Vận dụng một tính chất của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Vũ Hồng Phong THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
1



Vận dụng một tính chất của hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn

Bằng phơng pháp cộng ta dễ dàng chứng minh đợc kết quả sau
Bài toán Cho hệ phơng trình






222
111
cybxa
cybxa
(*)
Với x,y là các ẩn số ,
222111
;;;;; cbacba
là các tham số
Nếu
0
1221
baba
thì hệ PT (*) có nghiệm duy nhất

1221
1221
1221
1221
baba
caca
y
baba
bcbc
x
(**)
Nh vậy x và y đều biểu thị qua các tham số qua hệ thức (**)
Do đó nếu trong bài toán có 2 biểu thức bậc nhất đối với 2 ẩn nào đó thì ta có thể
áp dụng kết quả trên để giải quyết bài toán. Sau đây là một số thí dụ
Thí dụ 1 Cho x,y,m là các số thực thoả mãn

1
2
2
1
2
3
m
m
myx
ymx
(1)
Chứng minh rằng
1
22
yx

Lời giải
Ta coi (1) là hệ PT bậc nhất 2 ẩn x,y với m là tham số.
Khi đó x và y đều biểu thị đợc theo m
Thật vậy
do
0121.1)2.(
2
1221
mmmbaba

nên áp dụng công thức (**)ta có
























1
1
12
1.1

1
2
.
1
2
12
1.
1
2
)2.(1
2
2
2
2
3
22
2
3
m
m
m
m
m
m
y
m
m
m
m
m

m
x

Suy ra
1
)1(
12
)
1
1
()
1
2
(
12
24
2
2
2
2
2
22

m
mm
m
m
m
m
yx





Vũ Hồng Phong THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
2

Thí dụ 2
Cho x,y,z là các số thực thoả mãn





232
1
yxyzxz
yxxz
(1)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xy(1+z)
Lời giải

Ta giảm số biến của biểu thức P bằng cách
biến đổi (1) về dạng hệ PT bậc nhất 2 ẩn x,y với z là tham số đợc






2)3()12(
1)2(
yzxz
yzzx

Có
01)1(22)2)(12()3(
22
1221
zzzzzzzbaba

Nên áp dụng công thức (**) ta có

22
1
22
1).12(2.
22
1
22
)2(2)3.(1
22
22
zzxz
zz
y
zz
z
zz
zz
x

Suy ra
22

2
)1)1((
)1(
)1(



z
z
zxyP

Do có
0)1)1((
22
z

222
)1)1((
4
1
)1( zz
mà
0)1(
2
z

nên
4
1
)1)1((

)1(
0
22
2




z
z
P

GTNN của P là 0 khi và chỉ khi
)1;1;0();;(

zyx

GTLN của P là
4
1
khi và chi khi (x;y;z)
)}2;
2
1
;
2
1
();0;
2
1

;
2
1
{(



Thí dụ 3 Cho x,y là các số thực thoả mãn

9)14()173(
22
yxyx

Chứng minh rằng

5
16
5
14


yx

Lời giải
Do
173

yx
và x+4y+1 là các biểu thức bậc nhất đối với x,y nên để đơn giản giả thiết
ta coi 2 biểu thức lần lợt là a,b thì x,y đều biểu thị đợc

theo a và b
Thật vậy
Đặt 3x+7y+1=a; x+4y+1 = b
Ta có hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn x,y sau





14
173
byx
ayx
(1)
Có
057.14.3

nên áp dụng công thức (**) thì
hệ pt (1) có nghiệm
Vũ Hồng Phong THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
3

5
23
5
374
ab
y
ba
x

Khi đó ta có

9
22
ba


5
143


ba
yx

Mặt khác
2
)(0 mqnp

))(()(
22222
qpnmnqmp


))((
2222
qpnmnqmp

áp dụng BĐT trên ta có
159.25))()4(3(43
2222
baba


154715

ab

Suy ra
5
16
5
115
5
143
5
515

5
14








ba
yx

Thí dụ 4 giải hệ phơng trình









2129
115
52212
1)52(4)12(
33
yx
x

yxyx
yxyx

Lời giải
Ta thấy
12

yx
và
52

yx
là các biểu thức bậc nhất đối
với x và y nên có thể giải hệ PT bằng cách đặt

012 ayx
,
052 byx

khi này x, y đều biểu diễn đợc theo a và b
ta có hệ pt bậc nhất 2 ẩn x,y







2
2

52
12
byx
ayx














5
32
5
112
22
22
ba
y
ba
x
(1)
Do đó

22
2115 bax
,
2129

yx
=
22
4ba

Thay vào hệ phơng trình đã cho ta đợc










22
22
33
4
2
2
14
ba
ba

ba
ba










)4)(2(2
14
2222
33
bababa
ba
(2)
Nhân vế với vế các phơng trình của hệ (2) đợc
Vũ Hồng Phong THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
4


)4)(2()4)(2(
222233
babababa

ab(a b)(a - 2b) = 0


a = 0 hoặc b = 0 hoặc a = b hoặc a = 2b
Từng trờng hợp này thay vào hệ (1)
ta đợc nghiệm (a,b) là
)
12
1
;
3
2
(),
5
1
;
5
1
(),0;1(),
4
1
;0(
3
333
3

Với (a;b) tìm đợc thay vào (1) ta đợc
các nghiệm (x;y) của hệ PT đã cho là

)

5
3
144
343
;
5
11
2
3
(),
5
3
25
1
;
5
11
25
27
(),1;2(),
5
16
1
3
;
5
11
2
1
(

33
333
3






Thí dụ 5 Giải hệ phơng trình







222
222
312)(72
2127)(
xxyyyxxx
yxyyyxyx

Lời giải
Ta có thể đa hệ PT đã cho về 1 hệ PT bậc nhất với 2 ẩn mới bằng cách
Đặt
vyux 12;7
22

Hệ PT đã cho trở thành







2
2
3)(2
)(
xxyvyxxu
yxyyvuyx
(1)
Ta có
22
1221
2))(( yxxyyxyxbaba

Dễ thấy x = y = 0 là nghiệm của hệ PT đã cho
Khi x,y không đồng thời bằng 0
Có

1221
baba
0
22
yx
nên hệ (1) có nghiệm duy nhất

x
yx
yxyxxxyyx
v
y
yx
yxxyyxyxy
u
22
22
22
22
)(2)3)((
2
)3())((

Suy ra







xx
yx
12
27
2
2













22
22

12
47
02
0
xy
yx
y
x













4
9
0
0
2
2
y
x
y

x







2
3
y
x

Vậy hệ PT đã cho có 2 nghiệm (x;y) là (0;0);(-3;2)

Vũ Hồng Phong THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
5

Cuôí cùng mời các bạn luyện tập với các bài tập sau
Bài 1 Cho x,y,m là các số thực thoả mãn

4
43
2
2
2
m
m
ymx
mmyx

a) Tìm một hệ thức giữa x và y không phụ thuộc vào m
b) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức

33
yxP

Bài 2 Cho x,y là các số thực thoả mãn

4)125()1311(
22
yxyx
.
Chứng minh
7
732
3 yx

Bài 3 Giải hệ phơng trình
a)

3163)645)(279(
3645279
3
33
yxyxyx
yxyx

b)








9
14)3(
15)4()1(
222
2
232
zyx
zzyzx

zzyzzxz

c)







67652)2(
13452)(
yxxyxyyx
yxyxyyx