khóa luận tốt nghiệp về môđun có độ dài hữu hạn và điều kiện bear suy rộng

1
VỀ MÔĐUN CÓ ĐỘ DÀI HỮU HẠN VÀ ĐIỀU KIỆN BEAR SUY RỘNG

Giảng viên hướng dẫn: T.S Lê Văn An
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Lệ Hằng
1. Lý do chọn đề tài
Sự xuất hiện của khái niệm môđun Baer, tựa Bear và Baer đối ngẫu, tựa Bear đối ngẫu
trong những năm gần đây đã đặt nền móng cho việc chuyển hướng nghiên cứu từ cấu trúc
vành sang cấu trúc môđun. Nhờ đó, các tác giả nghiên cứu đã đạt được nhiều kết quả hấp dẫn
về các lớp môđun này và tạo ra những hướng tiếp cận khác có hiệu quả trên vành trong bài
toán “đặc trưng vành”. Khi tiếp xúc và nghiên cứu về lớp môđun Baer, tựa Bear và Baer đối
ngẫu, tựa Bear đối ngẫu, chúng tôi quan tâm đến vành tự đồng cấu của lớp môđun tựa Bear
đối ngẫu mà đặc biệt là môđun với độ dài hữu hạn và điều kiện Bear suy rộng. Vì vậy, chúng
tôi quyết định chọn đề tài “Về môđun có độ dài hữu hạn và điều kiện Bear suy rộng” để tiến
hành nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài thực hiện với mục đích tìm hiểu một số tính chất của vành tựa đồng cấu của
môđun có độ dài hữu hạn và điều kiện Bear suy rộng.
3. Phương pháp nghiên cứu
(i). Phương pháp nghiên cứu lý thuyết:

Thu thập các bài báo khoa học, các tài liệu của những tác giả nghiên cứu liên quan
đến môđun có độ dài hữu hạn và điều kiện Bear suy rộng .

Tham gia các buổi seminar để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu.
(ii). Phương pháp phân tích tổng hợp, dựa vào các kết quả đã biết để nghiên cứu và
chứng minh kết quả mới.
4. Lịch sử vấn đề
Khái niệm vành Baer và tựa Baer xuất hiện từ sự kết hợp giữa các
chuyên ngành giải tích hàm,

*
C
- đại số và đại số von - Neumann. Năm 1955, I. Kaplansky và
S.K. Berberian đã đưa ra khái niệm vành Baer trong quyển sách “Rings of operators”. Một vành
R
được gọi là Baer nếu với mỗi tập con
I
của
R
ta có


,

R
l I Re
với
2
 
e e R
(trong
đó,




0
  
R
l I R I

 
là linh hóa tử trái của vành
R
). Năm 1967, J. Clack đã mở rộng
khái niệm vành Baer và đưa ra khái niệm vành tựa Baer. Một vành
R
được gọi là tựa Baer nếu

2
với mỗi iđêan
I
của
R
ta có


,

R
l I Re
với
2
.
 
e e R
Lớp vành Baer và tựa Baer đóng
vai trò quan trọng trong lý thuyết Vành và Môđun, được sử dụng để đặc trưng vành. Những
năm gần đây, các tác giả G.F. Birkenmeier, A.W. Chatters, S.M. Khuri, J.Y. Kim, J.K. Park,…
tiếp tục quan tâm, tìm kiếm các mở rộng của hai lớp vành này và đạt được nhiều kết quả suất
sắc. Năm 2004, S.T. Rizvi và C.S. Roman đã mở rộng khái niệm vành sang môđun, đưa ra khái

niệm môđun Baer và môđun tựa Baer (xem [13]). Môđun
M
được gọi là Baer (tựa Baer) nếu
với mỗi môđun con
N
của
M
(tương ứng,
N
là hoàn toàn bất biến trong
M
) tồn tại lũy
đẳng
e
của
S
sao cho



S
l N Se
(trong đó,


S End M
 là vành các tự đồng cấu của
M
và









0 er     
s
l N S N S K N
   
là linh hóa tử trái của vành
S
).
Năm 2010, hai tác giả D.K. Tutuncu và R. Tribak đã sử dụng tư tưởng đối ngẫu (hình thức) để
đi đến định nghĩa iđêan phải




Im  
D N S N
 
của vành
S
(trong đó,
N
là
môđun con của môđun
M

). Từ đó, hai tác giả đã đưa ra khái niệm môđun Baer đối ngẫu
(xem [15]), môđun
M
được gọi là Baer đối ngẫu nếu với mỗi môđun con
N
của
M
tồn tại
lũy đẳng
e
của
S
sao cho


eS

D N . Môđun
M
được gọi là tựa Baer đối ngẫu (quasi –
Baer module) nếu với mỗi môđun con hoàn toàn bất biến
N
của
M
tồn tại lũy đẳng
e
của
S
sao cho



