Bài tập lớn giải tích hàm cực hay

Chương 5
TÍNH COMPACTTRONG KHÔNG GIAN BANACH
TOÁN TỬ COM PAC

Định lý: Cho (X,d) là một không gian metric và xét một tập hợp
A
⊆
X. Sau đây là những khẳng định tương đương:
i) A là hoàn toàn bị chặn,
. . ., 0i e
ε
∀ > ∃
một hệ thống tập hợp hữu hạn
1, , n
x x X
∈
gọi là 1 ε –hệ tổng ảnh hưởng. A sao cho
1
( , )
i
i
A B x
ε
=
⊆
U
ii) Bất kỳ (
( )
n n M
x
∈

⊆
A đều bao hàm một dãy con Cauchy.
Nếu trong phép cộng (X,d) là một không gian metric đầy đủ thì A toán tử
hoàn toàn bị chặn khi và chỉ khi A là Compact tương đối, i,e…,
A
là Compact.
Định lý Arzela – Ascoli :
Cho ( T,d) là một không gian metric Compact và A
⊆
C(T) .
Sau đây là những khẳng định tương đương :
i) A là chuẩn Compact tương đối
ii) A là đều bị chặn
. . ., 0i e M∃ >
như vậy
( ) ,f t M f A t T
≤ ∀ ∈ ∀ ∈
và A là
liên tục đồng bậc
, . ., 0, 0i e
ε
ε δ
∀ > ∃ >
như vậy
,x y T∀ ∈
với d (x,y)<
ε
δ
nó là bộ phận của
( ) ( )f x f y

ε
− <

f
∀ ∈
A.
iii) Bất kỳ dãy
( )
n n M
f
∈
⊆
A đều chứa dãy con hội tụ đều.
Compact tương đối trong
p
l
1≤ p <∞. Một tập hợp con A
⊆

p
l
là chuẩn của
Compact tương đối khi và chỉ khi A là không gian định chuẩn và
0, n
ε
ε
∀ > ∃ ∈

N như vậy
( )

p
k
k n
p x
ε
ε
∞
=
<
∑

x
∀ ∈
A
1
Compact tương đối trong
0
c
: Một tập A
⊆

0
c
là chuẩn Compact tương đối khi
và chỉ khi nó là một dãy
0
( )
n n M
c
λ λ

∈
− ∈
như vậy
( ) ,
n n
p x x A n N
λ
≤ ∀ ∈ ∀ ∈
.
Định nghĩa : Cho X,Y là không gian định chuẩn. Một toán tử
( , )U L X Y
∈
gọi
là Compact khi và chỉ khi
( )
X
U B Y
⊆
là hoàn toàn bị chặn.
Nếu trong phép cộng , Y là một không gian Banach thì
( , )U L X Y
∈
là
toán tử Compact khi và chỉ khi
( )
X
U B Y
⊆
là Compact tương đối.
Ta kí hiệu :

( , )K X Y =
{
( , )U L X Y
∈
/ U là Compact } và
( ) ( , )K X K X X
=
.
Định lý :i, Cho X, Y là không gian định chuẩn.Thì K(X, Y) không gian con
tuyến tính đóng của L( X, Y).
ii, Cho X, Y, Z, T là không gian định chuẩn. Nếu
( , ), ( , ), ( , )A L X Y B K Y Z C L Z T
∈ ∈ ∈
, thì hợp C, B,A là một toán tử
Compact ( tính chất lý tưởng của toán tử Compact).
Định nghĩa : Cho X, Y là không gian định chuẩn. Một toán tử tuyến tính và liên
tục U: X → Y gọi là toán tử hạng hữu hạn khi và chỉ khi miền U(X)
⊆
Y là
kích động hữu hạn hoặc tương ứng, nếu với
1 4 *
1
, , ,
n
n N x x X
∈ ∈
và
1

n

y y Y
∈
như vậy
1 *
1 1
( ) ( ) ( )
n n
U x x x y x x y
= + +

x X
∀ ∈
.
Định lý Schauder : Cho X, Y là không gian Banach và
( , )U L X Y∈
. Khi U
là Compact khi và chỉ khi
*
U
là Compact.
Định lý Mazur : Cho X là không gian Banach và tập hợp con
A X
⊆
. Khi
những khẳng định sau là tương đương:
i, Là một Compact tương đối.
ii, co(A) là một Compact tương đối.
iii, ec(A) là Compact tương đối.
2
iv, eco(A) là Compact tương đối.

Định lý Grothendleck : Cho X là một không gian Banach và một tập hợp con
A X
⊆
. Khi A là Compact tương đối khi và chỉ khi với
( )
n n N
x X
∈
⊆
như vậy
0
n
x →
và
{ / }
n
A co x n N
⊆ ∈
.
5.1 Bài tập
CÁC VÍ DỤ CỦA TẬP HỢP COMPACT TRONG
2
l
1. Các điều kiện dưới đây trên dãy
( ) (0, )
n n N
λ
⊂
⊆ ∞
theo Compact trong

2
l
i, Trong hình hộp
1 2 2
{( , , ) / }
n n
x x l x n N
λ
∈ ≤ ∀ ∈
.
ii, Trong ellip xoit
( )
( )
2
2
1 2 2
1
, , / / 1
n n
n
x x l x
λ
∞
=
 
∈ ≤
 
 
∑
.

COMPACT TƯƠNG ĐỐI TRONG TẬP C(T)
2. Chứng minh rằng một tập
[ ]
,M C a b
⊆
mà ở đây m.L > 0 và
[ ]
0
,x a b
∈

như vậy
0
( )f x m
≤

f M
∀ ∈
và
[ ]
( ) ( ) , , ,f x f y L x y f M x y a b
− ≤ − ∀ ∈ ∀ ∈
là Compact tương đối trong
[ ]
,C a b
.
3. Chứng minh rằng một tập M của
1
C
dãy hàm

f
trên tô pô
[ ]
,a b
mà thỏa
mãn các điều kiện
2
/
1 2 1 2
( ) , ( ) ( , 0
b
a
f a k f x dx k k k
≤ ≤ >
∫
là hằng số ) là
Compact tương đối trong
[ ]
,C a b
.
4. Chứng minh rằng một tập M của
1
C
dãy hàm
f
trên tô pô
[ ]
,a b
mà thỏa
mãn các điều kiện

( ) ( )
(
)
2
2
/
,( 0
b
a
f x f x dx k k
+ ≤ >
∫
là một hằng số) là
Compact tương đối trong không gian
[ ]
,C a b
.
3
5. Cho M là tập hợp bị chặn trong không gian
[ ]
,C a b
. Chứng minh rằng tập
A bao hàm tất cả các dãy hàm của các dạng
1
0
( ) ( ) .y t x s ds
=
∫
với
x M

∈
.là
Compact tương đối trong
[ ]
,C a b
.
6. Cho
( )
n n N
g
∈
là một dãy của dãy hàm lấy vi phân liên tục gấp đôi trong lân
cận mở cố định của [0, 1]. Như vậy g
n
= g’
n
(0) – 0
n N
∀ ∈
. Giả sử rằng
''( ) 1g x
≤

[ ]
, 0,1n N x
∀ ∈ ∀ ∈
. Chứng minh rằng đây là một dãy con của
( )
n n N
g

∈
mà hội tụ đều trong
[ ]
0,1
.
7. Cho M là một tập của
1
C
dãy hàm trên topo [a,b] mà thỏa mãn các điều kiện
sau:
i, Với L >0 sao cho
'( )f x L
≤
,
[ ]
, ,f M x a b
∀ ∈ ∀ ∈
;
ii, Với mỗi dãy hàm
f M
∈
, phương trình
( ) 0f x
=
là một nghiệm bé
nhất.Chứng minh rằng M là Compact tương đối trong
[ ]
,C a b
.
8. Thiết lập nếu theo sau tập của dãy hàm là Compact tương đối trong

