TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (977.55 KB, 128 trang )
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
LêI NãI §ÇU
Thân ái chào các bạn và các em học sinh!
!"#
$!%&!'()!*(+,-
!*./0#1*'!+23-,4-56789:
;<(4=>?=@AB=6#
@&B=A!C6(!CD
-*B-AE*'!+2#
:,>*?&(+&!D&!'F=
=*'==G2-HGTÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN
TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9. /GI-JF=+BH
EIE*'!+2=*'==KG'
-GD2#
NỘI DUNG GỒM:
Phần I: Hệ thống lại một số vấn đề cơ bản Toán 9:
0!+EHB='KD:H-G/+*.L=
!C!FD,-=MN#$OEHPEQ
.K;=B=*'AEAI#
PhầnIIRTuyển tập một số đề thi theo cấu trúc thường gặp:
0!+MND,-/0C!FD
*.L==.K;#SOK=T ,,Q,
,I@AKTU**K&
!!#
Phần III:Một số đề tự luyện:
0VNWDABC!FD*.L=F=5-)
D#
$LE><!CG-XGI(!(Y;-!C
B*?-A=Z6H,GI*?I
'[
Email:
Chân thành cảm ơn các bạn và các em!
Ph a n A nh
PHẦN I:
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
M
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
H THNG CC VN C BN CA TON 9
***
VN I: RT GN BIU THC CHA CN BC HAI
A. Kin thc cn nh:
A.1. Kiến thức cơ bản
A.1.1. Căn bậc hai
a. Căn bậc hai số học
- Với số dơng a, số
a
đợc gọi là căn bậc hai số học của a
- Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0
- Một cách tổng quát:
\
Nx
x a
x a
=
=
b. So sánh các căn bậc hai số học
- Với hai số a và b không âm ta có:
a b a b< <
A.1.2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
\
A A=
a. Căn thức bậc hai
- Với A là một biểu thức đại số , ngời ta gọi
A
là căn thức bậc hai của A, A đợc
gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn
-
A
xác định (hay có nghĩa)
A
0
b. Hằng đẳng thức
\
A A=
- Với mọi A ta có
\
A A=
- Nh vậy: +
\
A A=
nếu A
0
+
\
A A=
nếu A < 0
A.1.3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng
a. Định lí: + Với A
0 và B
0 ta có:
# #A B A B=
+ Đặc biệt với A
0 ta có
\ \
] ^A A A= =
b. Quy tắc khai phơng một tích: Muốn khai phơng một tích của các thừa số không
âm, ta có thể khai phơng từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau
c. Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm,
ta có thể nhân các số dới dấu căn với nhau rồi khai phơng kết quả đó
A.1.4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng
a. Định lí: Với mọi A
0 và B > 0 ta có:
A A
B
B
=
b. Quy tắc khai phơng một thơng: Muốn khai phơng một thơng a/b, trong đó a
không âm và b dơng ta có thể lần lợt khai phơng hai số a và b rồi lấy kết quả thứ
nhất chí cho kết quả thứ hai.
c. Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho số
b dơng ta có thể chia số a cho số b rồi khai phơng kết quả đó.
A.1.5. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
a. Đa thừa số ra ngoài dấu căn
- Với hai biểu thức A, B mà B
0, ta có
\
A B A B=
, tức là
+ Nếu A
0 và B
0 thì
\
A B A B=
+ Nếu A < 0 và B
0 thì
\
A B A B=
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
\
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
b. Đa thừa số vào trong dấu căn
+ Nếu A
0 và B
0 thì
\
A B A B=
+ Nếu A < 0 và B
0 thì
\
A B A B=
c. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
- Với các biểu thức A, B mà A.B
0 và B
0, ta có
A AB
B B
=
d. Trục căn thức ở mẫu
- Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có
A A B
B
B
=
- Với các biểu thức A, B, C mà
NA
và
\
A B
, ta có
\
] ^C C A B
A B
A B
=
- Với các biểu thức A, B, C mà
N NA B
và
A B
, ta có
] ^C A B
C
A B
A B
=
A.1.6. Căn bậc ba
a. Khái niệm căn bậc ba:
- Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x
3
= a
- Với mọi a thì
_ _ _
_
] ^a a a= =
b. Tính chất
- Với a < b thì
_ _
a b<
- Với mọi a, b thì
_ _ _
#ab a b=
- Với mọi a và
Nb
thì
_
_
_
a a
b
b
=
A.2. Kiến thức bổ xung (*) Dành cho học sinh khá giỏi, học sinh ôn thi chuyên
A.2.1. Căn bậc n
a. Căn bậc n (
\ n N
) của số a là một số mà lũy thừa n bằng a
b. Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)
Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ
Căn bậc lẻ của số dơng là số dơng
Căn bậc lẻ của số âm là số âm
Căn bậc lẻ của số 0 là số 0
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
_
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
c. Căn bậc chẵn (n = 2k )
Số âm không có căn bậc chẵn
Căn bậc chẵn của số 0 là số 0
Số dơng có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là
\k
a
và
\k
a
d. Các phép biến đổi căn thức.
