Phươntg pháp giải phương trinh vô tỷ bằng phương pháp đặc biệt

5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II
 Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối
xứng loại II
 Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau :
( )
( )
2
2
1 2 (1)
1 2 (2)
x y
y x

+ = +


+ = +


việc giải hệ này
thì đơn giản
Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt
( )
y f x=
sao cho (2) luôn đúng ,
2 1y x= + −
, khi đó ta có phương trình :
( )
2
2
1 ( 2 1) 1 2 2x x x x x+ = + − + ⇔ + = +

Vậy để giải phương trình :
2
2 2x x x+ = +
ta đặt lại như trên và đưa về hệ
Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 :
( )
( )
2
2
x ay b
y ax b
α β
α β

+ = +


+ = +


, ta sẽ xây dựng được
phương trình dạng sau : đặt
y ax b
α β
+ = +
, khi đó ta có phương trình :
( )
2
a
x ax b b

β
α β
α α
+ = + + −
Tương tự cho bậc cao hơn :
( )
n
n
a
x ax b b
β
α β
α α
+ = + + −
Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khia triển ta phải viết về dạng :
( )
' '
n
n
x p a x b
α β γ
+ = + +
v đặt
n
y ax b
α β
+ = +
để đưa về hệ , chú ý về dấu của
α
???

Việc chọn
;
α β
thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng :
( )
' '
n
n
x p a x b
α β γ
+ = + +
là
chọn được.
Bài 1. Giải phương trình:
2
2 2 2 1x x x− = −
Điều kiện:
1
2
x ≥
Ta có phương trình được viết lại là:
2
( 1) 1 2 2 1x x− − = −
Đặt
1 2 1y x− = −
thì ta đưa về hệ sau:
2
2
2 2( 1)
2 2( 1)

x x y
y y x

− = −


− = −


Trừ hai vế của phương trình ta được
( )( ) 0x y x y− + =
Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là:
2 2x = +
Bài 6. Giải phương trình:
2
2 6 1 4 5x x x− − = +
Giải
Điều kiện
5
4
x ≥ −
Ta biến đổi phương trình như sau:
2 2
4 12 2 2 4 5 (2 3) 2 4 5 11x x x x x− − = + ⇔ − = + +
Đặt
2 3 4 5y x− = +
ta được hệ phương trình sau:
2
2
(2 3) 4 5

( )( 1) 0
(2 3) 4 5
x y
x y x y
y x

− = +

⇒ − + − =

− = +


Với
2 3 4 5 2 3x y x x x= ⇒ − = + ⇒ = +
Với
1 0 1 1 2x y y x x+ − = ⇒ = − → = −
Kết luận: Nghiệm của phương trình là
{1 2; 1 3}− +
 Dạng hệ gần đối xứng
Ta xt hệ sau :
2
2
(2 3) 2 1
(1)
(2 3) 3 1
x y x
y x

− = + +



− = +


đây không phải là hệ đối xứng loại 2 nhưng chúng ta
vẫn giải hệ được , và từ hệ này chúng ta xây dưng được bài toán phương trình sau :
Bài 1 . Giải phương trình:
2
4 5 13 3 1 0x x x+ − + + =
Nhận xét : Nếu chúng ta nhóm như những phương trình trước :
2
13 33
2 3 1
4 4
x x
 
− = + −
 ÷
 
Đặt
13
2 3 1
4
y x− = +
thì chúng ta không thu được hệ phương trình mà chúng ta có thể giải
được.
Để thu được hệ (1) ta đặt :
3 1y x
α β

+ = +
, chọn
,
α β
sao cho hệ chúng ta có thể giải
được , (đối xứng hoặc gần đối xứng )
Ta có hệ :
( )
2
2 2 2
2
2
2 3 1 0 (1)
3 1
(*)
4 13 5 0 (2)
4 13 5
y y x
y x
x x y
x x y
α αβ β
α β
α β
α β


+ − + − =
+ = +
 

⇔
 
− + + + =

− + = − −



Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2): và mong muốn của chúng ta là có
nghiệm
x y=
Nên ta phải có :
2 2
2 3 1
4 13 5
α αβ β
α β
− −
= =
− +
, ta chọn được ngay
2; 3
α β
= − =
Ta có lời giải như sau :
Điều kiện:
1
3
x ≥ −
,

Đặt
3
3 1 (2 3), ( )
2
x y y+ = − − ≤
Ta có hệ phương trình sau:
2
2
(2 3) 2 1
( )(2 2 5) 0
(2 3) 3 1
x y x
x y x y
y x

− = + +

⇒ − + − =

− = +


Với
15 97
8
x y x
−
= ⇒ =
Với
11 73

2 2 5 0
8
x y x
+
+ − = ⇒ =
Kết luận: tập nghiệm của phương trình là:
15 97 11 73
;
8 8
 
− +
 
 
 
 
Chú ý : khi đã làm quen, chúng ta có thể tìm ngay
;
α β
bằng cách viết lại phương trình
ta viết lại phương trình như sau:
2
(2 3) 3 1 4x x x− = − + + +
khi đó đặt
3 1 2 3x y+ = − +
, nếu đặt
2 3 3 1y x− = +
thì chúng ta không thu được hệ như
mong muốn , ta thấy dấu của
α
cùng dấu với dấu trước căn.

