skkn giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (233.17 KB, 31 trang )
1
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT NHƠN TRẠCH
o0o
Mã số :
Chuyên đề:
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP
DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
Người thực hện : Lê Bình Duy Điền
Lĩnh vực nghiên cứu :
Quản lý giáo dục :
Phương pháp dạy học bộ mơn :
Tốn
Phương pháp giáo dục :
Lĩnh vực khác :
Sản phẩm đính kèm:
Mơ hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác
Năm học 2013 - 2014
SÕ YẾU LÝ LỊCH KHOA HỌC
_______________________
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN:
1. Họ và tên: Lê Bình Duy Điền
2. Ngày tháng năm sinh: 08 – 12 – 1977
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: Ấp I, Xã Phú Thạnh, Nhơn Trạch, Đồng Nai.
5. Điện thoại: 0613.518248 (CQ) 0613.518662 (NR);
6. Fax: E-mail:
7. Chức vụ: Phó hiệu trưởng
8. Đơn vị công tác: Trường THPT Nhơn Trạch
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO:
− Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc Sĩ
− Năm nhận bằng: 2005
− Chuyên ngành đào tạo: Đại Số
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC:
− Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy học
− Số năm có kinh nghiệm: 12
− Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
Năm 2009-2010: “Ứng dụng khảo sát hàm số vào việc tìm giá trị của tham
số để phương trình có nghiệm “
2
LỜI NÓI ĐẦU
Trong chương trình môn Toán Đại số lớp 8 nói chung, phân môn Đại số nói
riêng. Kiến thức rất quan trọng và không thể không nói đến đó là: bảy hằng đẳng thức
đáng nhớ.
Bảy hằng đẳng thức không thể thiếu trong toán học nói chung và đại số nói
riêng. Tuy nhiên bảy hằng đẳng thức còn rất quan trọng trong việc giải quyết những
bài toán không mẫu mực mà các học sinh thường gặp khó khăn trong các kì thi đại
học và học sinh giỏi hiện nay.
Do đó trong phần này tôi xin nêu một số bài toán mà việc giải quyết chúng chỉ
dùng những hằng đẳng thức đã học.
Vì thời gian nghiên cứu không dài, kiến thức bản thân còn nhiều bất cập nên
chắc chắn trong chuyên đề sẽ không tránh khỏi sự sai sót.
Kính mong quí đồng nghiệp chỉ giáo, giúp đỡ và các nhận xét của học sinh để
bài giảng được logic và đạt hiệu quả cao hơn.
Qua chuyên đề này tôi cũng xin chân thành cảm ơn quí đồng nghiệp ở tổ toán
và BGH Trường THPT Nhơn Trạch đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành
chuyên đề này.
3
Chuyên đề:
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG
HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
I. Lý do chọn đề tài:
1. Tính cấp thiết
Như ta đã biết, toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính
trừu tượng, nhưng mô hình ứng dụng của nó rất gần gủi trong mọi lĩnh vực của đời
sống xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng. Toán học là một môn học
đóng vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Tuy nhiên nó lại là một môn
học khó, mang tính khô khan, trừu tượng cao và do đó đòi hỏi người học phải đam
mê, kiên trì trong việc giải những bài toán khó. Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên
dạy toán việc tìm hiểu kiến thức của chương trình, vận dụng những kiến thức cơ bản
vào việc chinh phục những bài toán khó hết sức quan trọng.
Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học
sinh giải bài tập sách khoa, dạy học sinh học thuộc lòng công thức, mà quan trong là
hình thành cho học sinh phương pháp chung, để giải các dạng toán.
2. Tính mới của đề tài:
Đề tài “giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức đáng
nhớ” có lẽ không mới so với chương trình toán phổ thông trong toàn tỉnh.
Và để giải quyết bài toán này cũng có nhiều cách giải. Chẳng hạn như : Dùng
phương pháp đặt ẩn phụ, dùng phương pháp đưa về hệ,… Nhưng ở đây tôi xin được
nêu lên một phương pháp nữa là ứng dụng hằng đẳng thức vào việc giải phương trình
vô tỉ.
II.Thực trạng trước khi chọn đề tài:
1. Thuận lợi:
- Sách Giáo khoa 8,10, các sách tham khảo đa dạng và phong phú.
