skkn hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách nguyễn thanh lam

Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Mỗi môn học trong chương trình toán phổ thông đều có vai trò rất quan trọng
trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Nói đến học toán người ta
thường nghĩ ngay đến các con số, các ký hiệu, hình vẽ và các mối liên hệ phức tạp giữa
chúng. Sự phong phú và đa dạng của môn học này được thể hiện qua phạm vi ứng
dụng của nó trong thực tế; đặc biệt là môn hình học. Hình học không gian là một môn
khoa học nghiên cứu về hình dạng, độ lớn và vị trí không gian của vật thể; là một môn
học khó đối với nhiều học sinh phổ thông. Rất nhiều em cảm thấy ngán ngại khi học
môn này, có em thuộc định lý, tính chất nhưng không biết vận dụng vào giải bài tập, có
em biết vẽ hình nhưng không đọc được hình… Vì thế, việc truyền đạt kiến thức liên
quan đến hình học không gian đòi hỏi người Thầy phải kiên nhẫn, hướng dẫn các thao
tác theo một trình tự nhất định, từng bước giúp các em chủ động tìm ra hướng giải các
bài tập có liên quan đến hình học không gian.
Hoạt động chủ đạo và thường xuyên trong quá trình học toán của học sinh là
hoạt động giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng, kỹ xảo và khắc sâu kiến thức.
Do vậy việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho
học sinh những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt
được các mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp
học sinh độc lập suy nghĩ và chủ động để giải bài tập và củng cố kiến thức.
Sách giáo khoa Hình học 11 (chuẩn và nâng cao) có nêu nội dung về “khoảng
cách”, phần lý thuyết thì rất đơn giản nhưng phần bài tập thì thật không hề đơn giản
đối với học sinh. Nếu giáo viên chỉ nêu định nghĩa như sách giáo khoa rồi dừng lại làm
bài tập thì rất nhiều học sinh lung túng. Do kỹ năng giải toán hình học không gian nói
chung và giải bài toán liên qua đến tính khoảng cách hình học trong không gian nói
riêng của học sinh lớp 12 còn rất yếu nên các em thường bị mất điểm khi gặp những
câu hỏi có liên quan đến nội dung này trong các đề thi tốt nghiệp và tuyển sinh hàng
năm. Trong bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, băn khoăn lớn
nhất và phổ biến nhất của các em là xác định khoảng cách, vì nếu không xác định
đúng khoảng cách thì không thể tính khoảng cách môt cách chính xác.

Từ thực tế giảng dạy, tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm về việc hướng dẫn
học sinh lớp 12 nhận biết và làm tốt bài toán tính khoảng cách trong hình học không
gian. Bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian là một dạng toán hay và
khó, thường gặp trong các đề tuyển sinh đại học – cao đẳng hàng năm. Nhằm giúp các
em chủ động ôn tập và tự tin chuẩn bị bước vào các kỳ thi quan trọng sắp tới. Trong
năm học 2013 – 2014 này, tôi chọn viết đề tài: Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt
bài toán tính khoảng cách.
1
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lý luận
Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp là Réné Descartes đã cho xuất bản
cuốn “ La Géométrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp toạ độ đánh
dấu một bước tiến mạnh mẽ của toán học. Descartes là nhà toán học thiên tài đã khai sinh
ra phương pháp toạ độ. Phương pháp toạ độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại
số thay cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đạt đến đỉnh cao của sự khái quát
hoá và trừu tương hoá toán học trong nhiều lĩnh vực.
Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được
tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó. Chẳng hạn,
quy trình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm :
• Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán
• Bước 2 : Tìm cách giải
• Bước 3 : Trình bày lời giải theo trình tự các bước thích hợp
• Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải
Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt
với hình học là hướng dẫn cho học sinh biết phân tích đề bài, thấy được sự liên quan
giữa giả thiết và kết luận, biết dựng hình và định hướng được cách giải.
Giải toán là một quá trình biến những tri thức tổng quát thành cái cụ thể, thành
kinh nghiệm của bản thận, là một chặng đường nhiều thử thách, đòi hỏi sự nỗ lực bền

bỉ và đan xen một chút sáng tạo của học sinh. Vì tìm được cách giải một bài toán là
một phát minh.
Để giải một bài toán tính khoảng cách, ta thực hiện theo các bước sau :
• Bước 1 : Đọc đề và phân tích đề
• Bước 2 : Dựng hình phù hợp với nội dung của đề bài.
• Bước 3 : Liên hệ nội dung cần chứng minh với các định lý, công thức có liên
quan để giải bài toán.
Tuy nhiên qua thực tế , việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào
giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một quá trình trừu tượng
hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học. Do vậy, thông qua một số
bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với các bước cụ thể, nhận biết các
dạng bài tập, từng bước giúp các em hình thành kỹ năng, kỹ xảo, chủ động giải quyết
các tình huống xảy ra trong quá trình giải toán, là cơ sở để các em khắc sâu kiến thức.
2
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
2. Thực trạng trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài
a. Những khó khăn và những sai lầm mà học sinh thường mắc phải.
Trong đề tuyển sinh đại học năm 2013 vừa qua, trong đề thi của bốn khối A, A
1
,
B và D song song với bài toán tính thể tích khối đa diện thì còn thêm câu hỏi tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Các em đều có chung một cảm nhận là
câu này khó, không làm được! qua tìm hiểu và trao đổi với các em thì nguyên nhân
chính là vẽ hình chưa chuẩn xác, không xác định khoảng cách và lúng túng trong tính
toán do nhớ sai công thức.
Mặc dù kiến thức về khoảng cách , các em đã được học ở cuối học kỳ II của lớp
11, nhưng vào thời điểm đó thầy và trò phải tập trung vào ôn tập cho kỳ thi học kỳ II
nên việc truyền đạt của thầy và tiếp thu của trò chưa thật chu đáo.
Bài toán tính khoảng cách là một nội dung phức tạp bởi tính trừu tượng, phong

phú và đa dạng của nó nên đã tạo ra không ít khó khăn trong quá trình hướng dẫn,
truyền đạt của giáo viên và việc tiếp thu kiến thức của học sinh. Tuy nhiên nếu biết sắp
xếp và phân tích cụ thể các yếu tố có liên quan của bài toán, biết gợi mở thì sẽ phát
huy được tính tích cực của học sinh, tạo được hứng thú cho học sinh khi giải bài toán
hình học không gian nói chung và bài toán tính khoảng cách trong hình học không
gian nói riêng.

