skkn vận dụng “bài toán cơ bản” để tính khoảng cách trong một số bài toán hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị : THPT XUÂN THỌ
Mã
số : ……………………………
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH
VẬN DỤNG “BÀI TOÁN CƠ BẢN”
ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG MỘT SỐ
BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Người thực hiện: Nguyễn Bá Tuấn
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục 
- Phương pháp dạy học bộ môn : Toán 
- Phương pháp giáo dục 
- Lĩnh vực khác 
Có đính kèm:
 Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác
Năm học : 2013 – 2014
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên : Nguyễn Bá Tuấn
2. Ngày tháng năm sinh : 09 – 10 – 1968
3. Nam, nữ : Nam
4. Địa chỉ : 139 Hồ Thị Hương, TX. Long Khánh, Đồng Nai.
5. Điện thoại : (CQ)/ 0613. 870299 (NR); ĐTDĐ :
6. Fax : E-mail:
7. Chức vụ : Tổ trưởng tổ Toán – Tin.
8. Nhiệm vụ được giao : giảng dạy môn Toán lớp 12B1, 12B7
9. Đơn vị công tác : trường THPT Xuân Thọ
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Kỹ sư / Cử nhân

- Năm nhận bằng : 1991 / 2005
- Chuyên môn đào tạo : Cơ khí / Toán
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : nghiên cứu và giảng dạy toán.
Số năm có kinh nghiệm : 08
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
1- Thực hành ứng dụng Cabri 3D v2 vào giải một số bài toán hình học không
gian lớp 11.
2- Rèn luyện kỹ năng khảo sát hàm số phân thức nhất biến cho học sinh trung
bình
1
VẬN DỤNG “BÀI TOÁN CƠ BẢN” ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH
TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
I- LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Hình học không gian được đưa vào chương trình lớp 11 và lớp 12. Để học tốt
phân môn này, đòi hỏi các em học sinh phải nắm vững các kiến thức hình học phẳng
và có một tư duy trừu tượng để biểu diễn các vật thể trong không gian lên giấy là mặt
phẳng. Do bước đầu làm quen, các em học sinh ít nhiều gặp khó khăn, thậm chí một
số em có tâm lý “sợ” đối với phân môn này. Tuy nhiên, nếu ngay từ đầu các em học
sinh được Thầy Cô hướng dẫn từng bước những kiến thức căn bản chắc chắn, các em
sẽ rất hứng thú, dễ dàng tiếp cận và học tập phần này có kết quả cao.
Theo cấu trúc đề thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng trong những năm gần đây,
thường xuyên có một bài toán tính thể tích khối đa diện và tính khoảng cách trong
hình học không gian. Đa số các em làm được câu tính thể tích, riêng câu tính khoảng
cách tương đối khó, tuy nhiên nếu học sinh nắm vững các kiến thức căn bản là có thể
làm được. Vì vậy, chúng tôi lựa chọn viết chuyên đề này nhằm giúp các em học sinh
rèn luyện kỹ năng để làm tốt câu tính khoảng cách trong các đề thi tuyển sinh Đại học
và Cao đẳng.
II- CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Trong chương trình hình học không gian lớp 11, học sinh được học hai phần

quan trọng là quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong không gian. Đến
chương trình lớp 12, học sinh được học về thể tích khối đa diện và hệ tọa độ trong
không gian. Một trong những nội dung căn bản và khó của phần này là tính khoảng
cách từ một điểm đến một mặt phẳng (hoặc đường thẳng) và tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau.
Có nhiều phương pháp để tính khoảng cách :
1- Phương pháp trực tiếp bằng cách xác định hình chiếu vuông góc từ một
điểm đến một mặt phẳng (hoặc đường thẳng) hoặc xác định đường vuông
góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
2- Phương pháp thể tích.
3- Phương pháp tọa độ trong không gian.
Trong chuyên đề này chúng tôi trình bày phương pháp trực tiếp để tính các
khoảng cách này bằng cách vận dụng kết quả của “bài toán cơ bản”. Đối với các bài
toán tính khoảng cách trong các đề thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng cần phải vẽ
thêm hình, học sinh rất lúng túng không biết phải vẽ thêm như thế nào. Với định
hướng sử dụng kết quả của bài toán cơ bản, các em có thể dễ vẽ thêm được các
đường thẳng để có được ba đường thẳng đôi một vuông góc, từ đó xác định được
khoảng cách cần tính.
Chuyên đề này bao gồm 4 nội dung :
• Nội dung 1 : Bài toán cơ bản tính khoảng cách và cách tính khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng thông qua một điểm khác thuận lợi hơn.
• Nội dung 2 : Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
• Nội dung 3 : Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
• Nội dung 4 : Một số nhận xét
2
III- TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
Các bài toán tính khoảng cách thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh
vào Đại học và Cao đẳng trong những năm gần đây. Hai dạng toán thường gặp là:
a) Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Có nhiều phương pháp để giải hai dạng toán trên. Trong tài liệu này chúng tôi
hướng dẫn các em học sinh vận dụng kết quả của bài toán cơ bản tính khoảng cách để
giải một số bài toán thuộc hai dạng toán trên.
1- BÀI TOÁN CƠ BẢN TÍNH KHOẢNG CÁCH :
Bài toán này được rất nhiều tài liệu về toán đề cập đến và thường được gọi là
“Bài toán cơ bản” tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong hình học
không gian. Đây chính là bài tập 4, trang 105, sách giáo khoa Hình học lớp 11
(chương trình chuẩn). Đề bài như sau :
Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là chân đường
vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng :
a) H là trực tâm của tam giác ABC;
b)
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
= + +
.
Lời giải :
a) Kẻ
( )OH ABC⊥
, Ta có :
( ( )
( )
( ( )
BC OH OH ABC
BC AOH
BC OA OA OBC
⊥ ⊥

