Bài giảng lý thuyết trường điện từ và siêu cao tần học viện bưu chính viễn thông

HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG





LÝ THUYT TRNG IN T
VÀ SIÊU CAO TN
(Dùng cho sinh viên h đào to đi hc t xa)
Lu hành ni b










HÀ NI - 2007



HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG

LÝ THUYT TRNG IN T
VÀ SIÊU CAO TN


Biên son : THS. TÔN THT BO T
THS. DNG HIN THUN

3
CHNG 1: CÁC NH LUT VÀ NGUYÊN
LÝ C BN CA TRNG
IN T


 môn hc trng đin t, chúng ta s tìm hiu phân b ca các đi lng đin và t,
nguyên nhân to ra chúng và xác đnh các đi lng khi đã bit mt s đi lung khác.Trong
chng này, chúng ta s tìm hiu v các vn đ c bn nht ca trng đin t bao gm các đi
lung ca đin và t, các đnh lut c b
n nht nêu lên mi liên h gia các đi lung đó vi
nhau. Trong chng này s có nhiu khái nim mi mà chúng ta cn nm vng trc khi chuyn
sang các chng k tip. Các hc viên cn chú ý đn cách dn ra các phng trình toán hc t
các phát biu.  có th đc hiu đc, các hc viên cn trang b kin thc toán: hàm nhiu bin,
gii tích vect vi các toán t gradient, divergence, rotate đã hc trong ch
ng trình toán cao
cp. Nu không nm vng các phn toán hc trên s rt khó hiu đuc và theo kp các phn
chng minh trong chng này. Cui chng s là phn tóm tt các h thc trong chng và các
bài tp.

1.1. Các đi lng đc trng c bn cho trng đin t
1.1.1. Vec t cng đ đin trng
Mt đin tích th q đt trong trng đin, chu tác dng ca lc đin
e
F

. Ti mi đim
ca trng đin, t s
e
F

/q là mt đi lng không đi, đi lng y đc gi là cng đ trng
đin ti đim đó. Ký hiu
E


q
F
E
e


= (V/m) (1.1.1)
Vi q đ nh đ không nh hng đn trng đin ban đu.

1.1.2. Vec t đin cm
Khi đt đin môi vào trng đin, đin môi b phân cc. Mc đ phân cc đin môi đc
đc trng bi vec t phân cc đin
P


. Vec t phân cc đin P

xác đnh trng thái phân cc đin
môi ti mi đim. Vec t cm ng đin
D

đc đnh ngha bi h thc:

PED



+=
0
ε
(C/m
2
) (1.1.2)

Vi ε
0
= 1/4π.9.10
9
(F/m) đc gi là hng s đin.
i vi môi trng tuyn tính, đng hng:
EP


.

00
χε
=
(1.1.3)
Thay (1.1.3) vào (1.1.2):
ED
ED
r
e



εε
χε
0
0
)1(
=
+=

ED


ε
=
(1.1.4)

Vi ε
r
= 1 + χ

e
đc gi là đ thm t đi ca môi trng vi chân không.

ε
=
ε
0
. ε
r
(F/m)

c gi là đ thm đin ca môi trng


4
1.1.3. Vect cm ng t
Mt đin tích th q chuyn đng vi vn tc v

trong trng t, chu tác dng lc
m
F



BxvqF
m



= (1.1.5)

Vec t
B

đc gi là vec t cm ng t.

1.1.4. Vec t cng đ t trng
Khi đt t môi vào trng t, t môi b phân cc. Mc đ phân cc t môi đc đc trng
bi vec t phân cc t
M

. Vec t phân cc t môi xác đnh trng thái phân cc t ti mi đim
ca t môi. Vec t cng đ trng t
H

đc đnh ngha bi h thc:
M
B
H



−=
0
μ
(A/m) (1.1.6)
Vi μ
0
= 4π.10
-7
H/m, đc gi là hng s t.

i vi môi trng tuyn tính, đng hng:

HM
m


.
χ
= (1.1.7)
Thay (1.7) vào (1.6):

HB
HB
r
m



μμ
χμ
0
0
)1(
=
+=


HB



μ
=
(1.1.8)
Vi μ
r
= 1 + χ
m
, đc gi là đ thm t t đi ca môi trng vi chân không.
μ = μ
0
μ
r
(H/m)
là đ thm t ca môi trng.