+ Số liệu thống kê.
Qua thống kê sơ bộ điểm môn toán của 2 lớp;
9
11A
;
11
11A
năm học 2012 - 2013,
lớp
9
12A
;
11
12A
, năm học 2013 - 2014, cụ thể là kết qủa 2 bài kiểm tra như sau :
+ Bài kiểm tra một tiết hình học (học kỳ II, 2012 - 2013 ), trong 93 bài kiểm tra có :

• 4 bài điểm 8 tỷ lệ 4,3 %
• 13 bài điểm 6, 7 tỷ lệ 14,0 %
• 29 bài điểm 5 tỷ lệ 31,2 %
• 47 bài điểm dưới 5 tỷ lệ 50,5 %
+ Bài kiểm tra một tiết hình học (học kỳ I, 2013 - 2014 ), trong 92 bài kiểm tra có :
• 5 bài điểm 8 tỷ lệ 5,4 %

• 19 bài điểm 6, 7 tỷ lệ 20,7 %
• 31 bài điểm 5 tỷ lệ 33,7 %
• 37 bài điểm dưới 5 tỷ lệ 40,2 %
Kết quả này đã phản ánh khá trung thực về khả năng tiếp thu và vận dụng của học
sinh trong giải quyết bài toán về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng,
3
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
Cũng chính kết quả khiếm tốn này đã làm tôi suy nghĩ, trăn trở nhiều hơn về quá trình
hướng dẫn, truyền đạt của mình, cần phải hướng dẫn chi tiết và cụ thể hơn thông qua
các bước đi phù hợp với khả năng nhận thức của các em.
b. Biện pháp khắc phục.
Khắc phục những hạn chế nêu trên, cần có những bước đi thật cụ thể:
+ Các tiết bài tập cần chuẩn bị thật chu đáo, phải được thiết kế theo trình tự từ dễ đến
khó, chú ý vào các dạng toán cơ bản, tạo hứng thú cho học sinh, giúp các em quen dần
với các dạng toán có liên quan.
+ Bài tập nêu trong sách giáo khoa thường rất phức tạp, do vậy khi hướng dẫn học sinh
ta cần điều chỉnh một số giả thiết cho phù hợp với khả năng nhận thức của các em.
+ Cần tạo điều kiện cho các em có sự chuẩn bị bị ở nhà theo tổ nhóm, qua mỗi dạng
toán cần hướng dẫn các em nhận xét để rút ra những bài học kinh nghiệm nhằm khắc
sâu kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài toán tính khoảng cách.
+ Giáo viên cần hướng dẫn các em dựng hình và đọc được các chi tiết trên hình, làm
cơ sở định hướng công việc cần làm theo một trình tự nhất định, qua đó nâng cao nhận
thức của các em trong nhận định và giải quyết công việc trong cuộc sống sau này.
+ Qua mỗi bài tập, giáo viên cần hướng dẫn các em nhận xét là cở sở phân tích, suy
luận để giải quyết các bài sau khác sau này.
Thông qua từng dạng bài tập, từng bước tôi sẽ hướng dẫn học sinh xác định
được đoạn thẳng nào là khoảng cách cân tìm dựa trên cơ sở các khái niệm về khoảng
cách mà các em đã được học ở lớp 11.
Các giải pháp tôi nêu ra ở phần sau là giải pháp thay thế một phần giải pháp đã

có, giải pháp mới này tỉ mỉ hơn, cụ thể và khoa học hơn; giúp các em tiếp thu và vận
dụng tốt hơn.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
Gồm hai phần:
Phần một: Hệ thống kiến thức liên quan đến khoảng cách.
Phần hai: Tính khoảng cách trong hình học không gian
Các dạng toán thường gặp :
• Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
• Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
4
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
• Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
• Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
PHẦN MỘT
Hệ thống kiến thức liên quan đến khoảng cách
Trong chương III - §5 sách giáo khoa (SGK) hình học 11 , Trần Văn Hạo (Tổng
chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), NXBGD 2008, đã nêu định nghĩa về khoảng
cách trong không gian và một số tính chất sau :
 Một số kiến thức về khoảng cách trong không gian
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm O và mặt phẳng
( )
α
. Gọi H là hình chiếu vuông
góc của O trên mặt phẳng
( )
α
. Khi đó khoảng cách giữa
hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến

mặt phẳng
( )
α
.
Kí hiệu:
( )
,( )d O
α
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song
song
Cho đường thẳng
∆
song song với mặt phẳng
( )
α
.
Khoảng cách từ đường thẳng
∆
đến mặt phẳng
( )
α
là
khoảng cách từ một điểm bất kì của
∆
đến mặt phẳng
( )
α
.
Kí hiệu:
( )

,( )d
α
∆
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách
từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Kí hiệu:
( )
( ),( )d
α β
4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
• Đường vuông góc chung:
Đường thẳng
∆
cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b và
cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy, được gọi là
đường vuông góc chung của a và b.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Nếu đường vuông góc chung
∆
cắt hai đường thẳng chéo
nhau a và b lần lượt tại M,N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi
là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b
5
)
α
O
H
)
α

β
O
H
)
M
)
α
)
α
B
B’
)
α
A
A’
∆
∆
a
M
N
b
∆
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
Nhận xét:
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng
khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt
phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng
khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt

chứa hai đường thẳng đó.
 Một số kiến thức về quan hệ vuông góc
+ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
ĐL1: Nếu đường thẳng d
vuông góc với hai đường thẳng
cắt nhau a và b cùng nằm trong
mp(P) thì đường thẳng d vuông
góc với mp(P).

⊥ ⊥

⊂ ⇒ ⊥



d a ,d b
a ,b (P) d (P)
a,b caét nhau
d
a
b
P
ĐL2: (Ba đường vuông góc)
Cho đường thẳng a không
vuông góc với mp(P) và đường
thẳng b nằm trong (P). Khi đó,
điều kiện cần và đủ để b vuông
góc với a là b vuông góc với
hình chiếu a’ của a trên (P).
⊥ ⊂

⊥ ⇔ ⊥
a (P),b (P)
b a b a'
a'
a
b
P
+ Hai mặt phẳng vuông góc
ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa
một đường thẳng vuông góc
với một mặt phẳng khác thì hai
mặt phẳng đó vuông góc với
nhau.

⊥
⇒ ⊥

⊂

a (P)
(Q) (P)
a (Q)
Q
P
a
ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và
(Q) vuông góc với nhau thì bất
cứ đường thẳng a nào nằm
6
)

α
N
)
α
M
a
a’
b
b
β
O
N
M
)
α
a
b
)
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
trong (P), vuông góc với giao
tuyến của (P) và (Q) đều vuông
góc với mặt phẳng (Q).

