chuyên đề nhị thức niuton-xác suất

VẤN ĐỀ 2
NHỊ THỨC NEWTON
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:
I)Công thức nhò thức Newton:
1)Với mọi số tự nhiên
1n
≥
và với mọi cặp số(a;b), ta có:
( )
nn
n
1n1n
n
1 kthứquát tổng hạngSố
kknk
n
22n2
n
1n1
n
n0
n
n
bCabC baC baCbaCaCba +++++++=+
−−
+
−−−
  
2)Dùng dấu Σ, ta có thể viết công thức nhò thức Newton dưới dạng sau:
( )
∑∑

=
−
=
−
==+
n
0k
knkk
n
n
0k
kknk
n
n
baCbaCba
3)Vài khai triển nhò thức Newton thường gặp:
( )
n
n
1n
n
knk
n
2n2
n
1n1
n
n0
n
n

CxC xC xCxCxC1x
+++++++=+
−−−−
( ) ( ) ( )
n
n
n
knk
n
k
2n2
n
1n1
n
n0
n
n
C1 xC1 xCxCxC1x
−++−+−+−=−
−−−
( ) ( ) ( )
0 1 2 2
1 1 1
n k n
k k n n
n n n n n
x C C x C x C x C x- = - + - + - + + -
II)Tính chất:
1)Số các số hạng của công thức bằng n+1.
2)Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhò thức (n -k) +

k = n.
3)Số hạng tổng quát thứ k+1 có dạng
kknk
n1k
baCT
−
+
=
(k = 0,1,….,n)
4) + n chẵn: Số hạng chính giữa là
1
2
n
T
+
+ n lẻ: Hai số hạng chính giữa là
2
1n
T
+
&
1
2
1n
T
+
+
5)Các hệ số nhò thức cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau.
6)
( )

n
n
k
n
1
n
0
n
n
n
C C CC112
+++++=+=
(Tổng các hệ số của các số hạng trong sự khai triển của nhò thức bằng 2
n
).
7)
( ) ( ) ( )
n
n
n
k
n
k
1
n
0
n
n
C1 C1 CC110
−++−++−=−=

CC CC
3
n
1
n
2
n
0
n
++=++⇔
(Tổng tất cả các hệ số đứng ở các vò trí lẻ bằng tổng tất cả các hệ số đứng ở các
vò trí chẵn).
II)Tam giác Pascal: (Hệ số của đa thức trong công thức Newton)
1)Dạng 1:

1 6 15 20 15 6 1 :6n
1 5 10 10 5 1 :5n
1 4 6 4 1 :4n
1 3 3 1 :3n
1 2 1 :2n
1 1 :1n
1 :0n
=
=
=
=
=
=
=

46
B/ CÁC DẠNG TOÁN CẦN LUYỆN TẬP:
1) Dùng công thức nhò thức Newton để khai triển nhò thức.
2) Tìm số hạng không chứa biến, số hạng tổng quát thứ k+1, số hạng chính
giữa,… trong khai triển nhò thức.
3) Dùng công thức nhò thức Newton để tính tổng hoặc chứng minh một đẳng
thức chứa các số tổ hợp.
BÀI TẬP
Bài 1: Khai triển
( )
6
y2x
+
;
5
2
x
1
x






−
;
( ) ( ) ( )
654
1x1x22x3

−−++−
;
( )
6
1x
+
Bài 2: Tìm hệ số của x
3
trong khai triển biểu thức :
(x + 1)
2
+ (x + 1)
3
+ (x + 1)
4
+ (x + 1)
5
+ (x + 1)
6

Bài 3: Trong khai triển nhò thức
n
x
1
x







+
, hệ số của số hạng thứ ba lớn hơn hệ số
của số hạng thứ hai là 35. Tìm số hạng không chứa x của khai triển nói
trên.
(Đề thi TN THPT Kì I 1996-1997)
Bài 4 : Tìm số hạng không chứa ẩn x, số hạng chính giữa trong khai triển nhò thức
Niu-Tơn:
12
1