1.2. nh lun Ohm và đnh lut bo toàn đin tích
1.2.1. nh lut Ohm
Dòng đin là dòng chuyn di có hng ca các ht mang đin di tác dng ca đin
trng. Cng đ dòng đin I chy qua mt din tích S đt vuông góc vi dòng chy bng lng
đin tích Q dch chuyn qua mt S trong mt đn v thi gian.

dt
dQ
I =
(1.2.1)
 mô t đy đ hn s chuyn đng c1o hng ca các ht mang đin, ngi ta đa ra
khái nim mt đ dòng đin J

:

EVVNeJ




γρ
=== (A/m
2
) (1.2.2)
Vi: N là s lng ht mang đin, mi ht có đin tích e. ρ là mt đ đin tích khi (đn
v C/m
3
) và γ là đ dn đin ca môi trng (đn v S/m). Biu thc (1.2.2) đc gi là dng vi
phân ca đnh lut Ohm.
Xét mt vùng dn có dng khi lp phng, cnh L, 2 mt đi din đc ni vi đin áp
không đi U. Cng đ dòng đin đi qua khi lp phng đó:

∫∫
==
SS
SdESdJI




γ


R
U

LUEdSI
S
===
∫
γγ
(1.2.3)

Vi S = LxL là din tích mt bên.
R = L/γS : đin tr ca khi vt dn.

1.2.2. nh lut bo toàn đin tích

5
nh lut bo toàn đin tích đc Faraday tìm ra bng thc nghim, nó đc xem là mt
tiên đ ca lý thuyt trng đin t:
Tng đin tích trong mt h cô lp v đin không thay đi.
Nh vy, lng đin tích  trong mt th tích V b gim đi trong mt đn v thi gian
bng lng đin tích đi ra kh
i th tích V trong mt đn v thi gian và bng cng đ dòng đin
I đi xuyên qua mt kín S bao quanh th tích V đó.
Gi Q là đin tích ca th tích V. ρ là mt đ đin tích khi ca V. Vy:

dt
dQ
I −= (1.2.4)
Vi
∫
=
V
dVQ

ρ
(1.2.5)
Thay (1.2.5) vào (1.2.4):


∫
−=
V
dV
dt
d
I
ρ


Áp dng:
∫
=
S
SdJI




Ta đc:
∫∫
∂
∂
−=
VS

dV
t
SdJ
ρ




Áp dng biu thc đnh lý divergence cho v trái, ta đc:

∫∫
∂
∂
−=
VV
dV
t
dVJdiv
ρ



Biu thc trên đúng vi mi th tích V, vì vy:

t
Jdiv
∂
∂
−=
ρ




0=
∂
∂
+
t
Jdiv
ρ

(1.2.6)
Biu thc (1.2.6) đc gi là dng vi phân ca đnh lut bo toàn đin tích hay còn gi là
phng trình liên tc.

1.3. Các đc trng c bn ca môi trng
c tính ca môi trng vt cht đc th hin qua các tham s đin và t ca nó:
 thm đin ε (F/m)
 thm đin t đi ε
r
(không th nguyên)
 thm t μ (H/m)
 thm t t đi μ
r
(không th nguyên)
 dn đin γ (S/m)
Các biu thc (1.1.4), (1.1.8), và (1.2.2) đc gi là các phng trình liên h hay còn gi
là các phng trình cht.
Da trên các tham s đin và t, ngi ta chia vt cht (môi trng đin t) ra thành các
lai sau:

- Môi trng tuyn tính: các tham s ε, μ, và σ không ph thuc cng đ trng.
Khi đó, các phng trình lien h là tuyn tính.