⊥

∩ = ⇒ ⊥


⊂ ⊥


(P) (Q)
(P) (Q) d a (Q)
a (P), a d
d
Q
P
a
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và
(Q) vuông góc với nhau và A là
một điểm trong (P) thì đường
thẳng a đi qua điểm A và
vuông góc với (Q) sẽ nằm
trong (P)
(P) (Q)
A (P)
a (P)
A a
a (Q)

⊥

∈

⇒ ⊂

∈


⊥


A
Q
P
a
ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt
nhau và cùng vuông góc với
mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến
của chúng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba.
(P) (Q) a
(P) (R) a (R)
(Q) (R)

∩ =

⊥ ⇒ ⊥


⊥

a
R
Q
P
Từ các định nghĩa và nhận xét nêu trên, có thể kết luận rằng: Bài toán tìm
khoảng cách giữa đường thẳng song song với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng song
song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau … đều đưa về bài toán tìm khoảng
cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Do vậy, trước hết cần xây dựng một cách có hệ
thống các bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, làm cơ sở giúp

học sinh từng bước chủ động , tự tin khi giải các bài toán tính khoảng cách trong hình
học không gian.
PHẦN HAI
Bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian
a. Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Bài toán tính khoảng các từ một điểm đến một mặt phẳng gồm 2 phần:
 Xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
 Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
1) Xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho mặt phẳng (P) và điểm M không nằm trên mặt phẳng (P). Để xác định khoảng
cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) cần thực hiện các bước sau:
• Bước 1: Dựng mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P)
• Bước 2: Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q)
7
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
• Bước 3: Kẻ MH vuông góc với giao tuyến d
( ) ( )
( ) ,( )H d MH P MH d M P∈ ⇒ ⊥ ⇒ =
2) Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
2 2 2
1 1 1
h b c
= +
Trong quá trình giải bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng,
giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh sử dụng bổ đề: Cho mặt phẳng
( )
α
và hai điểm A,

E không nằm trên mặt phẳng
( )
α
. Gọi
( )
M AE
α
= ∩
. Khi đó:
( )
( )
,( )
,( )
d E
ME
d A MA
α
α
=
Bài toán cơ bản. Hình vẽ
Cho mặt phẳng
( )
α
và điểm A không nằm trên
mặt phẳng
( )
α
; M là điểm bất kì nằm trên mặt
phẳng
( )

α
. Xét điểm E nằm trên đường thẳng đi
qua hai điểm A, M sao cho:
ME
k
MA
=
. Khi đó
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
( )
α
và
khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng
( )
α
có
mối quan hệ như thế nào?
Để giải quyết bài toán cơ bản này, ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Hai điểm A và E nằm cùng phía với mặt phẳng
( )
α
Trường hợp 2: Hai điểm A và E nằm khác phía với mặt phẳng
( )
α
Trường hợp 1. Hình vẽ
Cho mặt phẳng
( )
α
và điểm A không nằm trên mặt
phẳng

( )
α
; M là điểm bất kì nằm trên mặt phẳng
( )
α
. H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt
phẳng
( )
α
và
AH h=
. E là điểm thuộc AM sao cho:
ME
k
MA
=
.
1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
( )
α
2) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng
( )
α
3) Gọi I là trung điểm của AM. Tính khoảng cách
từ điểm I đến mặt phẳng
( )
α
4) Gọi d là đường thẳng qua I và song song với mặt
phẳng
( )

α
và J là điểm bất kì thuộc d. Tính khoảng
8
α
H
E
M
A
P
α
D
C
Q
I
P
A
M
E
H
J
c
A
b
B
C
H
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
cách từ điểm J đến mặt phẳng
( )

α
5) Gọi C là hình chiếu vuông góc của J trên mặt
phẳng
( )
α
và D là trung điểm của JC. Tính khoảng
cách từ điểm D đến mặt phẳng
( )
α
Hướng dẫn Bài giải
H là hình chiếu vuông góc của điểm A
trên mặt phẳng
( )
α
(giả thiết)
1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
( )
α
( ) ( )
,( )AH AH d A h
α α
⊥ ⇒ = =
Tìm mối liên hệ giữa AH và EP
AH và EP song song, vì sao?
Ba điểm M,P,H như thế nào?
Vận dụng định lí Thales vào tam giác
AMH
2) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng
( )
α

Gọi P là hình chiếu vuông góc của E trên mặt phẳng
( )
( )EP
α α
⇒ ⊥

( )
,( )EP d E
α
⇒ =
( )
( )
/ /
, ,
AH
AH EP
EP
M P H
E AM
α
α
⊥


⊥ ⇒
 


∈


thaúng haøng
Áp dụng dịnh lí Thales vào tam giác AMH, ta có:
( )
,( ) .
EP ME
k EP d E AH k hk
AH MA
α
= = ⇒ = = =
Khai thác tính chất đường trung bình
trong tam giác AMH
3) Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng
( )
α
Gọi Q là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng
( )
( )IQ
α α
⇒ ⊥

( )
,( )IQ d I
α
⇒ =
IQ là đường trung bình trong tam giác AMH
( )
1
,( )
2 2
h

IQ d I AH
α
⇒ = = =
Với cách dựng hình: IJCQ là hình chữ
nhật
IQ JC⇒ =
4) Tính khoảng cách từ điểm J đến mặt phẳng
( )
α
Gọi C là hình chiếu vuông góc của J trên mặt phẳng
( )
α
( )JC
α
⇒ ⊥
Mà:
IQ JC=
( IJCQ là hình chữ nhật)
( )
,( )
2
h
JC d J IQ
α
⇒ = = =
C cũng là hình chiếu vuông góc của D
trên mặt phẳng
( )
α
( )CD

α
⇒ ⊥
5) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng
( )
α
D là trung điểm của JC
1
2
CD
CJ
⇒ =
( )
1
,( )
2 4
h
CD d D JC
α
⇒ = = =
Trường hợp 2. Hình vẽ
Cho mặt phẳng
( )
α
và điểm A không nằm trên mặt
phẳng
( )
α
; M là điểm bất kì nằm trên mặt phẳng
9
α

E
P
H
M
A
Q
N
I
R
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
( )
α
. H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt
phẳng
( )
α
và
AH h
=
. Trên tia đối của tia MA lấy
điểm E sao cho:
ME
k
MA
=
.
1) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng
( )
α

