khóa luận tốt nghiệp xây dựng hệ thống bài tập chương phương trình lượng giác theo định hướng phát huy tính tích cực, chủ động và nâng cao năng lực học tập của học sinh thpt

1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Đảng và nhà nước ta xác định giáo dục là quốc sách hàng đầu và xem giáo
dục là công cụ mạnh nhất tiến vào tương lai. Hội nghị lần thứ IV Ban chấp
hành Trung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam (khóa VII) đã chỉ ra: “Giáo dục
đào tạo phải hướng vào đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo có
năng lực giải quyết các vấn đề thường gặp, qua đó góp phần tích cực thực hiện
các mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh xã hội công bằng, dân
chủ văn minh”.
Trong quá trình học tập bộ môn toán, mục tiêu chính của người học bộ môn
này là việc học tập những kiến thức về lý thuyết, hiểu và vận dụng được các lý
thuyết chung của toán học vào những lĩnh vực cụ thể, một trong những lĩnh vực
đó là việc giải bài tập toán.
Bài tập toán học có vai trò đặc biệt quan trọng trong quá trình nhận thức và
phát triển năng lực tư duy của người học, giúp cho người học ôn tập, đào sâu,
mở rộng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn,
phát triển tư duy sáng tạo. Phần lớn các giáo viên đã nhận thức được điều này,
đã đánh giá đúng vai trò của bài tập toán học và coi trọng hoạt động giải bài tập
trong dạy học toán. Tuy nhiên vẫn rất nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải bài
tập. Điều này không chỉ do tính phức tạp, đa dạng, phong phú của công việc
này mà còn do chính nhược điểm mắc phải khi soạn thảo hệ thống bài tập, phân
dạng và hướng dẫn học sinh giải bài tập của giáo viên.
Phần phương trình lượng giác được phân bố trong chương trình đại số 11
trung học phổ thông. Những kiến thức về lượng giác đã được đề cập sơ bộ ở
chương trình THCS và chương trình lớp 10. Đây là một phần khá rộng, phức
tạp và học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập về Phương trình
lượng giác.
Với các lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu “Xây dựng hệ thống bài tập
chương "Phương trình lượng giác" theo định hướng phát huy tính tích cực,

chủ động và nâng cao năng lực học tập của học sinh THPT” để làm khóa luận
tốt nghiệp cho mình.


2
2. Mục đích nghiên cứu
- Xây dựng hệ thống bài tập phần phương trình lượng giác trong chương
trình toán trung học phổ thông đảm bảo tính hệ thống, khoa học theo các mức độ
nhận thức: nhận biết, hiểu, vận dụng.
- Đưa ra cách sử dụng hệ thống bài tập này trong quá trình dạy học nhằm
phát huy tính tích cực chủ động của học sinh.
3. Đối tượng nghiên cứu
Xây dựng kế hoạch sử dụng hệ thống bài tập khi dạy học phần phương
trình lượng giác theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động và nâng cao năng
lực học tập của học sinh.
4. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu xây dựng hệ thống bài tập và hướng dẫn hoạt động giải
bài tập phần Phương trình lượng giác trong chương trình toán THPT.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng được một hệ thống bài tập phù hợp với mục tiêu dạy học sao
cho phát huy được tính tích cực và nâng cao năng lực học tập của học sinh thì
khi vận dụng hệ thống bài tập đó vào dạy học môn toán sẽ không những giúp
học sinh ôn tập cũng cố kiến thức mà còn bồi dưỡng được tính tự chủ, năng lực
học tập của học sinh.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý luận của phương pháp dạy học Toán để phát huy tính
tích cực, chủ động và nâng cao năng lực học tập của học sinh.
Phân tích chương trình, nội dung kiến thức và kỹ năng cần đạt được của
phần Phương trình lượng giác.
Điều tra thực trạng dạy bài tập phần này ở một số trường THPT.

Soạn thảo hệ thống bài tập đảm bảo tính hệ thống, khoa học theo các mức
độ nhận thức: nhận biết, hiểu, vận dụng.
Xây dựng kế hoạch sử dụng hệ thống bài tập đã soạn thảo khi dạy học phần
Phương trình lượng giác ở THPT.

3
Thực nghiệm sư phạm để đánh giá hệ thống bài tập đã soạn thảo về tính
khả thi và tác dụng phát huy tính tích cực, chủ động, nâng cao năng lực học tập
của học sinh.
7. Phương pháp nghiên cứu
- Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu.
- Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Hỏi ý kiến chuyên gia.
8. Đóng góp mới của đề tài
- Về mặt khoa học:
Xây dựng và lựa chọn được hệ thống bài tập chương "Phương trình lượng
giác" lớp 11 ở trường THPT.
Bước đầu nghiên cứu phương pháp sử dụng có hiệu quả hệ thống bài tập
nhằm phục vụ việc dạy và học chương "phương trình lượng giác" ở lớp 11 ở
trường THPT.
- Về mặt thực tiễn:
Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập này trong hoạt động dạy học giúp
giờ học trở nên sinh động, tạo ra sự hứng thú trong học tập và thu được những
kết quả học tập tốt hơn.
9. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập và hướng dẫn hoạt động giải bài tập
chương phương trình lượng giác trong chương trình toán trung học phổ thông
theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