6
- Môi trng đng nht và đng hng: các tham s đin và t là hng s. Trong
môi trng này, các vect ca cùng mt phng trình liên h song song vi
nhau.
- Nu các tham s đin t theo các hng khác nhau có các giá tr không đi khác
nhau thì đc gi là không đng hng.
- Môi trng có các đi lng đin t là các hàm ca ta đ đc gi là môi
trng không đ
ng nht.
Trong t nhiên, hu ht các cht có đ thm đin t đi ln hn 1 và là môi trng tuyn
tính.
- Môi trng có đ thm t t đi ln hn gi là cht thun t, nh hn 1 gi là
cht nghch t.
- Cht dn đin là cht có γ > 10
4
(S/m).
- Cht bán dn là cht có 10
4
> γ > 10
-10
(S/m)
- Cht cách đin là cht có γ < 10
-10
(S/m)
- Môi trng là dn đin lý tng nu γ = ∞, là cách đin lý tng nu γ = 0.

1.4. Các phng trình Maxwell

1.4.1. Khái nim v dòng đin dch
i vi dòng đin không đi, ta có
0=
∂
∂
t
ρ
. T phng trình liên tc, ta suy ra:

0=Jdiv

(1.4.1)
Da theo đnh ngha ca toán t divergence, h thc (1.4.1) chng t các đng dòng dn
không đi khép kín hoc đi ra xa vô cùng, không có đim bt đu và đim kt thúc.
i vi dòng đin bin đi:

0≠
∂
∂
−=
t
Jdiv
ρ

(1.4.2)
H thc (1.4.2) chng t các đng ca dòng dn bin đi không khép kín, chúng bt đu
và kt thúc ti nhng đim  đó có mt đ đin tích bin đi theo thi gian, chng hn ti các ct
t ca t đin. Dòng đin bin đi đi qua đc mch có t, dù không tn ti dòng chuyn dch có
hng ca các h
t mang đin đi qua lp đin môi ca t.

Maxwell đã đa ra gi thit có mt quá trình xy ra tng đng vi s có mt ca dòng
đin gia hai ct t và đa ra khái nim dòng đin dch.
Dòng đin dch khép kín dòng đin dn trong mch. trng đin bin đi to nên dòng
đin dch này. Dòng chuyn di có h
ng ca các ht mang đin đc Maxwell gi là dòng đin
dn. Dòng đin bao gm dòng đin dn và dòng đin dch đc gi là dòng đin toàn phn.

1.4.2. Phng trình Maxwell th ba và th t
Phng trình Maxwell th t đc dn ra da theo đnh lut Gauss đi vi trng
đin.
nh lut Gauss đc phát biu nh sau:
Thông lng ca vec t cm ng đin gi qua mt mt kín S bt k bng tng các
đint ích t do phân b trong th tích V đc bao bi mt kín S y.
Gi: q là tng đin tích ca th tích V
D

là vec t cm ng đin trên mt kín S.
ρ là mt đ đin tích khi bên trong th tích V.
Theo đnh lut Gauss:

∫∫
∫
=
=
VS
S
dVSdD
qSdD
ρ







Áp dng đnh lý Divergence đi vi v trái:

7

∫∫
=
VV
dVdVDdiv
ρ


H thc này luôn đúng vi mi th tích V. Vì vy:

ρ
=Ddiv

(1.4.3)
Nu trong V không có đin tích thì
0=Ddiv

, đng sc ca vec t cm ng đin
không có đim bt đu và kt thúc trong th tích V, hay nói cách khác V không phi là ngun
ca vect cm ng đin.
Nu ρ > 0, thông lng ca vect cm ng đin qua S dng, chng t đng sc ca
vect cm ng đin đi ra khi V. Ngc li, đng sc c

a vec t cm ng đin đi vào V.
T biu thc (1.4.3), ta có th rút ra kt lun: ngun ca trng vec t cm ng đin
là đên tích, đng sc ca vec t cm ng đin bt đu  đin tích dng và kt thúc  đin
tích âm.
Biu thc (1.4.3) chính là phng trình th t ca h ph
ng trình Maxwell.

