PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC

Trao ®æi vÒ
:
:
Ph ¬ng ph¸p to¹ ®é
Ph ¬ng ph¸p to¹ ®é
trong gi¶i to¸n h×nh häc
trong gi¶i to¸n h×nh häc
Ng êi so¹n :

B ớc I: Chọn hệ trục toạ độ gắn với bài toán
Tín hiệu để chọn hệ trục là trong bài toán có chứa các
đ ờng thẳng vuông góc nhau , ta sẽ chọn các trục chứa các đ ờng
thẳng vuông góc đó
B ớc II: Phiên dịch bài toán hình học sang ngôn
ngữ toạ độ
B ớc III: Dùng ngôn ngữ vecter, toạ độ để giải bài
toán
B ớc IV: Phiên dịch bài toán trở lại ngôn ngữ
hình học ban đầu
Các b ớc giải bài toán bằng Ph ơng pháp
toạ độ

Một số cách chọn hệ trục trong không
gian
I, đối với hình hộp chữ nhật hình lập ph ơng:

Chọn gốc là 1 trong 8 đỉnh

Ba cạnh phát xuất từ một
đỉnh nằm trên 3 trục

x
y
z
A
B
C
D
A
B
C
D

II, Chóp tam giác có góc tam diện đỉnh vuông
x
y
z
S
A
B
C

Chọn gốc của hệ
trục trùng với đỉnh
của góc tam diện
vuông

Ba trục chứa ba
cạnh phát xuất từ
đỉnh góc tam diện
vuông đó

O
x
y
z
C
B
A
D
Iii, Tứ diện đều
Cách I:


Dựng hình lập ph ơng
ngoại tiếp tứ diện đều

Chọn hệ trục có gốc
trùng với 1 đỉnh của hình
lập ph ơng

Ba cạnh phát xuất từ
đỉnh đó nằm trên 3 trục
D3
D2
D1

Iii, Tứ diện đều
o
A
B

C
D
x
y
z
G
Cách II:

Hai trục lần l ợt chứa đ ờng cao và một cạnh t ơng ứng của mặt
BCD

Trục còn lại vuông góc với mặt BCD ( cùng ph ơng với đ ờng
cao AG).
Chú ý : Chóp tam
giác đều cũng chọn
nh cách 2 này

x
y
z
O
A
B
C
D
S
iV, Chóp tứ giác có đáy là hình thoi , các cạnh
bên bằng nhau

Trục Oz chứa đ ờng cao SO của

hình chóp

Hai trục Ox , Oy lần l ợt chứa
hai đ ờng chéo đáy
Chú ý : Hình chóp tứ giác
đều ( đáy là hình vuông
và các cạnh bên bằng
nhau ) cũng chọn nh vậy.

V, Chóp tứ giác có đáy là hình chữ nhật , các
cạnh bên bằng nhau

Chọn hai trục chứa hai
cạnh hình vuông đáy

Trục thứ ba vuông góc
đáy ( cùng ph ơng với đ
ờng cao SO của hình
chóp - trục Az này nằm
trong mặt chéo SAC)
x
y
z
S
Z
O
A
B
C
D

S

A
B
C
A
C
B
z
x
y
O
Vi, Lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân

Chọn hai trục lần l ợt
là cạnh đáy và chiều
cao t ơng ứng của tam
giác cân là đáy của
chóp

Trục còn lại chứa đ
ờng trung bình của
mặt bên
Chú ý : Lăng
trụ tam giác
đều cũng chọn
nh vậy.

x
y

z
A
B
C
D
A
B
D
C
o
O
VII, lĂNG TRụ Đứng có đáy là hình thoi :

Chọn trục cao nằm trên đ
ờng thẳng nối tâm hai đáy

Hai trục kia chứa hai đ ờng
chéo đáy
Chú ý : Lăng trụ tứ
giác đều cũng chọn
nh vậy ( lăng trụ tứ
giác đều là lăng trụ
đứng có đáy là hình
vuông)