4
Chương 1:
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VIỆC XÂY DỰNG HỆ
THỐNG BÀI TẬP THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC,
CHỦ ĐỘNG VÀ NÂNG CAO NĂNG LỰC HỌC TẬP CỦA HỌC SINH

1.1. Quan điểm dạy học cổ điển
Học sinh được đánh giá về năng lực học tập theo điểm số thầy giáo cho, vì
vậy không thấy được tầm nhìn về hành vi tương lai của mình, sự đóng góp của
mình. Việc đánh giá bằng điểm số này được thực hiện thường xuyên và công
khai. Quan điểm giáo dục cổ điển này thực tế đã tạo ra những học sinh thiếu
năng động và linh hoạt trong cuộc sống, thiếu nhiều kỹ năng rất cần thiết trong
cuộc sống hiện đại. Nhiều kỹ năng làm việc liên quan người, cộng tác trong các
nhóm lao động thực tế rất cần cho xã hội vẫn chưa được đưa vào huấn luyện cho
học sinh. Nhiều kĩ năng truy tìm tri thức mới có trên thế giới chưa được giới
thiệu cho học sinh. Sự tách rời giữa thành tựu mới đang được sử dụng trong xã
hội với những tri thức của học sinh được trang bị trong nhà trường đã dẫn đến
việc xã hội phải mất thêm thời gian đào tạo lại người lao động trong các cơ sở
sản xuất.
1.2. Quan điểm hiện đại về dạy học
1.2.1. Khái niệm về hoạt động dạy học
Dạy học là một bộ phận của quá trình sư phạm tổng thể, là một trong những
con đường để thực hiện mục đích giáo dục. Dạy học là hoạt động phối hợp của

hai chủ thể đó là giáo viên và học sinh. Dạy và học là hai hoạt động được thực
hiện đồng thời với cùng một nội dung và hướng tới cùng một mục đích. Phải
khẳng định rằng, nếu hai hoạt động này bị tách rời sẽ lập tức phá vỡ hoạt động
dạy học. Học tập không có giáo viên trở thành tự học, giảng dạy không có học
sinh trở thành độc thoại.
1.2.2. Bản chất của hoạt động dạy
Vậy theo lý thuyết hoạt động ta nhận thấy: Chủ thể của hoạt động dạy là
giáo viên, người tổ chức mọi hoạt động học tập của học sinh, người quyết định
chất lượng giáo dục.

5
Dạy học có nội dung hiện đại, nội dung được chọn lọc từ kết quả nhận thức
của nhân loại và xây dựng theo một lôgic phù hợp với lôgic khoa học và qui luật
nhận thức của học sinh. Nội dung dạy học hoàn thiện tạo nên kết quả giáo dục
toàn diện.
1.2.3. Bản chất của hoạt động học tập
Học sinh là chủ thể của hoạt động học tập, chủ thể có ý thức, chủ động, tích
cực và sáng tạo trong nhận thức và rèn luyện nhân cách.
Mặc dù học sinh là chủ thể của hoạt động học là chủ thể tích cực trong
nhận thức, rèn luyện và tu dưỡng bản thân, tuy nhiên học sinh còn là đối tượng
giảng dạy và giáo dục của giáo viên, là người phải tiếp thu sự chỉ dẫn dạy bảo từ
phía giáo viên. Người học quyết định chất lượng học tập của mình.
1.2.4. Mối quan hệ giữa hoạt động dạy và hoạt động học
Hoạt động dạy và hoạt động học là hai mặt của một quá trình luôn gắn
bó không tách rời nhau, tác động qua lại bổ sung cho nhau, thống nhất biện
chứng với nhau, quyết định lẫn nhau, thâm nhập vào nhau tạo thành một hoạt
động chung nhằm giúp cho người học phát triển trí tuệ, góp phần hoàn thiện
nhân cách.
1.2.5. Bản chất của quá trình dạy học
- Bản chất của quá trình dạy học là một chỉnh thể toàn vẹn thống nhất được

tạo nên bởi các thành tố như: Mục tiêu, nội dung, phương pháp, phương tiện,
người dạy, người học.
- Bản chất của quá trình dạy học được thể hiện thông qua mối quan hệ
tương tác giữa giáo viên và học sinh.
1.3. Phương pháp dạy học tích cực
1.3.1. Dạy học tăng cường phát huy tính tự tin, tích cực, chủ động, sáng
tạo thông qua tổ chức thực hiện các hoạt động học tập của học sinh
Trong phương pháp dạy học tích cực, người học - đối tượng của hoạt động
"dạy", đồng thời là chủ thể của hoạt động "học" - được cuốn hút vào các hoạt
động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá

6
những điều mình chưa rõ chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã
được giáo viên sắp đặt.
1.3.2. Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp và phát huy năng lực tự
học của học sinh
Phương pháp dạy học tích cực xem việc rèn luyện phương pháp học tập cho
học sinh không chỉ là một biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học mà còn là một
mục tiêu dạy học.
1.3.3. Dạy học phân hóa kết hợp với hợp tác
Áp dụng phương pháp tích cực ở trình độ càng cao thì sự phân hóa này
càng lớn.Việc sử dụng các phương tiện công nghệ thông tin trong nhà trường sẽ
đáp ứng yêu cầu cá thể hóa hoạt động học tập theo nhu cầu và khả năng của mỗi
học sinh.
1.3.4. Dạy học kết hợp đánh giá của thầy với tự đánh giá của trò
Trong dạy học, việc đánh giá học sinh không chỉ nhằm mục đích nhận định
thực trạng và điều chỉnh hoạt động học của trò mà còn đồng thời tạo điều kiện
nhận định thực trạng và điều chỉnh hoạt động dạy của thầy.
Theo hướng phát triển các phương pháp tích cực để đào tạo những con
người năng động, sớm thích nghi với đời sống xã hội, thì việc kiểm tra, đánh giá

không thể dừng lại ở yêu cầu tái hiện các kiến thức, lặp lại các kĩ năng đã học
mà phải khuyến khích trí thông minh, óc sáng tạo trong việc giải quyết những
tình huống thực tế.
1.4. Thực trạng dạy và học phương trình lượng giác ở trường THPT
1.4.1. Thực trạng học phương trình lượng giác ở trường THPT
Trong quá trình thực tập giảng dạy của mình với những kinh nghiệm và qua
sự trao đổi với giáo viên và học sinh cho thấy lượng giác là một chủ đề khá khó
trong chương trình toán học trung học phổ thông. Mặc dù, sách giáo khoa mới
đã có nhiều giảm tải về nội dung và yêu cầu đối với học sinh nhưng để học tốt
phần lượng giác không đơn giản do:
Học lý thuyết:
- Công thức lượng giác khá nhiều nên học sinh hay quên và bị nhầm lẫn.

7
- Tuy công thức lượng giác học ở cuối lớp 10 nhưng sang đầu lớp 11 học
giải phương trình lượng giác thì học sinh phải ôn lại nhiều. Do đó đà học bị ngắt
quãng.
- Để vận dụng được công thức lượng giác đúng và linh hoạt thì phải dành
khá nhiều thời gian cho việc làm bài tập.
Khi làm bài tập:
- Việc tính toán, tư duy đối với phần lượng giác khác khá nhiều so với đại
số nên học sinh phần lớn là gặp khó khăn khi bắt đầu học dễ gây chán nản cho
học sinh.
- Do lượng giác là lĩnh vực khác nhiều so với đại số nên học sinh khó diễn
đạt và trình bày nhất là đối với bài toán lượng giác có điều kiện.
- Khi làm bài tập học sinh thường vận dụng một cách máy móc theo những
dạng phương trình lượng giác cơ bản nên khi gặp những dạng bài toán không
phải dạng đã gặp thì học sinh không giải quyết được.
- Để nắm được phương pháp giải các phương trình cơ bản một cách vững
chắc, nhuần nhuyễn phải mất một thời gian dài. Trong khi đó thời lượng ở lớp

11 dành cho phần này chỉ 17 tiết nên học sinh có thể mở rộng, tư duy linh hoạt
đối với các dạng bài tập khác là khó. Do đó, để học sinh làm tốt các bài tập
lượng giác khi đi thi đại học thì giáo viên cần có chiến lược giảng dạy tốt.
- Tính bị động của học sinh khá lớn nên giáo viên vất vả trong quá trình
giảng dạy nếu yêu cầu cao đối với học sinh.
1.4.2. Thực trạng dạy phương trình lượng giác ở trường THPT
Để hiểu sâu sắc và thấy được cái hay của các bài toán lượng giác thì giáo
viên và học sinh đều phải bỏ rất nhiều thời gian và công sức. Giáo viên cần có
vài năm giảng dạy để rút kinh nghiệm giảng dạy. Học sinh phải dành nhiều thời
gian, có sự nỗ lực thật sự mới học được tốt phần này.
Từ kinh nghiệm và đóng góp ý kiến của nhiều giáo viên và học sinh cho
thấy:
- Muốn giải được các bài tập lượng giác trước tiên học sinh phải học thuộc
các công thức lượng giác đã. Nhằm củng cố kiến thức và giúp học sinh tóm gọn

8
các công thức lượng giác tốt hơn. Mẹo gỡ bí khi học sinh hay quên và nhớ lầm
các công thức lượng giác là hãy yêu cầu học sinh tự chứng minh các công thức
lượng giác.
- Đây là nội dung khó nên học sinh dễ nhầm lẫn và hoang mang khi tiếp
nhận kiến thức mới ở từng giờ học.
- Các dạng bài tập ở phần này khá đa dạng, phong phú nên giáo viên phải
mất công chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành một hệ thống phù hợp với
trình độ nhận thức của từng học sinh.
- Thời gian chữa bài tập trên lớp không nhiều nhưng giáo viên vẫn đưa ra
hệ thống bài tập khá phong phú để học sinh nắm được. Đồng thời giáo viên yêu
cầu học sinh về nhà tìm hiểu thêm, tự học để học tốt phần này.
Theo tôi, một bài giảng của nhà giáo có trình độ và lương tâm, trong mỗi
tiết học phải mang lại cho người học một khối lượng hiểu biết hoàn chỉnh (chính
vì vậy tránh được việc học quá dài, thu gọn được số giờ học) kèm theo những

chỉ dẫn về phương pháp và tài liệu tra cứu mà tự học sinh có thể không có được,
như vậy tiết kiệm thời gian cho học sinh rất nhiều và tạo điều kiện tối đa cho họ
dùng số thời gian còn lại để tự trau dồi thêm kiến thức.



