bồi dưỡng kiến thức toán học trong dạy học vật lý ở trường phổ thông chương dao động cơ vật lý 12, chương trình nâng cao

i


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC



VƯƠNG VĂN HUY



BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC VẬT
LÍ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG CHƯƠNG " DAO ĐỘNG CƠ"
VẬT LÍ 12, CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO





LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM VẬT LÍ

HÀ NỘI – 2012


ii
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC



VƯƠNG VĂN HUY




BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC VẬT LÝ
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG CHƯƠNG " DAO ĐỘNG CƠ" VẬT LÍ 12,
CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO

Chuyên ngành: LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN VẬT LÍ)
Mã số: 60 14 10




Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Huy Sinh

HÀ NỘI – 2012


viii
MỤC LỤC

Trang
Lời cảm ơn
i
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt
ii
Danh mục các bảng
iii
Danh mục các hình
iv
MỞ ĐẦU
1
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 5
1.1.Vai trò của toán học trong dạy và học vật lí ở trƣờng phổ thông 5
1.1.1. Mối quan hệ giữa toán học và vật lí 5
1.1.2. Vai trò của toán học trong lĩnh vực vật lí học. 14
1.2. Phƣơng pháp mô hình trong dạy học vật lí 19
1.2.1. Khái niệm mô hình 19
1.2.2. Tính chất, vai trò của mô hình trong dạy học vật lí. 20
1.2.3. Các loại mô hình trong dạy học vật lí 22
1.2.4. Các giai đoạn sử dụng mô hình trong giảng dạy vật lý học. 26
1.3. Thực trạng việc bồi dƣỡng kiến thức, kĩ năng toán học trong dạy học vật lí ở
trƣờng THPT An Lão – Hải Phòng 26

1.3.1. Phƣơng pháp điều tra, thăm dò 28
1.3.2. Kết quả điều tra. 31
Kết luận chƣơng 1 34
Chƣơng 2: BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC
VẬT LÍ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHƯƠNG “ DAO
ĐỘNG CƠ ” VẬT LÍ 12, CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO 35
2.1. Vị trí và vai trò của chƣơng “ Dao động cơ ” vật lí 12, chƣơng trình nâng cao. . 35
2.2. Đặc điểm, cấu trúc chƣơng “ Dao động cơ ” vật lí 12, chƣơng trình nâng cao. 37
2.3. Nội dung chƣơng “ Dao động cơ ” vật lý 12, chƣơng trình nâng cao. 38
2.3.1. Những nội dung chính của chƣơng" Dao động cơ" vật lí 12, chƣơng trình
nâng cao. 38
2.3.2. Phân tích những nội dung chính của chƣơng" Dao động cơ" vật lí 12,
chƣơng trình nâng cao. 40


ix
2.4. Những kiến thức và kỹ năng toán học cần thiết để học tốt chƣơng “ Dao động
cơ ”, vật lí 12, chƣơng trình nâng cao. 57
2.4.1. Những kiến thức và kỹ năng toán học cần đƣợc trang bị cho học sinh 57
2.4.2. Những nội dung vật lí chƣơng" Dao động cơ " có liên quan đến toán học. 60
2.5. Mục tiêu dạy học chƣơng “ Dao động cơ ” vật lí lớp 12 chƣơng trình nâng cao. 65
2.5.1. Mục tiêu về toán học 65
2.5.2. Mục tiêu về vật lí 66
2.5.3. Mối quan hệ giữa toán học và vật lí học trong chƣơng “ Dao động cơ ” lớp
12, chƣơng trình nâng cao 67
2.6. Bồi dƣỡng kiến thức và kỹ năng toán cho học sinh trong tiến trình dạy học
chƣơng " Dao động cơ" vật lí 12 chƣơng trình nâng cao. 68
2.6.1. Tiến trình sử dụng các kiến thức về toán học 68
2.6.2. Tiến trình bồi dƣỡng kiến thức toán học cho học sinh khi học chƣơng " Dao
động cơ" vật lí 12, chƣơng trình nâng cao. 68

Kết luận chƣơng 2 88
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 89
3.1. Mục đích, nhiệm vụ, đối tƣợng thực nghiệm sƣ phạm. 89
3.1.1. Mục đích 89
3.1.2. Nhiệm vụ 89
3.1.3. Đối tƣợng thực nghiệm 90
3.2. Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm . 90
3.2.1. Phƣơng pháp và quá trình tiến hành TNSP 90
3.2.2. Xây dựng tiêu chí đánh giá 93
3.3. Kết quả thực nghiệm sƣ phạm. 94
3.3.1. Kết quả định tính. 94
3.3.2. Kết quả định lƣợng. 94
3.3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sƣ phạm 98
Kết luận chƣơng 3 100
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ : 102
TÀI LIỆU THAM KHẢO 103
PHỤ LỤC 105


iv
BẢNG KÍ HIỆU VIẾT TẮT

DĐĐH
Dao động điều hoà.
DHVL
Dạy học vật lí.
ĐC
Đối chứng.
GV
Giáo viên.

HS
Học sinh.
PP
Phương pháp.
PPDH
Phương pháp dạy học.
PT
Phổ thông.
THPT
Trung học phổ thông.
TN
Thực nghiệm.
TNSP
Thực nghiệm sư phạm.

v
DANH MỤC CÁC BẢNG

Tên bảng
Trang
Bảng 2.1. Bảng phân phối chương trình chương dao động cơ
37
Bảng 2.2. Các giá trị đặc biệt của hàm số x = Acosωt
44
Bảng 2.3. Một số kết quả tính các thông số cơ bản trong dao động
điều hòa của con lắc lò xo

61
Bảng 2.4. Chuyển đổi các góc đặc biệt
71
Bảng 2.5. Dấu hàm số lượng giác của các góc đặc biệt
71
Bảng 2.6. Các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
71
Bảng 2.7. Hàm số lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
72
Bảng 3.1. Sĩ số của các lớp đối chứng và thực nghiệm
90
Bảng 3.2. Điểm kiểm tra trước khi tiến hành TNSP của các lớp đối
chứng và thực nghiệm

92
Bảng 3.3. Kết quả kiểm tra sau thời gian thực nghiệm sư phạm
95
Bảng 3.4. Phân phối tần số: số học sinh đạt điểm x
i

96
Bảng 3.5. Bảng tần suất luỹ tích: Số % học sinh đạt điểm x
i
trở xuống
96

















vi
DANH MỤC CÁC HÌNH

Tên hình
Trang
Hình 1.1. Đồ thị mô tả sự phụ thuộc của (p, T)
24
Hình 1.2. Đồ thị mô tả sự phụ thuộc của biên độ dao động cưỡng
bức vào tần số của lực cưỡng bức.