Phng trình Maxwell th ba đc dn ra t đnh lut Gauss đi vi trng t:
Thông lng ca vec t cm ng t
B

qua mt kín thì bng không.
Tng t nh cách dn phng trình Maxwell th t, ta đc:

0=Bdiv

(1.4.4)
H thc (1.4.4) chính là phng trình th ba ca h phng trình Maxwell.

1.4.3. Phng trình Maxwell th nht
Phng trình Maxwell th nht đc dn ra t đnh lut lu s Ampere-Maxwell, hay
còn gi là đnh lut dòng đin toàn phn. nh lut này thit lp liên h gia cng đ trng
t và dòng đin toàn phn to nên trng t:
Lu s ca vect cng đ trng t
H

theo đng kín C tùy ý bng t đi s cng
đ các dòng đin chy qua din tích bao bi đng kín C.

∑

∫
=
i
i
C
IldH


(1.4.5)
I
i
> 0 nu chiu ca dòng đin hp vi chiu ca đng ly tích phân theo quy tc
đinh c thun.
Trong trng hp dòng I chy qua đin tích S phân b liên tc vi mt đ dòng
J

,
đnh lut lu s Ampere – Maxwell có dng:

∫∫
=
SC
SdJldH




(1.4.6)
Áp dng đnh lý Stokes đi vi v trái, chuyn v, ta đc:

∫
=−
S
SdJHrot 0)(



(1.4.7)
Vì v trái luôn bng không vi mi S, biu thc di du tích phân phi bng không,
rút ra:

JHrot


= (1.4.8)
Tip theo, ta ly divergence c hai v ca (1.4.8):

JdivHdivrot


=
V trái luôn bng không vi mi vec t
H

(xem  chng trình toán). Liên h vi
phng trình liên tc:
t
Jdiv
∂
∂

−=
ρ


t∂
∂
−=
ρ
0 (1.4.9)

8
H thc (1.4.9) ch đt đc khi dòng đin là dòng không đi. Vy h thc (1.4.5) và
(1.4.8) ch đúng khi dòng đin là dòng không đi.
Bây gi ta xét trng hp dòng đin bin thiên. Khi đó:

0≠
∂
∂
−=
t
Jdiv
ρ


Thay (1.4.3) vào, ta đc:

Ddiv
t
Jdiv



∂
∂
−=


0)( =
∂
∂
+
t
D
Jdiv


(1.4.10)
H thc (1.4.10) chng t đng dòng ca vec t
)(
t
D
JJ
tp
∂
∂
+=



khép kín. Vec t
tp

J


chính là vec t mt đ dòng đin toàn phn đã đ cp  mc 1.4.1. Dòng đin toàn phn là
tng ca dòng đin dn có vec t mt đ dòng đin dn:
EJ


γ
= (1.4.11)
Và dòng đin dch có vec t mt đ dòng đin dch:

t
D
J
d
∂
∂
=


(1.4.12)
Biu thc toán hc ca đnh lut lu s ca Ampere (1.4.6) đã đc Maxwell m rng
nh sau, khi có k đn dòng đin dch:

∫∫
∂
∂
+=
SC

Sd
t
D
JldH





)( (1.4.13)

t
D
JHrot
∂
∂
+=



(1.4.14)
H thc (1.4.14) chính là phng trình th nht ca h phng trình Maxwell. H
thc này chng t không ch dòng đin dn mà ngay c đin trng bin thiên cng có th
sinh ra trng t.