[ ]
,C a b
.
i,
( ) , .
n
n
f x x n N
= ∈
ii,
( ) sin ,
n
f x nx n N
= ∈
.
iii,
( ) sin , .f x x R
α
α α
= ∈
iv,
( ) sin( ), .f x x R
α
α α
= + ∈
v,
( ) arctan( ), .f x x R
α
α α
= ∈

vi,
( ) , , 0.
x
f x R
α
α
ε α α
−
= ∈ ≥
9. i, Cho X là không gian Banach, và xét một dãy Cauchy
( )
n n N
x X
∈
⊆
.
Chứng minh rằng tập
{ }
/
n
A x n N X
= ∈ ⊆
là Compact tương đối.
ii, Cho T là một không gian metric Compact,
( ) ( )
n n N
f C T
∈
⊆
một dãy toán tử

bị chặn đều và cho phép g:
,T l
∞
→
g
( )
x
( )
( )
n
n N
f x
∈
−
. Chứng minh rằng
( ) ( )
n n N
f C T
∈
⊆
là Compact tương đối khi và chỉ khi dãy hàm g là liên tục.
4
10. i, Tìm dãy hàm liên tục
[ ] [ ]
: 0,1 0,
ϕ
→ ∞
sao cho tập
[ ] [ ]
{ }

0,1 / ( ) ( ) 0,1A f C f x x x
ϕ
= ∈ ≤ ∀ ∈
là Compact tương đối trong
không gian
[ ]
0,1C
.
ii, Cho T là một không gian metric Compact và
[
)
: 0,T
ϕ
→ ∞
liên tục. Tìm
ϕ

mà tập
{ }
( ) / ( ) ( )A f C T f x x x T
ϕ
= ∈ ≤ ∀ ∈
là Compact tương đối trong
không gian C(T).
GIỚI HẠN CỦA ARZELA – ASOCOLI
11. Định lý Arzela – asocoli bao hàm dãy
( )
n n N
f
∈

của giá trị thực liên tục dãy
hàm được định nghĩa trên một không gian metric
Ω
là Compact tương đối ( i,
e ,…là một dãy con hội tụ đều) nếu:
i,
Ω
là Compact.
ii,
sup
n
n N
f
∈
< ∞
;
iii, Dãy là liên tục đối bậc.
Cho ví dụ của dãy mà một tập không phải Compact tương đối, sao cho: (i)
và (ii) đúng ,nhưng (iii) sai ;(i) và (iii) là đúng, nhưng (ii) là sai; (i) và (iii) là
đúng, nhưng (i) là sai. Lấy Ω là mọt tập hợp con của R.
Định lý Arzela – Ascoli, các trường hợp tổng quát.
12. Cho ( Ω,
τ
) là không gian Compact và (X, d) là không gian metric. Trên
không gian
( , )C X
Ω =
{
: /f X f
Ω →

liên tục} chúng ta sẽ xét 2 to po: theo
từng điểm topo hội tụ,
, , ,
p
i e
τ
topo yếu hơn mà toán tử :
( )f f t
→
là liên tục
mà mỗi
t
∈Ω
, to po hội tụ đều,
n
τ
, cho bởi khoảng cách:
( )
: ( , ) ( , ) , ( , ) sup ( ). ( )C X C X f g d f t g t
ρ ρ
+
Ω × Ω → =
¡

. ( , )f g C X
∀ ∈ Ω
. Một tập hợp con
( , )A C X
⊆ Ω
gọi là liên tục đồng bậc nếu

với mỗi
0
t
∈Ω
và
0
ε
>
đây là lân cận mở U của
0
t
trong Ω sao cho
0
( ( ), ( ))d f t f t
ε
<

,t U f A
∀ ∈ ∀ ∈
.
i, Nếu
( , )A C X
⊆ Ω
là liên tục đồng bậc, chứng minh rằng
p
τ
và
0
τ
trùng

nhau trên A.
5
ii, Nếu
( , )A C X
⊆ Ω
là liên tục đồng bậc và với
t ∈Ω
, tập
{ }
( ) /f t f A X
∈ ⊆
là Compact tương đối, chứng minh rằng A là Compact
tương đối trong to po
n
τ
.
Sự hợp thành của toán tử Compact
13. Cho X là không gian Banach .Với mỗi
, ( )A B L X
∈
chúng ta xác định
, ,
: ( ) ( ), ( ) AS
A B A B
T L X L X T S B→ =

( )S L X
∀ ∈
.
i, Nếu A, B là toán tử Compact chứng minh rằng

,A B
T
là Compact tuyệt đối.
ii, Nếu A, B là hằng số khác không và nếu
,A B
T
là Compact chứng minh rằng A,
B là toán tử Compact.
Phép nhân toán tử Compact giữa không gian C(T)
14. Với mỗi dãy hàm
[ ]
0,1C
ϕ
∈
, chúng ta xét phép nhân toán tử:
[ ] [ ]
: 0,1 0,1M C C
ϕ
→
,
( )
( ) ( ) ( )
M f x x f x
ϕ
ϕ
=
[ ] [ ]
0,1 . 0,1 .x f C
∀ ∈ ∀ ∈
a, Tìm chuẩn

M
ϕ
.
b, Dưới điều kiện trên dãy hàm
ϕ
là toán tử Compact
M
ϕ
.
ii, Cho T là không gian metric Compact và
( )C T
ϕ
∈
. Dưới điều kiện trong dãy
hàm φ là phép nhân toán tử
M
ϕ
:
( ) ( ),( )( ) ( ) ( )C T C T M f x x f x
ϕ
ϕ
→ =

, ( )x T f C T
∀ ∈ ∀ ∈
Compact ?
Ví dụ hữu hiệu của Compact và không toán tử Compact.
15. Đưa
[ ] [ ]
: 0,1 0,1U C C

→
ở dưới, nó thuộc loại chuẩn và thiết lập nếu U là
Compact.
i,
( ) ( ) ( )
Uf x xf x
=
.
ii,
( ) ( )
(0) (1)Uf x f xf
= +
.
iii,
( ) ( ) ( )
1
0
tx
Uf x x f t dt
=
∫
.
iv,
( ) ( )
( )
2
Uf x f x
=
.
16. Chứng minh rằng toán tử U, V :

[ ] [ ]
1,1 1,1C C
− → −
cho bởi
( ) ( ) ( ) ( )
( )
/ 2Uf x f x f x
= + −
,
[ ]
1,1x
∀ ∈ −
và
6
( ) ( ) ( ) ( )
( )
/ 2Vf x f x f x
= − −
,
[ ]
1,1x
∀ ∈ −
là tuyến tính và liên tục và
một chuẩn.U và V co phải là toán tử Compact ?
17. Với
1 p
≤ < ∞
, tìm với chuẩn của toán tử U:
p p
l l

→
dưới, và nếu nó là
Compact.
i,
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
, , 0, , , , ,
p
U x x x x x x l
= ∀ ∈
.
ii,
( ) ( )
( )
1 2 1 2 3 1 2,
, , , / 2, / 3, ,
p
U x x x x x x x l
= ∀ ∈
.
iii,
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 3 1 2
, , 0, , / 2, / 3, , ,
p
U x x x x x x x l= ∀ ∈
.
18. Bao hàm chính tắc
( )
1 2

: ,J l l J x x
→ =

1
x l
∀ ∈
có là một toán tử
Compact ?
Toán tử Volterra và Hardy
19. i, Cho V :
[ ] [ ]
( ) ( )
0
0,1 0,1 , ( )
x
C C Vf x f t dt
→
∫

[ ]
0,1f C
∀ ∈
.
[ ]
0,1x
∀ ∈

(V là toán tử Volterra). Chứng minh rằng V là tuyến tính, liên tục, và
Compact.tìm chuẩn của nó.
ii, Cho 1 <

p
<∞ . Cho H:
( ) ( )
0, 0,
p p
L L∞ → ∞
,
( ) ( ) ( )
0
1/ ( )
x
Hf x x f t dt=
∫
,
( ) ( )
0, , 0,
p
f L x
∀ ∈ ∞ ∀ ∈ ∞
( H là toán tử
Hardy). Chứng minh rằng H là xác định, tuyến tính và liên tục tốt nhưng không
Compact.
Một ví dụ của không toán tử Compact mà bình phương của nó là Compact.
20. Cho X là một không gian cuả
0
c
hoặc
p
l
với

