HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (570.62 KB, 29 trang )
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
2
CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
§1 CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Các hàm số lượng giác được dùng để mô tả những hiện tượng thay đổi một cách tuần hoàn hay
gặp trong thực tiễn, khoa học kĩ thuật. Trong bài này, ta tìm hiểu các hàm số lượng giác
sin , y cos , y tan , y coty x x x x
.
A. Các hàm số
sin , cosy x y x
I. Định nghĩa:
- Quy tắc (phép đặt) tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số đo rađian bằng
x được gọi là hàm số sin, kí hiệu
siny x
.
Tương tự:
- Quy tắc (phép đặt) tương ứng mỗi số thực x với cos của góc lượng giác có số đo rađian bằng
x được gọi là hàm số côsin, kí hiệu
cosy x
.
Ví dụ: Tính giá trị của hàm số
sin , cosy x y x
tại
2 3 5 4
; ; ; ;
3 4 6 3
x x x x x
x
2
3
3
4
5
6
4
3
siny x
3
2
2
2
1
2
0
3
2
cosy x
1
2
2
2
3
2
1
1
2
Chú ý:
- Hàm số
sin , cosy x y x
có thể được cho dưới dạng sau:
sin :
sin
cos :
cos
x
x y x
x
x x
- Hàm số
sin , cosy x y x
có TXĐ là
,
D x
- Hàm số
sin , cosy x y x
có tập giá trị là
T 1;1 1;1
y
- Hàm số
siny x
là hàm số lẻ vì
sin sinx x
và
D
có tính đối xứng
- Hàm số
cosy x
là hàm số chẵn vì
cos cosx x
và
D
có tính đối xứng
II. Tính chất tuần hoàn của hàm số
sin , cosy x y x
1. Định nghĩa:
Hàm số
y f x
được gọi là hàm tuần hoàn với chu kì T nếu T là một số dương nhỏ nhất thỏa mãn
T
f x f x
.
2. Hàm số
sin , cosy x y x
là hàm tuần hoàn với chu kì
T 2
Ta đã biết, với mỗi số nguyên k, số
2k
thỏa mãn
sin 2 sin ,x k x x
Ngược lại, ta có thể chứng minh rằng số T sao cho
sin T sin ,x x x
phải có dạng
T 2k
, k là một số nguyên.
Rõ ràng, trong các số dạng
2k k
, số dương nhỏ nhất là
2
.
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
3
Vậy đối với hàm số
siny x
, số
T 2
là số dương nhỏ nhất thỏa mãn
sin T sin ,x x x
Như vậy hàm số
siny x
là hàm số tuần hoàn với chu kì
2
.
Tương tự ta có hàm số
cosy x
là hàm số tuần hoàn với chu kì
2
.
Ví dụ: Cho hàm số
sin 2x
y
. Tìm chu kì T của hàm số đã cho.
sin 2x sin 2x 2 sin 2 Tx
III. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số
sin , cosy x y x
1. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số
siny x
- Do hàm số
siny x
là hàm số tuần hoàn với
T 2
nên ta chỉ xét sự biến thiên và đồ thị
hàm số
siny x
trên một đoạn có độ dài
2
, chẳng hạn trên đoạn
;
.
* Chiều biến thiên:
Cho
,
x OA OM
Do
;
x
khi đó M xuất phát từ A' và chạy đủ một vòng tròn để quay lại A'
Do
;
x
nên
sin 1;1
x
do đó
+ x tăng từ
đến
2
thì y giảm từ 0 đến -1
hàm số
siny x
nghịch biến trên
,
2
+ x tăng từ
2
đến 0 thì y tăng từ -1 đến 0
hàm số
siny x
đồng biến
+ x tăng từ 0 đến
2
thì y tăng từ 0 đến 1
hàm số
siny x
đồng biến
+ x tăng từ
2
đến
thì y giảm từ 0 đến 1
hàm số
siny x
nghịch biến
* Bảng biến thiên:
x
2
0
2
y
* Đồ thị hàm số:
Do hàm số
siny x
là hàm số lẻ nên ta chỉ vẽ đồ thị hàm số trên đoạn
0,
phần còn lại
được lấy đối xứng phần đồ thị vừa vẽ qua gốc tọa độ
Bảng giá trị:
y
x
A
A
O
M
B'
B
0
-1
0
1
0
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
4
x 0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
y 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
Nhận xét:
- Tịnh tiến đồ thị hàm số vừa vẽ sang trái, sang phải những đoạn có độ dài
2 ,4 ,6 ,
thì
được đồ thị hàm số
siny x
trên
.
- Đồ thị hàm số
siny x
được gọi là một đường hình sin
- Hàm số
siny x
đồng biến trên khoảng
,
2 2
Từ đó, do tính chất tuần hoàn với chu kì
2
của hàm số
siny x
do vậy hàm số
siny x
đồng biến trên mỗi khoảng
2 , 2 ,
2 2
k k k
.
2. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số
cosy x
Ta có thể tiến hành khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
cosy x
tương tự như đã
làm đối với hàm số
siny x
trên đây. Tuy nhiên ta nhận thấy
cos sin
2
x x
với mọi x, nên bằng
cách tịnh tiến đồ thị hàm số
siny x
sang trái một đoạn có độ dài
2
ta được đồ thị hàm số
cosy x
(nó cũng được gọi là một đường hình sin)
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
5
Căn cứ vào đồ thị của hàm số
cosy x
, ta lập được bảng biến thiên của hàm số đó trên đoạn
,
:
x
0
cosy x
Nhận xét:
- Khi x thay đổi, hàm số
cosy x
nhận mọi giá trị thuộc đoạn
1;1
. Ta nói tập giá trị của
hàm số
cosy x
là đoạn
1;1
.
- Do hàm số
cosy x
là hàm số chẵn nên đồ thị của hàm số
cosy x
nhận trục tung làm trục
đối xứng.
- Hàm số
cosy x
đồng biến trên khoảng
;0
. Từ đó do tính chất tuần hoàn với chu kì
2
, hàm số
cosy x
đồng biến trên mỗi khoảng
2 ; 2
k k
, hàm số
cosy x
đồng biến trên
mỗi khoảng
2 ; 2 ,k k k
.
Ghi nhớ:
Hàm số
siny x
Hàm số
cosy x
- Có tập xác định là
- Có tập giá trị là
1;1
- Là hàm số lẻ
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì
2
- Đồng biến trên mỗi khoảng
2 ; 2
2 2
k k
và nghịch biến trên mỗi
khoảng
3
2 ; 2 ,
2 2
k k k
- Có đồ thị là một đường hình sin
- Có tập xác định là
- Có tập giá trị là
1;1
- Là hàm số chẵn
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì
2
- Đồng biến trên mỗi khoảng
2 ; 2
k k
và nghịch biến trên mỗi khoảng
2 ; 2 ,k k k
- Có đồ thị là một đường hình sin
-1
1
-1
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
6
B. Các hàm số
tan , coty x y x
I. Định nghĩa
- Với mỗi số thực x mà
cos 0
x
, tức là
x
2
k k
, ta xác định được số thực
sin
tan
cos
x
x
x
Đặt
1
\
2
D k k
.
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số
1
x D
với số thực
sin
tan
cos
x
x
x
được gọi là hàm số tang, kí
hiệu
tany x
.
Vậy hàm số
tany x
có tập xác định là D
1
, ta viết:
1
tan :
tan
D
x x
- Với mỗi số thực x mà
sin 0
x
, tức là
x k k
, ta xác định được số thực
cos
cot
sin
x
x
x
Đặt
2
\D k k
.
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số
2
x D
với số thực
sin
tan
cos
x
x
x
được gọi là hàm số côtang, kí
hiệu
coty x
.
Vậy hàm số
coty x
có tập xác định là D
2
, ta viết:
2
cot :
cot
D
x x
Nhận xét:
- Hàm số
tany x
là một hàm số lẻ vì nếu
1
x
D
thì
1
x D
và
tan tanx x
- Hàm số
coty x
cũng là một hàm số lẻ vì nếu
2
x
D
thì
2
x D
và
cot cotx x
.
II. Tính chất tuần hoàn của các hàm số
tan , coty x y x
Các hàm số
tan , coty x y x
là những hàm số tuần hoàn với chu kì
III. Sự biến thiên và đồ thị của các hàm số
tan , coty x y x
1. Sự biến thiên và đồ thị của các hàm số
tany x
Do tính chất tuần hoàn với chu kì
của hàm số
tany x
, ta chỉ cần khảo sát sự biến thiên và
vẽ đồ thị của nó trên khoảng
1
;
2 2
D
, rồi tịnh tiến phần đồ thị vừa vẽ sang trái, sang phải các
đoạn có độ dài
,2 ,3 ,
thì được toàn bộ đồ thị của hàm số
tany x
.
* Chiều biến thiên:
Hàm số
tany x
đồng biến mỗi khoảng
; ,
2 2
k k k
* Bảng biến thiên:
x
tany x
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
7
* Đồ thị
Nhận xét:
- Khi x thay đổi, hàm số
tany x
nhận mọi giá trị thực. Ta nói tập giá trị của hàm số
tany x
là
- Vì hàm số
tany x
là hàm số lẻ nên đồ thị của nó nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
- Hàm số
tany x
không xác định tại tại
2
x k k
. Với mỗi
k
đường thẳng
vuông góc với trục hoành, đi qua điểm
;0
2
k
gọi là một đường tiệm cận của đồ thị hàm số
tany x
. (Từ tiệm cận có nghĩa là ngày càng gần)
2. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số
coty x
Hàm số
coty x
xác định trên
2
\D k k
là một hàm số tuần hoàn với chu kì
. Ta
có thể khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của nó tương tự như đã làm đối với hàm số
tany x
.
Đồ thị của hàm số
coty x
có dạng như hình dưới. Nó nhận mỗi đường thẳng vuông góc với
trục hoành, đi qua điểm
;0 ,k k
làm một đường tiệm cận.