1.4.4. Phng trình Maxwell th hai
Phng trình th hai ca h phng trình Maxwell đc dn ra t đnh lut cm ng
đin t Faraday. nh lut này thit lp mi quan h gia trng t bin đi trong không gian
vi trng đin phân b trong không gian do trng t gây ra:
Sc đin đng sinh ra trên mt vòng dây có giá tr bng và ngc du vi tc đ bin

thiên ca t thông g
i qua din tích gii hn bi vòng dây đó.

∫∫
−=
SC
SdB
dt
d
ldE




(1.4.15)
Vi S là mt gii hn bi đng cong kín C. Yu t din tích
Sd

ca mt S có chiu
hp vi chiu ca ly tích phân C theo quy tc đinh c thun.
Áp dng đnh lý Stokes vi v trái:

∫∫
=
SC
SdErotldE





(1.4.16)
Nu mt ly tích phân S không ph thuc thi gian:

Sd
t
B
SdB
dt
d
SS




∫∫
∂
∂
= (1.4.17)
Thay (1.4.16) và (1.4.17) vào (1.4.15)m ta đc:

∫∫
∂
∂
−=
SS
Sd
t
B
SdErot





(1.4.18)

9
H thc (1.4.18) luôn đúng vi mi S, vì vy:

t
B
Erot
∂
∂
−=


(1.4.19)
H thc (1.4.19) biu din toán hc ca đnh lut Faraday, chính là phng trình th
hai trong h phng trình Maxwell. H thc này chng t trng t bin thiên theo thi gian
làm sinh ra trng đin xóay phân b trong không gian.

n đây, ta đã có đ h phng trình Maxwell gm 4 phng trình:

t
D
JHrot
∂
∂
+=






t
B
Erot
∂
∂
−=


(1.4.20)

0=Bdiv



ρ
=Ddiv



Cn lu ý rng h phng trình Maxwell (1.4.20) cùng các phng trình liên h ch
đúng vi môi trng cht không chuyn đng, các thông s ca môi trng không phi là các
hàm ca thi gian, trong môi trng không có cht st t, không có nam châm vnh cu.


1.4.5. H phng trình Maxwell vi ngun ngoài:
Trong trng hp xét trng đc to ra bi ngun kích thích là ngun đc lp vi môi

trng và không chu nh hng ca trng do nó to ra, h phng trình Maxwell phi có xét
đn yu t mt đ dòng đin ngoài
e
J

. H phng trình Maxwell tr thành:

0=
=
∂
∂
−=
∂
∂
++=
Ddiv
Bdiv
t
B
Erot
t
D
JJHrot
e









ρ
(1.4.21)

1.4.6. Nguyên lý đi ln ca h phng trình Maxwell
Xét trng hp vi môi trng đng nht và đng hng, bên trong không tn ti dòng
dn, mt đ đn tích t do bng không, không có ngun ngoài. H phng trình Maxwell trong
trng hp này có dng gn là:

0
0
=
=
∂
∂
−=
∂
∂
=
Ediv
Hdiv
t
H
Erot
t
E
Hrot







μ
ε
(1.4.22)

Xét thy h phng trình (1.4.22) có dng đi xng. Các phng trình Maxwell vn gi
nguyên nu ta thc hin phép đi ln:
με
−↔↔ ,HE


. (1.4.23)
Tính cht này đc gi là nguyên lý đi ln.
Tng t, trong trng hp có ngun ngoài, nguyên lý áp dng s là:

10

mme
JJHE
ρρμε
↔↔−↔↔ ,,,



(1.4.24)

Vi

mm
J
ρ
,

là mt đ dòng t và t tích, hai đi lng đa vào mang tính hình thc, thc
t, chúng luông bng không.
Nguyên lý đi ln ca h phng trình Maxwell có ý ngha quan trng trong vic nghiên
cu lý thuyt và trong khi gii các bài toán đin t thc tin, nu kt qu ca ngun đin (hay
ngun t) là đã bit thì chúng ta có th nhn ngay kt qu do ngun t (hoc nguun đin) mà
không phi tin hành quá trình gii bài toán đó.