1 p
≤ < ∞
. Chúng ta xét một
toán tử U:
( ) ( )
1 2 1 2 3
, , , 0, ,0, ,0, , .X X U x x x x x
→ =
Chứng minh rằng U
không là toán tử Compact nhưng U
2
là Compact.
Phép nhân toán tử Compact trong
p
l
7
21. Cho
1 p
≤ < ∞
, và
( )
n
n N
λ λ
∈
= ⊆ Κ
với
sup
n
n N

λ
∈
< ∞
. Chúng ta xác định
phép nhân toán tử
:
p p
M l l
λ
→
,
( ) ( )
1 1 2 2
, , M x x x
λ
λ λ
=

( )
1 2
, ,
p
x x x l
∀ = ∈
. Chứng minh rằng :
i,
M
λ
là tuyến tính và liên tục và
sup

n
n N
M
λ
λ
∈
=
ii,
M
λ
là toán tử Compact khi và chỉ khi
0
c
λ
∈
.
Phép lấy tổng toán tử không Compact
22. i, Chứng minh rằng phép lấy tổng toán tử
∑
:
1
l l
∞
→
cho bởi
( )
1
1
( )
n

n n N
i
n N
t t
∈
=
∈
 
=
 ÷
 
∑ ∑
là tuyến tính, liên tục, nhưng không Compact.
ii, Chứng minh rằng bao hàm i:
1
l l
∞
→
là một toán tử tuyến tính và liên tục
mà
∑
xác định (i) là một yếu tố, và i không là Compact.
iii, Cho U:
( ) ( ) ( ) ( )
1
0
0, 0, ,
x
L L Uf x f t dt
∞

∞ → ∞ =
∫
. Chứng minh rằng U
là tuyến tính và liên tục nhưng không Compact.
Toán tử Compact trong không gian Banach hưũ hạn chiều không toàn ánh.
23. i, Cho X là một không gian Banach hữu hạn chiều, và
( )
A K X
∈
. Chứng
minh rằng với
y X∈
sao cho phương trình
( )
A x y
=
không có nghiệm, i,e,…,
A không là toàn ánh.
ii, Cho
( ) ( )
00 00
: . ( ) /
n n N n
n N
A c c A x x n
∈
∈
→ =

( )

00n
n N
x c
∈
∀ ∈
.
Chứng minh rằng A là Compact và song ánh. (Trên
00
c
chúng ta có chuẩn từ
l
∞
).
Toán tử Compact không song ánh trong không gian định chuẩn hữu hạn
chiều
24. Cho X, Y là không gian định chuẩn và
( , )A L X Y
∈
mà nó có tính chất :
0c
∃ >
như vậy
.x X
∀ ∈

Ax c x
≥
. A có thể là một toán tử Compact
không ?
8

25. i, Cho X, Y là không gian định chuẩn, X là không gian hữu hạn chiều và
( , )A K X Y
∈
. Chứng minh rằng có một dãy
( )
n
n N
x X
∈
⊆
với
1x
=

n N
∀ ∈
và
0
n
Ax
→
. Do đó
0 ( )
X
A S
∈
.
ii, Sử dụng (i) chứng minh rằng nếu X, Y là không gian định chuẩn, X là không
gian hữu hạn chiều, sau đó (
( )

,U K X Y
∈
/U là không đơn ánh) là tiệm cận
trong
( )
,K X Y
.
Phép chiếu toán tử Compact là hạng toán tử hữu hạn
26. Cho X là không gian định chuẩn và
( )T L X
∈
mà là Compact và
2
T T=
.
Chứng minh rằng T là một hạng toán tử hữu hạn.
Miền của tập bị chặn, đóng, và lồi bởi một toán tử Compact.
27. Cho X là một không gian phản xạ, Y là không gian Banach, và
:A X Y
→
tuyến tính và hội tụ. Nếu
M X
⊆
là đóng, lồi, và bị chặn, chứng minh rằng
( )A M Y
⊆
là đóng.
Nếu trong phép cộng, A là toán tử Compact
( )A M Y
⊆

là Compact.
28. Cho H là một không gian Hilbert và
:T H H
→
là một toán tử Compact.
Chứng minh rằng T hoàn thành chuẩn, i,e,…Có một
x H
∈
với
1x
≤
như
vậy
x
T T
=
.
29. i, Cho X là một không gian phản xạ, Y là một không gian Banach, và
:A X Y
→
là toán tử Compact. Nếu
M X
⊆
là một tập không đóng bị chặn
và lồi và
y Y∈
,chứng minh rằng có một
0
x M
∈

như vậy
0
inf
x M
Ax y Ax y
∈
− = −
. Nếu, trong phép cộng, Y là một không gian
Hilbert .Chứng minh rằng
0
x M
∈
đạt được ở trên là một của phương trình
( )
( )
Pr ( )
A M
A x y=
, ở đây Pr kí hiệu phép chiếu trực giao của một tập đóng, lồi,
không trống trong không gian Hilbert.
9
ii, Cho
2
1 2, :
p
p A l l
< < →
là một phép nhân toán tử
1 2 1 2
( , , ) ( / 2, / 3, / ( 1), )

n
A x x x x x n
= +
và
( )
1 2
1
, , / 1
( 1)
p
p
n
p
p
n
n x
M x x l
n
∞
=
 
 
= ∈ ≤
 
+
 
 
∑
Tìm hiểu một phần tử
0

x M
∈
như vậy
1 0 1
inf 2 2
x M
Ax e Ax e
∈
− = −
Các tập Compact tương đối và dãy không hội tụ có tính Compact yếu trong
không gian Banach khả vi.
30. Cho X là không gian Banach khả vi và tập hợp
A X
⊆
. Chứng minh rằng A
là Compact tương đối khi va chỉ khi với mỗi dãy
( )
* *
n
n N
x X
∈
⊆
hội tụ yếu về
không,mà theo sau nó về
*
0
n
x
→

đều trên A.
Tập Compact trong không gian Banach
31. Cho X là một không gian Banach, và
( )
n
n N
x X
∈
⊆
như vậy
lim 0
n
n
x
→∞
=
.
Chứng minh rằng tập
1 1
/ . 1
n n n
n n
K x X x a x a X
∞ ∞
= =
 
= ∈ = ≤ ⊆
 
 
∑ ∑

là định
chuẩn Compact.
Định lý về giới hạn của Mazur
32. Cho một ví dụ cuả một không gian định chuẩn X, một dãy
( )
n
n N
x
∈
trong X,
hội tụ định chuẩn về 0, mà ở đây là một dãy
( )
1n
n N
l
λ
∈
∈
như vậy chuỗi
1
n n
n
x
λ
∞
=
∑
là không hội tụ trong X. Sau đó suy luận rằng đây là một không gian
định chuẩn (mà không phải không gian Banach) trong đó lồi đóng của một tập
Compact không phải là luôn luôn Compact và vì thế mà các định lý Mazur

không còn đúng nữa mà không có giả thiết về sự đầy đủ của các chuẩn.
Tổng quát tính chất chung cho một toán tử Compact
10
33. Cho X và Y là không gian Compact, và
:T X Y
→
một tuyến tính, liên tục,
và toán tử Compact. Chứng minh rằng đây là một dãy
( )
*
*
m
Y
m N
y B
∈
⊆
, như vậy
( )
( )
( )
*
* * *
m
Y
m N
T y T B
∈
⊆
là chuẩn trù mật, và đố với bất kỳ cố định

1 p
≤ < ∞
, chúng ta có :
0
ε
∀ >
,
0
ε
δ
∃ >
như vậy
( )
*
1
2
p
p p
m
m
m
y Tx
Tx x
ε
ε δ
∞
=
≤ +
∑

x X
∀ ∈
.
Các yếu tố toán tử Compact thông qua không gian con tuyến tính khép kín
34. Cho X và Y là hai không gian Banach. Chứng minh rằng:
i, một toán tử tuyến tính và liên tục T:
X Y
→
là Compact khi và chi khi có
một dãy
( )
* *
n
n N
x X
∈
⊆
chuẩn hội tụ về không như vậy