24
Hình 1.3. Các loại mô hình sử dụng trong vật lý học
25
Hình 2.1. a, b, c. Quan sát dao động của con lắc đơn và con lắc lò xo
41
Hình 2.2a,b,c. Cấu tạo và hoạt động của con lắc lò xo
42
Hình 2.3a. Đồ thị biểu diễn li độ x = Acosωt
44
Hình 2.3b. Đồ thị biểu diễn v phụ thuộc thời gian trong dao động
điều hòa ứng với

= 0

45
Hình 2.3c . Đồ thị biểu diễn a phụ thuộc thời gian trong dao động
điều hòa ứng với

=0

46
Hình 2.4. Biểu diễn dao động điều hòa bằng vectơ quay

47
Hình 2.5. Khảo sát dao động của con lắc đơn
47
Hình 2.6. Đồ thị biểu diễn động năng, thế năng và cơ năng trên cùng
một hệ trục

49
Hình 2.7a. Mô tả sự tắt dần trong dao động điều hòa trong không khí
50
Hình 2.7b, c. Mô tả sự tắt dần trong dao động điều hòa trong nước
và dầu

50
Hình 2.8. Sự phụ thuộc biên độ dao động của hệ với biên độ dao
động của ngoại lực

53
Hình 2.9. Đồ thị mô tả hiện tượng cộng hưởng trong dao động
cưỡng bức.

53
Hình 2.10 Sự phụ thuộc biên độ dao động cưỡng bức vào tần số góc
của ngoại lực có cùng lực tác dụng

53
Hình 2.11. Biểu diễn dao động điều hòa bằng véc tơ quay
55
Hình 2.12. Tổng hợp dao động điều hòa theo phương pháp Fresnen
55
Hình 2.13. Đồ thị mô tả hai dao động cùng pha

57
Hình 2.14. Đồ thị biểu diễn hai dao động ngược pha
57
Hình 2.15a. Mối quan hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động
tròn đều

63


vii
Hình 2.15b. Đồ thị sự phụ thuộc của x, v, a vào thời gian trên cùng
một hệ trục tọa độ

64
Hình 2.16. Biểu diễn hàm số lượng giác trên tam giác vuông ABC
70
Hình 2.17. Mô tả dao động của con lắc lò xo thẳng đứng
75
Hình 2.18. Giải bài tập về DĐĐH bằng phương pháp hình học
83
Hình 2.19. Giải bài tập về DĐĐH bằng phương pháp đồ thị hình sin
83
Hình 2.20. Biểu diễn hình chiếu của véctơ
AB
trên trục x
84
Hình 2.21. Phép cộng véctơ: quy tắc hình bình hành
84
Hình 3.1: Đồ thị đường tần suất luỹ tích.
97

1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Toán học là công cụ quan trọng trong nghiên cứu cũng như trong dạy
học vật lí. Hầu hết các đại lượng và định luật vật lí đều được biểu diễn dưới
dạng công thức toán. Việc giải bài tập vật lí cũng xuất phát từ việc thiết lập và
giải các phương trình toán học. Trong quá trình phát triển của vật lí học, do
yêu cầu nghiên cứu vật lí, nhiều khi các nhà vật lí đã sáng tạo ra các công cụ
toán để ứng dụng cho vật lí.

Do hạn chế về kiến thức và kĩ năng giải toán, nhiều khi kiến thức toán
cần thiết để học sinh học vật lí lại chưa được trang bị trong quá trình dạy môn
toán học, vì vậy học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc học vật lí. Ngoài ra,
việc dạy môn toán lại tách rời khỏi các môn học khác nói chung và vật lí nói
riêng nên khi sử dụng toán học trong học tập môn vật lí học sinh cũng gặp
khó khăn.
Phương pháp mô hình là phương pháp (PP) quan trọng trong nghiên cứu
và dạy học vật lí, đặc biệt là mô hình toán học, các mô hình này giúp học sinh
hiểu sâu hơn về các đại lượng và định luật vật lí. Thông thường quá trình dạy
học vật lí ở trường phổ thông các thầy cô giáo thường coi kiến thức toán học
đã được rèn luyện trong quá trình học môn toán, điều này làm hạn chế kỹ
năng giải các bài toán vật lí của học sinh THPT. Như vậy, muốn cho học sinh
có kỹ năng giải các bài tập vật lí trước hết các em cần phải nắm chắc các kiến
thức toán học có liên quan.
Có thể cho rằng trong khi giải các bài tập vật lí, học sinh phải biết vận
dụng các định luật toán học như một công cụ. Nghĩa là muốn học giỏi vật lí
trước hết học sinh phải giỏi về tư duy toán học. Có thể coi toán học như một
nền tảng vững chắc để giải các phương trình vật lí. Vì vậy việc bồi dưỡng
kiến thức toán học cho học sinh khi dạy môn vật lí là rất cần thiết.

2

Vì những lý do trên nên tôi quyết định lựa chọn đề tài:
"Bồi dưỡng kiến thức toán học trong dạy học vật lí ở trường phổ thông
chương “Dao động cơ” vật lí 12, chương trình nâng cao.
2. Lịch sử nghiên cứu
Lí thuyết về phương pháp mô hình đã được đề cập đến trong tài liệu về
lí luận dạy học nói chung. Nhiều công trình nghiên cứu khác đã đề cập đề
việc sử dụng mô hình toán trong việc dạy học vật lí như dạy lí thuyết, ôn tập
chương nhưng chưa quan tâm nhiều đến việc sử dụng mô hình toán để bồi

dưỡng kiến thức, kĩ năng toán học cho học sinh trong dạy học vật lí. Luận văn
này hy vọng sẽ đóng góp thêm một số thông tin về vấn đề đó.
3. Mục tiêu nghiên cứu
Sử dụng các mô hình toán học trong dạy học vật lí phần " Dao động cơ
"vật lí 12 chương trình nâng cao, để bồi dưỡng kiến thức toán học trong quá
trình dạy học vật lí (DHVL) nhằm nâng cao hiệu quả quá trình DHVL ở
trường phổ thông (PT).
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về phương pháp mô hình trong dạy học vật lí.
- Xác định kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết để học sinh học tốt phần
"Dao động cơ" , vật lí 12, chương trình nâng cao.
- Thiết kế các mô hình nhằm bồi dưỡng kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết
để học sinh học tốt phần "Dao động cơ" vật lí 12, chương trình nâng cao.
- Thiết kế tiến trình dạy học sử dụng các mô hình toán học đã xây dựng.
- Thực nghiệm sư phạm và đánh giá hiệu quả của các mô hình toán học và
tiến trình dạy học đã xây dựng.
5. Phạm vi nghiên cứu
Sử dụng mô hình toán học để bồi dưỡng kiến thức, kĩ năng toán học trong
DH chương "Dao động cơ " vật lí lớp 12 chương trình nâng cao.

