Đề thi HSG toán 9 - NH: 2012-2013

UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2012 – 2013
Khóa ngày 04/11/2012
ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (3 điểm)
Chứng minh rằng: M = 5
n
(5
n
+ 1) – 6
n
(3
n
+ 2) chia hết cho 91 với mọi số nguyên n.
Bài 2: (5 điểm)
a/ Rút gọn biểu thức A =
7 2 2 50 18 128− + + −
b/ Rút gọn biểu thức
( ) ( )
2
3
1 1 2
1
2 1 2 1
x
B
x
x x
+
= + −

−
+ −
, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của B
Bài 3: (5 điểm)
Cho x, y, z là các số không âm. Chứng minh rằng:
a/ (x + y)(y + z)(z + x)
≥
8xyz
b/
yz zx xy
x y z
x y z
+ + ≥ + +
Bài 4: (5 điểm)
Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Lấy điểm G trên cạnh BC, H trên
cạnh CD sao cho
·
0
45GOH =
. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng:
a/ Tam giác HOD và tam giác OGB đồng dạng.
b/ MG song song với AH.
Bài 5: (2 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O và
·
0
(0 90 )AOD
α α
= < <
. Gọi S là

diện tích của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: S =
1
AC.BD.sin
2
α
HẾT
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9
(THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 2013)

Bài Đáp án Điểm
Bài 1:
(3 đ)
Ta có: 91 = 7.13 mà (7 ; 13) = 1 nên chỉ cần chứng minh M chia hết cho 7 và
chia hết cho 13.
M = (25
n
– 18
n
) – (12
n
– 5
n
)
Do: (25
n
– 18
n
)
M
(25 – 18)= 7 ; (12

n
– 5
n
)
M
(12 – 5) = 7 nên M
M
7
Mặt khác: M = (25
n
– 12
n
) – (18
n
– 5
n
)
Do: (25
n
– 12
n
)
M
(25 – 12)= 13 ; (18
n
– 5
n
)
M
(18 – 5) = 13 nên M

M
13
Tóm lại: M vừa chia hết cho 7, vừa chia hết cho 13, mà (7 ; 13) = 1
Nên M
M
7.13 hay M
M
91
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 2:
(5 đ)
a/

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2
2
7 2 2 50 4 2.4 2 2 7 2 2 50 4 2
7 2 2 5 2 4 2 7 2 6 4 2 7 2 2 2
7 2 2 2 3 2 2 2 1 2 1
A = − + + − + = − + + −
= − + + − = − + = − +

= − + = − = − = −
0,5 đ
0,75 đ
0,75 đ
b/
( ) ( )
2
3
1 1 2
1
2 1 2 1
x
B
x
x x
+
= + −
−
+ −
đkxđ:
0 ; 1x x≥ ≠
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
3
2
1 1
2 1 2

1 1
1 1
2 1 1
x x
x x
B
x x
x x x
x x
− + +
+ +
= − = − =
− −
− + +
+ −

( )
( )
2 2
2
2
1 2 1
1
1 1
x x x
x x
x x x
+ + − − −
= =
+ +

− + +

Vì x
≥
0 nên x
2
+ x + 1
≥
1 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = 0
2
1
1x x
⇒
+ +
đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi x = 0
Lúc đó: minB = -1 khi x = 0
0,5 đ
1 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 3:
(5 đ)
a/ Do x, y, z không âm nên áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
2x y xy+ ≥
;
2y z yz+ ≥
;
2z x zx+ ≥
2 2 2

( )( )( ) 8 8x y y z z x x y z xyz⇒ + + + ≥ =
1,5 đ
0,5 đ
b/ Do x, y, z không âm nên áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
2 2
yz zx yz zx
z
x y x y
+ ≥ × =
2 2
yz xy yz xy
y
x z x z
+ ≥ × =
2 2
zx xy xz xy
y
y z y z
+ + ≥ × =
Cộng vế theo vế:
( )
2 2
yz zx xy
x y z
x y z
 
+ + ≥ + +
 ÷
 
0,5 đ

0,5 đ
0,5 đ
1 đ
yz zx xy
x y z
x y z
⇒ + + ≥ + +
0,5 đ
Bài 4:
(5 đ)
Hình vẽ: 0,5 đ
a/
·
µ
0 0 0
1
180 45 135HOD O+ = − =


·
µ
µ
0 0 0 0
1 1
180 180 45 135OGB O B+ = − = − =

·
·
HOD OGB⇒ =
và

¶
µ
0
1 1
45D B= =

HOD⇒ ∆

OGB∆
(g-g)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b/ Từ câu a/ suy ra
HD DO
OB BG
=
. .HD BG OB OD
⇔ =

Đặt BM = a > 0 thì AD = 2a, OB = OD = a
2
Ta có:
. . 2. 2 2 . .HD BG OB OD a a a a AD BM= = = =

HD BM
AD BG
⇒ =
và

·
·
ADC ABC=

AHD⇒ ∆

GMB∆
(c-g-c)
· ·
AHD GMB⇒ =
mà
·
·
AHD HAB=
(so le trong)
·
·
GMB HAB⇒ =
do hai góc này ở vị trí đồng vị nên MG // AH
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 5:
(2 đ)
Hình vẽ: 0,25 đ
kẻ AH
⊥
BD, CK

⊥
BD
Ta có: S = S
ABD
+ S
CBD
=
1 1 1
. . ( )
2 2 2
AH BD CK BD BD AH CK+ = +
Mà: AH = OA.sin
α
; CK = OC.sin
α
( ) ( )
1 1 1
.sin .sin .sin . .sin
2 2 2
S BD OA OC BD OA OC AC BD
α α α α
⇒ = + = + =
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
α
K
H
O

A
D
B
C
1
1
a
1
M
B
D
C
A
O
G
H