khóa luận tốt nghiệp các bất đẳng thức cơ bản và tiêu chuẩn hội tụ của tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập

1

LỜI MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài.
Trong khoa học cũng như trong thực tiễn, chúng ta thường gặp các hiện
tượng ngẫu nhiên- đó là những hiện tượng mà chúng ta không thể khẳng định
một cách chắc chắn rằng chúng có xảy ra hay không xảy ra. Lý thuyết xác suất
là một ngành toán học nghiên cứu các quy luật và các quy tắc tính toán trong thế
giới ngẫu nhiên- một thế giới tưởng chừng không có quy luật. Ngày nay lý
thuyết xác suất đã trở thành một ngành toán học lớn, vừa có tầm lý thuyết ở trình
độ cao, vừa có phạm vi ứng dụng rộng rãi trong khoa học cũng như trong cuộc
sống thực tiễn. Lý thuyết xác suất là cơ sở khoa học để nghiên cứu Thống kê-
môn học với chức năng thu thập thông tin, chọn mẫu, xử lý thông tin nhằm đưa
ra các kết luận cần thiết nhằm phục vụ cho nghiên cứu khoa học và đời sống
thực tiễn. Ngày nay với sự hỗ trợ tích cực của máy tính và công nghệ thông tin
Lý thuyết xác suất thống kê đã không ngừng phát triển và có mặt trong nhiều
ngành khoa học khác.
Trong lý thuyết xác suất, nghiên cứu sự hội tụ của tổng các đại lượng
ngẫu nhiên đang là một vấn đề được nhiều nhà toán học quan tâm. Nếu như đối
với dãy số (a
n
) chỉ có duy nhất một kiểu hội tụ tới giới hạn a thì đối với dãy các
biến ngẫu nhiên (X
n
), sự hội tụ của nó tới giới hạn X lại có nhiều dạng khác nhau
được xây dựng trên nền tảng của lý thuyết độ đo và giải tích hàm. Trên cơ sở đó
chúng ta có thể tìm hiểu về sự hội tụ của tổng các đại lượng ngẫu nhiên. Đây là
một vấn đề lý thú, nó đã thực sự khơi dậy trong tôi niềm đam mê tìm hiểu và
khám phá những kết quả về sự hội tụ của tổng các đại lượng ngẫu nhiên; các
điều kiện để chuỗi hội tụ theo một nghĩa nào đó.

Với các lý do nêu trên, trong thời gian qua, nhờ sự hướng dẫn của giáo
viên bộ môn, chúng tôi xin giới thiệu chuyên đề “Các bất đẳng thức cơ bản và
tiêu chuẩn hội tụ của tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập”.
2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích của khoá luận này là nghiên cứu các vấn đề về tổng của các đại
lượng ngẫu nhiên độc lập, từ đó áp dụng vào chứng minh một số mệnh đề liên
quan đến sự hội tụ của tổng đó.


2

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu là nghiên cứu các bất đẳng thức cơ bản và tổng các
đại lượng ngẫu nhiên độc lập.
Phạm vi nghiên cứu tập trung chính ở sự hội tụ của tổng các đại lượng
ngẫu nhiên độc lập.
4. Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu trực tiếp từ các tài liệu về xác suất có liên quan đến khóa
luận.
5. Cấu trúc khóa luận.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính khóa
luận gồm 2 chương:
Chương 1. Những kiến thức cơ sở
Trong chương này, tôi trình bày những kiến thức có liên quan đến nội
dung của khoá luận.
Chương 2. Một số bất đẳng thức cơ bản và tiêu chuẩn hội tụ của tổng các
đại lượng ngẫu nhiên độc lập.
Đây là nội dung trọng tâm của khóa luận. Trong chương này tôi trình bày
một số bất đẳng thức cơ bản và một số dạng hội tụ của chuỗi các đại lượng ngẫu
nhiên độc lập. Đặc biệt, tôi đã trình bày và chứng minh đầy đủ một số mệnh đề

về sự hội tụ của chuỗi các đại lượng ngẫu nhiên độc lập.

3

Chương 1. CƠ SỞ LÍ THUYẾT.
1.1. Đại số và

- đại số
1.1.1. Đại số. Giả sử

là một tập tùy ý khác

. P (

) là tập hợp gồm
tất cả các tập con của

, A

P (

). A được gọi là một đại số nếu:
A1.

A ;
A2.
A

A
A

 
A
(A \ A)
 
;
A3.
k
A

A,
1
1,2, ,
n
k
k
k n A

  

A.
1.1.2.

- đại số. Lớp



P (

) được gọi là một


- đại số nếu nó là đại
số và ngoài ra:
A4.
n
A

,
1
1,2,
n
n
n A


  

,
1
n
n
A




.
1.2. Độ đo xác suất. Giả sử
  
, A là một


- đại số các tập con của

. Ánh xạ P: A


gọi là một độ đo xác suất


cộng tính trên A nếu:
P1.
( ) 0,
P A A
  
A;
P2.
( ) 1
P
 
;
P3. Nếu
n
A

A,
1
1,2, , , ,
i j i
i
n A A i j A



    


A thì :
1 1
( ) ( )
i i
i i
P A P A
 
 

 
.
1.3. Không gian xác suất. Giả sử
  
, là một

- đại số các tập con
của

và P: 



là độ đo xác suất. Khi đó bộ ba
(

,,P) gọi là một không

gian xác suất.
1.4. Đại lượng ngẫu nhiên. Giả sử
(

,,P) là không gian xác suất, B(R)
là


đại số Borel trên

. Khi đó ánh xạ X:
 

được gọi là một đại lượng
ngẫu nhiên nếu
1
( )
X B


A, với mọi B

B( R).
Sự độc lập của các biến cố được định nghĩa như sau: Hai biến cố A và B
được gọi là độc lập nếu:
( ) ( ) ( )
P A B P A P B


.