3

6. Mẫu khảo sát
- HS lớp 12 trường THPT An Lão - Hải Phòng
- GV vật lí ở trường THPT An Lão - Hải Phòng kết hợp với giáo viên dạy
học môn Toán 12 trường THPT An Lão - Hải Phòng
7. Vấn đề nghiên cứu
- Tìm hiểu kiến thức và kĩ năng toán học cần thiết để học sinh học tốt vật
lí lớp 12, đặc biệt là chương “ Dao động cơ ” chương trình nâng cao.
- Sử dụng mô hình toán học để bồi dưỡng, giúp HS lớp 12 THPT, chương

trình nâng cao học tốt môn vật lí . Đặc biệt là chương “ Dao động cơ ”
8. Giả thuyết nghiên cứu
Việc sử dụng mô hình toán học nhằm bồi dưỡng kiến thức và rèn luyện kĩ
năng toán học trong DH vật lí sẽ giúp học sinh hiểu sâu sắc về kiến thức và
bản chất vật lí, đồng thời giúp cho học sinh có thể phát triển kĩ năng giải bài
toán vật lí bằng công cụ toán học.
9. Phƣơng pháp nghiên cứu
9.1. Nghiên cứu lí luận
- Nghiên cứu cơ sở lí luận để làm sáng tỏ vai trò của PP mô hình trong dạy
học Vật lí
- Tìm hiểu chương trình vật lí phổ thông, các giáo trình, tài liệu hướng dẫn
học chương “Dao động cơ” lớp 12 THPT chương trình nâng cao, nghiên cứu
nội dung sách giáo khoa và những tài liệu tham khảo có liên quan để xác định
mức độ nội dung và yêu cầu cần nắm vững về vật lí.
- Tìm hiểu mối liên quan giữa vật lí và toán học trong chương “ Dao động
cơ ” lớp 12 THPT thuộc chương trình nâng cao.
9.2. Nghiên cứu thực tiễn
- Tìm hiểu nội dung chương trình, phương pháp và hình thức tổ chức việc
sử dụng mô hình toán học trong dạy học vật lí
- Điều tra thực tiễn việc sử dụng mô hình toán học trong dạy học vật lí tại
4

trường THPT An Lão - Hải Phòng. Đặc biệt là: việc sử dụng mô hình toán
học trong chương “ Dao động cơ ” lớp 12 THPT thuộc chương trình nâng cao.
9.3. Thực nghiệm sư phạm
- Tiến hành giảng dạy song song nhóm đối chứng và nhóm thực nghiệm ở
trường THPT An Lão - Hải Phòng theo phương án đã xây dựng.
- Trên cơ sở phân tích định tính và định lượng kết quả thu được trong quá
trình thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của các
biện pháp do đề tài đưa ra.

9.4. Thời gian tiến hành thực nghiệm sư phạm
- Từ tháng 08 năm 2012 đến tháng 09 năm 2012.
- Địa điểm: Trường THPT An Lão – Huyện An Lão – Thành phố Hải Phòng
10. Các luận cứ khoa học
Khái niệm về mô hình rất quan trọng với tất cả khoa học Vật lí cũng
như công nghệ. Khi áp dụng các nguyên lý Vật lí học vào một hệ vật lí ta luôn
sử dụng các mô hình lý tưởng. Một số mô hình dễ dàng nhận biết được bằng
các giác quan trong khi việc quan sát trên vật thật có khi gặp khó khăn.
Nhờ tính đơn giản của mô hình toán học mà nhà nghiên cứu có thể nắm
chắc những vấn đề cơ bản nhất của thực tế khách quan, khái quát hoá chúng
và rút ra được những quy luật một cách rõ ràng tránh được sự nhầm lẫn.
Nhiều kiến thức toán và phương pháp giải bài tập vật lí có thể mô hình
hóa một cách trực quan giúp học sinh phát triển kiến thức và kĩ năng toán học
để học vật lí đạt hiệu quả cao.
11. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo, phụ lục,
nội dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài.
Chương 2: Tổ chức việc bồi dưỡng kiến thức toán học trong dạy học vật lí
ở trường phổ thông chương “Dao động cơ ” vật lí 12, chương trình nâng cao
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.
5

CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

1.1.Vai trò của toán học trong dạy và học vật lí ở trƣờng phổ thông
1.1.1. Mối quan hệ giữa toán học và vật lí
Toán học ra đời cách đây hơn hai ngàn năm và thực tế đã chứng minh
rằng toán học là một khoa học ở đỉnh cao trí tuệ của loài người. Toán học xâm

