chuyên đề về về phương trình hàm (một số tính chất cơ bản của hàm số)

Bài 1
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ
I/ HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ
Xét hàm số
( )f x
với tập xác định
( )D f R󽟍
và tập giá trị
( )R f R󽟍
.
ĐỊNH NGHĨA 1
a)
( )f x
được gọi là hàm số chẵn trên M,
( )M D f󽟍
(gọi tắt là hàm chẵn trên M) nếu
( )x M x D f󽜣 󽟏 󽟟 󽜮 󽟏
và
( ) ( )f x f x󽜮 󽜾
,
x M󽜣 󽟏
.
b)
( )f x
được gọi là hàm số lẻ trên M (gọi tắt là hàm lẻ trên M) nếu
x M󽜣 󽟏
( )x D f󽟟 󽜮 󽟏
và
( ) ( )f x f x󽜮 󽜾 󽜮
,
x M󽜣 󽟏

.
Bài toán 1. Cho
0
x R󽟏
. Xác định tất cả các hàm số
( )f x
sao cho
󽜩 󽜪
0
( )f x x f x󽜮 󽜾
,
x R󽜣 󽟏
. (1)
Giải.
Đặt
0 0
.
2 2
x x
x t t x
󽟧 󽟷
󽜾 󽜮 󽟜 󽜾 󽜮
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Khi đó
0
0
2
x
x x t󽜮 󽜾 󽜬

và (1) có dạng
0 0
,
2 2
x x
f t f t t R
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜬 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸
󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
. (2)
Đặt
0
( )
2
x
g t f t
󽟧 󽟷
󽜾 󽜬
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
thì
0 0
( ) , ( )
2 2
x x
g t f t f t g t
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜮 󽜾 󽜮 󽜾 󽜮
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸

󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
.
Khi đó (2) có dạng
( ) ( ),g t g t t R󽜮 󽜾 󽜣 󽟏
.
Vậy
( )g t
là hàm chẵn trên R.
Kết luận :
0
( )
2
x
f x g x
󽟧 󽟷
󽜾 󽜮
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
,
trong đó
( )g x
là hàm chẵn tùy ý trên R.
Bài toán 2. Xác định
,a b R󽟏
. Xác định tất cả các hàm số
( )f x
sao cho
󽜩 󽜪
( )f a x f x b󽜮 󽜬 󽜾
,

x R󽜣 󽟏
. (3)
Giải.
Đặt
2
a
x t󽜮 󽜾
.
Khi đó
2
a
x t󽜾 󽜮
và
2
a
a x t󽜮 󽜾 󽜬
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
1
Thành thử (3) có dạng
2 2
a a
f t f t b
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜬 󽜬 󽜮 󽜾
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸
󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
. (4)
Đặt
( )

2 2
a b
f t g t
󽟧 󽟷
󽜬 󽜮 󽜾
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
.
Khi đó có thể viết (4) dưới dạng
( ) ( ) 0g t g t󽜮 󽜬 󽜾
,
t R󽜣 󽟏
hay
( ) ( )g t g t󽜮 󽜾 󽜮
,
t R󽜣 󽟏
.
Vậy
( )g t
là hàm số lẻ trên R.
Kết luận :
( )
2 2
a b
f x g x
󽟧 󽟷
󽜾 󽜮 󽜬
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
,

trong đó
( )g x
là hàm lẻ tùy ý trên R.
BÀI TẬP
1. Cho
( )f x
là một hàm số đồng thời vừa chẵn và vừa lẻ trên R. Chứng minh rằng
( ) 0f x 󽞻
.
2. Chứng minh rằng mọi hàm số xác định trên R đều có thể viết được dưới dạng hiệu của một
hàm số chẵn và một hàm số lẻ, xác định trên R.
3. Cho hàm số
( )f x
xác định trên R. Xác định hàm số
( )g x
biết rằng đồ thị của hàm số này đối
xứng với đồ thị của hàm số đã cho qua đường thẳng
0
x x󽜾
cho trước.
4. Cho hàm số
( )f x
xác định trên R. Xác định hàm số
( )g x
biết rằng đồ thị của hàm số này đối
xứng với đồ thị của hàm số đã cho qua điểm
󽜩 󽜪
0 0
,
M x y

