Tổng hợp lí thuyết và hệ thống bài tập LTĐH phần tọa độ không gian

GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889
Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng .

1
O
y
z
x
j
k
i
CHỦ ĐỀ : TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
A. PHẦN LÍ THUYẾT :

I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ, TỌA ĐỘ VECTƠ, TỌA ĐỘ ĐIỂM
1. Hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian
Hệ 3 trục x’Ox, y’0y, z’Oz đôi một vuông góc, trên đó lần lượt
có các vectơ đơn vò
k,j,i
, gọi là hệ trục tọa độ Đềcác vuông
góc trong không gian.
+. 3 trục x’Ox, y’0y, z’Oz lần lượt được gọi là trục hoành,
trục tung , trục cao .
+. Điểm O gọi là gốc tọa độ
+. Không gian chứa hệ trục tọa độ như thế gọi là không gian tọa độ,
kí hiệu là kg Oxyz
+. Các mặt phẳng : Oxy, Oyz, Oxz gọi là các mặt phẳng tọa độ
2. Toạ độ của vectơ:
a. Đònh nghóa :
kajaiaa
321

++=

⇔

)a,a,a(a
321
=

Chú ý: Tọa độ của các vectơ đơn vò:
i (1, 0, 0)
=

;
j (0, 1, 0)
=

;
)1 ,0 ,0(k =
và
0 (0, 0, 0)
=


b. Tính chất : Cho
)a,a,a(a
321
=
;
)b,b,b(b
321

=
và số thực k thì :

)bba,aba(ba
322311
±±±±=±
;
)ka,ka,ka(a.k
321
=
;





=
=
=
⇔=
33
22
11
ba
ba
ba
ba

Chú ý
: +.

a
cùng phương
b
nếu cùng nằm trên một đường thẳng hoặc giá của
chúng song song nhau
+. Biểu thức tọa độ :

a
cùng phương
b

⇔
tồn tại số k để cho:
a
=
b.k

⇔

3
3
2
2
1
1
b
a
b
a
b

a
==



3. Tọa độ của điểm :
a. Đònh nghóa :

kzjyixOM
MMM
++=

⇔
M ( x
M
, y
M
, z
M
)
b. Đònh lí :
Cho A(x
A
,y
A
, z
A
) và B(x
B
,y

B
,z
B
) thì :
)zz,yy,xx(AB
ABABAB
−−−=

c. Chú ý :
+. Điểm M
∈
Ox
→
M(x,0,0 ) ; Điểm M
∈
Oy
→
M(0,y,0)
Điểm M
∈
Oz
→
M(0,0,z) ; Gốc tọa độ O(0,0,0)
+. M là trung điểm của đoạn AB thì :
A B A B A B
M M M
x x y y z z
x ; y ; z
2 2 2
+ + +

= = =

+ G là trọng tâm của đoạn
∆
ABC thì :

A B C A B C A B C
M M M
x x x y y y z z z
x ; y ; z
3 3 3
+ + + + + +
= = =

4. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
:
Đ/lí
: Cho hai vectơ
)a,a,a(a
321
=
;
)b,b,b(b
321
=
thì :
332211
bababab.a
++=

Các hệ quả:

+.
2
2 2 2 2 2 2
1 1 3 1 2 3
a a a a a a a a
= + +
⇒
= + +
 
+.
0babababa
332211
=++⇔⊥


+.
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 3
1 2 3 1 2 3
a b a b a b
cos (a,b)
a a a b b b
+ +
=
+ + + +
 
+.

2 2 2
B A B A B A
AB (x x ) (y y ) (z z )
= − + − + −

GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889
Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng .

2
5. Chú ý
: +. Điểm M(x, y ,z) có hình chiếu vuông góc lên các mặt phẳng tọa độ Oxy,
Oxz, Oyz lần lượt là : (x, y , o) ; (x, o, z) ; (o, y ,z).
+. Điểm M(x, y ,z) có hình chiếu vuông góc lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz
lần lượt là : (x, o , o) ; (o, y,o) ; (o, o ,z).
+. Điểm đối xứng với M(x, y ,z) qua các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oxz, Oyz
lần lượt là : (x, y, -z) ; (x, -y, z) ; (-x, y ,z).
+. Điểm đối xứng với M(x, y ,z) qua các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt
là : (x, -y,-z) ; (-x, y, z) ; (-x, -y ,z).
+. Điểm đối xứng với M(x, y ,z) qua gốc tọa độ O là (-x, -y,-z)
6. Tích có hướng hai vectơ :
a. Đònh nghó a :
Cho 2 vectơ
)a,a,a(a
321
=
;
)b,b,b(b
321
=
.

Tích có hướng của hai vectơ đó là một vectơ , kí hiệu là
[
]
b,a
với

[
]
b,a
=
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a a a
; ;
b b b b b b
 
 
 
= ( a
2
b
3
– b
2
a
3
, a
3
b

1
– b
3
a
1
, a
1
b
2
– b
1
a
2
)

b. Tính chất :

c
a⊥
và
c
b⊥
thì
c
=
[
]
b,a

c. Các ứng dụng của TCH của 2 vectơ :

+. 3 điểm A,B, C là 3 đỉnh của tam giác
⇔

AB, AC
 
 
 
≠
0

3 điểm A,B, C là thẳng hàng
⇔

AB, AC
 
 
 
=

0

+. 4 điểm A, B, C , D là 4 đỉnh của tứ diện
⇔
AB,AC . AD 0
 
≠
 
  

4 điểm A, B, C , D đồng phẳng
⇔
AB,AC . AD 0
 
=
 
  

+. Diện tích tam giác ABC là: S =
1
AB, AC
2
 
 
 
=
1
BA, BC
2
 
 
 
=
1
CA, CB
2
 
 
 

Nói là :
Diện tích tam giác bằng một phần hai độ dài TCH của hai vectơ chung gốc.

+. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là : V =
AB, AD . AA'
 
 
  

Nói là :
Thêû tích khối hộp bằng giá trò tuyệt đối của tích hổn tạp của ba vectơ chung gốc
+. Thể tích khối tứ diện ABCD là : V =
1
AB, AC . AD
6
 
 
  

Nói là :
Thêû tích khối tứ diện bằng một phần sáu giá trò tuyệt đối của tích hổn tạp của ba vectơ
chung gốc
Bài 1
: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1,1,1) , B(1,- 6, 0) , C(0,-2,2) , D(-2,0,0).
a.

Chứng minh 3 điểm B, C, D là 3 đỉnh của tam giác, Tính diện tích của
BCD
∆

, Từ đó tính
độ dài đường cao của
BCD
∆
kẻ từ D.
b.

Chứng minh 4 điểm A,B,C, D là 4 đỉnh của tứ diện. Tính thể tích của tứ diện này, Từ đó
tính độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh A.
c.

Tìm tọa độ điểm E để BCDE là hình bình hành . Tính diện tích hình bình hành nàyvà tính
thể tích khối chóp A.BCDE.
d.

Tính góc

ACD
và góc giữa các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD

Bài 2
: Trong kg cho 2 điểm A(6,-2,3) ; D(4,1,0) và
OC 2i j
= −
  
; ;
OB j 6k
= +
  

1.

Tính : a.
(
)
2
AB.BC .CA CD .AB
+

   
; b.
2
AB,DC .CB AD
 
−
 
   

2.

Chứng minh A,B,C,D là 4 đỉnh của tứ diện
3.

Tính d/ tích
∆
ABC, thể tích tứ diện ABCD. Từ đó tính độ dài c/cao của t/ diệnABCD kẻ từ
D.
4.

Tính cosin của góc A của

∆
ABC
GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889
Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng .

3
n
α
M
5.

Tìm toạ độ điểm E để cho ABCD là hình bình hành . Tính diện tích hình bình hành này.
Bài 3: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D' Víi A(2,0,2), B(4,2,4), D(2,-2, 2) vµ C'(8,10,-10).
a. T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh cßn l¹i cđa h×nh hép ABCD.A'B'C'D'.
b. TÝnh thĨ tÝch cđa h×nh hép nãi trªn.

II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
A. LÍ THUYẾT:


1. M/phẳng (
α
)đi qua điểm M(x
0
,y
0
,z
0
) và có PVT
)C,B,A(n =

thì
phương trình (
α
) :
(
)
(
)
(
)
0zz.Cyy.Bxx.A
000
=
−
+
−
+
−

2. Mặt phẳng (
α
) đi qua
(
)
A a,0,0 Ox
∈ ;


(
)

B 0,b,0 Oy
∈ ;
(
)
C 0,0,c Ox
∈ thì p/trình mặt phẳng (
α
) :
x y z
1
a b c
+ + =


( Gọi là mặt phẳng phương trình theo đoạn chắn)
Chú ý
:


+. Hai vectơ
a
,
b
là cặp VTCP của (
α
) trong các trường hợp sau:
*
a
,
b

không cùng phương và cùng nằm trên (
α
)
*
a
,
b
không cùng phương.
a
nằm trên (
α
) còn
a
nằm trên đường thẳng // (
α
)
*
a
,
b
không cùng phương , cả
a
và
b
đều nằm trên 2 đường thẳng // với (
α
)
+. Hai mặt phẳng // nhau thì PVT của mặt phẳng này cũng là PVT của mặt phẳng kia.
+. Hai mặt phẳng v/ góc nhau thì PVT của mặt phẳng này là một trong hai VTCP của
mặt phẳng kia

3. Các p/pháp xác đònh PVT :
C
1
: Tìm VT vuông góc với mặt phẳng (
α
).

C
2
: Tìm cặp VTCP
a
,
b

⇒

[
]
b,a n
=
.
C
3
: Mặt phẳng (
α
) đi qua ba điểm A,B,C thì PVT
[
]
AC,AB n
=

.
B. BÀI TẬP :
Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho điểm A(1,0,1) ; B(3,4,-1) và
k2jOC
+=
;
AD
= (1,2,-4)
a.