Ghi nhớ:
Hàm số
tany x
Hàm số
coty x
- Có tập xác định là
1
\
2
D k k
- Có tập giá trị là
- Là hàm số lẻ
- Có tập xác định là
2
\D k k
- Có tập giá trị là
- Là hàm số lẻ
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
8
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì
- Đồng biến trên mỗi khoảng
; ,
2 2
k k k
- Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng
2
x k k
làm một đường tiệm cận
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì
- Nghịch biến trên mỗi khoảng
; ,k k k
- Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng
x k k
làms một đường tiệm cận
§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. Phương trình lượng giác cơ bản
I. Phương trình
sin
x m
(1)
Vì
sin 1;1
x
nên
+ Nếu
1;1
m
thì phương trình (1) có nghiệm
+ Nếu
1;1
m
thì phương trình (1) vô nghiệm
Khi
1;1
m
thì tồn tại
sao cho
sin
m
Phương trình (1) trở thành
2
sin sin
2
x k
x k
x k
Khi đó ta nói rằng
2 và 2x k x k
là hai họ nghiệm của phương trình (1)
Chú ý:
Phương trình
2
sin sin
2
f x g x k
f x g x k
f x g x k
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a)
1
sin
2
x
sin sin
6
2 2
6 6
5
2 2
6 6
x
x k x k
k
x k x k
Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm là
5
2 và 2
6 6
x k k x k k
b)
0
3
sin 2 30
2
x
o o o o
o o o o o
o o o o o o
sin 2 30 sin 60 sin 2 30 sin 60
2 30 60 360 45 180
2 30 180 60 360 105 180
x x
x k x k
k
x k x k
Chú ý: Khi xét các phương trình lượng giác ta đã coi ẩn số x là số đo rađian của các góc lượng giác.
Trên thực tế, ta còn gặp những bài toán yêu cầu tìm số đo độ của các góc (cung) lượng giác sao cho
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
9
sin (côsin, tang hoặc côtang) của chúng bằng số m cho trước, chẳng hạn
o
3
sin 2 20
2
x
. Khi giải
các phương trình này, ta có thể áp dụng các công thức nêu trên và lưu ý sử dụng kí hiệu số đo độ trong
"công thức nghiệm" cho thống nhất, chẳng hạn viết
o o
30 360
x k
chứ không viết
o
30 2x k
.
c)
sin 1 2
2
x x k k
d)
2
sin 0
2
x k
x x k k
x k
e)
2
2
sin 1 2
3
2
2
2
x k
x x k k
x k
Chú ý:
sin 1 2
2
sin 0
sin 1 2
2
f x f x k
f x f x k
f x f x k
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a)
sin 2 1
6
x
2 2
6 2 6
x k x k k
b)
o o
sin 60 sin 30 2x x
o o
o o o
o o o o
o o
o o
sin 60 sin 2 30
60 2 30 360
60 180 2 30 360
10 120
270 360
x x
x x k
x x k
x k
k
x k
c)
sin 3 2
x
Vô nghiệm vì
2 1;1
d)
1
sin 2 10
3
x
1 1
2 10 arcsin 2 5 arcsin
3 3
1 1
2 10 arcsin 2 5 arcsin
3 2 3
x k x k
k
x k x k
II. Phương trình
cos x m
(2)
Vì
cos 1;1
x
nên
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
10
+ Nếu
1;1
m
thì phương trình (2) có nghiệm
+ Nếu
1;1
m
thì phương trình (2) vô nghiệm
Khi
1;1
m
thì tồn tại
sao cho
cos m
Phương trình (2) trở thành
2
cos sin
2
x k
x k
x k
Khi đó ta nói rằng
2 và 2x k x k
là hai họ nghiệm của phương trình (2)
Chú ý:
Phương trình
2
cos cos
2
f x g x k
f x g x k
f x g x k
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a)
cos 1 2x x k k
b)
cos 0
2
x x k k
c)
cos 1 2x x k
Chú ý:
cos 1 2
cos 0
2
cos 1 2
f x f x k k
f x f x k k
f x f x k k
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a)
o o
cos 3 15 cos150
x
o o o o o
o o o o o
3x 15 150 360 x 55 120
3x 15 150 360 x 45 120
k k
k
k k
b)
cos 3 cos
3 2
x x
5
3x 2
x
3 2
12
3x 2 x
3 2 24 2
x k
k
k
k
x k
c)
o
cos 30 1
x
o o
30 360x k k
d)
3
cos 2
2
x
5
2x 2
6
12
5 11
2x 2
6 12
k
x k
k
k x k
e)
o
2
cos 60
3
x
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
11
o o
2
60 arccos 360
3
x k k
f)
cos 3x 6 3
vô nghiệm vì
3 1;1
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a)
2
3
sin 0
4
x
2
3
2
2
3
2
3
4