Họ hữu hạn các biến cố A
1
,A
2
,…,A
n
gọi là độc lập (toàn cục) nếu với
mọi
2
k n
 

và mọi bộ k chỉ số
1
1
k
i i n
   
ta có:
4

1 2 1
2
( . ) ( ). ( ) ( ).
k k
i i i i i i
P A A A P A P A P A


Họ tuỳ ý các biến cố


i
i I
A

gọi là độc lập (toàn cục) nếu mọi họ con của
nó đều hữu hạn.
Họ các

-đại số (A
i
)
i I


A gọi là độc lập (độc lập đôi một) nếu với
mọi
i
A

A
i
thì


i
i I

A

là họ biến cố độc lập (độc lập đôi một).
Họ đại lượng ngẫu nhiên


i
i I
X


gọi là độc lập nếu họ

- đại số(A
)
i
i I
X


độc lập.
1.5. Hội tụ hầu chắc chắn.Giả sử dãy (X
n
) là dãy đại lượng ngẫu nhiên
xác định trên cùng một không gian xác suất
(

,,P).
Định nghĩa 1.5.1. Dãy đại lượng ngẫu nhiên
( )

n
X

được gọi là hội tụ hầu
chắc chắn (h.c.c) đến đại lượng ngẫu nhiên X nếu:






: 1
n
P X X
  
 

Kí hiệu:
. .h c c
n
X X

Định lí 1.5.2. Dãy đại lượng ngẫu nhiên
n
X

hội tụ hầu chắc chắn khi và
chỉ khi:
lim sup 0
k

n
k n
P X X



 
  
 
 
, với mọi
0


.
HÖ qu¶ 1.5.3. Nếu chuỗi
1
( )
n
n
P X X



   

hội tụ víi mäi
0



th×:
. .
n
h c c
X X
 .
1.6. Hội tụ theo xác suất. Dãy đại lượng ngẫu nhiên
( )
n
X
được gọi là hội
tụ theo xác suất đến đại lượng ngẫu nhiên X nếu với mọi
0


:


0,
n
P X X n

    
.
Kí hiệu:
P
n
X X
 .
Định lí.

a. Nếu
. .h c c
n
X X
 thì
P
n
X X
 .
b. Nếu
P
n
X X
 thì tồn tại dãy con


k
n
X

sao cho
. .
k
h c c
n
X X

.
1.7. Hội tụ trung bình. Dãy đại lượng ngẫu nhiên

( )
n
X
được gọi là hội
tụ theo trung bình cấp p (
0
p

) đến đại lượng ngẫu nhiên X nếu:
0,( )
p
n
E X X n
   
.
5

Kí hiệu:
p
L
n
X X


1.8. Hội tụ theo phân phối. Giả sử
( )
n
X
có hàm phân phối
( )

n
F x
, X có
hàm phân phối
( )
F x
và
( )
C F
là tập tất cả các
x


mà tại đó F( x) liên tục.
Khi đó, nếu
lim ( ) ( )
n
n
F x F x


, với mọi
( )
x C F

thì ta nói
( )
n
X

hội tụ theo
phân phối đến X.
Kí hiệu:
D
n
X X
 .
1.9. Dãy cơ bản
Dãy đại lượng ngẫu nhiên (X
n
) gọi là dãy cơ bản h.c.c nếu với mọi
0



thì:
,
lim(sup ) 0
k l
n
k l n
X X



  
.
Dãy (X
n
) được gọi là dãy cơ bản theo xác suất nếu với mọi

0


bất kỳ:
( ) 0,( , )
n m
P X X m n

   

Dãy (X
n
) được gọi là dãy cơ bản theo trung bình bậc p nếu với mọi
0



bất kỳ:
0,( , )
p
n m
E X X m n
   

1.10. Bất đẳng thức Markov
Giả sử
p
E X
 
,

( 0)
p

. Khi đó với mọi
0


ta có:
.
( )
p
p
E X
P X


 

1.11. Bất đẳng thức Chebyshev
Giả sử
2
EX
 
. Khi đó, với mọi
0



ta có:
2

( )
DX
P X EX


  
.
1.12. Bổ đề Borel - Cantelli. Giả sử (A
n
) là dãy các biến cố ngẫu nhiên.
a. Nếu
1
( )
n
n
P A


 

thì
(limsup ) 0.
n
n
P A


b. Nếu
1
( )

n
n
P A


 

và dãy (A
n
) độc lập thì
(limsup ) 1
n
n
P A

.
( ở đây
1
limsup
n
n
n m n
n
A A
 
 

 
).
1.13. Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ h.c.c. Dãy (X

n
) hội tụ h.c.c khi và
chỉ khi dãy ( X
n
) cơ bản theo nghĩa h.c.c
6

1.14. Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ theo xác suất. Dãy (X
n
) hội tụ
theo xác suất khi và chỉ khi (X
n
) là dãy cơ bản theo xác suất.
1.15. Hệ quả (Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn)
Giả sử
n
p
X X


và
(sup )
n
n
E X
 

thì 0;
n n
E X X EX EX

   .
1.16. Kì vọng. Giả sử
(

, F,P) là không gian xác suất, X:
 


là đại
lượng ngẫu nhiên. Khi đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại)
gọi là kì vọng của X, kí hiệu EX .
Như vậy
EX XdP



.
1.17. Tính chất:
a. Nếu
0
X


thì
0
EX


b. Nếu X=c thì EX=c, c là hằng số.
c. E(aX+bY)=aEX+bEY, với a, b là các hằng số.

d. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x
1
,x
2
….,x
n
,….với
các xác suất tương ứng p
1
.,p
2
,…,p
n
,…thì:
.
i i
i
EX x p


.
e. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ p(x) thì:
( )
EX xp x dx





.

f. Nếu X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì: E(XY) = EX.EY.
Tổng quát: Nếu (X
n
) là dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì với mọi số tự
nhiên n >1 ta có:
E(X
1
.X
2
….X
n
)=EX
1
.EX
2
EX
n

