hướng dẫn dùng bảng tóm tắt để thiết lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong bài toán tối ưu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO , TỈNH TIỀN GIANG .
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN , TIỀN GIANG .
TỔ : TOÁN .
NĂM HỌC : 2013 – 2014
***



SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM :




HƯỚNG DẪN DÙNG BẢNG TÓM TẮT ĐỂ
THIẾT LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
HAI ẨN TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU








GIÁO VIÊN : NGUYỄN HOÀNG TUẤN .

I . LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :

+ Đổi mới phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quan trọng
của cải cách giáo dục . Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính
tích cực , tự giác chủ động , sáng tạo cho học sinh , rèn luyện cho học sinh
kỷ năng vận dụng kiến thức vào thực tiển , vào đời sống .
+ Quy hoạch tuyến tính là lĩnh vực toán học nghiên cứu các bài toán tối ưu với
hữu hạn biến , trong đó mục tiêu và các điều kiện ràng buộc được biểu thị bằng
các hàm số , các phương trình hay bất phương trình tuyến tính ( bậc nhất ) .
+ Trong chương trình ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO , chương trình dành ra 3 tiết để
giới thiệu cho học sinh về “ BÀI TOÁN TỐI ƯU ” dạng cơ bản nhất với hai
biến với hàm mục tiêu xét trên miền nghiệm là một đa giác lồi có hữu hạn đỉnh .
1) Tiết 53 : hướng dẫn cách giải bất phương trình , hệ bất phương trình hai ẫn .
2) Tiết 54 : bài tập các vấn đề trên và làm quen với hàm mục tiêu F ( x , y ) .
3) Tiết 55 : hướng dẫn học sinh giải bài toán tối ưu .
( T 131 , T132 SGK “ ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO ” ) . Nhận thấy : học sinh rất
bối rối khi từ bài toán thực tế đưa về bài toán ứng dụng hệ bất phương trình
với hai ẫn số x , y .
+ Gợi ý cho tôi viết đề tài nầy : “ Hướng dẫn dùng bảng tóm tắt để thiết lập hệ
bất phương trình bậc nhất hai ẫn trong bài toán tối ưu ”

II . NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI :

+ Hướng dẫn học sinh lập bảng tóm tắt các mục tiêu và các điều kiện ràng buộc
của bài toán tối ưu .
+ Thành lập hệ bất phương trình bậc nhất với hữu hạn biến ( với hai biến )
+ Giải một số bài toán tối ưu đơn giản để minh họa .

III . ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :

+ Các bài toán sản xuất đơn giản , chi phí trong sinh hoạt dạng đơn giản .

IV . NỘI DUNG :

+ Phần 1 : Hướng dẫn học sinh lập bảng tóm tắt .
+ Phần 2 : Giải một số bài toán thực tế .

V . TÀI LIỆU THAM KHẢO :

+ Sách giáo khoa : " Đại số nâng cao lớp 11" .
+ Sách bài tập : " Đại số nâng cao lớp 11" .

&&


PHẦN I : HƯỚNG DẨN LẬP BẢNG TÓM TẮT

* Bài toán : ( Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao , trang 131 , 132 )
Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu I và II để sản xuất ít nhất 140 kg chất A
và 9 kg chất B .Mỗi tấn nguyên liệu I có giá 4 triệu đồng , sản xuất được 20 kg chất A
và 0,6 kg chất B . Mỗi tấn nguyên liệu II có giá 3 triệu đồng , sản xuất được 10 kg
chất A và 1,5 kg chất B . Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí
mua nguyên liệu là ít nhất , biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp
tối đa là 10 tấn nguyên liệu loại I và 9 tấn nguyên liệu loại II .

* Bảng tóm tắt mẫu :

Đ
ặt ẫn

Thành phần

Ẫn x ( đơn vị )

Ẫn y ( đơn vị )

Điều kiện ràng buộc

Thành phần 1


Thành phần 2

* Hàm mục tiêu : F ( x , y ) = ax +by ( đơn vị ) .
* Phương án tối ưu .

* Hướng dẫn :
1) BƯỚC 1 : ( đặt ẫn )


Có hai loại nguyên liệu : đặt x ( tấn ) loại I , đặt y ( tấn) loại II .


Do cơ sớ cung cấp tối đa 10 tấn loại I ; 9 tấn loại II , ta có

0 10 ; 0 9
x y
   
.
2) BƯỚC 2 : ( thiết lập hệ điều kiện )


Có hai thành phần là chất A và chất B.


Loại I sản xuất được 20 kg chất A và 0,6 kg chất B
Loại II sản xuất được 10 kg chất A và 1,5 kg chất B


Ta có bất phương trình :
20 10 14
1000 1000 1000
x y 
và
0,6 1,5 9
1000 1000 1000
x y 


Tóm lại ta được hệ :
0 10
0 9
2 14 0
2 5 30 0
x
y
x y
x y
 



 


  


  

( * )
3) BƯỚC 3 : ( Hàm mục tiêu ):


Loại I giá 4 triệu đồng một tấn ; loại II giá 9 triệu đồng một tấn
Chi phí mua nguyên liệu là F ( x , y ) = 4x + 3y ( triệu đồng )


Ta tìm phương án chi phí thấp nhất , tức là tìm ( x , y ) của hệ ( * )
để hàm mục tiêu F ( x , y ) đạt giá trị nhỏ nhất .