cho trước.
5. Biết rằng đồ thị của đa thức
( )P x
có tâm đối xứng. Chứng minh rằng đồ thị của đa thức
'( )P x
có trục đối xứng.
6. Biết rằng đồ thị của đa thức
( )P x
có trục đối xứng. Chứng minh rằng đồ thị của đa thức
'( )P x
có tâm đối xứng.
7. Cho đồ thị hàm số bậc ba
3 2
( ) af x x x bx c󽜾 󽜬 󽜬 󽜬
. Một đường thẳng cắt đồ thị
tại ba điểm
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
1 1 2 2 3 3
, , , , ,
A x y B x y C x y
sao cho
AB BC󽜾
. Chứng minh rằng
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
2 2 2
2 ,
f x x f x x y󽜮 󽜾 󽜬 󽜾
x R󽜣 󽟏
.
VINAMATH.COM

VINAMATH.COM
2
II/ HÀM TUẦN HOÀN VÀ PHẢN TUẦN HOÀN
ĐỊNH NGHĨA 2
a) Hàm số
( )f x
được gọi là hàm tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ
󽜩 󽜪
0a a 󽜿
trên M nếu
( )M D f󽟍
và
󽜩 󽜪
( ),
x M x a M
f x a f x x M
󽜣 󽟏 󽟟 󽞲 󽟏
󽟭
󽟮
󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
󽟯
(4)
b) Cho
( )f x
là một hàm tuần hoàn trên M. Khi đó
󽜩 󽜪
0T T 󽜿
được gọi là chu kỳ cơ sở của
( )f x
nếu

( )f x
tuần hoàn với chu kỳ
T
mà không là hàm tuần hoàn với bất cứ chu kỳ nào bé
hơn
T
.
Bài toán 1. Tồn tại hay không tồn tại một hàm số
( )f x 󽞻
hằng số, tuần hoàn trên R nhưng
không có chu kỳ cơ sở.
Giải.
Xét hàm Dirichle
0,
( )
1,
khi x Q
f x
khi x Q
󽟏
󽟭
󽜾
󽟮
󽟐
󽟯
Khi đó
( )f x
là hàm tuần hoàn trên R chu kỳ
a Q
󽜬

󽟏
tùy ý. Vì trong
Q
󽜬
không có số nhỏ
nhất nên hàm
( )f x
không có chu kỳ cơ sở.
Bài toán 2. Cho cặp
( )f x
,
( )g x
tuần hoàn trên M có các chu kỳ lần lượt là
à ba v
với
a
Q
b
󽟏
. Chứng minh rằng
󽜩 󽜪
F x T f󽟭 󽜬 󽜾
󽟮
󽟯
và
( ) : ( ) ( )G x f x g x󽜾
cũng là những hàm
tuần hoàn trên M.
Giải.
Theo giả thiết

,m n N
󽜬
󽜥 󽟏
,
󽜩 󽜪
, 1m n 󽜾
sao cho
a m
b n
󽜾
.
Đặt
T na mb󽜾 󽜾
. Khi đó
󽜩 󽜪
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
F x T f x na g x mb f x g x F x x M
G x T f x na g x mb f x g x G x x M
󽟭 󽜬 󽜾 󽜬 󽜬 󽜬 󽜾 󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
󽟮
󽜬 󽜾 󽜬 󽜬 󽜾 󽜾 󽜣 󽟏
󽟯
Hơn nữa, dễ thấy
x M󽜣 󽟏
thì
x T M󽞲 󽟏
.
Vậy
( ), ( )F x G x

