Tổ hợp và Xác Suất

BÀI TẬP TỔ HỢP – XÁC SUẤT

Đỗ Văn Thọ
(Biên soạn)

Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ



2


BÀI TẬP: TỔ HỢP – XÁC SUẤT
A. Các bài toán về số sổ hợp, số chỉnh hợp và nhị thức niu – tơn
I. Một số kiến thức cần ghi nhớ:




! . 1 . 2 1
0! 1
n
P n n n n
   


 
!
, 0 k n
! !
k
n
n
C
k n k
  


 
!
, 1 k n
!
k
n
n
A
n k
  


, 0 k n
k n k
n n
C C


  

1
1 1
, 1 k<n
k k k
n n n
C C C

 
  


     
 
0 1 1 2 2 2 1 1
0
0 1 1 2 2 2
0

1 1
1
n
n n n k n k k n n n n
n n n n n n
n
k n k k
n
k
n k n

n n n k n k k n n
n n n n n
n
k
k n k k
n
k
a b C a C a b C a b C a b C ab C b
C a b
a b C a C a b C a b C a b C b
C a b
    


  


        

         
 



Số hạng tồng quát của nhị thức


n
a b
 có dạng

1
k n k k
k n
T C a b



II. Bài tập:
Bài 1: Cho k, n là các số nguyên và
3
k n
 
. Chứng minh
1 2 3
3
3 3
k k k k k
n n n n n
C C C C C
  

   

Bài 2: Cho k, n là các số nguyên và
4
k n
 
. Chứng minh
1 2 3 4
4

4 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
   

    
Bài 3: Cho k, n là các số tự nhiên và
4
k n
 
. Chứng minh
1 2 3 2 3
2 3
2 5 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
    
 
    

Bài 4: Chứng minh các hệ thức sau:
 
   
2 1 2
1
1 1
1
2

2
, k 2
A , 1
1 , 0, 0
1 1 , 2
n n n
n k n k n k
k k k
n n n
k k k
n n n
k k
n n
A A k A
A kA n k
nC k C kC n k n
k k C n n C n k
 
  

 



  
   
     
    

Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ



3

Bài 5: Viết 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng của x của:
10
. 1
2
x
a
 

 
 
b.


8
3 2
x

Bài 6: Khai triển:
a.
7
1
x

x
 

 
 
b.


7
a b
 c.
 




6
2 2
1 1
P x x x
  

Bài 7: Tìm số hạng chính giữa của khai triển:
a.


10
1
x
 b.

 
2008
4
P x x
x
 
 
 
 

Bài 8: Tìm số hạng không chứa x của khai triển:
a.
 
12
1
, 0
P x x x
x
 
  
 
 

b.
7
3
4
1
, 0
x x

x
 
 
 
 

Bài 9: Trong khai triển
28
3
15
n
x x x

 

 
 
, tìm số hạng không chứa x. Biết rằng:
1 2
79 , 2
n n n
n n n
C C C n
 
   

Bài 10: Tìm hệ số của số hạng chứa
8
x
trong khai triển nhị thức Niu – tơn

5
3
1
n
x
x
 

 
 
, biết rằng


1
4 3
7 3 , 0
n n
n n
C C n n

 
   

Bài 11: Tìm các số hạng nguyên trong khai triển:
a.


5
3
2 3


b.
7
3
4
5
2
 

 
 

Bài 12: Tìm hệ số của:
a.
10
x
trong khai triển


75
5 3
x

b.
31
x
trong khai triển
40
2
1

x
x
 

 
 

Bài 13: Tìm hệ số của:
a.
25 10
x y
trong khai triển của


15
3
x xy


b.
101 99
x y
trong khai triển


200
2 3
x y

Bài 14: Trong khai triển

12
x
1
x







hãy tìm số hạng tự do.

Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ



4

Bài 15: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn:
a/ ( 2a+b)
4
, b/ ( x-3y)
5
, c/
6
x
3
x









Bài 16: Tìm hệ số của:
a.
16
x
trong khai triển


10
2
2
x x


b.
1008
x
trong khai triển
2009
2
3
1
x
x

 

 
 

c.
8
x
trong khai triển
12
1
x
x
 

 
 
(ĐHCHQG - 2000)
d.
3 7
x y
trong khai triển


10
2
x y

e.
10

x
trong khai triển
10
2
1
3
3
x
 

 
 

f.
12
x
trong khai triển
20
3
3
2x
x
 

 
 

g.
43
x

trong khai triển
21
5
3
2
1
x
x
 

 
 

Bài 17: Tìm số hạng chứa
28
x
trong khai triển


10
3
x xy


Bài 18: Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển:
a.


21
3

x xy
 (nghĩa là có 2 số hạng đứng giữa là số hạng thứ 11, 12)
b.
 
20
4
2
3
1
x x
xy
 
 

 
 

Bài 19: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
a.
7
3
4
1
x
x
 

 
 
, với x>0 (ĐH khối D - 2004)

b.
17
4
3
3
2
1
x
x
 

 
 
, với
0
x

(ĐH QG HN 2000)
c.
50
3
2
1
x
x
 

 
 
, với

0
x



Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ



5

d.
12
3
3
2
1
x x
x
 

 
 
 
, với
0
x


e.

16
3
4
2
1
1
x
x
 
 
 
 
, với
0
x


f.
60
14
1
x
x
 

 
 
, với
0
x



g.
12
3
4
1
x
x
 

 
 
, với
0
x


h.


8
2 4
1
x x
 
i.
20
2
1

x
x
 

 
 
, với
0
x


j.
15
3
2
3
2x
x
 

 
 
, với
0
x


Bài 20: Trong khai triển
28
3

15
n
x x x

 

 
 
,
0
x

. Hãy tìm số hạng không phụ
thuộc vào x, biết rằng
1 2
79
n n n
n n n
C C C
 
  

Bài 21: Tìm hệ số của số hạng chứa:
a.
8
x
trong khai triển
12
5
4

1
x
x
 

 
 

b.
5
x
trong khai triển




5 10
2
1 2 1 3
x x x x
   (Khối D - 2007)
Bài 22: Giải các phương trình sau:
a.
1 2 3
7
2
n n n
C C C n
  
b.

1 2 3 2
6 6 9 14
n n n
C C C n n
   
c.
2 2 2 3 3 3
2 100
n n
n n n n n n
C C C C C C
 
  
d.
5
3 5
720
n n n
P A P
 

e.
2 2
2 6 12
n n n n
P A P A
  

f.
3 2

1
3 12
n n n
A A P

 
g.
4 5 6
1
3
n n n
C C C

 

Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ



6

Bài 23: Tìm hệ số của số hạng chứa
8
x
trong khai triển
5
3
1
n
x

x
 

 
 
, biết rằng


1
4 3
7 3
n n
n n
C C n

 
  

Bài 24: Cho khai triển
3
23
3
n
x
x
 

 
 
. Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên

trong khai triển bằng 631. Tìm hệ số của số hạng có chứa
5
x

Bài 25: Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển nhị thức sau
a.
18
3
3
1
x
x
 

 
 
b.
12
1
x
x
 

 
 

Bài 26: Tìm hệ số của số hạng
4

x
trong khai triển
12
3
3
x
x
 

 
 

Bài 27: Trong khai triển
 
28
3
15
, 0
n
x x x x

 
 
 
 
. Hãy tìm số hạng không chứa
x
. Biết rằng
1 2
79

n n n
n n n
C C C
 
  

Bài 28: Tìm
x
trong khai triển của nhị thức
1
2
2 2
n
x
x

 

 
 
có tổng số hạng thứ 3 và thứ 5 bằng 135, còn tổng
2 1
22
n n n
n n n
C C C
 
  

Bài 29: ìm hệ số của số hạng chứa

2
x
trong khai triển nhị thức
3
2
1
n
x
x
 

 
 
.
Biết tổng ba hệ số thứ nhất, thứ hai, thứ ba trong khai triển trên là 11
Bài 30: Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển


6
3 15


Bài 31: Tìm số hạng nguyên trong khai triển


9
3
3 2

Bài 32: Tính hệ số của

25 10
x y
trong khai triển


15
3
x xy


B. Một số bài toán về quy tắc đếm:
I. Tóm tắt kiến thức:
1. Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một trong hai
phương án A hoặc B. Phương án A có thể thực hiện bởi n cách, phương
án B có thể thực hiện m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n+m
cách

Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ



7

2. Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và
B. Công đoạn A có thể làm theo n cách, công đoạn B có thể làm theo m
cách. Khi đó công việc được thực hiện theo n.m cách
3. Hoán vị (hiểu nôm na như sau): Cho tập hợp A gồm n phần tử, khi đó ta
lấy “tất cả” n phần tử đó ta đi sắp xếp vào “n vị trí” đã có sẵn
4. Chỉnh hợp (hiểu nôm na như sau): Cho tập hợp A gồm n phần tử, khi đó
ta lấy ra “k phần tử trong n phần tử”, sau đó ta lấy k phần tử đó ta

“sắp xếp vào k vị trí” đã có sẵn thì gọi là “chỉnh hợp chập k của n phần
tử”
5. Tổ hợp (hiểu nôm na như sau): Cho tập hợp A gồm n phần tử, khi đó ta
lấy ra “k phần tử trong n phần tử”, gọi là “tổ hợp chập k của n phần
tử”
Nhận xét: Chỉnh hợp khác tổ hợp ở chỗ là “Chỉnh hợp thì ta lấy ra k
phân tử trong n phần tử rồi đi sắp xếp vào k vị trí đã có sẵn” còn “tổ
hợp thì ta chỉ lấy ra k phần tử trong n phần tử chứ không sắp xếp gì
hết”.
* Các chú ý khi giải bài tập
1. Trong bài toán đếm thì ta ưu tiên đếm các trường hợp có điều kiện đặc biệt
(trường hợp số 0 đứng đầu trong bài toán đếm số, các điều kiện ràng buộc khác của
bài toán…)
2. Ta thường lẫn lộn giữa tổ hợp và chỉnh hợp, điểm khác nhau cơ bản là sắp
xếp có thứ tự hay không. Để phân biệt ta làm như sau: Đầu tiên ta đưa ra một đáp
án của bài toán sau đó ta đảo vị trí các phần tử trong đáp án, nếu:
- Tạo nên đáp án mới

có thứ tự

tổ hợp
- Không tạo nên đáp án mới

không có thứ tự

chỉnh hợp
II. Bài tập:
Bài 1: Một lớp có 30 học sinh. Cần chọn một bạn làm lớp trưởng, một bạn
làm lớp phó và một bạn làm thư ký. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, biết rằng học
sinh nào cũng có khả năng làm lớp trưởng, lớp phó hoặc thư ký như nhau.

Bài 2: Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ.

Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ



8

a) Có bao nhiêu cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi về môi trường.
b) Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh gồm 2 nam và 1 nữ tham gia sân chơi
kiến thức dưới cờ.
c) Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh trực an toàn giao thông, biết rằng trong
đó phải có ít nhất 2 học sinh nam.
Bài 3: Một trường phổ thông có 5 học sinh giỏi lớp 10, 6 học sinh giỏi lớp 11
và 8 học sinh giỏi lớp 12. Cần chọn 4 học sinh để tham gia đội tuyển thi “Đố
vui để học”. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu mỗi khối có ít nhất một học
sinh.
Bài 4: Một học sinh có 4 quyển sách Toán khác nhau và 3 quyển sách Văn
khác nhau. Cần sắp xếp 7 quyển sách trên thành một dãy theo hàng ngang trên
một tủ sách.
a) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp.
b) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu 2 quyển kề nhau phải khác nhau.
Bài 5: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu:
a) Số lẻ có 3 chữ số khác nhau.
b) Số chia hết cho 5 và có 3 chữ số khác nhau.
Bài 6: Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu ra 1 chủ tịch, 1 phó chủ
tịch, 1 uỷ ban thư ký và không được bầu 1 người vào 2 hay 3 chức vụ. Hỏi có
mấy cách ?
Bài 7: Từ 7 chữ số



0,1,2,3,4,5,6
có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số
đôi một khác nhau
a. Nếu số đó là số lẻ
b. Nếu số đó là số chẵn
ĐS: a.
900
số b.
1260
số
Bài 8: Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế. Hỏi có mấy cách
xếp sao cho :
a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ?
b) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam A, một người nữ B phải ngồi kề
nhau ?

Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ



9

c) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam C, một người nữ D không được
ngồi kề nhau ?
Bài 9: Cho tám chữ số


0;1;2;3;4;5;6;7
. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 4

chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10
ĐS:
1260
số
Bài 10: Cho 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9. Hỏi từ các chữ số đã cho, lập được mấy
số đôi một khác nhau và :
a) Gồm 3 chữ số ?
b) Gồm 3 chữ số và nhỏ hơn 400 ?
c) Gồm 3 chữ số và chẵn ?
d) Gồm 3 chữ số và chia hết cho 5 ?
Bài 11: Có 100000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi số vé gồm 5
chữ số khác nhau.
Bài 12: Xét dãy số gồm 7 chữ số (mỗi chữ số được chọn từ 0, 1, …., 8, 9)
thỏa chữ số vị trí số 3 là số chẵn, chữ số cuối không chia hết cho 5, các chữ số
4, 5, 6 đôi một khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
Bài 13: Cho 10 chữ số 0, 1, 2, …, 7, 8, 9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác
nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ các chữ số trên.
Bài 14: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số từ
X mà chữ số 1 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần.
Bài 15: Người ta viết ngẫu nhiên các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu,
sau đó xếp ngẫu nhiên thành 1 hàng.
a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành.
b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được tạo thành.
Bài 16: Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ 0,
2, 3, 6, 9.
Bài 17: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của
mỗi số là một số lẻ.
Bài 18: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
Bài 19: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu:

Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ



10

a) Số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một.
b) Số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5.
c) Số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9.
Bài 20: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ
số khác nhau mà số đó không chia hết cho 3.
ĐS:
66
số
Bài 21
a. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu
tiên là số lẻ
b. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng ba số lẻ
và ba chữ số chẵn
ĐS: a.
42.000
số b.
64.800
số
Bài 22: Cho các chữ số


0;1;2;3;4;5
. Từ các chữ số đã cho ta lập được
a. Bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số và 4 chữ số đó khác nhau từng đôi một

b. Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng
đôi một
c. Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng
đôi một
ĐS: a.
156
số b.
36
số c.
16
số
Bài 23: Với các chữ số


0;1;2;3;4;5;6
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có chữ số 5
ĐS:
1560
số
Bài 24:
a. Có thể tìm được bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau đôi một
b. Từ có chữ số


0;1;2;3;4;5;6;7
lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi
một khác nhau
ĐS: a.
648

số b.
3000
số
Bài 25: Từ các chữ số


1;2;3;4;5;6
thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác
nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6
không đứng cạnh nhau

Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ



11

ĐS:
480
số
Bài 26: Từ các chữ số


1;2;3;4;5;6;7;8;9
thiết lập tất cả các số có 9 chữ số
khác nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được có bao nhiêu số mà chữ số 9
đứng ở vị trí giữa
ĐS:
40.302
số

Bài 27:
a. Có nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số


1;2;3;4;5

b. Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau tạo thành từ các chữ số


1;2;3;4;5;6
mà các chữ số đó nhỏ hơn số 345
ĐS: a.
24
số b. 50 số
Bài 28: Với các số


1;2;3;4;5;6;7;8;9
có thể lập được bao nhiêu số chẵn có
3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 789
ĐS:
171
số
Bài 29: Với các chữ số


1;2;3;4;5;6
ta lập các số mà mỗi số có 5 chữ số,
trong đó các chữ số khác nhau đôi một. Hỏi:
a. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2

b. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và số 6
ĐS: a. 600 số b. 480 số
Bài 30: Cho tập


0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
A

có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số
khác nhau nhỏ hơn 600.000 được thiết lập từ tập A đã cho
ĐS:
36.960

Bài 31: Cho tập


0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
A

có thể thành lập bao nhiêu số gồm
6 chữ số khác nhau sao cho trong các chữ số đó có mặt chữ số 0 và 1
ĐS: 42.000 số
Bài 32: Cho tập


