thuật toán thể tích hữu hạn giải hệ phương trình sóng động lực hai chiều ngang

THUẬT TOÁN THỂ TÍCH HỮU HẠN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH SÓNG
ĐỘNG LỰC HAI CHIỀU NGANG

Lương Tuấn Anh, Trần Thục
Viện Khoa học Khí tượng Thủy văn và Môi trường

Mở đầu
Một số bài toán ứng dụng trong khoa học về khí tượng thủy văn, cơ học chất
lỏng như mô hình mô phỏng mưa- dòng chảy, mô phỏng dòng chảy trong vùng đồng
bằng ngập lụt, tính toán sóng vỡ đập, nghiên cứu dòng chảy trong miền có đường bờ
phức tạp, nước dâng do bão ven biển, đã đặt ra yêu cầu nghiên cứu các thuật toán có
hiệu quả cao về khả năng mô phỏng không gian, tính
ổn định và độ chính xác để giải
hệ phương trình sóng động lực 2 chiều ngang. Các phương pháp tính hiện đang được
quan tâm trên thế giới là các phương pháp dựa trên nguyên lý tích phân (integral
methods): Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), thể tích hữu hạn (FVM) và phương
pháp dựa trên cơ sở triển khai nghiệm dưới dạng đa thức Chebyshev (spectral
methods) [6]. Bản chất toán học của nhóm các phương pháp này là biến đổi các hệ
phương trình vi phân đạo hàm riêng (PDE) về d
ạng các hệ phương trình vi phân đạo
hàm thường (ODE). Hiện nay, bên cạnh phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp
thể tích hữu hạn là một phương pháp đang được quan tâm nghiên cứu ở trong và ngoài
nước [1, 2, 3, 6, 7] ứng dụng để giải các bài toán cơ học chất lỏng và chất khí. Phương
pháp có khả năng mô phỏng khu vực nghiên cứu có cấu trúc trường dòng chảy trong
miền có địa hình và hình dạng phức tạp. Ngoài ra, các phương pháp khác sử d
ụng
nguyên lý tương tự của các phương pháp tích phân cũng đang được nghiên cứu phát
triển. Trong công trình nghiên cứu [4] các tác giả đã đề cập đến việc nâng cao hiệu quả
giải hệ phương trình sóng động lực hai chiều ngang để mô phỏng sóng vỡ đập áp dụng

sơ đồ trung tâm bậc hai do Kurganov và Tadmor (phương pháp KT) đề xuất. Phương
pháp được gọi là phương pháp rời rạc hoá từng phần (semi-discrete scheme) dựa trên
cơ sở rờ
i rạc hoá các biến theo không gian nghiên cứu để đưa hệ phương trình đạo
hàm riêng (PDE) về dạng hệ phương trình vi phân thường (ODE) và hệ ODE được
kiến nghị giải bằng sơ đồ Runge-Kutta bậc ba. Công trình nghiên cứu [1] đã đề xuất
thuật toán phần tử hữu hạn áp dụng cho mô hình sóng động lực 2 chiều ngang nhằm
biến đổi hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng về dạng hệ phương trình vi phân
thường và giải hệ
phương trình vi phân thường bằng phương pháp Runge-Kutta.
Trong các công trình nghiên cứu [6, 7], các tác giả đã đề cập đến tính ưu việt
của phương pháp thể tích hữu hạn để giải các bài toán trong miền có hình dạng phức
tạp và các phương án xử lý khác nhau về việc giải hệ ODE, các điều kiện biên, điều
kiện ban đầu.
Trong công trình nghiên cứu này, thuật toán thể tích hữu hạn sẽ được trình bày
dưới đây có thể sẽ có ích trong vi
ệc nghiên cứu và đào tạo để giải quyết các vấn đề
thực tiễn liên quan đến việc tìm nghiệm số trị của hệ phương trình động lực hai chiều.
Mô hình sóng động lực hai chiều ngang:
Tuyển tập báo cáo Hội thảo khoa học lần thứ 10 - Viện KH KTTV & MT
3
Mô hình động lực học hai chiều được xây dựng dựa trên cơ sở hệ phương trình
Raynolds với các thành phần được lấy trung bình theo độ sâu, dưới dạng véc tơ, thuận
lợi cho việc áp dụng công thức Green, được viết như sau [3, 4]:

D
GFq
=
∂
∂

+
∂
∂
+
∂
∂
yxt
(1)
Trong đó, các véc tơ có dạng:

;
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
vh
uh
h
q
⎪
⎭
⎪
⎬

⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
uvh
ghhu
uh
22
2
1
F
;
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+

=
22
2
1
ghhv
uvh
vh
G
;
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
−=
)(
)(
0
fyoy
fxox
SSgh
SSghD
u, v - Vận tốc được trung bình hoá theo độ sâu ứng với trục ox,
oy tương ứng;

h - Độ sâu dòng chảy;
Sox, Soy- Độ dốc đáy theo trục ox, oy tương ứng;
Sfx, Sfy - Độ dốc thuỷ lực (độ dốc ma sát) theo hướng ox và oy tương ứng,
trong trường hợp chảy rối (số Re đủ lớn) được xác định theo công thức Chezy-
Manning:
hC
vuu
S
fx
.
2
22
+
=
và
hC
vuv
S
fy
.
2
22
+
=
; C - Hệ số Chezy.
Phương trình (1) còn có thể viết dưới dạng khác [4] :

D
q
B

q
A
q
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
yxt
(2)
Trong đó, ma trận A và B được xác định như sau :
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
uvuv
uuc
02

010
22
A
;
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
vvc
uvuv
20
100
22
B
c=(gh)1/2- là vận tốc chuyển động của sóng ; ma trận A và B có các số riêng
tương ứng như sau:
{}
T
AAA
cuucu −==+=
321
;;

λλλ

{}
T
BBB
cvvcv −==+=
321
;;
λλλ

Số lượng điều kiện biên phụ thuộc vào số Froud (Fr), hay trạng thái chảy êm
hoặc xiết. Đối với trạng thái chảy êm (có cả sóng truyền xuôi và truyền ngược) 02 điều
kiện biên trên (vận tốc u, v và h) và 01 điều kiện biên dưới (h) là cần thiết để giải bài
toán trên. Ngoài ra, các điều kiện biên cứng, biên động, biên trong cũng cần được xem
xét, nghiên cứu.
Tuyển tập báo cáo Hội thảo khoa học lần thứ 10 - Viện KH KTTV & MT
4
Thuật toán thể tích hữu hạn:
Theo phương pháp thể tích hữu hạn, phương trình (1) được thể hiện dưới dạng
tích phân dựa trên cơ sở công thức Green [6]:


Ω=•+Ω
∫∫∫
ΩΓΩ
ddsd
dt
d
ppp
DHq N

;
{
}
T
GF,H =
(3)

Trong đó:
p
Ω
- Diện tích mặt hữu hạn;
p
Γ
- Đường cong kín giới hạn mặt hữu hạn;
N - Véc tơ pháp tuyến đơn vị của đường
p
Γ
.
Trong toạ độ Đề-các, tích phân đường theo đường cong giới hạn
được xác
định như sau:
p
Γ


(4)
dxdyds
pp
∫∫
ΓΓ

−=• GFH N

Với một lưới cong bất kỳ, một thể tích hữu hạn được mô phỏng dưới dạng hình
tứ giác ABCD. Tích phân (3) được lấy gần đúng khi giả thiết q, D là hàm trung bình
trong
và nằm ở trọng tâm của tứ giác. Khi đó, phương trình (3) và (4) sẽ dẫn đến
phương trình:
p
Ω