nhập vào hầu hết các ngành khoa học khác và là nền tảng của nhiều lí thuyết
quan trọng. Galileo có câu nói nổi tiếng “Thiên nhiên là một cuốn sách viết
bằng ngôn ngữ toán học”. Từ thế kỷ XVII những con số và những khái niệm
trừu tượng đều gắn liền với vật lí. Đâu là nguyên nhân mà vật lí lại gắn liền
hữu cơ với toán học như vậy? Eugene Wigner, giải Nobel Vật lí 1963 nói
rằng nguyên nhân đó là “tính hiệu quả to lớn” của toán học. Chính toán học
đã làm đột sinh tính thống nhất và các định luật cơ bản trong lĩnh vực mà các
quan sát đơn thuần chỉ dẫn đến sự vô trật tự và bất thường của hiện tượng. Để
hiểu điều này không có gì hay hơn là lấy một ví dụ cụ thể mà các nhà khoa
học CNRS đang nghiên cứu. Đặc biệt là vai trò của toán học đối với vật lí
học. Nhìn vào sự phát triển của toán học ta có thể chia làm ba thời kỳ lớn:
1.1.1.1. Thời kỳ cổ đại: toán học sơ cấp
Thời kỳ này bắt đầu từ thế kỷ thứ V trước công nguyên đến thế kỷ thứ
XVII. Trong thời kỳ này đã có những bức vẽ cho thấy kiến thức về toán học
và đo thời gian dựa trên bầu trời sao, đếm số các vì sao trên bầu trời, cũng
như sự xuất hiện các số nguyên tố và phép nhân của người Ai cập cổ đại rồi
đến người Hy Lạp, Trung Hoa…Trên cơ sở tìm hiểu tự nhiên từ cổ xưa, loài
người đã phải dùng toán học để phục vụ cho cuộc sống của mình. Thời kỳ
này, có thể nói toán học chỉ nghiên cứu về các đại lượng bất biến, tức là các
đại lượng có giá trị cố định không thay đổi theo thời gian và không gian.
Nhưng với sự phát triển của toán học đã giúp con người có tư duy và những
6

lập luận chính xác, chặt chẽ. Trên cơ sở đó toán học đã đóng góp một phần
quan trọng vào tư duy logic hình thức của con người. Chẳng hạn trong giai
đoạn này xuất hiện những khái niệm bằng nhau, khái niệm bắc cầu là bất
biến, bất động và cố định. Ví dụ như có khái niệm a = b, b = c thì họ có thể
suy ra a = c là bất biến. Khi toán học thời kỳ này ra đời thì các ngành khoa
học khác chưa được phát triển mà chỉ có cơ học và thiên văn học được phát
triển. Dựa trên sự phát triển của toán học trong giai đoạn này mà cơ học

Newton đã lấy sự bất biến, cố định của toán học làm chuẩn mực để tính toán
và Newton cho rằng khối lượng của một vật là một đại lượng bất biến. Cùng
với sự phát triển của toán học, vật lí học cũng phát triển mạnh mẽ đặc biệt là
cơ học dựa trên các định luật của Newton. Sự phát triển của cơ học Newton
đã giúp con người giải thích về sự vận động của cơ học cổ điển. Nhưng do
dựa trên các đại lượng bất biến, mọi người cho rằng thế giới này là cố định,
bất biến và không đổi. Điều này tạo cơ sở cho sự hình thành một chủ nghĩa
duy vật siêu hình máy móc mà chính điều này làm cản trở sự phát triển của
toán học cũng như các ngành khoa học khác trong đó có cả vật lí học. Nhưng
với sự phát triển của số học và hình học trong giai đoạn này cũng tạo ra cho
con người những cơ sở đầu tiên để hình thành phép biện chứng đơn giản nhất
về thế giới. Bên cạnh đó sự ra đời của số thực và số ảo, giữa vô hạn và hữu
hạn… cũng cho con người có những cái nhìn khách quan hơn về thế giới.
Tuy nhiên trong thời kỳ này toán học chỉ dừng lại ở việc góp phần hình
thành và củng cố thế giới quan của chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc.
Nhưng điều quan trọng là toán học và vật lí học đã thiết lập được mối quan hệ
mật thiết với nhau. Nhờ có toán học mà vật lí học có thể giải thích được nhiều
hiện tượng tự nhiên và trên cơ sở đó có thể phát triển thành các định luật một
cách rõ ràng và dễ hiểu. Những điều phát triển của toán học góp phần to lớn
vào việc giảng dạy, giải thích các vấn đề về lí thuyết và thực nghiệm trong vật
lí học. Do đó con người ngày càng tìm hiểu được nhiều hiện tượng của giới tự
7

nhiên, áp dụng cho cuộc sống con người. Với thời gian, trí tuệ và tư duy con
người ngày càng phát triển đòi hỏi phải có những giải thích chính xác và thuyết
phục hơn, do vậy toán học cũng là công cụ nghiên cứu các vấn đề có liên quan
đến sự biến đổi của tự nhiên và quá trình tiến hóa về nhận thức con người.
1.1.1.2. Thời kỳ cổ điển: toán học về các đại lượng biến đổi
Thời kỳ này bắt đầu từ thế kỷ thứ XVIII đến cuối thế kỷ thứ XIX.
Những biến đổi và vận động của tự nhiên cũng như sự phát triển của xã hội

ngày mạnh, toán học về các đại lượng bất biến, cố định không thể giải thích
thỏa đáng cho nhận thức của con người đã dẫn đến sự ra đời của toán học về
các đại lượng biến đổi. Ở giai đoạn này các nhà kinh điển học thường chú ý
đến toán học bởi lẽ những quan niệm về sự vận động và các mối liên hệ của
nó với các khoa học khác chặt chẽ và phát triển hơn. Sự ra đời của các đại
lượng biến đổi trong không gian Đề - Các đã được các nhà khoa học đánh giá
là một bước ngoặt trong toán học. Trên cơ sở những đại lượng biến đổi của
Đề - Các mà toán học đã phát triển một cách vượt bậc để hình thành các phép
tính vi phân và tích phân. Nhờ vận dụng các lập luận của toán học giải tích và
phép tính vi phân người ta đưa ra các khái niệm như hàm số, giới hạn hàm số,
tính liên tục của hàm số, gián đoạn của hàm số, số gia, vô hạn, hữu
hạn…Điều này chứng tỏ toán học đã nghiên cứu đến sự vận động, biến đổi
của các đại lượng ở những khía cạnh rất quan trọng và có ý nghĩa. Có thể nói
rằng đây là những ý tưởng mới về sự kế thừa và phát triển của toán học với
giai đoạn trước đó, nó góp phần thay đổi về cách tư duy khoa học của con
người. Nó xoá bỏ tư duy logic hình thức chịu sự chi phối của các khái niệm,
các phạm trù bất biến của toán học sơ cấp thời kỳ cổ đại. Với hệ tư tưởng mới
này, con người có cái nhìn mới về thế giới, về cách tư duy các hiện tượng tự
nhiên. Có thể nói giai đoạn này con người tư duy về các hiện tượng tự nhiên một
cách chi tiết và mềm dẻo hơn. Chẳng hạn muốn đo độ dài của một đường cong
thì dựa vào giới hạn ta có thể coi (hay phải xem) đường cong là giới hạn của
những đường thẳng thì từ đó ta có thể đo được chiều dài của đường cong đó…
8