⇒ ⊥


⊥ ⊥

BC AH⇒ ⊥
Tương tự ta chứng minh được
AB CH⊥
và
AC BH⊥
, suy ra H là trực tâm của tam giác ABC.
b) Gọi
K AH BC= ∩
.
Trong tam giác vuông OBC, OK là đường cao nên :
2 2 2
1 1 1
OK OB OC
= +
(1)
Trong tam giác vuông OAK, OH là đường cao nên :
2 2 2
1 1 1
OH OA OK
= +
(2)
Từ (1) và (2), ta có :
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
= + +

Vì H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC) nên
( ,( ))d O ABC OH=
Kết quả của bài toán trên có một ứng dụng rất hiệu quả trong việc giải một số
bài toán tính khoảng cách trong chương “Quan hệ vuông góc” của hình học không
gian lớp 11, hình học lớp 12, cũng như một số bài toán tính khoảng cách trong các kỳ
thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng.
Ngoài ra, đối với một số bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng, nhiều khi chúng ta khó tính trực tiếp khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng
mà phải tính thông qua một điểm khác thuận lợi hơn. Thông thường chúng ta sử dụng
kết quả của bài toán sau để tính :
3
Cho mặt phẳng
( )
α
và đường thẳng
d
cắt
( )
α
tại A, trên d lấy hai điểm B và C (khác
điểm A) sao cho
.AC k AB=
. Gọi H, K lần
lượt là hình chiếu vuông góc của B và C trên
mặt phẳng
( )
α
.
ABH
∆

đồng dạng với
ACK∆
:
.
CK AC
k CK k BH
BH AB
= = ⇔ =
Hay:
( ,( )) . ( ,( ))d C k d B
α α
=
2- TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG :
Trong phần này, chúng tôi hướng dẫn học sinh vận dụng kết quả của bài toán
cơ bản ở mục 1 để tính khoảng cách, phương pháp giải được thực hiện qua các bước
như sau :
• Phân tích đề bài và chọn điểm cần tính khoảng cách (hoặc điểm có liên hệ với
điểm cần tính), sao cho có ba đường thẳng đôi một vuông góc nhau cùng đi
qua điểm đó, trong nhiều bài toán cần phải vẽ thêm hình.
• Sử dụng kết quả của bài toán cơ bản để tính khoảng cách.
Ví dụ 1 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại B, góc
·
0
30ACB =
,
3.AC a=

( )SA ABC⊥
và
SA a=

. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Phân tích và gợi ý cho học sinh :
Theo đề bài
( )SA ABC⊥
, nên trong mp(ABC) nếu
kẻ tia
At
vuông góc với AC thì ta có
, , SA AC At
đôi một vuông góc cùng đi qua A. Từ đó lời giải bài
toán như sau:
Lời giải :
Trong mp(ABC), từ A kẻ tia
At
vuông góc với AC,
cắt BC kéo dài tại D, ta có
AD AC⊥
.
Trong tam giác vuông ACD :
0
3
.tan30 3.
3
AD AC a a= = =
Đặt
( ,( )) ( ,( ))d d A SBC d A SCD= =
Do
, , AS AC AD
đôi một vuông góc, sử dụng kết quả của bài toán cơ bản, ta có :
2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 7 21
3 3 7
a
d
d SA AC AD a a a a
= + + = + + = ⇒ =
Vậy :
21
( ,( ))
7
a
d A SBC =
Bài toán này còn được giải theo cách khác như sau :
4
Kẻ
( )AD BC D BC⊥ ∈
, tam giác
ADC
vuông tại
D
:
·
3
.sin
2
a
AD AC ACD= =
Kẻ
( )AH SD H SD⊥ ∈
( )SA BC BC SAD BC AH⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

( ) ( ,( ))
AH SD
AH SBC d A SBC AH
AH BC
⊥

⇒ ⊥ ⇒ =

⊥

Trong tam giác vuông
SAD
, ta có :
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 7 21
3 3 7
a
AH
AH SA SD a a a
= + = + = ⇒ =
Vậy :
21
( ,( ))
7
a
d A SBC =
• Nhận xét : Hai cách giải này tương tự như nhau, song với cách thứ hai các em
khó nghĩ ra được phải kẻ
( )AD BC D BC⊥ ∈
, rồi kẻ

