skkn ​bán dẫn siêu mạng (superlattice hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam trương thpt tân mai

BÁN DẪN THẤP CHIỀU - PHẦN 2
HỆ SỐ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BỞI ĐIỆN TỬ GIAM
CẦM TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
Bán dẫn siêu mạng (superlattice) là vật liệu bán dẫn có cấu trúc tuần hoàn nhân
tạo gồm các lớp bán dẫn thuộc hai loại khác nhau có độ dày cỡ nanomet đặt kế tiếp
nhau. Bán dẫn siêu mạng được chế tạo từ một lớp mỏng bán dẫn có độ dày d
A
ký hiệu
là A, độ rộng vùng cấm hẹp
A
g
ε
(ví dụ GaAs) đặt tiếp xúc với lớp bán dẫn mỏng có độ
dày d
B
ký hiệu là B có độ rộng vùng cấm rộng
B
g
ε
(ví dụ AlAs). Các lớp mỏng này đặt
xen kẽ nhau vô hạn dọc theo trục siêu mạng (hướng vuông góc với các lớp trên),
khoảng cách giữa hai lớp bán dẫn liên tiếp d = d
A
+ d
B
gọi là chu kỳ siêu mạng. Trong
thực tế tồn tại nhiều lớp mỏng kế tiếp nhau dưới dạng B/A/B/A…, và độ rộng rào thế
đủ hẹp để các lớp mỏng kế tiếp nhau như một hệ tuần hoàn. Khi đó, điện tử có thể
xuyên qua hàng rào thế di chuyển từ lớp bán dẫn vùng cấm hẹp này sang bán dẫn có
vùng cấm hẹp khác. Do đó điện tử ngoài việc chịu ảnh hưởng của thế tuần hoàn của
tinh thể nó còn chịu thêm ảnh hưởng của một thế phụ. Thế phụ này được hình thành

do sự chênh lệch năng lượng giữa các cận điểm đáy vùng dẫn của hai bán dẫn siêu
mạng và cũng biến thiên tuần hoàn nhưng với chu kỳ lớn hơn rất nhiều so với hằng số
mạng. Hệ điện tử trong siêu mạng hợp phần khi đó là khí điện tử chuẩn hai chiều. Các
tính chất vật lý của siêu mạng được xác định bởi phổ điện tử của chúng thông qua việc
giải phương trình Schodinger với thế năng bao gồm thế tuần hoàn trong siêu mạng.
Dựa vào cấu trúc của hai lớp bán dẫn A và B, người ta chia bán dẫn siêu mạng
thành hai loại: bán dẫn siêu mạng pha tạp và bán dẫn siêu mạng hợp phần.
Như chúng tôi đã giới thiệu ở phần thứ nhất, bài toán về hấp thụ sóng điện từ
yếu bởi điện tử giam cầm trong hệ bán dẫn thấp chiều nói chung và bán dẫn siêu mạng
hợp phần nói riêng đã được nghiên cứu bằng nhiều phương pháp khác nhau, như
phương pháp Kubo-Mori, phương pháp lý thuyết nhiễu loạn,….Tuy nhiên, bài toán về
hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần
vẫn còn bỏ ngỏ. Để hoàn thiện bức tranh vật lý về sự hấp thụ sóng điện từ mạnh trong
bán dẫn nói chung, bán dẫn siêu mạng nói riêng. Chúng tôi nghiên cứu hệ số hấp thụ
phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần, có xét
tới các trường hợp vắng mặt và có mặt từ trường ngoài (có xét tới hai trường hợp: tán
xạ điện tử-phonon âm và tán xạ điện tử-phonon quang)
Siêu mạng hợp phần là loại vật liệu bán dẫn có cấu trúc điện tử chuẩn hai chiều.
Do đó, phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần bị lượng tử hóa. Biểu
thức Hamiltonian tương tác của hệ điện tử-phonon trong siêu mạng hợp phần khi có
mặt trường sóng điện từ ngoài
( ) ( )
0
sinE t E t= Ω
ur ur
có dạng:

( )
0
, ,

,
n
n k n k q q
n k q
e
H k A t a a b b
c
ε ω
⊥
⊥ ⊥
⊥
+ +
 
= − +
 ÷
 
∑ ∑
r r r r
r r
r ur
h
h

( )
( )
, '
', ,
, ',
n n z
q n k q n k q q

q n n k
C I q a a b b
⊥ ⊥
⊥
+ +
+ −
+ +
∑ ∑
r r r r r r
r r
(2.1)
( )
A t
ur
là thế vector của trường điện từ xác định bởi biểu thức:

( )
0
1
sin
d A
E t
c dt
− = Ω
ur
ur
(2.2)
q
C
r

là hằng số tương tác điện tử-phonon, phụ thuộc vào loại cơ chế tán xạ.
Trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang, biểu thức tổng quát của
q
C
r
có dạng:

( )
2
2
0
2 2
0 0
0
21 1 1
q
z
e
C
V
q q
π ω
χ χ
ε
∞
⊥
 
= −
 ÷
+

 
r
h
(2.3)
Trường hợp tán xạ điện tử-phonon âm, hằng số tương tác điện tử-phonon âm
xác định bởi:

2
2
0
q
q
s
D
V
ξ ω
ρυ
=
r
r
h
(2.4)
ρ
là mật độ tinh thể ;
s
υ
là vận tốc sóng âm;
ξ
là hằng số thế biến dạng;
( )

, 'n n z
I q
là
thừa số dạng điện tử trong siêu mạng hợp phần, có dạng:

( ) ( ) ( ) ( )
, ' ' z
0
exp iq
d
N
n n z n n
I q z z z dz
ψ ψ
∗
=
∫
, (2.5)
với
( )
n
z
ψ
là hàm sóng của trạng thái thứ n trong hố thế; d là chu kỳ siêu mạng; N
d
là
số chu kỳ siêu mạng hợp phần. Phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần
có dạng:

( )

2 2
n
osk
2
n n n
k
k c d
m
ε ε
⊥
⊥
∗
= + − ∆
P
r
h
, (2.6)
ở đây
n
ε
là các mức năng lượng trong hố thế biệt lập;
n
∆
là độ rộng mini vùng. Trong
biểu thức (2.1), nếu thay
q
C
r
bằng
q

D
r
ta được biểu thức Hamiltonian tương tác của hệ
điện tử-phonon âm trong siêu mạng hợp phần.
Trường hợp có mặt từ trường ngoài
Khi có mặt trường bức xạ laser
0
sinE E t= Ω
ur ur
đặt vuông góc với trục siêu mạng và
từ trường
B
ur
đặt song song với trục siêu mạng thì Hamiltonian của hệ điện tử phonon -
quang tương tác trong biểu diễn lượng tử hóa lần thứ hai có thể viết:

( )
, 0
, , , ,
, ,
H
n N
B n N k n N k q q
n N k q
e
H k A t a a b b
c
ε ω
⊥
⊥ ⊥

⊥
+ +
 
= − +
 ÷
 
∑ ∑
ur r r r r
r r
r ur
h
h


( ) ( )
( )
, ' , '
', ', , ,
, ', , '
,
n n z N N
q n N k q n N k q q
n n N N
q k
C I q J u a a b b
⊥ ⊥
⊥
⊥
+ +
+ −