.
S
l N Se


Lớp môđun này được T. Amouzegar và Y. Talebi đưa ra năm 2013
(xem [6]). Đã thu được một số kết quả thú vị về lớp môđun này. Hiện nay có rất nhiều nhà
toán học quan tâm nghiên cứu các lớp môđun Baer, tựa Bear, Baer đối ngẫu và tựa Bear đối
ngẫu, cũng như những lớp môđun được xây dựng từ những lớp môđun này, chẳng hạn như
môđun Rickart, môđun Rickart đối ngẫu,…
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
(i). Đối tượng nghiên cứu: đối tượng chính của đề tài là môđun với độ dài hữu hạn và
điều kiện Bear suy rộng .
(ii). Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết Vành và Môđun.
6. Đóng góp của đề tài

Khóa luận được thực hiện dựa trên việc hệ thống, tổng hợp và làm rõ một số kết
quả của các sách và bài báo có liên quan.

Khóa luận là một tài liệu tham khảo cho các độc giả nghiên cứu về môđun Baer,
cũng như một số lớp vành và môđun có liên quan.
7. Bố cục khóa luận
Cấu trúc khóa luận được chia làm hai chương:

3
Chương 1. Chúng tôi chia làm 3 tiết
§1. Các kiến thức về môđun và vành
§2. Môđun với độ dài hữu hạn
§3. Điều kiện Bear suy rộng

Chương 2. Chúng tôi nghiên cứu các tính chất trên lớp môđun tựa Baer đối ngẫu.
Đồng thời nghiên cứu về mô đun có độ dài hữu hạn và điều kiện Bear suy rộng . Chương hai
được chia làm hai tiết:
§ 1. Môđun tựa Baer đối ngẫu
§2. Môđun với độ dài hữu hạn và điều kiện Bear suy rộng
CÁC KẾT QUẢ
Trong quá trình nghiên cứu chúng tôi đã có một số kết quả sau
- Tìm hiểu tính chất của các lớp môđun Bear, môđun tựa Bear và môđun Bear đối ngẫu,
môđun tựa Bear đối ngẫu
- Nghiên cứu tính chất về môđun với độ dài hữu hạn và điều kiện bear suy rộng
- Các kết quả mới là các định lý 1, 3, 4, 5.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. T. Amouzegar, Y. Talebi (2013), On quasi – dual Baer modules, TWMS J.
PureAppl. Math., Vol. 4, No. 1, 78 – 86
[2] F.W. Anderson and K.R. Fuller, Ring and Categories of Modules, Springer –
Verlag, New York - Heidelberg – Berlin, 1974.
[3] L.V. An, Đ.T. Oanh, A note on Endomorphism ring of dual Baer modules,
(Preprint), 2012.
[4]. S. T. Rizvi and C. S. Roman (2004), Baer and quasi – Baer modules, Com. in
Algebra, Vol. 32, No. 1, 103 – 123.
[5]. S. T. Rizvi and C. S. Roman (2009), On direct sums of Baer modules, J. of
Algebra, Vol. 321, 682 – 696.
[6]. D. K. Tutuncu, R. Tribak (2010), On dual Baer modules, Glasgow Math. J., Vol.
52, No. 2, 261 – 269.
[7] L.V. An, N.M. Thắng, Đ.T. Oanh, Một số kết quả về môđun Baer đối ngẫu, (Nhận
đăng trong thông báo khoa học Đại học Hà Tĩnh), 2012.
[8] S.H. Mohamed and B.J. Muller, Continuous and Discrete Modules, London Math.
Soc. Lecture Note Series, Vol. 147, Cambridge Univ. Press, 1990.
[9] G.F. Birkenmeier, J.Y. Kim and J.K. Park, Rings with countably many direct
summands, Com. in Algebra, Vol. 28, No. 1, 757 – 769, 2000.

[10] N.T. Quang, N.D. Thuận, Cơ sở lý thuyết môđun và Vành, NXB Giáo dục, 2001.

4
[11]. R. Wisbauer (1991), Foundations of Module in Ring Theory, Gordon and Breach,
Reading.
[12] Lê Văn An, Nguyễn Thị Thanh Tâm, Nguyễn Hải Anh, Nguyễn Thị Lệ Hằng,
vành các tự đồng cấu của môđun có độ dài hữu hạn và điều kiện bear suy rộng, tạp chí khoa
học đại học Hà Tĩnh số 3.