\ M
#
k
A
+
xác định với
A
\
#
k
A
xác định với
NA
\ M
\ M
k
k
A A
+
+
=
với
A
\
\
k
k
A A=
với
A
\ M \ M
\ M
# #
k k
k
A B A B
+ +
+
=
với
A, B
\
\ \
# #
k
k k
A B A B=
với
A, B mà
# NA B
\ M \ M
\ M
# #
k k
k
A B A B
+ +
+
=
với
A, B
\ \
\
# #
k k
k
A B A B=
với
A, B mà
NB
\ M
\ M
\ M
k
k
k
A A
B
B
+
+
+
=
với
A, B mà B
0
\
\
\
k
k
k
A
A
B
B
=
với
A, B mà B
0,
# NA B
m
n mn
A A=
với
A, mà
NA
m
m
n
n
A A=
với
A, mà
NA
B. MT S BI TP Cể LI GII.
Bi 1: Tớnh:
a.
_ _ _ _
\ _ \ \ \ _ \ \
A
- +
= +
- + + -
b. B = `
#C aW#`#`
HNG DN GII:
#
_ _ _ _
\ _ \ \ \ _ \ \
A
- +
= +
- + + -
#
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
b
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
\] _ _^ \] _ _^
b \ _ b b \ _ b
- +
= +
- + + -
\] _ _^ \] _ _^
_ M b _ M b
- +
= +
- + + -
\ \
\] _ _^ \] _ _^
_ 2
- + +
=
-
\b \
b \
c
= =-
-
#7a`a
aaa_
#1aW#`#`aW#`#`
a``a_
Bài 2: Cho biểu thức A =
( )
\
M
M
R
M
MM
−
+
−
+
−
x
x
xxx
a) Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A
b) Tim giá trị của x để A =
_
M
.
c) Tìm giá trị lớn nhất cua biểu thức P = A - 9
x
HƯỚNG DẪN GIẢI:
^#:D(I
0 1x
< ≠
SD(IR
( )
( )
2
1 1 1
:
1
1
x x x
A
x
x x
x
+ + −
= =
−
−
^#:,da
_
M
+
1 1 3 9
3 2 4
x
x x
x
−
= ⇔ = ⇔ =
]Y<D(I^
SB
9
4
x =
+da
_
M
^#0ade2
x
a
1 1
9 9 1
x
x x
x x
−
− = − + +
÷
f=EQCX)13--GE*'R
1 1
9 2 9 . 6x x
x x
+ ≥ =
g!R
6 1 5P
≤ − + = −
#:X)hK!(
1 1
9
9
x x
x
= ⇔ =
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
W
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
SB!iC6,)
5P
=
(
1
9
x =
Bi 3: 1) Cho biu thc
h b
d
h \
+
=
+
. Tớnh giỏ tr ca A khi x = 36
2) Rỳt gn biu thc
h b h Mc
7 R
h b h b h \
+
= +
ữ
ữ
+ +
(vi
h Njh Mc
)
3) Vi cỏc ca biu thc A v B núi trờn, hóy tỡm cỏc giỏ tr ca x nguyờn giỏ
tr ca biu thc B(A 1) l s nguyờn
HNG DN GII:
M^Sha_c]Y<hkaN^Rda
36 4 10 5
8 4
36 2
+
= =
+
\^Sh
NhMcR
7a
x( x 4) 4( x 4) x 2
x 16 x 16 x 16
+ +
+
ữ
ữ
+
a
(x 16)( x 2) x 2
(x 16)(x 16) x 16
+ + +
=
+
_^R
2 4 2 2 2
( 1) . 1 .
16 16 16
2 2
x x x
B A
x x x
x x
+ + +
= = =
ữ
ữ
+ +
#
:,
( 1)B A
h+
16x
*6\l]\^a
}
{
Mj \
K!i*')R
16x
M
1
\
2
h Mm MW Mn Mb
o;?=:o
0, 16x x
,
( 1)B A
+
}
{
MbjMWjMmjMnx
Bi 4: Cho biểu thức:
( ) ( )( )
yx
xy
xyx
y
yyx
x
P
+
++
+
=
MMM^^M^]]
a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P.
b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P = 2.
HNG DN GII:
a). Điều kiện để P xác định là :;
NjMjNjN
+
yxyyx
.
( )
( ) ( ) ( )
]M ^ ]M ^
M M
x x y y xy x y
P
x y x y
+ +
=
+ +
( ) ( )
( ) ( ) ( )
] ^
M M
x y x x y y xy x y
x y x y
+ + +
=
+ +
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
c
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
( ) ( )
( ) ( ) ( )
M M
x y x y x xy y xy
x y x y
+ + +
=
+ +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
M M M M
M M
x x y x y x x
x y
+ + + +
=
+
( )
M
x y y y x
y
+
=
( ) ( ) ( )
( )
M M M
M
x y y y y
y
+
=
#x xy y= +
Vậy P =
#yxyx
+
b) :op:R
NjMjNjN
+
yxyyx
P = 2
#yxyx
+
= 2
( ) ( )
( )( )
MMM
MMM
=+
=++
yx
yyx
Ta có: 1 +
My
M Mx
N bx
x = 0; 1; 2; 3 ; 4
Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vào ta cócác cặp giá trị x=4, y=0 và x=2, y=2 (thoả mãn).
