Phương pháp liên hợp trong giải toán

Sử dụng phép nhân liên hợp giải phương trình,
hệ phương trình
Trần Trung Hiếu
Đại Học Bách Khoa Hà Nội
Nhắc đến phương trình, hệ phương trình chứa căn thức trong đầu các bạn nghĩ tới phép
biến đổi nào? Chắc hẳn câu trả lời đầu tiên là bình phương, tuy nhiên phương pháp đơn
giản đó chỉ phù hợp với lớp các bài toán cơ bản. Bài viết này sẽ cung cấp cho chúng ta
một kĩ thuật hay và hiệu quả mang tên Nhân liên hợp (đôi khi còn được gọi vui là trục
căn thức ở tử)
1. Cơ sở lý thuyết và hướng phân tích chung.
1.1 Cơ sở lý thuyết
Muốn giải phương trình
( ) 0f x
=
ta thường đưa về dạng tích
( ). ( ) 0x a g x
− =
. Để
thực hiện điều này trong bài toán hữu tỉ rất đơn giản, nhưng trong căn thức lại gặp đôi
chút khó khăn. Chúng ta cùng quay lại với những hằng đẳng thức đã học ở bậc THCS:
2 2
2 2
( )( )
a b
a b a b a b a b
a b
−
− = + − ⇒ − =
+
.
Áp dụng với căn thức có:

x y
x y
x y
−
− =
+
Tương tự có:
3
3
3 2 2
3
3
x y
x y
x xy y
−
− =
+ +
Với ý tưởng này việc tạo ra nhân tử
( )x a
−
đã được giải quyết.
1.2 Hướng phân tích
Để sử dụng phương pháp, ta phải tìm được nghiệm
a
và chứng minh
( ) 0g x
≠
• Sử dụng máy tính bỏ túi để tìm
a

được giới thiệu ở phụ lục
• Việc chứng minh
( ) 0g x
≠
ta thường sử dụng phép đánh giá
Mở rộng hơn nữa với các bài toán có 2 nghiệm, các bài toán có nhân tử phức sẽ được
hướng dẫn cụ thể ở phần II
2. Môt số ví dụ cơ bản
VD1. Giải phương trình:
2
( 6 12) 2 10x x x x
− + + + =
(1)
Hướng dẫn: Sử dụng máy tính ta được nghiệm
2x
=
. Khi đó
2 2x
+ =
và chúng ta tạo
ra nhân tử
2x
−
như sau
4
2 2
2 2
x
x
x

−
+ − =
+ +
.
Bài giải:
Điều kiện:
2x
≥ −
trunghieumath.blogspot.com
-1-
3 2 2
1
(1) 6 12 8 2 2 0 ( 2) ( 2) 0 2( )
2 2
x x x x x x x tm
x
 
⇔ − + − + + − = ⇔ − − + = ⇔ =
 
+ +
 
Vậy phương trình có nghiệm
2x
=

Nhận xét: Biểu thức cần liên hợp của chúng ta sẽ là
( ) ( ) ( ). ( )P x P a x a Q x
− = −
VD2. Giải phương trình
2

7 48 7 7 3 21 0x x x
+ + + − =
(2)
Hướng dẫn: Sử dụng máy tính ta được nghiệm
0,1428571429x
=
. Đây là số vô tỷ hay
hữu tỉ? Chúng ta có thể nhập chuỗi tuần hoàn sau vào máy tính 0,142857142857 sẽ thu
được kết quả
1
7
x
=
.
Bài giải:
Điều kiện
3
7
x
−
≥
( )
2
7
(2) 7 48 7 7 7 3 2 0 (7 1) 7 0
7 3 2
1
( )
7

7 3
7 0 loai do
7
7 3 2
x x x x x
x
x tm
x x
x
 
⇔ + − + + − = ⇔ − + + =
 
+ +
 

=


⇔
−
 

+ + = ≥
 

+ +
 

Vậy phương trình có nghiệm
1

7
x
=
.
VD3. Giải phương trình:
2 2
1 ( 2) 2 2x x x x x
+ − = + − +
(3)
Hướng dẫn: Sử dụng máy tính được các nghiệm
1
3,828427125x
=
và
2
1,828427125x
= −
(việc bấm máy tính sẽ cho kết quả ngẫu nhiên nên có thể ta phải thử
vài lần để có 2 nghiệm trên). Tiếp tục tính
1 2
. 7x x
= −
và
1 2
2x x
+ =
. Sử dụng định lý Viet
thì chúng ta thấy nhân tử ở đây không còn đơn giản như
x a
−