+ +
∑ ∑
r r r r r r
r r
(2.7)
ở đây (n, N,
k
⊥
r
) và (n', N’,
k
⊥
r
+
q
⊥
r
) là trạng thái của điện tử trước và sau tán xạ;
, ,n N k
a
⊥
+
r
và
, ,n N k
a
⊥
r
là các toán tử sinh hủy điện tử ở trạng thái (n, N,
k

⊥
r
);
( )
,
z
q q q
⊥
=
r r r
. Phổ
năng lượng của điện tử có dạng:
( )
,
1
cos
2
H n
n N B n
k N k d
ε
 
= Ω + − ∆
 ÷
 
P
r
h

(2.8)
B
eB
m c
∗
Ω =
là tần số cyclotron. Biểu thức
( )
, 'N N
J u
có dạng:

( )
( ) ( )
2 2 2
, ' '
iq r
N N N c c N c
J u e dr r a k a q r a k
ϕ ϕ
⊥
⊥
⊥ ⊥
⊥ ⊥
⊥
∞
−∞
= − − −
∫
r r

r r r r r
(2.9)
Trong đó,
2 2
1
2
c
u a q
⊥
=
;
r
⊥
r
là vector xác định vị trí của điện tử trên mặt phẳng
(x,y);
c
a
là bán kính quỹ đạo điện tử trong mặt phẳng (x,y);
( )
N
x
ϕ
là hàm điều hòa.
Tương tự như cách làm đối với bán dẫn khối, để xây dựng phương trình động
lượng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp phần chúng tôi sử dụng phương trình động
lượng tử tổng quát cho toán tử số hạt (hàm phân bố điện tử)
, , ,n k n k n k
t
n a a

⊥ ⊥ ⊥
+
=
r r r
:

, ,
,
, ,
,
n k n k
n k
t
n k n k
t
a a
n
i i a a H
t t
⊥ ⊥
⊥
⊥ ⊥
+
+
∂
∂
 
= =
 
∂ ∂

r r
r
r r
h h

(2.10) với
t
ψ
là trung bình thống kê của toán tử
ψ
;
µ
µ
( )
W
t
Tr
ψ ψ
=
, (
µ
W
là toán tử
ma trận mật độ). Đặt biểu thức Hamiltonian (2.1) vào (2.10). Các số hạng có trong vế
phải (2.10), lần lượt có giá trị như sau:
Số hạng thứ nhất,

( )
2
2 2 2 2

2
, , ', ,
,
'
, cos 0
2 2
n
n
n k n k n k n k
n k
n e
a a k d k A t a a
m L m c
π
⊥
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⊥
+ +
∗ ∗
 
 
 
− ∆ + − =
 
 ÷
 
 ÷
 
 
 

 
∑
r r r r
P
r
r ur
h h
h
(2.11)
Số hạng thứ hai:
0
, ,
, 0
q
n k n k q q
a a b b
ω
+ +
⊥ ⊥
 
=
 
 
∑
r
r r r r
h
(2.12)
Số hạng thứ ba:

( )
( )
( )
, '
, ,
',
, '
', ,
, ',
,
n n z z
n k n k q q q q
q n k
n n
n k q n k
n n k
a a C I q a a b b C I q
⊥ ⊥
⊥
⊥
+ + +
−
+
⊥ ⊥
 
+ = ×
 
 
 
∑ ∑ ∑

r r r r r r
r r
r r r
r

( ) ( ) ( ) ( )
, ', ', , ', , , ',n k n k q q n k q n k q n k q n k q n k n k q q
a a b a a b a a b a a b
⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
∗ ∗
+ + + +
− − − + + −
 
× + − −
 
 
r r r r r r r r r r r r r r r r

, '
',
', , , ,
, , ', ,
, , ', , ', , , ,
n n
q
n k
F
n k q n k q
n k n k q q

n k n k q q n k q n k q
C I F F F
⊥
 
∗ ∗
 
+ − −
+
⊥
⊥ ⊥
−
+ − − −
 
⊥
⊥ ⊥
⊥ ⊥
 ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 
=
∑
r
r
r r r r
r r r r
r r r r r r r r
Trong đó,
( )
, , ,
n ,k ,n ,k ,q
1 2
1 2

1 2
1 2
t
a b
q
n k n k
F t
+
=
r
r r
r r r
. Thay các số hạng tính được vào (2.10), ta
được phương trình:
( )
( )
1 2
2
0
, , , ,
1 2
1 2
, ,
1
1
2
cos cos
n n
n
n k n k q

n k n k
F t
i
k d k d
t
ε ε ω
∂

= − − ∆ − −

∂

P P
r r r
r r
h
h

( )
( ) ( )
( )
1
1 2
,
1 3
, , , ,
1 2
1 2
,
3

1
q
t
a
n n
n k n k q
n q
e i
k k A t F t C I a b b b
m c
+
∗
+


− − + +




∑
1 1
q -q q
n ,k +q n ,k
3 2
1
1 2
r ur ur ur
r ur r
r r r

r
r r ur
h
h

( )
2 3
1 3
1 2
1 1 1
,
, ,
n n
n k n k q q q q
t
I a a b b b
+ +
− −

− +


r r r r r r
(2.13)
Giải (2.13) bằng phương pháp biến thiên hằng số và sử dụng điều kiện đoạn nhiệt
( )
, , , ,
1 2
1 2
ln 0

n k n k q
F −∞ =
r r r
, thu được kết quả:
( )
( )
1 3
3 2
1 2
1 1 1 1
2
3
1
,
, ,
,
, , , ,
1 2
1 2
n n
q n k q n k q q q
t
n q
n k n k q
i
F t C I a a b b b
+ +
+ −

= +



∑
r r r r r r r
r
r r r
h
( )
( )
(
1 2
2 3
2
1 3 1 2
1 2 1
1 1 1
2
,
, , , ,
exp cos cos
n n
n n n
n k n k q q q q n k n k
t
i
I a a b b b k d k d
ε ε
+ +
− −



− + − − ∆ −




r r r r r r r r
P P
h

]
( )
( )
( )
2
0 2 1 1 21 2
t
t
ie
t t p p A t dt dt
m c
ω
∗

− − − −



∫
ur ur ur

h
(2.14)
Từ đây, chúng tôi nhận được:

( )
( )
2
2
0 0
,
, '
2 2 2
,
',
eE eE
exp '
t
n k t
n n l s
q
l s
n q
n
q qi
C I J J i s l dt
t m m
⊥
⊥
∞
⊥ ⊥

∗ ∗
=−∞
−∞
∂
   
= − − − Ω
 ÷  ÷
 
∂ Ω Ω
   
∑ ∑
∫
r
r
r
ur r ur r
h


{
(
( )
n' n
', ,
exp osk osk
n
n k q n k
i
c d c d
ε ε

⊥ ⊥
⊥
+

× − − ∆ −


r r r
P P
h


)
( ) ( ) ( )
( )
0
, ',
' ' ' 1
n k q n k q q
l i t t n t N n t N
ω δ
⊥ ⊥
⊥
+
 

− − Ω + − − +

 
 

r r r r r
h h h


( )
(
)
n' n
0
', ,
exp osk osk
n
n k q n k
i
c d c d l i
ε ε ω δ
⊥ ⊥
⊥
+


+ − − ∆ − + − Ω +



r r r
P P
h h h
h

( ) ( )
( )
( )
(
, ', , ',
' ' 1 ' exp
n k q n k q q n k n k q
i
t t n t N n t N
ε ε
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⊥ ⊥
+ −