A
B
C
A
C

B
z
x
y
Viii, lĂNG TRụ Đứng có đáy là tam giác vuông :
Chọn đỉnh tam giác
vuông đáy làm gốc . Ba
trục chứa ba cạnh phát
xuất từ đỉnh này

Bài 1:(Đại học khối B năm 2002)
Cho hình lập ph ơng ABCD. cạnh a.
a, Tính theo a khoảng cách giữa hai đ ờng thẳng và
b, Gọi M , N , P lần l ợt là trung điểm của các cạnh , CD , .
Tính góc giữa hai đ ờng thẳng MP và
1 1 1 1
A B C D
1
A B
1
B D
1
BB
1 1
A D
1
C N
Các bài toán minh
hoạ
Lời giải z

A1
C1
D1
A
B
C
D
B1
x
y
a
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz nh hình
vẽ : A1 trùng với O , Ox chứa cạnh
A1B1 , Oy chứa cạnh A1D1 , Oz chứa
cạnh A1A
Trong hệ trục đã chọn ta có :
A1(0 ; 0 ; 0) , B1(a ; 0 ; 0) ,
C1(a ; a ; 0) , D1( 0 ; a ; 0 ) ,
A(0 ; 0 ; a) , B(a ; 0 ; a) , C(a ; a ; a) ,
D (0 ; a ; a)

z
C1
D1
B
C
D
y
a
a, TÝnh theo a kho¶ng c¸ch gi÷a hai ® êng

th¼ng A1B vµ B1D
§t A1B qua A1(0 ; 0 ; 0) vµ cã
VTCP
1 1
1
(1;0;1)u A B
a
= =
uuur
r
§t B1D qua B1(a ; 0 ; 0) vµ cã
VTCP
2 1
1
( 1;1;1)u B D
a
= = −
uuuur
r
A1B vµ B1D lµ hai c¹nh ®èi cña tø
diÖn A1D1B1B nªn chÐo nhau , do
®ã:
[ ]
[ ]
uuuuur
r r
r r
1 1 1 2
1 1
1 2

A B . u ,u
d(A B ; B D) =
u ,u
Cã ,
uuuuur
1 1
A B = (a ;0;0)
[ ]
r r
1 2
u ,u = (-1;-2; 1)
1 1
a(-1) + 0.(-2) + 0.(-1)
a
d(A B;B D) = =
1 + 4 + 1 6
A1(0 ; 0 ; 0) ,
B1(a ; 0 ; 0) ,
C1(a ; a ; 0) ,
D1( 0 ; a ; 0 ) ,
A(0 ; 0 ; a) ,
B(a ; 0 ; a) ,
C(a ; a ; a) ,
D (0 ; a ; a)
z
A1
C1
D1
A
B

C
D
B1
x
y
a

b, Gäi M , N , P lÇn l ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh
BB1 , CD , A1D1 . TÝnh gãc gi÷a hai ® êng th¼ng MP
vµ C1N
z
A1
C1
D1
A
B
C
D
B1
x
y
a
A1(0 ; 0 ; 0) ,
B1(a ; 0 ; 0) ,
C1(a ; a ; 0) ,
D1( 0 ; a ; 0 ) ,
A(0 ; 0 ; a) ,
B(a ; 0 ; a) ,
C(a ; a ; a) ,
D (0 ; a ; a)

M
N
P
Ta cã
M(a ; 0 ; ) ,
2
a
N( ; a ; a ) ,
2
a
P( 0; ; 0 ) ,
2
a
§t MP cã VTCP
3
2
( 2;1; 1)u MP
a
= = − −
uuur
r
§t C1N cã VTCP
4 1
2
( 1;0;2)u C N
a
= = −
uuuur
r
Gäi lµ gãc gi÷a MP vµ C1N , ta cã