( )AH SD H SD⊥ ∈
, để từ
đó chứng minh
( ) ( ,( ))AH SBC d A SBC AH⊥ ⇒ =
, chỉ những em đã làm nhiều
bài tập và có kỹ năng thì mới nghĩ và làm được như vậy.
Ví dụ 2 : Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết rằng
4 , 3 , 5 AC AD cm AB cm BC cm= = = =
.
a) Tính thể tích tứ diện ABCD.
b) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).
(Bài tập 5, trang 99, SGK Hình học 12)
Lời giải :
Tam giác ABC có :
2 2 2 2 2 2
3 4 5AB AC BC+ = + = =
nên tam giác ABC vuông tại A
AB AC⇒ ⊥
(1)
Theo đề bài cho :
( ) , AD ABC AD AB AD AC⊥ ⇒ ⊥ ⊥
(2)
Từ (1) và (2), suy ra AD, AB, AC đôi một vuông góc
a) Ta có,
3
1 1
. . 3.4.4 8 ( )
6 6
ABCD
V AB AC AD cm= = =

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mp(BCD),
ta có :
( ,( ))d A BCD AH=
Sử dụng kết quả của bài toán cơ bản, ta có :
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 6 34
( )
9 16 16 17
AH cm
AH AB AC AD
= + + = + + ⇒ =
Vậy :
6 34
( ,( ))
17
d A BCD AH cm= =
Ví dụ 3 : Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
, mặt bên
SAB
là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo
a
khoảng cách
từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).
5
Phân tích và gợi ý cho học sinh:
Theo đề bài, ta khó tính trực tiếp khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).

Gọi H là trung điểm của AB,
SAB
là tam giác đều
SH AB⇒ ⊥

Mặt phẳng
( ) ( )SAB ABCD⊥
theo giao tuyến AB
( )SH ABCD⇒ ⊥
.
Gọi O là tâm hình vuông ABCD
, , HO HB HS HB HO⇒ ⊥ ⇒
đôi một vuông góc.
Và
2 ( ,( )) 2 ( ,( ))AB HB d A SBD d H SBD= ⇒ =
. Từ đó lời giải bài toán như sau:
Lời giải :
Gọi H là trung điểm của AB,
SAB
là tam giác
đều
SH AB⇒ ⊥
và
3
2
a
SH =
Mặt phẳng
( ) ( )SAB ABCD⊥
theo giao tuyến AB

( )SH ABCD⇒ ⊥
Gọi O là tâm hình vuông ABCD
HO HB⇒ ⊥
2 ( ,( )) 2 ( ,( ))AB HB d A SBD d H SBD= ⇒ =
2 ( ,( )) 2d H SBO d= =
Ta có
, , HS HO HB
đôi một vuông góc nên :
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 4 4 28 21
3 3 14
a
d
d HS HO HB a a a a
= + + = + + = ⇒ =
Vậy :
21
( ,( )) 2
7
a
d A SBD d= =
Ví dụ 4 : Cho lăng trụ tam giác
. ' ' 'ABC A B C
có tất cả các cạnh đáy đều bằng
a
. Biết
góc tạo thành bởi cạnh bên và mặt đáy bằng
0
60
, hình chiếu vuông góc của

'A
trên
( )mp ABC
trùng với trung điểm
H
của cạnh
BC
. Tính khoảng cách từ
C
đến mặt
phẳng
' 'ABB A
.
Lời giải :
Theo giả thiết tam giác
'A AH
vuông tại H và
·
0
' 60A AH =
. Ta có :
3
2
a
AH =
,
0
3
' .tan60
2

a
A H AH= =
.
Đặt
( ,( ' ')) ( ,( '))d d H ABB A d H ABA= =
' , , A H HA HB
đôi một vuông góc nên :
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 4 4 52
' 9 3 9d A H AH BH a a a a
= + + = + + =
3 3 13
26
2 13
a a
d⇒ = =
Do
3 13
2 ( ,( ' ')) 2 ( ,( ' '))
13
a
CB HB d C ABB A d H ABB A= ⇒ = =
Ví dụ 5 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B,
3 ,BA a=
4BC a=
, mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết
2 3SB a=
và
6
·

0
30SBC =
. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo
a
. (Đại học khối
D – 2011)
Lời giải :
Kẻ
( ),( ) ( )SH BC H BC SBC ABC⊥ ∈ ⊥
( )SH ABC⇒ ⊥
,
·
.sin 3SH SB SBC a= =
·
.cos 3BH SB SBC a= =
,
HC BC BH a= − =
Trong tam giác ABC, kẻ
//HK BA
HK HC⇒ ⊥
và
1
4
HK HC
BA BC
= =
3
4 4
BA a
HK⇒ = =