− Học sinh đã biết cách giải phương trình.
− Có Đội ngũ Giáo viên giảng dạy nhiều năm.
− Nhiều phương pháp dạy học mới phù hợp với tâm lí và tình hình thực tiễn.
− Ban Giám hiệu rất quan tâm đến nhu cầu giảng dạy và học tập của Giáo viên và học
sinh.
2. Khó khăn:
− Đối với học sinh lớp 8,9, 10, 11, 12 . Đặc biệt là trong các kì thi Đại học- Cao đẳng,
thi học sinh giỏi các cấp: việc giải toán “phương trình vô tỉ ” thì chỉ có một số ít làm
được còn lại học sinh thu động rất khó khăn trong việc giải toán dạng này.
− Đối với học sinh 11, 12 cơ bản : Học sinh hoàn toàn không biết làm vì chương trình
sách giáo khoa ít đưa ra phương trình vô tỉ . Có chăng, một số ít học sinh ban C tự
chọn toán có thể có khả năng làm được một số bài đơn giản.
− Chính vì thế mục đích của tôi là nhằm góp một phần nhỏ sự hiểu biết của mình vào
công việc giúp đỡ các em học sinh có thêm kiến thức và tài liệu tham khảo trong các
4
kì thi đại học và cũng nhằm nâng cao sự hiểu biết của mình qua sự góp ý, giúp đỡ của
quí đồng nghiệp trong trường nói riêng và toàn tỉnh nói chung.
A. Những ưu điểm, nhược điểm và những điều cần lưu ý khi dùng đạo hàm trong việc
giải bài toán loại này.
* Ưu điểm: Là vận dụng kiến thức cơ bản vào giải bài toán phức tạp.
* Nhược điểm: Là không thể dùng cho tất cả các bài toán mà chỉ có những bài toán
mà chúng ta biến đổi chúng về dạng hằng đẳng thức.
* Những điều cần lưu ý khi giải bài toán dạng này
Phải thêm bớt một cách hợp lí, dựa trên bài toán đã cho. Đây là một trong
những khó khăn mà học sinh thường gặp phải và hay nãn chí.
B. Nhắc lại một số kiến thức thường dùng để hổ trợ giải bài toán dạng này
a) 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
i) (a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
ii) (a - b)
2
= a
2
- 2ab + b
2
iii) (a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
iv) (a - b)
3
= a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
v) a
2
- b
2
= (a-b)(a + b)
vi) a
3
– b
3
= (a - b)( a
2
+ ab + b
2
)
vii) a
3
+ b
3
= (a + b)( a
2
- ab + b
2
)
b) Áp dụng công thức
2 2
2 2
2
) (1)
) 0 (2)
0
0
) (3)
0
i A B
A B
A B
ii A B
A
B
iii X Y
Y
X Y
=
=
⇔
= −
+ =
=
⇔
=
=
≥
⇔
=
5
c ) Các bước tiến hành khi giải toán dạng này.
1
:B
Biến đổi phương trình đã cho về dạng (1) hoặc dạng (2)
2
B
: Áp dụng kiến thức cơ bản đã học
C. Một số bài tập áp dụng
Giải các phương trình
Bài 1.
2
2 3 9 4 (1)x x x
+ = − −
Giải:
Điều kiện:
3x ≥ −
2
(1) 2 3 9 1 ( 3)x x x⇔ + = − − +
2
2
2 2
1
2
2
2
2 3 9 1 3
9 ( 3 1)
3 3 1
3 3 1
3 3 1
3 3 1
: 3 3 1
3 3 1
1
3 1 0
3
3 (3 1)
9 7 4 0
1
3
1
1
2
9
: 3 3 1
3 3 1
3 1 0
3 (
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
TH x x
x x
x
x
x x
x x
x
x
x
x
TH x x
x x
x
x
⇔ + = − − +
⇔ = + +
= + +
⇔
= − + −
+ = −
⇔
+ = − −
+ = −
⇔ + = −
− ≥
≥
⇔ ⇔
+ = −
− − =
≥
⇔ ⇔ =
=
−
=
+ = − −
⇔ + = − −
− − ≥
⇔
+ = −
2
2
1
3
3 1)
9 5 2 0
x
x
x x
−
≤
⇔
−
+ − =
6
1
3
5 97
18
5 97
18
x
x
x
x
−
≤
− +
⇔ ⇔ ∈∅
=
− −
=
Vậy nghiệm của phương trình là
1x =
Bài 2.
