Đề thi HSG Toán 9 Huyện Kim Thành

Phòng giáo dục và đào tạo
huyện Kim Thành
Đề thi chọn học sinh giỏi huyện
năm học 2013 2014
Môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề gồm 01 trang
Bài 1: (5,0 điểm)
Cho biểu thức A =
3 2 2
: 1
2 3 5 6 1
x x x x
x x x x x

+ + +
+ +
ữ ữ
ữ ữ
+ +

với x

0; x

4; x

9
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của A khi x =
6 2 5

c) Với giá trị nào của x thì
1
A
đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó?
Bài 2: (4,0 điểm)
Giải các phơng trình sau:
a)
4 1 1 2x x x+ =
b)
2 2
3 2 1 6 3 1 2 2 2 1x x x x x x+ + + + = + + + +
Bài 3: (2,0 điểm)
Cho các số dơng a; b; c thoả mãn: ab + bc + ac = 1
Chứng minh rằng:
2 2 2
2 9
4
1 1 1
a b c
P
a b c
= + +
+ + +
Bài 4: (7,0 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đờng cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. Gọi M là
trung điểm của HC; N là trung điểm của AC, AM cắt HN tại G. Đờng thẳng qua M vuông
góc với HC và đờng thẳng qua N vuông góc với AC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng:
a) Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC từ đó suy ra:
2
.

AEE ABC
S S cos BAC=
b) BH.KM = BA.KN
c)
5 5 5
5 5 5
4 2
GA GB GH
GM GK GN
+ +
=
+ +
Bài 5: (2,0 điểm)
Xét 20 số nguyên dơng đầu tiên: 1; 2; 3; 4 20. Hãy tìm số nguyên d ơng k nhỏ nhất
có tính chất: Với mỗi cách lấy ra k số phân biệt từ 20 số trên, đều lấy đợc hai số phân biệt
a và b sao cho a + b là số nguyên tố?
Hớng dẫn bài 3:
Ta cã: 1 + a
2
= (a + b)(a + c); 1 + b
2
= (b + c)(b + a); 1 + c
2
= (c + b)(c + a)
VËy
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2
4 4
1 1 1

a b c a b c
P
a b a c b a b c c a c b
a b c
= + + = + +
+ + + + + +
+ + +

¸p dông B§T cosi ta cã:
( ) ( )
1 1 1 1 1 1 9
4 4 4
P a b c
a b a c b c b a c a c b
   
 
≤ + + + + + =
 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷
+ + + + + +
 
   
DÊu = x¶y ra khi:
1
15
7
7
15
b c

a b

= =




= =