ϕ
3 4
3 4
1
. ( 2).( 1) 1.0 1.2
0 90
4 1 1 1 0 4
u u
cos
u u
hay C N MP
ϕ ϕ
− − + −
= = = ⇒ =
+ + + +
⊥
o
r r
r r

o
A
S
B
C
x
y
z
G
s

z
a
Bài 2:(Đại học khối A- năm 2002)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S , cạnh đáy bằng a.
Gọi M , N lần l ợt là trung điểm các cạnh SB , SC . Tính diện tích
tam giác AMN biết mp(AMN) vuông góc với mp(SBC).
Do S.ABC là chóp tam giác đều
nên đáy ABC là tam giác đều cạnh
a . Gọi O là trung điểm cạnh AC ,
ta có BO vuông góc với AC.
Chọn hệ trục Oxyz nh hình vẽ : Ox
chứa OB , Oy chứa AC,
( Oz song song SG là chiều cao
chóp tam giác đều S.ABC )
Khi đó O( 0 ; 0 ; 0) , A(0 ; ;0),
B( ; 0 ; 0) ( Vì OB = )
C ( 0 ; ; 0), S( ; 0 ; )
( )
( )Oz ABC
2
a
3
2
a
3
2
a
2
a
3

6
a
s
z
0>
s
z
Lời giải

o
A
S
B
C
x
y
z
G
s
z
a
M
N
4
a−
 
′
 
uuur uuur
r

uuur
uuuur
r
s s
1
s
s
s
s
2
1
z z
2a 3 a 3
M( ; 0; ) , N( ; ; )
3 2 12 2
mp(AMN) co VTPT : n = AM, AN
z
2a 3 -a
AM = ( ; ; )
3
az
2 2
z
a 3
-a 3z
-5 3a
n = ( ; ; )
8 8
-3a
AN = ( ; ; )

12 4
24
2
2
2
2
( ) : ,
3
3
( ; ; )
2 2 6
3
( ;0; )
3
3
( ; ; )
6 2
s s
s
s
mp SBC co VTPT n SB SC
a
SB z
a a
SC
a z
a
z
az
n

 
′
=
 
= −
−
−
−
=
−
−
=
uur uuur
r
uur
r
uuur
∆
∆
⊥ ⇔ ⇔ ⇔
 
 
r r
uuuur uuur
r
2 2 2 2
4 2
2
s s
1 2 s

2 2 2 2
4 2 2
2 2 2
s s
AMN 1 s s
2
2 2 2
AMN
-a z 3a z
15a 15a
(AMN) (SBC) n .n = 0 - + = 0 z =
16 16 6.24 36
a z 3a z
1 1 1 25.3a 1 a 25a a 25a
S = AM, AN = n = + + = . z + 3z + = 4z +
2 2 2 64 64 2 8 3 16 3
24
a 15a 25a a 10
S = 4. + =
16 36 3 16
O( 0 ; 0 ; 0) , A(0 ; ;0), B( ; 0 ; 0) ,C ( 0 ; ; 0), S( ; 0 ; )
2
a
3
2
a
2
a−
3
6

a
s
z

Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = a ,
AD = 2a , AA = . M là điểm thuộc đoạn AD , K là trung
điểm của BM
1, Đặt AM = m ( ). Tính thể tích khối tứ diện AKID
theo a và m ( trong đó I là tâm hình hộp ) . Tìm vị trí của M để
thể tích đó đạt giá trị lớn nhất.
2, Giả sử M là trung điểm của AD.
a, Hỏi thiết diện của hình hộp cắt bởi mp(BCK) là hình gì ?
Tính diện tích thiết diện đó theo a.
b, CMR đ ờng thẳng BM tiếp xúc với mặt cầu đ ờng kính AA
2a
0 2m a <

Lời giải
A
D
C
B
A
D
C
B
x
y
z
2a

2a
a
M
m
K
I
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz nh hình
vẽ : A trùng với O , Ox chứa cạnh
AD , Oy chứa cạnh AB , Oz chứa cạnh
AA
Trong hệ trục đã chọn ta có :
A(0 ; 0 ; 0) , B(0; a ; 0) ,
C(2a ; a ; 0) , D( 2a ; 0 ; 0 ) ,
A(0 ; 0 ; a ) , B(0 ; a ; a ) ,
C(2a ; a ; a ) , D(2a ; 0 ; a )
2
2
2
2
1, Do I là tâm hình hộp nên I là trung điểm
BD,
suy ra I(a ; ; )
2
a
2
2
a
M nằm trên đoạn AD và AM = m nên M(m ; 0 ; 0)
K là trung điểm BM nên
2