2
2 3 10 9 20x x x+ = + +
(1)
Giải:
Điều kiện:
10
3
x
−
≥
( )
2
(1) 2 3 10 ( 3) 3 10 1x x x⇔ + = + + + +
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2 3 10 3 3 10 1
3 3 10 1 0
3 0 3
3 10 1 0 3 10 1
3
3
3 10 1
x x x
x x
x x
x x
x
x
x
⇔ + = + + + +
⇔ + + + − =
+ = = −
⇔ ⇔
+ − = + =
= −
⇔ ⇔ = −
+ =
Vậy nghiệm của phương trình là
3x = −
Bài 3.
2
2 1 3 1x x x
− = − +
(1)
Giải:
Điền kiện:
1
2
x ≥
( )
2
1 1
(1) 2 1 2 1
2 4
x x x
⇔ − = − − − −
÷
2
2
2 2
1 1
2 1 2 1
2 4
1 1
2 1
2 2
x x x
x x
⇔ − = − − − −
÷
⇔ − = − +
÷ ÷
7
1 1
2 1
2 1 1
2 2
1 1
2 1
2 1
2 2
x x
x x
x x
x x
− = − +
− = −
⇔ ⇔
− = −
− = − − −
( )
1
2
2
: 2 1 1
1
1
4 2 0
2 1 1
1
2 2
2 2
2 2
TH x x
x
x
x x
x x
x
x
x
x
− = −
≥
≥
⇔ ⇔
− + =
− = −
≥
⇔ ⇔ = +
= +
= −
2
2
0
0
* : 2 1
1
2 1 0
x
x
TH x x x
x
x x
− ≥
≤
− = − ⇔ ⇔ ⇔ ∈∅
=
− − =
Vậy nghiệm của phương trình là
2 2x
= +
Bài 4.
( )
2
1000 1 8000 1000 1x x x− − + =
Giải: Điều kiện:
1
8000
x
−
≥
( )
( )
2 2 2
2
2
4 7996 1999 1 8000 2.2000. 1 8000 2000
2 1999 1 8000 2000
2 1999 1 8000 2000
2 1999 1 8000 2000
1 8000 2 1
1 8000 2 3999
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
⇔ + + = + + + +
⇔ + = + +
+ = + +
⇔
+ = − + −
+ = −
⇔
+ = − −
1
2 2
: 1 8000 2 1
1 1
2 2
1 8000 4 4 1 4 8004 0
TH x x
x x
x x x x x
+ = −
≥ ≥
⇔ ⇔
+ = − + − =
8
1
2
2001
2001
0
x
x
x
x
≥
⇔ ⇔ =
=
=
2
2
2
: 1 800 2 3999
3999
2
1 8000 4 15996 15992001
3999
2
4 7996 15992000 0
TH x x
x
x x x
x
x
x x
+ = − −
−
≤
⇔
+ = + +
−
≤
⇔ ⇔ ∈∅
+ + =
Vậy nghiệm của phương trình là
2001x =
Bài 5.
( )
2
4 9
7 7 1
28
x
x x
+
+ =
Giải:
Nhân 2 vế phương trình với 28, ta được
( )
( )
2
2
2
2
2
(1) 196 196 28 4 9
196 196 2 28 63
196 224 64 (28 63) 2 28 63 1
14 8 28 63 1
14 8 28 63 1 14 7 28 63
14 8 28 63 1 14 9 28 63
x x x
x x x
x x x x
x x
x x x x
x x x x
⇔ + = +
⇔ + = +
⇔ + + = + + + +
⇔ + = + +
+ = + + + = +
⇔ ⇔
+ = − + − + = − +
1
2
2
:14 7 28 63
1
14 7 0
2
(14 7) 28 63
196 196 49 28 63
TH x x
x
x
x x
x x x
+ = +
+ ≥
≥ −
⇔ ⇔
+ = +
+ + = +
9
2
1
2
1
42 5 97
2
7
196 168 14 0
42 5 97
7
42 5 97
7
x
x
x
x x
x
x
≥ −
≥ −
− +
⇔ ⇔
=
+ − =
− −
=
− +
⇔ =
2
2
2
2
:14 9 28 63
9
14 9 0
14
(14 9) 28 63
196 252 81 28 63
9
14
9
8 46
14
14
196 224 18 0
8 46
14
8 46
14
TH x x
x
x
x x
x x x
x
x
x
x x
x
x
+ = − +
+ ≥
≥ −
⇔ ⇔
+ = +
+ + = +
≥ −
≥ −
− −
⇔ ⇔
=
+ + =
− +
=
− +
⇔ =
Vậ
y nghiệm của phương trình là
8 46 42 5 97
à
14 7
x v x
− + − +
= =
Bài 6.