( )
*
sup
n
n N
Tx x x
∈
≤

x X
∀ ∈

Do đó T là Compact khi và chỉ khi có một
( )
0n
n N
c
λ λ
∈
= ∈
và
( )
* *
n
n N
y X
∈
⊆
bị chặn như vậy
( )
( )
2
*
sup
n n
n N
Tx y x
λ
∈
≤

x X

∀ ∈
.
ii, Mỗi tuyến tính, liên tục, và toán tử Compact giữa hai không gian Banach các
yếu tố Compact thông qua một không gian con tuyến tính khép kín của
0
,c
i,e,
…,nếu
( )
,T L X Y
∈
là Compact, sau đó chúng ta có thể tìm một không gian
con tuyến tính khép kín
0
Z c
∈
và hai toán tử Compact
( ) ( )
, , ,A L X Z B L Z Y
∈ ∈
như vậy
.T B A
=
.
Toán tử trên
0
c
35. Chứng minh rằng toán tử tuyến tính và hội tụ từ
0
c

trong một không gian
Banach X tương ứng với chuỗi Cauchy yếu trong X, với thứ tự do
( ) ( )
0
,
n
n N
T L c X Te
∈
∈ a
.
11
Các chuỗi
1
n
n
x
∞
=
∑
trong X được cho là Cauchy yếu
( ) ( )
( )
1n
n N
x X
ω
∈
∈
khi và

chỉ khi
( )
*
1
n
n
x x
∞
=
< ∞
∑

* *
x X
∀ ∈
.
36. Cho X là một không gian Banach. Chứng minh rằng các toán tử
( )
0
,T L c X
∈
là Compact khi và chỉ khi với mỗi chuỗi con của các chuỗi
1
n
n
Te
∞
=
∑
là chuẩn hội tụ.

37. Cho X là một không gian Banach. Chứng minh rằng
0
:T c X
→
là
Compact yếu khi và chỉ khi
0
:T c X
→
là Compact.
38. Cho
( )
n
n N
ξ
∈
là một dãy vô hướng. Chứng minh rằng dãy hàm
1
1
2 ,2
n n
n n
n
a
ξ λ
∞
−
=
∑
trong

( )
1
1,L
∞
cho bất kỳ
( )
0n
n N
a c
∈
∈
khi và chỉ khi
chuỗi
1
1
2
n
n
n
ξ
∞
−
=
∑
là chuỗi hội tụ tuyệt đối và trong trương hợp này chứng minh
rằng toán tử
0 1
: (1, )U c L
→ ∞
xác định bởi

( )
( )
1
1
(2 ,2 )
n n
n n n
n N
n
U a a
ξ λ
∞
−
∈
=
=
∑
là Compact.
39. Chứng minh rằng toán tử tuyến tính và hội tụ từ
1
l
để một không gian
Banach X tương ứng để dãy bị chặn từ X, với các phép tương ứng cho bởi
( )
1
( , )
n
n N
T L l X Te X
∈

∈ ⊆
a
.
40. Cho X là không gian Banach. Chứng minh rằng các toán tử
( )
1
,T L l X∈
là
Compact yếu khi và chỉ khi tập
{ }
/
n
Te n N X
∈ ⊆
là Compact tương đối yếu.
12
41. i, Cho X là không gian Banach. Chứng minh rằng các toán tử
( )
1
,T L l X∈

là Compact khi và chỉ khi tập
{ }
/
n
Te n N X
∈ ⊆
là chuẩn Compact tương đối.
ii, Cho
( )

n
n N
a l
∞
∈
∈
. Sử dụng (i) chứng minh rằng toán tử
1 1 2
1
: , ( , , )
n
k k
k
n N
U l l U x x a x
∞
=
∈
 
→ =
 ÷
 
∑
là Compact khi và chỉ khi
( )
0n
n N
a c
∈
∈

.
iii, Cho
( )
0
n
n
l
ξ
∞
≥
∈
. Chúng ta xác định
[ ]
( ) ( )
1
0
: 0,1 ,
n
n n
n
U l C Ua x a x
ξ
∞
=
→ =
∑

( )
[ ]
1

0
, 0,1
n
n
a a l x
≥
∀ = ∈ ∀ ∈
. Sử
dụng (i) chứng minh rằng U là Compact khi và chỉ khi
( )
0
0
n
n
c
ξ
≥
∈
.
Toán tử trong
0
c
42. Chứng minh rằng toán tử tuyến tính và liên tục từ một không gian Banach X
cho không gian
0
c
tương ứng với chuỗi rỗng yếu trong
*
X
, với phép tương ứng

cho bởi
( )
* *
0
( , )
n
n N
T L X c T p X
∈
∈ ⊆
a
. (Ở đây
0
:
n
p c K
→
là phép
chiếu chính tắc).
Chính xác hơn, nếu
0
:T X c
→
là toán tử tuyến tính và liên tục, chúng ta có thể
tìm
( )
* *
n N
x X
∈

⊆
như vậy
*
0
n
x
→
yếu và
( )
( )
*
( )
n
n N
T x x x
∈
=

x X
∀ ∈
, và
ngược lại ,nếu
*
0
n
x
→
yếu và
( )
( )

*
0
: , ( ) ,
n
n N
T X c T x x x x X
∈
→ = ∀ ∈
, khi
đó T là tuyến tính và liên tục.
43. Cho X là không gian Banach. Chứng minh rằng
0
( , )T L X c
∈
là Compact
yếu khi và chỉ khi
*
0
n
T p
→
yếu trong X. Chính xác hơn, nếu
0
( , )T L X c
∈
,
( )
( )
*
( )

n
n N
T x x x
∈
=
với
*
0
n
x
→
yếu, chứng minh rằng T là Compact yếu khi
13
và chi khi
*
0
n
x
→
yếu. Do đó toán tử Compact yếu với giá trị trong
0
c
tương
ứng với chuỗi rỗng yếu.
44. i, Cho X là không gian Banach.Chứng minh rằng
0
( , )T L X c
∈
là Compact
khi và chỉ khi

*
0
n
T p
→
trong chuẩn của
*
X
Chính xác hơn, cho
0
( , )T L X c
∈
,
( )
( )
*
( )
n
n N
T x x x
∈
=
với
*
0
n
x
→
yếu.
Chứng minh rằng T là Compact khi và chỉ khi

*
0
n
x
→
là chuẩn.,i,e,…,toán tử
Compact với giá trị trong
0
c
tương ứng với chuẩn chuỗi rỗng yếu.
ii, Cho
( )
n
n N
a l
∞
∈
⊆
, và tập
( ) ( )
0 0 1 2 1 1 2 2
: , , , , , U c c U x x a x a x
→ =
.
Chứng minh rằng U là Compact yếu
⇔
U là Compact
⇔

( )

0n
n N
a c
∈
∈
.
iii, Cho H là một không gian Hilbert, và
( ) { }
\ 0
n
n N
x H
∈
⊆
một hệ trục giao.
Chứng minh rằng dãy
( )
( )
,
n
n N
x x
∈
hội tụ lồi về 0, cho bất kỳ
x H
∈
khi và chỉ
khi
sup
n

n N
x
∈
< ∞
và trong trường hợp toán tử
( )
0
: , ( ) ,
n
n N
U H c U x x x
∈
→ =
là tuyến tính và liên tục. Nếu U là tuyến tính
và liên tục, chứng minh rằng U là Compact khi và chỉ khi
0
n
x
→
.
Toán tử trong
1
l
45. Chứng minh rằng toán tử tuyến tính và liên tục từ không gian Banach X đến
không gian
1
l
tương ứng chuỗi Cauchy yếu
*
1

n
n
x
∞
=
∑
với các phép tương ứng cho
bởi
( )
* *
1 1
( , ) ( )
n
n N
T L X l T p X
ω
∈
∈ ∈
a
( gặp bài tập 35 cho định nghĩa
chuỗi Cauchy yếu ). (ở đây
1
:
n
p l K
→
là phép chiếu chính tắc.)
46. Cho X là một không gian Banach. Chứng minh rằng một toán tử
1
( , )T L X l