1.18. Hàm đặc trưng. Hàm số


( ) Ee cos isintX ,
itX
x
t E tX

  
t R


được gọi là hàm đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên X.
7

Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN VÀ TIÊU CHUẨN
HỘI TỤ CỦA TỔNG CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP

2.1. Một số bất đẳng thức cơ bản
Giả sử
( )
n
X
là dãy các đại lượng ngẫu nhiên, ta kí hiệu

1
k
k i
i
S X



.
2.1.1. Bất đẳng thức Kolmogorov
2.1.1.1. Định lí. Giả sử
1
, ,
n
X X
là những đại lượng ngẫu nhiên độc lập
với

EX 0
n

và
2
, 1,2, ,
k k
DX k n

    . Khi đó:
a. Với mọi
0


:


2
2
1
1
1
ax (2.1.1.1)
n
k k
k n
k
P m S
 


 

 


b. Nếu


1
ax 1
k
k n
P m X c
 
 
thì:


2
2
1
( )
ax 1
k
n
k n
k
k
c
P m S







  

,
0 (2.1.1.2)
c


Chứng minh
a. Đặt


1 1
A S

 
;


2 1 2
,A S S
 
  
,…,



1
, , , 2, , ;
k k
A S S k n
 
   


1
ax
k n
k
A m S

 
 

1
; ( )
n
k i j
k
A A A A i j

    



Ta có:

2 2 2 2
1 1 1
ES (ES ) ES
n n n
k k k n n n n
k k k
DX D X DS

  
 
     
 
 
  
(vì
ES 0
n

).
2 2 2
1
ES ES
n
k n n A
k
I


  


.
Mặt khác ta có:
2 2 2 2
1 1 1
2 2
1
ES ( )
( ) 2 ( )
k k k
k k k
n n n
n A n A n A n k k A
k k k
n
n k A k A k A n k
k
ES I I E S I E S S S I
E S S I S I S I S S
  

   
    
   
   
 
 
    
 
 
 

 
  


8

2 2
1
2
1
E(S ) ES 2 ( )
ES
kj k k
k
n
n k A k A k A n k
k
n
k A
k
S I I ES I S S
I


 
    
 




Vì
( )
n k
S S

và
k
k A
S I
độc lập;
( ) 0
n k
E S S
 

nên
( ) ES ( ) 0
k k
k A n k k A n k
ES I S S I E S S
   
và
2
( ) 0
k
n k A
E S S I
 
do đó:

2 2 2 2
1 1 1
2 2 2 2
1 1 1
ES ES
( ) ( ).
k k
k k
n n n
k n k A A
k k k
n n n
A A k
k k k
I E I
EI E I P A P A
 
   
  
  
  
 
   
 
 
  
  

2
1

2
( )
n
k
k
P A



 

Hay


2
2
1
1
1
ax
n
k k
k n
k
P m S
 

 

 


.
b. Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2
ES ES ES ES ( ) ES . ( )
n A n n A n n
I I P A P A
  
      
(1)
( vì
( ) 1 ( )
P A P A
 
).
Trên
k
A
ta có:
1 1
;
k k k k
S S S X c
 
 
    

Nên
2 2 2
A

2
2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
1
2
2
1
ES I ES ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (2)
k k k
k k
k k
n n A A n A
A A
k
n n n
n
k k
k k k
n n n n
n n
k k
k k k
k
n
n

k
A
I E S I E S S S I
ES I E S S I c P DS P A
c P A DS P A
P A c


 
  
  


 
    
 
 
     
  
 
  
 
 
  
   


Từ (1) và (2) ta có:
2 2 2 2 2
1

2 2 2 2 2
1
ES ( ) ( ) ( )
ES ( ) ( )
n
n k
k
n
n k
k
P A P A c
P A c
   
   


 
    
 
 
 
     
 
 



9

2 2

2 2
1
2 2 2 2 2 2
1 1
2 2
2 2 2 2
1 1
ES
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1
( )
n
k
n k
n n
k k
k k
n n
k k
k k
P A
c c
c c
c
 

     
 

   

 
 


  
     
 
   
  

 
 

Hay


2
2
1
( )
ax 1
k
n
k n
k
k
c
P m S







  

.
2.1.1.2. Hệ quả. Giả sử (X
n
) là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập,
0
n
EX

. Khi đó với mọi ta có:
a.
 
2
1
ax (2.1.1.3)
k
k m
n k m
m
k n
DX
P m S S


 
 
 

;
b.
2
1
sup (2.1.1.4)
k
k n
k n
n
P S S



 
 
 
 
 

k
DX
.
Chứng minh
a. Đặt Y
1
=Y

2
=…=Y
n
=0; Y
k
= X
k
với mọi k > n.
Dễ thấy (Y
n
) độc lập và EY
k
= 0 với mọi k.
Với
k n


ta có:
( )
1 2 n n 1 k n 1 k n 1 k n k
Y
k
S Y Y Y Y Y Y Y X X S S
  
           
Khi đó
1 1
m m
k k n
k k

DY DX
  

 
. Áp dụng định lý Kolmogorov cho (Y
m
) ta
được :
   
( )
1
2
1
1
2
P ax max , 0
m
k
Y
k
k m k
n k m k m
m
k
k n
DY DX
m S S P S
  




   
 
       
 

Vậy
2
1
ax ε
n k m
m
k
k n
DX
m

 
 
  

k n
P( S S )
.
b. Đặt
ax
ε
n k m
m
B m

 
  
k n
( S S )
,
,
m n
  
.
Suy ra B
m
đơn điệu tăng và sup
k n
m n
k
m n
B S S




  


10

Suy ra tồn tại:

2 2
1 1

(sup ) lim ( ) lim
m m
k n
m
k k
k n k n
m
m n
n m
k
DX DX
P S S P B P B

 
 



   

 
     
 
 
 


Suy ra
2
1

(sup )
k n
k n
k
n
k
DX
P S S




 
  


2.1.2. Bất đẳng thức P. Levy
2.1.2.1. Định lí. Nếu
1 2
, , ,
n
X X X
là những đại lượng ngẫu nhiên độc lập
và đối xứng thì:




1
ax 2 , 0 (2.1.2.5).

k n
k n
P m S P S
  
 
    
Chứng minh
Đặt






1 1
1
ax ;
ε ; ;
k n
k n
A m S B A S
 
 
     S





2 1 2 k-1

, ; ε; ;
k k
A S S A S S S
   
      
1
.
Ta có:
1
; ( ).
n
k i j
k
A A A A i j

   



Mặt khác ta có:



 
1
1
( ),
( ),
.
n k k n

n k k n
n
S S X X
S S X X
B S



   
   
 

Ta có:

2
k n n
S S S
 
, do đó

( ), 1,2, ,
k
A B B k n
  
vì trên ,
k k
A S



hay
( ) ( ), 1,2, ,
k k k
A A B A B k n
  

.
Theo giả thiết do
1 2
, , ,
n
X X X
độc lập và đối xứng nên
n
S
và

n
S
cùng
phân phối và có :
( ) ( ) ( ) 2 ( )
k k k k
P A P A B P A B P A B
  

.
Vì
A B B
 

nên
1 1
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
n n
k k
k k
P B P AB P A B P A P A
 
   
 

Hay


1
( ax ) 2 , 0
k n
k n
P m S P S
  
 
    
.




11

2.1.3. Bất đẳng thức Ottaviani
2.1.3.1. Định lí. Giả sử
1 2
, , ,
n
X X X
là những đại lượng ngẫu nhiên độc
lập. Khi đó, với
0


nào đó:
 
1 1
1
ax
2
n k
k n
m P S S

  
  
(2.1.3.6)
Thì:





1
ax 2 2
k n
k n
P m S P S
 
 
  
(2.1.3.7)
Chứng minh
Đặt
1
( ax 2 )
k
k n
A m S

 
  ,
( )
n
B S

 
,







1 1 2 1 2 1 1
2 , 2 ); 2 , , 2 ; ; 2 ; 2
k k k
A S A S S A S S S
     

        


; 1; 1,
k n k n
B S S k n B

      

Ta có:
1
1
; ( );
n
n
k i j k k
k
k
A A A A i j A B B


     


.
Với mọi k (
1,
k n
 ) cặp
( , )
k k
A B
độc lập và
1
( )
2
k
P B


(vì


k n k
B S S

  
và theo bất đẳng thức (2.1.3.6).
Vì vậy:
1 1 1 1
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
n n n n

k k k k k k k
k k k k
P B P A B P A B P A P B P A P A
   
    
   

( ) 2 ( )
P A P B
 
.
Hay




1
ax 2 2
k n
k n
P m S P S
 
 
  
.
2.1.3.2. Định lí. Giả sử
1 2
, , ,
n
X X X

độc lập nhau. Khi đó, với
0
 
,
0 1
  

nào đó:


1 1
(2.1.3.8).
n k
k n
max P S S
 
  
  
thì:
 
1
1
( ax ) , 0 (2.1.3.9)
1
k n
k n
P m S a P S a a


 

     

.
Chứng minh
Đặt
1 2 1 2
1
1
( ax ); ( ); ( ); ( ; ); ;
k n
k n
A m S a B S a A S a A S a S a
   
 
            
1
1
( ; ; ; )
k k
k
A S a S a S a
  

      

( ); 1, .
k n k
B S S k n

   

12

Ta có:
1
; ( )
n
k i j
k
A A A A i j

    

;
1
k
n
k
k
A B B



; cặp
( , )
k k
A B
độc lập
với mọi k (
1,

k n
 ) và
( ) 1
k
P B

 
.
Do đó, ta có:
1
1 1 1
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( )
n n
k k k k
k
n n n
k k k
k k k
k
P B P A B P A B
P A P B P A P A
 

  

 
    
 

  

1
( ) ( )
1
P A P B

 


hay
1
1
( ax ) ( ), 0
1
k n
k n
P m S a P S a a


 
     

.
2.1.4. Phương pháp đối xứng hóa
Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên. Lấy X’ là đại lượng ngẫu nhiên sao cho
X’ có cùng phân phối và độc lập với X. Khi đó ta gọi
*
'
X X X

 
là đối xứng
hóa của X.
Tổng quát: Giả sử


, 1
n
X n


là dãy các đại lượng ngẫu nhiên. Ta định
nghĩa


*
, 1
n
X n


là đối xứng hóa của


, 1
n
X n

.
*

X

có hàm đặc trưng là:
2
*
( ) ( )
X x
f t f t

.
Mệnh đề. Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên, X* là đối xứng hóa của X. Ta
có:
a.
( ) 2 ( * ) (2.1.4.10)
P X mX P X
 
   

b.
*
1
( ) ( ) 2 ( ) (2.1.4.11)
2 2
P X mX P X P X a

 
      
.
0, ,
a mX


  


là median của X.
Chứng minh
a. Do X và X’ có cùng phân phối nên các median của chúng bằng nhau
hay ta có: mX = mX’.
Ta có:
* '
( ) [( ) ( ' ) )] [( ) ;( ' ') 0]
( ). ( ' ' 0)
P X P X mX X mX P X mX X mX
P X mX P X mX
  

          
    

'
( ). ( ' )
1
( ) )
2
P X mX P X mX
P X mX


   
  

Vậy ta có:
*
( ) 2 ( )
P X mX P X
 
   
.
13

b. Để chứng minh (2.1.4.11) ta chứng minh hai bất đẳng thức sau:
*
*
1
( ) ( )( )
2
( ) 2 ( )( )
2
P X mX P X i
P X P X a ii
 



   




   




Chứng minh (i):
Từ bất đẳng thức (2.1.4.10) ta thay X bằng –X thì ta được:
*
*
( ) ( ) )
( ( ) ) 2 ( )
2 ( )
P X mX P X mX
P X mX P X
P X
 
 

      
      
 

Kết hợp với (2.1.4.10) suy ra (i).
Chứng minh (ii):
Ta có:
*
'
X X X
 

suy ra:
*

( ) ( ) ( ' )
2 2
X X a X a
 

      

*
( ) ( ) ( ' ) 2 ( )
2 2 2
P X P X a P X a P X a
  

          
(do X và
X’ độc lập cùng phân phối).