4 3 10 3 2x x− − = −
(1)
Giải:
Điều kiện:
74 10
27 3
x≤ ≤
2
2
2 2
(1) 4 3 10 3 4 4
3 9 7 49
(10 3 ) 2 10 3 2
2 4 2 4
7 3
10 3
2 2
x x x
x x x x
x x
⇔ − − = − +
⇔ − − − + = − +
⇔ − = − −
÷ ÷
10
7 3
10 3
10 3 2
2 2
7 3
10 3 5
10 3
2 2
x x
x x
x x
x x
− = − −
− = −
⇔ ⇔
− = −
− = − −
1
2 2
2
2 2
: 10 3 2
2 2
10 3 4 4 6 0
2
3
3
2
: 10 3 5
5 5
10 3 10 25 7 15 0
5
TH x x
x x
x x x x x
x
x
x
x
TH x x
x x
x x x x x
x
x
x
− = −
≥ ≥
⇔ ⇔
− = − + − − =
≥
⇔ ⇔ =
=
= −
− = −
≤ ≤
⇔ ⇔
− = − + − + =
≤
⇔ ⇔ ∈∅
∈∅
Vậy nghiệm của phương trình là x = 3
Bài 7.
( )
2 2
4 1 1 2 2 1x x x x− + = + +
(1)
Giải
Nhân 2 vế phương trình với 8, ta được
( )
(
)
2 2
2 2 2 2
2
2 2
2
2
2
2
2
1
(1) 8 4 1 1 16 16 8
(4 1) 2 4(4 1) 1 16( 1) 16 24 9
(4 1) 4 1 (4 3)
4 1 4 1 4 3
4 1 4 1 (4 3)
2 1 1
1 2 1
: 2 1 1
x x x x
x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x
x x
TH x x
⇔ − + = + +
⇔ − − × − + + + = − +
⇔ − − + = −
− − + = −
⇔
− − + = − −
+ =
⇔
+ = −
+ = ⇔ ∈∅
11
2
2
2 2
: 1 2 1
1
1
2
4
0
2
3
1 4 4 1
4
3
TH x x
x
x
x
x
x x x
x
+ = −
≥
≥
⇔ ⇔ ⇔ =
=
+ = − +
=
Vậy nghiệm của phương trình là
4
3
x =
Bài 8.
2 2
1 2 3 1 1x x x x x x− + + + = + +
(1)
Giải:
Điều kiện:
1
3
x
−
≥
Nhân 2 vế cho 2, ta được
2 2
(1) 2 1 4 3 1 2 2 6x x x x x x⇔ − + + + = + +
(
)
( )
2 2 2
2
2
2
2
2 2
2 2
2 1 1 3 1 4 3 1 4 0
1 3 1 2 0
1
3 1 2
1 0 1
3 1 2 0 3 1 2
0
1 1
3 1 4
x x x x x x x x
x x x x
x x x
x
x x x x x x
x x
x
x x x x
x
⇔ − − + + − + + + − + + =
⇔ − − + + + − =
− + =
⇔ ⇔
+ =
− − + = − + =
⇔
+ − = + =
≥
⇔ − + = ⇔ =
+ =
Vậy: x = 1 là nghiệm của phương trình
Bài 9.