mà sẽ là
2
2 7x x
− −
.
Ta sẽ tạo ra
2
2 7x x
− −
ở vế trái, vế phải sau khi nhân liên hợp chắc chắn sẽ tiếp tục xuất
hiện nhân tử này.
Bài giải:
Điều kiện:
x
∈
¡
(
)
( )
2 2 2
2
2
2
2
2
(3) 2 7 ( 2) 2 2 3 ( 2 7) 1 0
2 2 3
2 7 0
1 2 2
2

1 0
1 2 3 *
2 2 3
x
x x x x x x x
x x
x x
x
x
x x x
x x
 
+
⇔ − − = + − + − ⇔ − − − =
 
− + +
 

− − =

= ±


⇔ ⇔
+

− =

− = − +



− + +

Giải (*):
2
2 2
1
1
1 2 3
1 3( ô ý)
( 1) 2 3
x
x
x x x
v l
x x x
≥
≥


− = − + ⇔ ⇔
 
=
− = − +


trunghieumath.blogspot.com
-2-
Vậy phương trình có nghiệm
1 2 2x

= ±

Nhận xét: Cách giải trên có vẻ phụ thuộc vào công nghệ nhiều, sau đây chúng ta cùng
đi tìm một lời giải tự nhiên cho nó. Nhân tử được ước lượng ở đây bậc 2 nên biểu thức
đem nhân liên hợp có dạng bậc nhất
mx n
+
.
Do
2x
= −
không phải nghiệm của phương trình nên phương trình có thể viết thành:
2 2
2 2
2 2 2 2
2
1 1
2 2 ( ) 2 2 ( )
2 2
(1 ) 2(1 ) 2 (1 ) (1 2 ) 1 2
2
2 2
x x x x
x x mx n x x mx n
x x
m x mn x n m x m n x m
x
x x mx n
+ − + −
= − + ⇔ − + = − + − +

+ +
− − + + − − + − − − −
⇔ =
+
− + + +
Nhân tử chung sẽ xuất hiện khi hệ số của 2 tam thức lần lượt tỷ lệ với nhau, hay:
2 2
1 2(1 ) 2
1 2 1 2 1
m mn n
m m n n
− + −
= =
− + − +
Ta chỉ cần chọn 1 bộ số thỏa mãn hệ. Để dễ dàng, chọn
0, 2m n
= =
.
VD4. Giải phương trình
3 2
2 3 6 3 9 0x x x x
− − − − + =
Hướng dẫn:
Điệu kiện:
1
2
x
≥
( )
( )

3 2 2
2
6
2 3 6 6 3 3 0 ( 2) 3 0
6 3 3
2
6
3 0 *
6 3 3
x x x x x x
x
x
x
x
 
− − + − − − = ⇔ − − − =
 
− +
 
=


⇔

− − =

− +

Khác với những bài toán trước (*) ở đây không vô nghiệm mà có nghiệm
2x

=
. Chúng
ta có 2 con đường để chọn:
1. Giải (*)
2. Quay lại liên hợp để tạo ra
2
( 2)x
−
Hướng 1.1: Tiếp tục nhân liên hợp
2 2
2
6 6 3 3 6
(*) 4 1 4 ( 2) 2 2
6 3 3 6 3 3 ( 6 3 3)
x
x x x x x
x x x
 
− −
⇔ − − + = − + = − + + ⇔ =
 
− + − + − +
 
Hướng 1.2: Đánh giá
2
(*) ( 3)( 6 3 3) 6x x
⇔ − − + =
.Ta thấy nếu
2x
>

thì vế trái lớn hơn 6. Nếu
1
2
2
x
> ≥
thì
vế trái nhỏ hơn 6. Vậy
2x
=
.
Hướng 2: Ta sẽ tạo ra
2
( 2)x
−
bằng việc chia đa thức
3 2
2 3 9x x x
− − +
cho
2
4 4x x
− +

trước, phần còn lại vừa đủ để liên hợp.
( )
2 2
1
( 4 4)( 2) 1 6 3 ( 2) 2 0 2
1 6 3