Ta có :
, , HS HK HC
đôi một vuông góc.
Đặt
( ,( )) ( ,( ))d d H SKC d H SAC= =
thì :
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 16 28
3 9 9d SH HC HK a a a a
= + + = + + =
3
2 7
a
d⇒ =
1 6 7
4 ( ,( )) 4. ( ,( )) 4
4 7
HC a
BC HC d B SAC d H SAC d
BC
= ⇒ = ⇒ = = =
Ví dụ 6 : Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình thoi cạnh
a
, cạnh bên
SA
vuông
góc với đáy,
·

0
120BAD =
, M là trung điểm của cạnh BC và
·
0
45SMA =
. Tính theo
a

khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC). (Đại học khối D – 2013)
Lời giải :
·
·
0 0
120 60BAD ABC ABC= ⇒ = ⇒ ∆
đều
3
2
a
AM⇒ =
Tam giác
SAM
vuông tại A, có
·
0
45SMA =
SAM⇒ ∆
vuông cân tại A
3
2

a
SA AM⇒ = =
// ( ,( )) ( ,( ))AD BC d D SBC d A SBC⇒ =
Trong
( )mp ABCD
, kẻ
( )AE AC E BC⊥ ∈
,
·
0
.tan .tan 60 3AE AC ACE a a= = =
.
Ta có
, , SA AC AE
đôi một vuông góc, đặt
( ,( )) ( ,( ))d d A SCE d A SBC= =
, thì :
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 1 1 8 6
3 3 3 4
a
d
d SA AC AE a a a a
= + + = + + = ⇒ =
Vậy :
6
( ,( ))
4
a
d D SBC =

3- TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU :
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau chính là độ dài đoạn vuông góc
chung của hai đường thẳng đó. Vì vậy, nếu như ta xác định được đoạn vuông góc
7
chung đó thì coi như đã tính được độ dài đoạn vuông góc chung. Tuy nhiên, việc xác
định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau không phải lúc nào cũng
dễ dàng. Hơn nữa trong nhiều bài toán người ta chỉ yêu cầu tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau mà không yêu cầu xác định đoạn vuông góc chung.
Đối với những bài toán khó xác định đoạn vuông góc chung, người ta thường
chuyển việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
1
d
và
2
d
về các bài
toán sau: (xem Nhận xét trang 117, SGK Hình học lớp 11).
a) Nếu
1
//( )d P
và
2
( )d P⊂
thì
1 2 1
( , ) ( ,( ))d d d d d P=
Với A là điểm bất kỳ thuộc
1
d
, do

1
//( )d P
1
( ,( )) ( ,( ))d d P d A P⇒ =
b) Nếu
1 2
( ), ( )d P d Q⊂ ⊂
và
( )//( )P Q
thì
1 2
( , ) (( ),( ))d d d d P Q=

Do
( )//( )P Q
nên khoảng cách giữa
( )P
và
( )Q
bằng khoảng cách từ một
điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Như vậy, nhiều bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
quy về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Ví dụ 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh
( )SA ABCD⊥
và
SA a=
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và
BD. (Ví dụ trang 118, SGK Hình học 11)
Lời giải :

Sách giáo khoa đã giải bằng cách xác định đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau SC và BD. Dưới đây chúng tôi trình bày cách giải bằng chuyển
sang tính khoảng cách từ SC đến mặt phẳng chứa BD và song song với SC, sau đó sử
dụng kết quả của bài toán cơ bản như sau :
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, M là trung
điểm của SA
Ta có :
// , ( ) //( )
( , ) ( ,( ))
OM SC OM MBD SC MBD
d SC BD d SC MBD
⊂ ⇒
⇒ =
( ,( )) ( ,( ))d C MBD d A MBD d= = =

(do
)OA OC=
Theo giả thiết, ta có
, , AM AB AD
đôi một
vuông góc nên :
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 1 1
d AM AB AD a a a
= + + = + +
6
6
a
d⇒ =
.

Vậy :
6
( , )
6
a
d SC BD d= =
8
Ví dụ 2 : Cho lăng trụ đứng
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có đáy là hình chữ nhật
ABCD
,
, 2AB a BC a= =
. Góc giữa
'A B
và mặt phẳng đáy bằng
0
60
. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng
'D C
và
BD
theo
a
.
Lời giải :
' ( )AA ABCD AB⊥ ⇒
là hình chiếu của
'A B

trên
mặt phẳng
( )ABCD

⇒
góc giữa
'A B
và
( )ABCD
là góc
·
0
' 60A BA =
Trong tam giác vuông
' :A AB
·
0
' .tan ' .tan60 3AA AB A BA a a= = =
Gọi
O AC BD= ∩
Ta có :

