nói f có giới hạn phải (/ trái) là β ∈  khi x dần đếna , nếu
{}
()
()
:, khi
nnn
xUaxafx nβ
+
∀⊂ →⇒ → →∞
{}
()
()
()
/: , khi
nnn
xUaxafx nβ
−
∀⊂ →⇒ → →∞.
Ký hiệu
()
()
:lim
xa
fa fx β
+
+
→
==

()
()
()
/:lim
xa
fa fx L
−
−
→
==.

20
Nhận xét. Cho hàm số
f xác định trong lân cận của a ∈  . Từ định nghĩa ta có
() () ()
lim lim lim
xa
xa xa
fx fx fxββ
+−
→
→→
∃=⇔∃ = =.
Ví dụ.
(v1) Ta có
0
1
lim
x
x

+
→
=+∞ và
0
1
lim
x
x
−
→
=−∞.
Vậy có thể viết
0
1
lim
x
x
→
=∞.
(v2) Ta có
1/
0
lim
x
x
e
+
→
=+∞
và

1/
0
lim 0
x
x
e
−
→
=
.

3.1.4. Các tính chất của hàm số có giới hạn hữu hạn. Dựa vào định nghĩa và tính chất của
giới hạn dãy số ta có
(t1) Giới hạn hữu hạn của hàm số nếu có thì là duy nhất.
(t2) Giả sử
()
fx
có giới hạn hữu hạn khi
.x α→
Khi đó
() () {} ()
0, , \ :MUxU fxMααα∃>∃ ∀∈ ≤
(t3) Giả sử
() ()
lim , lim
xx
fx A gx B
αα→→
∃=∃= và
() (){} () ()

,\:UxU fxgxααα∃∀∈ ≥.
Khi đóAB≥ .

3.1.5. Một số giới hạn đặc biệt của hàm sơ cấp. (Xem phụ lục 2).


3.2. Các phép toán về giới hạn hàm số
Định lý 1.11 (Giới hạn tổng, tích, thương). Giả sử các giới hạn
(
)
(
)
lim , lim
xx
fx gx
αα→→
tồn tại
hữu hạn. Khi đó
(m1)
() () () ()
lim lim lim
xxx
fx gx fx gx
ααα→→→
⎡⎤
±= ±
⎢⎥
⎣⎦
.
(m2)

() ()
lim lim
xx
Cf x C f x ,C
→→
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦
αα
là hằng số.
(m3)
() () () ()
lim . lim .lim
xxx
fxgx fx gx
ααα→→→
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦
.
(m4)
()
()
()
()
lim
lim
lim

x
x
x
fx
fx
gx gx
α
α
α
→
→
→
= với
()
lim 0
x
gx
α→
≠ .
♦ Do định nghĩa và định lý các phép toán của dãy hội tụ.♦
Định lý 1.12 (Giới hạn hàm hợp). Giả sử

21
() ()
0
0
lim , lim
xyy
fx y gy L
α→∈ →

=∈ =∈

 và
() () {} ()
0
,\:UxU fxyααα∃∀∈ ≠.
Khi đó
() ()
0
lim lim
xyy
gfx gy L
α→→
⎡
⎤
==
⎢⎥
⎣
⎦
.
♦ Ta có
() () ( ) ( ) { } () ()
0
000
lim " , : \ "
yy
gy L UL Uy y Uy y gy UL
→
=∈ ⇔∀ ∃ ∈ ⇒ ∈
() () () () () {} () ( ) { }

01 1 00
lim " : : \ \ "
xR
fx y U x U U U fx Uy y
α
ααααα
→∈
=⇔∃ ∈ = ∩ ⇒ ∈
Suy ra
() () () () ()
()
() ()
", : "lim
x
UL U x U gy gfx UL gfx L
α
αα
→
⎡⎤
∀∃ ∈⇒= ∈ ⇔ =
⎢⎥
⎣⎦
.♦
Nhận xét. Định lý 1.12 có thể áp dụng cho trường hợp
() ()
n
fx fn x== với xn=→∞.
Định lý 1.13 (Giới hạn hàm sơ cấp). Nếu hàm sơ cấp
(
)

fx xác định trong lân cận điểm
a ∈  thì
() ()
lim
xa
fx fa
→
= .
♦ Trước hết chứng minh khẳng định của định lý đúng cho các hàm sơ cấp cơ bản và theo
định lý 1.11 và 1.12, khẳng định đó cũng sẽ đúng cho các hàm sơ cấp.♦
Nhận xét. Khi tính giới hạn
()
lim
xa
fx
→
, nếu
(
)
fx là hàm sơ cấp xác định trong lân cận của a
thì sử dụng định lý 1.13 ta có ngay kết quả; còn nếu
(
)
fx không xác định tại a thì giới hạn
sẽ là một trong các dạng vô định
00
0
,,0., ,1,0,
0
∞