( ; ; )
2 2 2
m a a
K

'
3 3 3 2 2
2
' ( ; ; )
2 2
2
' ( ; ; )
2 2 2
' (2 ;0; 2)
2 2
1 1 2
' . ' , ' . . .
2 2 2 2 2 2
6 6 2 2
2 0
0 2 2 2
1 2 2 2 1 2 2 2
2 2
6 2 2 2 2 6 2 4 24
A KID
A
a a
A I a
m a a
A K

A D a a
a a a m m a
a a
V A I A K A D a
a
a a a
a a am a a a m a
a m a
Hay V
=
=
=


= = +




= + + + = + =
ữ
ữ

uuur
uuuur
uuuur
uuur uuuur uuuur
2
'
2

(2 ) ( 0 2 )
24
KID
a
a m do m a= <
3
'
2
0 2 0 2 2
12
A KID
a
m a a m a V < <
Cũng vì
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2a - m = 2a hay m = 0 , điều này
cũng đồng nghĩa M trùng A
Vậy
3
'
2
12
A KID
a
maxV M A=

A
D
C
B
A

D
C
B
x
y
z
2a
2a
a
M
N
K
2a, mp(BCK) cũng chính là
mp(BCM) , mp này có điểm
chung với mặt AADD ở điểm M
nên nó cắt mặt AADD theo giao
tuyến qua M và song song với BC
( vì BC song song với mặt
AADD ) , giao tuyến này cắt
AA tại N . Nối NB ta thu đ ợc
thiết diện là hình thang BCMN
( do MN song song với BC)
Vì M là trung điểm AD
nên M( a ; 0 ; 0)
1
' ( 2;0;1)
2
u B C
a

= =
uuuur
r
Đ ờng thẳng BC có véctơ
chỉ ph ơng là
[ ]
( ; ' )d M B C =
Chiều cao của thiết diện BCMN là
,
( ; ' )
MC u
h d M B C
u


= =
uuuur
r
r

A
D
C
B
A’
D’
C’
B’
x
y

z
2a
2a
a
M
N
K
2 2 2
( ; ;0)
( 2;0;1)
, ( ; ; 2)
2 2
2 0 1 3
MC a a
u
MC u a a a
a a a a
h
=
= −
 
= −
 
+ +
= =
+ +
uuuur
r
uuuur
r

V× MN song song víi B”C vµ B”C
song song víi A”D nªn MN song
song A”D , mµ M lµ trung ®iÓm AD
nªn N lµ trung ®iÓm AA”
2 2 2 2
2 2 2 2
2 6
ˆ
, ( )
2 2
ˆ
' , ' ' ( 2 ) (2 ) 6
a a
AMN vuong cho MN AM AN a
B BC vuong cho B C B B BC a a a
∆ = + = + =
∆ = + = + =
2
'
6 2
( 6 ).
( ' ). 3 2
2
3
ˆ
2 2 2
B CMN
a a
a
B C MN h a

Vay S
+
+
= = =
&

2b, CMR đ ờng thẳng BM tiếp xúc với mặt cầu
đ ờng kính AA
A
D
C
B
A
D
C
B
x
y
z
2a
2a
a
M
N
K
N là trung điểm AA nên
Mặt cầu đ ờng kính AA có tâm là N , có bán
kính R = AA/2 , ta có :
2
(0;0; )

2
'
a
N
B M co VTCP

2 2
2
2
(0;0; )
2
'
1 1
' ( ; ; 2) ( 1;1; 2)
2
( ;0; )
2
2 2
0
0
2 2
1 1
,
1 2 2 1
2
( ; ' )
2
1 1 2
'
( ; ' )

2
a
N
Dt B M co VTCP
B M a a a
a a
a
MN a
a a
a
a
MN
a
d N B M
AA
Hay d N B M R





= = =



+ +

= = =
+ +
= =
uuuuur
r
uuuur
uuuur
r
r
Vậy đ ờng thẳng BM tiếp xúc với mặt cầu đ ờng kính
AA