' // '
' //( ' )
' ( ' )
A B D C
D C A BD
A B A BD

⇒


⊂

Suy ra:
( ' , ) ( ' ,( ' ))d D C BD d D C A BD=
( ,( ' )) ( ,( ' ))d C A BD d A A BD= =
(do
OA OC=
)
Ta có :
' , , A A AB AD
đôi một vuông góc
Đặt
( ,( ' ))d d A A BD=
thì :
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 19
' 3 4 12d A A AB AD a a a a
= + + = + + =
Suy ra
2 57
19
a
d =
. Vậy :
2 57
( ' , )
19
a
d D C BD =

Ví dụ 3 : Cho lăng trụ tam giác
. ' ' 'ABC A B C
có
·
0
, 2 , 30AB a BC a ACB= = =
, hình
chiếu vuông góc của
'A
trên
( )mp ABC
trùng với trọng tâm
G
của tam giác
ABC
,
góc giữa
'AA
và
( )mp ABC
bằng
0
60
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
' 'B C
và
'A C
.
Lời giải :
Gọi D là trung điểm của BC

Tam giác
ABC
có
, 2 ,AB a BC a= =
·
0
30ACB = ⇒
tam giác
ABC
vuông tại A
Nên
2 1 2
3 3 3
a
AG AD BC= = =
,
3AC a=
0
2 3
' .tan60
3
a
A G AG= =
.
Do
' '// ( ' ', ' ) ( ' ',( ' ))B C BC d B C A C d B C A BC⇒ =
( ',( ' )) ( ,( ' ))d B A BC d A A BC= =
3 ( ,( ' )) 3d G A BC d= =
Từ
G

kẻ
// ( )GH AC H BC∈
,
// ( )GK AB K BC∈
Ta có :
GK GH⊥
,
1 3 1
,
3 3 3 3
a a
GH AC GK AB= = = =
Do
', , GA GH GK
đôi một vuông góc nên :
9
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 3 3 9 51 2
' 4 4
51
a
d
d A G GH GK a a a a
= + + = + + = ⇒ =
Vậy :
6 2 51
( ' ', ' ) 3
17
51
a a

d B C A C d= = =
Ví dụ 4 : Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác đều cạnh
a
. Hình chiếu vuông
góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
2HA HB
=
. Góc
giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng
0
60
. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng SA và BC theo
a
. (Đại học khối A, A1 – 2012)
Lời giải :
Gọi D là trung điểm của cạnh AB.
Ta có
3
,
6 2
a a
HD CD= =
,
2
3
a
HA =

·
SCH
là góc giữa SC và mp(ABC), nên
·
0
60SCH =
2 2
7
3
a
HC HD CD= + =
0
21
.tan60
3
a
SH HC= =
Trong mp(ABC) kẻ
//At BC
, kẻ
( )HE AB E At⊥ ∈
,
0
2 3
.tan 60
3
a
HE HA= =
//( )BC SAE
và

3
2
BA HA=
nên
3 3
( , ) ( ,( )) ( ,( ))
2 2
d BC SA d B SAE d H SAE d= = =
Ta có
, , SH HA HE
đôi một vuông góc nên :
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 3 9 3 24
7 4 4 7d SH HA HE a a a a
= + + = + + =
42
12
a
d⇒ =
Vậy :
3 42
( , )
2 8
a
d BC SA d= =
Ví dụ 5 : Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là

tam giác vuông cân tại B,
2AB BC a= =
, hai mặt
phẳng
( )SAB
và
( )SAC
cùng vuông góc với mặt
phẳng
( )ABC
. Gọi M là trung điểm của AB, mặt
phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N.
Biết góc giữa hai mặt phẳng
( )SBC
và
( )ABC
bằng
0
60
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB và SN theo
a
. (Đại học khối A – 2011)
Lời giải :
( )SAB
và
( )SAC
cùng vuông góc với
( )ABC
( )SA ABC⇒ ⊥

.
10
·
AB BC SB BC SBA⊥ ⇒ ⊥ ⇒
là góc giữa
( )SBC
và
( )ABC
·
0
60SBA⇒ =
·
.tan 2 3SA AB SBA a= =
Mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N
//MN BC⇒
và
N
là trung
điểm của AC
Qua N kẻ đường thẳng
// AB∆
, từ A kẻ
( )AD AN D⊥ ∈∆
⇒
tam giác
ADN
vuông cân tại A
2
2
AC

AD AN a⇒ = = =
Do
// // ( ) ( , ) ( ,( )) ( ,( ))AB DN AB SDN d AB SN d AB SDN d A SDN d⇒ ⇒ = = =
Ta có
, , SA AD AN
đôi một vuông góc nên :
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 13 2 39
12 2 2 12 13
a
d
d SA AD AN a a a a
= + + = + + = ⇒ =
Vậy :
2 39
( , )
13
a
d AB SN =
Ví dụ 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a, góc
·
0
120BAD =
, SO ⊥ (ABCD), góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 60
0
.
a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Lời giải :
a) Kẻ OH ⊥ CD.