+
x
x
.(Đề thi TN THPT Kì I 2000-2001)
Bài 5: Tính tổng
5
5
54
5
43
5
32
5
21

5
0
5
C2C2C2C2C2C
+++++
Bài 6: Chứng minh rằng :
1)
n
5
n
4
1n
n
C
1n
4
3
n
C
3
4
2
n
C
2
4
1
n
C41
=+

−−
+++++
2)
0
n
n
nC
1n
)1(
4
n
C4
3
n
C3
2
n
C2
1
n
C
=
−
−++−+−
3)
n1
1
1n
2
n1

n
n
C

31
3
n
C
21
2
n
C
11
1
n
C
0
n
C
+
−
+
=
+
++
+
+
+
+
+

+
Bài 7: Tổng các hệ số trong khai triển nhò thức
n3
2
nx2
1
nx2






+
bằng 64. Hãy xác
đònh số hạng không chứa x.
Bài 8: Với giá trò nào của x, số hạng thứ ba trong khai triển
( )
5
xlg
xx
+
bằng 100?
Bài 9 : Tìm số hạng không chứa ẩn x, trong khai triển của luỹ thừa:
10
x
6
x1







++
.
Bài 10 : Tìm số hạng thứ năm trong sự khai triển của
(
)
n
1
3
22
−
−
, nếu số hạng
cuối cùng của sự khai triển bằng
8log
3
3
93
1









.
Bài 11: Tìm số tự nhiên n, biết rằng trong dạng khai triển
n
2
1
x






+
thành đa thức
đối với biến x, hệ số của x
6
bằng bốn lần hệ số của x
4
.
47
Bài 12: 1) Tìm 3 hệ số đầu trong sự khai triển của nhò thức Newton của
n
4
1
2
1
x
2
1
x









+
−
( )
0x
>
2) Xác đònh số mũ n, biết rằng 3 hệ số nói trên lập thành một cấp số cộng
theo thứ tự đó.
Bài 13: Cho khai triển nhò thức:
+

















+








=








+
−
−
−−
−
−
3
x
1n

2
1x
1
n
n
2
1x
0
n
n
3
x
2
1x
22C2C22
2
3
x
n
n
1n
3
x
2
1x
1n
n
2C22C









+
















++
−
−
−
−
−
(n là số nguyên dương ). Biết rằng trong

khai triển đó
1
n
3
n
C5C =
và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x.(ĐH KHỐI A
2002)
Bài 14: Tìm số nguyên dương n sao cho
0 1 2
2 4 2 243
n n
n n n n
C C C C+ + + + =
.(ĐH KHỐI
D 2002)
Bài 15: Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển nhò thức Niutơn của
n
5
3
1
x
x
 
+
 
 
, biết rằng

n 1 n
n 4 n 3
C C 7(n 3)
+
+ +
− = +
. (n là số nguyên dương, x >0,
k
n
C

là số tổ hợp chập k của n phần tử).(ĐH KHỐI A 2003)
Bài 16: Cho n là số nguyên dương. Tính tổng :
2 3 n 1
0 1 2 n
n n n n
2 1 2 1 2 1
C C C C
2 3 n 1
+
− − −
+ + + +
+
(
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử )(ĐH KHỐI B 2003)
Bài 17: Với n là số nguyên dương, gọi a
3n-n

là hệ số của x
3n – 3
trong khai triển
thành đa thức của ( x
2
+ 1 )
n
( x + 2 )
n
. Tìm n để a
3n-n
= 26.(ĐH KHỐI D
2003)
Bài 18: Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển thành đa thức của
( )
8
2
1 x 1 x
 
+ −
 
. (ĐH KHỐI A 2004)
Bài 19: Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhò thức Niu-Tơn của:
7
3
4
1
x

x
 
+
 ÷
 
với x > 0. (ĐH KHỐI D 2004)
Bài 20: Tính giá trị biểu thức:
0 2001 1 2000 k 2001 k 2001 0
2002 2002 2002 2001 2002 2002 k 2002 1
S C .C C .C C .C C .C
−
−
= + + + + +
.
Dạng 2 Xác suất biến cố:
* 1/ Các tính chất xác suất:
a) Với mọi biến cố A ta đều có
( ) ( )
( )
( )
n A
0 P A 1, P A
n
≤ ≤ =
Ω
b)
( ) ( )
P 0;P 1∅ = Ω =
c) Nếu A, B là hai biến cố xung khắc thì :
( ) ( ) ( )