2
3
x k
x k
k
x k
x k
b)
2
1
cos 0
2
x
2
4
3
2
4
x k
k
x k
c)
o o
cos 20 cos 2 10 0
x x
o o
o o o
o o o
o o
o
o
cos 20 cos 2x 10
cos 20 cos 180 2x+10
cos 20 cos 180 2x+10
20 190 2
170 2
3 3
2
70
3
x
x
x
x k
k
x
k
k
x
d)
cos sin 2
4
x x
cos sin 2 cos sin 2 cos cos 2x
2 4 2 4 4
2
2x 2
12 3
4
2x 2
2
4 4
x x x x x
k
xx k
k
x k
x k
e)
sin 5 sin3 sin 4 sin 2 0
x x x x
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
12
1 1
cos 5 3x cos 5 3 cos 4 2 cos 4 2 0
2 2
cos8 cos6 8 6 2
7
x x x x x x x
k
x
x x x x k k
x k
Ví dụ: Giải phương trình sau:
1 sin
0
sin 4
x
x
(1)
ĐK:
sin 4 0 4 *
4
k
x x k x
1 1 sin 0 sin 1 2
2
x x x k k
Không thỏa mãn (*)
Vậy phương trình (1) vô nghiệm
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a)
cos cos 3 2 0
3
x x
KQ:
3
3 2
x k
k
k
x
b)
o o
sin 2 60 cos 40
x x
KQ:
o
o
o o
110
360
3
190 360
x k
k
x k
c)
sin 4 sin10 sin 7 sin 0
x x x x
KQ:
3
11
k
x
k
k
x
d)
2 2
sin 3 sin 0
x x
KQ:
4 2
2
2
x k
k
x
k
k
x
x k
e)
cos5 cos3 cos4 cos2 0
x x x x
KQ:
7
x k
k
k
x
f)
cos 2 sin3 sin 3 1x x x
HD:
2 2 2 2
3 2
cos sin 3sin sin 3 cos sin
4sin 2sin 0
sin 0
2
2sin 1 0
6
7
2
6
x x x x x x
x x
x k
x
x k k
x
x k
Ví dụ: Giải phương trình sau:
tan 2sin 1 0
3
x
x
ĐK:
cos 0
x
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
13
HD:
tan 0 sin 0
6
1
2
2sin 1 0 sin
3 3 2
5
6
2
x k
x x
x k k
x x
x k
(loại)
Vậy phương trình có một họ nghiệm là
x k k
Ví dụ: Tìm các nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho:
a)
1
sin 2
6 2
x
trong khoảng
;
3 6
b)
3
cos
2 2
x
trong khoảng
2 ;4
HD:
a)
1
sin 2
6 2
3
x k
x k
x k
Do
sin 2 ;
6 3 6
x
nên:
+)
1 1
3 6 3 6
k k
do
k
nên
0 0
k x
+)
2 1
3 3 6 3 6
k k
do
k
nên vô nghiệm
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
0
x
b)
4
3
3
cos
2 2
4
3
x k
x
k
x k
Do
cos 2 ;4
2
x
nên
+)
5 11
2 4 4
3 12 12
k k do k
vô nghiệm
+)
7 13 11
2 4 4 do 1
3 12 12 3
k k k k x
Vậy nghiệp của phương trình đã cho là
11
3
x
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a)
sin 8cos 1
x
b)
cos sin cos 3 sinx x
HD:
a)
8cos 2 cos
2 16 4
k
x k x
(thỏa mãn)
(loại)
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
14
Do
cos 1;1
x
nên
16 16
1 1 1;0;1
16 4 4 4
k
k k
Với
3 3
1 cos arccos 2
16 4 16 16
k x x k
Với
0 cos arccos 2
16 16
k x x k
Với
5 5
1 cos arccos 2
16 16
k x x k
b)
sin
sin 3 sin 2
sin 3 sin 2
sin
2
x k
x x k
k
x x k
x
Do
sin 1;1
x
nên
+)
1 1 1 1 do 1;0;1
k k k k
Với
1 sin 1 2
2
k x x k
Với
0 sin 0
k x x k
Với
1 sin 1 2
2
k x x k
+)
1 1 2 2 do 2; 1;0;1;2
2
k
k k k
Với
2 sin 1 2
2
k x x k
Với
2
1
6
1 sin
7
2
2
6
x k
k x
x k
Với
0 sin 0
k x x k
Với
2
1
6
1 sin
5
2
2
6
x k
k x
x k
Với
2 sin 1 2
2
k x x k
III. Phương trình
tan x m
(3)
Điều kiện:
cos 0
2
x x k k
Nếu
là một nghiệm của phương trình thỏa mãn
tan m
thì
3 tan tanx x k k
Chú ý:
Phương trình
tan tanf x g x f x g x k k
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
15
Với mọi số m cho trước, phương trình
tan x m
có đúng một nghiệm nằm trong khoảng
;
2 2
.
Người ta kí hiệu nghiệm đó là arctan m (đọc là ác-tang m). Khi đó
tan arctanx m x m k k
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a)
tan 1
4
x k k
b)
o o o o o o
1
tan 2 30 2 30 30 180 30 90
3
x x k x k k
c)
tan 100 arctan100x x k k
d)
3
tan 1
5
x
với
7
2 6
x
3 3 5
5 4 4 3
x k
k x
Với
7
2 6
x
3 5 7 3 1
2 4 3 6 4 4
k
k
Do
3
0
4
k k x
e)
3
arctan 1
3
2
tan 2 1
2 2 2
k
x x k
IV. Phương trình
cot x m
(4)
Điều kiện
sin 0x x k k
Nếu
là một nghiệm của phương trình
cot m
thì
4 cot cotx x k k
Chú ý:
Phương trình
cot cotf x g x f x g x k k
Với mọi số m cho trước, phương trình
cot x m
có đúng một nghiệm nằm trong khoảng
0;
.