là những hàm tuần hoàn trên M.
ĐỊNH NGHĨA 3
a/ Hàm số
( )f x
được gọi là hàm phản tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ
󽜩 󽜪
0b b 󽜿
trên M nếu
( )M D f󽟍
và
󽜩 󽜪
( ),
x M x b M
f x b f x x M
󽜣 󽟏 󽟟 󽞲 󽟏
󽟭
󽟮
󽜬 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
󽟯
(5)
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
3
b/ Nếu hàm
( )f x
là hàm phản tuần hoàn chu kỳ
0
b
trên M mà không là hàm phản tuần hoàn với
bất cứ chu kỳ nào bé hơn

0
b
trên M thì
0
b
được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm phản tuần hoàn
( )f x
trên M.
Bài toán 3. Chứng minh rằng mọi hàm phản tuần hoàn trên R cũng là hàm tuần hoàn trên M.
Giải.
Theo giả thiết
0b󽜥 󽜿
sao cho
x M󽜣 󽟏
thì
x b M󽞲 󽟏
và
󽜩 󽜪
( )f x b f x󽜬 󽜾 󽜮
,
x M󽜣 󽟏
.
Suy ra
x M󽜣 󽟏
thì
2x b M󽞲 󽟏
và
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪 󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
2 ( ) ( )f x b f x b b f x b f x f x󽜬 󽜾 󽜬 󽜬 󽜾 󽜮 󽜬 󽜾 󽜮 󽜮 󽜾
,

x M󽜣 󽟏
Vậy
( )f x
là hàm phản tuần hoàn chu kỳ
2b
trên M.
Bài toán 4. Chứng minh rằng
( )f x
là hàm phản tuần hoàn chu kỳ
b
trên M khi và chỉ khi
( )f x
có dạng
( ) ( ) ( ),f x g x b g x󽜾 󽜬 󽜮
(6)
Với
( )g x
là một hàm tuần hoàn chu kỳ
2b
trên M
Giải.
Thật vậy, với
( )f x
thỏa mãn (6) ta có
( ) ( 2 ) ( )f x b g x b g x b󽜬 󽜾 󽜬 󽜮 󽜬
󽜩 󽜪
( ) ( )
( ) ( )
( ), .
g x g x b

g x b g x
f x x M
󽜾 󽜮 󽜬
󽜾 󽜮 󽜬 󽜮
󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
Hơn nữa,
x M󽜣 󽟏
thì
x b M󽞲 󽟏
. Do đó
( )f x
là hàm phản tuần hoàn chu kỳ
b
trên
M
Ngược lại, với
( )f x
là hàm phản tuần hoàn chu kỳ
b
trên M, chọn
1
( ) ( )
2
g x f x󽜾 󽜮
thì
( )g x
là
là hàm phản tuần hoàn chu kỳ
2b
trên M (Bài toán 2) và

( ) ( )
1 1 1 1
( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ),
2 2 2 2
g x b g x
f x b f x f x f x f x x M
󽜬 󽜮 󽜾
󽟧 󽟷
󽜾 󽜮 󽜬 󽜮 󽜮 󽜾 󽜮 󽜮 󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
BÀI TẬP
1. Chứng minh rằng hàm số
( )f x tgx󽜾
không là hàm phản tuần hoàn trên
R \
, .
2
k k Z
π
󽟭 󽟽
󽜬 󽟏
󽟮 󽟾
󽟯 󽟿
2. Chứng minh rằng
2π
là chu kỳ cơ sở của hàm số
( ) osf x c x󽜾
.
VINAMATH.COM