9
Chương 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN
HOẠT ĐỘNG GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
THEO HƯỚNG TÍCH CỰC HÓA HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP

2.1. Phương pháp giải phương trình lượng giác
Để giải một số bài tập “Phương trình lượng giác” toán học 11, tôi nhận thấy
khi tổ chức hoạt động giải bài tập cho học sinh thường trải qua các bước sau:
Bước 1: Yêu cầu học sinh đọc kỹ đề bài để:
- Nêu được hiện tượng toán học cho trong đề bài.
- Phát hiện được các dạng bài đã cho và các yêu cầu phải tìm trong bài.
- Xác định được bài tập liên quan đến nội dung kiến thức nào.
Bước 2: Hướng dẫn học sinh chỉ ra các mối liên hệ cần xác lập.
Bước 3: Hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức nào để giải bài tập.
Buớc 4: Xác nhận kết quả làm bài của học sinh.
Để có thể giải tốt được các phương trình lượng giác thì vấn đề quan trọng
nhất là phải nhớ được các công thức lượng giác và từ đó sử dụng chúng vào biến
đổi lượng giác để đưa các phương trình lượng giác trở về các dạng quen thuộc.
2.2. Cơ sở phân loại và soạn thảo bài tập toán học chương “Phương
trình lượng giác”
2.2.1. Cơ sở phân loại
Dựa trên nội dung kiến thức khoa học và mục tiêu dạy học của chương
“Phương trình lượng giác” toán học 10, tôi dự kiến trước tiên là phân loại bài tập

theo nội dung. Trên cơ sở ứng với mỗi nội dung, tôi sẽ phân loại bài tập theo
phương thức giải và phương thức cho điều kiện.
2.2.2.Soạn thảo hệ thống bài tập chương “Phương trình lượng giác”
toán học
2.2.2.1. Nguyên tắc lựa chọn bài tập
Hệ thống bài tập mà giáo viên lựa chọn phải thỏa mãn các yêu cầu sau:
10

Bài tập phải đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp (phạm vi và số
lượng các kiến thức, kĩ năng cần vận dụng từ một đề tài đến nhiều đề tài, số
lượng các đại lượng cho biết và các đại lượng cần tìm, …) giúp học sinh nắm
được phương pháp giải các loại bài tập điển hình.
Mỗi bài tập phải là một mắt xích trong hệ thống bài tập, đóng góp một phần
nào đó vào việc củng cố, hoàn thiện và mở rộng kiến thức.
Hệ thống bài tập đa dạng, phong phú bao gồm nhiều thể loại bài tập.
Hệ thống bài tập có tác dụng đối với sự phát triển tư duy, nâng cao năng
lực giải toán cho học sinh, có thể phân hóa được học sinh.
2.2.2.2. Nguyên tắc sử dụng hệ thống bài tập
Các bài tập lựa chọn có thể sử dụng ở các khâu khác nhau của quá trình dạy
học nêu vấn đề, hình thành kiến thức mới cũng cố hệ thống hóa, kiểm tra và
đánh giá kiến thức kĩ năng của học sinh.
Trong tiến trình dạy học một kiến thức toán học cụ thể, việc giải hệ thống
bài tập mà giáo viên đã lựa chọn cho học sinh thường bắt đầu bằng những bài
tập định tính hay bài tập tập dượt. Sau đó, học sinh sẽ giải những bài tập có nội
dung phức tạp hơn. Việc giải những bài tập phải vận dụng kiến thức tổng hợp,
những bài tập có nội dung kĩ thuật với dữ kiện không đầy đủ có thể coi là sự kết
thúc việc giải hệ thống bài tập đã được lựa chọn.
Phải chú ý đến việc cá biệt hóa học sinh trong việc giải bài tập toán học.
2.3. Hệ thống bài tập chương “Phương trình lượng giác” toán học 11
2.3.1. Phương trình lượng giác cơ bản

2.3.1.1. Kiến thức chuẩn bị
1) Phương trình
sin sin
x



a)
 

  

 
  

  


2
sin sin ( )
2
x k
x k
x k

b)
   
sin . : 1 1.
x a Ñieàu kieän a


 

 
  

  


arcsin 2
sin ( ).
arcsin 2
x a k
x a k
x a k

c)
    
sin sin sin sin( )
u v u v

11

d)

 
   
 
 

sin cos sin sin
2
u v u v

e)

 
    
 
 
sin cos sin sin
2
u v u v

* Các trường hợp đặc biệt:







   
    
      
           





2 2
sin 0 ( )
sin 1 2 ( )
2
sin 1 2 ( )
2
sin 1 sin 1 cos 0 cos 0 ( )
2
x x k k
x x k k
x x k k
x x x x x k k

2) Phương trình
cos cos
x



a)
  
     

cos cos 2 ( )
x x k k

b)
   
cos . : 1 1.
x a Ñieàu kieän a


     

cos arccos 2 ( )
x a x a k k

c)

    
cos cos cos cos( )
u v u v

d)