Tìm tọa độ các điểm C và D
b.

Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Từ đó c/m 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện.
c.

Viết phương trình mặt phẳng qua D và song song mặt phẳng (ABC)
d.

Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với AB tại B.
e.

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn BC.
f.

Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song với CD
g.

Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm của AB và song song với các đường thẳng AD
và CB

h.

Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BD
i.

Viết phương trình mặt phẳng qua các hình chiếu vuông góc của B lên các trục tọa độ
j.

Viết phương trình mặt phẳng qua các hình chiếu vuông góc của A lên các mp tọa độ
k.

Viết phương trình mặt phẳng qua các điểm đối xứng với A, B, C qua gốc toạ độä
l.

Viết phương trình mặt phẳng qua các điểm đối xứng với A, B, C qua các mặt phẳng tọa độ
Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau :
A
B
C
a
b
a
a
b
b
α
n
α
n
α

n
α
n
GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889
Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng .

4
a.

Qua điểm M(2,-1,2) và // mp Oxy
b.

Qua điểm N(5,1,-2) ; // Oz ; vuông góc với mặt phẳng 3x + 2y + z + 2013 = 0
c.

Qua điểm P(-4,0,1) ; // đường thẳng AB với A(2,0,0), B(3,2,-6) và v.góc với mp(P): 5x-z-2 =
0
d.

Qua 2 điểm H(3,-2,0), K(2, 5,1) và vuông góc với mặt phẳng –3x + 2z – 7 = 0

III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Các dạng phương trình đường thẳng :
a. Đường thẳng d đi qua M(x
0
, y
0
, z
0
) và có VTCP

)a,a,a(a
321
=
thì :

0 1
0 2
0 3
x x a t
Ptts d : y y a t
z z a t
= +


= +


= +

( t
)R
∈
và
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
Ptct d :
a a a
− − −
= =

b.
Đường thẳng d đi qua 2 điểm

(
)
(
)
A A A B B B
A x , y ,z và A x , y ,z

có phương trình :

A A A
B A B A B A
x x y y z z
AB:
x x y y z z
− − −
= =
− − −
( với
B A
x x
≠
,
B A
y y
≠

,
B A
z z
≠
)
2. Các chú ý :
* Để tìm toạ đôï một điểm thuộc đường thẳng cho bởi ptts ta cho t một giá trò tuỳ ý thay vào
ptts tìm x, y, z . Đó là tọa độ của điểm thuộc d
* Để tìm toạ đôï một điểm thuộc đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng,
ta cho x một giá trò tuỳ ý thay vào hệ tìm y, z ( hoặc cho y tìm x, z ; hoặc cho z tìm x, y )
* Đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng, có VTCP là








=
22
11
22
11
22
11
BA
BA
,
AC

AC
,
CB
CB
a

Trong đó
1
1 1 1
n (A ,B ,C )
=

và
2
2 2 2
n (A ,B ,C )
=

lần lượt là VTPT của 2 mặt phẳng .
BÀI TẬP :
1.

Cho đường thẳng d có ptts là
x 2 t
y 1 2t
z 3t
= +


= − +



=

.
a. Tìm 2 điểm thuộc d ; b. Tìm VTCP của d ; c. Viết pttq và ptct của d .
2.

Cho đường thẳng d có ptct là
x 2 3 y z
1 2 3
− −
= =
−

a. Tìm hai điểm thuộc d ; b. Tìm VTCP của d ; c. Viết ptts và pttq của d
3.

Cho đường thẳng d có pttq là :
2x y z 2 0
y z 4 0
+ + − =


− + + =

.
a. Tìm 2 điểm thuộc d ; b. Tìm VTCP của d ; c. Viết ptts và ptct của d
4.

Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau :
a. Đi qua điểm M(2,-1,5) và có VTCP là
a ( 2,1, 1)
= − −

.
b. Là giao tuyến của 2 mặt phẳng : x + y + 2z – 5 = 0 và 3x – y + 3z + 3 = 0
c. Đi qua điểm M(2,3,-1) và vuông góc với mặt phẳng : x + 2y –3z + 1 = 0 .
d. Đi qua 2 điểm A(-2,1,2) và B(0,3,-4) .
GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889
Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng .

5
e. Đi qua điểm M(0,-2,1) và song song với đường thẳng
x y z 3 0
y z 0
+ + − =


− =


f. Đi qua điểm N(3,0,0) và song song với đường thẳng :
x 2 3t
y t
z 3
= +


=



= −


5.

Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau :
a. Đi qua điểm M(4,1,2) và vuông góc với đường thẳng d :
x 1 y 1 3 z
2 1 3
− + −
= =
−

b. Chứa điểm A(-4,0,-2) và đường thẳng d :
x 2y z 3 0
2y z 1 0
+ + − =


− − − =


c. Đi qua điểm B(1,1,1) và song song với các đường thẳng:
d
1
:
2x y z 3 0
x y z 1 0

+ + − =


− + − + =

; d
2
:
x 1 y 2 z
3 1 3
+ +
= =
− −

IV. MẶT CẦU
1. Phương trình mặt cầu :
* Mặt cầu có tâm I(a,b,c) và bán kính R
⇒
phương trình mặt cầu là :
(S) : (x - a)
2
+ (y - b)
2
+ (z - c)
2
= R
2

* Phương trình (S) : x
2

+ y
2
+ z
2
– 2 ax – 2 by – 2 cz + d = 0 ( với a
2
+ b
2
+ c
2
– d > 0 )
là phương trình mặt cầu có tâm I(a,b,c) và bán kính R = d -c b a
222
++
* Mặt cầu có tâm O(o,o,o) ; bán kính R có phương trình (S) : x
2
+ y
2
+ z
2

= R
2


2. Tương giao giữa mặt cầu và mặt phẳng:
Cho m/cầu (S) có tâm I b/kính R và m/phẳng
)
(
α

.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên
)
(
α
, thì IH = d(I,
)
(
α
) .
* d(I,
)(
α
) > R
⇔
(S) và
)
(
α
không có điểm chung
* d(I,
)(
α
) = R
⇔
(S) và
)
(
α
tiếp xúc nhau tại H.

( H gọi là tiếp điểm ;
)
(
α
gọi là tiếp diện
)
* d(I,
)(
α
) < R
⇔
(S) và
)
(
α
cắt nhau theo giao tuyên là đường tròn (C).
tâm là H; bk R’=
22
IHR −
)









BÀI TẬP :

1.

Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a. Có tâm I(1,2,-3) và bán kính R = 4.
b. Có tâm I(2,-2,0) và đi qua điểm M(1,4,-4)
c. Đi qua ba điểm A(1,2,-4) ; B(1,-3,1) ; C(2,2,3) và có tâm trên mặt phẳng Oxy.
d. Tâm I(1,2,3) và tiếp xúc mp
)(
α
: x - y - 4z - 5 = 0 . Tìm toạ độ tiếp điểm của (S) và
)(
α
.
e. Có tâm trên trục Oz, đi qua A(2,3,4) và tiếp xúc mặt phẳng 2x + 3y + z - 17 = 0
f. Có tâm trên trục Oy và tiếp xúc với 2 mp : x + y - z + 1 = 0 ; x - y + z - 5 = 0
2.

Cho 3 điểm A(2,0,0); B(0,1,0); C(0,0,-3)
a. Viết phương trình mặt cầu(S) ngoại tiếp tứ diện OABC với O là gốc tọa độ. Khi đó tìm tâm
H
H
I
H
I
I
α
α
α
)S(
)S(

)S(
)
C
(
GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889
Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng .

6
và b. kính của (S)
b. Viết phương trình tiếp diện với (S) tại A.
c. Viết phương trình đường tròn (C
1
) ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tâm và bán kính của (C
1
)
d. Viết phương trình đường tròn (C
2
) ngoại tiếp tam giác OAB. Tìm tâm và bán kính của (C
2
)
3.

Cho mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x + 4z = 0
a. Tìm tâm và bán kính của (S) .

b. Chứng minh điểm A(3,1,-2) thuộc (S). Viết phương trình tiếp diện với (S) tại A.
c. Viết p/t tiếp diện với (S) , biết tiếp diện đó // với mặt phẳng x+ y + 2z – 1 = 0
d. Viết p/t tiếp diện với (S) , biết tiếp diện đó v/góc với đường thẳng :



=+−
=−+
03zy2
02yx

e. Tìm giao điểm của (S) với đường thẳng x = 1+ 2t ; y = 1 ; z = - 2t .
f. Viết phương trình đường kính qua A . Tìm giao điểm còn lại của đường kính này với (S).
g. Biện luận theo k vò trí tương đối của (S) và mặt phẳng
)
(
α
: 2x + y – 2z + k = 0
4.

Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a. Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(6,-2,3) ; B(0,1,6) ; C(2,0,-1) ; D(4,1,0) . Khi đó viết phương
trình đường tròn (C) ngoại tiếp
∆
ABC, tìm tâm và bán kính đường tròn này
b. Ngoại tiếp tứ diện OABC với A(1,0,0) ; B(0,2,0) ; C(0,0,-3) . Tìm tâm và b/kính .
c. Tâm I(1,2,3) và tiếp xúc m/ hẳng
)(
α
: x – y - 4z - 5 = 0 . Tìm toạ độ t/điểm của (S) và

)(
α
.
d. Đi qua ba điểm A(1,2,-4) ; B(1,-3,1) ; C(2,2,3) và có tâm trên mặt phẳng Oxy.
5.

Cho mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
– 12x + 4y – 6z + 24 = 0 .
a. Tìm tâm và bán kính của (S).
b. Chứng minh mặt cầu (S) cắt mặt phẳng
)(
α
: 2x + 2y + z +1= 0 . Hãy viết phương trình
đường
tròn giao tuyến của (S) và
)(
α
, tìm tâm và bán kính đường tròn này.
c. Chứng minh điểm A(2,1,3) thuộc mặt cầu (S) .Viết phương trình tiếp diện của (S) tại A.
d. Tìm các giao điểm của của (S) và đường thẳng d:






+=
−=
+=
t43z
t2y
t33x

e. Viết p/t các tiếp diện của (S) biết tiếp diện đó s.song với m/p
)(
β
: 2x – 2y + z + 7 = 0
f. Viết p/t các tiếp diện của (S) biết tiếp diện đó v/góc với đg/thẳng d’:
2
1z
2
1y
1
x −
=
−
=
−

g. Viết p/t các tiếp diện của (S) biết tiếp diện đó song song với trục Ox và đường thẳng
d:
2
1z
2
1y
1

x −
=
−
=
−

h. Biện luận theo k vò trí tương đối của (S) và mặt phẳng
)(
γ
: 2x + y – 2z + k = 0
V. GÓC:
+. 2 đường thẳng d
1
, d
2
có VTCP lần lượt là
1 2 3
a (a ,a ,a )
=

,
1 2 3
b (b ,b ,b )
=

.
Gọi
ϕ
là góc giữa d
1

và d
2
thì :
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 3 3 1 3 3
a b a b a b
cos
a a a . b b b
+ +
φ =
+ + + +

+. 2 mặt phẳng (
α
1
), (
α
2
) có VTPT lần lượt là
)C,B,A(n);C,B,A(n
222
2
111
1
==

Gọi
ϕ
là góc giữa 2 mặt phẳng thì:

2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
CBA.CBA
CCBBAA
cos
++++
++
=ϕ

GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889
Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng .

7
a
a

a
a
b

b
b
b
d
d
d
'
d
d
'
d
'
d
'
d
M
M'
M
M'
M
M'
M'
M
+.
Đườ
ng th
ẳ
ng d có VTCP
)a,a,a(a
321

=
, M
ặ
t ph
ẳ
ng (P) có VTPT
)C,B,A(n
=
.
Gọi
ϕ
là góc giữa d và (P) thì :
2
3
2
2
2
1
222
321
aaa.CBA
a.Ca.Ba.A
sin
++++
++
=ϕ

Hệ quả: * d
1

⊥
d
2
⇔

332211
bababa
+
+
= 0
* (
α
1
)
⊥
(
α
2
)
⇔

212121
CCBBAA
+
+
= 0
* d
⊥
(
α

)
⇔

a


cùng

phương
n

VI. KHOẢNG CÁCH
+ . Kh.cách từ M(x
0
,y
0
, z
0
) đến mp (
α
): Ax + By + Cz + D = 0 là :

( )
.CBA
Dz.Cy.Bx.A
)(,Md
222
000
++
+++

=α

+. Kh.cách từ điểm M đến đường thẳng
∆
(đi qua điểm A, VTCP
a
) là:
( )
[
]
[ ]
a
AM,a
,Md =∆

+. Kh.cách giữa 2 đường thẳng
1
∆
và
2
∆
là:
( )
[
]
[ ]
b,a
AB.b,a
,d
21

=∆∆

(
1
∆
đi qua A, có VTCP là
a
.
2
∆
đi qua B, có VTCP
b
)

VII. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1. Vị trí tương đối 2 mặt phẳng :


Cho hai mặt phẳng :
(
1
α
) : A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1

= 0 có VTVT là
=

1 1 1 1
n A B C
( , , )

(
2
α
) : A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0 có VTVT là
)C,B,A(n
2222
=

TH1:
21
nvàn
không cùng phương
⇔

)

(
1
α
cắt
)
(
2
α

TH2:



∈ α ∉ α


 
1 2
1 2
n n cùng phương
Điểm M ( ) và M ( )
;

⇔
(
1
α
) // (
2
α

)
TH3:



∈ α ∈ α


 
1 2
1 2
n n cùng phương
Điểm M ( ) và M ( )
;

⇔
(
1
α
)
≡
(
2
α
)
2. Vị trí tương đối 2 đường thẳng:

Cách 1
:
1
α
2
n

2
α

1
n

2
n
2
α

1
n
2
α
1
α

2

n
2
α

1
n
M
M
GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889
Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng .

8
TH1:





 
 
a và b cùng phương
MM không cùng phương a
'

⇔
d // d’ ; TH2:






 
 
a và b cùng phương
MM cùng phương a
'

⇔
d
≡
d’

TH3:

 

 



  
 
a b . MM' = 0
a và b không cùng phương
,
⇔
d cắt d’ ; TH4:
 
≠
 

  
a b . MM' 0
,
⇔
d chéo d’

Cách 2:
Cho 2 đường thẳng d:





+=
+=
+=
tazz
tayy
taxx
30
20
10
có vtcp
)a,a,a(a
321
=
và qua điểm M(x
0
, y
0

, z
0
)
và d’:





+=
+=
+=
'tbzz
'tbyy
'tbxx
3
'
0
2
'
0
1
'
0
có vtcp
)b,b,b(b
321
=

TH1:

'd//d
d'M
phươngcùngb,a
⇔





∉
; TH2:


⇔ ≡

∈


 
a b cùng phương
d d
M d'
,
'


TH3:

+ = +



+ = + ⇔


+ = +


0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
x a t x b t
HệPT y a t y b t cónghiệm duy nhất d cắt d
z a t z b t
'
'
'
'
: ' '
'

Chú ý
: Giả sử (t
0
,
'
0
t
) là nghiệm của HPT. Để tìm giao điểm M
0
của 2 đường thẳng thì

thay t
0
vào phương trình d. Bộ 3 số đó là tọa độ giao điểm
TH4:

+ = +


+ = + ⇔


+ = +


 
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
x a t x b t
a b không cùng phương và HPT y a t y b t vôngh
iệm d chéo d
z a t z b t
'
'
'
'
, : ' '
'

3. Vò trí tương đối của của đường thẳng và mp
:






)
//(
d
α

)
(

cắt
d
α

)
(
d
α
⊂


Cách 1:

TH1:


⊥
⇔ α

∈ ∉ α


 
n a cùng phương
d ( )
M d , M ( )
/ /
; TH2:

⊥
⇔ ⊂ α

∈ ∈ α


 
n a cùng phương
d ( )
M d , M ( )

TH3:
⇔ ≠ ⇔ α
   
n không vuông góc a n a 0 d cắt
( )

.

Cách 2:
Cho đường thẳng d :





+=
+=
+=
tazz
tayy
taxx
30
20
10
và mp
)
(
α
: Ax + By + Cz + D = 0.
Để xét vò trí tương đối của d và
)
(
α
, ta thay x, y, z từ phương trình d vào phương trình
)
(

α
,
được phương trình: A(x
0
+ a
1
t ) +B(y
0
+ a
2
t ) + C(z
0
+ a
3
t ) + D = 0 (1) ( có ẩn t )
α
M
α
α
d
d
d
n
a
n
a
M
M
n
a

GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889
Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng .

9
TH1: Phương trình (1) vô nghiệm
⇒
d //
)
(
α

TH2: Phương trình (1) có vô số nghiệm
⇒
d
⊂

)
(
α

TH3: Phương trình (1) có nghiệm duy nhất
⇒
d cắt
)
(
α

Nếu t = t
0
là nghiệm, để tìm giao điểm của d và

)
(
α
ta thay t
0
vào phương trình d.
Bộ 3 số đó là tọa độ giao điểm

B. BÀI TẬP LUYỆN THI

Viết phương trình đường thẳng , mặt phẳng .
1.
LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng d qua ®iĨm M(- 4,-5, 3) vµ c¾t hai ®−êng th¼ng:
(d
1
):
1
2z
2
3y
3
1x
−
−
=
−
+
=
+
(d

2
):
5
1z
3
1y
2
2x
−
−
=
+
=
−
.
2.
LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng qua ®iĨm A(0; 1; 1) vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng:
(d
1
):
1
z
1
2y
3
1x
=
+
=
−

vµ c¾t ®−êng th¼ng (d
2
):
x 1
y t
z 1 t
= −


=


= +


3.
Cho mỈt ph¼ng (P) vµ ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh: (P): 2x + y + z - 1 = 0,
(d):
3
2z
1
y
2
1x
−
+
==
−
. ViÕt ph−¬ng tr×nh cđa ®−êng th¼ng qua giao ®iĨm cđa (P) vµ (d), vu«ng gãc
víi (d) vµ n»m trong (P).