Bi 5:Cho biểu thức M =
x
x
x
x
xx
x
+
+
+
+
+
\
_
_
M\
cW
2\
a. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M
b. Tìm x để M = 5
c. Tìm x
Z để M
Z.
HNG DN GII:
M =
x
x
x
x
xx
x
+
+
+
+
+
\
_
_
M\
cW
2\
a.ĐK
2jbjN
xxx
0,5đ
Rút gọn M =
( )( ) ( )( )
( )( )
_\
\M\__2\
+++
xx
xxxxx
Biến đổi ta có kết quả: M =
( )( )
_\
\
xx
xx
M =
( )( )
( )( )
_
M
\_
\M
+
=
+
x
x
M
xx
xx
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
m
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
( )
Mcb
b
Mc
bMc
MWWM
_WM
W
_
M
W$##
===
=
=+
=+
=
=
xx
x
xx
xx
x
x
Đối chiếu ĐK:
2jbjN
xxx
Vậy x = 16 thì M = 5
c. M =
_
b
M
_
b_
_
M
+=
+
=
+
xx
x
x
x
Do M
z
nên
_x
là ớc của 4
_x
nhận các giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; 4
Lập bảng giá trị ta đợc:
{ }
b2j\WjMcjbjM
x
vì
bx
{ }
b2j\WjMcjM
x
Bi 6: Cho biu thc P = ( - )
2
. ( - ) Vi a > 0 v a 1
a) Rỳt gn biu thc P
b) Tỡm a P < 0
HNG DN GII:
^ 0a]e^
\
#]e^SkNqM
2
2 2
2
2
a 1 a 1 a 1
P ( ) .( )
2
2 a a 1 a 1
a a 1 ( a 1) ( a 1)
P ( ) .
2 a ( a 1)( a 1)
a 1 a 2 a 1 a 2 a 1
P ( ) .
a 1
2 a
(a 1)4 a 1 a
P
4a
a
+
=
+
+
=
+
+
=
= =
SB0a
1 a
a
SPkNqM
^ +,0rN
SkNqMkN
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
n
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
0arNMerNkM]$:o^
Bài 7: Cho biểu thức: Q = - ( 1 + ) :
a) Rút gọn Q
b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b
HƯỚNG DẪN GIẢI:
^ sFR
tae]M`^R
ae#
aea
aa
^ oa_Rtaaa
Bài 8: Cho biểu thức
__
__
R
MM\
#
MM
xyyx
yyxxyx
yx
yxyx
A
+
+++
++
+
+=
a ) Rút gọn A;
b) Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nh} nhất, tìm giá trị đó.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
:(hRhkNkN
^
__
__
R
MM\
#
MM
xyyx
yyxxyx
yx
yxyx
A
+
+++
++
+
+=
( )( ) ( )
( )
yxxy
yxxyyxyxyx
xy
yx
yxxy
yx
+
+++−+
+
+
+
+
=
R
\
#
( )
( )
( )
yxxy
yxyx
xy
yx
xy
+
++
+
+=
R
\
( )
##
\
xy
yx
yx
xy
xy
yx
+
=
+
+
=
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
2
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
^
N\N
\
≥−+⇔≥
−
xyyxyx
#\ xyyx
≥+⇔
9
M
Mc
Mc\
\
==≥
+
=
xy
xy
xy
yx
A
]+haMc^
SBdaM(
b#
Mc
x y
x y
xy
=
⇔ = =
=
Bài 9: Cho biểu thức:
−
+
−
−
−−
−
−
−−
=
xx
x
xx
x
xx
P
\
\
\
\
\M
_
M
M
a) Tìm điều kiện để P có ngh~a.