1.4.7. H phng trình Maxwell đi vi trng điu hòa
Mt trng thái rt quan trng ca trng đin t là trng thái khi các đi lng c bn ca
trng và ngun bin thiên điu hòa theo thi gian vi tn s góc ω. Bây gi ta đi biu din các
đi lng c bn ca trng di dng s phc và vit các phng trình Maxwell cho các biên đ
phc ca nó. Các đi lng thc ca trng
 mt thi đim bt k đc coi nh là phn thc ca
các đi lng phc tng ng vi chúng.


{
}
{
}
ti
ti
zmz
ti
ymy

ti
xmx
eEreE
eEieEieEireE
Z
y
X
ω
ψω
ψω
ψω






=
++=
+
+
+ )(
)(
)(
(1.4.22)

Vi
ρ
,, JH



, cách biu din tng t.
T cách biu din phc các đi lng ca trng theo (1.4.22), chúng ta xây dng đc
h phng trình Maxwell dng vi phân cho các biên đ phc ca trng nh sau:

ρ
ω
ω















+=
=
−=
+=
Ddiv
Bdiv
BiErot

DiJHrot
0
(1.4.23)

Các phng trình liên h dng phc:

ee
JEEEJ
HB
ED
















+=+=
=
=
γγ

μ
ε
)(
(1.4.24)
Vi
e
E


là cng đ ca ngun ngoài to nên trng.
Trong trng hp không có ngun ngoài:

0)(
0)(
=
=
−=
=
Ediv
Hdiv
HiErot
EiHrot















ε
μ
ωμ
εω
(1.4.25)

Vi
ω
γ
εε
i−=

đc gi là đ thm đin phc ca môi trng.

1.5. iu kin b đi vi các vec t ca trng đin t

11
iu kin b đi vi các vect ca trng đin t là h thc gia các thành phn ca các
vect trng đin t  hai bên, sát mt gii hn phân cách hai môi trng khác nhau. iu kin
b có tm quan trng trong c nghiên cu lý thuyt ln tìm nghim các bài toán đin t trong thc
tin. Trong mc này, chúng ta s đi tìm quan h ca cùng các vect
HBDE





,,,  hai bên ca mt
phân cách hai môi trng khác nhau.
Ta xét thành phn pháp tuyn trc:
iu kin biên đi vi thành phn pháp tuyn ca mt vect đc dn ra t phng trình
dng tích phân ly theo mt kín S, gm mt bên S
b
và hai đáy ΔS
1
,ΔS
2
đ nh đ có th coi vect
trng không đi trên mi đáy này (xem hình 1.5). Chn vec t pháp tuyn
n

hng t môi
trng (2) đn môi trng (1). Các vec t  môi trng 1 và 2 ln lt có ch s là 1 và 2. Ly
gii hn cho mt bên S
b
->0, ΔS
1
-> ΔS
0
, ΔS
2
-> ΔS
0
, thông lng ca vect trng gi qua mt
bên S

b
-> 0, s nhn đc quy lut bin đi thành phn pháp tuyn vect ca trng ti mt biên
Σ.


Hình 1.5

Ta có:

∫∫
=
VS
dVSdD
ρ




021
0
).(lim SDDnSdD
S
S
b
Δ−=
∫
→






(1.5.1)

∫
→
V
S
dV
b
ρ
0
lim = đin tích phân b mt trên ΔS
0
= σΔS
0
(vi σ là mt đ đin tích mt trên
mt Σ. Vy:

{
}
Σ
=−
σ
)(
21
DDn




(1.5.2)
Hay:
{}
Σ
=
−
σ
nn
DD
21


Tng t, ta đc:

{
}
Σ
=− 0)(
21
BBn



(1.5.3)
Và:
Σ
⎭
⎬
⎫
⎩

⎨
⎧
∂
∂
−=−
t
JJn
σ
)(
21



(1.5.4)

i vi thành phn tip tuyn:
Cách xác đnh tng t, vi vòng dây dn ch nht nm v hai bên ca mt biên, hai cnh
song song vi mt biên, ta đc điu kin biên đi vi thành phn tip tuyn nh sau:


{
}
Σ
=− 0)(
21
EExn



(1.5.5)

Hay:
{}
Σ
=
−
0
21 TT
EE

12

{}
Σ
=
−
STT
JHH
21
(1.5.6)
Vi J
S
là mt đ dòng đin dn mt trên mt Σ.