Có thể cho rằng toán học giai đoạn này là bước đầu hình thành tư duy
biện chứng và là cơ sở khoa học của logic biện chứng. Sự ra đời của tư tưởng
vận động và các đại lượng biến đổi như một đòn mạnh giáng vào chủ nghĩa
siêu hình, cởi bỏ được quan điểm trung tâm đó là: tính bất di bất dịch, tính
tuyệt đối của tự nhiên. Cũng trong giai đoạn này với sự ra đời của phép tính vi
phân, toán học giải tích đã giúp cho các nhà khoa học một công cụ mới, một

phương tiện mới trong việc nhận thức về các sự vật, hiện tượng tự nhiên. Nhờ
sự phát triển này mà các nhà vật lí học mới tìm ra được định luật vạn vật hấp
dẫn, quy luật truyền sóng và quy luật truyền nhiệt ở thế kỷ XVIII. Đầu thế kỷ
XIX Anhxtanh cho ra đời thuyết tương đối, đó là sự biến đổi của cả không
gian và thời gian nó cho con người cái nhìn hoàn toàn mới về tự nhiên.
Như vậy có thể nói, thông qua vật lí học, toán học đã đóng góp vào thế
giới quan, thay chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc bằng chủ nghĩa duy vật
biện chứng. Với lý thuyết khoa học hiện đại là sự ra đời của thuyết tương đối
Anhxtanh đã cho thấy rằng khối lượng là biến đổi, không gian và thời gian là
tách rời nhau.
Một thành tựu đáng kể trong giai đoạn này là sự ra đời của toán học
thống kê - xác suất. Tư tưởng này đã hình thành trong tư duy của con người
các khái niệm ngẫu nhiên, biến cố. Những khái niệm này làm con người thay
đổi tư duy về thế giới đó là không chỉ có những cái tất nhiên mà còn có cả
những cái ngẫu nhiên và chúng có mối liên hệ chặt chẽ, qua lại, bổ sung cho
nhau trong quá trình hình thành và phát triển. Nó tạo cho con người một quan
niệm mới, mềm dẻo hơn và chính xác hơn về sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các
sự vật, các hiện tượng, các quá trình và các định luật… Sự tồn tại của cái
ngẫu nhiên bổ sung vào bức tranh chung của các ngành khoa học. Trên cơ sở
đó ngành vật lí thống kê ra đời để tìm xác suất một vật tồn tại tại một vị trí
nào đó trong không gian.
9

Tóm lại, nhờ toán học hình thành các tư tưởng vận động, biến đổi và
liên hệ giữa thống kê - xác suất đã làm thay đổi quan điểm của con người về
tư duy khoa học sang một giai đoạn mới. Vật lí học và toán học trong giai
đoạn này cũng gắn bó mật thiết với nhau, làm tiền đề cho nhau cùng phát
triển. Nó giúp con người hiểu sâu sắc hơn về các hiện tượng và định luật vật
lí. Bên cạnh đó toán học cũng góp phần đắc lực vào nghiên cứu, giảng dạy lí
thuyết và thực nghiệm vật lí. Tuy nhiên toán học thời kỳ này cũng còn nhiều

hạn chế nhất định của nó. Bởi nó chưa đáp ứng được nhu cầu của nền sản xuất
chuyển từ cơ khí hoá sang tự động hoá và sự phát triển của khoa học mới từ
giai đoạn phân tích và thực nghiệm sang khoa học liên .Sự phát triển của khoa
học vật lí học nói riêng đòi hỏi toán học phải nghiên cứu sâu hơn về cấu trúc
vật chất. Trong thời đại của khoa học công nghệ càng đòi hỏi phải sử dụng
thuật toán trong máy móc. Cho nên toán học phải chuyển sang một thời kỳ mới
khó khăn và đa dạng hơn, nhưng cũng đầy ý nghĩa cho cuộc sống con người.
1.1.1.3. Thời kỳ hiện đại: toán học về các vấn đề cấu trúc
Thời kỳ này bắt đầu từ cuối thế kỷ XIX đến nay. Giai đoạn này các nhà
toán học thường là những người biệt lập, chỉ nghiên cứu riêng lĩnh vực của
mình, không như ngày xưa các nhà toán học có thể là các nhà vật lí, triết học,
sinh học,…Toán học trong thời kỳ này nhanh chóng trở nên trừu tượng hơn,
sâu sắc hơn. Trong lí thuyết toán học phải nói đến các công trình cách mạng
về hàm số với biến phức trong hình học và sự hội tụ của các chuỗi. Gauss đã
đưa ra chứng minh đầu tiên cho định lí cơ bản về đại số và luật tương hỗ bậc
hai. Thời kỳ này cũng chứng kiến sự phát triển của hình học phi Ơclit, hình
học hyperbolic, hình học Eliptic…Tính đến thế kỷ XX toán học đã tăng với
một tốc độ cực nhanh thậm chí nó động chạm đến hầu hết các lĩnh vực quan
trọng của mọi khoa học. Dựa trên cơ sở của toán học, vật lí học đã phát triển
và tìm ra cách tính điện trường và từ trường…
10

Trong giai đoạn này thành tựu nổi bật nhất của toán học chính là tư
tưởng về cấu trúc. Tư tưởng này cho chúng ta tiếp cận mọi sự vật, hiện tượng
một cách trừu tượng hóa, khái quát hóa các đối tượng có bản chất rất khác
nhau để tìm ra quy luật chung. Nói theo ngôn ngữ toán học có nghĩa là có sự
tương tự về mặt cấu trúc hay có sự đẳng cấu giữa những lĩnh vực có bản chất
khác nhau. Đây cũng chính là một trong những phương pháp hữu hiệu cho
chúng ta nghiên cứu vật lí sau này.
Có thể nói rằng tư tưởng cấu trúc là một trong những cơ sở lí luận cho