b) Rút gọn biểu thức P. c) Tính giá trị của P với
\\_
−=
x
.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
#7,)0u(4(R
≠−−
≠−
≥−
>
N\M
N\
NM
N
x
x
x
x
≠
≠
≥
⇔
≠
≠
≥
>
⇔
_
\
M
_
\
M
N
x
x
x
x
x
x
x
^:(hR
_j\jM
≠≠≥
xxx
−
+
−
−
−−
−
−
−−
=
xx
x
xx
x
xx
P
\
\
\
\
\M
_
M
M
( )
( )( )
( )
( )
( )( ) ( )
−
+
−
−
+−−−
+−−
−
−+−−
−+
=
xx
x
xxx
xx
xxxx
xx
\
\
\
\
\M\M
\M_
MM
M
( )
( )
( )
( )
( )
xx
xx
x
xx
xx
xx
−
−−
−−
+−−
−
−−
−+
=
\
\\
#
\M
\M_
M
M
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
MN
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
( )
( ) ( )
( )
xx
x
x
xx
xx
xx
−
−−
−
+−−
−
+−
−+
=
\
\
#
_
\M_
M
M
( )
( )
( )
x
x
x
x
x
xxx
−
=
−−
=
−
−−−−+=
\M#\M
#\MM
^
( )
\
M\\\_
−=−=
x
,)
x
x
P
−
=
\
R
( )
( )
M\
M\\
M\
M\\
M\
M\\
\
\
−
+−
=
−
−−
=
−
−−
=
P
M\
M\
M
+=
−
=
Bài 10: Cho biểu thức:
P =
b n M \
] ^ R ] ^
b
\ \
x x x
x
x x x x
−
+ −
−
+ −
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = -1
c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có:
] _^ Mm x P x
− > +
HƯỚNG DẪN GIẢI:
^ R
\ ] \^x x x x
− = −
• :op:R
N
N N
b N b
\ N
x
x x
x x
x
≥
≠ >
⇔
− ≠ ≠
− ≠
• ShkN
bx
≠
R
0a
b n M \
] ^ R] ^
b
\ ] \^
x x x
x
x x x x
−
− −
−
+ −
M \] \^
b ] \^ n
R
] \^] \^ ] \^
b n n M \ b
R
] \^] \^ ] \^
x x
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
− − −
− −
=
− + −
− − − − +
=
− + −
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
MM
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
b n _
R
] \^] \^ ] \^
x x x
x x x x
− − − +
=
− + −
]:(Rh
≠
2^
ShkNh
b 2x
≠ ≠
+0a
b
_
x
x
−
^ 0aeM
b
M
_
x
x
⇔ = −
−
]:oRhkN
b 2x x
≠ ≠
^
b _
b _ N
x x
x x
⇔ = −
⇔ − − =
:L
x y
=
(kN
=*'!+R
\
b _ Ny y− − =
1I-GR``abeMe_aN
M
My
⇒ = −
](K<:op:kN^
\
_
b
y =
]K<:op:kN^
S
_
b
y x
= =
+ha
2
Mc
]K<(h^
Vậy với x =
2
Mc
thì P = - 1
^
] _^ Mm x P x
− > +
](RhkNj
b 2x x
≠ ≠
^
b
] _^ M
_
#b M
M
b
x
m x x
x
m x x
x
m
x
⇔ − > +
−
⇔ > +
+
⇔ >
]9bhkN^
• pv
M M M M
b b b b b
x x
x x x x
+
= + = +
1hk2]K<:op:^
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
M\
b ] \^ ] \^
#
] \^] \^ _
b # ] \^
]_ ^] \^
b
_
x x x x
x x x
x x x
x x
x
x
− + −
=
− + −
− −
=
− −
=
−
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
M M
2x
⇔ <
]/=T-GE*'>5-G=T-Gw-G'+Y'^
M M
b _c
M M M M
b b b _c
M M W
b b Mn
x
x
x
⇔ <
⇔ + < +
⇔ + <
(;&K=!R
W M
W
Mn b
M
Mn
b
x
x
m
x
m
x
+
>
⇒ ≥
+
>
Kết luận:S
W
2
Mn
m x
≥ >
+
] _^ Mm x P x
− > +
C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
C©u 1 Cho bi,u th)c :
\
\
\
M
\
M
#^
M
M
M
M
] x
x
xx
A −−
−
+
+
−
=
1) Tim iDu kiIn c6a x , bi,u th)c A cã nghua .
2) Rót gn bi,u th)c A .
3) GiKi ph*'ng tr×nh theo x khi A = -2 .
C©u2 Cho bi,u th)c :
++
+
−
−
−
+
=
M
\
R^
M
M
M
\
]
xx
x
xxx
xx
A
^ sF,)#
^ P!i6
A
(
_\b
+=
x
C©u3 Cho bi,u th)c :
xxxxxx
x
A
−++
+
=
\
M
R
M
a) sF,)d#
b) 1d-G6;hJV sG A .
C©u4 Cho bi,u th)c :
M M M M M
da R
Me h M M M Mx x x x
+ − +
÷ ÷
+ − + −
a) sFgn bi,u th)c A .
b) P!i6d(ha
m b _+
^S!i6h+dH!iYC#
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
M_
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
Câu 5 Cho bi,u th)c : A =
M M \
R
\
a a a a a
a
a a a a
+ +
ữ
ữ
+
a. Tìm ĐKXĐ
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị nguyên của a để A nguyên.
Câu 6 Cho bi,u th)c
h M \ h
0 M R M
h M
h M h h h h M
= +
ữ ữ
+
+
^T+:op:!F0
b) +!i6h,
0 h
B!i#
Câu 7 Cho
0 M M j N M
M M
+
= +
ữ ữ
+ +
a) Rút gn P.
b) Tìm a bi;t P >
\
.
c) Tìm a bi;t P =
.
Câu 8 Cho
( )
\
\
\
M \h Mch
M
0 j h
M bh \
=
a) Ch)ng minh
\
0
M \h
=
b) TPP khi
_
h
\
=
2.TP
\ W \b
t
M\
+
=
Câu 9 Cho bi,u th)c
h M h M n h h h _ M
7 R
h M h M
h M h M h M
+
=
ữ ữ
+
a) RF gn B.
b) TP!i c6a B khi
h _ \ \
= +
.
c) Ch)ng minh rxng
7 M
vi mi gP tri c6a x thY<
h Nj h M
.