∞
∞∞−∞ ∞
∞
. Khi đó ta dùng các giới hạn
đặc biệt, các phép toán về giới hạn để tính.
Ví dụ. Tính giới hạn
(v1)
() ()
0/0
00
sin 6 sin 6 3 6
lim lim . . 1.1.2 2.
63
ln 1 3 ln 1 3
xx
x xxx
xx
xx
→→
===
++

(v2)
(
)
21
21
21
11
1

2
1
21 21 2
lim lim 1 1 lim 1 .
21 21 21
x
x
x
xx
xx x
xx
ee
xx x
∞
+
−
−
++
→∞ →∞ →∞
⎡⎤
⎢⎥
⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
++
⎟⎟⎟
⎜⎜ ⎜
⎢⎥
⎟⎟⎟
=+ −= + ==
⎜⎜ ⎜
⎟⎟⎟

⎜⎜ ⎜
⎢⎥
⎟⎟⎟
⎜⎜ ⎜
−− −
⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎢⎥
⎣
⎦

3.4. Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn hàm số.
Dựa vào định nghĩa giới hạn của hàm số và các tiêu chuẩn hội tụ của dãy số, ta có các
kết quả sau
Định lý 1.14 (Tiêu chuẩn kẹp). Giả sử
() ()
lim lim
xx
fx hx L
αα→→
∃= = và
() () {} () () ()
,\:UxU fxgxhxααα∃∀∈ ≤≤

22
Khi đó
()
lim
x
gx L
α→

= .
Định lý 1.15 (Giới hạn của hàm đơn điệu).
(m1) Cho hàm
(
)
fx xác định, không giảm trong lân cận trái củaa . Khi đó, nếu
(
)
fx bị
chặn trên thì
()
lim
xa
fx L
−
→
=∈ . Còn nếu
(
)
fx
không bị chặn trên thì
()
lim
xa
fx
−
→
=+∞.
(m2) Cho hàm
(

)
fx xác định, không tăng trong lân cận phải của a. Khi đó, nếu
(
)
fx bị
chặn dưới thì
(
)
lim
xa
fx L
+
→
=∈
. Còn nếu
(
)
fx không bị chặn dưới thì
()
lim
xa
fx
+
→
=−∞
.


3.5. Vô cùng bé - Vô cùng lớn
3.5.1. Vô cùng bé (VCB). Cho hàm số f xác định trong lân cận của α ∈  . Ta nói f là

VCB khi
x
dần đến
α
, nếu
()
lim 0.
x
fx
α→
=
Ví dụ. Khi 0x → thì sin x , tg x ,
()
ln 1 x+ ,
1
x
e −
, 1cosx− là các VCB.
Nhận xét. Ta có
() () ()
lim
x
fx L fx L px
α→
=∈ ⇔ =+ với
()
lim 0
x
px
α→

= .
♦
() () () ()
lim " 0, : "
x
fx L Ua x U fx L
α
εαε
→
=∈ ⇔∀>∃ ∈ ⇒ −<

⇔
()
()
lim 0
x
fx L
α→
−=
⇔
() ()
fx L px=+ với
()
lim 0
x
px
α→
= .♦
• Cho
f

và
g
là VCB khi
.x α→
Ta nói
f
là VCB cấp cao hơn
g
(hay
g
là VCB cấp
thấp hơn
f ), ký hiệu
()
0fg= , nếu
()
()
lim 0
fx
gx
x
α→
= .
• Ta nói f và g là hai VCB ngang cấp nhau, nếu
(
)
(
)
lim *
fx

gx
x
k
α→
=∈ . Khi 1k = thì ta
nói f và g là hai VCB tương đương nhau, ký hiệu fg∼ .
Ví dụ. Khi
0x → thì
()
sin tg ln 1 1
x
xx xe+−∼∼ ∼
và
()
1cos 0xx−=
.
Nhận xét. Giả sử
(
)
fx và
(
)
gx là VCB khi ;x α→
(
)
fx và
(
)
gx đều là tổng của nhiều
VCB. Khi đó giới hạn của tỷ số