0;1;2;3;4;5;6;7
A

có thể lập được bao nhiêu số gồm 5
chữ số khác nhau đôi một trong các trường hợp sau:

a. Số 5 chữ số là số chẵn
b. Một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 1

Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ



12

ĐS: a. 3000 số b. 2280 số
Bài 33: Một lớp học có 25 học sinh. Lớp học muốn chọn ra: một lớp trưởng,
một lớp phó, một thủ quỹ mà không kiêm nhiệm. Hỏi có bao nhiêu cách
ĐS:
13.800
cách
Bài 34: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn
chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một
bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy?
ĐS: 1200 cách
Bài 35: Một nhóm học sinh gồm 10 nam, 6 nữ. Chọn ra một tổ gồm 8 người.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn để tổ có nhiều nhất là năm nữ
ĐS: 12825 cách
Bài 36: Một lớp học có 40 học sinh, lớp cần cử ra một ban cán sự lớp gồm
một lớp trưởng, một lớp phó và 3 ủy viên. Hỏi có mấy cách lập ra ban cán sự
lớp
ĐS: 13.160.160
Bài 37: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D và E vào một
chiếc ghế dài sao cho:
a. Bạn C ngồi chính giữa
b. Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế

ĐS: a. 24 cách b. 12 cách
Bài 38: Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta
chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra
không có đủ ba màu
ĐS: a.
645
cách
Bài 39: Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn
xếp chỗ ngồi cho 10 hoc sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp
chỗ ngồi nếu:
a. Các học sinh ngồi tùy ý
b. Các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi môt bàn
ĐS: a. 3.628.800 b. 28.800

Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ



13

Bài 40: Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao
nhiêu cách cử ba người đi dự hội nghị Hội học sinh của trường sao cho trong
ba người đó có ít nhất một cán bộ lớp
ĐS: 324 cách
Bài 41: Có 5 nhà toán học nam, ba nhà toán học nữ và bốn nhà vật lý nam.
Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học
và nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách
ĐS: 90 cách
Bài 42: Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh
được chọn ra để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau:

a. Nếu phải có ít nhất hai nữ
b. Nếu chọn tùy ý
ĐS: a. 3.764.320 b. 8.145.060
Bài 43: Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn ra năm người sao cho:
a. Có đúng hai nam trong năm người đó
b. Có ít nhất hai nam và ít nhấ một nữ trong năm người đó
ĐS: a. 102 số b. 12.900 số
Bài 44: Một đội văn nghệ có 10 người trong đó có 6 nữ và 4 nam
a. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng
nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau
b. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam
ĐS: a.
120
cách b. 66 cách

C. XÁC SUẤT
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
- Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của
nó, mặc dù ta đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó
- Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là
không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là


- Biến cố là một tập con của không gian mẫu

Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ

14

- Tập

được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Còn tập

được gọi là biến cố chắc chắn.
- Xác suất của biến cố A
Ta gọi


n A
là số phần tử của A, còn


n

là số kết quả có thể xảy ra của
phép thử. Khi đó xác suất của biến cố A, kí hiệu là


P A

 


 
n A
P A
n




II. Bài tập:
Bài 1: Xác định không gian mẫu và số phần tử khi gieo ngẫu nhiên 1 đồng xu:
a. 1 lần
b. 2 lần liên tiếp
c. 3 lần liên tiếp
Bài 2: Xác định không gian mẫu và số phần tử khi gieo ngẫu nhiên:
a. 1 con xúc xắc
b. 2 con xúc xắc
c. 3 con xúc xắc
Bài 3: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 50
a. Mô tả không gian mẫu
b. Gọi A là biến cố “Số được chọn là số nguyên tố”. Hãy liệt kê các kết quả
thuận lợi cho A
Bài 4: Trong bình có 6 viên bi kích thước khác nhau, trong đó có 4 viên bi
trắng và 2 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi
a. Mô tả không gian mẫu
b. Mô tả biến cố có 2 bi trắng
c. Biến cố: “có nhiều nhất 2 bi trắng” có bao nhiêu khả năng?
Bài 5: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 9. Tính xác suất để:
a. Số được chọn là số nguyên tố
b. Số được chọn chia hết cho 3
Bài 6: Gieo hai con xúc xắc cân đối
a. Mô tả không gian mẫu

Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ

15

b. Gọi A là biến cố “tổng số chấm xuất hiện của hai con xúc xắc nhỏ hơn
hoặc bằng 7”. Liệt kê các kết quả thuận lợi cho A. Tính


P A

c. Cũng câu hỏi như trên cho các biến cố B: “Có ít nhất một con xúc xắc xuất
hiện mặt 6 chấm” và C: “Có đúng một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”
Bài 7: Một tổ gồm 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ
a. Cần chọn nhóm 4 người để làm trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác
nhau?
b. Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một nhóm 4 người ta được nhóm có
đúng 1 nữ
Bài 8: Cho tám quả cân có trọng lượng 1kg, 2kg, …,8kg. Chọn ngẫu nhiên 4
quả cân. Tìm xác suất để tổng trọng lượng bốn quả cân được chọn không vượt
quá 12kg
Bài 9: Trong 100 vé xổ số có 1 vé trúng 100.000 đồng, 5 vé trúng 50.000
đồng và 10 vé trúng 10.000 đồng. Một người mua ngẫu nhiên 4 vé. Tìm xác
suất để người mua trúng thưởng 250.000 đồng
Bài 10: Gieo đồng thời ba con xúc xắc. Tìm xác suất để:
a. Tổng số chấm xuất hiện ở 3 con là 10
b. Tổng số chấm xuất hiện ở 3 con là 7
Bài 11: Một khách sạn có 6 phòng đơn. Có 10 khách đến thuê phòng, trong đó
có 6 nam và 4 nữ. Người quản lí chọn ngẫu nhiên 6 người. Tìm xác suất để
a. Có 6 khách là nam
b. Có 4 khách nam, 2 khách nữ
c. Có ít nhất 2 khách nữ

Bài 12: Một hòm có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9. Chọn ngẫu nhiên ra 2 tấm
thẻ. Tính xác suất để tích của hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn
Bài 13: Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ ta được một sấp
bài. Tính xác suất để trong sấp bài này chứa hai bộ đôi (ĐS:
5
52
123552 /
C
)
Bài 14: Tìm xác suất để khi gieo con xúc xắc 6 lần độc lập, không lần nào
xuất hiện mặt có số chấm là một số chẵn. (ĐS:
1/ 64
)

Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ



16

Bài 15: Một người đi du lịch mang 3 hộp thịt, 2 hộp hoa quả và một hộp sữa
kích thước và hình dáng giống hệt nhau. Do trời mưa nên các hộp bị mất
nhãn. Chọn ngẫu nhiên 3 hộp. Tìm xác suất để trong đó có 1 hộp thịt, 1 hộp
sữa và 1 hộp hoa quả. (ĐS:
9 / 28
)
Bài 16: Tám người trong đó có hai vợ chồng anh Bình được xếp ngẫu nhiên
xung quanh bàn tròn. Tìm xác suất để họ ngồi cạnh nhau (ĐS:
2 / 7
)

Bài 17: Một bình chứa 16 viên bi, trong đó có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3
viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi. Tìm xác suất để rút được 5 viên bi
trắng, 3 viên bi đen và 2 viên bi đỏ (ĐS:
45 / 286
)
Bài 18: Một đoàn tàu có 7 toa đổ ở một sân ga. Có 7 hành khách từ sân ga lên
tàu, mỗi người độc lập với nhau chọn một cách ngẫu nhiên lên một toa. Tìm
xác suất để có đúng 1 khách lên tàu (ĐS:
7
7!/ 7
)
Bài 19: Một đợt xổ số phát hành 20.000 vé trong đó có 1 giải nhất, 100 giải
nhì, 200 giải ba, 1000 giải tư và 5000 giải khuyến khích. Tìm xác suất để 1
người mua 3 vé, trúng 1 giải nhì, 2 giải khuyến khích (ĐS:
25999 /199996666
)
Bài 20: Gieo đồng thời 3 con xúc xắc. Tìm xác suất để tổng số chấm xuất hiện
của ba con là 10 (ĐS:
1/ 9
)