VINAMATH.COM
4
3. Cho
( )f x
là hàm phản tuần hoàn chu kỳ
b
trên R. Hỏi kết luận sau đây có đúng không :
( )f x
là hàm tuần hoàn có chu kỳ cơ sở
2b
trên R?
4. Chứng minh rằng không phải là một hàm tuần hoàn trên R.
5. Cho
( )f x
,
( )g x
là các hàm liên tục và tuần hoàn có chu kỳ cơ sở
à ba v
, tương ứng, trên
R. Biết rằng
( ) : ( ) ( )F x f x g x󽜾 󽜬
cũng là một hàm tuần hoàn trên R. Chứng minh rằng
a
Q
b
󽟏
.
III/ HÀM TUẦN HOÀN VÀ PHẢN TUẦN HOÀN NHÂN TÍNH
A.HÀM TUẦN HOÀN NHÂN TÍNH
ĐỊNH NGHĨA 4

( )f x
được gọi là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ
󽝼 󽝾
󽜩 󽜪
0, 1, 1a a 󽟐 󽜮
trên M nếu
( )M D f󽟍
và
1
(a ) ( ), .
x M a x M
f x f x x M
󽞲
󽟭
󽜣 󽟏 󽟟 󽟏
󽟮
󽜾 󽜣 󽟏
󽟯
Ví dụ.
Xét
󽜩 󽜪
2
( ) sin 2 log
f x xπ󽜾
. Khi đó
( )f x
là hàm tuần hoàn nhân tính 2 trên
R
󽜬
.

Thật vậy, ta có
x R
󽜬
󽜣 󽟏
thì
1
2 x R
󽞲 󽜬
󽟏
và
󽜩 󽜪
2
(2 ) sin 2 log (2 )
f x xπ󽜾
󽜩 󽜪
2
sin 2 (1 log )
xπ󽜾 󽜬
󽜩 󽜪
2
sin 2 log ( ),
x f x x Rπ
󽜬
󽜾 󽜾 󽜣 󽟏
.
Bài toán 1. Cho
( )f x
,
( )g x
là hai tuần hoàn nhân tính chu kỳ cơ sở

à ba v
, tương ứng trên
M và
ln
, , .
ln
a
m
m n N
b n
󽜬
󽜾 󽟏
Chứng minh rằng
( ) : ( ) ( )F x f x g x󽜾 󽜬
và
( ) : ( ) ( )G x f x g x󽜾
là những hàm tuần hoàn
nhân tính trên M.
Giải.
Từ giả thiết suy ra
m
n
a b󽜾
. Ta chứng minh
2 2
:
n m
T a b󽜾 󽜾
là chu kỳ của
( ) à G( )F x v x

. Thật vậy, ta có
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n m
F Tx f a x g b x f x g x F x󽜾 󽜬 󽜾 󽜬 󽜾
,
x M󽜣 󽟏
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n m
G Tx f a x g b x f x g x G x󽜾 󽜾 󽜾
,
x M󽜣 󽟏
.
Hơn nữa,
x M󽜣 󽟏
thì
1
T x M
󽞲
󽟏
. Do đó
( ) à G( )F x v x
là những hàm tuần hoàn nhân
tính trên
M
.
B. HÀM PHẢN TUẦN HOÀN NHÂN TÍNH
ĐỊNH NGHĨA 5
VINAMATH.COM

VINAMATH.COM
5
( )f x
được gọi là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ
󽝼 󽝾
󽜩 󽜪
0, 1, 1a a 󽟏 󽜮
trên M nếu
( )M D f󽟍
và
1
(a ) ( ), .
x M a x M
f x f x x M
󽞲
󽟭
󽜣 󽟏 󽟟 󽟏
󽟮
󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
󽟯
Bài toán 2. Chứng minh rằng mọi hàm phản tuần hoàn nhân tính trên M cũng là hàm tuần hoàn
nhân tính trên M.
Giải.
Theo giả thiết,
󽝼 󽝾
0, 1b󽜥 󽟐 󽞲
sao cho
x M󽜣 󽟏
thì
1

b x M
󽞲
󽟏
và
( ) ( )f bx f x󽜾 󽜮
,
x M󽜣 󽟏
.
Suy ra
x M󽜣 󽟏
thì
2 1
( )b x M
󽞲
󽟏
và
󽜩 󽜪
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f b x f bbx f bx f x f x󽜾 󽜾 󽜮 󽜾 󽜮 󽜮 󽜾
,
x M󽜣 󽟏
.
Như vậy,
( )f x
là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ
2
b
trên M.
Bài toán 3. Chứng minh rằng