(ii) được chứng minh.
Do đó ta có:
*
1
( ) ( ) 2 ( )
2 2
P X mX P X P X a

 
      
.
2.2. Tiêu chuẩn hội tụ
Giả sử



, 1
n
X n

là dãy các đại lượng ngẫu nhiên. Nếu dãy các tổng
riêng
1
n
n k
k
S X



hội tụ theo nghĩa nào tới S thì ta nói chuỗi
1
k
k
X



hội tụ theo
nghĩa ấy và gọi S là tổng của nó.
2.2.1. Định lí P.Levy. Nếu


, 1

n
X n

là dãy các đại lượng ngẫu nhiên
độc lập. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
a. Chuỗi
1
k
k
X



hội tụ theo phân phối.
b. Chuỗi
1
k
k
X



hội tụ theo xác suất.
14

c. Chuỗi
1
k
k
X




hội tụ hầu chắc chắn.
Chứng minh
Ta chỉ cần chứng minh
( ) ( ) ( )
a b c
 
.
(a)

(b): Giả sử chuỗi
1
k
k
X



hội tụ theo phân phối nhưng không hội tụ
theo xác suất. Nghĩa là dãy
( )
n
S
không cơ bản theo xác suất. Khi đó tồn tại
0


và dãy

1
( , ) ,
k k k k k
n m n m


sao cho:


, 1,
k k
n m k
P S S k m
 
     
(*)
Mặt khác, vì
( )
n
P S
hội tụ yếu đến độ đo xác suất


nên cũng compact
tương đối. Do đó, với
0
 
tồn tại
a 0


sao cho:
 
sup
2
n
n
P S a

 
.
Từ đó:






2 , ( , ).
n m n m
P S S a P S a P S a m n

       
Nghĩa là, họ


, 1
n m
S S
P n m


 
compact tương đối. Nói riêng, họ


, 1
n m
k k
S S
P k


compact tương đối. Do đó, tồn tại dãy con


, 1
p q
k k
S S
P k


hội tụ
yếu đến độ đo xác suất

. Như vậy, ta có:
, .
p p p q k
k k k k
S S S S q
P P P S


  

    

Từ đó, ta có:
  
 
. Như vậy
0
 

với
0

là độ đo xác suất tập trung
tại 0, tức là
0
( ) 0
B


nếu
0
B

và
0
( ) 1
B



nếu
0 ,
B B
 
B(

).
Suy ra, ta có:
0
k k
P
p q
S S
 
( mâu thuẫn với (*))
Vậy
( )
n
S
hội tụ theo xác suất.
( ) ( )
b c

: Giả sử
1
k
k
X




hội tụ theo xác suất, ta chứng minh
1
k
k
X




hội tụ
h.c.c.
Thật vậy, giả sử
P
n
S S

. Khi đó
(0;1)

 
, tồn tại
0
m
sao cho nếu
0
n m m
 

ta có:


n m
P S S
 
  
.
15

Áp dụng định lí 2.1.3.1 (bất đẳng thức Ottaviani), ta được:
với
0
n m m
 


1
( ax 2 ) ( ) )
1 1
j
m j n
m n m
P m S S P S S

 
 
 
     
 

(**)
Với mọi
0


cho trước, ta chọn

: 0 min 1,
2

 
 
 
 
 
. Khi đó, từ (**) ta
suy ra:
lim(sup )
1
m
j m
mj
S S





  


.
Cho
0


, ta có:
lim(sup ) 0
m
j m
mj
S S



  
.
Như vậy
( )
n
S

là dãy cơ bản h.c.c nên
( )
n
S
hội tụ h.c.c.
2.2.2. Hội tụ trung bình
2.2.2.1. Định lí. Giả sử (
n
X

,
1
n

) là dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập và
hai chuỗi
1
n
n
EX




và
1
n
n
DX



hội tụ

thì chuỗi
1
n
n
X





hội tụ trung bình cấp 2.
Chứng minh.
Ta có:
2
1 1
0,
k k
m
k n k n
m n
E S S DX DX m n

   
      
 

suy ra
2
0
m n
E S S
 
, khi
m n
  
)
Vậy (S

n
) Cauchy trong L
2
, suy ra (S
n
) hội tụ trong L
2
hay
1
n
n
X




hội tụ
trung bình cấp 2.
2.2.2.2. Định lí ( Định lý Kolmogorov – Khichin). Giả sử (X
n
) là dãy các
đại lượng ngẫu nhiên độc lập,
0
n
EX

. Khi đó:
a. Nếu
2
1

n
n
EX





thì
1
n
n
X



hội tụ h.c.c
b. Nếu dãy (X
n
) bị chặn đều với xác suất 1 và nếu chuỗi
1
n
n
X



hội tụ h.c.c
thì
2

1
n
n
EX





.
Chứng minh
a. Do
( )
n
X

độc lập,
0
n
EX

;
1
n


và
2
1
n

n
EX





nên
1
n
n
DX


 


Theo định lý 2.2.2.1, dãy (S
n
) hội tụ theo trung bình bậc 2.
16

Vậy
2
0
m n
E S S
 
,
,

m n
 
.
Áp dụng bất đẳng thức Markov ta có với mọi
0


:
   
2
2
0,
m n
m n m n
E S S
P S S P S S m n
 


         
.
Suy ra
( )
n
S

hội tụ theo xác suất và do đó theo định lí 2.2.1.1, dãy
( )
n
S

hội
tụ h.c.c.
b. Giả sử chuỗi
1
n
n
X



hội tụ h.c.c. Khi đó với n đủ lớn ta có:
1
1
(sup )
2
k
n
n k
P S S



  
(*)
Mặt khác, theo bất đẳng thức Kolmogorov, ta có:
1
2
2
1

( )
(sup ) 1
k
k
n
n
n k
k
c
P S S







   