x x x x x x x x
x x
 
− + + + + − − ⇔ − + + = ⇔ =
 
+ + −
 
trunghieumath.blogspot.com
-3-

Bài tập vận dụng: Giải phương trình

2
1 1 2 2x x x x
− + + − − = +
2 2
( 1) 2 3 1x x x x
+ − + = +
2
3 1 6 3 14 8 0x x x x
+ − − + − − =
1 4 9 16 100x x x x x
+ + + + + + + = +
3 3
2 1 1x x
+ + =
Qua 4 bài toán trên chúng ta đã phần nào dạo quanh 1 vòng những điểm nhấn trong
xử lý nghiệm. Các ví dụ tiếp theo sẽ tập trung vào việc làm thế nào chứng minh
( ) 0g x
≠

VD5. Giải phương trình:
2
3
2 11 21 4 4x x x
− + = −
(5)
Hướng dẫn:
Điều kiện
x
∈
¡
( )
2
3
2
3
3
2
3
3
12
(5) 2 11 19 4 4 2 ( 3) 2 5 0
(4 4) 4 4 2
3
12
2 5 0 *
(4 4) 4 4 2
x x x x x
x x
x

x
x x
 
 
⇔ − + = − − ⇔ − − − =
 
− + − +
 
=


⇔

− − =

− + − +

Phương trình (*) rất khó giải theo cách thông thường nên cách mà ta vẫn thường hay nghĩ
đến ở đây là đánh giá. Đặt
3
4 4t x
= −
;
Nếu
3x
>
thì
2
12
2 5 1

2
x
t t
− > >
+ +
Nếu
3x
<
thì
2
12
2 5 1
2
x
t t
− < <
+ +
Nhận xét: Ở bài toán này ta dễ dàng nhận ra khi
x
tăng thì
2 5x
−
tăng và
2
12
2t t
+ +

giảm. Do đó cách đánh giá nghiệm như trên rất hiệu quả.
VD6. Giải phương trình

2
2 4 2 5 1x x x x
− + − = − −
(8)
Hướng dẫn:
Điều kiện
2 4x
≤ ≤
( )
2
3 3
(6) 2 1 4 1 2 5 3 ( 3)(2 1)
2 1 4 1
3
1 1
2 1 *
2 1 4 1
x x
x x x x x x
x x
x
x
x x
− −
⇔ − − + − − = − − ⇔ − = − +
− + − +
=


⇔


− = +

− + − +

Việc đánh giá (*) giống VD5 không thực hiện được trong bài toán này. Tuy nhiên dựa
vào khoảng kẹp hữu ích của điều kiện ta có thể đánh giá như sau:
2 1 5x
+ ≥
trunghieumath.blogspot.com
-4-
1
1
2 1x
≤
− +
,
1 1
4 1 2 1x
≥ ⇒
− + +
1 1
2 2
2 1 4 1x x
− ≤ −
− + − +
VD7.
3
24 12 6x x
+ + − =

(7)
Hướng dẫn:
Điều kiện
12x
≤
3
2
3
3
2
3
3
1 1
(7) 24 3 12 3 0 ( 3) 0
12 3
( 24) 3 24 9
3
12 ( 24) 3 24 6(*)
x x x
x
x x
x
x x x
 
 
⇔ + − + − − = ⇔ − − =
 
− +
+ + + +
 

=

⇔

− − + − + =


Sử dụng máy tính ta thấy (*) có tận 2 nghiệm là -24 và 88 nên buộc phải tìm các giải
phương trình này. Có một điều thú vị được xếp sẵn ở đây là
3
24 12 6x x
+ + − =
. Thế
vào (*) ta được
2
3
3
( 24) 4 24 0x x
+ + + =

Bài tập vận dụng: Giải phương trình
2 2
12 5 3 5x x x
+ + = + +
2 33
1 2x x x
− + = −
2 2 23
15 3 8 2x x x
+ = + + −