Một cách tổng quát .
Xét hệ:
( ) . . (1)
( ) '. ' (2)
f x A x B y m
f y A x m
= + +


= +

để hệ có nghiệm x = y thì : A-A’=B và m=m’,
Nếu từ (2) tìm được hàm ngược
( )
y g x=
thay vào (1) ta được phương trình
Như vậy để xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm được và hơn nữa
hệ phải giải được.
Một số phương trình được xây dựng từ hệ.
Giải các phương trình sau
1)
2
4 13 5 3 1 0x x x− + + + =
2)
2
4 13 5 3 1 0x x x− + + + =
3)
3 2
3

4
81 8 2 2
3
x x x x− = − + −
4)
3
3
6 1 8 4 1x x x+ = − −
5)
( )
( )
2
15
30 4 2004 30060 1 1
2
x x x− = + +
6)
3 2
3
3 5 8 36 53 25x x x− = − + −
TRAO ĐỔI PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
* Khi các bạn giải phương trình (pt) dạng
dcxbax +=+
, chúng ta đều biết bình phương 2 vế để khử căn bậc hai,
vậy với pt
edxcxbax ++=+
2
có giải được bằng phương pháp đó được nữa không ? Xin trả lời trừ một số trường
hợp đặc biệt. Vậy thì có phương pháp giải chung không ? Đây là câu hỏi mà nhiều bạn đọc chưa trả lời được.
* Ví dụ khi giải pt sau:

36
6112
6
29
3
2
+
=−+
x
xx
, ta đặt
6
1
36
6112
+=
+
y
x

1
6
y
 
≥ −
 ÷
 
rồi khi giải pt:
20041603212004
2

=+−− xxx
, ta đặt
2
1
,12160321 ≥−=+ ttx
.
* Vậy bạn đã tự hỏi xem tại sao lại có được phép đặt như vậy. Đặc biệt với các bạn đã học về đạo hàm thì phương
pháp sau sẽ giải quyết bước chọn đặt nhanh hơn rất nhiều. Sau đây là nội dung phương pháp cụ thể:
1. Dạng 1:
2
1
,( 0, 0, )ax b mx cx d a m m
a
+ = + + ≠ ≠ =

Xét hàm số
dcxx
a
y ++=
2
1
=>
2
0
2
)('
ac
xcx
a
xf −=<=>=+=

Đặt
2
ac
ybax
+=+
, ta sẽ đưa pt dạng 1 về hệ đối xứng quen thuộc.
Ví dụ: Giải pt sau:
36
6112
6
29
3
2
+
=−+
x
xx
Làm nháp:
6
29
3)(
2
−+= xxxf
=>
6
1
016)(' −=<=>=+= xxxf
.
Giải: Đặt
6

1
36
6112
+=
+
y
x
,
6
1
−≥y

2
12 61 1 1
36 3 36
x
y y
+
⇔ = + +

( )
2 2
12x 61 36y 12y 1 3y y x 5 1⇔ + = + + ⇔ + = +
Mà theo cách đặt ta có:
6
1
6
29
3
2

+=−+ yxx
( )
2
3x x y 5 2⇔ + = +
Từ (1) và (2) ta có hệ:





+=+
+=+
53
53
2
2
yxx
xyy

( )
( )
2 2
3 y – x y – x x – y⇔ + =
( ) ( )
x y 3y 3x 2 0 y x ⇔ − + + = ⇔ =
hoặc
3
23 +
−=
x

y
.
* Với
2
5
y x 3y 5 y x
3
= ⇒ = ⇒ = =
,(
6
1
−≥y
).
* Với
3
23 +
−=
x
y

2
3x x ⇒ +
=
3
23 +x
+5
⇔
9x
2
+6x - 13 = 0

=>
9
1263
2,1
±−
=x
. Từ đây ta tìm được y và kết luận được nghiệm của pt đã cho.
2. Dạng 2:
)
1
,0,0(,
2
c
acaedxcxbax
≠≠≠++=+
Xét f(x) = cx
2
+ dx + e => f’(x) = 2cx + d = 0 =>
c
d
x
2
−=
Đặt:
dcybax
+=+
2
.
Ví dụ 1: Giải pt sau:
32359

2
++=−
xxx
Làm nháp: f(x) = 3x
2
+ 2x + 3 =>f’(x) = 6x + 2 = 0 =>x = - 1/3.
Giải: Đặt
3
1
,1359 −≥+=− yyx
=> 9x – 5 = 9y
2
+6y + 1 <=> 9y
2
+ 6y = 9x – 6 <=> 3y
2
+ 2y = 3x – 2 (1)
Mặt khác ta có: 3x
2
+ 2x + 3 = 3y +1 <=> 3x
2
+ 2x = 3y – 2 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ





−=+
−=+

2323
2323
2
2
yxx
xyy
đến đây xin dành cho bạn đọc tự giải như ví dụ trên.
Ví dụ 2: Giải pt sau:
20041603212004
2
=+−−
xxx
Làm nháp: Xét hàm số f(x) = x
2
– x – 2004 => f’(x) = 2x – 1 = 0 <=> x =
2
1
Giải: Đặt
2
1
,12160321 ≥−=+ ttx
=> t
2
– t = 4008x, (1)
Mặt khác do từ pt ta có: x
2
– x – 2004 = 2004( 2t – 1) => x
2
– x = 4008t,(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ PT sau:






=−
=−
txx
xtt
4008
4008
2
2
=> (t
2
– x
2
) – (t – x) = 4008(x – t)
<=> (t – x)[ t + x – 1 + 4008] = 0
<=> t = x hoặc t = - x – 4007.
* Với t = x ta có: x
2
– 4009x = 0 <=> x = 0 và x = 4009. Ta có x = 0 không thỏa mãn.
* Với t = - x – 4007=> x
2
– x = 4008(- x- 4007) <=> x
2
+4007x + 4007.4008 = 0 => PT vô nghiệm.
KL: pt đã cho có nghiệm duy nhất x = 4009.
3. Dạng 3:

)
1
,0,0(,
23
3
c
acamexdxcxbax
=≠≠+++=+
Xét hàm số f(x) =
mexdxcx
+++
23
=> f’(x) = 3cx
2
+ 2dx + e =>f’’(x) = 6cx + 2d = 0
=>
c
d
x
3
−=
Khi đó bằng phép đặt:
c
d
ybax
3
3
+=+
Ví dụ: Giải pt sau:
xx

x
x
4
9
2
3
38
63
3
2
3
3
+−=−
Làm nháp: Xét hàm số f(x) =
xx
x
4
9
2
3
3
2
3
+−
=> f’(x) = x
2
- 3x +9/4 =>f’’(x) = 2x – 3 = 0 <=>
2
3
=x

.
Giải: Đặt
2
3
8
63
3
3
−=− yx
=>
8
27
4
27
2
9
8
63
3
23
−+−=− yyyx
<=>
yyyx
4
27
2
9
2
9
3

23
+−=−

<=> 12x – 18 = 4y
3
– 18y
2
+ 27y, (1).
Từ pt và theo cách đặt ta có:
xx
x
y
4
9
2
3
32
3
2
3
+−=−
<=>12y – 18 = 4x
3
– 18x
2
+ 27x (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ:






+−=−
+−=−
xxxy
yyyx
271841812
271841812
23
23
( việc giải hệ này xin dành cho bạn đọc)
4. Dạng 4:
3 2
3
1
,( 0, 0, )ax b cx dx ex m a c c
a
+ = + + + ≠ ≠ ≠
Xét hàm số f(x) =
mexdxcx
+++
23
=> f’(x) = 3cx
2
+ 2dx + e
 f’’(x) = 6cx + 2d = 0 =>
c
d
x
3

−=
,
 Khi đó bằng phép đặt:
dcybax +=+ 3
3
Ví dụ: Giải pt sau:

2
3
4
2881
23
3
−+−=− xxxx
Làm nháp: Xét hàm số f(x) =
2
3
4
2
23
−+−
xxx
=> f’(x) = 3x
2
– 4x + 4/3
=> f’’(x) = 6x – 4 = 0 <=>
3
2
=x
do

c
a
1
≠
.
Giải: Đặt
23881
3
−=− yx
=> 3x = y
3
– 2y
2
+
y
3
4
,( Biến đổi tương tự ta có hệ)







+−=
+−=
yyyx
xxxy
3

4
23
3
4
23
23
23
=> (x – y)( x
2
+ xy +y
2
- 2x – 2y +
3
13
) = 0(*),
Do x
2
+ xy +y
2
- 2x – 2y +
3
13
=
0
3
1
)2(
2
1
)2(

2
1
)(
2
1
222
>+−+−++ yxyx
, nên từ (*) ta có x = y => 3x = x
3
– 2x
2

+
x
3
4
=> x
1
= 0 ; x
2,3
=
3
623 ±
Trên đây chỉ là một số ví dụ điển hình.Để thành thạo hơn các bạn luyện tập qua một số ví dụ dưới đây. Hi vọng
rằng phương pháp trên đem lại cho bạn thành công khi giải phương trình chứa căn.
Bài tập tự luyện:
Giải các phương trình sau:
1)
22
2

+−= xx
2)
534
2
+=−− xxx
3)
3
3
2332 −=+ xx
4)
513413
2
−+−=+ xxx
5)
541
2
++=+ xxx
6)
xx
x
77
28
94
2
+=
+