* Thực hành :

Đ
ặt ẫn

Thành phần
Loại I
x ( tấn )
Loại II
y ( tấn )


0 10 ; 0 9
x y
   

Chất A

20
1000
x

10
1000
y

140
1000

Chất B

0,6
1000
x

1,5
1000
y

9
1000

* Hàm mục tiêu : F ( x , y ) = 4x +3y ( triệu đồng ) .
* Phương án tối ưu là : Tìm ( x , y ) để ta được min F ( x , y ) .

Bài giải :
1) Bước 1 : thiết lập bài toán tối ưu
+ Gọi x ( tấn ) nguyên liệu loại I (
0 10
x
 
)
Gọi y ( tấn ) nguyên liệu loại II (
0 9
y
 
)
Loại I sản xuất được
20
1000
x
chất A và
0,6
1000
x

chất B .
Loại II sản xuất được
10
1000
y
chất A và
1,5
1000
y
chất B .
Do cần sản xuất ít nhất 140 kg chất A và 9 kg chất B , ta có hệ :

0 10
0 10
0 9
0 9
20 10 140
2 14 0
1000 1000 1000
0,6 1,5 9 2 5 30 0
1000 1000 1000
x
x
y
y
x y
x y
x y
x y
 



 

 


 
 

 
 
  
 
 
  

 


có miền nghiệm ( S )
+ Mỗi tấn loại I có giá là 4 triệu đồng ; mỗi tấn loại II có giá là 3 triệu đồng
do đó chi phí sản xuất là :
hàm mục tiêu F ( x , y ) = 4x + 3y ( triệu đồng ).
Ta cần giải bài toán tối ưu : “ Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu
mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất ” .

2) Bước 2 : tìm miền nghiệm ( S )
+ Giải các bất phương trình của hệ trên mặt phẳng tọa độ Oxy .
+ Miền nghiệm ( S ) là tứ giác ABCD với : A ( 5 ; 4 ) ; B ( 10 ; 2 ) ;
C ( 10 ; 9 ) ; D (
5
2
; 9 ) .






3) Tìm phương án tối ưu :
+ Với hàm mục tiêu F ( x , y ) = 4x + 3y , ta tính : F( 5 ; 4 ) = 32 ;
F ( 10 ; 2 ) = 46 ; F ( 10 ; 9 ) = 67 ; F(
5
2
; 9 ) = 37 .
+ Phương án tối ưu là x = 5 ; y = 4 .
Vậy : để chi phí nguyên liệu ít nhất , cần sử dụng 5 tấn nguyên liệu
loại I và 4 tấn nguyên liệu loại II .
Khi đó chi phí tổng cộng là : 32 triệu đồng .

PHẦN II : MỘT SỐ BÀI TẬP LÀM THÊM

1) BÀI TẬP 1 : Một gia đình cần 900 đơn vị prôtêin và 400 đơn vị lipit mỗi ngày .
Mỗi kilogram thịt BÒ có 800 đ/vị prôtêin và 200 đơn vị lipit .
Mỗi kilogram thịt HEO có 600 đ/vị prôtêin và 400 đơn vị lipit .
Giá thịt BÒ là 195000 đ / kg , giá thịt HEO là 105000 đ / kg .
Hỏi gia đình nầy cần phải mua bao nhiêu thịt BÒ và thịt HEO để chi
phí thấp nhất . Biết rằng khả năng của gia đình nầy chỉ mua được nhiều
nhất là 1,6 kg thịt BÒ và 1,1 kg thịt HEO .
HƯỚNG DẪN :
Đ
ặt ẫn

Thành phần
Thịt BÒ
x ( kg )
Thịt HEO
y ( kg )

0 1,6 ; 0 1,1
x y
   

protêin

800
x
600y
900


lipit
200x 400y
400


* Hàm mục tiêu : F ( x , y ) = 195000x +105000y ( ngàn đồng ) .
* Phương án tối ưu là : Tìm ( x , y ) để ta được min F ( x , y ) .
ĐÁP SỐ : MinF ( x , y ) = 190500 đồng
0,6
0,7
x
y







.
Hay gia đình nầy cần mua 0,6 kg thịt BÒ và 0,7 kg thịt HEO .

2) BÀI TẬP 2 : Một nhà máy sản xuất BIA nà NƯỚC NGỌT . Một tấn BIA lãi được
2 triệu đồng ; một tấn NƯỚC NGỌT lãi được 1,6 triệu đồng .
Muốn sản xuất được 1 tấn BIA thì phải sử dụng máy 1 ( M1 ) trong 3giờ
và máy 2 ( M2 ) trong 1giờ .
Muốn sản xuất được 1 tấn NƯỚC NGỌT thì phải sử dụng máy 1 ( M1 )
trong 1giờ và máy 2 ( M2 ) trong 1giờ .
Máy 1 được dùng không quá 6 giờ trong một ngày , Máy 2 được dùng
không quá 4 giờ trong một ngày
Hỏi phải sản xuất 2 loại sản phẩm trên như thế nào để số tiền lãi nhiều nhất .
HƯỚNG DẪN :
Đ
ặt ẫn

Thành phần
BIA
x ( tấn )
NƯỚC NGỌT

y ( tấn )


0 ; 0
x y
 


Máy 1

3x 1y
6


Máy 2
1x 1y

4


* Hàm mục tiêu : F ( x , y ) = 2x + 1,6 y ( triệu đồng ) .
* Phương án tối ưu là : Tìm ( x , y ) để ta được max F ( x , y ) .

ĐÁP SỐ : Max F ( x , y ) = 6, 8 triệu đồng
1
3
x
y






.
Hay nhà máy nầy cần sản xuất 1 tấn BIA và 3 tấn NƯỚC NGỌT .