3
3 3x x
+ + =
3. Mở rộng
Như đã nói ngay ở lời mở đầu, liên hợp là một kỹ thuật biến đổi. Do đó sự biến hóa
khi sử dụng nó không bị giới hạn ở chỉ một hướng tư duy như phần đầu chúng ta đề cập.
Sau đây là một số góc nhìn dựa trên kinh nghiệm giải toán của mình
3.1. Yếu tố có sẵn.
Các bài toán:
•
( ) ( )
1 1 1 2 5x x x x
+ + + + − =
(1)
•
( )
(
)
2
2004 1 1x x x
= + − −
(2)
•
( )
2
2
4
1 1
x
x

x
− =
+ +
(3)
Phảng phất ở
1 1x
+ +
và
1 1 x
− −
chúng ta nhận ra phép nhân liên hợp quen thuộc.
Và đây cũng chính là hướng biến đổi gỡ rối cho các bài toán nêu trên. Tổng quát lên t có
thể nghĩ tới kỹ thuật này khi có dạng
( )a P x
−
trong đó
2
( )a P x
−
đẹp.
Lời giải phương trình (3)
Điều kiện
1x
≥ −
trunghieumath.blogspot.com
-5-
( )
( ) ( )
( )
2

2
2
2
1 1
(3) 4
1 1 1 1
4 1 1 2 2 1
1 3 8( )
x x
x
x x
x x x x
x x tm
+ −
⇔ − =
 
+ + + −
 
⇔ − = + + = + − +
⇔ + = ⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm
8x
=

Chú ý: Lời giải trên được lấy y nguyên trong sách ra nhưng tôi thấy còn có điều chưa
hợp lý. Bước nhân liên hợp mặc nhiên ta nhân cả tử vào mẫu với lượng
( )
2
1 1x
+ −

mà
chưa hề biết nó đã khác 0 chưa. Chặt chẽ hơn cho lời giải, ta cần có lời dẫn: “Nhận thấy
0x
=
không phải là nghiệm của phương trình nên …”
3.2. Ghép hạng tử
Mục 2 ta luôn phải cố gắng tìm ra biểu thức đem liên hợp, tuy nhiên một số bài toán thì
những biểu thức đó có sẵn, chỉ là chúng ta phối hợp sao cho hiệu quả
Các bài toán:
•
( )
2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x
− + − − = − − − − +
(1)
•
2 2
2 9 2 1 4x x x x x
+ + + − + = +
(2)
•
19.7 2013 1994
19.7 2013 1994
x y
y x

+ + − =


+ + − =



(3)
Ta rất dễ dàng thấy điểm đặc biệt của 3 bài toán trên. Khi đem trừ các hạng tử cho nhau
sẽ có nhân tử chung.
Hướng dẫn giải (1):
Ta nhận thấy :
( ) ( )
( )
2 2
3 5 1 3 3 3 2 2x x x x x
− + − − − = − −
và
( ) ( )
( )
2 2
2 3 4 3 2x x x x
− − − + = −
Ta có thể trục căn thức 2 vế :
( )
2 2
2 2
2 4 3 6
2 3 4
3 5 1 3 1
x x
x x x
x x x x
− + −
=

− + − +
− + + − +
Hướng dẫn giải (2):
Ta thấy :
( ) ( )
( )
2 2
2 9 2 1 2 4x x x x x
+ + − − + = +
4x
= −
không phải là nghiệm. Xét
4x
≠ −
Trục căn thức ta có :
2 2
2 2
2 8
4 2 9 2 1 2
2 9 2 1
x
x x x x x
x x x x
+
= + ⇒ + + − − + =
+ + − − +
trunghieumath.blogspot.com
-6-
Vậy ta có hệ:
2 2

2
2 2
0
2 9 2 1 2
2 2 9 6
8
2 9 2 1 4
7
x
x x x x
x x x
x
x x x x x
=


+ + − − + =


⇒ + + = + ⇔


=
+ + + − + = +



Hướng dẫn giải (3): Trừ vế với vế ta thu được nhân tử
x y
−

4. Tổng kết và phụ lục
4.1 Tông kết
Thông qua hệ thống các ví dụ tương đối phong phú, chúng ta đã cùng nhau vạch lên
bức màn để tìm đến sự hấp dẫn và thú vị trong từng phép biến đổi sử dụng nhân liên
hợp. Khi nghĩ đến căn thức, ngoài bình phương thì bên cạnh đó cũng cần tuy duy
nhanh tới liên hợp. Hi vọng bài viết sẽ đem lại cho các bạn những kiến thức bổ ích.
4.2 Phụ lục
/>%C6%B0%C6%A1ng-trinh-b%E1%BA%ADc-4-b%E1%BA%B1ng-may-tinh/
Những ý kiến đóng góp, lỗi sai mà bạn phát hiện ra xin gửi về hòm thư
hoặc sms qua sđt 0977859806.
trunghieumath.blogspot.com
-7-