2) Gọi N là điểm đối xứng của điểm A qua điểm
M.Tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng
( )
α
3) Gọi d là đường thẳng qua E và song song với
mặt phẳng
( )
α
và Q là điểm bất kì thuộc d. Tính
khoảng cách từ điểm Q đến mặt phẳng
( )
α
Hướng dẫn Bài giải
Cách giải tương tự cách giải câu 2
của trường hợp 1
1) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng
( )
α
Gọi P là hình chiếu vuông góc của E trên mặt phẳng
( )
( )EP
α α
⇒ ⊥

( )
,( )EP d E
α
⇒ =
( )
( )

/ /
, ,
AH
AH EP
EP
M P H
E AM
α
α
⊥


⊥ ⇒
 


∈

thaúng haøng
Áp dụng dịnh lí Thales vào tam giác AMH, ta có:
( )
,( ) .
EP ME
k EP d E AH k hk
AH MA
α
= = ⇒ = = =
Gọi R là hình chiếu vuông góc của
N trên mặt phẳng
( )

α
( )NR
α
⇒ ⊥
NR MN
MHA MRN
AH MA
∆ ∆ ⇒ =:
2) Tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng
( )
α
N là điểm đối xứng của điểm A qua điểm M.
1
MN
MN MA
MA
⇒ = ⇔ =
( ) ( )
,( ) ,( )d N d A AH h
α α
⇒ = = =
( )
( )
/ /
/ /
,
d
EQ
E d Q d
α

α


⇒

∈ ∈


3) Tính khoảng cách từ điểm Q đến mặt phẳng
( )
α
( ) ( ) ( )
/ / ,( ) ,( )EQ d Q d E hk
α α α
⇒ = =
Nhận xét. Qua hai trường hợp đã xét ở trên có thể rút ra một số nhận xét như sau:
 Đối với các bài toán: Cho mặt phẳng
( )
α
và một điểm A không nằm trên mặt phẳng
( )
α
, biết
( )
,( )d A h
α
=
; yêu cầu tính khoảng cách của một số điểm E, P,Q,… đến mặt
phẳng
( )

α
( mỗi điểm trong các điểm này và điểm A có thể nằm cùng phía hay khác
phía đối với mặt phẳng
( )
α
) thì chỉ cần tính khoảng cách từ môt điểm trong số các
10
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
điểm đó đến mặt phẳng
( )
α
sao cho khoảng cách này là dễ tính nhất, sau đó tiếp tục
tính các khoảng cách còn lại dựa trên các kết quả đã có.
 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng có thể tính gián tiếp thông qua công
thức tính thể tích của khối chóp:
1 3
3
V
V Bh h
B
= ⇒ =
 Một số bài toán cụ thể.
Bài toán 1 Hình vẽ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh bằng a; SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD),
2SA a=
1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
2) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD)

Hướng dẫn Bài giải
Tìm hình chiếu vuông góc của A trên
mặt phẳng (SBC) ?
Tìm một mặt phẳng chứa điểm A và
vuông góc với mặt phẳng (SBC) ?
Đó là mặt phẳng (SAB), thật vậy:
( )
BC SA
BC SAB
BC AB
⊥

⇒ ⊥

⊥

( )
( )
( ) ( )
BC SAB
SAB SBC
BC SBC
⊥

⇒ ⊥

⊂


Xác định giao tuyến của (SAB) và (SBC)

( ) ( )
SAB SBC SB∩ =
1) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB
AH SB⇒ ⊥
( )
BC SA
BC SAB BC AH
BC AB
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

( )
AH SB
AH SBC
AH BC
⊥

⇒ ⊥

⊥

( )
,( )AH d A SBC⇒ =
Trong tam giác vuông SAB, ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5

4 4AH SA AB a a a
= + = + =
( )
2 5
,( )
5
a
AH d A SBC⇒ = =
Tìm hình chiếu vuông góc của A trên
mặt phẳng (SBD) ?
Tìm một mặt phẳng chứa điểm A và
vuông góc với mặt phẳng (SBD) ?
Đó là mặt phẳng (SAC), thật vậy:
Gọi
O AC BD
= ∩
2) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD)
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên SO
AK SO
⇒ ⊥
( )
BD SA
BD SAC BD AK
BD AC
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥


11
S
B
C
D
O
A
H
K
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
( )
BD SA
BD SAC
BD AC
⊥

⇒ ⊥

⊥

( )
( )
( ) ( )
BD SAC
SAC SBD
BD SBD
⊥

⇒ ⊥


⊂


Xác định giao tuyến của (SAC) và (SBD)
( ) ( )
SAC SBD SO∩ =
( )
AK SO
AK SBD
AK BD
⊥

⇒ ⊥

⊥

( )
,( )AK d A SBD⇒ =
Trong tam giác vuông SAO, ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 9
4 4AK SA OA a a a
= + = + =
( )
3
,( )
2
a
AK d A SBD⇒ = =

Bài toán 2 Hình vẽ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh bằng a; SAB là tam giác đều, mặt phẳng (SAB)
vuông góc với mặt phẳng (ABCD), gọi E, F lần lượt là
trung điểm của AB và AD.
Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SFC)
Hướng dẫn Bài giải
Chứng minh:
( )
SE ABCD⊥
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
,
SAB ABCD AB
SAB ABCD SE ABCD
SE SAB SE AB
∩ =

⊥ ⇒ ⊥


⊂ ⊥

Tìm hình chiếu vuông góc của A trên
mặt phẳng (SBD) ?
Tìm một mặt phẳng chứa điểm E và
vuông góc với mặt phẳng (SFC) ?
Đó là mặt phẳng (SED), thật vậy:

Gọi
O ED FC= ∩
Chứng minh:
ED FC
⊥
( )
FC SE
FC SED
FC ED
⊥

⇒ ⊥

⊥

( )
( )
( ) ( )
FC SED
SFC SED
FC SFC
⊥

⇒ ⊥

⊂


Khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SFC)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của E trên SO

EH SO
⇒ ⊥
( )
FC SE
FC SED FC EH
FC ED
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

( )
EH SO
EH SFC
EH FC
⊥

⇒ ⊥

⊥

( )
,( )EH d E SFC⇒ =
SE là đường cao của tam giác đều SAB cạnh a
3
2
a
SE⇒ =
ADE∆

có:
2 2
5
2
a
ED AE AD= + =
CDF
∆
có OD là đường cao
2 2 2 2
1 1 1 5
OD CD FD a
⇒ = + =
5
a
OD⇒ =
12
B
S
A
C
D
E
F
O
H
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
Xác định giao tuyến của (SFC) và (SED)
( ) ( )