Người ta kí hiệu nghiệm đó là arccot m (đọc là ác-côtang m). Khi đó
cot arccotx m x m k k
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a)
cot 1 cot cot
4 4
x x x k k
b)
1
cot
3
3
x x k k
c)
o o o o o o
3
cot 45 45 60 .180 15 .180
3
x x k x k k
d)
3
cot 2 1 2
4 8 2
k
x x k x k
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
16
e)
o o
cot 30 tan 2 90
x x
o o o o o
cot 30 cot 2 30 2 180 10 60x x x x k x k k
B. Một số phương trình lượng giác thường gặp
I. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba với hàm số lượng giác
1. Dạng phương trình
2
2
2
2
3 2
3 2
3 2
3 2
sin 0 0
sin sin 0
cos cos 0
tan tan 0
cot cot 0
sin sin sin 0
cos cos cos 0
tan tan tan 0
cot cot cot 0
a x b a
a x b x c
a x b x c
a x b x c
a x b x c
a x b x c x d
a x b x c x d
a x b x c x d
a x b x c x d
2. Cách giải
Đặt t bằng hàm số lượng giác
Nếu t bằng hàm số sin, hàm số cos thì
1;1
t
Thay t vào phương trình và biến đổi phương trình về phương trình ẩn t
Giải tìm t rồi tìm x
Một số công thức cần nhớ:
2 2
3 3
2
2
cos2 2cos 1 1 2sin
cos3 4cos 3cos sin 3 3sin 4s
in
2tan 1 cot
tan 2 cot 2
1 tan 2cot
x x x
x x x x x x
x x
x x
x x
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a)
2sin 3 0
x
(1)
Đặt
3
sin 1;1 1 2 3 0
2
x t t t t
(vô lý)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
b)
cos 2 5cos 4 0
x x
(2)
2
2
2cos 1 5cos 4 0
2cos 5cos 3 0
x x
x x
Đặt
cos 1;1
x t t
Khi đó
2
1
2 2 5 3 0
3
2
t
t t
t
Với
1 cos 1 2t x x k k
c)
cos 2 7sin 6 0
x x
(3)
(loại)
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
17
2
2
1 2sin 7sin 6 0
2sin 7sin 5 0
x x
x x
Đặt
sin 1;1
t x t
Khi đó
2
1
3 2 7 5 0
5
2
t
t t
t
Với
1 sin 1 2
2
t x x k k
Với
5 5
sin
2 2
t x
Phương trình vô nghiệm
d)
2
1
3tan 1 0
cos
x
x
2
2
1 tan 3tan 1 0
tan 3tan 2 0 4
x x
x x
Đặt
tan x t
Khi đó
2
1
4 3 2 0
2
t
t t
t
Với
1 tan 1
4
t x x k k
Với
2 tan 2 arctan 2t x x k k
e)
2
1
4cot 2 0
sin
x
x
2
2
1 cot 4cot 2 0
cot 4cot 3 0 5
x x
x x
Đặt
cot x t
Khi đó
2
1
5 4 3 0
3
t
t t
t
Với
1 cot 1
4
t x x k k
Với
3 cot 3 arccot 3t x x k k
Ví dụ: Giải các phương trình sau
a)
2
2sin 3sin 1 0
x x
b)
cos 2 5sin 3 0
x x
c)
cos3 2cos2 2
x x
HD: Sử dụng công thức
2 2
cos3 4cos 3cos ;cos2 2cos 1x x x x x
d)
4 4
sin cos 1 2sin
2 2
x x
x
HD:
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
18
2
4 4 2 2 2 2
2 2 2
sin cos sin cos 2sin cos
2 2 2 2 2 2
1 1
1 4sin cos 1 sin
2 2 2 2
x x x x x x
x x
x
e)
2cos2 cos 1 cos2 cos3x x x x
HD:
2 2 3
2 2cos 1 cos 1 2cos 1 4cos 3cosx x x x x
f)
2
1 5sin 2cos 0
x x
với
cos 0
x
HD:
2
sin 3
1 5sin 2 1 sin 0
1
sin
2
x loai
x x
x
Với
1 3
sin cos
2 2
x x
Vì
cos 0
x
3
cos 2
2 6
x x k k
g)
5cos cos2 2sin 0
x x x
HD:
2 2
sin 0
2sin 0 sin 0
cos 3
5sin cos 2 4sin 2cos 5cos 3 0
1
cos
2
x
x x
x loai
x x x x x
x
Với
sin 0
sin 0
1
3
cos
sin
2
2
x
x
x
x
Do
2
3
3
sin 0 sin
4
2
2
3
x k
x x k
x k
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a)
4 sin3 cos 2 5 sin 1
x x x
HD: Sử dụng công thức
3 2
sin 3 3sin 4sin ;cos 2 1 2sinx x x x x
b)
sin 3 cos 2 1 2sin cos2x x x x
HD: Sử dụng công thức
3 2
sin 3 3sin 4sin ;cos 2 1 2sinx x x x x
c)
cos3 cos 2 cos 1x x x
(D2006)
HD: Sử dụng công thức
3 2
cos3 4cos 3cos ;cos 2 2cos 1x x x x x
d)
4 2
4sin 12cos 7
x x
HD: Sử sụng công thức
2 2
cos 1 sinx x
e)
2
6sin cos 4 14
x x
HD: Biến đổi
2
2 2 2
2 2 2 4