Câu 10 Cho
\
M M
$ M R M
M
M
= + +
ữ
ữ
+
a) +p:
^sF,)$#
^P!i6$H
_
\ _
=
+
#
Câu 11 Cho bi,u th)c:
MNjM
M
M
M
+
+
+
=
aa
a
aa
a
aa
A
.
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
Mb
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
M#sF,)d#
\#+yNqMK<X)Rdae
\
C©u 12 Cho bi,u th)c:
yxyx
yx
xy
xyx
y
xyx
y
S
≠>>
−
−
+
+
=
NNj
\
R
.
1. sF,)!#
\#+!i6h,gaM#
C©u 13 Cho bi,u th)c:
MNj
M
M
\
M\
\
≠>
+
⋅
−
−
−
++
+
= xx
x
x
x
x
xx
x
Q
.
a#1)
M
\
−
=
x
Q
#+-GhC,t!i-G#
C©u 14 Cho bi,u th)c:
bMNj
\
M
M
\
R
M
MM
≠≠>
−
+
−
−
+
−
−=
xxx
x
x
x
x
xx
A
.
M#sFd#
\#+h,daN#
C©u 15sF,)R
Mj
MM
M
M
M
_
\\
>
−
−
+
+−
+
+−−
+
= a
a
aa
aa
aaa
a
A
.
C©u 16 Cho bi,u th)c:
MNj
M
M
M
M
M
\
≠>
−
+
−
++
+
+
−
+
=
xx
x
x
xx
x
xx
x
T
.
1#sF,)#
\#1)!xhkNhqMrMz_#
C©u 17 Cho bi,u th)c:
( )
#MjNj
M
M
M
M
_
≠≥
++
−
−
−
−
= xx
xx
x
x
x
M
1. sF,)$#
\#+h,$y\#
Bài 18: 1,)R
\ \ \
\ \ M
da ` M
M` M
+ − +
÷
+
yNjyM
^sF,)d#
^+!i6d
Wc \b W
= +
#
^+!iYC6d#
Bài 19: Cho biểu thức
( ) ( )
_ \ M M
0 R
M
M M
\ M
+ + +
= − +
÷
−
+ −
+ −
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
MW
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
a) Rỳt gn P.
b) Tỡm a
M M
M
0 n
+
Bi 20: 1,)
h M \ h
0 M R M
h M
h M h h h h M
= +
ữ ữ
+
+
^+:op:sF0
^+!i6h,
0 h
B!i#
VN 2: PHNG TRèNH BC HAI MT N S
A. KIN THC CN NH:
I. Định nghĩa : Phơng trình bậc hai một ẩn là phơng trình có dạng
\
h h N+ + =
trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trớc gọi là các hệ số và
N
II. Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai :
Phơng trình bậc hai
\
h h N] N^+ + =
\
b =
*) Nếu
N >
phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
M \
h j h
\ \
+
= =
*) Nếu
N
=
phơng trình có nghiệm kép :
M \
h h
\
= =
*) Nếu
N <
phơng trình vô nghiệm.
III. Công thức nghiệm thu gọn :
Phơng trình bậc hai
\
h h N] N^+ + =
và
\{
=
\
{ { =
|^Nếu
{ N >
phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
M \
{ { { {
h jh
+
= =
*) Nếu
{ N =
phơng trình có nghiệm kép :
M \
{
h h
= =
*) Nếu
{ N <
phơng trình vô nghiệm.
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
Mc
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
IV. Hệ thức Vi - Et và ứng dụng :
1. Nếu x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
\
h h N] N^+ + =
thì :
M \
M \
h h
h h
+ =
=
2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phơng trình :
\
h gh 0 N + =
(Điều kiện để có u và v là
\
g b0 N
)
3. Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình
\
h h N] N^+ + =
có hai nghiệm :
M \
h Mjh
= =
Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình
\
h h N] N^+ + =
có hai nghiệm :
M \
h Mjh
= =
IV: Cỏc b iu kin phng trỡnh cú nghim th}a món c im cho trc:
Tìm điều kiện tổng quát để phơng trình ax
2
+bx+c = 0 (a 0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) 0
2. Vô nghiệm < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu > 0 và P < 0 a.c < 0
7. Hai nghiệm dơng(lớn hơn 0) 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a.c < 0 và S > 0
B. MT S BI TP Cể LI GII:
Bài 1. Giải các phơng trình sau :
\
z \h n N =
\
z _h Wh N =
_ \
z h _h \h c N+ =
\
z \h _h W N + + =
b \
E z h _h b N+ =
h \ c
} z _
h W \ h
+
+ =
Giải
\ \ \
z \h n N \h n h b h \ = = = =
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
Mm
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
Vậy phơng trình có nghiệm
h \=
\
h N
h N
z _h Wh N h]_h W^