SFC SED SO∩ =
5 3
2
5 2 5
a a a
OE ED OD= − = − =
Trong tam giác vuông SEO, ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 20 32
3 9 9EH SE OA a a a
= + = + =
( )
3 2
,( )
8
a
EH d E SFC⇒ = =
Bài toán 3 Hình vẽ
Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông tâm O cạnh bằng a;
SA a
=
1) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC)
2) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)
Hướng dẫn Bài giải
Một hình chóp được gọi là hình chóp
đều nếu nó có đáy là một đa giác đều
và có chân đường cao trùng với tâm
của đa giác đáy.
Chứng minh:

( )
BC SOM⊥

OH BC⇒ ⊥
Chứng minh:
( )
OH SBC⊥
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác
vuông:
2 2 2
1 1 1
h b c
= +
1) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC)
( )
. S ABCD
SO ABCD
AC BD O

⇒ ⊥

∩ =

laø hình choùp ñeàu
Gọi M, H theo thứ tự lần lượt là hình chiếu vuông góc
của S trên BC và SM
( )
BC OM
BC SOM BC OH
BC SM

⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

( )
OH SM
OH SBC
OH BC
⊥

⇒ ⊥

⊥

( )
,( )OH d O SBC⇒ =
AC là đường chéo của hình vuông cạnh
2a AC a⇒ =
Trong tam giác vuông SOA, ta có:
2
2 2 2
2
2
a a
SO SA OA a= − = − =
Trong tam giác vuông SOM, ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 4 6

OH SO OM a a a
= + = + =
13
A
B
C
D
O
M
H
K
S
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
( )
6
,( )
6
a
OH d O SBC⇒ = =
Hai điểm O, D nằm cùng phía với mặt
phẳng (SBC) và
( )OD SBC B∩ =
( )
( )
,( )
2
,( )
d D SBC
BD

d O SBC OD
⇒ = =
2) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)
Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm D trên SM
DK SM⇒ ⊥
Ta có:
( )
( )
,( )
2
,( )
d D SBC
BD
d O SBC OD
= =
( ) ( )
2 6 6
,( ) 2 ,( )
6 3
a a
d D SBC d O SBC⇒ = = =
Bài toán 4 Hình vẽ
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông
tại B;
3 , 4BA a BC a= =
. Mặt phẳng (SBC) vuông góc
với mặt phẳng (ABC). Biết
2 3SB a=
và
·

0
30SBC =
.
Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)
theo
a
Trích đề tuyển sinh Đại học Khối D năm 2011
Hướng dẫn Bài giải
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau
thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong
mặt phẳng này và vuông góc với giao
tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Dựng
SH BC⊥

( )H BC∈
Chứng minh:
( )
SH ABC⊥
2) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)
Trong tam giác vuông SHB, ta có:
0
.cos30 3BH SB a= =
4
4
4 3
BC BC a
HC BC BH a a
⇒ = = =
− −

Trước hết tính:
( )
,( )d H SAC
Tính tỉ số:
BC
HC
Hai điểm B, H nằm cùng phía với mặt
phẳng (SAC) và
( )BH SAC C∩ =
Áp dụng:
( )
( )
,( )
,( )
d B SAC
BC
d H SAC HC
=
Gọi M, K theo thứ tự lần lượt là hình chiếu vuông góc
của S trên AC và SM
( )
AC SH
AC SHM AC HK
AC SM
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥


( )
HK SM
HK SAC
HK AC
⊥

⇒ ⊥

⊥


( )
,( )HK d H SAC⇒ =
14
A
B
C
M
H
K
S
) 30
0
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
Vì:
4
BC
HC
=

( ) ( )
,( ) 4 ,( )d B SAC d H SAC⇒ =
Trong tam giác vuông ABC, ta có:
2 2 2 2
9 16 5AC AB BC a a a= + = + =
. 3
5
MH HC AB HC a
CMH CBA MH
AB AC AC
∆ ∆ ⇒ = ⇒ = =:
Trong tam giác vuông SHM, ta có:
2 2 2 2
1 1 1 28
9HK SH HM a
= + =
( )
3
,( )
2 7
a
HK d H SAC⇒ = =
Ta có:
( )
( )
,( )
4
,( )
d B SAC
BC

d H SAC HC
= =
( ) ( )
6 7
,( ) 4 ,( )
7
a
d B SAC d H SAC⇒ = =
Bài toán 5 Hình vẽ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
·
·
0
90ABC BAD= =
,
, 2BA BC a AD a= = =
.Cạnh bên SA
vuông góc với đáy và
2SA a=
.Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD
vuông và tính (theo a) khoảng cách từ điểm H đến
mặt phẳng (SCD)
Trích đề tuyển sinh Đại học Khối D năm 2007
Hướng dẫn Bài giải
Chứng minh
ACD∆
vuông tại C
Chứng minh:
( )

CD SAC CD SC⊥ ⇒ ⊥
1) Chứng minh tam giác SCD vuông
Gọi I là trung điểm của AD
Trong tam giác ACD, ta có:
IA IC ID a
= = =
AC CD⇒ ⊥
( )
CD SA
CD SAC CD SC
CD AC
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

Vậy tam giác SCD vuông tại C
Trước hết tính:
( )
,( )d A SCD
Tính tỉ số:
EB
EA
Hai điểm A;B nằm cùng phía với mặt
phẳng (SCD) và
( )AB SCD E∩ =
Áp dụng:
( )
( )

,( )
,( )
d B SCD
EB
d A SCD EA
=
2) Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD)
Kẻ
AK SC⊥

( )K SC∈
( )
CD SAC CD AK⊥ ⇒ ⊥
( )
AK SC
AK SCD
AK CD
⊥

⇒ ⊥

⊥


( )
,( )AK d A SCD⇒ =
Trong tam giác ABC, ta có:
2 2 2 2
2AC AB BC a= + =
Trong tam giác vuông SAC, ta có:

15
A
B
C
S
D
I
H K
E
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
Vì:
1
2
EB
EA
=
( ) ( )
1
,( ) ,( )
2
d B SCD d A SCD⇒ =
Tính tỉ số:
SH
SB
Hai điểm H;B nằm cùng phía với mặt
phẳng (SCD) và
( )BH SCD S∩ =
Áp dụng:
( )

( )
,( )
,( )
d H SCD
SH
d B SCD SB
=
Vì:
2
3
SH
SB
=
( ) ( )
2
,( ) ,( )
3
d H SCD d B SCD⇒ =
( )
2 2 2 2
1 1 1 1
,( )AK d A SCD a
AK SA AC a
= + = ⇒ = =
Gọi
1
2
EB
E AB CD
EA