( )f x
là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ
󽝼 󽝾
󽜩 󽜪
0, 1b b 󽟐 󽞲
trên M khi và chỉ khi
( )f x
có dạng :
󽜩 󽜪
1
( ) ( ) ( )
2
f x g bx g x󽜾 󽜮
, (7)
trong đó,
( )g x
là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ
2
b
trên M.
Giải.
Thật vậy, nếu
( )f x
có dạng (7) thì
2
1
( ) ( ) ( )
2
f bx g b x g bx
󽟪 󽟺

󽜾 󽜮
󽟬 󽟼
󽝜 󽝞
󽜩 󽜪
1
( ) ( )
2
1
( ) ( ) ( ), .
2
g x g bx
g bx g x f x x M
󽜾 󽜮
󽜾 󽜮 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
󽟪 󽟺
󽟬 󽟼
Hơn nữa,
x M󽜣 󽟏
thì
1
b x M
󽞲
󽟏
. Do đó
( )f x
là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ
b
trên M.
Ngược lại, giả sử
( )f x

là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ
b
trên M. Khi đó
( ) ( )g x f x󽜾 󽜮
( )f x
là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ
2
b
trên M (Bài toán 2) và
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
1 1
( ) ( ) ( ) ( ( )
2 2
g bx g x f bx f x󽜮 󽜾 󽜮 󽜮 󽜮
󽜩 󽜪
1
( ( )) ( ) ( )
2
f x f x f x󽜾 󽜮 󽜮 󽜬 󽜾
,
x M󽜣 󽟏
.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
6
IV/ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC HÀM TUẦN HOÀN CỘNG TÍNH VÀ NHÂN TÍNH
Bài toán 1. Cho
0a 󽞺
,
1a 󽞺 󽞲

. Xác định các hàm
( )f x
sao cho
( ) ( )f ax f x󽜾
,
x R󽜣 󽟏
(8)
Giải. Xét các trường hợp
0a 󽜿
và
0a 󽜽
.
(i) Với
0a 󽜿
Xét
0x 󽜿
. Đặt
t
x a󽜾
và
1
( ) ( )
t t
f a h a󽜾
. Khi đó
log
a
t x󽜾
và
(8)

󽜩 󽜪
1 1
1 ( ), .h t h t t R󽟜 󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
Xét
0x 󽜽
, đặt
t
x a󽜮 󽜾
và
2
( ) ( )
t
f a h t󽜮 󽜾
. Khi đó
log
a
t x󽜾
và
󽜩 󽜪
2 2
(8) 1 ( ),
h t h t x R󽟜 󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
(ii) Với
0a 󽜽
Khi đó
2
( ) ( )f a x f x󽜾
và mọi nghiệm của (8) được cho bởi công thức
󽝜 󽝞
1

( ) ( ) (a ) ,
2
f x g x g x󽜾 󽜬
trong đó
2
( ) ( ),g a x g x x R󽜾 󽜣 󽟏
(i)
Thật vậy, nếu vậy
( )f x
có dạng (i) thì ta có
(a ) ( ) 2 ( ), .
(a ) ( ) ( ), .
(a ) 1, .
( )
f x f x f x x R
f x f x f x x R
f x x R
g x
󽜾 󽜬 󽜮 󽜣 󽟏
󽜾 󽜬 󽜮 󽜣 󽟏
󽜾 󽜣 󽟏
󽝜 󽝞
1
(a ) (a ) ( )
2
f x g x g x󽜾 󽜬
󽝜 󽝞
1
(a ) ( ) ( ), .
2