 
   
 
 
cos sin cos cos
2
u v u v

e)

 
    
 
 

cos sin cos cos
2
u v u v

* Các trường hợp đặc biệt:



 

    
   
     
          




2 2
cos 0 ( )
2
cos 1 2 ( )
cos 1 2 ( )
cos 1 cos 1 sin 0 sin 0 ( )
x x k k
x x k k
x x k k
x x x x x k k

3) Phương trình

tan tan
x



a)
  
    

tan tan ( )
x x k k

b)

    

tan arctan ( )
x a x a k k

c)
    
tan tan tan tan( )
u v u v


12

d)

 

   
 
 
tan cot tan tan
2
u v u v

e)

 
    
 
 
tan cot tan tan
2
u v u v

* Các trường hợp đặc biệt:

   

tan 0 ( )
x x k k



      

tan 1 ( )
4

x x k k
4) Phương trình
cot cot
x



  

    
    


cot cot ( )
cot arccot ( )
x x k k
x a x a k k

* Các trường hợp đặc biệt:


    

cot 0 ( )
2
x x k k


      


cot 1 ( )
4
x x k k
5) Một số điều cần chú ý:
a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc
chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.
* Phương trình chứa
tan
x
thì điều kiện:


  

( ).
2
x k k
* Phương trình chứa
cot
x
thì điều kiện:

 

( )
x k k
.
* Phương trình chứa cả
tan
x

và
cot
x
thì điều kiện:

 

( )
2
x k k .
* Phương trình có mẫu số: (Mẫu số khác 0)


   

sin 0 ( )
x x k k




    

cos 0 ( )
2
x x k k


   


tan 0 ( )
2
x x k k


   

cot 0 ( )
2
x x k k
13

b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong
các cách sau để kiểm tra điều kiện:
1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác.
3. Giải các phương trình vô định.
2.3.1.2. Ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình lượng giác:

2 3
cos10 2cos 4 6cos3 .cos cos 8cos .cos 3
x x x x x x x
   
(1)
Giải
(1)
3
cos10 1 cos8 cos 2cos (4cos 3 3cos3 )
x x x x x x

     

2cos9 .cos 1 cos 2cos .cos9
cos 1 2 , .
x x x x x
x x k k

   
    ¢

Vậy phương trình có một họ nghiệm
2 , .
x k k

 

.
Ví dụ 2. Giải phương trình:
2 2
2sin .sin cos 2 sin 2 (0 )
2
x x x x x


 
    
 
 
(2)
Giải

 
 
(2) 2sin cos cos4 sin2 os4
12 3
sin2 sin 4 ,
2
4
0 0;1;2 ; 1.
x x x x c x
k
x
x x k l
x l
x k l
 




   

 

 
    

 
 

 



    
¢

Vậy phương trình có nghiệm là:
5 3
; ;
12 12 4
x
  
 

 
 
.
Ví dụ 3. Tìm


0;14
x nghiệm đúng phương trình:

cos3 4cos2 3cos 4 0
x x x
   
(3)
Giải
Ta có:
(3)





3 2
4cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0
x x x x
      

14




3 2 2
4cos 8cos 0 4cos cos 2 0
cos 0
, .
cos 2
2
x x x x
x
x k k
x


     


    




¢

Ta có:
 
1 14 1
0;14 0 14 3,9
2 2 2
x k k



          
Mà:
 
3 5 7
0;1;2;3 ; ; ;
2 2 2 2
k k x
   
 
    
 
 
¢

Ví dụ 4. Giải phương trình






2cos 1 2sin cos sin2 sin
x x x x x
    (4)
Giải
Ta có:
(4)




2cos 1 2sin cos sin (2cos 1)
x x x x x
    






  
2cos 1 2sin cos sin 0
2cos 1 sin cos 0
x x x x
x x x
    
   

 
1
2
2
cos
3
.
32
sin cos tan 1
4
x k
x k
x
k
x x x
x k







  



  




   



   
  
 


¢

Ví dụ 5. Giải phương trình:

2 2
2cos 2 3cos4 4sin 1
4
x x x

 
   
 
 
(5)
Giải
Ta có:
(5)
1 cos 4 3cos4 2(1 cos2 ) 1
2
x x x


 
      
 
 


3cos4 sin4 2cos2
x x x
  
3 1
cos4 sin4 cos2
2 2
x x x
  

cos 4 cos2 4 2 2
6 6
x x x x k
 
 
        
 
 

, ,
12 36 3
x k x k k
  
        

¢
.
15

Ví dụ 6. Giaûi phöông trình:


  
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x


 
(6)
Giải
Điều kiện:
1
sin ;sin 1
2
x x
  
.