 
× − + − − −

 
 

r r r r r r r r
h


( )
)
( ) ( )
n n'
0

',
osk osk ' '
n
n k q q
c d c d l i t t n t N
ω δ
⊥
⊥
−


−∆ − − − Ω + −



r r r
P P
h h h


( )
( )
( )
(
n n'
, , ',
' 1 exp osk osk
n
n k q n k n k q
i

n t N c d c d
ε ε
⊥ ⊥ ⊥
⊥
−

− + − − − ∆ −


r r r r r
P P
h

)
( ) ( )
( )
( )
}
0
', ,
' ' 1 '
n k q q n k q
l i t t n t N n t N
ω δ
⊥ ⊥
⊥
−
 

+ − Ω + − + −


 
 
r r r r r
h h h
(2.15)
Biểu thức (2.15) là phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong siêu
mạng hợp phần. Việc giải phương trình (2.15) trong trường hợp tổng quát rất khó khăn
và phức tạp. Để giải phương trình này, chúng tôi sử dụng phương pháp gần đúng lặp
liên tiếp, cụ thể chúng tôi đặt:

( ) ( ) ( )
', ', ',
', ', ',
; ;
n k n k q n k q
n k n k q n k q
n t n n t n n t n
⊥ ⊥ ⊥
⊥ ⊥
⊥ ⊥ ⊥
⊥ ⊥
− +
− +
≈ ≈ ≈
r r r r r
r r r r r
. (2.16)
Tích phân hai vế phương trình (2.16) theo t’, sau đó theo t, ta được:

( ) ( )
0 0
2
2
, '
2 2 2
,
,
, '
1
exp
q
n n k l k
n k
k l
q n
eE q eE q
n t I C J J ik t
m m l
⊥ ⊥
⊥
+∞
+
∗ ∗
=−∞
   
= − − Ω
 ÷  ÷
 ÷  ÷
Ω Ω Ω

   
∑ ∑
r
r
uur
ur r ur r
h
h


( )
( )
, ',
n n'
0
, ',
1
osk osk
n k n k q
q q
n
n k n k q
n N n N
c d c d l i
ε ε ω δ
+
⊥ ⊥
⊥
⊥ ⊥
⊥

−

− +

× −

− − ∆ − − − Ω +


r r r
r r
r r r
P P
h h h

( )
( )
, ',
n' n
0
', ,
1
osk osk
n k n k q
q q
n
n k q n k
n N n N
c d c d l i
ε ε ω δ

+
⊥ ⊥
⊥
⊥ ⊥
⊥
−
+ −
−
− − ∆ − + − Ω +
r r r
r r
r r r
P P
h h h

( )
( )
n n'
0
, ',
', ,
1
osk osk
q
n
n k n k q
q
n k q n k
n N n N
c d c d l i

ε ε ω δ
⊥ ⊥
⊥
−
+
⊥ ⊥
⊥
− +
+
− − ∆ − − − Ω +
r
r r r
P P
r
r r r
h h h


( )
( )
n n'
0
, ',
', ,
1
osk osk
q
n
n k n k q
q

n k q n k
n N n N
c d c d l i
ε ε ω δ
⊥ ⊥
⊥
−
−
⊥ ⊥
⊥

+ −

+

− − ∆ − + − Ω +


r
r r r
P P
r
r r r
h h h
(2.17)
ở đây,
,n k
n
⊥
r

(
q q
N N
⊥
≡
r r
) là hàm phân bố cân bằng điện tử (phonon). Phương trình
(2.17) là biểu thức giải tích hàm phân bố không cân bằng của điện tử trong siêu mạng
hợp phần. Phương trình này là cơ sở để tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh
bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần (trường hợp tán xạ điện tử-phonon
quang). Tiếp theo, từ biểu thức (2.17), chúng tôi thiết lập công thức tính hệ số hấp thụ
sóng điện từ mạnh trong siêu mạng hợp phần.
Tương tác điện tử-phonon âm
Để xây dựng phương trình động lượng tử và hàm phân bố điện tử không cân
bằng cho điện tử cho trường hợp tương tác điện tử-phonon âm, chúng tôi thay
q
C
r

trong biểu thức (2.15) và (2.17) bằng
q
D
r
. Với cách làm tương tự như trường hợp
tương tác điện tử-phonon quang, chúng tôi tìm được hàm phân bố không cân bằng
điện tử cho trường hợp tán xạ điện tử-phonon âm như sau:

( ) ( )
0 0
2

2
, '
2 2 2
,
,
, '
1
exp
q
n n k l k
n k
k l
q n
eE q eE q
n t I D J J il t
m m l
⊥ ⊥
⊥
+∞
+
=−∞
   
= − − Ω
 ÷  ÷
 ÷  ÷
Ω Ω Ω
   
∑ ∑
r
r

uur
ur r ur r
h
h
h


( )
( )
, ',
n' n
', ,
1
osk osk
n k n k q
q q
n
n k q n k q
n N n N
c d c d k i
ε ε ω δ
+
⊥ ⊥
⊥
⊥ ⊥
⊥
+

− +


× −

− − ∆ − − − Ω +


r r r
r r
r r r r
P P
h h h

( )
( )
, ',
n' n
', ,
1
osk osk
n k n k q
q q
n
n k q n k q
n N n N
c d c d k i
ε ε ω δ
+
⊥ ⊥
⊥
⊥ ⊥
⊥

+
+ −
−
− − ∆ − − − Ω +
r r r
r r
r r r r
P P
h h h

( )
( )
n n'
, ',
,
',
1
osk osk
q q
n
n k n k q q
n k
n k q
n N n N
c d c d k i
ε ε ω δ
⊥ ⊥
⊥
−
⊥

−
⊥
⊥
− +
+
− − ∆ − − − Ω +
r r
r r r r
P P
r
r r
h h h


( )
( )
n n'
, ',
', ,
1
osk osk
q q
n
n k n k q q
n k q n k
n N n N
c d c d l i
ε ε ω δ
⊥ ⊥
⊥

−
−
⊥ ⊥
⊥

+ −

+

− − ∆ − + − Ω +


r r
r r r r
P P
r r r
h h h
(2.18)
Phương trình (2.18) là cơ sở để tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh
bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần (trường hợp tán xạ điện tử - phonon
âm), và được chúng tôi tính ở phần tiếp theo của chương này.
Trường hợp có mặt từ trường ngoài
Tương tự như trường hợp vắng mặt từ trường, khi xây dựng phương trình động
lượng tử, chúng tôi sử dụng phương trình động lượng tử tổng quát cho toán tử số hạt
(hàm phân bố điện tử)
, , , , , ,n N k n N k n N k
t
n a a
⊥ ⊥ ⊥
+

=
r r r
:

( )
, , , ,
, ,
, , , ,
,
n N k n N k
n N k
t
n N k n N k B
t
a a
n t
i i a a H
t t
⊥ ⊥
⊥
⊥ ⊥
+
+
∂
∂
 
= =
 
∂ ∂
r r

r
r r ur
h h
(2.19)
Số hạng thứ nhất,
( )
2
2 2 2 2
2
, , , , ', ', , ,
, ,
'
cos , 0
2 2
n
n
n N k n N k n N k n N k
n N k
n e
k d k A t a a a a
m L m c
π
⊥
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⊥
+ +
∗ ∗
 