4.
Cho ®iĨm A(- 4,-2, 4) vµ ®.th¼ng d:
x 3 2t
y 1 t
z 1 4t
= − +


= −


= − +

(t ∈ R). ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ∆ ®i qua
®iĨm A, c¾t vµ vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng d.
5.
Cho hai ®iĨm A(1, 4, 2 ), B(-1, 2,4) vµ ®−êng th¼ng ∆:
2
z
1
2y
1
1x
=
+
=
−
−
.
ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng

th¼ng d ®i qua träng t©m G cđa tam gi¸c OAB vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (OAB),
v
ớ
i O là g
ố
c
t
ọ
a
đ
ơ

6.
Cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng d
1
:
1
1z
1
1y
2
1x −
=
−
−
=

+
, d
2
:
2
1z
1
2y
1
1x +
=
−
=
−
và mp(P): x - y - 2z + 3 = 0.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình chính t
ắ
c c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
, bi

ế
t
∆
n
ằ
m trên m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) và
∆
c
ắ
t hai
đườ
ng
th
ẳ
ng d
1
, d
2
.
7. A2007.
Cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng d
1

:
x y 1 z 2
2 1 1
− +
= =
−
d
2
:
x 1 2t
y 1 t
z 3
= − +


= +


=

. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng
th
ẳ
ng d vng góc v

ớ
i (P): 7x + y – 4z = 0 và c
ắ
t hai
đườ
ng th
ẳ
ng d
1
và d
2
.
8.
Cho b
ố
n
đ
i
ể
m A(4,5,6); B(0,0,1); C(0,2,0); D(3,0,0). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d vng góc
v
ớ

i m
ặ
t ph
ẳ
ng (Oxy) và c
ắ
t
đượ
c các
đườ
ng th
ẳ
ng AB, CD.
9.
Cho ba m
ặ
t ph
ẳ
ng: (P): 2x – y + z + 1 = 0, (Q): x – y + 2z + 3 = 0, (R): x + 2y – 3z + 1 = 0
và
đườ
ng th
ẳ
ng
1
∆
:
2
2x
−

−
=
1
1y +
=
3
z
. G
ọ
i
2
∆
là giao tuy
ế
n c
ủ
a (P) và (Q).
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng (d) vng góc v
ớ
i (R) và c
ắ
t c

ả
hai
đườ
ng th
ẳ
ng
1
∆
,
2
∆
.

10.
Cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng d
1
:





=
=
−=
tz

3y
t22x
d
2
:
2
z
1
y1
1
2x
=
−
=
−
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d song
song v
ớ
i Oz c
ắ
t c
ả

d
1
và d
2
.
GV: Trần Điện Hoàng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889
Chuyên dạy LTĐH môn TOÁN – Nhận HS đầu tháng .

10
11.
Vi
ế
t p.trình
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng sau:
1
2z
1
1y
2
x
:d
1
+

=
−
−
=






=
+=
+−=
3z
t1y
t21x
:d
2

12.
Cho
đườ
ng th
ẳ
ng d
1:






+=
+=
+=
t21z
t21y
t1x
,
đườ
ng th
ẳ
ng d
2
là giao tuy
ế
n c
ủ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): 2x – y – 1 =
0 và (Q): 2x + y + 2z – 5 = 0.
Gọ
i I
là
giao
đ
i
ể

m
củ
a d
1
và d
2
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d
3

qua A(2, 3, 1),
đồ
ng th
ờ
i c
ắ
t hai
đườ
ng th
ẳ
ng d
1
và d

2
l
ầ
n l
ượ
t
tạ
i B
và
C sao cho tam giác BIC cân
đỉ
nh I.

13.
Cho tam giác ABC có A(1,-,2, 3), B(2,1, 0), C(0, -1, -2). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình tham s
ố

đườ
ng cao
t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i

đỉ
nh A c
ủ
a tam giác ABC.
14.
Cho các
đ
i
ể
m A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và
đườ
ng th
ẳ
ng d:
6x 3y 2z 0
6x 3y 2z 24 0
− + =


+ + − =

. Vi
ế
t ph
ươ
ng
trình
đ
.th
ẳ

ng
∆
// (d) và c
ắ
t các
đườ
ng th
ẳ
ng AB, OC.
15.
Cho
đ
i
ể
m M(0,1,1) và 2
đườ
ng th
ẳ
ng (d
1
), (d
2
) v
ớ
i (d
1
):
x 1 y 2 z
3 2 1
− +

= =
; (d
2
) là giao tuy
ế
n c
ủ
a 2
m
ặ
t ph
ẳ
ng (P):
x 1 0
+ =
và (Q):
x y z 2 0
+ − + =
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng (d) qua M vuông
góc (d
1
) và c

ắ
t (d
2
).
16.
Cho hình chóp A.OBC, trong
đ
ó A(1,2,4), B thu
ộ
c tr
ụ
c Ox và có hoành
độ
d
ươ
ng, C thu
ộ
c Oy và
có tung
độ
d
ươ
ng. M
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC) vuông góc v
ớ
i m
ặ

t ph
ẳ
ng (OBC), 2OBCtan
=
. Vi
ế
t ph
ươ
ng
trình tham s
ố
c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng BC.
17.
Cho
đườ
ng th
ẳ
ng
x 1 y 2 z 2
:
3 2 2
+ − −
∆ = =
−

và m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng song song v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P),
đ
i qua M(2,2,4) và c
ắ
t
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
).
18.

Cho hai m
ặ
t ph
ẳ
ng và hai
đườ
ng th
ẳ
ng có ph
ươ
ng trình (P):
3x 12y 3z 5 0
+ − − =
và
(Q):
3x 4y 9z 7 0
− + + =
(d
1
):
x 5 y 3 z 1
2 4 3
+ − +
= =
−
, (d
2
):
x 3 y 1 z 2
2 3 4

− + −
= =
−
. Vi
ế
t ph.trình
đườ
ng
th
ẳ
ng (
∆
) song song v
ớ
i hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (P), (Q) và c
ắ
t (d
1
), (d
2
).
19.
Cho
đườ
ng th
ẳ

ng
x y 1 z 2
d :
1 2 1
− −
= =
và m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d
′

đ
i qua
đ
i
ể
m M(2,2,4), song song v
ớ
i m
ặ

t ph
ẳ
ng (P) và c
ắ
t
đườ
ng th
ẳ
ng d.

20.
Cho hai
đ
i
ể
m A(0,0,–3), B(2,0,–1) và m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) có ph
ươ
ng trình:
3x 8y 7z 1 0
− + + =
. Vi
ế
t
ph
ươ
ng trình chính t

ắ
c
đườ
ng th
ẳ
ng d n
ằ
m trên m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) và d vuông góc v
ớ
i AB t
ạ
i giao
đ
i
ể
m
c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng AB v
ớ
i (P).
21.

Cho mp(P): x – 2y + z – 2 = 0 và hai
đườ
ng th
ẳ
ng : d:
x 1 3 y z 2
1 1 2
+ − +
= =
−
và d’:
x 1 2t
y 2 t
z 1 t
= +


= +


= +


Vi
ế
t ph
ươ
ng trình tham s
ố
c

ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
) n
ằ
m trong m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) và c
ắ
t c
ả
hai
đườ
ng th
ẳ
ng
(d) và (d’). CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a chúng .
22.
Cho
đ

i
ể
m A(1,0,1), B(2,1,2) và m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q): x + 2y + 3z + 3 = 0. L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng
(P)
đ
i qua A, B và vuông góc v
ớ
i (Q).
23. A.2012. NC.
Cho
đườ
ng th
ẳ
ng d:
x 1 y z 2
2 1 1
+ −
= =

và m
ặ
t ph
ẳ
ng
(P): x y 2z 5 0
+ − + =
và đ
i
ể
m
A(1,-1,2). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
c
ắ
t d
và
(P) l
ầ
n l
ượ
t

tạ
i M
và
N sao cho A
là
trung
đ
i
ể
m
củ
a
đoạ
n th
ẳ
ng MN.

GV: Trn in Hong Ging viờn HCN.Tp HCM - c:435/18/6- Lờ Vn Th - Gũ Vp- T: 0942.667.889
Chuyờn dy LTH mụn TON Nhn HS u thỏng .

11
24.
Cho (P): x + 2y + 3z - 3 = 0, ng thng d:





=
=

=
0z
ty
1x
v

im M(8,7,4).
a. Chng minh (d) ct (P). Tính khang cách t M n (P).
b. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm M song song vi mt phng (P) v

cắt đ.thẳng d.
25.
Cho mặt phẳng (P): x - 4y - 2z = 0 v

2 đờng thẳng
1
:
2
1z
1
2y
3
1x
+
=

=


và

2
:
x 2 3t
y 2t
z 4 2t
=


=


=

.
a. Chng minh
1
chéo
2
.
b. Vit phng trình ng thng (d) nm trong mt phng (P) ct
1
v

vuông góc vi
2



26.
Cho điểm A(0,1,2) và hai đờng thẳng : d

1
:
1
1z
1
1y
2
x

+
=

=
d
2
:
x 1 t
y 1 2t
z 2 t
= +


=


= +


a. Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d
1

và d
2
.
b. Tìm toạ độ các điểm M d
1
, N d
2
sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng.
27.
Cho 2 đờng thẳng:
1
:
2
z
1
2y
1
1x
=
+
=


và
2
:

=
=
+=
2z
t1y
t1x

Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng
1
và song song với đờng thẳng
2
.
28.
Cho 3 điểm A(0,1,2), B(2,- 2,1), C(- 2,0,1)
a. Viết phơng trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C.
b. Tìm M thuộc (P): 2x + 2y + z - 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.
29.
Cho

i

m M(1,-1,1)
v
hai

ng th

ng
3

z
2
1y
1
x
:d
1

=

+
=
v
5
4z
2
1y
1
x
:d
2

=

=
.
Ch

ng
minh:

i

m M, (d
1
), (d
2
)
cự
ng n

m trờn m

t m

t ph

ng. Vi

t ph

ng
trỡ
nh m

t ph

ng
ú
.