cos4 1 2sin 2 1 2 2sin cos 1 8sin cos
1 8sin 1 sin 1 8sin 8sin
x x x x x x
x x x x
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
19
Ví dụ: Giải các phương trình sau
a)
2 3
2 2
2
cos cos 1
cos tan
cos
x x
x x
x
HD: ĐK:
cos 0
x
Sử dụng công thức
2
2
1
1 tan
cos
x
x
sau đó biến đổi tương đương được
3
cos 0
cos cos 1 0 2
cos 1
x loai
x x x k
x
b)
2 2
1 1 8
cos 2 sin 2 3x x
HD: ĐK:
cos2 0
sin 2 0
x
x
2 2 2 2 2
2
2
4 2
2
8 8 1 8
1 tan 1 cot 2x tan 2x cot 2x tan 2x
3 3 tan 2x 3
tan 2x 3
tan 2x 3
3tan 2x 8tan 2x 3 0
1
tan 2x
tan 2x 3
3
2x
3 6 2
2
2x
3 3 2
x
loai
k
k x
k
k
k x
Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
2
sin 4sin 3 2 0
x x m
(1)
Đặt
sin
x t
với
1;1
t
Phương trình (1) trở thành:
2 2
4 3 2 0 4 3 2 2
t t m t t m
Phương trình (1) có nghiệm
phương trình (2) có nghiệm
1;1
t
Đặt
2
4f t t t
có bảng biến thiên:
t
2
2a
b
1
1
f t
Từ bảng biến thiên
1 1 3 5
f f t f f t
Phương trình (2) có nghiệm
1 7
3 3 2 5
3 3
m m
Ví dụ: Cho phương trình
2 2
sin 1 2sin cos 0
x x m x
(1)
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
;0
2
x
4
4a
f(-1)
f(1)
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
20
HD:
2
2
1 sin 1 2sin sin 1 0
sin 1
2sin sin 1 0
x x x m
x
x x m
Với
sin 1 2
2
x x k
(loại)
Với
2 2
sin sin 1 0 sin sin 1 2
x x m x x m
Đặt
sin
x t
với
1;0
t
vì
x ;0
2
Khi đó
2
2 2 1 3
t t m
Đặt
2
2
f t t t
có bảng biến thiên
t -1
1
4
0
f(t)
1 1
1 1
8 8
f t f f t
Phương trình (3) có nghiệm
1 7
1;0 1 1 2
8 8
t m m
Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
3
x ;
2 2
cos2 2 1 cos 1 0
x m x m
II. Phương trình bậc nhất (thuần nhất) với sin x và cos x
1. Định nghĩa
Là phương trình có dạng phương trình:
sin cos
a x b x c
(1) với
*
, ,a b c
2. Phương pháp giải
Cách 1: Phương pháp góc phụ của sin, cos
Chia cả hai vế của phương trình cho
2 2
a b
ta được:
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
(*)
Do
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
1
a b a b
a b
a b a b
nên có thể chọn 1 trong 2 cách:
+ Nếu đặt
2 2 2 2
cos ;sin
a b
a b a b
Khi đó (*) trở thành
2 2 2 2
sin cos cos sin sin
c c
x x x
a b a b
+ Nếu đặt
2 2 2 2
sin ;cos
a b
a b a b
1
8
f(-1)
f(0)
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
21
Khi đó (*) trở thành
2 2 2 2
sin sin cos cos cos
c c
x x x
a b a b
Điều kiện tồn tại nghiệm:
(1) có nghiệm
2 2 2
2 2
1
c
c a b
a b
(1) vô nghiệm
2 2 2
2 2
1
c
c a b
a b
Cách 2: Phương pháp đặt ẩn phụ theo
tan
2
x
t
Kiểm tra
cos 0
2
x
xem có là nghiệm của (1) không
+ Nếu
cos 0
2
x
là nghiệm của (1) thì
sin 0
x
và
cos 1
x
+ Nếu
cos 0
2
x
không là nghiệm của (1) thì
Đặt
tan
2
x
t
2
2 2
2 1
sin ;cos
1 1
t t
x x
t t
2
2 2 2
2 2
2 1
1 2a 1 1 2a 0
1 1
t t
a b c t b t c t b c t t c b
t t
Tìm t rồi tìm x
Chú ý:
sin 3 cos 2sin( ) 2cos( )
3 6
x x x x
sin cos 2 sin( ) 2 cos( )
4 4
x x x x
sin 3 cos 2sin( ) 2cos( )
3 6
x x x x
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a)
sin 3cos 1x x
(1)
Ta có
2
2 2
1 3 1
(1) có nghiệm
Chia cả hai vế của phương trình cho
2
2
1 3 2
ta có
1 3 1 1 1
1 sin cos os sin sin osx= sin
2 2 2 3 3 2 3 2
2
2
3 6 2
7
22
6
3 6
x x c x c x
x k
x k
k
x kx k
b)
4sin 3cos 5
x x
(2)
Ta có
2 2 2
4 3 5
Phương trình có nghiệm
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
22
Chia cả hai vế của (2) cho 5 ta được
4 3
sin cos 1
5 5
x x
(*) Đặt
4
cos
5
3
sin
5
khi đó