P A B P A P B∪ = +
2/ Gọi
A
là biến cố đối của biến cố A thì :
( )
( )
P A 1 P A= −
3 / Cơng thức cộng xác suất :
Nếu A, B là hai biến cố bất kì của khơng gian mẫu thì :
( ) ( ) ( ) ( )
P A B P A P B P A B∪ = + − ∩
48
Bài 1: Một bình đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ, các viên bi này chỉ khác nhau
về màu. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để được:
a) 3 viên bi xanh.
b) 3 viên bi đỏ.
c) 3 viên bi cùng màu.
d) Ít nhất một viên bi xanh.
e) Ít nhất hai viên bi xanh.
Bài 2 : Gieo hai con xúc xắc màu xanh và màu đỏ. Gọi x là số chấm trên con xúc xắc
màu xanh, y là số chấm trên con xúc xắc đỏ. Gọi A là biến ‘’x>y’’ và B là biến
cố ‘’x+y=7’’ Tính
( )
P A B∪
Bài 3 : Một lô hàng có100 sản phẩm trong đó có 30 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 1
sản phẩm .
a) Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt.
b) Lấy ngẫu nhiên một lần 10 sản phẩm. Tính xác suất để 10 sản phẩm lấy ra có đúng
8 sản phẩm tốt.
Bài 4 : Một hộp chứa đựng 30 bi trắng, 7 bi đỏ và 15 bi xanh. Một hộp khác chứa 10

bi trắng, 6 bi đỏ và 9 bi xanh. Lấy ngẫu từ mỗi hộp. Tính xác suất để 2 bi lấy ra cùng
màu.
Bài 5 : Gieo đồng thời 2 con xúc xắc đồng chất cân đối. Tính xác suất sao cho :
a) Tổng số chấm trên mặt hai con xúc xắc bằng 8.
b) Hiệu số chấm trên haai mặt con xúc xắc có trị tuyệt đối bằng 2.
c) Số chấm trên hai mặt con xúc xắc bằng nhau.
Bài 6 : Lấy ngẫu nhiên 3 số từ 5 chữ số {0,1,2,3,4,5} xếp thành hàng ngang từ trái
sang phải. Tìm xác suất để nhận được một số tự nhiên có ba chữ số.
Bài 7 : Một học sinh vào phòng thi chỉ thuộc được 18 trong 25 câu hỏi. Tìm xác suất
để học sinh đó trả lời được 3 câu hỏi mà học sih đó rút được.
Bài 8 : Trong đề cương môn học có 10 câu lý thuyết và 30 câu bài tập. Mỗi đề thi có
1 câu lý thuyết và 12 câu bài tập trong đề cương. Một học sinh A chỉ thuộc 4 câu lý
thuyết và 12 câu bài tập trong đề cương. Khi thi học sinh A chọn một đề thi cách
ngẫu nhiên. Với giả thuyết học sinh A chỉ trả lời được câu lý thuyết và câu bài tập đã
học. Tính xác suất để học sinh A.
a) không trả lời được câu lý thuyết.
b) Chỉ trả lời được hai câu bài tập.
c) Đạt yêu cầu. Biết rằng muốn đặt yêu cầu thì phải trả lời được câu hỏi lý thuyết và
ít nhất hai bài tập.
Bài 9 : Một khách sạn có 6 phòng, nhưng có tất cả 10 người khách đến xin nghỉ trọ
trong đó có 6 nam, 4 nữ. Khách sạn phục vụ theo nguyên tắc ‘’ai đến trước phục vụ
trước và mỗi phòng nhận một người ‘’.
a) Tìm xác suất để cho 6 người nam được nghỉ trọ.
b) Tìm xác suất để 4 nam và 2 nữ được nghị trọ.
c) Tìm xác suất sao cho ít nhất 2 trong 4 người nữ được nghỉ trọ.
Bài 10 : Một cơ quan có 25 nhân viên trong đó có 16 người biết nói tiếng Anh, 14
người biết nói tiếng Pháp, 10 người biết nói tiếng Nga, 10 người biết nói tiếng Anh
và Pháp, 5 người biết nói tiếng Anh và Nga, 3 người biết nói tiếng Pháp và Nga,
không có ai biết nói cả 3 thứ tiếng trên. Có một người đi công tác. Tính xác suất để
người ấy :