2
2 2 1 2x x x
− = −
Giải:
Điều kiện:
1
2
x ≥
( ) ( )
2
2 2 1 2 1 1 1x x x⇔ − = − − −
12
( )
2
2
2 1 1
2 1 1 2 1 1
2 1 1 2 1 1
x x
x x x x
x x x x
⇔ = − +
= − + − = −
⇔ ⇔
= − − − − = − −
( )
( )
1
2
2
2
2
2
: 1 2 1
1
1
4 2 0
2 1 1
1
2 2
2 2
2 2
: 1 2 1
1
1
2 0
2 1 1
TH x x
x
x
x x
x x
x
x
x
x
TH x x
x
x
x
x
x x
− = −
≥
≥
⇔ ⇔
− + =
− = −
≥
⇔ ⇔ = +
= +
= −
− − = −
≤ −
≤ −
⇔ ⇔ ⇔ ∈∅
+ =
− = − −
Vậy nghiệm của phương trình là
2 2x = +
Bài 10.
2
1 4 5x x x+ = + +
(1)
Giải:
Điều kiện:
1x ≥ −
2
2 2
1
2 2
1 25
1 1 5
4 4
1 5
1
2 2
1 5
1
2 2
1 5
1
2 2
1 2
1 3
: 1 2
2 2
1 4 4 3 3 0
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
TH x x
x x
x
x x x x x
⇔ + + + + = + +
⇔ + + = +
÷ ÷
+ + = +
⇔
+ + = − −
+ = +
⇔
+ = − −
+ = +
≥ − ≥ −
⇔ ⇔ ⇔ ∈∅
+ = + + + + =
13
2
2 2
: 1 3
3 3
1 6 9 5 8 0
TH x x
x x
x
x x x x x
+ = − −
≤ − ≤ −
⇔ ⇔ ⇔ ∈∅
+ = + + + + =
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 11.
2
2 2x x
− = +
(1)
Giải:
Điều kiện:
2
2
2
x
x
x
≥
≤ −
≥ −
( )
2
2 2
1 1
(1) 2 2
4 4
1 1
2
2 2
1 1
2
2 2
1 1
2
2 2
2
2 1
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
⇔ + + = + + + +
⇔ + = + +
÷ ÷
+ + = +
⇔
+ + = − −
+ =
⇔
+ = − −
1
2
: 2
2
0
2
1
2 0
0
TH x x
x
x
x
x
x x
x
+ =
=
≥
⇔ ⇔ ⇔ =
= −
− − =
≥
2
2
: 2 1
1 5
2
1
1 5
1 5
2
1 0
2
1
TH x x
x
x
x
x x
x
x
+ = − −
− +
=
≤ −
− −
⇔ ⇔ ⇔ =
− −
+ − =
=
≤ −
Vậy nghiệm của phương trình là
1 5
2 à
2
x v x
− −
= =
14
Bài 12.
2
12 1 36x x x
+ + + =
(1)
Giải:
Điều kiện:
1x ≥ −
( )
( )
2
2
2
(1) 2 1 1 12 1 36
1 1 6
x x x x
x x
⇔ + + = + − + +
⇔ + = + −
1
2 2
1 1 6
1 6 1
1 7
1 5
: 1 7
7 7
1 14 49 13 48 0
x x
x x
x x
x x
TH x x
x x
x
x x x x x
+ = + −
⇔
+ = − +
+ = +
⇔
+ = −
+ = +
≥ − ≥ −
⇔ ⇔ ⇔ ∈∅
+ = + + + + =
2
2 2
: 1 5
5 5
1 10 25 11 24 0
5
3
3
8
TH x x
x x
x x x x x
x
x
x
x
+ = −
≤ ≤
⇔ ⇔
+ = − + − + =
≤
⇔ ⇔ =
=
=
Vậy nghiệm của phương trình là x = 3
Bài 13.
2
2 2 1 4 1x x x+ + = +
(1)
Giải:
Điều kiện:
1
4
x
−
≥
Nhân 2 vế phương trình cho 2, ta được
( )
( )
2
2
2
2
(1) 4 4 2 2 4 1
4 8 4 4 1 2 4 1 1
2 2 4 1 1
2 2 4 1 1
2 2 4 1 1
x x x
x x x x
x x
x x
x x
⇔ + + = +
⇔ + + = + + + +
⇔ + = + +
+ = + +
⇔
+ = − + −
15
1
2 2
4 1 2 1
4 1 2 3
: 4 1 2 1
1 1
2 2
0
4 1 4 4 1 4 0
x x
x x
TH x x
x x
x
x x x x
+ = +
⇔
+ = − −
+ = +
− −
≥ ≥
⇔ ⇔ ⇔ =
+ = + + =
2
2 2
: 4 1 2 3
3 3
2 2
4 1 4 12 9 4 8 8 0
TH x x
x x
x
x x x x x
+ = − −
− −
≤ ≤
⇔ ⇔ ⇔ ∈∅
+ = + + + + =
Vậy nghiệm của phương trình là x = 0
Bài 14.