sự ra đời của các khoa học tổng hợp như logic toán, toán lí, toán sinh, toán
kinh tế, tin học, điều khiển học…Về mặt thực tiễn thì chính tư tưởng này cho
chúng ta hiểu biết sự tương tự về cấu trúc giữa các quá trình diễn ra trong giới
tự nhiên, sự sống và xã hội. Trên cơ sở đó người ta đã chế tạo ra hệ thống
máy móc tự động và hoạt động theo cơ chế tương tự như bộ não và các giác
quan của con người. Các khoa học khác như vật lí học, sinh học cũng góp
phần quan trọng vào những luận chứng này, làm cho nó ngày càng thực sự có
ý nghĩa và tầm quan trọng đối với đời sống của con người. Có thể nói rằng
các lí thuyết về toán học ngày càng đi sâu vào những luận chứng cho tư tưởng
thống nhất vật chất của thế giới.
Trong giai đoạn này vật lí hạt nhân được phát triển nhờ toán học từ một
phương trình có thể diễn tả sự phân hủy của chất phóng xạ. Dựa vào tư tưởng
cấu trúc các nhà khoa học đã phát hiện ra các mối liên hệ, các quan hệ và sự
thống nhất giữa các lí thuyết vật lí khác nhau. Đến đây phải nói đến những cơ
sở lí thuyết trừu tượng của toán học giúp con người phát hiện ra những hạt
mới trong vật lí trước khi chúng được phát hiện bằng thực nghiệm. Chẳng hạn
trong cơ học lượng tử nhờ biểu diễn nó bằng một phương z căn bậc hai mà
con người đã phát hiện ra hạt pozitron. Phương trình này giúp các nhà vật lí
ban đầu có căn cứ dự đoán rằng ngoài electron còn tồn tại một hạt khác có
một số tính chất vừa giống điện tử nhưng vừa khác điện tử về dấu của điện
11

tích. Đó là hạt pozitron. Trên cơ sở đó mà về sau này các nhà vật lí học đều
tìm được các phản hạt của phần lớn các hạt cũng tìm ra được bằng cách tương
tự như pozitron.
Toán học hiện đại góp phần quan trọng vào sự nhận thức tạo nên những
cơ sở nền tảng tổng hợp tri thức vốn chứa đựng những luận điểm của thế giới
quan duy vật biện chứng về sự thống nhất của thế giới. Nó có sự ảnh hưởng
đến quá trình phát triển của khoa học tự nhiên hiện đại, đặc biệt hơn là tiếp cận
thế giới vi mô trong vật lí học. Đây là ngành khoa học vật lí đang được phát

triển nhanh chóng trong thời kỳ này - thời kỳ nghiên cứu các hạt siêu nhỏ.
Vào những năm 1970 nhà vật lí lỗi lạc người Anh là Stephen Hawking
đã chứng minh rằng các lỗ đen, những thiên thể có khả năng nuốt mọi vật kể
cả ánh sáng khi rơi vào vùng tác động của chúng, có phát ra một bức xạ yếu,
đó là bức xạ Hawking. Lỗ đen bức xạ giống như một hòn than nóng, với nhiệt
độ tỷ lệ nghịch với khối lượng. Đây là một tin mừng đối với các nhà vật lí lý
thuyết vì kết quả này đã rọi một tia sáng vào vấn đề số một của vật lí hiện đại:
thống nhất lý thuyết tương đối tổng quát của Einstein với lý thuyết lượng tử
ngự trị trong thế giới vi mô. Song cũng là một thách thức khó vượt qua đối
với các nhà vật lý thực nghiệm vì bức xạ Hawking quá yếu để có thể ghi đo
được. Triển vọng ghi đo được bức xạ Hawking nhờ sử dụng toán học.
Năm 1981 Bill Unruh, Đại học Colombia chứng minh được rằng những
đặc trưng của lỗ đen không phải là những thuộc tính riêng của lỗ đen. Nói cụ
thể hơn nếu thay hấp dẫn bằng sự chảy của một chất lỏng và các sóng ánh
sáng bằng những sóng trên mặt nước thì người ta lại thu được cùng một hiện
tượng vật lý. Germain Rousseaux, phòng thí nghiệm Jean-Alexandre-
Dieudonné, Nice giải thích như sau: Ở đây toán học cho phép chứng minh
một cách định lượng sự tương đương giữa hai hiện tượng tuy biểu kiến khác
lạ nhau song lại được điều khiển bởi cùng những phương trình toán học. Nhà
vật lý này đang tiến hành thực nghiệm ghi đo bức xạ Hawking ngay trong một
12

bể tạo sóng tại phòng thí nghiệm Acri. Trong thí nghiệm này bức xạ Hawking
sẽ có dạng những sóng con phát ra từ một vùng của bể tạo sóng, ở đấy một
sóng đang lan truyền bị chặn bởi một dòng nước ngược chiều. Toán học đóng
vai trò giúp gỡ rối và hệ thống hóa những dữ liệu đa dạng thu được từ các thí
nghiệm. Germain Rousseaux giải thích thêm: Để thể hiện vai trò này chúng
tôi đã đưa vào cách mô tả hiện tượng những công cụ toán học của các hệ động
học, vốn được sử dụng trong việc nghiên cứu sự tiến triển theo thời gian của
các hệ như Thái dương hệ. Phương thức này chứng tỏ rằng khi chúng ta sử

dụng những công cụ toán học càng phức tạp bao nhiêu thì chúng ta sẽ thu
được càng nhiều chi tiết vật lí quan trọng bấy nhiêu.Toán học giống như một
ống kính phóng đại đối với vật lí. Trong một số trường hợp, toán học lại là
phương tiện duy nhất để tiếp cận một hiện tượng, như các hiện tượng xảy ra
trong lò phản ứng nhiệt hạch thí nghiệm quốc tế ITER (International nuclear
fusion research project) đang được xây dựng tại Cadarache. Đây là một lò có
mục tiêu kiểm tra tính khả thi của tổng hợp hạt nhân như là một nguồn năng
lượng mới. Trong một lò như thế, một chất khí ion hóa bị giam giữ bởi một từ
trường mạnh và được đốt nóng đến nhiệt độ vài 100 triệu độ! Không một
thùng lò thông thường nào có thể chịu đựng được. Cách tiếp cận ở đây là thu
thập những dữ liệu thực nghiệm trên mặt plasma. Sau đó đưa vào một mô
hình toán học để tính toán mọi điều có thể xảy ra ở tâm lò. Nhà vật lí Jacques
Blum cùng làm việc tại Phòng thí nghiệm Jean-Alexandre-Dieudonné, Nice
giải thích thêm: Cần phải giải gần đúng những phương trình. Nhiệm vụ của
nhà toán học là kiểm tra xem trong mức độ xấp xỉ (approximation) nào thì lời
giải tương thích với thực tại của bài toán đặt ra ban đầu. Với ITER người ta
cần biết những thông số trong thời gian thực (temps reél) để kiểm tra thực
nghiệm. Như vậy cần phát triển những thuật toán hiện đại nhanh và đáng tin
cậy. Sáng tạo liên tục. Lẽ dĩ nhiên những phương trình mô tả quá trình đã
được biết từ lâu nhờ thủy động học. Song những kỹ thuật toán mới hiện đại
13