∈
. Chứng minh rằng T là Compact khi và chỉ khi T là Compact yếu.
14
47. Cho X là không gian Banach. Chứng minh rằng một toán tử
1
( , )T L X l
∈
là
Compact khi và chỉ khi chuỗi con của chuỗi
*
1
n
n
T p
∞
=
∑
là chuẩn hội tụ.
48. i, Cho
( )
n
n N
a
∈
là một dãy vô hướng. Chứng minh rằng chuỗi
1/
1
0
( )
n

n
n
a f x dx
∞
=
∑
∫
là chuỗi hội tụ tuyệt đối với bất kỳ
[ ]
0,1f C
∈
khi và chỉ khi
chuỗi
1
/
n
n
a n
∞
=
∑
là chuỗi hội tụ tuyệt đối. và đây là trường hợp toán tử
[ ]
1
: 0,1U C l
→
xác định bởi
( )
( )
,

n n
n N
U x a x x
∈
=
là Compact.
Toán tử trên
p
l
,
1 p
< < ∞
49. Cho
1 p
< < ∞
, và cho X là không gian Banach. Ký hiệu là
( )
p
X
ω
tập
hợp tất cả các chuỗi
( )
n
n N
x X
∈
⊆
với tính chất
( )

( )
*
n p
n N
x x l
∈
∈

* *
x X
∀ ∈
.
Cho mỗi
( ) ( )
n p
n N
x x X
ω
∈
= ∈
, xác định
( )
*
1/
w
*
1
1
sup
p

p
eak
n
p
x
n
x x x
∞
≤
=
 
=
 ÷
 
∑
.
Chứng minh rằng
( )
( )
w
. .
eak
p
p
X
ω
là một không gian Banach.
50. Cho
1 p
< < ∞

, và cho X là một không gian Banach. Chứng minh rằng tồn
tại một phép đẳng cấu từ
( , )
p
L l X
lên
( )
q
X
ω
được đưa bởi sự tương ứng
( , )
p
T L l X
∈
a
( )
( )
n q
n N
Te X
ω
∈
∈
, ở đây
q
là liên hợp của
, , , ,1/ 1/ 1p i e p q
+ =
.

Toán tử trong
p
l
,
1 p
< < ∞
51. Xem xét
1 p
< < ∞
và cho X là một không gian Banach. Chứng minh rằng
tồn tại một đẳng cự phép đẳng cấu từ
( , )
p
L X l
cho
( )
q
X
ω
, được đưa bởi sự
15
tuong ứng
( , )
p
T L l X
∈
a
( )
* *
( )

n q
n N
T p X
ω
∈
∈
. ( ở đây
:
n p
p l K
→
là
phép chiếu chính tắc).
5.2 Lời giải
1. Xem [40, bài tập 15.51].
i, Cho P là tich hỗn hợp từ các mệnh đề. Ta có
{ }
, /
n n n n
n N
P A A x x
λ
∈
= = ≤
I
.
Từ
2
:
n

p l
→
¡
là liên tục, sau đó
n
A
là đóng,
[ ]
( )
1
,
n n n n
A p
λ λ
−
= −

n
∀ ∈
¥
,
do đó P là một tập đóng. Giả sử rằng P là Compact.
Sau đó
0
ε
∀ >

n
ε
∃ ∈

¥
như vậy
2
( )
k
k n
p x
ε
ε
∞
=
≤
∑

x A
∀ ∈
. Cho
n n
ε
≥
và
0p
≥
.
Các phần tử
(0, ,0, , , ,0, )
n n p
x
λ λ
+

=
thuộc về a và do đó
( )
2
k
k n
p x
ε
ε
∞
=
≤
∑
,
2
, , , ,
n p
k
k n
i e
λ ε
+
=
≤
∑
do chuỗi Cauchy kiểm tra cho
2
1
n
n

λ
∞
=
∑

hội tụ. Ngược lại,chúng ta giả sử rằng cho
2
1
n
n
λ
∞
=
∑
hội tụ. Sau đó
0
ε
∀ >
,
n
ε
∃ ∈
¥
như vậy
2
1
n
n
λ ε
∞

=
≤
∑
. Từ
( )
n n
p x
λ
≤
. Từ
( )
n n
p x
λ
≤
,x P n N
∀ ∈ ∀ ∈
.Sau đó
( )
2
k
k n
p x
ε
ε
∞
=
≤
∑

x P
∀ ∈
,i, e,…,P là Compact tương
đối trong
2
l
.
Do dó
2
P l
⊆
là Compact
( )
2n
n N
l
λ
∈
⇔ ∈
.
Chú ý: Từ chuỗi
2
1
1/
n
n
∞
=
∑
hội tụ, sau đó đây là hình hộp

( )
{ }
1 2 2
, , / 1/ ,
n
P x x l x n n
= ∈ ≤ ∀ ∈
¥
là Compact trong tập
2
l
.
16
ii, Cho E là các elipxoit từ các mệnh đề. Ta có
,
n n
n N
E E E
∈
= =
I

( )
2
2
1
/ 1
n
k k

k
x x
λ
=
 
≤
 
 
∑
. Từ
2
:T l
→
¡
,
( )
( )
2
2
1
/
n
k k
k
T x x
λ
=
=
∑
là hiển nhiên

liên tục ( T không là tuyến tính), ta thu được
(
]
( )
1
,1
n
E T
−
= −∞
là tập đóng với
mỗi
n ∈¥
, do đó E là đóng, giả sử rằng E là Compact. Khi đó
0
ε
∀ >

n
ε
∃ ∈
¥
như vậy
2
2
( )
k
k n
p x
ε

ε
∞
=
≤
∑
,
x E
∀ ∈
. Cho
n n
ε
≥
. Khi đó
(0, ,0, ,0, )
n n n
e E
λ λ
= ∈
và khi đó
( )
2
2
k n n
k n
p e
ε
λ ε
∞
=
≤

∑
,
2
2
,
n n
λ ε λ ε
≤ ≤
. Do đó
0
n
λ
→
.
Ngược lại, nếu
0
n
λ
→
thì
0
ε
∀ >
,
n
ε
∃ ∈
¥
như vậy
,

n
n n
ε
λ ε
≤ ∀ ≥
. Nếu
( )
n
n N
x x E
∈
= ∈
thì
( )
2
2
2
2
2
k
k k k
k n k n k n
k
x
p x x
ε ε ε
λ
λ
∞ ∞ ∞
= = =

= =
∑ ∑ ∑

2 2
2 2 2
2 2
1
k k
k n k
k k
x x
ε
ε ε ε
λ λ
∞ ∞
= =
≤ ≤ ≤
∑ ∑
và khi đó E là Compact tương đối, từ E là bị chặn( gặp ở ví dụ 13 của chương 1).
Do đó elipxoit là Compact 
( )
0n
n N
c
λ
∈
∈
.
Chú ý: từ
( )

1/
n N
n
∈
hội tụ lồi về 0. Thấy rằng các elipxoit

( )
2 2
1 2 2
1
, , 1
n
n
x x l n x
∞
=
 
∈ ≤
 
 
∑
17
là một Compact trong tập
2
l
.Các điều đó chứng tỏ rằng nếu
1 p
≤ < ∞
, tập
( )

1 2
1
, , 1
p
p
p
n
n
x
x x l
λ
∞
=
 
 
⊂ ≤
 
 
 
∑
là Compact trong
p
l
khi và chỉ khi
( )
0n
n N
c
λ
∈

∈
.
2. Xem ( 40, bài tập 15.33).
Ta có
[ ]
( ) ( ) , , , .f x f y L x y f M x y a b
− ≤ − ∀ ∈ ∀ ∈
Điều này đảm bảo rằng
M
là
đồng liên tục. Ta có
0
( ) f x m f M
≤ ∀ ∈
Sử dụng điều kiện của Lipchitz mà ta được:
( )
( )
[ ]
0 0 0
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
L
L (max . , ,
f x f x f x f x L x x m
x x m
b a x m f M x a b
≤ − + ≤ − +
≤ + +
≤ + + ∀ ∈ ∀ ∈