W
_h W N
h
_
=
=
=
=
=
Vậy phơng trình có nghiệm
W
h Njh
_
= =
\
z \h _h W N + + =
Nhẩm nghiệm :
Ta có : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0 => phơng trình có nghiệm :
M \
W W
h Mjh
\ \
= = =
b \
E z h _h b N+ =
Đặt
\
h ] N^=
. Ta có phơng trình :
\
_ b N+ =
a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0
=> phơng trình có nghiệm :
M
M N= >
(thỏa mãn);
\
b
b N
M
= = <
(loại)
SR
\
M h M h M= = =
Vậy phơng trình có nghiệm
h M=
_ \ _ \ \ \
\ \
z h _h \h c N ]h _h ^ ]\h c^ N h ]h _^ \]h _^ N ]h _^]h \^ N
h _
h _ N h _
h \ N h \
h \
+ = + + = + + = + =
=
+ = =
= =
=
Vậy phơng trình có nghiệm
h _jh \= =
h \ c
} z _
h W \ h
+
+ =
(ĐKXĐ :
h \jh W
)
Phơng trình :
h \ c
_
h W \ h
+
+ =
\ \
\
\
]h \^]\ h^ _]h W^]\ h^ c]h W^
]h W^]\ h^ ]h W^]\ h^ ]h W^]\ h^
]h \^]\ h^ _]h W^]\ h^ c]h W^
b h ch _h _N MWh ch _N
bh MWh b N
MW b#] b^#b \\W cb \n2 Nj Mm
+
+ =
+ + =
+ + =
+ + =
= = + = > =
=> phơng trình có hai nghiệm :
M
MW Mm M
h
\#] b^ b
+
= =
(thỏa mãn ĐKXĐ)
\
MW Mm
h b
\#] b^
= =
(thỏa mãn ĐKXĐ)
Bài 2. Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m :
\
h h _ N+ + + =
(1)
a/ Giải phơng trình với m = - 2.
b/ Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phơng trình. Tính
\ \ _ _
M \ M \
h h jh h+ +
theo m.
c/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn :
\ \
M \
h h 2+ =
.
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
Mn
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
d/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn : 2x
1
+ 3x
2
= 5.
e/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x
1
= - 3. Tính nghiệm còn lại.
f/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào giá
trị của m.
HNG DN GII:
a/ Thay m = - 2 vào phơng trình (1) ta có phơng trình :
\
\
h \h M N
]h M^ N
h M N
h M
+ =
=
=
=
Vậy với m = - 2 phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1.
zPhơng trình :
\
h h _ N+ + + =
]M^R
\ \
b] _^ b M\ = + =
Phơng trình có nghiệm
M \
h j h N
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :
M \
M \
h h ]^
h h _]^
+ =
= +
*)
\ \ \ \ \
M \ M \ M \
h h ]h h ^ \h h ] ^ \] _^ \ c+ = + = + =
*)
_ _ _ _ _ \
M \ M \ M \ M \
h h ]h h ^ _h h ]h h ^ ] ^ _] _^] ^ _ 2+ = + + = + = + +
c/ Theo phần b : Phơng trình có nghiệm
M \
h j h N
Khi đó
\ \ \
M \
h h \ c+ =
Do đó
\ \ \ \
M \
h h 2 \ c 2 \ MW N+ = = =
\
]^ ]^
{ ] M^ M#] MW^ M MW Mc Nj b = = + = > =
=> phơng trình có hai nghiệm :
M \
M b M b
Wj _
M M
+
= = = =
Thử lại : +) Với
W m N
= = <
=> loại.
+) Với
_ 2 N= = >
=> thỏa mãn.
Vậy với m = - 3 thì phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn :
\ \
M \
h h 2+ =
.
d/ Theo phần b : Phơng trình có nghiệm
M \
h j h N
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :
M \
M \
h h ]^
h h _]^
+ =
= +
Hệ thức : 2x
1
+ 3x
2
= 5 (c)
Từ (a) và (c) ta có hệ phơng trình :
M \ M \ M M
M \ M \ \ M \
h h _h _h _ h _ W h _ W
\h _h W \h _h W h h h \ W
+ = + = = =
+ = + = = = +
Thay
M
\
h _ W
h \ W
=
= +
vào (b) ta có phơng trình :
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
M2
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
\
\
\
\
]^
] _ W^]\ W^ _
c MW MN \W _
c \c \n N
_ M_ Mb N
M_ b#_#Mb M N
+ = +
= +
=
+ + =
= = >
=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
M
\
M_ M
\
\#_
M_ M m
\#_ _
+
= =
= =
Thử lại : +) Với
\ N= =
=> thỏa mãn.
+) Với
m \W
N
_ 2
= = >
=> thỏa mãn.