P
p
p
p
SS
dt
d
•=++++• DHHHHq
DACDBCAB
)()(
(5)
Trong đó: Sp- diện tích của mặt hữu hạn
p
Ω
; HAB , HBC , HCD , HAD là
dòng tương ứng chảy qua các cạnh của tứ giác ABCD (Hình 1).
Phương trình (5) là phương trình vi phân thường, mô tả sự phát triển theo thời
gian của véc tơ
p
q

. Các dòng HAB , HBC , HCD , HAD có hướng chảy vuông góc
với các cạnh của tứ giác được xác định gần đúng theo (4), như sau:

ABABABABAB
xy ∆−∆= GFH
;
BCBCBCBCBC
xy
∆
−
∆
=
GFH
;
CDCDCDCDCD
xy ∆−∆= GFH
;
DADADADADA
xy
∆
−
∆
=
GFH
.
;
ABAB
xxx −=∆

; yyy

ABAB
−
=
∆


Tuyển tập báo cáo Hội thảo khoa học lần thứ 10 - Viện KH KTTV & MT
5

Hình 1. Dưới dạng chi tiết hơn, các dòng được xác định theo trung bình trọng số
ABjijiABjijiAB
xy
∆
−
+
−∆
−
+=
++
])1([])1([
,1,11,1,11
GGFFH
β
β
α
α

BCjijiBCjijiBC
xy
∆

−
+
−∆
−
+=
++
])1([])1([
,21,2,21,2
GGFFH
β
β
α
α

CDjijiCDjijiCD
xy
∆
−
+
−∆
−
+=
−−
])1([])1([
,3,13,3,13
GGFFH
β
β
α
α

DAjijiDAjijiDA
xy
∆
−
+
−∆
−
+=
−−
])1([])1([
,41,4,41,4
GGFFH
β
β
α
α
(6)
Trong đó:
i
α
,
i
β
- Hệ số trọng số có thể lấy trị số trong khoảng [0 , 1], trị số
trung bình là 0.5.
Dễ nhận thấy rằng phương trình (5), sau khi thay thế các trị số dòng chảy (6) có
dạng phương trình vi phân thường:

)()(

)(
1
tt
dt
td
qΦD
q
−=
(7)
Trong đó:
Φ
- Ma trận ;
q
- Véc tơ ẩn số cần tìm ;
D1 - Véc tơ.
Thuật toán giải hệ (7) như sau :
Bước 1 : Giải bài toán Cô-si
Phương trình (7) với điều kiện ban đầu
o
tt=
q
cho trước được giải theo thuật toán
Runge-Kutta bậc 3 đối với toàn bộ lưới tính:
tt
)0(
)0(
)0(
)1(
∆−∆=∆ qΦDq
1

t}
3
)t({t
)1(
)1(
)1(
1
)2(
∆
∆
+−∆=∆
q
qDq Φ

t}
3
2
)t({t
)2(
)2(
)2(
)3(
∆
∆
+−∆=∆
q
qΦDq
1
(8)

i-1
j+1
P
B
C
A
D
i,j
j-1
i+1
Tuyển tập báo cáo Hội thảo khoa học lần thứ 10 - Viện KH KTTV & MT
6
Nghiệm số của phương trình (1) sau khoảng thời gian
được xác định như
sau:
t∆

)3()1(
75.025.0)t()tt( qqqq ∆+∆+=∆+
(9)
Bước 2: Giải bài toán biên (phương pháp nội suy tuyến tính nối tiếp- successive
linear interpolation) [5] :
Tại biên, với điều kiện biên
)t(
0 Γ=Γ
= qq
cho trước, đặt:

)tt()tt(
ˆ

)tt(
ˆ
)k(
)k(
∆+=∆+=∆+
Γ
qqq

xét hàm sai số tại biên:
2
)()(
)
ˆ
()
ˆ
(
Γ
−= qqq
kk
f

(i) Nếu:
ước tính:
εf)
ˆ
(f
)k(
q
)
ˆˆ

/())
ˆ
(f)
ˆ
(f(
)
ˆ
(f
ˆˆ
)k()1k()k()1k(
)k(
)k()1k(
qqqq
q
qq
−−
−=
−−
+

Gán:
)1k(
ˆ
)tt(
+
=∆+ qq
trở về bước 1 tính lại.
(ii) Nếu:
, ta có :
ε≤)

ˆ
(f
)k(
q
)tt()tt( ∆+≈∆+
Γ
qq
quá trình tính được thực hiện từng
bước cho khoảng thời gian tính tiếp theo.