= ∩ ⇒ =
Ta có:
( )
( )
,( )
1
,( ) 2
d B SCD
EB
d A SCD EA
= =
( ) ( )
1
,( ) ,( )
2 2
a
d B SCD d A SCD⇒ = =
Trong tam giác vuông SAB, ta có:
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 3
SH SA SA a
SB SB SA AB a a
= = = =
+ +
Ta có:
( )
( )
,( )

2
,( ) 3
d H SCD
SH
d B SCD SB
= =
( ) ( )
2
,( ) ,( )
3 3
a
d H SCD d B SCD⇒ = =
Bài toán 6 Hình vẽ
Cho lăng trụ
1 1 1 1
.ABCD A BC D
có đáy ABCD là hình chữ
nhật,
, 3AB a AD a= =
. Hình chiếu vuông góc của
điểm
1
A
trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm
của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng
( )
1 1
ADD A
và
( )

ABCD
bằng
0
60
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho
và tính khoảng cách từ điểm
1
B
đến mặt phẳng

( )
1
A BD
theo a
Trích đề tuyển sinh Đại học Khối B năm 2011
Hướng dẫn Bài giải
Xác định góc giữa hai mặt phẳng
( )
1 1
ADD A
và
( )
ABCD
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa
hai đường thẳng lần lượt nằm trên
hai mặt phẳng và cùng vuông góc
với giao tuyến
1) Thể tích khối lăng trụ
1 1 1 1
.ABCD A BC D

Gọi
( )
1
O AC BD A O ABCD= ∩ ⇒ ⊥
Gọi E là trung điểm của AD
1
OE AD
A E AD
⊥

⇒

⊥

( ) ( )
( )
( )
1 1
1 1 1 1
,
,
ADD A ABCD AD
A E ADD A A E AD
OE ABCD OE AD
∩ =

⊂ ⊥


⊂ ⊥


·
1
A EO⇒
là góc giữa hai mặt phẳng
( )
1 1
ADD A
và
( )
ABCD
·
0
1
60A EO⇒ =
Trong tam giác vuông
1
AOE
, Ta có:
16
A
1
B
1
O
E
C
1
D
1

A
B
H
D
)
C
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
0 0
1
3
.tan 60 tan 60
2 2
AB a
AO OE= = =
Diện tích đáy ABCD:
2
. 3
ABCD
S AB AD a= =
1 1 1 1
3
. 1
3
.
2
ABCD A B C D ABCD
a
V AO S⇒ = =
(đvtt)

Chứng minh:
( )
1 1
/ /B C A BD
Khoảng cách giữa đường thẳng và
mặt phẳng song song là khoảng cách
từ một điểm bất kỳ thuộc đường
thẳng đến mặt phẳng
2) Khoảng cách từ điểm
1
B
đến mặt phẳng
( )
1
A BD
Ta có:
( )
1 1 1 1
/ / / /B C A D BC A BD⇒
( ) ( )
1 1 1
,( ) ,( )d B A BD d C A BD⇒ =
Kẻ
CH BD
⊥

( )
H BD∈
( )
1

1
CH BD
CH A BD
CH AO
⊥

⇒ ⊥

⊥

( ) ( )
1 1 1
,( ) ,( )CH d C A BD d B A BD⇒ = =
Trong tam giác vuông
BCD
, ta có:
( )
1 1
2 2 2 2
1 1 1 4 3
,( )
3 2
a
CH d B A BD
CH CB CD a
= + = ⇒ = =
Bài toán 7 Hình vẽ
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình
vuông, tam giác A’AC vuông cân,
'A C a=

Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và tính khoảng
cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo
a
Trích đề tuyển sinh Đại học Khối D năm 2012
Hướng dẫn Bài giải
Vì
( )
' 'AA ABCD AA AC⊥ ⇒ ⊥
⇒
tam giác A’AC vuông cân tại A
Dựa vào độ dài cạnh huyền
⇒
độ dài các cạnh còn lại.
ABCD là hình vuông
⇒
ABC là tam
giác vuông cân tại B
' ' ?AB BC B C
⇒ = = =
Áp dụng công thức tính thể tích khối
hộp:
V Bh=
1) Thể tích khối tứ diện ABB’C’
Tam giác A’AC vuông cân tại A và
'A C a=
2
'
'
2
2

A C a
AA AC⇒ = = =
Trong tam giác vuông ABC, ta có:
2
' '
2 2 2
AC a a
AB BC B C= = = ⇒ =
( ) ( )
' ' ' ' ' ' 'B C ABB A B C ABB⇒ ⊥ ⇒ ⊥
17
A’
A
H
D’
C’
B’
D
C
B
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
3
' ' '. ' '
1 1 2
' '. ' '. . '
3 6 48
ABB C C ABB ABB
a
V V B C S B C AB BB

∆
= = = =
Chứng minh:
( )
'AH BCD⊥
Quan sát trên hình vẽ để thấy sự liên
quan giữa các mặt phẳng:
( ) ( ) ( )
' , ' , ' 'BCD A BC A BCD

Sử dụng hệ thức lượng vào tam giác
vuông ABA’
2) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’)
Kẻ
'AH A B⊥

( )
'H A B∈
( ) ( )
'
' '
AH A B
AH A BC AH BCD
AH BC
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥


( )
,( ')AH d A BCD⇒ =
Trong tam giác vuông
'ABA
, ta có:
( )
2 2 2 2
1 1 1 6 6
,( ')
' 6
a
AH d A BCD
AH AA AB a
= + = ⇒ = =
Bài toán 8 Hình vẽ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh
a
,
cạnh bên SA vuông góc với đáy,
·
0
120BAD =
, M là
trung điểm của cạnh BC và
·
0
45SMA =
.Tính theo
a
thể

tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách từ điểm
D đến mặt phẳng (SBC)
Trích đề tuyển sinh Đại học Khối D năm 2013
Hướng dẫn Bài giải
18
A
H
45
0
(
S
B
M
D
C
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
Từ tính chất của hình thoi ABCD
với
·
·
0 0
120 60BAD ABC= ⇒ =
Từ đó suy ra ABC là tam giác đều
cạnh A và có AM là đường cao,
tính độ dài đường cao AM.
Tam giác SAM có SA vuông góc với
AM và
·
0

45SMA =
nên là tam giác
vuông cân tại A, tính độ dài SA
1) Thể tích khối chóp S.ABCD
·
·
0
0
60
120
ABCD
ABC
BAD