2
3 2 4 21 22x x x+ = − + −
(1)
Giải:
Điều kiện:
2
3
x
≥ −
2
2 2
81 1
(1) 4 18 3 2 3 2
4 4
9 1
2 3 2
2 2
9 1
2 3 2
3 2 2 4
2 2
9 1
3 2 5 2
2 3 2
2 2
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
⇔ − + = + − + +
⇔ − = + −
÷ ÷
− = + −
+ = −
⇔ ⇔
+ = −
− = − +
1
2 2
2
: 3 2 2 4
2 2
3 2 (2 4) 3 2 4 16 16
2
19 137
2
19 137
8
8
4 19 14 0
19 137
8
TH x x
x x
x x x x x
x
x
x
x
x x
x
+ = −
≥ ≥
⇔ ⇔
+ = − + = − +
≥
+
≥
+
=
⇔ ⇔ ⇔ =
− + =
−
=
16
2
2 2
: 3 2 5 2
5 5
2 2
3 2 4 20 25 4 23 23 0
TH x x
x x
x x x x x
+ = −
≤ ≤
⇔ ⇔
+ = − + − + =
5
2
23 161
23 161
8
8
23 161
8
x
x
x
x
≤
−
+
⇔ ⇔ =
=
−
=
Vậy nghiệm của phương trình là:
23 161
2 à
8
x v x
−
= =
Bài 15.
4 2
3 3x x
+ + =
(1)
Giải:
2 4 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 4 2
4 2
1 1
(1) 3 3
4 4
1 1
3
2 2
1 1
3
3 1
2 2
1 1
3
3
2 2
3 2 1
2 0
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x x
2
2
⇔ + − + + = + +
⇔ + − = +
÷ ÷
+ − = +
+ = +
⇔ ⇔
+ = −
+ − = − −
⇔ + = + +
⇔ + − =
2
2
1
1
2
x
x
x
=
⇔ ⇔ = ±
= −
Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 và x = -1
Bài 16.
2
1 1 x x
+ + =
(1)
Giải:
17
2
2 2
1 1
(1) 1 (1 )
4 4
1 1
1
2 2
x x x x
x x
⇔ + + + + = + +
⇔ + + = +
÷ ÷
1 1
1
1
2 2
1 1
1 1
1
2 2
x x
x x
x x
x x
+ + = +
+ =
⇔ ⇔
+ = − −
+ + = − −
1
2 2
: 1
0 0
1 1 0
0
1 5
1 5
2
2
1 5
2
TH x x
x x
x x x x
x
x
x
x
+ =
≥ ≥
⇔ ⇔
+ = − − =
≥
+
+
=
⇔ ⇔ =
−
=
2
2 2
2
: 1 1
1 1
1 ( 1) 1 2 1
0
0
0
0
0
1
TH x x
x x
x x x x x
x
x
x
x
x x
x
+ = − −
≤ − ≤ −
⇔ ⇔
+ = − − + = + +
≥
≥
⇔ ⇔ ⇔ =
=
+ =
= −
Vậy nghiệm của phương trình là
1 5
0 à
2
x v x
+
= =
Bài 17.
2
5 4 2 1 (1)x x x− + = −
Giải
Điều kiện
1x ≥
18
( )
2
2
2
(1) 4 4 1 2 1 1
( 2) 1 1
2 1 1 3 1
2 1 1 1 1
x x x x
x x
x x x x
x x x x
⇔ − + = − + − +
⇔ − = − +
− = − + − = −
⇔ ⇔
− = − − − − = −
1
2 2
: 1 3
3 3
1 6 9 7 10 0
TH x x
x x
x x x x x
− = −
≥ ≥
⇔ ⇔
− = − + − + =
3
5
5
2
x
x
x
x
≥
⇔ ⇔ =
=
=
2
2 2
: 1 1
1 1
1 2 1 3 2 0
1
1
1
2
TH x x
x x
x x x x x
x
x
x
x
− = −
≤ ≤
⇔ ⇔
− = − + − + =
≤
⇔ ⇔ =
=
=
Vậy nghiệm của phương trình là x = 5 và x = 1.