g x g x f x x R󽜾 󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
Ngược lại, nếu
( )f x
thoả mãn (8) thì chọn
( ) ( )g x f x󽜾
. Khi đó
2
( ) ( ),g a x g x x R󽜾 󽜣 󽟏
và
󽝜 󽝞 󽝜 󽝞
1 1
( ) (a ) ( ) (a )
2 2
g x g x f x f x󽜬 󽜾 󽜬 󽜾
󽝜 󽝞
1
( ) ( ) ( ), .
2
f x f x f x x R󽜾 󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
Tiếp theo, áp dụng kết quả nhận được trong (i).
Kết luận :
Với
0a 󽜿
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
7
󽜩 󽜪
󽜩 󽜪
1
2

log 0,
( ) ùy ý 0,
log 0,
a
a
h x khi x
f x c t khi x
h x khi x
󽟭
󽜿
󽟰
󽜾 󽜾
󽟮
󽟰
󽜽
󽟯
trong đó
1 2
( ), ( )h t h t
là các hàm tuần hoàn cộng tính tuỳ ý chu kỳ 1 trên R.
Với
0a 󽜽
:
󽝜 󽝞
1
( ) ( ) ( )
2
f x g x g ax󽜾 󽜬
, trong đó
3

4
1
log 0,
2
( ) ù ý 0,
1
log 0,
2
a
a
h x khi x
g x d t y khi x
h x khi x
󽟭
󽟧 󽟷
󽜿
󽟨 󽟸
󽟰
󽟩 󽟹
󽟰
󽟰
󽜾 󽜾
󽟮
󽟰
󽟧 󽟷
󽟰
󽜽
󽟨 󽟸
󽟰
󽟩 󽟹

󽟯
trong đó
3 4
( ), ( )h t h t
là các hàm tuần hoàn cộng tính tuỳ ý chu kỳ 1 trên R.
Bài toán 2. Cho
0a 󽜽
,
1a 󽞺 󽜮
. Xác định các hàm
( )f x
sao cho
(a ) ( ), .f x f x x R󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
(9)
Giải.
Từ (9) suy ra
2
( ) ( )f a x f x󽜾
với mọi
.x R󽟏
Vậy mọi nghiệm của (9) có dạng
󽝜 󽝞
1
( ) ( ) (a ) ,
2
f x g x g x󽜾 󽜮
trong đó
2
( ) ( ), .g a x g x x R󽜾 󽜣 󽟏
Thật vậy, nếu

( )f x
có dạng đó thì ta có
2
1
( ) ( ) (a )
2
f ax g ax g x
󽟪 󽟺
󽜾 󽜮
󽟬 󽟼
󽝜 󽝞
1
(a ) ( ) ( ), .
2
g x g x f x x R󽜾 󽜮 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
Ngược lại, với mỗi
( )f x
thoả mãn (9), chọn
( ) ( )g x f x󽜾
. Kh đó
2
( ) ( ),g a x g x x R󽜾 󽜣 󽟏
và
󽝜 󽝞 󽝜 󽝞
1 1
( ) (a ) ( ) (a )
2 2
g x g x f x f x󽜮 󽜾 󽜮
󽝜 󽝞
1

( ) ( ) ( ),
2
f x f x f x x R󽜾 󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
Từ kết quả của Bài toán 1 suy ra nghiệm của (9) có dạng
󽝜 󽝞
1
( ) ( ) (a ) ,
2
f x g x g x󽜾 󽜮
trong đó
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
8
1
2
1
log 0,
2
( ) tùy ý 0,
1
log 0,
2
a
a
h x khi x
g x d khi x
h x khi x
󽟭
󽟧 󽟷
󽜿

󽟨 󽟸
󽟰
󽟩 󽟹
󽟰
󽟰
󽜾 󽜾
󽟮
󽟰
󽟧 󽟷
󽟰
󽜽
󽟨 󽟸
󽟰
󽟩 󽟹
󽟯
với
1 2
( ), ( )h t h t
là các hàm tuần hoàn cộng tính tuỳ ý chu kỳ1 trên R.
Nhận xét. Nếu
( )f x
là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì
0a 󽜿
trên R thì
󽜩 󽜪
( ) (ln ) 0g t f t t󽜾 󽜿
là hàm tuần hoàn nhân tính
ê
a
e tr n R