 
2
(6) 1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin
cos 2sin cos 3 1 sin 2sin
cos 3sin sin2 3cos2
x x x x
x x x x x
x x x x
    
    
   

1 3 1 3
cos sin sin2 cos2 cos cos 2
2 2 2 2 3 6
x x x x x x
 
   
       
   
   

2 2
2 ( )
3 6 2
2
( )
2 2
18 3

3 6
x x k
x k l
x k tm
x x k
  


  

 
   
 
 
 




      




Vậy phương trình có nghiệm là:
2
,
18 3
x k k
 

   
¢
.
Ví dụ 7. Giải phương trình:
sin2 2cos sin 1
0
tan 3
x x x
x
  


(7)
Giải
Điều kiện :
tan 3;cos 0.
x x
  

(7)
sin2 2cos sin 1 0 2sin cos 2cos (sin 1) 0
x x x x x x x
         


2cos (sin 1) (sin 1) 0 (2cos 1)(sin 1) 0
x x x x x
        

1
2
cos
3
2
sin 1
2
2
x k
x
x
x k





  




 



 
  





Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình:
2 ( )
3
x k k


  
Z
.

16

2.3.2 Một số phương trình lượng giác thường gặp
Dạng 1: Phương trình bậc nhất đối với sin x, cos x
Tổng quát:
.sin .cos 0
a x b x c
  
(1) trong đó
, ,
a b c


và
2 2
0
a b
 

(Áp dụng: tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số có dạng
sin cos
y a x b x
 
).
Phương pháp giải:
- Nếu
0
a

,
0
b

hoặc
0
a

,
0
b

thì (1) trở về phương trình cơ bản.
- Nếu
0
a

và
0

b

thì chia 2 vế phương trình cho
2 2
a b

ta được:

2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
 
  

Do
2 2
2 2 2 2
1
a b
a b a b
   
 
   
 
   
nên đặt

2 2

2 2
cos
sin
a
a b
b
a b













(hoặc ngược lại)
Ta được phương trình:
 
2 2 2 2
os sin sin cos sin
c c
c x x x
a b a b
  
    

 

Ta được phương trình bậc nhất theo một hệ số lượng giác.
 Lưu ý điều kiện có nghiệm phương trình: c
2


a
2
+ b
2

 Nếu
. 0, 0
a b c
 
thì: sin cos 0 tan
b
a x b x x
a
    

 Chú ý trường hợp đặc biệt:
2sin( )
4
sin cos
2cos( )
4
x
x x

x





 





và
2sin( )
4
sin cos
2 cos( )
4
x
x x
x





 


 




Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
1)
3sin cos 1
x x
 
4)
sin5 cos5 2
x x
  

17

2)
cos2 3sin 2 0
x x
  
5)
3sin cos 2
x x 
3)
2
2sin 3sin2 3
x x
 
6)
3sin cos 2
x x 

Giải
1)
3sin cos 1
x x
 

Chia hai vế của phương trình cho
 
2
2
3 1 2
 
, ta có:
3 1 1
3sin cos 1 sin cos cos cos sin sin cos
2 2 2 3 3 3
2
2
2
3 3
cos cos , .
3
3 3
2
2
3 3
x x x x x x
x k
x k
x k

x k
x k
  
 



 
 


       

  


 
 

     

 

 


   






2) Ta có:
2 2
cos2 3sin 2 0 1 2sin 3sin 2 0 2sin 3sin 1 0
x x x x x x
           

2
2
sin 1
2 ,
1
6
sin
2
5
2
6
x k
x
x k k
x
x k








 






    






 



.
3) Ta có:
2 2
2sin 3sin2 3 3sin2 (1 2sin ) 2 3sin2 cos2 2
x x x x x x
        
Chia hai vế của phương trình cho
 
 
2
2

3 1 2
  
, ta được:
3 1
3sin2 cos2 2 sin2 cos2 1 sin(2 ) sin
2 2 6 2
x x x x x
 
       

2 2 , .
6 2 3
x k x k k
  
 
       


4)
sin5 cos5 2
x x  
1 1
sin5 cos5 1
2 2
x x
   
sin(5 ) 1
4
x


   

5 2
4 2
x k
 

   

18


3 2
, .
20 5
k
x k
 
   


5)
3sin cos 2
x x 
3 1 2
sin cos
2 2 2
x x  
2
sin cos cos sin

6 6 2
x x
 
  
sin( ) sin
6 4
x
 
  

2
2
6 4
12
,
3 7
2 2
6 4 12
x k
x k
k
x k x k
  


  
 


  

 


 




    






6)
3sin cos 2
x x 
3 1 2
sin cos
2 2 2
x x  
2
sin cos cos sin
6 6 2
x x
 
  
sin( ) sin
6 4

x
 
  
5
2
2
6 4
12
,
3 11
2 2
6 4 12
x k
x k
k
x k x k
  

  
 


  
 


  





    





.
Ví dụ 2. Giải phương trình:
1
3sin 2cos 3(1 tan )
cos
x x x
x
    (1)
Giải
Điều kiện:
cos 0 ,( ).
2
x x k k


    

Ta có:
(1)
cos (3sin 2cos ) 3sin 3cos 1
x x x x x
    



cos 3sin 2cos 1 3sin 2cos 1
x x x x x
     






cos 1 3sin 2cos 1 0
x x x
    




cos 1 2x x k k

   



3sin 2cos 1 0
x x
  
(2)
Nhận xét:



2x k k
 
  

không phải là nghiệm của phương trình (2).
19

Đặt
tan
2
x
t  . Từ (2) suy ra:
2
3 2 3
3
3 6 1 0
3 2 3
3
t
t t
t





   







Gọi

và

là hai góc thuộc
;
2 2
 
 