Bài 18.
2
3
2 4
2
x
x x
+
+ =
(1)
Giải:
Điều kiện:
3x ≥ −
2
(1) 4 8 2 6x x x⇔ + = +
( )
2
2 2
25 1
4 10 2 6 2 6
4 4
5 1
2 2 6
2 2
5 1
2 2 6
2 2
5 1
2 2 6
2 2
x x x x
x x
x x
x x
⇔ + + = + + + +
⇔ + = + +
÷ ÷
+ = + +
⇔
+ = − + −
19
2 2 2 6
2 3 2 6
x x
x x
+ = +
⇔
+ = − +
1
2
: 2 2 2 6
1
3 17
1
3 17
4
4
2 3 1 0
3 17
4
TH x x
x
x
x
x
x x
x
+ = +
≥ −
− +
≥ −
− +
=
⇔ ⇔ ⇔ =
+ − =
− −
=
2
2
: 2 6 2 3
3
2
3
5 13
5 13
2
4
4
4 10 3 0
5 13
4
TH x x
x
x
x
x
x x
x
+ = − −
≤ −
≤ −
− +
− +
⇔ ⇔ ⇔ =
=
+ + =
− −
=
Vậy nghiệm của phương trình là
3 17 5 13
à x=
4 4
x v
− + − −
=
Bài 19.
2 2
1 2 2x x x x
− = −
(1)
Giải:
Điều kiện:
2
0
x
x
≥
≤
(
)
( )
2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
(1) 2 2 2 2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 2 1
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x x
⇔ − − + − = − +
⇔ − − = −
− − = −
⇔
− − = −
− =
⇔
− = −
20
2
1
2 2
2
2
2 2 2
: 2 1
2 1 2 1 0
1 2
1 2
: 2 2 1
1 1
2 2
2 4 4 1 3 2 1 0
TH x x
x x x x
x
x
TH x x x
x x
x
x x x x x x
− =
⇔ − = ⇔ − − =
= +
⇔
= −
− = −
≥ ≥
⇔ ⇔ ⇔ ∈∅
− = − + − + =
Vậy nghiệm của phương trình là
1 2 à 1 2x v x
= + = −
21
Bài 20.
( ) ( ) ( )
3 4 12 28 (1)x x x x
+ − + = −
Giải:
Điều kiện:
4
12
x
x
≤
≥ −
( )
( )
( )
(
)
2
2 2 2
2
2
2 2
2 2
(1) 56 2 2 3 8 48 0
6 9 2 3 8 48 8 48 1 0
3 8 48 1
3 8 48 1 2 8 48
3 8 48 1 4 8 48
x x x x
x x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x
⇔ − − + − − + =
⇔ + + − + − − + + − − + − =
⇔ + − − − + =
+ − − − + = + = − − +
⇔ ⇔
+ − − − + = − + = − − +
2
1
: 2 8 48TH x x x+ = − − +
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 12 44 0
2 8 48
2
31 3
31 3
31 3
: 4 8 48
4
4
2 16 32 0
4 8 48
x
x
x x
x x x
x
x
x
x
TH x x x
x
x
x x
x x x
≥ −
≥ −
⇔ ⇔
+ − =
+ = − − +
≥ −
⇔ ⇔ = −
= −
= − −
+ = − − +
≥ −
≥ −
⇔ ⇔
+ − =
+ = − − +
4
32 4
32 4
32 4
x
x
x
x
≥ −
⇔ ⇔ = −
= −
= − −
Vậy nghiệm của phương trình là
31 3 à 32 4x v x= − = −
Bài 21.