M
là hội tụ đều và bị chặn. Định lý Arzela – Ascoli đảm bảo rằng M là Compact
tương đối.
3. (Xem (40. Bài tập 15.34).
Cho
[ ]
, ,x y a b
∈
. Ta có
( )
( ) ( ) '
y
x
f x f y f t dt
− =
∫
và sử dụng bất đẳng thức Holder
ta được:
( ) ( )
( )
1/2 1/2
2
1/2
2
2
( ) ( ) ' ' 1
'
y y y
x x x
b

a
f x f y f t dt f t dt dt
y x f t dt k y x
   
 ÷  ÷
− ≤ ≤
 ÷  ÷
   
 
 ÷
≤ − ≤ −
 ÷
 
∫ ∫ ∫
∫
Do đó:
2
( ) ( ) .f y f x k y x f M
− ≤ − ∀ ∈
Từ đó suy ra
M
là đồng liên tục
2
2
0 / 0k
ε
ε δ ε
∀ > ∃ = >
sao cho
[ ]

, ,x y a b
∀ ∈
với
( ) ( ) x y f x f y f M
ε
δ ε
− < ⇒ − < ∀ ∈
.Bây giờ
[ ]
,x a b
∈
thì
2
( ) ( ) f x f a k b a f M
− ≤ − ∀ ∈
. Từ đây bằng cách sử dụng giả thiết
18
[ ]
1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , . .f x f x f a f a k k b a f M x a b
≤ − + ≤ + − ∀ ∈ ∀ ∈
M
là hội tụ đều và bị chặn. Định lý Arzela – Ascoli đảm bảo rằng
M
là
Compact tương đối.
4. Xem (40.bài tập 15.35).
Hiển nhiên,
( )
2 2 2

'( ) ( ) '( )
b b
a a
f x dx f x f x dx k f M= + ≤ ∀ ∈
∫ ∫
.
Tương tự như bài tập 3 ta được:
[ ]
1
( ) ( ) ( ) , ,f x f a k b a k f M X a b
− ≤ − = ∀ ∈ ∀ ∈
, từ
đó
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f a f a f x f x k f x f M
≤ − + ≤ + ∀ ∈
.
Vậy
( )
1
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
b a f a f a dt k dt f x dx− = ≤ +
∫ ∫ ∫
1
( )f a c f M
≤ ∀ ∈
, sử dụng bài tập 3 cho nên
M

là tập Compact tương đối.
5. Xem ( 40. Bài tập 15.31).
Cho
[ ]
1 2 1 2
, , ,t t t t a b
<
ta có:
[ ]
( ) ( )
[ ]
2 2
1 1
2 1 2 1 2 1
,
2 1 2 1 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) sup ( ) .
( ) ( ) , ,
t t
t a b
t t
y t y t x s ds x s x t t t L t t
y t y t L t t t t a b
∈
 
− = ≤ ≤ − ≤ −
 ÷
 
− ≤ − ∀ ∈
∫ ∫

Do đó tập A là hội tụ đều theo Lipschitz
( sup
x M
L x
∈
= < ∞
. Bởi giả thiết). Từ đó
(0) 0 y y A
= ∀ ∈
. Sử dụng bài tập 2, cho nên
A
là tập Compact tương đối.
6. Xem (1, bài tập 5, xuất bản 1982).
Theo công thức Taylor,
[ ]
0
, 0,1x x
∀ ∈
, ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
[ ]
2
0 0 0 0
( ) ' / 2 '' , 0,1
n n n n
g x g x x x g x x x g c c
= + − + − ∈
. Kết quả

0
0x
=
ta có
bằng giả thiết:
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
[ ]
( )
2 2
/ 2 '' / 2 '' 1/ 2 , 0,1 ,
n n n n n
n
g x x g c g x x g c n x g
∈
= = ≤ ∀ ∈ ∀ ∈
¥
¥
là hội
tụ đều và bị chặn. Theo cùng một cách.
( ) ( ) ( )
2
0
0 0 0
'
2
n n n

x x
g x g x x x g x
−
− ≤ − +
nhưng
19
( )
[ ]
(0) '' ( ) , ' ( ) 0,1 .
n n n n
g x g x g d x g x x x
− = ≤ ≤ ∀ ∈
Từ đây
[ ]
2
0
0 0 0
( ) ( ) , 0,1
2
n n
x x
g x g x x x n x
−
− ≤ − + ∀ ∈ ∈
¥
và
( )
n
n
g

∈
¥
là đồng liên tục,
ta áp dụng hệ quả của định lý Arzela – Ascoli.
7. Xem ( 40, bài tập 15.36).
Sử dụng công thức Lagrange, để
[ ]
1 2 1 1 1 1 1 2
( ) ( ) '( ) , , ,f t f t t t f c L t t f M t t a b
− = − ≤ − ∀ ∈ ∀ ∈
, nên do đó M là liên tục
0, / 0L
ε
ε δ ε
∀ > ∀ = >
sao cho
[ ]
1 2
, ,t t a b
∀ ∈
với
1 2
t t
ε
δ
− <
ta có:
( )
1 2
( ) ,f t f t f M

ε
− < ∀ ∈
. Cho
f M
∈
và
[ ]
,t a b
∈
Sau đó bằng giả thiết , ta có
[ ]
.u a b
∈
sao cho
( ) 0f u
=
( u phụ thuộc hảm số
f M
∈
) thì
( )
( )
( ) ( ) ( ) '( ) 2 max ,f t f t f u t u f c L t u L t u L b a
= − = − ≤ − ≤ − ≤ −
[ ]
( ) ( )
, max , max ,t a b t t t b a
∈ ⇒ = − ≤ −
, M là hội tụ đều và bị chặn. Định lý
Arzela – Ascoli đảm bảo rằng M là Compact tương đối

[ ]
,C a b
.
8. Xem ( 40, bài tập 15.44).
i) Câu trả lời là không. Từ
{ }
|
n
f n
∈
¥
không liên tục . Nếu tập liên tục vậy thì
0, 0
ε
ε δ
∀ > ∃ >
sao cho
[ ]
, 0,1x y
∀ ∈
với
( ) ( )
,
n n
x y f x f y n
ε
δ ε
− < ⇒ − < ∀ ∈
¥
có

n
ε
∈ ¥
sao cho
1/ , n n n
ε ε
δ
< ∀ >
sau đó cho
1 1/ , 1, 1 /x n y x y n
δ
∈
= − = − = <
Ta có:
( ) ( )
1 1/ 1 1 .
n
n n
f n f n n
ε
ε
− − − < ∀ ≥
( )
1 1/ 1
n
n n n
ε
ε
− − < ∀ ≥
và

1
, 1 , 0n e
ε ε
−
→ ∞ − < ∀ >
. Đó là sai
Ta phải chú ý:
( )
[ ]
1, , 0,1.
n
f x n x
≤ ∀ ∈ ∀ ∈
¥
ii) Câu trả lời là không, từ
{ }
|
n
f n
∈
¥
không liên tục. Chứng minh tương tự (i),
lấy ví dụ
/ 2 , 2 /
n n
x n y n
π π
= =
.
iii) Câu trả lời là không, từ

{ } { }
| | .
n
f n f
α
α
∈ ⊆ ∈
¥ ¡
iv) Câu trả lời là đúng, ta có
( ) ( )
[ ]
' os 1, 0,1 ,f x c x x
α
α α
= + ≤ ∀ ∈ ∀ ∈
¡
. Và từ
công thức Lagrange nên
( ) ( )
[ ]
( ) ' , , 0,1f x f y x y f c x y x y
α α α
− = − ≤ − ∀ ∈
20
( )
f
α
α
∈
¡

là hội tụ đều theo Lipschitz. Từ
( )
[ ]
1, , 0,1f x x
α
α
≥ ∀ ∈ ∀ ∈
¡
từ bài tập 2
nên
( )
f
α
α
∈
¡
là Compact tương đối.
v) Câu trả lời là không, từ khi xem nó là bao đóng không liên tục. Nếu xem nó là
bao đóng liên tục , thì
0, 0
ε
ε δ
∀ > ∃ >
sao cho
( ) ( )
,x y f x f y
ε α α
δ ε α
− < ⇒ − < ∀ ∈
¡

cho
n
∈
¥
sao cho
1/ n
ε
δ
<
cho
1/ , 0x n y
= =

1/x y n
ε
δ
− = <
từ đây
( ) ( )
1/ 0
n n
f n f
ε
− <
. Nhưng
( ) ( )
1/ arctan 1 / 4, ( ) 0
n
f n f n
π