 
 
sao cho:

3 2 3 3 2 3
tan ,tan
3 3
 
 
 
Ta có: (2)
 
tan tan
2 2
2

, .
2 2
tan tan
2
x
x k
k
x x k

 
 




 

  


 







Tóm lại, nghiệm của phương trình (1) là

2 ; 2 2 ; 2 2 ,( ).
x k x k x k k
    
     


Ví dụ 3. Tìm GTLN và GTNN của hàm số

cos 2sin 3
2cos sin 4
x x
y
x x
 

 

(Trong đó: GTLN là giá trị lớn nhất; GTNN là giá trị nhỏ nhất)
Giải
Ta có :
2cos sin 4 0,
x x x
    


Vậy miền xác định của f(x) là
D



Ta có:
cos 2sin 3
(2 1)cos ( 2)sin 3 4
2cos sin 4
x x
y y x y x y
x x
 
       
 
(2)
y thuộc miền giá trị của f(x)

(2) có nghiệm x

2 2 2
(2 1) ( 2) (3 4 )
y y y
     

2
2
11 24 4 0 2
11
y y y
        

Vậy, GTLN của y là
2
11


; GTNN của y là -2.
Ví dụ 4. Cho hàm số:
2 cos 1
cos sin 2
k
k x k
y
x x
 

 

1) Tìm GTNN và GTLN của hàm số y
1
ứng với
1
k

.
20

2) Xác định tham số k sao cho GTLN của hàm số y
k
là nhỏ nhất.
(Trong đó: GTLN là giá trị lớn nhất; GTNN là giá trị nhỏ nhất)
Giải
Ta có:
cos sin 2 0,
x x x

    


Vậy miền xác định của y
k
là
D



Ta có:
 
2 cos 1
2 cos sin 1 2
cos sin 2
k k k k
k x k
y y k x y x k y
x x
 
      
 
(1)
y
k
thuộc miền giá trị của hàm số y
k
= f(x) khi và chỉ khi:
(1) có nghiệm
 

 
2
2
2
2 1 2
k k k
y k y k y
     
 
 


2 2
2 4 3 2 1 0
k k
y y k k
     


2 2
2 6 4 2 2 6 4 2
2 2
k
k k k k
y
     
  
Vậy: GTLN của y
k
là

2
2 6 4 2
2
k k
  

GTNN của y
k
là
2
2 6 4 2
2
k k
  

1) Khi
1
k

ta có : GTLN của y
1
là 2
GTNN của y
1
là 0.
2) Ta có:
GTLN của y
k
là
2

2 6 4 2
2
k k
  

Nhận xét rằng:
2
1 4 4
6 4 2 6
3 3 3
k k k
 
     
 
 

Vậy GTLN của y
k
đạt GTNN khi
1
3
k

.
Dạng 2: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
a) asin
2
x + bsinx + c = 0
b) acos
2

x + bcosx + c = 0 (a

0)
c) atan
2
x + btanx + c = 0
21

d) acot
2
x + bcotx + c = 0
Phương pháp giải:
Đặt ẩn số phụ cho hàm số lượng giác để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.
Tổng quát: at
2
+ bt + c = 0 (a

0).
Trong đó t là một hàm số lượng giác.
* Cần nhớ
D
ạng
Ñaët

Ñieàu kieän

  
2
sin 0
asin x b x c

sin
t x


1 1
t
  

  
2
cos cos 0
a x b x c

cos
t x


1 1
t
  

  
2
tan tan 0
a x b x c

tan
t x




  

( )
2
x k k

  
2
cot cot 0
a x b x c

cot
t x



 

( )
x k k


Ví dụ 1. Giải phương trình sau:
cos3 sin3
5(sin ) 3 cos2
1 2sin2
x x

x x
x

  

(1)
Giải
Điều kiện:
1
12
sin2 ,
72
12
x k
x k
x k





  

   


 




Ta có:
cos3 sin3 sin 2sin2 sin cos3 sin3
5(sin ) 5
1 2sin2 1 2sin2
x x x x x x x
x
x x
   
 
 

sin cos cos3 cos3 sin3
5
1 2sin2
x x x x x
x
   



(sin3 sin ) cos 2sin2 cos cos (2sin 1)cos
5 5 5 5cos
1 2sin2 1 2sin2 1 2sin2
x x x x x x x x
x
x x x
   
   
  

(1) 5cos cos2 3
x x
  

2
2cos 5cos 2 0
x x
   


1
cos
2
x
 

2 , .
3
x k k


    


22

Ví dụ 2. Giải phương trình sau:
2
5sin 2 3(1 sin )tan

x x x
   (2)
Giải
Điều kiện:
cos 0
2
x x k


   

2
2
sin
(2) 5sin 2 3(1 sin )
cos
x
x x
x
   
2
2
sin
5sin 2 3(1 sin )
1 sin
x
x x
x
   


2
3sin
5sin 2
1 sin
x
x
x
  

2
2sin 3sin 2 0
x x
   
1
sin
2
x
 


 
2
6
.
5
2
6
x k

k
x k





 

 


 




Ví dụ 3. Giải phương trình :
1 1
2sin3 2cos3
sin cos
x x
x x
   (3)
Giải
Điều kiện:
sin2 0 , .
2
x x k k