( )
CD SO
CD SOH
CD OH
⊥

⇒ ⊥

⊥

⇒
góc giữa mặt bên (SCD) với mặt phẳng đáy là góc
·
0
60SHO =
·
·
0 0
120 60BAD ADC ACD= ⇒ = ⇒ ∆
đều nên
AC AD a= =
,
3
2
a
OD =

ABCD là hình thoi
OC OD⇒ ⊥
,

. 3
. .
4
OC OD a
OH CD OC OD OH
OH
= ⇒ = =
Trong tam giác vuông SOH :
·
0
3 3
.tan .tan60
4 4
a a
SO OH SHO= = =
Đặt
( ,( ))d d O SCD=
, do
, , SO OC OD
đôi một
vuông góc nên :
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 16 4 4 64
9 3 9d SO OC OD a a a a
= + + = + + =
3
8
a
d⇒ =
. Vậy :

3
( ,( ))
8
a
d O SCD =
b) Ta có :
// //( ) ( , ) ( ,( )) ( ,( ))AB CD AB SCD d AB SC d AB SCD d A SCD⇒ ⇒ = =
Mặt khác
3
2 ( ,( )) 2 ( ,( ))
4
a
AC OC d A SCD d O SCD= ⇒ = =
.
11
Vậy :
3
( , )
4
a
d AB SC =
12
4- MỘT VÀI NHẬN XÉT :
Tính khoảng cách là một bài toán tương đối khó, tuy nhiên không phải lúc nào
chúng ta cũng sử dụng kết quả của bài toán cơ bản để tính. Với một số bài toán,
chúng ta nên xác định hình chiếu vuông góc của một điểm trên một mặt phẳng (hoặc
đường thẳng) hoặc xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau,
sau đó sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách cần tìm.
Các ví dụ sau đây sẽ làm rõ hơn nhận xét trên :
Ví dụ 1 : Cho lăng trụ đứng

. ' ' 'ABC A B C
đáy ABC là tam giác vuông tại B,
, ' 2 , ' 3AB a AA a A C a= = =
. Gọi
M
là trung điểm của đoạn thẳng
' 'A C
,
I
là giao
điểm của
AM
và
'A C
. Tính khoảng cách từ điểm A
đến mặt phẳng
( )IBC
. (Đại học khối D – 2009)
Lời giải :
Kẻ
' ( ' )AH A B H A B⊥ ∈
( ' ')
'
BC AB
BC ABB A BC AH
BC AA
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥


⊥

'
( ' ) ( )
AH A B
AH A BC AH IBC
AH BC
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

Suy ra
( ,( ))d A IBC AH=
Trong tam giác vuông
'A AB
,
AH
là đường cao nên:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5 2 5
' 4 4 5
a
AH
AH A A AB a a a
= + = + = ⇒ =
Vậy :
2 5
( ,( ))

5
a
d A IBC =
• Nhận xét : Nếu trong mặt phẳng (ABC), kẻ
( )AD AC D BC⊥ ∈
để có được
' , , A A AC AD
đôi một vuông góc, rồi sử dụng kết quả của bài toán cơ bản để tính
khoảng cách thì lời giải trở nên dài dòng, phức tạp hơn.
Ví dụ 2 : Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Gọi
M
và
N
lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB
và
AD
,
H
là giao điểm của
CN
với
DM
. Biết

( )SH ABCD⊥
và
3SH a=
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
DM
và
SC
theo
a
. (Đại học khối A – 2010)
Lời giải :
·
·
ADM DCN ADM DCN DM CN∆ = ∆ ⇒ = ⇒ ⊥
.
Mặt khác
( )SH ABCD⊥

DM SH⇒ ⊥
, suy ra
( )DM SHC⊥
Kẻ
( )HK SC K SC⊥ ∈
, ta có
HK
là đoạn vuông
góc chung của
DM
và
SC

, do đó
( , )d DM SC HK=
2
2 2 2
5
4 2
a a
CN CD DN a= + = + =
13
CHD∆
đồng dạng
2
2
5
CD a
CDN HC
CN
∆ ⇒ = =
Trong tam giác vuông
SHC
,
HK
là đường cao nên:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 5 19
3 4 12HK SH HC a a a
= + = + =

2 57
19

a
HK⇒ =
.
Vậy :
2 57
( , )
19
a
d DM SC =
• Nhận xét : Với bài toán này việc xác định đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau
DM
và
SC
dễ dàng hơn việc tính khoảng cách giữa một trong
hai đường thẳng đó với mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.
Ngoài ra, với việc xác định được ba đường thẳng đôi một vuông góc nhau, chúng
ta có thể giới thiệu thêm cho các em học sinh phương pháp tọa độ trong không gian
để tính thể tích, tính khoảng cách qua các bước sau :
- Chọn hệ trục tọa độ gồm ba đường thẳng đôi một vuông góc đã xác định.
- Tìm tọa độ các điểm, các vectơ, lập phương trình các đường thẳng, các mặt
phẳng cần thiết.
- Sử dụng các công thức tương ứng để tính các đại lượng theo yêu cầu đề bài.
Theo ý kiến riêng của chúng tôi, nếu đề bài ra dưới dạng một bài toán hình học
thuần túy thì cách giải theo phương pháp tọa độ thường phức tạp hơn cách giải theo
phương pháp hình học thuần túy.
Các bài tập tự luyện :
1- Cho lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
đáy là tam giác vuông có