= = =
và ta được
/ 4 , 0
π ε ε
< ∀ >
. Đó là sai.
vi) Câu trả lời là đúng, ta có
( )
0 1 0f e
α
α
α
−
= ≤ ∀ ≥
và
( )
1 1
2 2
2
2 2 2
0
0 0
1 1
' 0
2 2
x x
e e
f x dx e dx e
α
α

− −
− −
= = ≤ ∀ ≥
∫ ∫
.
Từ bài tập 3 cho nên tập
{ }
| 0f
α
α
≥
là Compact tương đối.
9.i) Giả sử
( )
n
n
x X
∈
⊆
¥
là một dãy Cauchy, X là không gian Banach , có một
x X
∈
mà
, 0,
n
x x n
ε
ε
→ ∀ > ∃ ∈

¥
mà
,
n
x x n n
ε
ε
− < ∀ >
. Ta thấy rằng :
( )
1
B ,
n
i
i
A x
ε
ε
=
⊆
U
sẽ đảm bảo rằng A là Compact tương đối.
ii) Ta chú ý theo giả thiết
x
g
lấy giá trị của nó trong
l
∞
. Từ
T

là một Compact
trong không gian metric,
g
là liên tục khi và chỉ khi nó là liên tục đều,
0, 0
ε
ε δ
∀ > ∃ >
sao cho
( )
, , ,x y T d x y
δ
∀ ∈ <
. Nên
( ) ( ) ,
n n
f x f y n
ε
− < ∀ ∈
¥
. Bây
giờ bằng định lý Arzela – Ascoli sẽ tương đương với họ
( ) ( )
n
n
f C T
∈
⊆
¥
là

Compact tương đối.
10. Xem ( 40, bài tập 15.45).
Ta chỉ ra A là Compact tương đối khi và chỉ khi
( )
[ ]
0, 0,1x x
ϕ
= ∀ ∈
.
Gỉa sử A là Compact tương đối, cho
[ ]
0,1a
∈
cho nên
1/ n a
<
21
Ta xác định:
[ ]
( )
0 (0 1/ )
: 0,1 , ( ) 1 ( 1/ )
1 ( 1)
n n
x a n
f f x n x a a n x a
a x
≤ < −



→ = − + − ≤ ≤


< ≤

¡
Thì
, 1 /
n
f A n a
ϕ
∈ ∀ >
. Vì A là Compact tương đối, nó là liên tục đồng bậc,
nên do đó
0, 0
ε
ε δ
∀ > ∃ >
sao cho
[ ]
, 0,1x y
∀ ∈
với
( ) ( )
( ) ( ) ,
n n
x y f x x f y y n
ε
δ ϕ ϕ ε
− < ⇒ − < ∀ ∈

¥
với
1/ n a
<
có
n
ε
∈ ¥
sao cho
( )
1/ min , n a n n
ε ε
δ
< ∀ ≥
. Cho
1/ , , 1/r a n y a x y n
ε
δ
= − = − = <
ta có
( ) ( )
1/ 1/ ( ) ( ) ,
n n
f a n a n f a a n n
ε
ϕ ϕ ε
− − − < ∀ ≥
có
( )
, 0a

ϕ ε ε
< ∀ >
và vượt quá đến
giới hạn
0
ε
→
,
( ) ( )
0, ( ) 0, 0,1a a a
ϕ ϕ
≤ = ∀ ∈
. Từ
ϕ
là liên tục ta có
( ) ( )
\0
0 lim 0
a
a
ϕ ϕ
= =
và
( ) ( )
/1
1 lim 0
a
a
ϕ ϕ
= =

như vậy
[ ]
( ) 0 a 0,1 .a
ϕ
= ∀ ∈
Điều khẳng định ngược lại là rõ ràng , vì
{ }
0A
=
.
ii) Cho
'T
là tập hợp tất cả các điểm tụ trong
T
. Ta sẽ chứng minh rằng nếu
'T
≠ ∅
thì A là Compact tương đối, cho bất kỳ
[ ]
: 0,T
ϕ
→ ∞
và nếu
'T
≠ ∅
thì A
là Compact tương đối khi và chỉ khi
( )
0, 'a a T
ϕ

= ∀ ∈
. Thật vậy, nếu
'T
≠ ∅
thì
từ đó T là Compact , không gian metric T là tập hữu hạn với phần tử
n
và trong
trường hợp này, ta đồng nhất hóa trong
( )
C T
với
n
l
∞
và tập hợp A với tập hợp
các dạng
( )
{ }
1
, , | 1
n
n i i
x x l x a i n
∞
∈ ≤ ∀ ≤ ≤
với một vài cố định
( )
1
, ,

n n
a a
+
∈
¡
mà rõ
ràng là tiêu chuẩn Compact tương đối. Gỉa sử
a T
∈
, cho
n
∈
¥
, xác định
( ) ( )
( )
( )
: , min , ,1
n n
f T f x n d x a
→ =
¡
.
Ta sẽ chỉ ra
1 ( )
( )
0 ( )
n
x a
f x

x a
≠

→

=

với
x T
∀ ∈
.
Thật vậy, nếu
x a
=

( ) ( )
( )
min , ,1 0,
n
f a nd a a n
= = ∀ ∈
¥
.
Nếu
x a
≠
thì
( , ) 0d x a
>
do đó ta có

n
ε
∈ ¥
sao cho
1/ ( , ),n d x a n n
ε
< ∀ ≥
( )
min( ( , ),1) 1,
n
f x nd x a n n
ε
= = ∀ ≥
thì
( )
1,
n
f x
→
giả sử
'T
≠ ∅
và cho
'a T
∈
. Nếu A
là Compact tương đối thì
0, 0
ε
ε δ

∀ > ∃ >
sao cho
, , ( , )x y T d x y
ε
δ
∀ ∈ <
cho nên
22
( ) ( ) ,f x f y f A
ε
− < ∀ ∈
. Từ
( )
,
n
f A n
ϕ
∈ ∀ ∈
¥
thì
,x T x a
∀ ∈ ≠
với
( )
,d x a
ε
δ
<
nên
( ) ( ) ( ) ( )

,
n n
f x x f a a n
ϕ ϕ ε
− < ∀ ∈
¥
, cho
n
→ ∞
ta đạt được
( )
x
ϕ ε
≤
.
Từ đó
0, 0
ε
ε δ
∀ > ∃ >
sao cho
,x T x a
∀ ∈ ≠
thì
( , )d x a
ε
δ
<
nên
( )

.x
ϕ ε
≤
( )
lim 0
x a
x
ϕ
→
=
,
ϕ
liên tục,
( )
lim ( )
x a
x a
ϕ ϕ
→
=
và
( ) 0a
ϕ
=
.
Đảo lại, cho trường hợp khi
'T T
=
là rõ ràng, vì
{ }

0A
=
. Nếu
'T T
≠
thì
\ 'T T
là
hữu hạn ( trong không gian metric Compact tập hợp con vô hạn có điểm tụ).
Nếu
\ 'T T
có ít nhất hai yếu tố, giả sử
( )
1 2
min , 0
δ δ δ
= >
trong đó
( )
1
\ ', 'd T T T
δ
=

và
( )
{ }
2
min , | , \ ',d a b a b T T a b
δ

= ∈ ≠
, thì dễ dàng thấy
,x y T
∀ ∈
, với
( , )d x y
δ
<

cho nên
x
hoặc
y
thuộc
'T
, hoặc
\ 'x y T T
= ∈
. Cho bất kỳ
f A
∈
ta có
( ) ( )f x f y
=
( từ
0
ϕ
=
trên
'T