󽜬
.
Ngược lại, nếu
( )f x
là hàm tuần hoàn nhân tính chu kì
󽜩 󽜪
0 1a a󽜽 󽞺
trên
R
󽜬
, thì
( ) ( )
t
g t f e󽜾
là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì
lna
trên R .
BÀI TẬP
1. Cho
0a 󽜿
,
1a 󽞺 󽜮
. Xác định tất cả các hàm
( )f x
sao cho
(a ) ( ) 2 ( ), .f x f x f x x R󽜾 󽜬 󽜮 󽜣 󽟏
2. Cho
0a 󽜿
,
1a 󽞺 󽜮

. Xác định tất cả các hàm
( )f x
sao cho
(a ) ( ) ( ), .f x f x f x x R󽜾 󽜬 󽜮 󽜣 󽟏
3. Cho
0a 󽜿
,
1a 󽞺 󽜮
. Xác định tất cả các hàm
( )f x
sao cho
(a ) 1, .f x x R󽜾 󽜣 󽟏
4. Cho hàm số
( )g x
xác định trên R. Xác định tất cả các hàm
( )f x
thoả mãn điều kiện
.),2()()2()( Rxxgxgxfxf 󽟏󽜣󽜬󽜾󽜬
5. Cho hàm số
󽟰
󽟰
󽟯
󽟰
󽟰
󽟮
󽟭
󽟏󽜬󽞺
󽜬
󽟏󽜬󽜾
󽜾

Zkkxkhi
xtg
Zkkxkhi
xf
,
2
2
1
,
2
0
)(
2
π
π
π
π
Chứng minh rằng hàm số
)()()( axfxfxg 󽜬󽜾
là hàm tuần hoàn (cộng tính) trên R khi
và chỉ khi
.Qa 󽟏
V/ ĐẶC TRƯNG HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP
Để mô tả bức tranh mang tính định hướng, gợi ý và dự đoán công thức nghiệm cuả các bài
toán liên quan, chúng ta xét một vài tính chất hàm tiêu biểu của một số dạng hàm số quen biết.
1. Hàm bậc nhất :
󽜩 󽜪
0,0)( 󽞺󽞺󽜬󽜾 babaxxf
có tính chất
VINAMATH.COM

VINAMATH.COM
9
󽝜 󽝞
Ryxyfxf
yx
f 󽟏󽜣󽜬󽜾
󽟸
󽟹
󽟷
󽟨
󽟩
󽟧
󽜬
,,)()(
2
1
2
.
2. Hàm tuyến tính :
󽜩 󽜪
0)( 󽞺󽜾 aaxxf
có tính chất
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
.,, Ryxyfxfyxf 󽟏󽜣󽜬󽜾󽜬
3. Hàm mũ :
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
1,0 󽞺󽜿󽜾 aaaxf
x
có tính chất
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪 󽜩 󽜪

.,, Ryxyfxfyxf 󽟏󽜣󽜾󽜬
4. Hàm logarit :
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
1,0log 󽞺󽜿󽜾 aaxxf
a
có tính chất
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪 󽜩 󽜪 󽝼 󽝾
0\,, Ryxyfxfxyf 󽟏󽜣󽜬󽜾
.
5. Hàm lũy thừa :
󽜩 󽜪
a
xxf
󽜾
có tính chất
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪 󽜩 󽜪 󽝼 󽝾
0\,, Ryxyfxfxyf 󽟏󽜣󽜾
.
6.Hàm lượng giác :
Hàm
󽜩 󽜪
xxf sin󽜾
có tính chất
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
󽝜 󽝞
.,433
3
Rxxfxfxf
󽟏󽜣󽜮󽜾
Hàm