BA BC a= =
, cạnh bên
' 2AA a=
. Gọi
M
là trung điểm của
BC
. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng
AM
và
'B C
. (Đại học khối D – 2008)
2- Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác vuông tại
A
,
·
0
30ABC =
, SBC là tam
giác đều cạnh
a
và mặt bên
( )SBC
vuông góc với đáy. Tính theo
a
khoảng cách
từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). (Đại học khối A, A1 – 2013)

3- Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng
( )SCD
. (Đại học khối B – 2013)
4- Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy và
, 2 ,AB a AC a= =
·
0
120BAC =
. Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc
0
60
. Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng SB và AC theo a.
5- Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình thoi
ABCD
cạnh
a
,
·
0
120BAD =
và
( )SA ABCD⊥
,
3SA a=
. Tính khoảng cách giữa

AD
và
SB
theo
a
.
6- Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' ' 'ABCD A B C D
đáy
ABCD
là hình thoi cạnh bằng
a
,
·
0
120ABC =
,
' 2AC a=
. Gọi O là giao điểm của
AC
và
BD
,
E
là giao điểm của
'A O
và
'AC
. Tính theo
a

khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )BDE
.
14
IV- HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Trong năm học 2013 – 2014, tôi được phân công phụ trách giảng dạy hai lớp
12B1 và 12B7, học lực của học sinh hai lớp này ở mức trung bình, trong đó có một số
em khá giỏi. Với chuyên đề này, đa số các em bước đầu tính được khoảng cách với
các bài toán đơn giản; một số em khá giỏi, chăm chỉ, chịu khó đã làm tốt các bài toán
tính khoảng cách trong để thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng trong những năm gần
đây.
Chúng tôi đã tổ chức kiểm tra khảo sát với học sinh lớp 12B1, kết quả làm bài
của các em rất khả quan (Xem phần Phụ lục ở cuối tài liệu này)
V- ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Chuyên đề này là một tài liệu nhỏ phần nào giúp cho các em học sinh trường
THPT Xuân Thọ rèn luyện kỹ năng làm bài tập; giúp các em học sinh có ý chí vượt
khó, tiếp cận với một số bài toán nâng cao, để các em nắm vững kiến thức, tự tin
tham dự các kỳ thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng năm học 2013 – 2014.
Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng tài liệu chắc chắn còn nhiều thiếu sót, chúng tôi
xin rất biết ơn sự góp ý luôn được mong đợi từ quý Thầy Cô, quý vị Phụ huynh và
các em học sinh.
VI- TÀI LIỆU THAM KHẢO
1- TRẦN VĂN HẠO (Tổng Chủ biên) – NGUYỄN MỘNG HY (Chủ biên)
KHU QUỐC ANH – NGUYỄN HÀ THANH – PHAN VĂN VIÊN
Sách giáo khoa Hình học 11, Nhà xuất bản Giáo dục - 2007.
2- TRẦN VĂN HẠO (Tổng Chủ biên) – NGUYỄN MỘNG HY (Chủ biên)
KHU QUỐC ANH – TRẦN ĐỨC HUYÊN
Sách giáo khoa Hình học 12, Nhà xuất bản Giáo dục - 2008.

3- Các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
4- Một số tài liệu trên Internet.
VII- PHỤ LỤC
ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT
Thời gian làm bài : 45 phút
Câu 1 (5,0 điểm): Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật ABCD,
2 , AB a BC a= =
,
( )SA ABCD⊥
. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy (ABCD) bằng
0
45
. Gọi M là điểm trên cạnh CD sao cho
2MD MC=
. Tính theo
a
khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng
( )SBM
.
Câu 2 (5,0 điểm): Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
,
2AC AB a= =

. Hình chiếu vuông góc của
S
trên mặt phẳng
( )ABC
trùng với trung
điểm
H
của cạnh
AC
. Góc giữa
SB
và mặt phẳng đáy bằng
0
60
. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng SA và BC theo
a
.
15
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
1
5,0 đ
Cách 1 :
1,0
Gọi
N
là giao điểm của hai đường thẳng AD và BM
MCB∆
đồng dạng với

MDN∆
1
2
BC MC
DN MD
⇒ = =
2 2DN BC a⇒ = =
,
3AN AD DN a= + =
1,5
Ta có :
( )
BC AB
BC SAB BC SB
BC SA
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

, suy ra góc giữa
( )SBC
và
( )ABCD
là góc
·
0
45SBA =
SAB⇒ ∆

vuông cân tại
A
2SA AB a⇒ = =
1,0
Đặt
( ,( )) ( ,( ))d d A SBM d A SBN= =
Do
, , SA AB AN
đôi một vuông góc nên :
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 11
4 4 9 18d SA AB AN a a a a
= + + = + + =
3 22
11
a
d⇒ =
Vậy
3 22
( ,( ))
11
a
d A SBM =
1,5
1
5,0 đ
Cách 2 : 1,0
16
Kẻ
, AH BM AK SH⊥ ⊥

( )
BM AH
BM SAH BM AK
BM SA
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

( ) ( ,( ))
AK BM
AK SBM d A SBM AK
AK SH
⊥

⇒ ⊥ ⇒ =

⊥

1,0
Ta có :
2
2 2 2
4 13
9 3
a a
BM BC MC a= + = + =
. 6
. .