⇒ =

=


laø hình thoi
ABC∆
có:
·
0
60
3
2
BA BC a
AM BC

ABC
a
AM
MB MC
= =

⊥



= ⇒
 
=
 
=


( )
SA ABCD SA AM⊥ ⇒ ⊥
SAM∆
có:
·
0
3
45
2
3
2
SA AM
a

SMA SA AM
a
AM


⊥


= ⇒ = =



=


2
3
2 .
2
ABCD ABC
a
S S AM BC
∆
= = =
2 3
.
1 1 3 3
. . .
3 3 2 2 4
S ABCD ABCD

a a a
V SA S= = =
(đvdt)
Cách suy luận và trình bày tương tự
câu 2 của bài toán 6
2) Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)
Ta có:
( )
/ / / /AD BC AD SBC⇒
( ) ( )
,( ) ,( )d D SBC d A SBC⇒ =
Dựng
AH SM
⊥

( )
H SM∈
( )
AH SM
AH SBC
AH BC
⊥

⇒ ⊥

⊥

( ) ( )
,( ) ,( )AH d A SBC d D SBC⇒ = =
Trong tam giác vuông

SAM
, ta có:
( )
2 2 2 2
1 1 1 8 6
,( )
3 4
a
AH d D SBC
AH SA AM a
= + = ⇒ = =
Bài toán 9 Hình vẽ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh
a
,
mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo
a
thể
tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách từ điểm
A đến mặt phẳng (SCD)
Trích đề tuyển sinh Đại học Khối B năm 2013
Hướng dẫn Bài giải
19
A
H
S
B
K
D

C
E
Hng dn hc sinh lp 12 lm tt bi toỏn tớnh khong cỏch Nguyn Thanh
Lam
Xỏc nh ng cao ca khi chúp
S.ABCD
Tớnh th tớch ca khi chúp S.ABCD
1) Th tớch khi chúp S.ABCD
Gi H l trung im ca AB
3
2
SH AB
SAB
a
HA HB
SH






=
=



laứ tam giaực ủeu caùnh a

( ) ( )

( ) ( )
( )
( )
,
SAB ABCD AB
SAB ABCD SH ABCD
SH SAB SH AB
=






3
2
.
1 1 3 3
. . .
3 3 2 6
S ABCD ABCD
a a
V SH S a= = =
(vtt)
Cỏch suy lun v trỡnh by tng t
cõu 2 ca bi toỏn 6 v bi toỏn 8
2) Khong cỏch t im A n mt phng (SCD)
Ta cú:
( )
/ / / /AB CD AB SCD

( ) ( )
,( ) ,( )H AB d H SCD d A SCD =
Gi K l trung im ca CD
HE CD

( )
CD SH
CD SHK CD HE
CD HK






Dng
HE SK


( )
E SK
( )
HE SK
HE SCD
HE CD

( ) ( )
,( ) ,( )HE d H SCD d A SCD = =
Trong tam giỏc vuụng
SHK
, ta cú:
( )
2 2 2 2
1 1 1 7 21
,( )
3 7
a
HE d A SCD
HE SH HK a
= + = = =
Bi toỏn 10 Hỡnh v
Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc vuụng ti A
ã
0
30 ,ABC =
SBC l tam giỏc u cnh
a
v mt bờn
SBC vuụng gúc vi ỏy. Tớnh theo
a
th tớch khi
chúp S.ABC v tớnh khong cỏch t im C n mt
phng (SAB)
Trớch tuyn sinh i hc Khi A, A
1

nm 2013
Hng dn Bi gii
20
B
A
H
S
M
C
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
Xác định đường cao SH của khối
chóp S.ABC
Từ giả thiết, suy ra ABC là nửa tam
giác đều có:
Cạnh
2
3
2
a
AC
BC a
a
AB

=


= ⇒



=


1) Thể tích khối chóp S.ABC
Gọi H là trung điểm của BC
SH BC
⇒ ⊥

( ) ( )
( ) ( )
( )
SBC ABC
SBC ABC BC SH ABC
SH BC
⊥

∩ = ⇒ ⊥


⊥

;
.
1 1
. . .
3 6
S ABC ABC
V SH S SH AB AC
∆

= =

·
0
2
30
3
2
a
AB AC
AC
ABC
a
BC a
AB

⊥

=



= ⇒
 
 
=
=




SH
là đường cao của tam giác đều SBC cạnh a
3
2
a
SH⇒ =

3
.
1 1
. . .
3 6 16
S ABC ABC
a
V SH S SH AB AC
∆
= = =
(đvtt)
Tính gián tiếp thông qua công thức
tính thể tích của khối chóp
( )
. .
1
,( ) .
3
S ABC C SAB SAB
V V d C SAB S
∆
= =

( )
.
3
,( )
S ABC
SAB
V
d C SAB
S
∆
⇒ =
2) Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)
ABC∆
vuông tại A có M là trung điểm của BC
MA MB MC
⇒ = =

SA SB SC a
⇒ = = =
Gọi M là trung điểm của AB
SM AB
⇒ ⊥
Trong tam giác vuông SMB, ta có:

2
2 2 2
3 13
4 4
a a
SM SB BM a

 
= − = − =
 ÷
 ÷
 

2
1 1 13 3 39
. . .
2 2 4 2 16
SAB
a a a
S SM AB
∆
⇒ = = =


( )
. .
1
,( ) .
3
S ABC C SAB SAB
V V d C SAB S
∆
= =

( )
3
.

2
3
3 16 39
,( ) .
16 13
39
S ABC
SAB
V
a a
d C SAB
S
a
∆
⇒ = = =
(đvtt)
Bài toán 11 Hình vẽ
Cho hình chóp S.ABCD có
SA a=
, các cạnh còn lại
đều bằng
3
2
a
. Chứng minh: SA vuông góc với SC và
tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD)
Chú ý:
3
2
a

SB SC SD= = =

3
2
a
AB BC CD DA= = = =
21
B
A
H
S
O
C
D
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
Hướng dẫn Bài giải
Cần chứng minh: Tam giác SAC có

2
AC
OS OA OC= = =
1) Chứng minh:
SA SC
⊥
Gọi
O AC BD= ∩
BD
SD CD SBD BCD
SB BC



= ⇒ ∆ = ∆


=

laø caïnh chung
OS OC⇒ =
, mà:
2
AC
OC OA= =
Tam giác SAC có
2
AC
OS OA OC= = =
nên vuông tại S
SA SC
⇒ ⊥
Tìm một mặt phẳng chứa điểm S và
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) ?
Chứng minh:
( ) ( )
SAC ABCD⊥
Xác định giao tuyến của hai mặt
phẳng (SAC) và (ABCD)
( ) ( )
SAC ABCD AC∩ =
2) Khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD)