* cos sin sin sin 1 sin 1 2 2
2 2
x x x x k x k k
c)
3sin 2 2cos 2 3
x x
d)
3 cos3 sin 3 2
x x
e)
3
3sin 3 3 cos9 1 4sin 3x x x
(ĐH Mỏ địa chất HN 1995)
HD:
3
3sin 3 4sin 3 3cos9 1 sin 9 3 cos9 1x x x x x
f)
cos7 .cos5 3sin 2 1 sin 7 .sin 5x x x x x
(ĐH Mỹ Thuật CNHN 1996)
HD:
cos7 .cos5 sin 7 .sin 5 3 sin 2 1
cos 7 5 3 sin 2 1 cos 2 3sin 2 1
x x x x x
x x x x x
Ví dụ: (ĐHKTQD 1997) Tìm các nghiệm
2 6
;
5 7
x
của phương trình
cos7 3 sin 7 2
x x
III. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin x và cos x
1. Dạng phương trình
2 2
sin sin cos cos 0 1
a x b x x c x
với
*
, ,a b c
2. Phương pháp giải
Cách 1:
Với
cos 0
x
thì phương trình (1) trở thành
2
sin 0 sin 0
a x x
(vô lý) vì
cos 0 sin 1
x x
cos 0
x
Chia cả hai vế của phương trình (1) cho
2
cos x
ta được
2
tan tan 0
a x b x c
Tìm nghiệm
Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc và nhân đôi đưa phương trình (1) về phương trình bậc nhất đối với
sin 2x và cos 2x
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a)
2 2
sin 2sin cos 3cos 0
x x x x
(1)
Ta thấy
cos 0
x
không là nghiệm của phương trình (1)
Chia cả hai vế của phương trình (1) cho cos x ta có
2
tan 2tan 3 0
tan 1
4
tan 3
arctan3
x x
x
x k
k
x
x k
b)
2 2
sin 6sin cos 3cos 1
x x x x
(2)
Với
cos 0
x
thì phương trình (2) trở thành
2
sin 1
x
(vô lý)
cos 0
x
Chia cả hai vế của phương trình (2) cho cos x ta có
2
tan 6 tan 4 0
x x
tan 1
4
tan 2
arctan 2
x
x k
k
x
x k
Chú ý:
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
23
- Nếu phương trình có dạng
2 2
sin sin cos cos 2
a x b x x c x d
thì phân tích
2 2
sin cosd d x x
và đưa phương trình (2) về dạng của phương trình (1)
- Một số phương trình có thể giải theo cách 1
IV. Phương trình đẳng cấp bậc ba đối với sin x và cos x
1. Dạng phương trình
3 2 2 3
sin sin cos sin cos cos 0
a x b x x c x x d x
hoặc
3 3
sin cos sin cos 0
a x b x c x d x
2. Phương pháp giải
- Kiểm tra xem
cos 0
x
có là nghiệm của phương trình hay không
- Với
cos 0
x
chia cả hai vế của phương trình cho
3
cos x
, đưa về phương trình bậc ba đối với
hàm số tan x (tương tự cho sin x)
Ví dụ: Giải các phương trình sau
a)
3 2 2 3
2sin sin cos 4sin cos cos 0
x x x x x x
b)
3
6sin 2cos 5sin 2 cosx x x x
c)
3
2sin cosx x
d)
2 2
sin 2sin cos cos 0
x x x x
e)
2 2
6sin sin cos cos 2
x x x x
f)
2
sin 2 2sin 2cos2x x x
g)
2 2
sin 3 1 sin cos 3 cos 0
x x x x
h)
3
4sin cos 4sin cos 2sin cos 1
2 2
x x x x x x
HD: Sử dụng công thức
3
cos sin ;sin sin ;sin cos ;cos cos
2 2
x x x x x x x x
i)
3 3
2sin 4cos 3sinx x x
k)
3
sin 4sin cos 0
x x x
l)
3
2cos sin3x x
m)
2 2 2 2
3
3sin cos 3sin cos sin cos sin cos
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x x x x x x x x
n)
sin 2 2cot 3
x x
Ví dụ: Cho phương trình
sin 1 cos
cos
m
m x m x
x
(1)
a) Giải phương trình với
1
2
m
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
V. Phương trình đối xứng đối với sin x, cos x, tan x, cot x
1. Phương trình đối xứng đối với sin x, cos x
a) Dạng phương trình
sin cos sin cos
a x x b x x c
(1)
b) Phương pháp giải
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
24
Đặt
sin cos 2 sin 2 os
4 4
t x x x c x
với
2; 2
t
2
2
2
1
sin cos sin cos
2
t
t x x x x
Thay vào phương trình ta có:
2
2
1
0 2 2 0
2
b t
at c bt at c b
(*)
Giải phương trình (*) tìm t từ đó tìm x
Ví dụ: Giải phương trình
a)