phải được sáng tạo liên tục để giải những phương trình phức tạp trong những
điều kiện thực tế. Pierre Degond, Viện toán Toulouse, một nhà khoa học tham
gia dự án ITER đã phát biểu: Điều này đòi hỏi sự phát triển một công nghệ
toán học thực thụ - với mục tiêu giải quyết những vấn đề gai góc trong tương
tác giữa những kích cỡ không gian khác nhau từ kích cỡ vài nguyên tử đến
kích cỡ toàn khối plasma. Hiện nay các triết gia về khoa học cũng không phải
tất cả đồng thuận với câu phát biểu của Galileo. Song một điều chắc chắn là
không toán học thì vật lí không tồn tại.

Nói tóm lại trong thời kỳ hiện đại này toán học có mối quan hệ chặt chẽ
với vật lí học trong mọi lĩnh vực, nhờ đó mà vật lí học được phát triển và tìm
ra được những điều mới trên cơ sở phát minh của toán học. Nó tạo cho con
người hiểu một cách sâu sắc hơn về các hiện tượng vật lí, định luật vật lí và
giúp cho các thế hệ sau này nghiên cứu vật lí một cách dễ dàng hơn, logic và
có giá trị với cuộc sống con người.
1.1.1.4. Mối liên hệ giữa toán học và vật lí học qua mỗi thời kỳ phát triển của nó
Ta thấy rằng sự phát triển của toán học qua mỗi thời kỳ có sự tiếp nối
nhau, mỗi thời kỳ phát triển đều tuân theo một logic nhất định của nó. Điều
này nó phản ánh tiến trình phát triển nội tại của toán học và của cả những
nhân tố bên ngoài tác động vào toán học. Trong đó phải kể đến những quan
điểm của thế giới quan khác nhau tác động vào toán học và điều này mang
tính biện chứng sâu sắc, nó là quá trình vừa kế thừa vừa đổi mới về chất giữa
các thời kỳ. Những kiến thức toán học ở thời kỳ sau chung hơn, sâu sắc hơn,
đa dạng hơn thời kỳ trước và nó bao quát những trường hợp của thời kỳ trước.
Vì vậy trong từng thời kỳ phát triển của mình, toán học đã góp phần hình
thành luận chứng của thế giới quan duy vật biện chứng nói chung và vật lí học
nói riêng. Ta thấy rằng thông qua vật lí học, toán học đã đóng góp vào cuộc
cách mạng của thế giới thay chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc dựa trên cơ
học Newton bằng chủ nghĩa duy vật biện chứng. Khi các nhà vật lí học đưa ra
14

những luận điểm của mình đòi hỏi họ phải tìm ra những công thức và quy luật
để chứng minh điều đó là có lí và khi đó các nhà vật lí học cũng là các nhà
toán học. Toán học phát triển giải thích được các hiện tượng vật lí, định luật
vật lí là do sự hiểu biết của con người ngày càng nâng cao. Khi nhận thức
được nâng cao thì con người lại tìm và phát hiện ra những hiện tượng và quy
luật mới. Những quy luật này góp phần vào cải tạo tự nhiên và áp dụng cho
cuộc sống của con người. Cứ như vậy khi toán học và vật lí học có tác dụng
tương hỗ và thúc đẩy nhau cùng phát triển.

Như vậy toán học và vật lí học có mối quan hệ biện chứng với nhau, nó
dựa vào nhau để cùng phát triển. Vật lí học sử dụng những công cụ toán học
có sẵn, đồng thời lại đặt ra những yêu cầu mới đối với toán học và toán học đã
trở thành một công cụ đắc lực cho việc nghiên cứu vật lí học. Thực tế chứng
minh rằng nếu thiếu công cụ toán học thì vật lí học không thể phát triển được.
1.1.2. Vai trò của toán học trong lĩnh vực vật lí học
Như trên đã trình bày toán học thực sự có vai trò to lớn trong sự phát
triển của vật lí học và vật lí học phát triển cũng góp phần cho toán học phát
triển nhanh và mạnh hơn. Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu vai trò của toán học
trong dạy học vật lí qua các thời kỳ phát triển của nó.
1.1.2.1. Thời tiền sử
Ta biết rằng trong thời cổ đại nhu cầu sản xuất đã làm nẩy sinh những
mầm mống ban đầu của thiên văn học và toán học, nhưng chưa có mầm mống
về vật lí học, mặc dù đã có vài tri thức về cơ học. Đến thời cổ Hy Lạp các
ngành khoa học và nghệ thuật ra đời và phát triển, các phép tính số học cũng
được phát triển. Trong thời kỳ này thì người Babilon dạy thanh niên áp dụng các
tri thức có sẵn, còn người Hy Lạp thì dạy thanh niên phương pháp tự mình tìm ra
tri thức mới. Điều này khiến người Hy Lạp trở thành cái nôi của nền văn minh
thế giới. Người Hy Lạp cổ đại đã xuất hiện nghề bác học để nghiên cứu sự khôn
ngoan và nghề thày giáo để dạy sự khôn ngoan cho người khác.
15