 
 

− ∆ + − =
 ÷
 
 
 ÷
 
 
∑
r r r r
P
r
r ur
h h
h

(2.20)
Số hạng thứ hai:
0
, , , ,
, 0
n N k n N k q q
q
a a b b
ω
⊥ ⊥
+ +
 
=
 
 

∑
r r r r
r
h
(2.21)
Số hạng thứ ba:
( )
( )
, '
, , , , ', ', , ,
, , ', ,
,
n n z
n N k n N k q n N k q n N k q q
q n N n N k
a a C I q a a b b
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⊥
+ + +
+ −
 
+
 
 
∑ ∑
r r r r r r r r
r r

( ) ( ) ( )
, '

', , , ,
, , ', , , , ', ,
',
q
n n
n k q n k q
n k n k q q n k n k q q
n k
C I F t F t F t
∗
+
+ − −⊥
⊥ ⊥
⊥ ⊥
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⊥

= + −


∑
r
r r r r
r r r r r r r r
r
( )
', , , ,n k q n k q
F t
∗
− −

⊥
⊥ ⊥

−


r r r r
(2.22)
Trong đó,
( )
, , , , ,
1 1 2 2
, , , , ,
1 2
1 1 2 2
1 2
t
n N k n N k q q
n N k n N k
F t a a b
+
=
r r r r
r r
. Thay các số hạng tính
được vào (2.19), ta được phương trình:

( )
( )
1 2

0
, , , , ,
1 1 2 2
1 2
, , , ,
2
1 1 2 2
1
cos cos
n n
H H
n
n N k n N k
n N k n N k
F t
i
k d k d
t
ε ε ω
∂

= − − ∆ − −

∂

P P
r r
r r
h
h

( )
( ) ( )
1
1
1 2
, , ,
, ,
1 1 3 3
3 3
1
1
, , , , ,
1 1 2 2
, ,
1 2
3 3
q
n N n N
n N k q
n N k n N k
n N q
e i
k k A t F t C I a
m c
+
∗
+



− − +



∑
r
r r
r r
r
r r ur
h
h

, ,
2 2
1 1
2
t
n N k q q q
a b b b
+
−
 
× +
 ÷
 
r r r r
,
, ,
2 3

1 3
1 1 1
1 2
t
n n
n k n k q q q q
I a a b b b
+ +
− −

 
− +
 ÷

 

r r r r r r
(2.23)
Giải (2.23) bằng phương pháp biến thiên hằng số và sử dụng điều kiện đoạn nhiệt
( )
, , , , ,
1 1 2 2
1 2
ln 0
n N k n N k q
F −∞ =
r r r
, thu được kết quả:

( )

( )
1 1 1
2
, , ,
, , , ,
, , , , , 1 1 3 3
3 3 2 2
1 1 2 2
1
1 2
1 2
, ,
3 3
1
q q q q
t
a
n N n N
n N k q n N k
n N k n N k
n N q
i
F t C I a b b b
+
−
+
+

= +



∑
r r r r
r r r
r r
r
h

2
, , ,
, , , ,
2 2 3 3 , , , ,
2
1 1 3 3
1 1 2 2
1 1 1
1 2
1
exp
H
q
t
H
n N n N
n N k n N k q q q
n N k n N k
i
I a a b b b
ε ε
+ +

− −



 
− + −

 ÷


 




r
r r r r r
r r
h

( )
( )
( )
( )
1 2
1 2
0 2 1 1 2
2
cos cos
n n

n
t
t
ie
k d k d t t k k A t dt dt
m c
ω
∗



−∆ − − − − −



∫
P P
r r ur
h
(2.24)
Sử dụng: tính chất giao hoán tử của các toán tử sinh hủy điện tử (phonon),
phương pháp biến thiên hằng số và điều kiện đoạn nhiệt, tính chất của hàm Bessel
trong toán học. Chúng tôi thiết lập được phương trình động lượng tử cho điện tử trong
siêu mạng hợp phần khi có từ trường ngoài như sau:

( )
2
2 2
0 0
, ,

, ' , '
2 2 2
,
', ',
eE eE
n N k
n n N N l s
q
l s
n N q
n t
q qi
C I J J J
t m m
⊥
⊥
∞
⊥ ⊥
∗ ∗
=−∞
∂
   
=
 ÷  ÷
∂ Ω Ω
   
∑ ∑
r
r
r

ur r ur r
h


( ) ( ) ( )
( )
{
, , ', ',
exp ' ' ' 1
t
n N k q n N k q q
il dt n t N n t N
⊥ ⊥
⊥
+
−∞
 
× − Ω − +
 
 
∫
r r r r r
h


( )
0
', , , ,
exp '
H H

n N k q n N k
i
l i t t
ε ε ω δ
+
⊥
⊥
⊥
 
 
× − − − Ω + −
 
 ÷
 
 
r r
h h h
h


( )
( )
( )
, , ', ',
' 1 '
q q
n N k n N k q
n t N n t N
+
⊥ ⊥

⊥


+ + −




r r
r r r


( )
0
, ,
', ',
exp '
H H
n N k
n N k q
i
l i t t
ε ε ω δ
+
⊥
⊥
⊥
 
 
 

 ÷
× − + − Ω + −
 ÷
 
 
 
r
r r
h h h
h

( ) ( )
( )
', ', , ,
' ' 1
q q
n N k q n N k
n t N n t N
−
⊥ ⊥
⊥
 
− − +
 
 
r r
r r r


( )

0
, , ', ',
exp '
H H
n N k n N k q
i
l i t t
ε ε ω δ
−
⊥ ⊥
⊥
 
 
 
 ÷
× − − − Ω + −
 ÷
 
 
 
r r r
h h h
h


( )
( )
( )
', ', , ,
' 1 '

n N k q q n N k q
n t N n t N
⊥ ⊥
⊥
−
 
− + −
 
 
r r r r r


( )
0
, , ', ',
exp '
H H
n N k n N k q
i
l i t t
ε ε ω δ
−
⊥ ⊥
⊥
 
 
 
 ÷
× − + − Ω + −
 ÷

 
 
 
r r r
h h h
h
(2.25)
Giải phương trình (2.25) bằng phương pháp gần đúng lặp liên tiếp, chúng tôi tìm được
nghiệm của phương trình này như sau:
( ) ( ) ( )
0 0
2
2 2
, ' , '
2 2 2
, ,
,
, '
1
exp
q
n n N N k l k
n N k
k l
q n
eE q eE q
n t I C J u J J il t
m m l
⊥ ⊥
⊥

+∞
+
=−∞
   
= − − Ω
 ÷  ÷
 ÷  ÷
Ω Ω Ω
   
∑ ∑
r
r
uur
ur r ur r
h
h
h

( )
( )
, , ', '
', ', , ,
n' n
0
1
osk osk
n N k n N k q
n N k q n N k
q q
H H

n
n N n N
c d c d k i
ε ε ω δ
+
⊥ ⊥
⊥
+
⊥ ⊥
⊥

− +

× −

− − ∆ − − − Ω +


r r r
r r r
r r
P P
h h h

( )
( )
, , ', ,
', , , ,
n' n
0

1
osk osk
n N k n N k q
n N k q n N k
q q
H H
n
n N n N
c d c d k i
ε ε ω δ
+
⊥ ⊥
⊥
+
⊥ ⊥
⊥
+ −
−
− − ∆ − − − Ω +
r r r
r r r
r r
P P
h h h