(
)
(
)
f
x
gx
bằng giới hạn của tỷ số hai VCB cấp thấp nhất ở tử số và
mẫu số.
Ví dụ. Ta có
(v1)
()
4
00
14
lim lim 2
2
ln 1 2
x
xx
ex
x
x
→→
−
==
+

vì khi 0,x → ta có

23
()
4
14,ln12 2
x
exxx−+∼∼.
(v2)
2
4
00
1cos tg 1
lim lim
33
3
xx
xx x x
x
xx
→→
−++
==
+

vì khi 0,x → ta có
2
22 2 2 4
1 cos tg 2sin tg ;3 3
22
xx
xx x x x xx xxx x− ++ = ++ ++ +

∼∼∼.

3.5.2. Vô cùng lớn (VCL). Cho hàm số f xác định trong lân cận của α ∈  . Ta nói f là
VCL khi x dần đến α , nếu
()
lim .
x
fx
α→
=∞
Nhận xét. Cho hàm số
(
)
fx xác định và khác 0 trong lân cận
() {}
\U αα của
α ∈ 
. Khi
đó
(
)
fx là VCL khi và chỉ khi
(
)
1
f
x
là VCB khi x α→ .
• Cho f và g là VCL khi .x α→ Ta nói f là VCL cấp cao hơn g (hay g là VCL cấp
thấp hơn

f
), ký hiệu
()
0,fg=

nếu
(
)
(
)
lim
fx
gx
x
α→
=∞
.
• Ta nói f và g là hai VCL ngang cấp nhau, nếu
(
)
(
)
lim *
fx
gx
x
k
α→
=∈ . Khi 1k = thì ta
nói f và g là hai VCL tương đương nhau, ký hiệu fg∼ .

Nhận xét. Giả sử
(
)
fx và
(
)
gx là VCL khi ;x α→
(
)
fx và
(
)
gx đều là tổng của nhiều
VCL. Khi đó giới hạn của tỷ số
(
)
(
)
f
x
gx
bằng giới hạn của tỷ số hai VCL cấp cao nhất ở tử số và
mẫu số.
Ví dụ. Tính
32 3
32 3
2321
lim lim .
2
43 4

xx
xx x
xxx x
→∞ →∞
++
==
−+



4. Hàm số liên tục

4.1. Các khái niệm
• Cho hàm số f xác định trong lân cận của
a ∈ 
. Ta nói f liên tục tại a , nếu
() ()
lim
xa
fx fa
→
= .
Hàm f được gọi là gián đoạn tại a nếu nó không liên tục tại a.
• Cho hàm số
f
xác định trong lân cận bên phải (/ trái) của a ∈  , kể cả
a
. Ta nói
f

liên tục phải (/ trái) tại a , nếu
() () () ()
()
lim , / lim
xa xa
fx fa fx fa
+−
→→
==.

24
• Ta nói f liên tục trong
()
,ab , nếu f liên tục tại mọi
()
,xab∈ và nói f liên tục trên
,ab
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
, nếu f liên tục trong
()
,ab , liên tục phải tại a và liên tục trái tại b .
Nhận xét.
(n1) Hàm f liên tục tại a khi và chỉ khi f liên tục phải và liên tục trái tại a .
(n2) Nếu f liên tục trên ,ab
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
thì đồ thị của f trên đoạn ,ab

⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
là một đường liền nét.
Ví dụ.
(v1) Hàm
()
1/x
fx e= không xác định tại 0x = nên 0x = là điểm gián đoạn của hàm số.
(v2) Hàm
()
sin
,0
2, 0
x
x
fx
x
x
⎧
⎪
⎪
≠
⎪
⎪
=
⎨

⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎩
xác định tại 0x = nhưng không liên tục tại điểm này vì
() ()
00
sin
lim lim 1 2 0
xx
x
fx f
x
→→
==≠=.
Nếu thay
()
01f = thì hàm số liên tục tại 0x = .