). Từ điều này và định lý Arzela – Ascoli suy ra A
là Compact tương đối.
Nếu
\ 'T T
là một phần tử,
{ }
\T T a
=
, ta lấy
( )
, 'd a T
δ
=
thì dễ dàng thấy
,x y T
∀ ∈
với
( , )d x y
δ
<
cho nên hoặc
x
và
y
thuộc
'T
hoặc
x y a
= =
, trong cả

hai trường hợp ta có
( ) ( )f x f y
=
, bất kỳ
f A
∈
.
Từ điều này và định lý Arzela – Ascoli suy ra A là tập Compact tương đối.
11. Xem ( 1, bài tập 1)
i) Giả sử
[ ]
0,1
Ω =
và cho
[ ]
( )
: 0,1 ,
n
n n
f f x x
→ =
¡
, thì
Ω
là Compact và
[ ]
0,1
sup 1
n
n

x
f x n
∈
= = ∀ ∈
¥
thỏa mãn điều kiện i) và ii). Giả sử có một dãy con
( )
k
n
k
f
∈¥
sao cho
k
n
f f→
hội tụ đều
[ ]
0,1
thì
f
là liên tục.
Từ
( ) ( )
[ ]
0,1
k
n
f x f x x
→ ∀ ∉

ta được
0 [0,1)
( )
1 1
x
f x
x
∈

=

=

Không phải là hàm liên tục, Do đó
( )
n
n
f
∈
¥
không là Compact tương đối cho nên
nó không liên tục đồng bậc ( bằng định lý Arzela – Ascoli).
ii) Giả sử
[ ]
0,1
Ω =
và
[ ]
( )
[ ]

:
: 0,1 , x 0,1
n n
f f x n
→ = ∀ ∈
¡
n
∀ ∈
¥
thì
Ω
là Compact,
thì dãy
( )
n
n
f
∈
¥
là liên tục đồng bậc và từ

n
f n n
= ∀ ∈
¥
ch nên
sup .
n
n
f

∈
= ∞
¥
23
iii) Giả sử
Ω =
¡
và
( )
:
0
: ,
arctan( )
n n
x n
f f x
x n x n
≤

→ =

− >

¡ ¡
Rõ ràng
n
f
là liên tục với
n
∀ ∈

¥
. Ta cũng có
( )
sup / 2,
n n
x
f f x n
π
∉
= = ∀ ∈
¡
¥
do đó
Ω
không là Compact, và
sup ,
n
n
f
∈
< ∞
¥
ta chỉ ra rằng tập hợp
( )
n
n
f
∈
¥
là liên tục

đồng bậc.
Cho điều này, cho
1)
x n
≤
và
0
x n
≤
thì
( )
0
( ) 0
n n
f x f x
= =
do đó
( )
0
( )
n n
f x f x
ε
− <
.
2)
0
x n n
≤ ≤
thì

( )
0
n
f x
→
và
( ) ( )
0 0
arctan
n
f x x n
= −
. Từ

( )
( )
'
2
1
arctan 1
1 1
t n t
n
− = ≤ ∀ ∈
+ −
¡
Sử dụng công thức Lgrange,nên

( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0

arctan arctan
n n
f x f x x n n n x n x x
ε
− = − − − ≤ − ≤ − <
.
3)
0
n x x
≤ ≤
thì ta có:
( )
( ) arctan
n
f x x n
= −
và
( ) ( )
0 0
arctan
n
f x x n
= −
.
Tương tự với (2) ta đạt được:

( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
arctan arctan
n n

f x f x x n x n x x
ε
− = − − − ≤ − <
Do đó dãy
( )
n
n
f
∈
¥
là liên tục cùng bậc.
Ta chứng tỏ vì tập
( )
n
n
f
∈
¥
là Compact tương đối. Cho
x
∈
¡
có
n
∈
¥
sao cho
x n n
≤ ∀ ≥
¥

, thì
( )
0
n
f x n
= ∀ ≥
¥
thì
( )
n
n
f
∈
¥
hội tụ theo từng điểm đế hàm zero vào
¡
. Nếu
( )
n
n
f
∈
¥
là dãy hội tụ thì dãy này phải hội tụ đến hàm zero.
Do đó, có một dãy con
( )
k
k
n
∈

¥
của
¥
sao cho
0
k
n
f
→
hội tụ đều trên
¡
.
thì có
1
k
∈
¥
sao cho
( )
1
1 ,
k
n
f x k k x
< ∀ ≥ ∀ ∈
¡
Do đó ,
( )
1
n

n
f x
∈
< ∀ ∈
¥
¡
. Cho
( )
1
, / 2
k
n
x f x
π
→ ∞ →
và
/ 2 1
π
≤
, sai.
12. Xem ( 8, định lý 1 và định lý 2, chương IV).
24
i) Đối với mỗi
( )
,f C X
∈ Ω
, một cơ sở của lân cận của
f
trong
p

τ
topo được
tính bằng cách lấy
( ) ( ) ( ) ( )
( )
{ }
1
W ; , , : , | , , , 1,
n i i
f t t g C X d f t g t i n
ε ε
= = ∈ Ω < =
,
với
1
0, , ,
n
t t
ε
> ∈ Ω
.
Gỉa sử
0
ε
>
, từ giả thiết
A
là liên tục đồng bậc, đối với mỗi
t
∈ Ω

, có một
lân cận mở
( )V t
của
t
sao cho
( ) ( )
( )
( )
, / 3, , ,d f s f t s V t f A
ε
< ∀ ∈ ∀ ∈
. Thì
( )
t
V t
∈Ω
Ω =
U
và từ
Ω
là
Compact có
1
, ,
n
t t
∈ Ω
sao cho
( )

1
n
i
i
V t
=
Ω ⊆
U
cho phần tử
0
f A
∈
, ta xét tập
( )
0 1
W ; , , : / 3
n
f t t
ε
xác định ở trên. Cho
( )
0 1
W ; , , : / 3
n
f f t t A
ε
∈
I
, giả sử
t

∈ Ω
,
từ
( )
1
n
i
i
V t
=
Ω ⊆
U
có
i
sao cho
( )
i
t V t
∈
, và
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
0 0
. / 3, , / 3
i i
d f t f t d f t f t
ε ε
< <

thì
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
0 0 0 0
. , , ,
i i i i
d f t f t d f t f t d f t f t d f t f t
ε
≤ + + <
Từ
t
∈
¤
là tùy ý cho nên
( )
0
.f f
ρ ε
≤
. Do đó mỗi
0
f A

∈
và
0
ε
>
có
p
U
τ
∈
,
0
f U
∈
sao cho
( )
0
,
p
U A B f A
ε
⊆
I I
, với kí hiệu rõ ràng cho nên
| |
n A p A
τ τ
⊆
.
Nhưng hiển nhiên, ta có

| |
p A n A
τ τ
⊆
và
| |
n A p A
τ τ
=
.
ii) Ta xét không gian tích
X
Ω
được xuất phát với topo tích số, phần tử của
X
Ω
có dạng
( )
t
t
ϕ ϕ
∉Ω
=
với
t
X
ϕ
∈
đối với mỗi
t

∈ Ω
. Ta định nghĩa
( ) ( ) ( )
: , ,
t
t
C X X f f
ψ ψ
Ω
∈Ω
Ω → =
chúng ta hãy xét trên
( )
,C X
Ω
topo
p
τ
và trên
X
Ω

topo tích số. Ta chứng tỏ
ψ
là liên tục.
Bằng định nghĩa của topo tích số, nó là đủ để chứng minh cho
t
∈ Ω
, hàm
( )

f f t
→
từ
( )
( )
, ,
p
C X
τ
Ω
đến
X
là liên tục là thật sự đúng. Rõ ràng
ψ
là hàm
đơn ánh và ta hãy chứng minh
( )
( )
( )
: , ,C X C X
ψ ψ
Ω → Ω
là liên tục. Mặt khác
điều này tương đương với tính liên tục, cho hàm
( )
( )
1
: ,C X X
δ ψ ψ
−

Ω →
o
. Trong
đó
( ) ( ) ( )
, ,
t
f f t f C X
ψ
= ∀ ∈ Ω
. Nhưng
1
t
pr
δ ψ
−
=o
trên
( )
( )
,C X
ψ
Ω
, trong đó
pr

25