2 sin cos sin cos 1x x x x
b)
1 sin 1 cos 2
x x
c)
2
1 sin cos sin cos
2
x x x x
d)
2sin 2 2 sin cos 1 0
x x x
e)
sin cos 2sin 2cos 2
x x x x
f)
1 tan 2 2 sinx x
g)
2 3
sin cos 1 sin cos
3
x x x x
i)
1 sin 2 sin cosx x x
2. Phương trình đối xứng với tan x và cot x
a) Dạng phương trình
2 2
tan cot tan cot
a x x b x x c
b) Phương pháp giải
Đặt
2 2 2
tan cot , 2;2 tan cot 2
t x x t x x t
Phương trình đã cho trở thành
2
2 0
at bt b c
(*)
Giải phương trình (*) tìm
2;2
t
rồi tìm x
Ví dụ: Giải phương trình
2 3 2 3
tan tan tan cot cot cot 6
x x x x x x
VI. Phương trình nửa đối xứng với sin x và cos x
1. Dạng phương trình
sin cos sin cos
a x x b x x c
(1)
2. Phương pháp giải
Đặt
sin cos 2 sin 2 cos , 2; 2
4 4
t x x x x t
2
1
sin cos
2
t
x x
2
2
1
1 0 2 2 0
2
t
at b c bt at c b
(*)
Giải (*) tìm t rồi tìm x
Ví dụ: Giải các phương trình sau
a)
sin cos 7sin 2 1x x x
b)
sin cos 4sin 2 1x x x
c)
1 2 sin cos 2sin cos 1 2
x x x x
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
25
d)
sin 2 2 sin 1
4
x x
VII. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích
Đối với phương trình lượng giác dạng này khi giải ta áp dụng các công thức biến đổi tổng, hiệu
thành tích để biến đổi phương trình về dạng tích.
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
Ví dụ: Giải các phương trình sau
a)
sin sin 2 sin 3 1 cos cos 2x x x x x
b)
sin sin 2 sin 3 cos cos 2 cos3x x x x x x
c)
1 cos cos2 cos3 0
x x x
(ĐH Nông lâm TPHCM)
d)
cos cos 2 cos3 cos 4 0
x x x x
(HVQHQT 99)
e)
sin sin 2 sin 3 sin 4 sin 5 sin 6 0
x x x x x x
(ĐHSP Vinh 97)
f)
sin 3 sin sin 2 0
x x x
(ĐH Đà Nẵng 97 khối B)
g)
cos10 cos8 cos 6 1 0
x x x
(
h)
cos cos3 2cos5 0
x x x
(HVQHQT 00)
i)
9sin 6cos 3sin 2 cos2 8
x x x x
(ĐH Ngoại thương HN 97)
j)
1 sin cos3 cos sin 2 cos 2x x x x x
(ĐH Ngoại thương TPHCM 00)
k)
sin 4 tanx x
(ĐH Y HN 00)
l)
2
2sin 1 2sin 2 1 3 4cosx x x
m)
cos sin cos sin cos cos 2x x x x x x
(ĐH Y khoa HN 96)
n)
2
2sin 1 3cos 4 2sin 4 4cos 3
x x x x
(ĐH Hàng hải 00)
o)
3 3
cos sin sin cosx x x x
(ĐH Đà Nẵng 99)
VIII. Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đánh giá
1. Phương pháp tổng hai số không âm
Dạng
0
0
0
0
0
A B
A
A
B
B
Ví dụ: Giải các phương trình sau
a)
2 2 4
1
sin sin 3 sin sin 3 sin
4
x x x x x
2 2 4
2
4
4
4sin 4sin sin 3 sin 3 4sin 0
2sin sin3 4sin 0
2sin sin3 0
sin 3 0
3
sin 0
4sin 0
x x x x x
x x x
k
x x
x
x
x m
x
x
x m
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m Gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
26
b)
2 2
4cos 3tan 4 3 cos 2 3 tan 4 0
x x x x
ĐK:
cos 0
2
x x k
2 2
4cos 4 3 cos 3 3tan 2 3 tan 1 0
x x x x
2 2
3
osx
2 osx 3 0
2
2 osx 3 3 t anx 1 0
1
3 t anx 1 0
t anx
3
2
6
2
2
6
6
6
c
c
c
x k
x k k
x k
x m
c)
4cos 2cos 2 cos4 7
x x x
HD:
Cách 1: Sử dụng công thức
2 2
cos2 2cos 1;cos 4 2cos 2 1x x x x
2
2
2cos 1 2cos 2 3 0
x x
Phương trình vô nghiệm
Cách 2:
4 cos 1 2 cos2 1 cos4 1 0
x x x
Vì
cos 1 0
cos2 1 0
cos4 1 0
x
x
x
nên phương trình
2
osx 1 0 osx 1
os2x 1 0 os2x 1 , ,
2
os4x 1 0 os4x 1
4 2
x k
c c
c c x m k m n
c c
n
x
Phương trình vô nghiệm
2. Phương pháp chặn trên, chặn dưới hai vế
Dạng
A B
A M
A M
B M
B M
Ví dụ: Giải các phương trình sau
a)
sin cos 2 2 sin 3x x x
(1)
2 sin 2 2 sin 3 sin 2 sin 3
4 4
x x x x
Ta thấy
1 sin 1 (1) 1
4
x VT a
Có
1 sin3 1 1 sin3 1 1 2 sin 3 3 1 1
x x x VP b