13
AB BC a
AH BM AB BC AH
BM
= ⇒ = =
1,0
Ta có :
( )
BC AB
BC SAB BC SB
BC SA
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

, suy ra góc giữa
( )SBC
và
( )ABCD
là góc
·
0
45SBA =
SAB⇒ ∆
vuông cân tại
A
2SA AB a⇒ = =
1,0

Trong tam giác vuông
, SAH AK
là đường cao nên :
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 13 11 3 22
4 36 18 11
a
AK
AK SA AH a a a
= + = + = ⇒ =
Vậy
3 22
( ,( ))
11
a
d A SBM =
1,0
2
5,0 đ
Cách 1:
1,0
2 2 2 2
4 5BH AB AH a a a= + = + =
( )SH ABC⊥ ⇒
HB
là hình chiếu vuông góc của
SB
trên
( )mp ABC
Suy ra góc giữa

SB
và
( )ABC
là góc
·
0
60SBH =
Trong tam giác vuông
SHB
:
0
.tan60 15SH BH a= =
1,0
Kẻ
// ,Ax BC

( )HD AC D Ax⊥ ∈
Ta có
// //( ) ( , ) ( ,( ))BC AD BC SAD d BC SA d BC SAD⇒ ⇒ =
( ,( ))d C SAD=
Do
2 ( ,( )) 2 ( ,( )) 2CA HA d C SAD d H SAD d= ⇒ = =
Suy ra:
( , ) 2d BC SA d=
1,0
AHD∆
vuông cân tại
H
nên
2

AC
HD HA a= = =
0,5
17
Ta có
, , SH HA HD
đôi một vuông góc nên :
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 31 465
15 15 31
a
d
d SH HA HD a a a a
= + + = + + = ⇒ =
Vậy
2 465
( , )
31
a
d BC SA =
1,5
2
5,0 đ
Cách 2:
1,0
2 2 2 2
4 5BH AB AH a a a= + = + =
( )SH ABC⊥ ⇒
HB
là hình chiếu vuông góc của

SB
trên
( )mp ABC
Suy ra góc giữa
SB
và
( )ABC
là góc
·
0
60SBH =
Trong tam giác vuông
SHB
:
0
.tan60 15SH BH a= =
1,0
Kẻ
// ,Ax BC

( )HD Ax D Ax⊥ ∈
, kẻ
( )HK SD K SD⊥ ∈
( )
AD HD
AD SHD AD HK
AD SH
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥


⊥

( ) ( ,( ))
HK SD
HK SAD d H SAD HK
HK AD
⊥

⇒ ⊥ ⇒ =

⊥

1,0
Ta có
// //( ) ( , ) ( ,( ))BC AD BC SAD d BC SA d BC SAD⇒ ⇒ =
( ,( ))d C SAD=
Do
2 ( ,( )) 2 ( ,( )) 2CA HA d C SAD d H SAD HK= ⇒ = =
Suy ra:
( , ) 2d BC SA HK=
0,5
AHD∆
vuông cân tại
D
nên
2
2
2
HA a

HD = =
0,5
Trong tam giác vuông
, SHD HK
là đường cao nên :
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 31 465
15 15 31
a
HK
HK SH HD a a a
= + = + = ⇒ =
Vậy
2 465
( , )
31
a
d BC SA =
1,0
18
KẾT QUẢ KIỂM TRA KHẢO SÁT
Ngày kiểm tra : 22/03/2014 - Lớp : 12B1
Giáo viên chấm : Nguyễn Bá Tuấn, Đỗ Thị Yên
Qua chấm bài kiểm tra, chúng tôi nhận thấy :
Câu 1 : Theo đáp án, cách 1 rõ ràng ngắn gọn hơn cách 2.
Có 37 em trình bày lời giải theo cách 1 và 03 em trình bày lời giải theo cách 2 của
đáp án.
Câu 2 : Hai cách giải của đáp án tương tự nhau, nhưng cách 1 ngắn gọn hơn cách 2.
Tất cả các em đều trình bày lời giải theo cách 1 của đáp án.
Kết quả thống kê điểm kiểm tra như sau :

Tổng số HS
dự kiểm tra
Điểm kết quả
Ghi chú
8 đến 10 5 đến < 8 3 đến < 5 0 đến < 3
Số bài 40 24 14 2 0
NGƯỜI THỰC HIỆN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)
NGUYỄN BÁ TUẤN
19