30. B.2012.Nc.
Cho A(0,0,3), M(1,2,0). Vi

t ph

ng trỡnh m

t ph

ng (P) qua A
v
c

t
cỏ
c
tr
c Ox, Oy
l

n l

t
t
i B,C sao cho tam
giỏ
c ABC
cú tr
ng tõm thu

c

ng th

ng AM.

31.
Cho

i

m I(1,5,0) v hai

ng th

ng
1
x t
: y 4 t
z 1 2t
=


=


= +

;
2

x y 2 z
:
1 3 3

= =

.
a. Vi

t ph.trỡnh tham s

c

a

ng th

ng d

i qua

i

m I v c

t c

hai

ng th

ng
1

v
2


b. Vi

t ph

ng trỡnh m

t ph

ng(

) qua

i

m I, song song v

i
1

v
2

.
32.
Cho

i

m A(4,5,6). Vi

t ph

ng trỡnh m

t ph

ng (P) qua A; c

t cỏc tr

c t

a

l

n l

t t

i I; J; K
m A l tr

c tõm c

a tam giỏc IJK.
33.
Cho hai

i

m A(1,2,3) v B(3,4,1). Tỡm to





i

m M thu

c m

t ph

ng (P):
x y z 1 0
+ =

MAB l tam giỏc

u.
34. D.2012.NC
Cho

ng th

ng d:
x 1 y 1 z
2 1 1
+
= =

v hai

i

m A(1,-1,2) , B(2,-1,0).
Xỏ
c

nh
t
a


i

m M thu

c d sao cho tam
giỏ
c AMB vuụng
t
i M .
35.
Cho hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) lần lợt có phơng trình: (d
1
):



=++
=++
01zyx
0z2yx
(d
2
):





+=

=
+=
t2z
t5y
t22x

a. Chng hai đờng thẳng d
1
và d
2
chéo nhau.
b. Viết phơng trình mặt phẳng () chứa d
2
và song song với d
1
.

GV: Trn in Hong Ging viờn HCN.Tp HCM - c:435/18/6- Lờ Vn Th - Gũ Vp- T: 0942.667.889
Chuyờn dy LTH mụn TON Nhn HS u thỏng .

12
36.
Cho hai đờng thẳng: (D
1
):

=
=
=
tz
ty
t1x
và (D
2
):





=
=
=
'tz
't1y
't2x
(t, t' R)
a. Viết phơng trình các mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và lần lợt đi qua (D
1
) và (D
2
).
b. Viết phơng trình đờng thẳng (D) song song với trục Oz và cắt cả hai đờng thẳng (D
1
), (D
2

)

37.
Cho

i

m M(1,2,3). Vi

t ph

ng trỡnh m

t ph

ng (P)

i qua 3

i

m A, B, C v

i A l hỡnh chi

u
vuụng gúc c

a M lờn m

t ph

ng Oyz, B l hỡnh chi

u vuụng gúc c

a M lờn tr

c Ox, C l

i

m

i
x

ng c

a M qua g

c t

a

O.
38.
Cho hai đờng thẳng d
1
:

2
1z
1
2y
3
1x +
=

+
=


và d
2
:
x y z 2 0
x 3y 12 0
+ =


+ =


Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đờng thẳng d
1
, d
2
lần lợt tại các điểm A, B. Tính diện tích OAB
(O là gốc toạ độ).
39.

Cho ba

i

m A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3). Tỡm to



tr

c tõm c

a tam giỏc ABC.
40. B2011C
. Cho

ng th

ng
x 2 y 1 z
:
1 2 1
+
= =

v m

t ph

ng (P): x + y + z -3 = 0. G

i I l giao

i

m c

a

v (P). Tỡm t

a



i

m M thu

c (P) sao cho MI vuụng gúc

v MI =
4 14
.
41. B2011Nc
. Cho

ng th

ng

x 2 y 1 z 5
:
1 3 2
+ +
= =

v 2

i

m A(-2,1,1) , B(-3,-1,2). Tỡm t

a



i

m M thu

c

sao cho tam giỏc MAB cú di

n tớch b

ng
3 5
.
42. A2011Nc.

Cho hai

i

m A(2,0,1), B(0,-2,3) v m

t ph

ng (P): 2x y z + 4 = 0. Tỡm t

a



i

m M
thu

c (P) sao cho MA = MB = 3


Cỏc bi toỏn liờn quan hỡnh chiu

43.
Cho m

t ph

ng

( )

:
2x y z 5 0
=
v

i

m
A(2;3; 1)

.
a. Tỡm to





i

m H l hỡnh chi

u vuụng gúc c

a A lờn
( )

.
b. Tỡm to

i

m B

i x

ng v

i A qua m

t ph

ng
( )

.
44.
Cho

i

m M(2,1,0) v

ng th

ng d:
x 1 2t
y 1 t
z t
= +


= +


=

.
a. Tỡm t

a



i

m H l hỡnh chi

u vuụng gúc c

a M lờn

ng th

ng d.

b. Tỡm to





i

m M

i x

ng v

i M qua

ng th

ng d.
c. Vi

t ph

ng trỡnh tham s

c

a

ng th

ng

i qua

i

m M, c

t v vuụng gúc v

i

ng th

ng d.
45.
Cho 4

i

m : A(1,2,2) B(-1,2,-1) C(1,6,-1) D(-1,6,2). Tỡm t

a

hỡnh chi

u vuụng gúc c

a

i

m A
trờn m

t ph

ng (BCD)
46.
Cho đờng thẳng (d):
2
3z
2
1y
1
1x


=

=
+
và mặt phẳng (P): 2x - 2y + z - 3 = 0
C
h

ng minh d c

t (P), tỡm giao

i

m.
Viết phơng trình hình chiếu vuông góc (d') của đờng thẳng
(d) trên mặt phẳng (P).
47.
Cho đờng thẳng (d):
2
3z
2
1y
1
1x


=

=
+
và mặt phẳng (P):
2x + 2y + 3z - 3 = 0
C
h

ng minh d //(P).
Viết phơng trình hình chiếu vuông góc (d') của đờng thẳng (d) trên mặt
phẳng (P).
48.
Cho hai điểm A(0,0,4), B(2,0,0) và mặt phẳng (P): 2x + y - z + 5 = 0. Viết phơng trình hình chiếu

vuông góc của AB lên mặt phẳng (P).

49.
Cho đờng thẳng d:
4
z
1
3y
2
5x
=

+
=


và mặt phẳng (P): 2x - y + z - 3 = 0.
a. Xét vị trí tơng đối giữa (P) v

(d ).
b. Viết phơng trình d hình chiếu vuông góc của d lên (P).

GV: Trn in Hong Ging viờn HCN.Tp HCM - c:435/18/6- Lờ Vn Th - Gũ Vp- T: 0942.667.889
Chuyờn dy LTH mụn TON Nhn HS u thỏng .

13
50.
Cho 2

ng th

ng
1
x t
d : y 4 t
z 6 2t
=


= +


= +

v
2
x t '
d : y 3t' 6
z t' 1
=


=


=

. G

i K l hỡnh chi

u vuụng gúc c

a

i

m
I(1,1,1) trờn (d
2
). Tỡm ph

ng trỡnh tham s

c

a

ng th

ng

i qua K vuụng gúc v

i (d
1
) v c

t
(d

1
).

Cỏc bi toỏn liờn quan khong cỏch

51.
Cho ba

i

m A (6,-2,3); B (2,-1,3); C (4,0,-1).
a. Ch

ng minh r

ng: A, B, C l ba

nh c

a m

t tam giỏc. Tỡm

di

ng cao c

a tam giỏc ABC
k

t



nh A.
b. Tỡm m v n



i

m M (m + 2, 1, 2n + 3) th

ng hng v

i A v C.
52. A2005.
Cho

ng th

ng d:
x 1 y 3 z 3
1 2 1
+
= =


v m

t ph

ng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0.
a. Tỡm t

a



i

m I thu

c d sao cho kho

ng cỏch t

I

n (P) b

ng 2.
b. Tỡm t

a

giao

i

m A c

a d v (P). Vi

t ptts

ng th

ng

n

m trong (P),

i qua A v vuụng
gúc d.
53.
Tỡm trờn Ox

i

m A cỏch

u

ng th

ng (d):
x 1 y z 2
1 2 2

+
= =
v m

t ph

ng (P) : 2x y 2z = 0
54.
Vi

t ph

ng trỡnh m

t ph

ng (P) qua O, vuụng gúc v

i m

t ph

ng (Q):
x y z 0
+ + =
v cỏch

i

m

M(1,2,
1

) m

t kho

ng b

ng
2
.
55.
Cho m

t ph

ng (P): x 2y + 2z -1 = 0 v cỏc

ng th

ng
2
z
3
3y
2
1x
:d
1

=


=


2
x 5 y z 5
d :
6 4 5
+
= =

.
Tỡm cỏc

i

m
1 2
M d , N d

sao cho MN // (P) v cỏch (P) m

t kho

ng l 2.
56.
Cho m

t ph

ng (P):
x y z 1 0
+ + =
,

ng th

ng d:
3
1z
1
1y
1
2x


=


=

. G

i I l giao

i

m c

a d
v (P). Vi

t ph

ng trỡnh c

a

ng th

ng

n

m trong (P), vuụng gúc v

i d v cỏch I m

t
kho

ng b

ng
23
.
57.
Cho

ng th

ng (d):
x 2 4t
y 3 2t
z 3 t
= +


= +


= +

v m

t ph

ng (P):
x y 2z 5 0
+ + + =
. Vi

t ph

ng trỡnh

ng
th

ng (

) n

m trong (P), song song v

i (d) v cỏch (d) m

t kho

ng l
14
.
58. A2010C
. Cho

ng th

ng
x 1 y z 2
:
2 1 1
+
= =

v m

t ph

ng (P): x 2y + z = 0. G

i C l giao

i

m
c

a

v

i (P), M l

i

m thu

c

. Tớnh kho

ng cỏch t

M

n (P), bi

t MC =

6

59. A2009Nc
. Cho mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 1 = 0 v

2 đờng thẳng:

1
:
6
9z
1
y
1
1x +
==
+

và
2
:
2
1z
1
3y
2
1x

+
=

=

. Xác định ta im M thuc
1
sao cho khong
cách t M n ng thng
2
v

khong cách t M n (P) bng nhau.
60.
Cho din ABCD có A(1, 2, 1); B(-2, 1, 3); C(2, -1, 1), D(0, 1, 3). Vit phng trình mt phng (P) i
qua A v

B sao cho khong cách t C n (P) bng khong cách t D n (P) .
61.
Cho A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) với a, b, c > 0.
a. Tính khoảng cách từ O đến mp (ABC).
b. Tính thể tích khối đa diện OIBC trong đó I là chân đờng cao kẻ từ C của
ABC

.

GV: Trn in Hong Ging viờn HCN.Tp HCM - c:435/18/6- Lờ Vn Th - Gũ Vp- T: 0942.667.889
Chuyờn dy LTH mụn TON Nhn HS u thỏng .

14
62.
Cho

ng th

ng (D) cú ph

ng trỡnh
x 2 t
: y 2t
z 2 2t
= +


=


= +

.G

i

l

ng th

ng qua

i

m A(4,0,-1)

song song v

i (D) v I(-2,0,2) l hỡnh chi

u vuụng gúc c

a A trờn (D). Trong cỏc m

t ph

ng qua

, hóy vi

t ph

ng trỡnh c

a m

t ph

ng cú kho

ng cỏch

n (D) l l

n nh

t.
63.
Cho hai

ng th

ng chộo nhau :
1
x 1 t
d : y 2t
z 2 t
=


=


= +

v
1
1z
3
1y
1
x
:d
2

=

=
. L

p ph.trỡnh m

t ph

ng
song song v cỏch

u hai

ng th

ng d
1
v d
2
.
64.
Cho m

t ph

ng (P):
x 2y 2z 1 0
+ =
v cỏc

ng th

ng
1 2
x 1 y 3 z x 5 y z 5
d : ; d :
2 3 2 6 4 5
+
= = = =

. Tỡm cỏc

i

m
1 2
M d , N d

sao cho MN // (P) v
cỏch (P) m

t kho

ng b

ng 2.
65.
Cho mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 3 = 0 v

2 đờng thẳng:
1
:
1
z
2
1y
2
4x

=

=

và

2
:
2
7z
3
5y
2
3x


=
+
=

.
a. Chng t
1
// (P) v


2
ct

(P).
b. Tính khong cách gia hai ng thng
1
v


2
.
c. Vit phng trình ng thng (d) // (P) ct
1
v


2
ln lt ti M, N sao cho MN = 3.
66.
Cho m

t ph

ng (

): 3x + 2y z + 4 = 0 v hai

i

m A(4,0,0) , B(0,4,0) .G

i I l trung

i

m c

a

o

n th

ng AB. Xỏc

nh t

a



i

m K sao cho KI vuụng gúc v

i m

t ph

ng (

),

ng th

i K cỏch

u g

c t

a

O v (

).
67. A.2004.
Trong khụng gian Oxyz cho hỡnh chúp S.ABCD cú

ỏy ABCD l hỡnh thoi, AC c

t BD t

i

g

c t

a

O. Bi

t A(2,0,0), B(0,1,0) , S(0,0,
2
). G

i M l trung

i

m c

nh SC.
a. Tớnh gúc v kho

ng cỏch gi

a 2

ng th

ng SA, BM.
b. Gi

s

m

t ph

ng (ABM ) c

t SD t

i

i

m N. Tớnh th

tớch kh

i chúp S.ABMN.
68.
Cho hai im A (4,0,0), B (0,4,0) v

mt phng (P): 3x + 2y - z + 4 = 0. Gọi I là trung điểm AB.
a. Tìm tọa độ giao điểm của AB với (P).
b. Xác định tọa độ điểm K, biết KI

(P) và OK = d(K, (P)).
69.
Cho đờng thẳng d:
2

5z
1
1y
2
3x
=

=

,
mặt phẳng (P): x + y - z - 1 = 0 v

im A(2,1,-3).
a. Viết ph.trình đờng thẳng đi qua A song song vi mt phng (P) v

vuông góc vi đ.thẳng d
b. Tìm im M thuc (d) sao cho khong cách t M n (P) bng 3.
70. B2010C
.
Cho cỏc

i

m A(1,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) trong

ú b, c d

ng v mp(P): y z + 1 = 0. Xỏc

nh b v c, bi

t m

t ph

ng(ABC) vuụng gúc v

i (P) v kho

ng cỏch t

O

n m

t ph

ng(ABC)
b

ng 1/3 .
71. B2010Nc.
Cho

ng th

ng
x y 1 z
:
2 1 2

= =
. Xỏc

nh t

a



i

m M trờn tr

c honh sao cho
kho

ng cỏch t

M

n

b

ng OM.

Cỏc bi toỏn liờn quan gúc
72.
Cho đờng thẳng (d):

2
3z
2
1y
1
1x


=

=
+
và mặt phẳng (P): 2x - 2y + z - 3 = 0
Tìm toạ độ giao điểm A của đờng thẳng (d) với mặt phẳng (P). Tính góc giữa đờng thẳng (d) và
mặt phẳng (P).
73.
Cho hai

ng th

ng

1
:
x y z
1 2 1
= =

,

2
:
x 1 y 1 z 1
1 1 3
+
= =


a. Ch

ng minh hai

ng th

ng

1
v

2
chộo nhau.
b. Vi

t ph

ng trỡnh m

t ph

ng (P) ch

a

ng th

ng

2
v t

o v

i

g th

ng

1
m

t gúc 30
0
.

GV: Trn in Hong Ging viờn HCN.Tp HCM - c:435/18/6- Lờ Vn Th - Gũ Vp- T: 0942.667.889
Chuyờn dy LTH mụn TON Nhn HS u thỏng .

15
74.

Cho m

t ph

ng (P):
2x y 5z 1 0
+ + =
. L

p ph

ng trỡnh m

t ph

ng (Q) ch

a tr

c Oz v t

o v

i
m

t ph

ng (P) m

t gúc 60
0

75.
Cho đờng thẳng
x 1 y 4 z 1
d :
1 2 1
+
= =

và mặt phẳng
(P) :2x 4y z 4 0.
+ =
Tìm tọa độ điểm M
trên đờng thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến O bằng khoảng cách từ M đến giao điểm A của d
và (P). Viết phơng trình đờng thẳng

nằm trong mặt phẳng (P), đi qua A và tạo với d một góc
60
0
.
76. A2006.
Cho hỡnh l

p ph

ng ABCD.ABCD cú A(0,0,0) B(1,0,0), D(0,1,0), A(0,0,1). G

i M, N

l

n l

t l trung

i

m c

a AB v CD. Vi

t ph

ng trỡnh m

t ph

ng ch

a AC v t

o v

i m

t ph

ng
Oxy m

t gúc

, bi

t
1
cos
6
=

77.
Cho t

di

n ABCD bi

t A(0,0,2), B(-2,2,0), C(2,0,2),
DH (ABC)

v DH = 3 v

i H l tr

c tõm
tam giỏc ABC. Tớnh gúc gi

a (DAB) v (ABC).
78.

Cho cỏc

i

m
B( 1, 3,0), C(1, 3,0), M(0,0,a)

v

i a > 0. Trờn tr

c Oz l

y

i

m N sao cho m

t
ph

ng (NBC) vuụng gúc v

i m

t ph

ng (MBC).
a. Cho

a 3
=
. Tỡm gúc

gi

a m

t ph

ng (NBC) v m

t ph

ng (OBC).
b. Tỡm a

th

tớch c

a kh

i chúp BCMN nh

nh

t .