Vậy với
m
\j
_
= =
phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn : 2x
1
+ 3x
2
= 5.
e/ Phơng trình (1) có nghiệm
\
M
h _ ] _^ #] _^ _ N \ M\ N c= + + + = + = =
Khi đó :
M \ \ M \ \
h h h h h c ] _^ h _+ = = = =
Vậy với m = 6 thì phơng trình có nghiệm x
1
= x
2
= - 3.
f/ Phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu
N M#] _^ N _ N _ < + < + < <
Vậy với m < - 3 thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Giả sử phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
. Khi đó theo định lí Vi-et, ta có :
M \ M \
M \ M \
M \ M \
h h h h
h h h h _
h h _ h h _
+ = =
=
= + =
SBI)Ix
1
; x
2
(=QRx
1
.x
2
`]x
1
+ x
2
^3_aN
Bài 3:
Cho phơng trình (m-1)x
2
+ 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
HNG DN GII:
a) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x =
\
_
(là nghiệm)
+ Nếu m q 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có:
=1
2
- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm
= 3m-2 0 m
_
\
+ Kết hợp hai trờng hợp trên ta có: Với m
_
\
thì phơng trình có nghiệm
b) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x =
\
_
(là nghiệm)
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
\N
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
+ Nếu m q 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có:
= 1- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm duy nhất
= 3m-2 = 0 m =
_
\
(thoả mãn m q 1)
Khi đó x =
_
M
_
\
M
M
M
=
=
m
+Vậy với m = 1 thì phơng trình có nghiệm duy nhất x =
\
_
với m =
_
\
thì phơng trình có nghiệm duy nhất x = 3
c) Do phơng trình có nghiệm x
1
= 2 nên ta có:
(m-1)2
2
+ 2.2 - 3 = 0 4m 3 = 0 m =
b
_
Khi đó (1) là phơng trình bậc hai (do m -1 =
b
_
-1=
b
M
q 0)
Theo đinh lí Viet ta có: x
1
.x
2
=
cM\
b
M
_
M
_
\
==
=
x
m
Vậy m =
b
_
và nghiệm còn lại là x
2
= 6
Bài 4: Cho phơng trình: x
2
-2(m-1)x - 3 - m = 0
a) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x
1
, x
2
của phơng trình thoả mãn x
1
2
+x
2
2
10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x
1
qua x
2
HNG DN GII:
a) Ta có:
= (m-1)
2
( 3 m ) =
b
MW
\
M
\
+
m
Do
N
\
M
\
m
với mọi m;
N
b
MW
>
> 0 với mọi m
Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phơng trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu a.c < 0 3 m < 0 m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) và P = x
1.
x
2
= - (m+3)
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
\M
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
Khi đó phơng trình có hai nghiệm âm S < 0 và P > 0
_
_
M
N^_]
N^M]\
<
<
<
>+
<
m
m
m
m
m
Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) và P = x
1.
x
2
= - (m+3)
Khi đó A = x
1
2
+x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= 4(m-1)
2
+2(m+3) = 4m
2
6m + 10
Theo bài A 10 4m
2
6m 0 2m(2m-3) 0
N
\
_
\
_
N
\
_
N
N_\
N
N_\
N
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
Vậy m
\
_
hoặc m 0
e) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có:
=
=+
+=
=+
c\#\
\\
#
^_]#
^M]\
\M
\M
\M
\M
mxx
mxx
mxx
mxx
x
1
+ x
2
+2x
1
x
2
= - 8
Vậy x
1
+x
2
+2x
1
x
2
+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc m
f) Từ ý e) ta có: x
1
+ x
2
+2x
1
x
2
= - 8 x
1
(1+2x
2
) = - ( 8 +x
2
)
\
\
M
\M
n
x
x
x
+
+
=
Vậy
\
\
M
\M
n
x
x
x
+
+
=
(
\
M
\
x
)
Bài 5: Cho phơng trình: x
2
+ 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 3x
1
+2x
2
= 1
c) Lập phơng trình ẩn y thoả mãn
\
MM
M
x
xy +=
;
M
\\
M
x
xy +=
với x
1
; x
2
là nghiệm
của phơng trình ở trên
HNG DN GII:
a) Ta có
= 1
2
(m-1) = 2 m
Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
\
\
\
MM
N\
M
N
{
=
=
=
=
m
m
m
m
m
P
Vậy m = 2
b) Ta có
= 1
2
(m-1) = 2 m
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
\\
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
Phơng trình có nghiệm 0 2 m 0 m 2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x
1
+ x
2
= -2 (1); x
1
x
2
= m 1 (2)
Theo bài: 3x
1
+2x
2
= 1 (3)
Từ (1) và (3) ta có:
=
=
=+
=
=+
=+
=+
=+
m
W
\
W
M\_
b\\
M\_
\
\
M
\M
M
\M
\M
\M
\M
x
x
xx
x
xx
xx
xx
xx
Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 m = - 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: x
1
+ x
2
= -2 (1) ; x
1
x
2
= m 1 (2)
Khi đó:
m
m
mxx
xx
xx
xx
xxyy
=
+=
+
++=+++=+
M
\
M
\
\
MM
\M
\M
\M
\M
\M\M
(mq1)
M
\
M
M
M\
M
^
M
^]
M
]
\
\M
\M
M
\
\
M\M
=+
+=++=++=
m
m
m
m
xx
xx
x
x
x
xyy
(mq1)
y
1
; y
2
là nghiệm của phơng trình: y
2
-
m
m
M
\
.y +
M
\
m
m
= 0 (mq1)
Phơng trình ẩn y cần lập là: (m-1)y
2
+ 2my + m
2
= 0
C. MT S BI TP T LUYN
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
\_
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
Bài 1Cho phơng trình (m - 1)x
2
- 2mx + m + 1 = 0 (1).