a) Biết nói tiếng Anh hay Pháp.
b) Biết nói ít nhất một trong 3 tiếng trên.
49
c) Chỉ biết nói 1 ngoại ngữ trong 3 tiếng trên.
Bài 11 : Cho ngẫu nhiên 5 quân bài trong bộ bài tú-lơ-khơ :
a) Tính xác suất sao cho 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài thuộc một bộ.
b) Tính xác suất sao cho 5 quân bài đó có 4 quân bài thuộc một bộ.
Bài 12 : Một lớp học có 50 học sinh trong đó có 20 em sinh vào ngày chẵn. Chọn
ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để tổng các ngày sinh là số chẵn.
Bài 13 : Gieo một con xúc xắc 2 lần. Tính xác suất để :
a) Mặt 4 chấm xuất hiện lần đầu tiên.
a) Mặt 4 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần.
Bài 14 : Trong một bình có 3 quả cầu đen khác nhau và 4 quả cầu đỏ khác nhau. Lấy
ra hai quả câu. Tính xác suất để :
a) Hai quả cầu lấy ra màu đen.
b) Hai quả cầu lấy ra cùng màu.
Bài 15 : Một hộp đựng 5 viên bi đen và 7 viên bi trắng.
a) Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 3 viên bi. Tính xác suất trong 3 viên bi lấy ra có 2 viên bi
trắng.
a) Lấy ngẫu nhiên 2 lần, mỗi lần 1 viên bi. Tính xác suất để viên bi thứ nhất trắng và
viên bi thứ hai đen.
Bài 16 :Trong một hợp có 20 quả cầu giống nhau gồm 12 quả trắng và 8 quả màu
đen.
a) Tính xác suất để khi lấy bất kì 3 quả có đúng 1 quả màu đen.
b) Tính xác suất để khi lấy bất kì 3 quả có ít nhất 1 quả màu đen.
Bài 17 : Một hộp đựng 5 viên bi xanh, 3 viên bi vàng, 4 viên bi trắng chỉ khác nhau
vế màu. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tinh xác suất các biến cố sau :
a) Lấy được 3 bi xanh.
b) Lấy ít nhất một bi vàng.
c) Lấy được 3 bi cùng màu.

Bài 18 : Một bình đựng 10 viên bi chỉ khác nhau về màu, trong đó có 7 viên bi xanh
và 3 viên bi đỏ.
a) Lấy ngẫu nhiên ra 3 bi. Tính xác suất để được 2 bi xanh.
b) Lấy ngẫu nhiên ra 1 bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên một viên bi nữa. Tính xác suất để
được 1 viên bi xanh ở lần thức nhất và một viên bi đỏ ở lần thức hai.
Bài 19 : Một đơn vị có 10 xe ô tô. Trong đó có 6 xe tốt. Điều một cách ngẫu nhiên 3
xe đi công tác. Tìm xác suất để trong 3 xe có ít nhất một xe tốt.
Bài 20 :Trong 100 vé số có 1 vé trúng 10.000đ, 5 vé trúng 5000đ và 10 vé trúng
1000đ. Một người mua ngẫu nhiên 3 vé. Tính xác suất các biến cố.
a) Người đó trúng đúng 3000đ.
b) Người đó trúng ít nhất 3000đ.
Bài 21 : Một hộp bóng đèn, trong đó có 4 bóng đèn hỏng. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng
đèn( không theo thứ tự)ra khỏi hộp. Tính xác suất để :
a) Trong 3 bóng có 1 bóng hỏng.
b) Có ít nhất một bóng hỏng trong 3 bóng.
50