ABCD là hình thoi
AC BD
⇒ ⊥
SBD
∆
có:
SB SD
SO BD
OB OD
=

⇒ ⊥

=

( )
BD SO
BD SAC
BD AC
=

⇒ ⊥

=

( )
( )
( ) ( )
BD SAC
SAC ABCD

BD ABCD
⊥

⇒ ⊥

⊂


Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên AC
SH AC
⇒ ⊥
( )
BD SAC BD SH⊥ ⇒ ⊥
( )
SH AC
SH ABCD
SH BD
⊥

⇒ ⊥

⊥

( )
,( )SH d S ABCD⇒ =
Trong tam giác vuông SAC, ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 7
3 3SH SA SC a a a
= + = + =

( )
21
,( )
7
a
SH d S ABCD⇒ = =
Bài toán 12 Hình vẽ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác
đều nội tiếp trong đường tròn đường kính
2AD a=
,
SA vuông góc với mặt đáy và
6SA a=

1) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SCD)
2) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC)
22
B
A
H
S
K
C
D
E
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
Hướng dẫn Bài giải
Tìm một mặt phẳng chứa điểm A và
vuông góc với mặt phẳng (SCD) ?

Chứng minh:
( ) ( )
SAC SCD⊥
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAC) và (SCD)
( ) ( )
SAC SCD SC∩ =
1) Khoảng cách từ đỉểm A đến mặt phẳng (SCD)
ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường
kính
2AD a=

/ /AD BC
AB BC CD a
AC CD


⇒ = = =


⊥

( )
CD SA
CD SAC
CD AC
=

⇒ ⊥


=

( )
( )
( ) ( )
CD SAC
SAC SCD
CD SCD
⊥

⇒ ⊥

⊂


Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC
AH SC⇒ ⊥
( )
CD SAC CD AH⊥ ⇒ ⊥
( )
AH SC
AH SCD
AH CD
⊥

⇒ ⊥

⊥


( )
,( )AH d A SCD⇒ =
Trong tam giác vuông ACD, ta có:
2 2 2 2
4 3AC AD CD a a a= − = − =
Trong tam giác vuông SAC, ta có:
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3 1
6 3 6 2AH SA AC a a a a
= + = + = =
( )
,( ) 2AH d A SCD a⇒ = =
Tìm một mặt phẳng chứa điểm A và
vuông góc với mặt phẳng (SBC) ?
Chứng minh:
( ) ( )
SAE SBC⊥
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAE) và (SBC)
( ) ( )
SAE SBC SE∩ =
2) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
Trong tam giác ABC, kẻ
AE BC
⊥
,
( )E BC∈
( )
BC SA
BC SAE

BC AE
=

⇒ ⊥

=

( )
( )
( ) ( )
BC SAE
SAE SBC
BC SBC
⊥

⇒ ⊥

⊂


Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên SE
AK SE
⇒ ⊥
( )
BC SAE BC AK⊥ ⇒ ⊥
( )
AK SE
AK SBC
AK BC
⊥


⇒ ⊥

⊥


( )
,( )AK d A SBC⇒ =
Trong tam giác vuông AEC, ta có:
·
0
3
. 3.sin30
2
a
AE AC SinACE a= = =
Trong tam giác vuông SAE, ta có:
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 9 3
6 3 6 2AK SA AE a a a a
= + = + = =
23
B
A
2a
C
D
a
a
a

B
A
2a
C
D
a
E
30
0
(
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
( )
6
,( )
3
a
AK d A SBC⇒ = =
Bằng cách hướng dẫn phân tích nội dung đề bài, dựng hình và thực hiện các
bước đi cụ thể, từng bước các em cũng đã biết tự mình giải quyết một số tình huống
trong các bài tập tương tự.
Bên cạnh bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, các em còn
được hướng dẫn phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
b. Bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Bài toán: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau
a
và
b
. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng

a
và
b
.
Tùy vào nội dung đề bài, ta chọn một trong hai cách giải sau:
Cách 1. Dựa vào định nghĩa, xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai
đường thẳng chéo nhau
a
và
b
.
Cách 2. Tìm một mặt phẳng chứa một trong hai đường thẳng đã cho và song song với
đường thẳng còn lại. Khi đó khoảng cách cần tìm là khoảng cách giữa đường thẳng và
mặt phẳng song song.
Bài toán thành: tìm khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng đến mặt
phẳng song song.
Một số bài toán cụ thể.
Bài toán 13 Hình vẽ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB và AD; H là giao điểm cũa CN với DM. Biết
24
S
B
C
D
A
H
M
N

K
Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh
Lam
SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và
3SH a=
.
1) Tính thể tích khối chóp S.CDNM
2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC
theo a
Trích đề tuyển sinh Đại học Khối A năm 2010
Hướng dẫn Bài giải

( )
CDNM ABCD AMN BCM
S S S S
∆ ∆
= − +
1) Thể tích khối chóp S.CDNM
( ) ( )
SH ABCD SH CDNM⊥ ⇒ ⊥
.
1
.
3
S CDNM CDNM
V SH S=
( )
2 2 2
2
5

8 4 8
CDNM ABCD AMN BCM
a a a
S S S S a
∆ ∆
 
= − + = − + =
 ÷
 
Vậy:
2 3
.
1 1 5 5 3
. . 3.
3 3 8 24
S CDNM CDNM
a a
V SH S a= = =
(đvtt)
Tìm đoạn vuông góc chung giữa
DM và SC
Kẻ
HK SC
⊥

( )K SC∈
Chứng minh:
HK DM⊥
⇒
HK là đoạn vuông góc chung

của DM và SC
( )
,HK d DM SC⇒ =
2) Khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC
Kẻ
HK SC⊥

( )K SC∈
·
·
CDM DAM DCN ADM∆ = ∆ ⇒ =
Trong
CDN∆
,ta có:
·
·
·
·
0 0
90 90DNC DCN DNC ADM DM CN+ = ⇒ + = ⇒ ⊥
( )
DM CN
DM SHC
DM SH
⊥

⇒ ⊥

⊥


( )
( )
DM SHC
HK DM
HK SHC
⊥

⇒ ⊥

⊂


,
,
HK SC K SC
HK DM H DM
⊥ ∈


⊥ ∈

⇒
HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC
( )
,HK d DM SC⇒ =
Trong tam giác vuông DNC, ta có:
2
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 5

5
a
DH
DH DN DC a a a
= + = + = ⇒ =
Trong tam giác vuông DHC, ta có:
2 2
2 2 2 2
4
5 5
a a
HC CD DH a= − = − =
Trong tam giác vuông SHC, ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 5 19
3 4 12HK SH HC a a a
= + = + =
25
D
A
B
C
N
M