Nếu
2
1
k
k



 


thì
1
(sup ) 1, 1.
k
n
n k
P S S n



    

Do đó mâu thuẫn với (*), vậy
1n
n
DX


 


hay
2
1
n
n
EX







2.2.2.3. Hệ quả. Giả sử (X
n
) là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập. Khi
đó, nếu
1n
n
DX


 


thì
1
( )
n n
n
X EX





hội tụ h.c.c.
Chứng minh
Đặt
n n n

Y X EX
 

(Y
n
) là dãy độc lập:
EY
n
=E(
n n
X EX

)=
0;
n n
EX EX
 

DY
n
=DX
n
=
2
n
EY

Suy ra
2
1

n
n
EY




hội tụ. Áp dụng định lý Kolmogorov - Khinchin cho (Y
n
)
ta được điều phải chứng minh.
2.2.2.4. Hệ quả. Nếu (
n
X
,
n 1

) là dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập và
hai chuỗi
n
n 1
EX



và
n
n 1
DX




hội tụ thì chuỗi
n
n 1
X




hội tụ h.c.c.
Chứng minh
17

Theo giả thiết
n
n 1
DX





, theo hệ quả 2.2.2.3 ta có chuỗi
n n
n 1
(X EX )






hội tụ h.c.c (*).
Mặt khác:
n n n n
X (X EX ) EX
  
(**)
Từ (*), (**) và chuỗi
n
n 1
EX






(giả thiết ), suy ra
n
n 1
X




hội tụ h.c.c 

Bây giờ, ta xét trường hợp



n
X ,n 1

bị chặn đều, tức là
c 0
 
sao cho:
n
n 1
P(sup X c) 1

 

2.2.2.5. Định lí (Tiêu chuẩn hai chuỗi). Nếu


n
X ,n 1

là dãy đại lượng
ngẫu nhiên độc lập và bị chặn đều, thì các điều kiện sau tương đương :
a. Chuỗi
n
n 1
X



hội tụ h.c.c.

b. Chuỗi
n
n 1
X



hội tụ trung bình cấp 2.
c.
n
n 1
DX



và
n
n 1
EX




hội tụ.
Chứng minh
Ta chỉ cần chứng minh
(a) (c)

.
Nếu cần phải mở rộng không gian xác suất

(

, A, P) đủ giàu để tồn tại
dãy biến ngẫu nhiên độc lập
'
n
(X )
và các họ
'
n n 1 n n 1
(X ) ,(X )
 
cùng độc lập với
nhau, ngoài ra
'
n n
(X ),(X )

có cùng phân phối đối với mỗi n thì chuỗi
'
n n
(X X )


hội tụ h.c.c.
Khi đó nếu
n
n 1
P(sup X c) 1


 

thì


'
n n
P X X 2c 1
  
.
Ta có chuỗi
'
n n
D(X X )


hội tụ và do đó :
'
n n n
n 1 n 1
1
DX D(X X )
2
 
 
 
 
hội tụ.
Do chuỗi
n

n 1
X



hội tụ h.c.c nên chuỗi
n n
n 1
(X EX )




hội tụ h.c.c (hệ quả
2.2.2.3).
Mặt khác, ta có:
n n n n
EX X (X EX )
  
.
18

Vậy
n
n 1
EX



hội tụ.

Mệnh đề 2.2.2.6. Giả sử (X
n
) là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập,
EX
n
= 0, DX
n
=1 và tồn tại số
c
 
:
( ) 1
n
P X c
 
, n

1 (2.2.2.12)
Nếu (
n
a
) là dãy số thực bất kỳ thì chuỗi
1
n n
n
a
X




hội tụ h.c.c khi và chỉ
khi chuỗi
2
1
)
(
n n
n
a X



hội tụ h.c.c.
Chứng minh
Giả sử chuỗi
1
n n
n
a
X



hội tụ h.c.c, khi đó chuỗi
2
1
)
(
n n

n
a X



hội tụ h.c.c
(hiển nhiên).
Ngược lại, nếu chuỗi
2
1
)
(
n n
n
a X




hội tụ h.c.c thì dãy (
2
n
a
) bị chặn. Thật
vậy, giả sử (
2
n
a
) không bị chặn, khi đó tồn tại dãy
2

n
k
a 

, trong khi đó
2 2
0
n n
a X

h.c.c. Do đó
2
0
n
k
X  h.c.c suy ra
2
1 0
n
k
EX 
( Vô lý)
Vậy dãy
2
n
k
a
bị chặn bởi
0
a


nên dãy
2 2
n n
a X
bị chặn bởi ac
2
với xác suất
1.
Theo định lí 2.2.2.5 ta có chuỗi
2
1
)(
n n
n
aE X


 

. Áp dụng định lý
Kolmogorov- Khinchin suy ra chuỗi
1
n n
n
a
X




hội tụ h.c.c.
Mệnh đề 2.2.2.7. Giả sử (X
n
) là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, X
n

có phân phối Poisson. Khi đó
1
n
n
X



hội tụ h.c.c nếu và chỉ nếu
1
n
n
EX



hội tụ.
Chứng minh
Điều kiện cần: Giả sử
1
n
n
X




hội tụ h.c.c, suy ra (S
n
) hội tụ theo phân
phối.
19

Do đó tồn tại:
 
1
( 1)
lim lim
k
n
k
it
n
n
S
t e








1
n
n





hội tụ.
Vậy
1
n
n
EX



hội tụ.
Điều kiện đủ: Giả sử
1
n
n
EX



hội tụ. Khi đó
1
n
n

X



hội tụ h.c.c.
Thật vậy, từ giả thiết
1
n
n
EX



hội tụ ta suy ra
1
n
n
DX



hội tụ (X
n
có phân
phối Poisson nên ta có EX
n
=DX
n
)
Theo tiêu chuẩn 2 chuỗi suy ra