Tìm tất cả các số nguyên m để phơng trình (1) có nghiệm nguyên.
HDẫn : * m = 1 : -2x + 2 = 0
M= x
* m
M
: m - 1 + (-2m) +m +1 = 0
M
M
= x
;
M
\
M
M
M
\
+=
+
=
mm
m
x
{ }
_j\jNjM\jMM = mm
Bài 2: Cho phơng trình x
2
+ (2m - 5)x - 3n = 0 .
Xác định m và n để phơng trình có 2 nghiệm là 3 và -2.
HDẫn :
=+
=
Mb_b
c_c
nm
nm
=
=
\
\
n
m
Bài 3: Tìm m, n để phơng trình bậc hai sau đây có nghiệm duy nhất là
\
M
:
mx
2
+ (mn + 1)x + n = 0
HDẫn :
( )
=+++
=
N
\
M
#M
b
N
N
nmn
m
m
=
=
\
M
\
n
m
Bài 4: Cho hai phơng trình : x
2
- 3x + 2m + 6 = 0 (1) và x
2
+ x - 2m - 10 = 0 (2)
CMR : Với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phơng trình trên có nghiệm .
HDẫn :
=+
\M
26 > 0
có 1 biệt số không âm .
Bài 5: Cho hai phơng trình : x
2
+ (m - 2)x +
b
m
= 0 (1)
và 4x
2
- 4(m - 3)x + 2m
2
- 11m + 13 = 0 (2)
CMR với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phơng trình trên có nghiệm .
HDẫn :
^b^]M]
M
= mm
;
^b^]M]Mc
\
= mm
N^b]^M]Mc#
\\
\M
= mm
có 1 biệt số không âm .
Bài 6: Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.
x
2
+ 2x + m = 0
x
2
+ mx + 2 = 0
HDẫn : (m -2)x
N
= m - 2 : + m =2 : hai phơng trình có dạng : x
2
+ 2x +2 = 0 ( vô nghiệm)
+ m
2 : x
N
= 1 ; m = -3
Bài 7: Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.
x
2
+ (m - 2)x + 3 = 0
2x
2
+ mx + (m + 2) = 0
HDẫn : (m - 4)x
N
= m - 4 : + m = 4 : hai phơng trình có dạng : x
2
+ 2x +3 = 0 ( vô
nghiệm)
+ m
4 : x
N
= 1 ; m = -2
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
\b
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
Bài 8 : Gọi
M
x
và
\
x
là những nghiệm của phơng trình : 3x
2
- (3k - 2)x - (3k + 1) = 0 (1)
Tìm những giá trị của k để các nghiệm của phơng trình (1) thoả mãn :
cW_
\M
= xx
HDẫn : *
_
b
N^b_]
\
+= kk
*
=
=
MW
_\
N
k
k
(t/m)
Bài 9 : Cho phơng trình : x
2
- (2m + 1)x + m
2
+ 2 = 0. Xác định m để giữa hai
nghiệm
\M
xx
ta có hệ thức :
Nm^]W_
\M\M
=++ xxxx
HDẫn : *
b
m
Nmb = mm
*
=
=
_
b
\
m
m
loại m =
_
b
Bài 10: Cho phơng trình
( )
NM\\
\
=+++ mxmx
. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng
trình. Tìm giá trị của m để
( ) ( )
\
M\\M
\M\M mxxxx =+
HDẫn : *
{
=
N
b
_
\
_
\
>+
+m
*
( ) ( )
\
M\\M
\M\M mxxxx =+
( )
=
=
=+=+
\
N
N\b
\
\M\M
m
m
mmmxxxx
Bài 11: Cho phơng trình
( )
Nm\_\
\
=+ mxmx
(1)
Gọi hai nghiệm của phơng trình (1) là x
1
, x
2
. hãy tìm m để
m
xx
=
+
+
+ M
M
M
M
\M
HDẫn : *
=
( )
Nb
\
m
*
m
xx
=
+
+
+ M
M
M
M
\M
b
__m
N\m\
\
==+ mmm
Bài 11: Cho phơng trình x
2
- ( 2m + 1)x + m
2
+ m = 0. Tìm các giá trị của m để phơng
trình có hai nghiệm thoả mãn: - 2<x
1
<x
2
<4
HDẫn : *
= 1>0 * x
1
= m , x
2
= m + 1
x
1
< x
2
Do đó:
_\
_
\
b
\
\
M
<<
<
>
<
>
m
m
m
x
x
Bài 12: Tìm các giá trị của tham số a sao cho phơng trình: x
2
+ 2ax + 4 = 0 (1) có các
nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện
_
\
M
\
\
\
M
+
x
x
x
x
HDẫn : *
{
= a
2
- 4
0
\
\
a
a
*
_\
\
M
\
\
M
\
M
\
\
\
M
+=
+
x
x
x
x
x
x
x
x
( )
W
\
\
\M
\M
\
\M
+
xx
xxxx
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
\W