( )
( )
n n'
0
', ',

, ,
, ,
', ,
1
osk osk
q q
H H
n
n N k q
n N k
n N k
n N k q
n N n N
c d c d k i
ε ε ω δ
−
⊥
⊥
⊥
−
⊥
⊥
⊥
− +
+
− − ∆ − − − Ω +
r r
P P
r r
r

r
r r
h h h


( )
( )
n n'
0
', , , ,
, , ', ,
1
osk osk
q q
H H
n
n N k q n N k
n N k n N k q
n N n N
c d c d l i
ε ε ω δ
−
⊥ ⊥
⊥
−
⊥ ⊥
⊥

+ −



+

− − ∆ − + − Ω +



r r
P P
r r r
r r r
h h h
(2.26)
Biểu thức (2.26) là hàm phân bố điện tử không cân bằng khi hệ đặt trong từ
trường. Biểu thức này là cơ sở để tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi
điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần khi có từ trường.
Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng
hợp phần.
Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh được xác định bởi công thức:

( )
0
2
0
8
sin
t
J t E t
c E
π

α
χ
⊥
∞
= Ω
ur ur
(2.27)
Mật độ dòng hạt tải:

( ) ( ) ( )
2
, , ,
, , ,
n k n k n k
n k n k n k
e e e e
J t k A t n A t n k n
m c m c m
⊥
⊥ ⊥ ⊥
⊥ ⊥ ⊥
⊥ ⊥
∗ ∗ ∗
 
= − = − +
 ÷
 
∑ ∑ ∑
r r r
r r r

ur r ur ur r
h h
h
(2.28)

( ) ( ) ( )
0
0
sin dt= os
E c
A t E c t c t= − Ω Ω
Ω
∫
ur
ur ur
(2.29)
Đặt
0
,
,
n k
n k
n n
⊥
⊥
=
∑
r
r
là mật độ điện tử trong siêu mạng hợp phần, biểu thức vector mật độ

dòng được viết lại:

( )
( )
2
0
0
,
,
os
n k
n k
e n E c t
e
J t k n
m m
⊥ ⊥
⊥
⊥
∗ ∗
Ω
= − +
Ω
∑
r
r
ur
ur r
h
(2.30)

Trường hợp vắng mặt từ trường ngoài, tán xạ điện tử-phonon quang
Đặt (2.30) vào (2.27), ta được:
( )
0 0
2
0
0
,
2
,
0
os
8
sin sin
n k
n k
t
t
e n E c t
e
E t k n E t
m m
c E
π
α
χ
⊥
⊥
⊥
∗ ∗

∞


Ω
= − Ω + Ω


Ω




∑
r
r
ur
ur r ur
h
(2.31)
Tính số hạng thứ nhất của (2.31).

( )
( )
0
2
2
2
0
0
0

0
2
0
os
sin sin os 0
T
t
e n E c t
e n E
E t tc t dt
m m
∗ ∗
Ω
− Ω = Ω Ω =
Ω Ω
∫
ur
ur
ur
(2.32)
Để tính số hạng thứ hai của (2.31), trước tiên ta tính tổng sau:

( )
0 0
2 2
,
,
, ,
sin
s s l

n k
l s
n k n k
eE q eE qe e
k n l t k J J
m m l m m
π
⊥ ⊥
⊥
⊥ ⊥
∞
⊥ ⊥
+
∗ ∗ ∗ ∗
=−∞

   
= Ω +

 ÷  ÷
Ω Ω Ω

   

∑ ∑ ∑
r
r r
ur r ur r
r r
h h

( )
{
0 0
', ,
2 2
',
1
n k n k q
s s l
q q n k q
eE q eE q
J J n N n N
m m
δ ε
⊥ ⊥
⊥
⊥
⊥
⊥ ⊥
+
−
∗ ∗
+
   
 

+ + − −
 ÷  ÷


 
Ω Ω
   
r r r
r r r r
ur r ur r

( )
]
( )
{
'
', ,
0
,
osk osk 1
n n
n k q n k
n
n k q q
c d c d l n N n N
ε ω
⊥ ⊥
⊥
⊥
+
 
− − ∆ − − − Ω + − +
 
r r r

r r r
P P
h h


( )
]
'
0
', ,
osk osk
n n
n
n k q n k
c d c d l
δ ε ε ω
⊥ ⊥
⊥
+

× − − ∆ − − − Ω

r r r
P P
h h
(2.33)
Đổi biến,
k k q
⊥ ⊥
⊥

→ −
r r r
;
k k→ −

q q→ −
r r
;
'n n→
. Chúng tôi thu được biểu thức tổng
quát hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong siêu mạng hợp phần:
3 2 2
2
, '
2
2
, ' 1
,
0
0 0
, ',
32 1 1
B k
n n
n n l
k q
n k n k q
e k T J l
I n n
q

c E
π
α
χ χ
ε χ
⊥
⊥
∞
=
∞
∞
+
⊥ ⊥
⊥
 
 
Ω
= − −
 ÷
 ÷
 
 
∑ ∑ ∑
r r
r r r


( )
n' n
0 0 0

', ,
osk osk [ ]
n
n k q n k
c d c d l
δ ε ε ω ω ω
⊥ ⊥
⊥
+
 
× − − ∆ − − − Ω + → −
 
 
r r r
P P
h h
(2.34)
Trong biểu thức (2.34),
0 0
ω ω
→ −
có nghĩa là số hạng thứ hai thu được từ số hạng thứ
nhất nếu thay
0 0
ω ω
→ −
. Biểu thức này cũng cho thấy, khác với bán dẫn khối, hệ số
hấp thụ sóng điện từ trong siêu mạng hợp phần không chỉ phụ thuộc phi tuyến vào
cường độ điện trường mà còn phụ thuộc vào các đại lượngđặc trưng cho sự giam giữ
điện tử n, n’ và các tham số đặc trưng cho siêu mạng hợp phần như chu kỳ siêu mạng

d, độ rộng mini vùng
n
∆
. Tiếp theo, chúng tôi xét hai trường hợp hấp thụ giới hạn, hấp
thụ gần ngưỡng và hấp thụ xa ngưỡng sóng điện từ.
Hấp thụ gần ngưỡng
Trường hợp này, phải thỏa mãn điều kiện:
0
k
ω ε
Ω − =h h
(
ε
là năng lượng
trung bình của điện tử tự do trong chuyển động nhiệt). Xét trường hợp hấp thụ một
photon:

3 2 2
2
, ' 1
2
2
1
, ',
0
0
32 1 1
B k
n n
k

n n q
e k T J k
I A
q
c E
π
α
χ χ
χ
∞
=
∞
∞
 
Ω
= −
 ÷
 
∑ ∑
r
(2.35)

( )
2 2 2 2
0 2
1
2
2
2
3

1 1
2 exp exp cos
2
2
2
n
B n
B B
mn m A n
A m k T p d
k T k T m L
q
q
π
π
⊥
⊥
∗
∗
∗
 
 
 
= − − −∆
 ÷
 
 ÷
 ÷
 
 