1
n
n
X



hội tụ h.c.c.
Mệnh đề 2.2.2.8. Giả sử (X
n
) là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập,
2
(0, )
n n
X N

 n=1,2,…
Khi đó chuỗi
1
n
n
X



hội tụ h.c.c nếu và chỉ nếu
2
1
n
n





hội tụ.
Chứng minh
Điều kiện cần: Giả sử
1
n
n
X



hội tụ h.c.c .Khi đó
1
n
n
X



hội tụ theo phân
phối, suy ra tồn tại
 
2
2
1
)
(

2
lim lim
n
k
k
n
t
n
S
t e







, suy ra
2
1
n
n




hội tụ.
Điều kiện đủ: Giả sử
2
1

n
n




hội tụ, khi đó, ta có:
0
n
EX

,
2
1
n
n



 


2
1 1
2
1
n n
n n
n
n

EX DX

 
 


    
  
.
Theo định lý Kolmogorov- Khinchin, ta có chuỗi
1
n
n
X



hội tụ h.c.c.
Mệnh đề 2.2.2.9. Giả sử (X
n
) là dãy các đại lượng ngẫu nhiên không âm.
Khi đó :
a. Nếu chuỗi
1
n
n
EX




hội tụ thì chuỗi
1
n
n
X




hội tụ h.c.c.
20

b. Nếu ( ) 0, 1,
n
P X c n c
   


và chuỗi
1
n
n
X



hội tụ h.c.c thì chuỗi
1
n

n
EX



hội tụ.


Chứng minh
a. Theo giả thiết chuỗi
1
n
n
EX



hội tụ, suy ra hội tụ, do đó là dãy Cauchy,
khi đó:
lim 0
m n
m n
E S S
  
 

Suy ra
( ) 0
m n
P S S


  
.
Suy ra


n
S
là dãy Cauchy theo xác suất, suy ra


n
S
hội tụ theo xác suất.
Mặt khác


n
S
là dãy tăng do đó


n
S
hội tụ h.c.c hay chuỗi
1
n
n
X





hội tụ
h.c.c.
b. Từ giả thiết
( ) 0
n
P X c
 
,
1
n

suy ra
( ) 1
n
P X c
 
.
Từ giả thiết và chuỗi
1
n
n
X



hội tụ h.c.c ta có chuỗi
1

n
n
EX



hội tụ.
2.2.2.10. Định lí. Giả sử


, 1
n
X n

là dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập,
chuỗi
1
n
n
X



hội tụ h.c.c đến S,
1
n
n k
k
S X





và
0
p
  
. Khi đó các điều kiện
sau tương đương :
a.
1
sup
n p
n
S L


, tức là
1
sup
p
n
n
E S

 
 
 
 
;

b.
1
sup
n p
n
X L


, tức là
1
sup
p
n
n
E X

 
 
 
 
;
c.
p
S L

, tức là
p
E S
 
;

d.
p
L
n
S S

, tức là
0
p
n
E S S
 
.
Chứng minh
(a)

(b) :
21

Ta có :
1 1
n n n
X S S
 
 

1 1
n n n
X S S
 

  
Vậy ta có
1 1
sup 2sup
n n
n n
X S
 

.
Do đó, khi
1
Esup
p
n
n
S

 
ta suy ra
1
Esup
p
n
n
X

 
. 
(a)


(c) : hiển nhiên, vì ta luôn có:
1
sup
p
p
n n
n
n
S X



.
(c)

(d) : Ta có:
1
2 sup
p p
p
p
n n
n
S S S S

 
  
 
 

Mặt khác ta có:
p
E S
 

nên
1
Esup
p
n
n
S

 
.
Vậy theo định lí Lebesgue về hội tụ bị chặn ta có:
p
L
n
S S

.
Mệnh đề 2.2.2.11. Giả sử (X
n
) là dãy đại lượng ngẫu nhiên. Khi đó :
a. Nếu chuỗi
1n
n
X




hội tụ h.c.c thì:
: sup 0, (2.2.2.13)
n
P
k
k n
Y X n

   

b. Chuỗi
1n
n
X



hội tụ h.c.c nếu và chỉ nếu:
0,
sup (2.2.2.14)
m
m n
k n
n
k
P
Z X n



   


Chứng minh
a. Theo giả thiết chuỗi
1n
n
X



hội tụ h.c.c, nên
0
n
X 
h.c.c.
Suy ra với mọi
0:



(sup ) 0
k n
k
P X


 

Suy ra
sup 0
k n
n
k
P
Y X



.
b. Giả sử chuỗi
1n
n
X



hội tụ h.c.c, suy ra (S
n
) hội tụ h.c.c. Do đó (S
n
) là
dãy Cauchy h.c.c.
Suy ra
h.c.c
sup 0,
m n
m

n
S S n

   
.
suy ra
h.c.c
sup 0
m n
m
n
k
k n
Z X


 


22

nếu
nếu

suy ra 0,
n
P
Z n
  
.

Ngược lại, giả sử
0
n
P
Z

, ta chứng minh
1n
n
X



hội tụ h.c.c.
Thật vậy, từ giả thiết
0
n
P
Z

, suy ra:
,
sup 2sup 0
n k l m
k l n m n
n
P
Y S S S S
 
    

Suy ra dãy (Y
n
) là dãy giảm và hội tụ theo xác suất đến 0, suy ra:
. .
0,
h c c
n
Y n
  
.
Do đó (S
n
) là dãy cơ bản h.c.c nên chuỗi
1n
n
X



hội tụ h.c.c.
Mệnh đề 2.2.2.12 . Giả sử (X
n
) là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập.
Khi đó, nếu chuỗi
1
n
n
X




hội tụ và có tổng h.c.c là hằng số thì mỗi hạng tử h.c.c
bằng hằng số.
Chứng minh
Trước hết, ta chứng minh cho tổng của hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập
h.c.c bằng hằng số thì mỗi hạng tử h.c.c bằng hằng số.
Thật vậy, giả sử X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập và X+Y=Z h.c.c
bằng hằng số.
Gọi X*,Y*, Z* là đối xứng hoá của X,Y, Z tương ứng thì X*+Y*=Z*
bằng hằng số và Z*=0 h.c.c .
Từ đó:
*
* *
( ). ( ) ( )
X Z
Y
t t t
  

suy ra
2 2 2
( ) ( ) ( ) 1
X Y Z
t t t
  
 
.
Do đó:
2 2

( ) . ( ) 1
X Y
t t
 

, với mọi
t



Suy ra:
2 2
( ) ( ) 1
X Y
t t
 
 
hay
* *
( ) ( ) 1
X Y
t t
 
 