Cỏc bi toỏn v giỏ tr ln nht nh nht

79.
Cho đờng thẳng và :





=
=
+=
2z
t1y
t1x
v

điểm M( 2,1,4). Tìm toạ độ điểm H thuộc đờng thẳng
sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.
80.
Cho 2 đờng thẳng
1
:
1
3z
2
3y
1
1x
=
+

=


và
2
:





+=
+=
+=
t21z
t2y
t1x
. Xác định tọa độ các điểm A, B lần
lợt thuộc đờng thẳng
1 ,

2
sao cho đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất.
81.
Cho hai điểm A(1, 2,-1), B(7, -2, 3) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
(d) :
x 1 y 2 z 2
3 2 2
+
= =

a. Chứng minh rằng đờng thẳng (d) và đờng thẳng AB cùng nằm trong một mặt phẳng.
b. Tìm điểm I (d) sao cho AI + BI nhỏ nhất.
82.
Cho hai

ng th

ng: d
1
:
x 2 y z 1
4 6 8
+
= =

v d
2
:
x 7 y 2 z
6 9 12

= =

. Xột v

trớ t

ng

i c

a d
1
v
d
2
. Cho hai

i

m A(1,-1,2) v B(3,- 4,-2). Tỡm t

a



i

m I trờn

ng th

ng d
1
sao cho IA + IB

t giỏ tr

nh

nh

t.
83.
Cho tứ diện ABCD với A(2,3,2), B(6, -1, -2), C(-1,-4, 3), D(1, 6,-5). Tìm toạ độ điểm M thuộc
đờng thẳng CD sao cho ABM có chu vi nhỏ nhất.
84.
Cho hai im A (-1,3,-2), B (-3,7,-18) v

mt phng (P): 2x - y + z + 1 = 0
a. Vit phng trình mt phng cha AB v

vuông góc vi mp (P).
b. Tim ta im M (P) sao cho MA + MB nh nht.
85.
Cho hai điểm A(1,4,2 ), B(-1,2,4) và đờng thẳng :
2
z
1
2y
1
1x
=
+
=


.

Tìm toạ độ điểm M thuộc
đờng thẳng sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
86.
Cho M(1,2,3). L

p ph

ng trỡnh m

t ph

ng

i qua M c

t ba tia Ox t

i A, Oy t

i B, Oz t

i C sao cho
th

tớch t

di

n OABC nh

nh

t.
GV: Trn in Hong Ging viờn HCN.Tp HCM - c:435/18/6- Lờ Vn Th - Gũ Vp- T: 0942.667.889
Chuyờn dy LTH mụn TON Nhn HS u thỏng .

16
87.
Cho điểm A(1,2,-1) , B(7, -2,3) và đờng thẳng d
l giao tuy

n c

a 2 mp
: 2x + 3y - 4 = 0 ;
y + z - 4 = 0
1. Chứng minh rằng hai đờng thẳng d và AB ồng phẳng.
2. Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng d với mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
3. Trên d, tìm điểm I sao cho độ dài đờng gấp khúc IAB ngắn nhất.
88.
Cho hai

i

m A(1,- 2,3), B(2,- 1,2) v

ng th

ng:
x y 1 z 6
d :
1 2 3

= =


Tỡm t

a

c

a

i

m M trờn d sao cho di

n tớch tam giỏc MAB nh

nh

t.
89.
Cho

i

m A(2,5,3) v

ng th

ng
x 1 y z 2
d : .
2 1 2

= =
Vi

t ph

ng trỡnh m

t ph

ng
(
)

ch

a d
sao cho kho

ng cỏch t

A


n
(
)

l

n nh

t.
90.
Cho điểm A(10, 2,-1) và đờng thẳng d có phơng trình
3
1z
1
y
2
1x

==

. Lập phơng trình mặt
phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.

91.
Cho đờng thẳng (d)

l giao tuy

n c

a 2 m

t ph

ng (P): x + y z = 0. (Q): 2z y = 0
và 3 điểm
A(2,0,0), B(2,-1,0), C(1,0,1). Tìm trên đờng thẳng (d) điểm S sao cho: SA + SB + SC đạt giá trị nhỏ
nhất.

92.
Cho im A(-3,0,1); B(1,-1,3) v

mt phng
(P): x 2y 2z 5 0
+ =
. Trong các ng thng i qua A
v

song song vi (P). Vit phng trình ng thng m

khong cách t B n ng thng đó nh
nht.
93.
Cho m

t ph

ng (P) v

ng th

ng (d) l

n l

t cú ph

ng trỡnh: (P): 2x

y

2z

2 = 0;
(d):
x y 1 z 2
1 2 1
+
= =

. Vi

t ph

ng trỡnh m

t ph

ng (Q) ch

a

ng th

ng (d) v t

o v

i m

t
ph

ng (P) m

t gúc nh

nh

t.

Cỏc bi toỏn vit phng trỡnh mt cu:
94.
Viết phơng trình mặt cầu (S ) có tâm nằm trên ờng thẳng d:
x 1 t
y 2

z 1 t
=


=


= +

và tiếp xúc với hai mặt
phẳng (P): x + 2y- 2z - 2 = 0 ; (Q): x + 2y- 2z + 4 = 0
95.
Cho 3 điểm A(2,0,1) B(1,0,0) C(1,1,1) và mặt phẳng (P):
x + y + x - 2 = 0
. Viết phơng trình mặt
cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).
96.
Lập phơng trình mặt cầu tâm I (2; 3;-1) cắt đờng thẳng d:
5x 4y 3z 20 0
3x 4y z 8 0
+ + =


+ =

hai điểm A, B
sao cho AB = 16 .
97.
Cho tứ diện OABC có O là gốc tọa độ, A Ox, B Oy, C Oz và mặt phẳng (ABC) có phơng
trình:

6x + 3y + 2z - 6 = 0.
a. Tính thể tích khối tứ diện OABC.
b. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện OABC
98.
Cho các đờng thẳng:
1
x 1
(d ) : y 4 2t
z 3 t
=


= +


= +

và (d
2
):
x 3t '
y 3 2t '
z 2
=


= +


=

(t, t' R)
a. Chứng minh rằng (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b. Viết phơng trình mặt cầu (S) có đờng kính là đoạn vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
99.
Cho ba điểm A(1,1,0), B(0,2,0), C(0,0,2).
a. Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và vuông góc với BC. Tìm tọa độ giao điểm
của AC với (P).
b. Chứng minh tam giác ABC vuông. Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
100.
Cho hai điểm A(0,0,4), B(2,0,0) và mặt phẳng (P): 2x + y - z + 5 = 0. Lập phơng trình mặt cầu đi
qua O,A.B và tiếp xúc với (P).
GV: Trn in Hong Ging viờn HCN.Tp HCM - c:435/18/6- Lờ Vn Th - Gũ Vp- T: 0942.667.889
Chuyờn dy LTH mụn TON Nhn HS u thỏng .

17
101.
Cho bốn điểm A(3,3,0), B(3,0,3), C(0,3,3), D(3,3,3).
a. Lập phơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm A.B , C, D.
b. Tìm tọa độ tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
102.
Cho lăng trụ đứng OAB.O

1
A
1
B
1
với A(2,0,0), B(0,4,0), O
1
(0,0,4). Tìm tọa độ A
1
, B
1
và viết phơng
trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, A, B , O
1
.
103.
Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
với A(0, -3,0), B(4,0,0), C(0, 3,0) , B
1
(4, 0,4).
a. Tìm tọa độ A
1
, C
1
và viết phơng trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BC C

1
B
1
).
b. Gọi M là trung điểm của A
1
B
1
. Viết phơng trình mặt phẳng (P) đI qua hai điểm A, M và song
song với BC
1
. Mặt phẳng (P) cắt A C
1
tại N. Tính độ dài MN.
104.
Cho 3 điểm A(4,0,3), B(-1,-1, 3), C(3, 2,6), mặt phẳng (P): 2x + 3y - 3 z + 1 = 0 và đờng thẳng
d:
x 3 y z 5
2 9 1
+
= =
.
a. Viết phơng trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).
b. Viết phơng trình mp(Q) chứa đờng thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo một đờng tròn có bán kính
lớn nhất.

105.
Cho điểm I(1,1,1) và đg thẳng (D) có ph.trình:

=
=
=
t2z
ty
t1x

a. Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H của I lên đờng thẳng (D).
b. Viết phơng trình mặt cầu (C) có tâm tại I và cắt đ.thẳng (D) tại hai điểm A, B sao cho AB = 16.
106. A2010Nc
.
Cho

i

m A(0,0,-2) v

ng th

ng
x 2 y 2 z 3
:
2 3 2
+ +
= =
. Tớnh kho

ng cỏch t

A

n

. Vi

t ph

ng trỡnh m

t c

u tõm A, c

t

t

i 2

i

m B, C sao cho BC = 8.

107. B.2012
. C Cho

ng th

ng d:
x 1 y z
2 1 2

= =

v hai

i

m A(2,1,0), B(-2,3,2). Vi

t ph

ng trỡnh
m

t c

u (S)

i qua A, B
v cú
tõm thu

c

ng th

ng d.

108. A.2012.C.
Cho

ng th

ng d:
x 1 y z 2
1 2 1
+
= =
v

i

m I(0,0,3). Vi

t ph

ng trỡnh m

t c

u (S) cú
tõm I
v
c

t d
t
i 2

i

m A, B sao cho tam
giỏ
c IAB vuụng
t
i I.