 
P
h
r
r
h
h

( )
0 0 0
1
1 exp [ ]
B
k T
ω ω ω
 
 
× − −Ω + → −
 
 ÷
 
 
h
(2.36)
Với,
( )
( )
( )
2 2 2 2
2 2

'
2 0
2
'
cos cos
2 2
n n
n
n n
q
A k d k d
m L m
π
ω
⊥
∗ ∗
−
= + + − Ω − ∆ −
P P
h
h
h
(2.37)
Chỉ xét trong gần đúng bậc hai của hàm Bessel, ta được:
2 4
3 2
2
0 0
2 4
, '

2 2
2
, '
0
0
32 1 1 1
cos cos
2
B
n n
n n
q
e k T eE q eE q
I
m m
c E
π
α ϕ ϕ
χ χ
χ
⊥ ⊥
∗ ∗
∞
∞
 
   
 
Ω
 
= − +

 ÷  ÷
 ÷
Ω Ω
 
 
   
 
∑∑
r
ur r ur r


( )
2 2 2 2
0 2
2
2 2 2
3
1 1 1
2 exp exp cos
2 2
2
n
B n
B B
mn m A n
m k T k d
q k T q k T m L
q
π

π
π
⊥
⊥
∗
∗
∗
⊥
 
 
 
× − − − ∆
 ÷
 
 ÷
 ÷
 
 
 
P
h
h
h


( )
[ ]
0 0 0
1
1 exp

B
k T
ω ω ω
 
 
× − −Ω + →−
 
 ÷
 
 
h
(2.38)
Thực hiện các phép chuyển tổng thành tích phân

( )
( )
2
2
0
1

2
q
d q dq
π
ϕ
π
⊥ ⊥
⊥
∞

−∞
=
∑
∫ ∫
r
(2.39)
và sử dụng công thức:

( )
( )
( )
2 2
2 3/2
0
exp 2
1 ax exp 2 2
4
bc
b
cx dx c a bc a
x c
π
∞
−
 
+ − − = + +
 ÷
 
∫
(2.40)

Biểu thức hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ được viết lại:

( )
( )
2
2 2 2 2
4
2
0
, '
2
3 4
, ', ,
0
'
1 1 1
exp
2
B
n n
n n k q
B
n n
e n k T
I
k T m L
c
π
π
α

χ χ
χ
⊥
∗
∞
∞


−
 


= − − −
 ÷

Ω

 


∑
r r
h
h


( )
( )
n' n
0

1
osk osk 1 exp
n
B
c d c d
k T
ω
 
 

−∆ − − Ω −
 
 ÷

 
 
P P
h

)
{
2 2
2 2 2
0
2 2 4
31 1
exp cos 1 1
2 8 2
n
B

n
B B
e E k Tn
k d
k T m L m k T
π
∗ ∗
 


× − −∆ + +
 


Ω


 
P
h
h


( )
( )
( )
[ ]
2 2 2 2
n' n
0 0 0

2
'
osk osk
2
n
n n
c d c d
m L
π
ω ω ω
∗
 
−
 ÷
× + −Ω −∆ − + →−
 ÷
 
P P
h
h
(2.41)
Biểu thức (2.41) là công thức tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện
tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần cho trường hợp hấp thụ gần ngưỡng.
Hấp thụ xa ngưỡng
Trường hợp này, phải thỏa mãn điều kiện sau:
0
k
ω ε
Ω −h h ?
, xét trường hợp

hấp thụ một photon, ta có:

2
2 2 2 2
'
0
2
',
1 '
exp cos
2 2
n
n
B
n k q
q n
n n k d
k T m m L
π
⊥
∗ ∗
+
⊥
⊥
 
 
 
 ÷
= − + − ∆
 ÷

 
 
 
P
r r
r
h h
(2.42)
Với
0
'
'
n k
n k
n n
⊥
⊥
=
∑
r
r
, ta được:

3 2
2
2
0
, '
2
1

, ',
0
0 0
32 1 1 1
1 exp
B
k n n
k
n n q
B
e n k T
kJ I
k T
c E
π
α
χ χ
ε χ
∞
=
∞
∞

 

Ω

= − − −

 ÷




 

∑ ∑
r

{
2
2 2 2 2
'
2
2
', ,
' 1
cos
2 2
n
n
n k q n k
q n
k d
m m L
q
π
δ ε ε
⊥ ⊥
⊥
⊥

∗ ∗
+
⊥


 



 ÷
× + − ∆ −



 ÷


 


r r r
P
r
h h
r

( )
}
n' n
0

osk osk
n
c d c d k
ω

−∆ − − − Ω

P P
h h
(2.43)
Sau một số phép biến đổi toán học, ta được:
( )
( )
2 2 2
2 2
2
0
0
, '
2 2
2 3
, ',
0
0
'
2
4 1 1 2
z
B n
n n

n n q
n n
m
e k Tn m
I
L
c m
π
ω
π
α
χ χ
ε χ
∗
∗
∗
∞
∞

−
Ω −
 
∆
= − + −

 ÷
Ω

 


∑
h h
h


( )
( )
2 2 2
1/2
n n' n
0
2
1
osk osk 1 exp osk
2
n
B
n
c d c d c d
k T m L
π
ω
∗
 


 

× − − − + Ω− − ∆
 





 

 
P P P
h
h


( )
( )
( )
2 2 2
2 2
0
n n'
0
2 4 2 2
'
2
2
3
1 osk osk
32
n
n n
m

e E m
c d c d
m L
π
ω
∗
∗
∗
 

−
Ω −

∆
 

× + + − −
 

Ω


 

 
P P
h h
(2.44)
Biểu thức (2.44) là công thức tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện
tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần cho trường hợp hấp thụ xa ngưỡng.

Trường hợp vắng mặt từ trường, tán xạ điện tử-phonon âm
Vì trường hợp tán xạ điện tử-phonon âm, hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ
(trường hợp xa ngưỡng) rất nhỏ so với trường hợp hấp thụ gần ngưỡng. Do đó, chúng
tôi chỉ tính hệ số hấp thụ phi tuyến cho trường hợp gần ngưỡng. Trường hợp này, phải
thỏa mãn điều kiện:
0
k
ω ε
Ω − =h h
. Xét trường hợp hấp thụ một photon, tính toán
tương tự như hấp thụ gần ngưỡng tán xạ điện tử-phonon quang, chú ý
B
q
s
k T
N
q
υ
≡
r
r
h
và sử
dụng công thức:

( )
( )
2 2 2
2 3/2
0

exp 2
1 ax exp
4
bc
b
x cx dx
x c
π
∞
−
 
+ − − =
 ÷
 
∫


( ) ( )
1 2 1 4 3 3
4
a
bc bc bc
c bc
 
× + + + +
 
 

(2.45)
thu được biểu thức hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ, trường hợp tán xạ điện

tử-phonon âm:
( )
( )
( )
3
2 2 2 2
2 2
2
n' n
0
, '
2
2 3 6
, ',,
'
.
1
exp osk osk
2
. .
B
n n n
n n q
B
s
n n
e m n k T
I c d c d
k T m L
c

π
ξ
α
χ υ ρ
∗
∗
∞
 
 
−
 
 ÷
= − − ∆ −
 ÷
Ω
 
 
 