Do đó X*=0, Y*=0 h.c.c.
Vậy X và Y h.c.c bằng hằng số.
Từ đó suy ra rằng nếu:
1
1

k n
k
k k n
X X X X

 
   
 

là hằng số h.c.c thì
theo chứng minh trên ta suy ra được mỗi X
k
là hằng số h.c.c
2.2.3. Tiêu chuẩn ba chuỗi
Giả sử
0
c
  
và X là đại lượng ngẫu nhiên bất kỳ, đặt:
,
0,
c
X
X





X c
X c



23

2.2.3.1. Định lí ( Tiêu chuẩn ba chuỗi)
Giả sử (X
n
) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập. Khi đó
1
n
n
X




hội tụ h.c.c
khi và chỉ khi 3 chuỗi :
1
( )
n
n
P X c





;
1
c
n
n
DX



và
1
c
n
n
EX




hội tụ(
0
c
 
)

Chứng minh
Điều kiên cần: Giả sử chuỗi
1
n
n

X




hội tụ h.c.c. Ta cần chứng minh 3
chuỗi
1
( )
n
n
P X c




;
1
c
n
n
DX



và
1
c
n
n

EX




hội tụ.
Thật vậy, chuỗi
1
n
n
X




hội tụ h.c.c, suy ra
0
n
X

h.c.c
n
X c
 

h.c.c (*).
c
n n
X X
 

h.c.c
1
c
n
n
X




héi tô

hai chuỗi
1
c
n
n
DX




và
1
c
n
n
EX





hội
tụ.
Từ (*) suy ra
( ) 0
n
P X c
 

Vậy
1
( )
n
n
P X c





hội tụ.
Điều kiện đủ: Giả sử 3 chuỗi
1
( )
n
n
P X c





;
1
c
n
n
EX




và
1
c
n
n
DX




hội tụ,
ta chứng minh chuỗi
1
n
n
X





hội tụ.
Thật vậy: chuỗi
1
c
n
n
DX




và
1
c
n
n
EX




hội tụ, suy ra
1
c
n
n
X





hội tụ (**).
Chuỗi
1
( )
n
n
P X c


  

, suy ra:
)
1 1
( ( ) (***)
c
n n n
n n
P X X P X c
 
 
    
 

24

i j
n n (i j)


Từ (**) và (***) suy ra
1
n
n
X




hội tụ h.c.c.
Mệnh đề 2.2.3.2. Giả sử (X
n
) là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, đối
xứng. Khi đó, nếu
1
n
n
X



hội tụ h.c.c thì chuỗi có được bằng cách hoán vị các
hạng tử của chuỗi đã cho một cách tuỳ ý cũng hội tụ.
Chứng minh
Giả sử
* *

:


 
là song ánh bất kỳ. Khi đó, nếu chuỗi
1
n
n
X



hội tụ
h.c.c thì chuỗi
1
( )
n
n
X




hội tụ.
Thật vậy, nếu chuỗi
1
n
n
X




hội tụ h.c.c thì theo tiêu chuẩn ba chuỗi ta có
1
( )
n
n
P X c


  


và
1

n
c
n
DX


 

(với mọi
0
c

).
Do đó

1
( )

n
n
P X c



 
  
 
 

;
1
( )
n
c
n
DX



 

.
Mặt khác
1
( )

n
c
n
EX



 

hội tụ. Vì vậy theo tiêu chuẩn 3 chuỗi ta có chuỗi
1
( )
n
n
X




hội tụ h.c.c.
Mệnh đề 2.2.3.3. Giả sử (X
n
) là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, đối
xứng. Khi đó, chuỗi
2
1
n
n
X




hội tụ h.c.c nếu và chỉ nếu
1
2
2
1
n
n
n
X
E
X


 
 
 

 

.
Chứng minh
Điều kiện cần: Giả sử
2
1
n
n
X





hội tụ h.c.c.
Đặt
2
2
:
1
n
n
n
X
Y
X


, ta chứng minh chuỗi
1n
n
EY


 


Ta có:
2
2
2

1
n
n n
n
X
Y X
X
 


25

Mà
2
1
n
n
X




hội tụ h.c.c nên chuỗi
1n
n
Y




hội tụ h.c.c hay
2
2
1
1
n
n
n
X
X





hội tụ
h.c.c
Do chuỗi
1n
n
Y



hội tụ và các hạng tử là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập
và bị chặn đều bởi 1 ta có chuỗi
2
2
1
1

n
n
n
X
E
X


 
 

 


hội tụ.
Điều kiện đủ: Giả sử
2
2
1
1
n
n
n
X
E
X


 
 

 

 


1n
n
EY


  

thì chuỗi
1
n
n
Y



là đại lượng ngẫu nhiên khả tích nên hữu
hạn h.c.c.
Do đó tồn tại tập A đo được, P(A) =1 sao cho với
A


:
2
( )
2

( )
1
1
n
n
n
X
X




 






Từ (*) suy ra
2
( )
2
( )
0
1
n
n
X
X





,
n
 
.
Do đó
2
( ) 0
n
X


, vì vậy với mỗi
A


, tồn tại
( )
n

sao cho
2
( )
2
2
( )
( ) 2 , ( )

1
n
n
n
X
X n n
X




  

(**)
Từ (*) và (**) suy ra
2
1
( )
n
n
X



 

( với mọi
A



)
Vậy chuỗi
2
1
n
n
X



hội tụ h.c.c.