Trong thời kỳ tiền sử toán học chỉ nghiên cứu về các đại lượng bất biến,
cố định. Nhưng trong giai đoạn này cơ học và thiên văn học cũng đồng thời
phát triển. Nhà vật lí học Newton sống trong thời mà các lĩnh vực cơ học,
toán học, quang học hình thành đã chín muồi để dẫn đến những phát minh có
tính tổng hợp và lập nên những học thuyết hoàn chỉnh. Ông đã có những đóng
góp xuất sắc vào cả ba lĩnh vực đó. Nhưng điều nổi trội nhất của ông là trong
lĩnh vực cơ học.
Ở thời đó các nhà thiên văn học dựa trên sự phát triển của toán học đã

cho rằng các sao bất động được gắn trên mặt cầu ở rất xa Trái Đất, và mặt cầu
này quay tròn đều quanh một tâm điểm trùng với tâm Trái Đất. Mặt Trời, Mặt
Trăng và các hành tinh khác cũng quay tròn quanh Trái Đất, nhưng chuyển
động của các hành tinh có một điều rất lạ là có những lúc hành tinh dừng lại
trên quỹ đạo, quay ngược lại, rồi tiếp tục sau đó lại quay về phía trước. Để
giải thích sự không bình thường đó, có người cho rằng mỗi hành tinh quay
trên một vòng tròn nhỏ và tâm của vòng tròn nhỏ đó nằm trên một vòng tròn
lớn có tâm là tâm Trái Đất. Cũng có người cho rằng mỗi hành tinh quay đều
trên một vòng tròn và tâm của các vòng tròn này không trùng với nhau và
không trùng với tâm Trái Đất.
Bằng cách sử dụng các kiến thức toán học trong thời kỳ này, người ta
tính toán và dẫn đến những kết quả là như nhau và cũng có thể xác định được
vị trí của các hành tinh trên bầu trời vào các thời điểm khác nhau trong năm.
Trước Copecnic có hệ địa tâm với nội dung: Mọi hành tinh kể cả Mặt
trời đều quay quanh Trái đất; Trái đất đứng yên.
Thuyết nhật tâm của Copecnic: Mặt trời là trung tâm của vũ trụ và đứng
yên, mọi hành tinh khác quay quanh nó.
Đặc biệt trong thời kỳ này cơ học Newton phát triển mạnh mẽ nó
nghiên cứu về chuyển động của các vật với khối lượng là bất biến. Quan niệm
này chi phối hầu hết các quan điểm nghiên cứu sự vật và hiện tượng của thế
16

giới tự nhiên. Tổng kết lại Newton đã đưa ra ba định luật mang tên mình đó là
cơ sở cho toàn bộ cơ học cổ điển.
Nhờ các định luật này kết hợp với các mô hình toán học đã giải thích
được tương đối đầy đủ và chính xác các chuyển động cơ học như: Động học
chất điểm, động lực học chất điểm, tĩnh học vật rắn, cơ học chất lưu và các
định luật bảo toàn…Trên những cơ sở đó học sinh có thể nhận biết và giải
thích được sơ bộ những hiện tượng tự nhiên liên quan đến cuộc sống con
người bằng công cụ toán học. Có thể cho rằng nếu không có công cụ toán học

thì con người chỉ biết những hiện tượng vật lí dưới dạng lí thuyết định tính mà
không thể giải thích bằng những biểu thức định lượng được.
1.1.2.2. Thời kỳ phát minh ra vi phân, tích phân
Trên cơ sở của sự vận động và biến đổi, toán học được phát triển sớm
hơn so với các môn khoa học tự nhiên thực nghiệm khác. Nhờ sự phát triển
đó, các nhà toán học đã tìm ra phép tính vi phân và tích phân. Trong các lập
luận của mình các nhà toán học đã dùng các khái niệm như: hàm số, tính liên
tục và tính gián đoạn, tính vô hạn và hữu hạn,…
Ví dụ: Khi nghiên cứu chuyển động của con lắc lò xo hoặc con lắc đơn
các nhà vật lí thấy rằng nếu bỏ qua được ma sát thì chuyển động của nó sẽ
được lặp đi lặp lại nhiều lần quanh vị trí cân bằng mà người ta gọi là dao động
điều hoà. Nhưng phải làm thế nào bằng định lượng ta chứng minh được nó là
dao động điều hoà. Nghĩa là cần phải biểu diễn dao động điều hòa bằng một
phương trình cụ thể nào đó. Toán học đã tìm được các hàm số lượng giác như
các hàm sin và cosin, những hàm này hoàn toàn có thể mô tả một đại lượng
biến thiên điều hoà. Như vậy trên cơ sở toán học, người ta đã chứng minh
được rằng chuyển động của con lắc là dao động điều hòa và phương trình
toán học cụ thể của nó là các hàm sin hoặc cosin.
Qua phép phân tích lực tác dụng vào vật, dựa trên định luật II Newton
và đạo hàm của li độ: v = x' và a = v' = x'', ta thành lập được phương trình cụ
thể cho dao động điều hòa trong vật lí học là:
17

x''+ 
2
x = 0.
Đây là phương trình vi phân bậc hai, mà nghiệm của nó là một hàm sin
hoặc cosin theo thời gian.
Phương trình trên đã chứng minh rằng một dao động điều hòa có thể
biểu diễn dưới dạng phương trình toán học:

x =A.cos(t+).
Cũng nhờ đạo hàm của hàm số ta có thể tìm được vận tốc và gia tốc của
vật trong dao động điều hoà được mô tả bằng các phương trình sau:
v = x' = - Asin(t+).
a = v' = x'' = - A.cos(t+).
Hơn thế nữa, dựa trên cơ sở toán học ta có thể đưa ra nhận xét rằng:
vận tốc và gia tốc của vật cũng biến thiên điều hòa.
Cùng với sự phát triển của toán học trong giai đoạn này, các nhà vật lí
đã tìm ra định luật vạn vật hấp dẫn, những quy luật truyền sóng và truyền
nhiệt. Đặc biệt hơn nữa các bài tập vật lí muốn giải được đều phải dựa trên
các công cụ toán học. Bởi vậy toán học không những là công cụ để giải các
bài toán vật lí thậm chí nó còn là một phương thức hữu hiệu để giải quyết các
bài toán của vật lí.
Có thể nói rằng nếu không có sự ra đời của toán học thì vật lí học chỉ là
những hiện tượng và định luật viết bằng lời, giải thích bằng những suy luận lí
thuyết về mặt định tính mà thôi. Người học không hiểu sâu sắc được các hiện
tượng và định luật vật lí đó. Những bài tập vật lí cũng không thể giải được
nếu không có sự ra đời của các công thức và mô hình toán học.
1.2.2.3. Thời kỳ hiện đại
Ta thời kỳ này thành tựu nổi bật nhất của toán học là tư tưởng cấu trúc
như đã trình bày ở phần trước nó cho phép chúng ta tiếp cận các đối tượng
khác nhau một cách khái quát hoá và trừu tượng hoá sự vật đó rồi tìm ra quy
luật chung . Về mặt thực tiễn, toán học kết hợp với vật lí học trong giai đoạn