109.
Cho hai mặt phẳng (P): x - y + z + 5 = 0 và (Q): 2x + y + 2z + 1 = 0. Viết phơng trình mặt cầu có
tâm thuộc mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại M(1,-1,-1).
110.
Cho hai

ng th

ng:
( )
2
5z
1
1y
3
4x
:d
1

+
=


=

v

2
x 2 t
(d ) : y 3 3t
z t
= +


= +


=


Vi

t ph

ng trỡnh m

t c

u cú bỏn kớnh nh

nh

t ti

p xỳc v

i c

hai

ng th

ng d
1
v d
2
.
111.
Cho ba

i

m A(2,0,0), C(0,4,0), S(0,0,4).Tỡm t

a

i

m B trong mp(Oxy) sao cho t

giỏc OABC
l hỡnh ch

nh

t. Vi

t ph

ng trỡnh m

t c

u

i qua b

n

i

m O, B, C, S.
112.
Cho hỡnh h

p ch

nh

t ABCD.ABCD cú A

O, B(3,0,0), D(0,2,0), A(0,0,1). Vi

t ph

ng trỡnh
m

t c

u tõm C ti

p xỳc v

i AB.
113.
Cho m

t ph

ng (P) cú ph

ng trỡnh:
x y 1 0
=
. L

p ph

ng trỡnh m

t c

u (S)

i qua ba

i

m
(
)
(
)
(
)
A 2,1, 1 , B 0,2, 2 , C 1,3,0

v ti

p xỳc v

i m

t ph

ng (P)
114.
Cho

ng th

ng d:
2
1z
1
1y
2
x +
=

=
v hai m

t ph

ng
( ) :x y 2z 5 0, ( ):2x y z 2 0
+ + = + + =
. L

p ph

ng trỡnh m

t c

u (S) cú tõm trờn d v ti

p
xỳc v

i hai m

t ph

ng

ó cho.
115.
Cho hai m

t ph

ng
(
)
(
)
P : x 2y 2z + 5 = 0; Q : x 2y 2z -13 = 0.
+ +
Vi

t ph

ng trỡnh c

a m

t
c

u (S)

i qua g

c t

a

O, qua

i

m A(5, 2, 1) v ti

p xỳc v

i c

hai m

t ph

ng (P) v (Q).
116. A2011Nc

. Cho m

t c

u (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 4x - 4y - 4z = 0 v

i

m A(4,4,0). Vi

t ph

ng trỡnh m

t
ph

ng (OAB), bi

t

i

m B thu

c (S) v tam giỏc OAB

u.

Cỏc bi toỏn v ng trũn giao tuyn ca mt cu v mt phng
GV: Trn in Hong Ging viờn HCN.Tp HCM - c:435/18/6- Lờ Vn Th - Gũ Vp- T: 0942.667.889
Chuyờn dy LTH mụn TON Nhn HS u thỏng .

18
117. A2009C
.
Cho m

t ph

ng (P): 2x 2y z 4 = 0 v m

t c

u (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x - 4y - 6z - 11 = 0.
Ch

ng minh (P) c

t (S) theo m

t

ng trũn. Xỏc

nh t

a

tõm v tớnh bỏn kớnh

ng trũn

ú.

118.
Cho m

t c

u
2 2 2
(S): (x 1) (y 2) (z 3) 64
+ + + + =
v m

t ph

ng
(P) : 2x y 2z 13 0
+ + =
c

t nhau
theo giao tuy

n l

ng trũn (C). Xỏc

nh tõm v bỏn kớnh c

a

ng trũn

ú.



119.
Cho ba điểm I(0,1,2), A(1,2,3), B(0,1,3).
a. Viết phơng trình mặt cầu (S) tâm I qua điểm A. Viết phơng trình của mặt phẳng (P) qua điểm
B
có vectơ pháp tuyến
n
= (1,1,1)
b. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đờng tròn (C).

c. Tìm tâm và bán kính của (C).
120.
Cho mặt cầu
(S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 4x + 6y + 6z + 17 = 0
và mặt phẳng
(P): x - 2y + 2z +1 = 0 .

a. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đờng tròn (C), tìm tâm và bán kính của
đờng tròn .
b. Lập phơng trình mặt cầu chứa đờng tròn (C) và có tâm thuộc mặt phẳng x + y + z + 3 = 0
121.
Cho 4

i

m A(1,1,2), B(1,3,2), C( 4,3,2), D(4,1,2) v m

t ph

ng (P) cú ph

ng
trỡnh:
x y z 2 0

+ + =
. G

i A l hỡnh chi

u c

a A lờn m

t ph

ng Oxy. G

i (S) l m

t c

u

i qua 4

i

m A

, B, C, D. Xỏc

nh to

tõm v bỏn kớnh c

a

ng trũn (C) l giao c

a (P) v (S).

122.
Cho mặt cầu
2 2 2
(S):x y z 2x 4y 2z 3 0
+ + + + =
và mặt phẳng
(P) :2x y 2z 14 0
+ =

a. Viết phơng trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một ờng tròn có bán kính bằng 3.
b. Tìm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M ến mp(P) là lớn nhất.
123.
Cho m

t ph

ng (P) v

ng th

ng (d) l

n l

t cú ph

ng trỡnh: (P): 2x

y

2z

2 = 0;
(d):
x y 1 z 2
1 2 1
+
= =

. Vi

t ph

ng trỡnh m

t c

u cú tõm thu

c

ng th

ng (d), cỏch m

t ph

ng
(P) m

t kho

ng b

ng 2 v c

t m

t ph

ng (P) theo giao tuy

n l

ng trũn cú bỏn kớnh b

ng 3.
124.
Cho m

t c

u (S) cú ph

ng trỡnh
2 2 2
x y z 2x 4y 6z 11 0
+ + + =
v m

t ph

ng (

) cú ph

ng
trỡnh 2x + 2y z + 17 = 0. Vi

t ph

ng trỡnh m

t ph

ng (

) song song v

i (

) v c

t (S) theo giao
tuy

n l

ng trũn cú chu vi b

ng 6

.
125.
Cho m

t c

u (S):
( ) ( )
2 2
2
x 1 y z 2 9
+ + + =
. L

p ph

ng trỡnh m

t ph

ng (P) vuụng gúc v

i

ng th

ng d :
x y 1 z
1 2 2

= =

v c

t m

t c

u (S) theo

ng trũn cú bỏn kớnh b

ng 2 .
126. D.2012.C
Cho m

t ph

ng (P): 2x y - 2z + 10 = 0 v

i

m I(2,1,3). Vi

t ph

ng trỡnh m

t c

u tõm I
v c

t (P) theo m

t

ng trũn cú bỏn kớnh b

ng 4.

127.
Cho ba đờng thẳng d
1
:

x t
y 2 t
z 6 2t

=


= +


= +

,
2
x 4 y 2 z 1
d :
1 2 1

= =
,
3
x 5 y 1 z 2
d :
2 1 1
+ +
= =

và mặt cầu
(S): x
2
+ y
2
+ z
2

+ 2x - 2y + 2z -1 = 0
.
a. Chứng tỏ d
1
chéo d
2
. Viết phơng trình ờng thẳng (D) cắt d
1
, d
2
và song song với d
3
.
b. Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa d
1
sao cho giao tuyến của (P) và (S) là ờng tròn có bán
kính bằng 1.

128.
Hóy xỏc

nh to



tõm v bỏn kớnh

ng trũn ngo

i ti

p tam giỏc ABC, bi

t A(-1, 0, 1),
B(1, 2,-1), C(-1, 2, 3).

Cỏc bi toỏn v tip din, tip tuyn ca mt cu
129.
Cho mặt phẳng (P): 2x + 2y + z - m
2
- 3m = 0 (m là tham số) và mặt cầu (S):
(
)
(
)
(
)
2 2 2
x 1 y 1 z 1 9
+ + + =
. Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với m tìm đợc,
hãy xác định toạ độ tiếp điểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S).
130.
Cho A(1, 1, 1), B(1, 2, 0) và mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 6x - 4y - 4z + 13 = 0. Viết phơng trình mặt

phẳng chứa đờng thẳng AB và tiếp xúc với (S).
GV: Trn in Hong Ging viờn HCN.Tp HCM - c:435/18/6- Lờ Vn Th - Gũ Vp- T: 0942.667.889
Chuyờn dy LTH mụn TON Nhn HS u thỏng .

19
131.
Cho mặt cầu
2 2 2
(S): x y z 2x 2y 9 0
+ + + =
và hai đờng thẳng: (d
1
):
x y 1 z 1
1 1 2
+
= =
và
(d
2
):
x 1 y z
1 2 1
+
= =
.
a. Lập phơng trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) song song với hai đờng thẳng(d
1
) và (d
2

).
b. Viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng d đi qua tâm mặt cầu (S) và cắt (d
1
) và (d
2
).
132.
Cho cac im A(2,0,0); M(0,- 3,6)
a. Chng minh rng mt phng (P): x + 2y - 9 = 0 tip xúc vi mt cu tâm M, bán kính MO. Tìm
ta độ tip im.
b. Vit phng trình mp(Q) cha A, M v

ct các trc Oy, Oz ti các im tng ng B, C sao cho
V
OABC
= 3.
133.
Cho m

t ph

ng (P): x + y - 2z + 4 = 0 v m

t c

u (S):
2 2 2
x y z 2x 4y 2z 3 0
+ + + + =
. Vi

t
ph

ng trỡnh tham s



ng th

ng (d) ti

p xỳc v

i (S) t

i A(3;-1;1) v song song v

i m

t ph

ng
(P).
134.
Cho m

t c

u

2 2 2
(S): x y z 2x 6y 4z 2 0
+ + + =
. Vi

t ph

ng trỡnh m

t ph

ng (P) song song
v

i giỏ c

a vộc t

)2,6,1(v = , vuụng gúc v

i mp
( ): x 4y z 11 0
+ + =
v ti

p xỳc v

i (S).
135.
Cho đờng thẳng d:

x 1 t
y t
z t
=


=


=

và mặt cầu
(S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4x - 6y + m = 0
. Tìm m để đờng
thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 9.