Kết luận và kiến nghị
Bản chất toán học của phương pháp phần tử thể tích là biến đổi hệ phương trình
sóng động lực hai chiều ngang dưới dạng các phương trình đạo hàm riêng thành hệ các
phương trình vi phân đạo hàm thường thỏa mãn các điều kiện ban đầu và điều kiện tại
biên. Khi đó, việc giả
i bài toán sóng động lực đã trở thành bài toán tìm nghiệm của hệ
các phương trình vi phân thường.
Thuật toán được trình bày, dựa trên nguyên lý biến đổi các bài toán phức tạp thành
các bài toán đơn giản và đã được chuẩn hóa. Các bước tính được thực hiện như sau:
Viết hệ phương trình sóng động lực dưới dạng có thể áp dụng công thức Green;
Áp dụng công thức Green để đưa hệ phương trình PDE (1) về hệ ODE (5);
Tính toán các hệ số của h
ệ ODE (7);
Giải hệ (7) áp dụng phương pháp Runge-Kunta và phương pháp nội suy tuyến
tính kế tiếp để giải bài toán hệ phương trình vi phân thường thỏa mãn các điều kiện biên.
Có thể đưa ra nhận xét rằng thuật toán trên không phức tạp, có thể xây dựng các
chương trình tính toán trong các nghiên cứu ứng dụng. Tuy vậy, việc xử lý các trọng
số, điều kiện ban đầu và các điều kiện biên khác nhau sẽ là các mô hình có độ mô
phỏng khác nhau, hiệ
n nay là các vấn đề cần được nghiên cứu phát triển.

Tuyển tập báo cáo Hội thảo khoa học lần thứ 10 - Viện KH KTTV & MT
7
Tài liệu tham khảo
1. Lương Tuấn Anh, Trần Thục (2003): Một phương án nâng cao độ ổn định của sơ
đồ sóng động lực 2 chiều ngang. Tuyển tập báo cáo Hội nghị Khoa học Viện Khí
Tượng Thủy văn. Hà Nội, 2003.
2. V. Aizinger, C. Dawson (2002): A Discontinuous Galerkin method for two-
dimensional flow and transport in shallow water. Adv. in Water Resources Vol.
25, pp. 67-84.
3. C.V. Bellos, J.V. Soulis and J.G. Sakkas (1991). “Computation of Two-
Dimensional Dam-Break-Induced flows”. Adv. Water Resources, Vol. 14, No. 1,
pp. 31-41.
4. G. Gottardi, M. Venutelli (2004). “Central Scheme for Two-Dimensional Dam-
Break Flow Simulation”. Adv. Water Resources, Vol. 27 , pp. 259-268.
5. Forsythe G.E., Malcolm M.A , Moler C. B. (1977): Computer Method for
Mathematical Computations. Prentice-Hall (Russian translation from English,
1980).
6. R. Peyret, T.D. Taylor (1983). Computational Methods for Fluid Flow. Springer-
Veriag New York Inc. (Russian translation, NXB KTTV, Lê-nin-gơ-rad, 1986).
7. D.H. Zhao, H.W. Shen, G.Q. Tabios III, J.S. Lai and W.Y. Tan (1994). Finite-
Volume Two-Dimensional Unsteady Flow Model for River Basins. Journal of
Hydraulic Engineering. Vol. 120, pp. 863-883.



Tuyển tập báo cáo Hội thảo khoa học lần thứ 10 - Viện KH KTTV & MT
8