( )
2 2
3 1 3 1x x x x
+ + = + +
(1)
Giải:
( ) ( )
( )
(
)
2
2 2
2
2
3 2 3 1 1 8
3 1 8
x x x x
x x
⇔ + − + + + + =
⇔ + − + =
22
2
2
2
2
3 1 2 2
3 1 2 2
1 3 2 2
1 3 2 2
x x
x x
x x
x x
+ − + =
⇔
+ − + = −
+ = + −
⇔
+ = + +
TH
1
:
2
1 3 2 2x x
+ = + −
( )
2 2
2 2 3
1 6 4 2 17 12 2
2 2 3
2 2
2 2
x
x x x
x
x
x
≥ −
⇔
+ = + − + −
≥ −
⇔ ⇔ =
=
TH
2
:
2
1 3 2 2x x+ = + +
( )
2 2
3 2 2
1 6 4 2 17 12 2 0
x
x x x
≥ − −
⇔
+ = + + + + =
3 2 2
2 2
2 2
x
x
x
≥ − −
⇔ ⇔ = −
= −
Vậy nghiệm của phương trình là
2 2 à 2 2x v x= = −
Bài 22.
( )
2 2
1 3 3 2 3x x x x x
+ − + = − +
(1)
Giải:
( ) ( )
( )
(
)
( )
2
2 2 2
2
2
2
(1) 1 4 1 3 3 4 3 3 2 1
1 2 3 3 1
x x x x x x x x
x x x x
⇔ + − + − + + − + = − +
⇔ + − − + = −
2
2
2
2
2
1
2
1 2 3 3 1
1 2 3 3 1
3 3 1
3 3
: 3 3 1
3 3 1
x x x x
x x x x
x x
x x x
TH x x
x x
+ − − + = −
⇔
+ − − + = −
− + =
⇔
− + =
− + =
⇔ − + =
23
2
2
3 2 0
1
x
x x
x
=
⇔ − + = ⇔
=
2
2
2 2
: 3 3
0
0
1
1
3 3
TH x x x
x
x
x
x
x x x
− + =
≥
≥
⇔ ⇔ ⇔ =
=
− + =
Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 và x = 2
Bài 23.
( )
2 2
2 2 2 1 (1)x x x x x
+ − + = + −
Giải:
( ) ( )
( )
(
)
2
2 2
2
2
2
2
(1) 2 2 2 2 2 2 2 0
2 2 2 8
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x x x x x x
x x x
x x x
x x x
⇔ + − + − + + − + =
⇔ + − − + =
+ − − + =
⇔
+ − − + = −
2
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x x x
x x x
− + = + −
⇔
− + = + +
TH
1
:
2
2 2 2 2 2x x x− + = + −
( )
2 2
2 2 2
2 2 4 4 2 12 8 2
2 2 2
1 2 2
1 2 2
x
x x x x
x
x
x
≥ −
⇔
− + = + − + −
≥ −
⇔ ⇔ = +
= +
TH
2
:
2
2 2 2 2 2x x x
− + = + +
( )
2 2
2 2 2
2 2 4 4 2 12 8 2
x
x x x x
≥ − −
⇔
− + = + + + +
2 2 2
1 2 2
1 2 2
x
x
x
≥ − −
⇔ ⇔ = −
= −
24
Vậynghiệm của phương trình là
1 2 2 à 1 2 2x v x
= + = −
Bài 24.
( )
2 2
1 2 3 1 (1)x x x x+ − + = +
Giải:
( ) ( )
( )
(
)
2
2 2
2
2
2
2
2
2
(1) 1 2 1 2 3 2 3 2
1 2 3 2
1 2 3 2
1 2 3 2
2 3 1 2
1 2 3 1 2
x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
⇔ + − + − + + − + =
⇔ + − − + =
+ − − + =
⇔
+ − − + = −
− + = + −
⇔
+ − − + = + +
( )
2
1
2 2
: 2 3 1 2
1 2
2 3 2 2 2 3 2 2 0
TH x x x
x
x x x x
− + = + −
≥ − +
− + = + − + − =
1 2
1 2
1 2
x
x
x
≥ − +
⇔ ⇔ = +
= +
( )
2
2
2 2
: 2 3 1 2
1 2
2 3 2 2 2 3 2 2 0
1 2
1 2
1 2
TH x x x
x
x x x x
x
x
x
− + = + +
≥ − −
⇔
− + = + + + + =
≥ − −
⇔ ⇔ = −
= −
Vậy nghiệm của phương trình là
1 2 à 1 2x v x
= + = −
Bài 25.
( ) ( )
2 2
2 1 2 1 2 1 1x x x x x− + − = − −
Giải:
Điều kiện:
1 2
1 2
x
x
≥ − +
≤ − −
(1)
( ) ( )
( )
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1x x x x x x x x⇔ − − − + − + + − = + +
25