4.2. Các phép toán về hàm liên tục
Dựa vào các định lý các phép toán về giới hạn và định nghĩa tính liên tục của hàm số ta
có các kết quả sau đây
Định lý 1.16 (Tính liên tục của tổng, tích, thương). Nếu các hàm số
()
fx và
(
)

gx liên tục
tại
a thì
() () () () () ()
,.,/fx gx fx gx fx gx± với
()
0ga ≠ cũng liên tục tại a .
Định lý 1.17 (Tính liên tục của hàm hợp). Nếu hàm số
()
yfx=
liên tục tại
xa=
và
()
zgy= liên tục tại
()
yfa= thì
()
()
zgfx= cũng liên tục tại a .
Định lý 1.18 (Tính liên tục của hàm sơ cấp). Hàm sơ cấp liên tục trên các khoảng mở thuộc
tập xác định của nó.
Ví dụ. Xét tính liên tục của các hàm số
(v1) Hàm số
()
sin
, khi 0
0, khi 0
x
x

fx
x
x
⎧
⎪
⎪
≠
⎪
⎪
=
⎨
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎩

không phải là hàm sơ cấp. Khi
0,x ≠
()
sin x
fx
x
=
là hàm sơ cấp nên liên tục. Còn khi
0x = , do
() ()
()
00100ff f

+−
==≠= nên f không liên tục tại điểm này. Nếu thay giá
trị
()
01f = thì f là một hàm liên tục trên  .

25
(v2) Hàm số
()
2
1fx x=−
liên tục trên 1, 1
⎡⎤
−
⎢⎥
⎣⎦
vì nó là hàm sơ cấp liên tục trên khoảng mở
()
1, 1− , liên tục phải tại
1x =− và liên tục trái tại 1x = .


4.3. Các định lý cơ bản
Định lý 1.19 (Bolzano - Cauchy 1). Giả sử f liên tục trên [a,b] và
() ()
.0fa fb< . Khi đó
tồn tại
()
,cab∈ sao cho
()

0fc= .
♦ Giả sử
()
0fa< và
()
0fb> (trường hợp ngược lại được chứng minh tương tự). Chia
đoạn
11
,: ,ab ab
⎡⎤⎡⎤
=
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
ra thành hai đoạn dài bằng nhau bởi điểm chia
x
và giả sử
()
0fx≠

(nếu không c chính là điểm chia đó); gọi một trong hai đoạn đó là
22
,ab
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
với
()

2
0fa < và
(
)
2
0fb > . Lại chia đôi đoạn này ta được đoạn con
33
,ab
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
với
()
3
0fa < và
()
3
0fb > . Tiếp
tục quá trình đó ta được dãy đoạn lồng nhau và thắt lại với
() ()
11
0, 0, 0.
2
nn n n
n
ba
ba fa fb

−
−= → < >

Gọi c là điểm chung duy nhất của dãy đoạn đó. Ta có
00
lim lim
00
nnn
nn
nn
nnn
ca b a
ac b
bcba
→∞ →∞
⎧
⎪
≤− ≤ − →
⎪
⇒==
⎨
⎪
≤−≤− →
⎪
⎩

Do f liên tục nên
() () () ()
0 lim lim 0 0
nn

nn
fa fc fb fc
→∞ →∞
≥==≤⇒=.♦
Định lý 1.20 (Bolzano - Cauchy 2). Giả sử f liên tục trên ,ab
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
và
() ()
fa fb≠ . Khi đó với
mọi
() ()
()
,,Lfafb∈ tồn tại
()
,cab∈ sao cho
()
fc L= .
♦ Giả sử
() ()
fa fb< (ngược lại được chứng minh tương tự). Với mọi
() ()
()
,Lfafb∈
hàm số
() ()

gx fx L=−
thoả các điều kiện của định lý Bolzano - Cauchy 1 nên
()() ()
,: 0 hay cabgc fc L∃∈ = = . ♦
Định lý 1.21 (Weierstrass). Giả sử f liên tục trên ,ab
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
. Khi đó f bị chặn và đạt giá trị lớn
nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) trên
,ab
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
.
♦ * Giả sử ngược lại là hàm
f không bị chặn trên ,ab
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
. Khi đó

()
,,:
nn
nxabfxn
⎡
⎤
∀∈ ∃ ∈ >
⎢
⎥
⎣
⎦
 .