󽜩 󽜪
xxf cos󽜾
có các tính chất
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
󽝜 󽝞
Rxxfxf 󽟏󽜣󽜮󽜾 ,122
2
và
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪 󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
Ryxyfxfyxfyxf 󽟏󽜣󽜾󽜮󽜬󽜬 ,,2
.
Cặp hàm
󽜩 󽜪
xxf sin󽜾
,
xxg cos)( 󽜾
có tinh chất
󽜩 󽜪
󽜩 󽜪
󽟯
󽟮
󽟭
󽟏󽜣󽜮󽜾󽜬
󽟏󽜣󽜬󽜾󽜬
Ryxyfxfygxgyxg
Ryxxgyfygxfyxf
,),()()()(
,),()()()(
Hàm
tgxxf 󽜾)(

có tính chất
󽜩 󽜪
)()(1
)()(
yfxf
yfxf
yxf
󽜮
󽜬
󽜾󽜬
với
,, yx
󽜩 󽜪
󽜩 󽜪
Zk
k
yx 󽟏
󽜬
󽞺󽜬
2
12 π
.
Hàm
gxxf cot)( 󽜾
có tính chất
c
󽜩 󽜪
)()(
1)()(
yfxf

yfxf
yxf
󽜬
󽜮
󽜾󽜬
với
,, yx
󽜩 󽜪
Zkkyx 󽟏󽞺󽜬 π
.
7. Hàm lượng giác ngược
a) Hàm
xxf arcsin)( 󽜾
có tính chất
󽜩
󽜪
󽝜 󽝞
.1,1,,11)()(
22
󽜮󽟏󽜣󽜮󽜬󽜮󽜾󽜬 yxxyyxfyfxf
b) Hàm
xarcxg cos)( 󽜾
có tính chất
󽜩
󽜪
󽝜 󽝞
1,1,,11)()(
22
󽜮󽟏󽜣󽜮󽜮󽜮󽜾󽜬 yxyxxygygxg
.

VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
10
c) Hàm
arctgxxh 󽜾)(
có tính chất
.1:,,
1
)()( 󽞺󽜣
󽟸
󽟸
󽟹
󽟷
󽟨
󽟨
󽟩
󽟧
󽜮
󽜬
󽜾󽜬 xyyx
xy
yx
hyhxh
d) Hàm
gxarcxp cot)( 󽜾
có tính chất
0:,,
1
)()( 󽞺󽜬󽜣
󽟸

󽟸
󽟹
󽟷
󽟨
󽟨
󽟩
󽟧
󽜬
󽜮
󽜾󽜬 yxyx
yx
xy
pypxp
.
8. Các hàm hyperbolic
a) Hàm
󽜩 󽜪
xx
eeshxxf
󽜮
󽜮󽜾󽜾
2
1
:)(
có tính chất
.),(4)(3)3(
3
Rxxfxfxf 󽟏󽜣󽜬󽜾
b) Hàm
󽜩 󽜪

xx
eeshxxg
󽜮
󽜬󽜾󽜾
2
1
:)(
có tính chất
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
.,),()(2 Ryxygxgyxgyxg 󽟏󽜣󽜾󽜮󽜬󽜬
c) Hàm :
xx
xx
ee
ee
thxxh
󽜮
󽜮
󽜬
󽜮
󽜾󽜾 :)(
có tính chất
󽜩 󽜪
.,,
)()(1
)()(
Ryx
yhxh
yhxh
yxh 󽟏󽜣

󽜬
󽜬
󽜾󽜬
d) Hàm
xx
xx
ee
ee
xxq
󽜮
󽜮
󽜮
󽜬
󽜾󽜾 :coth)(
có tính chất
󽜩 󽜪
0,,:,,
)()(
)()(1
󽞺󽜬󽜣
󽜬
󽜬
󽜾󽜬
yxyxyx
yqxq
yqxq
yxq
.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM

11