   

.
1 1
(3) 2(sin3 cos3 )
sin cos
x x
x x
   


3 3
1 1
2[3(sin cos ) 4(sin cos ]
sin cos
x x x x
x x
     

2 2
sin cos
2(sin cos )[3 4(sin sin cos cos )]
sin cos
x x
x x x x x x
x x

     

sin cos

2(sin cos )( 1 4sin cos ) 0
sin cos
x x
x x x x
x x

     


1
(sin cos )( 2 8sin cos ) 0
sin cos
x x x x
x x
     


2
(sin cos )(4sin 2 2) 0
sin2
x x x
x
    


2
(sin cos )(4sin 2 2sin2 2) 0
x x x x
    

2
sin cos 0
4sin 2 2sin 2 2 0
x x
x x
 



  

tan 1
sin2 1
sin2 1/ 2
x
x
x
 


 


 


 
4
, .
12

7
12
x k
x k k
x k







  



    



 




23

Ví dụ 4. Giải phương trình:
2
cos (2sin 3 2) 2cos 1

1
1 sin2
x x x
x
  


(4)
Giải
Điều kiện:
sin2 1 , .
4
x x k k


      


2
(4) 2sin cos 3 2 cos 2cos 1 1 sin2
x x x x x
     

2
2cos 3 2 cos 2 0
x x
   

2
cos

2
x 
, .
4
x k k


    


Đối chiếu điều kiện phương trình có nghiệm: ,
4
x k k


  

.
Ví dụ 5. Giải phương trình:
2 2
3cot 2 2sin (2 3 2)cos
x x x
  
(5)
Giải
Điều kiện:
sin 0 , .
x x k k

   



2
4 2
cos cos
(5) 3 2 2 (2 3 2)
sin sin
x x
x x
    .
Đặt:
2
cos
sin
x
t
x
 phương trình trở thành:
2
2
3 (2 3 2) 2 2 0
2
3
t
t t
t



    







2
2 cos 2
:
3 sin 3
x
t
x
 

2
3cos 2(1 cos )
x x
  

2
2cos 3cos 2 0
x x
   


1
cos
2
x

 

2 , .
3
x k k


    



2
cos
2 : 2
sin
x
t
x
 
2
cos 2(1 cos )
x x
  
2
2cos cos 2 0
x x
   


2

cos
2
x 
2 , .
4
x k k


    


Vậy, phương trình có nghiệm:
2 , 2 , .
3 4
x k x k k
 
 
      


Ví dụ 6. Giải phương trình:
2 2
4sin 2 6sin 9 3cos2
0
cos
x x x
x
  

(6)

24

Giải
Điều kiện:
cos 0 , .
2
x x k k


    


2
(6) 4(1 cos 2 ) 3(1 cos2 ) 9 3cos 0
x x x
      


2
4cos 2 6cos 2 0
x x
   


cos2 1
1
cos2
2
x

x
 




 


2
, .
3
x k
k
x k





 

 


  




Vậy phương trình có nghiệm:
, .
3
x k k


   


Ví dụ 7. Giải phương trình sau:
5
3
sin 5cos sin
2 2
x x
x (7)
Giải
Ta thấy:
cos 0 2 cos 1
2
x
x k x
 
      

Thay vào phương trình (7) ta được:

5
sin( 5 ) sin( )
2 2

k k
 
 
   
không thỏa mãn với mọi k.
Do đó
cos
2
x
không là nghiệm của phương trình nên:
5
3
(7) sin cos 5cos sin cos
2 2 2 2
x x x x
x 

1 5
3
(sin3 sin2 ) cos sin
2 2
x x x x
  

3 3
3sin 4sin 2sin cos 5cos sin 0
x x x x x x
    

2 3
sin (3 4sin 2cos 5cos ) 0
x x x x
    


3 2
sin (5cos 4cos 2cos 1) 0
x x x x
    

25


sin 0
cos 1
1 21
cos
10
1 21
cos
10
x
x
x
x







 





 



2
1 21
, .
arccos 2
10
1 21
arccos 2
10
x k
x k
k
x k
x k











 
 
  



 
  




Vậy phương trình có nghiệm:
2
x k


,
1 21
arccos 2
10
x k

 
   ,

1 21
arccos 2 , .
10
x k k

 
   


Ví dụ 8. Giải phương trình sau:
6 8
2
2cos 1 3cos
5 5
x x
  (8)
Giải
Ta có: (8)
2
12 4
(1 cos ) 1 2(2cos 1)
5 5
x x
    


4 4 4
3 2
2 4cos 3cos 2(2cos 1)

5 5 5
x x x
    

Đặt:
4
cos , 1 1
5
x
t t
   
phương trình trở thành:
3 2
4 6 3 5 0
t t t
   

1
1 21
4
t
t












4 5
cos 1 , .
5 2
x
x k k

   



4 1 21 5 1 21 5
cos arccos , .
5 4 4 4 2
x
x k k

 
     


Vậy, phương trình có nghiệm:

5
2
x k

 ,

5 1 21 5
arccos , .
4 4 2
x k k


   


Ví dụ 9. Giải phương trình sau:
3
tan tan 1
4
x x

 
  
 
 
(9)