∑
P P
r
h
h


( )
( )
2 2
2
2

0
2 4
3
exp 1 1 3 12
2 32
B B
B B B
e E
k T k T
k T k T m k T
β
β β
∗
 
   
Ω
× − + + + +
 
 
 ÷
Ω
   
 
h
h
(2.46)
Trong đó,
( )
( )
2 2 2 2

n' n
2
'
osk osk
2
n
n n
c d c d
m L
π
β
∗
−
= + Ω − ∆ −
P P
h
h
(2.47)
Biểu thức (2.46) là công thức tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi
điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần cho trường hợp hấp thụ xa ngưỡng. Biểu
thức (2.46), có thể tách thành hai phần, một phần tuyến tính và một phần phi tuyến
theo cường độ E
0
của sóng điện từ. Biểu thức (2.46) cũng cho thấy, hệ số hấp thụ sóng
điện từ trong siêu mạng hợp phần ngoài việc phụ thuộc vào cường độ điện trường E
0
,
nhiệt độ T của hệ, tần số
Ω
của sóng điện từ, thì hệ số hấp thụ còn phụ thuộc vào các

đại lượng đặc trưng cho sự giam cầm điện tử trong siêu mạng như: các chỉ số mini
vùng (n, n’), chu kỳ của siêu mạng d, độ rộng mini vùng
n
∆
. Đó là điểm khác biệt của
siêu mạng hợp phần với bán dẫn khối thông thường. từ các biểu thức (2.44) và (2.46)
cho thấy, khi cường độ điện trường mạnh thì hệ số hấp thụ sóng điện từ không phụ
thuộc vào nhiệt độ.

Trường hợp có mặt từ trường ngoài
Đặt (2.26) vào biểu thức (2.27). Thực hiện các phép toán như trường hợp vắng
mặt từ trường, ta thu được biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ
như sau:

3 2
2 2
, ' , '
2
, ', , ' 1
,
0
0
, ,
, ,
32 1 1
B B
n n N N
n n N N k
k q
n N k q

n N k
e k T
I J n n
c E
π
α
χ χ
χ
⊥
⊥
∞
=
∞
∞
+
⊥
⊥
⊥
 
Ω
 
= − −
 ÷
 
 
 
∑ ∑ ∑
r r
r r
r

(
)
2
0
2
', ', , ,
H H
k
n N k q n N k
kJ
k
q
δ ε ε ω
⊥ ⊥
⊥
+
× − + − Ω
r r r
h h
r
(2.48)
Xét trường hợp khí điện tử không suy biến:
( )
,
0
, ,
exp
H
n N

B
n N k
k
n n
k T
ε
⊥
⊥
 
 ÷
= −
 ÷
 
r
r
Ta có:
( )
( )
1 1
2
2 2
2
1 1
2 2
1

2
2
m m
B

x y
k
m m
B B
B B
m
dk dk
π
π
Ω Ω
∗
− Ω − Ω
∗ ∗
∗ ∗
⊥
 
Ω
= =
 ÷
 
∑
∫ ∫
r
(2.49)
Xét trường hợp hấp thụ một photon và giới hạn các thành phần
( )
k
J x
với k = 1, 2, ta
được:

0 0
2 4
2 4
2
2
2 2
1
1 1
2 2 2 2 2 2
k
k
eE q eE q
kJ
m m
λ λ λ
⊥ ⊥
∗ ∗
=
   
     
= + = +
 ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷
Ω Ω Ω Ω Ω
     
   
∑
ur r ur r

(2.50)
Hệ số hấp thụ trường hợp này có dạng:
2 4
3 2
2
2
0
, '
2 2
2
,
1
,
0
0
, , ,
0 0
,
, ,
32 1 1 1
( )
2 2 2
B B
N N
n n
k
k q
n n N N
eE q eE q

e k T n
I J
x x m m
c x E
π
α
∞
∗ ∗
=
∞
∞
⊥ ⊥
⊥
 
   
Ω
 
= − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 
Ω Ω
   
 
∑ ∑ ∑
r r
ur r ur r
2
2
1 1 1 1 1

exp cos exp '
2 2 2
n
B
B n B
B B
m
N k d N
k T k T
q
π
∗

 

 
Ω   

   
× Ω + − ∆ − Ω +

 ÷
  ÷   ÷

  
   
  

 


 

P
h h
r

}
( )
( )
( )
'
0
cos ' cos cos
n n n
n B n
k d N N k d k d
δ ω

−∆ − Ω − ∆ − + − Ω

P P P
h h
(2.51)
Lại có:
( )
( )
2
2
0
1

2
q
d q dq
π
ϕ
π
⊥ ⊥
⊥
∞
−∞
=
∑
∫ ∫
r
(2.52)
Biểu thức hệ số hấp thụ phi tuyến được viết lại:
( )
,
, ,
2
2
3 2
2
0
22
,
0
0
, , ,

0
32
1 1 1
( )
2
2 2
z
B B B
n n
q
n n N N
e k T n
m
I d dq
x x
c x E
π
π
α ϕ
π
π
⊥
∞
∗
∞
∞
−∞
 
Ω
Ω

= −
 ÷
 
∑ ∑
∫ ∫
r
0 0
2 4
2
, '
2 2 2
1
2
2 2
N N
eE q eE q
A
J
m m
q
⊥ ⊥
∗ ∗
 
   
 
 ÷  ÷
× +
 
 ÷  ÷
Ω Ω

   
 
 
ur r ur r
r
(2.53)
Với,
1 1 1 1
exp cos exp '
2 2
n
B n B
B B
A N k d N
k T k T

 

  

   
= Ω + − ∆ − Ω +

  ÷   ÷

  
   
  



 

P
h h

}
( )
( )
( )
'
0
cos ' cos cos
n n n
n B n
k d N N k d k d
δ ω

−∆ − Ω − ∆ − + − Ω

P P P
h h
Áp dụng công thức (*):

( ) ( )
0 0
2 2
2 2
2
, ' , '
2

2 2 2
0 0 0
1 2
cos
2 2
N N N N
c
eE q eE q
d dq J u d J u du
m m a
q
π π
ϕ ϕ ϕ
⊥ ⊥
⊥
⊥
∞ ∞
∗ ∗
−∞
   
=
 ÷  ÷
 ÷  ÷
Ω Ω
   
∫ ∫ ∫ ∫
ur r ur r
r
Sử dụng tính trực giao của đa thức Laguerre suy rộng và áp dụng công thức (*). Sau
một vài biến đổi nhỏ, biểu thức hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử

giam cầm trong siêu mạng hợp phần có dạng:

, ,
4 2 2 2
0
*2 2 42 3 2
0
0
, , ,
1 1 3
( ) 1
8
o B B
cc
n n N N
e n k T e E
x x
m aL c x a
α
π ε
∞
∞
 
Ω
= − +
 
ΩΩ
 
∑
h

'
1 1 1 1
exp (( ) cos ) e xp (( ' ) cos )
2 2
n n
B n B n
B B
N k d N k d
k T k T


   
 
× − + Ω − ∆ − − + Ω − ∆
 
   

   



P P
h h


( )
( )
( )
'
0

' cos cos
n n
B n
N N k d k d
δ ω
 
× − Ω − ∆ − + − Ω
 
P P
h h
(2.54)
Trong biểu thức (2.54), hàm Delta-Dirac (
δ
) thể hiện định luật bảo toàn năng lượng.
Biểu thức giải tích hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong siêu mạng hợp phần khi
đó được viết như sau:

,
, ,
4 2 2 2
2
0
*2 2 42 3 2
,
0
0
, , , ,
1 1 3
( ) 1
8

4
z
o B B
n n
cc
q n n N N
e n k T e E
I
x x
m a
c x a
α
π ε
∞
∞
 
Ω
= − +
 
Ω
Ω
 
∑
h
'
1 1 1 1
exp (( ) cos ) exp (( ' ) cos )
2 2
n n
B n B n

B B
N k d N k d
k T k T


   
 
× − + Ω − ∆ − − + Ω − ∆
 
   

   



P P
h h

( )
1
2
' 2
0 1
'
' cos cos
n n
B n
A N N
N N M k d k d A
ω

−
×
 
− Ω − + Ω − ∆ − +
 
P P
h
h h h h
(2.55)
ở đây,

2
1
2
2 2
2
2
0 0 1 1
1
0
1 1 2
1
2 3
N d
a
N e N d N d
A e
a a
ω
χ χ

 
−
 ÷
 
∞
 
 
   
= − +
 
 ÷
 ÷  ÷
   
 
 
 
h
;
0
0 0
;
B
k T
N a
m
ω ω
∗
= =
h
h

Biểu thức (2.55) là công thức xác định hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh bởi điện tử
giam cầm trong siêu mạng hợp phần. Kết quả này cho thấy: khi cường độ điện trường
mạnh thì hệ số hấp thụ sóng điện từ không phụ thuộc vào nhiệt độ.
Tính toán số, vẽ đồ thị và thảo luận kết quả
Trong phần tiếp theo, chúng tôi thực hiện tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý
thuyết hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh cho siêu mạng hợp phần GaAs-
Al
0.3
Ga
0.7
As. Các tham số được sử dụng để tính toán như sau:
χ
∞
= 10:9;
0
χ
= 12:9; n
0
= 10
23
m
-3
;
9
0
10
36
ε
π
−

=
, m = .067m
0
(m
0
là khối lượng hiệu dụng của điện tử); d=134
0
A
, là
chu kỳ của siêu mạng;
0
ω
h
=36.25meV;
3
5320 /kg m
ρ
=
;
5370 /
s
m s
υ
=
;
0.85.300
n
meV∆ =
; e= 2.07e
0

, e
0
= 1.6.10
-19
C, E
0
= 3.5.10
14
V/cm.
34
1.054599 10 .J s
−
= ×h
;
Ω
= 2.10
14
s
-1
.
Trường hợp vắng mặt từ trường
Hình (2.1) và hình (2.2) biểu diễn sự phụ thuộc hệ số hấp thụ sóng điện từ vào
cường độ điện trường. Kết quả cho thấy, hệ số hấp thụ sóng điện từ phụ thuộc mạnh
và phi tuyến vào cường độ E
0
của sóng điện từ. Khi cường độ điện trường tăng thì hệ
số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ giảm. Đối với trường hợp tán xạ điện tử-phonon
quang, hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ lớn hơn rất nhiều so với trường hợp tán
xạ điện tử-phonon âm.
Đồ thị hình (2.3) và (2.4), biểu diễn sự phụ thuộc phi tuyến của hệ số hấp thụ

sóng điện tử mạnh vào nhiệt độ T của hệ cho hai trường hợp tán xạ điện tử-phonon
quang và tán xạ điện tử-phonon âm. Nhìn vào đồ thị ta thấy, khi nhiệt độ của hệ tăng
thì hệ số hấp thụ sóng điện từ giảm, sự giảm này là phi tuyến. Mặt khác, độ lớn của hệ
số hấp thụ sóng điện từ trong hai trường hợp này cũng rất khác nhau. Cụ thể, ở trường
hợp tán xạ điện tử-phonon quang hệ số hấp thụ sóng điện từ giảm rất nhanh và mạnh
hơn so với trường hợp tán xạ điện tử-phonon âm. Nguyên nhân của hiện tượng này là
do tần số của phonon (âm và quang) phụ thuộc vào nhiệt độ khác nhau. Do đó, hệ số
hấp thụ sóng điện phụ thuộc vào nhiệt độ khác nhau đối với các tán xạ điện tử-phonon
khác nhau.

Hình 2.1. Sự phụ thuộc của
α
vào
0
E
Hình 2.2. Sự phụ thuộc của
α
vào E
0
(tán xạ điện tử-phonon quang) (tán xạ điện tử-phonon âm)

Hình 2.3. Sự phụ thuộc của
α
vào T Hình 2.4 Sự phụ thuộc của
α
vào T
(tán xạ điện tử-phonon quang) (tán xạ điện tử-phonon âm)
Trường hợp có mặt từ trường ngoài
Đồ thị hình (2.5) và (2.6) biểu diễn sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ tuyến tính
và phi tuyến vào năng lượng của sóng điện từ

Ωh
(hình 2.5) và năng lượng từ trường
ngoài
B
Ωh
(hình 2.6). Kết quả cho thấy, sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ sóng điện từ
vào
Ω
h
và
B
Ωh

lớn hơn so với trường hợp hấp thụ tuyến tính.
Đồng thời, đồ thị cũng cho thấy hệ số hấp thụ sóng điện từ trong cả hai trường
hợp tuyến tính và phi tuyến đều xuất hiện cộng hưởng khi tần số sóng điện từ bằng tần
số của phonon quang
( )
ω
= Ω
và
( )
B
ω
= Ω
và các cực đại thứ cấp.

Hình 2.5. Sự phụ thuộc của
α
vào

Ωh
Hình 2.6. Sự phụ thuộc của
α
vào
B
Ω
h
Tuy nhiên, sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ trong hai trường hợp này rất khác
nhau, nếu như ở trường hợp không có từ trường, khi năng lượng sóng điện từ tăng thì
hệ số hấp thụ tăng nhưng đối với trường hợp có từ trường thì kết quả ngược lại, năng
lượng điện trường tăng, hệ số hấp thụ giảm. Nguyên nhân của hiện tượng này là khi có
từ trường thì số điện tử tham gia vào quá trình hấp thụ bị hạn chế. Ngoài ra, mức
Landau mà các điện tử nhảy tới sau quá trình hấp thụ bị ràng buộc bởi điều kiện:

( ) ( )
0
' ' 0
B
n n N N
ω ω
− + Ω − + − Ω =h h h h
(2.56)
Trong khi đó đối với bán dẫn khối các chỉ số Landau mà điện tử có thể nhảy tới
sau quá trình hấp thụ là tùy ý. Điều này lý giải tại sao đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc
của hệ số hấp thụ vào các tham số của hệ không liên tục mà bị gián đoạn.
Kết quả thu được đã cho thấy, giữa bán dẫn siêu mạng và bán dẫn khối có sự
khác nhau cơ bản về sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ sóng điện từ vào các thông số của
hệ. Cụ thể, sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ sóng điện từ của hai loại vật liệu này vào
cùng một thông số của hệ (nhiệt độ T, cường độ điện trường E,…) khác nhau. Có sự
khác biệt này là do ở bán dẫn khối các điện tử trong hệ hoàn toàn chuyển động tự do

theo mọi hướng trong vật liệu, nhưng ở siêu mạng hợp phần thì chuyển động tự do của
các điện tử trong hệ bị hạn chế (các điện tử chỉ chuyển động tự do trên mặt phẳng siêu
mạng, bị lượng tử theo trục siêu mạng). Đây chính là nguyên nhân dẫn đến sự khác
biệt của siêu mạng hợp phần với bán dẫn khối.
TS. Đỗ Mạnh Hùng-PTP GDCN