1.6. Nng lng ca trng đin t - nh lý Poynting
nh lý Poynting thit lp mi liên h gia s thay đi nng lng đin t trong mt th
tích V vi dòng nng lng đin t chy qua mt kín S bao quanh th tích này.
Gi s có mt đin tích đim dq chuyn đng vi mt vn tc
v

trong min có th tích V

có trng đin t, đc trng bi các vect
BE


,
. in tích đim dq chu tác dng ca lc đin và
lc t (Lorentz và Coulomb):

BxvdqEdqF




.+= (1.6.1)
Khi dq dch chuyn đc mt quãng đng
ld

, công ca lc đin t tác dng lên dq s
là:

ldEdqdA
ldBxvdqldEdqldFdA












=
+==


dtvEdqdA


= (1.6.2)
Công sut thc hin bi trng đin t:

vEdq
dt
dA


= (1.6.3)
Nu đin tích dq phân b liên tc vi mt đ ρ thì dq = ρ.dV. Khi đó:

dVEv
dt
dA



ρ
= (1.6.4)
Theo đnh lut Ohm:

VJ


ρ
=

(1.6.4) thành:

dVEJ
dt
dA



= (1.6.5)
Nh vy, nu đin tích khi mt đ ρ chuyn đng vi vn tc
v

to nên dòng đin dn
mt đ dòng J

thì công sut trng đin t thc hin d8i vi dòng này trong min th tích V
bng:

∫
=
V
j
dVEJP



(w) (1.6.6)
ó cng chính là công sut tiêu tán trng do ta nhit trong th tích V. Hàm di du
tích phân là mt đ công sut tiêu tán:

EJp
j


.= (w/m
3
) (1.6.7)

Tip theo, ta thay
J

t phng trình th nht Maxwell:

t
D
HrotJ
∂
∂
−=




 ý hng đng thc:

HrotEErotHHxEdiv






−=)(
Và thay :
t
B
Erot
∂
∂
−=




H thc (1.6.7) tr thành:

13

t
B
H
t
D
EEJHxEdiv
∂

∂
+
∂
∂
+=−








.)( (1.6.8)
Vec t Poynting đc đnh ngha:
)( HxEP



= (w/m
2
) (1.6.9)
Thay vào (1.6.8):

t
B
H
t
D
EEJPdiv

∂
∂
+
∂
∂
+=−







. (1.6.10)
H thc (1.6.10) chính là đnh lý Poynting dng vi phân đi vi giá tr tc thi ca các
vec t trng đin t.
Tip theo, đ có dng tích phân, ta ly tích phân hai v theo th tích V:
dV
t
B
H
t
D
EdVEJdVPdiv
VVV
∫∫∫
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+=−






Áp dng đnh lý Divergence cho v trái:

dV
t
B
H
t
D
EdVEJSdP
VVS
∫∫∫
⎟
⎟
⎠

⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+=−







(1.6.11)
ây chính là dng tích phân ca đnh lý Poynting.
Bây gi ta xét ý ngha vt lý ca đnh lý Poynting (1.6.11). Vì E đo bng V/m, H đo bng
A/m nên P đo bng W/m
2
. Vy tích phân:

∫
−
S
SdP



(W)
Là công sut trng đin t truyn qua mt S vào trong th tích V. Do đó vec t Poynting
còn đc gi là vec t mt đ dòng công sut.
Tích phân th nht  v phi ca (1.6.11) là công sut tiêu tán trng trong th tích V, nên
theo đnh lut bo toàn và chuyn hóa nng lng, phi là công sut ng vi s thay đi nng
lng đin t tp trung trong th tích V”

dV
t
B
H
t
D
E
dt
dW
V
∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+

∂
∂
=




(W) (1.6.12)
W là nng lng trng đin t tp trung trong th tích V. Gi thit  thi đim t = 0, các
vect ca trng đin t bng không,  thi đim t có giá tr
HBDE




,,, , t (1.6.12):

∫∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂

∂
=
t
V
dtdV
t
B
H
t
D
EW
0
.




(1.6.13)
D dàng chng minh đc:

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
∂

∂
DE
tt
D
E



2
1
và
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
∂
∂
BH
tt
B
H





2
1
(1.6.14)
Thay vào (1.6.13):

∫∫
+=
VV
dVBHdVDEW



2
1
2
1
(J)
Tích phân th nht trong (1.6.14) chính là nng lng trng đin, tích phân th hai là
nng lng trng t. Mt đ nng lng trng đin w
e
và mt đ nng lng trng t ln lt
là:

DEw
e


2
1
=

và
BHw
m


2
1
=
(J/m
3
) (1.6.15)

i vi trng đin t bin thiên điu hòa, ta có vec t Poynting phc:

[]
*
2
1
HxEP






= (1.6.16)

14
Mt đ dòng công sut trung bình:

PreP
tb



= (1.6.17)
Mt đ nng lng trng đin trung bình:

*
4
1
DEw
eTB




= (1.6.18)
Mt đ nng lng trng t trung bình:

*
4
1
HBw
mTB




= (1.6.19)

Mt đ công sut tiêu tán trung bình:

*
2
1
JEp
jTB




=
(1.6.20)
nh lý Poynting dng phc:

∫∫∫
−+=−
V
mTBeTB
V
jTB
S
dVwwidVpSdP )(2
ω




Phn thc ca v trái chính là tích phân th nht ca v phi, cng chính là công sut tác
dng đa vào mch đin. Phn ào ca v trái chính là tích phân th hai ca v phi, cng chính là

công sut phn kháng đa vào mch đin.

1.7. nh lý nghim duy nht
1.7.1. Phát biu đnh lý nghim duy nht
H phng trình Maxwell có nghim duy nht khi trng đin t tha mãn hai điu kin
sau:
1. Bit các vect cng đ đin trng và t trng ti thi đim ban đu t = 0  bt k
đim nào tron vùng không gian kho sát (đy chính là điu kin ban đu)
2. Bit thành phn tip tuyn ca vect cng đ đin trng ho
c thành phn tip tuyn
ca vect cng đ t trng trên mt gii hn S bao min không gian kho sát trong khong thi
gian 0 < t < ∞ (đây chính là điu kin b).

1.7.2. Chng minh đnh lý
Nu mt S là gii hn ngoài vùng không gian V, ta có bài toán trong. Nu mt S là gii
hn trong vùng không gia, ta có bài toán ngoài.
Cách chng minh hai bài toán trong và ngoài, sinh viên có th tham kho trong tài liu
tham kho.

1.8. Nguyên lý tng h
1.8.1. B đ Lorentz
Nguyên lý tng h phn nh mi quan h tng h gia trng đin t và các ngun to
ra nó ti hai đim khác nhau trong không gian môi trng vt cht. N1o có vai trò rt quan trng
trong lý thuyt anten. Trc ht chúng ta xét mt b đ quan trng gi là b đ Lorentz.
 cho đn gin, chúng ta xét trng đin t vi ngun bin thiên điu hòa theo thi gian
vi tn s
góc ω. Gi s tron môi trng đng nht và đng hng có các tham s ε, μ, γ ti đim
(1) tn ti các ngun đin và t vi mt đ
11
,

me
JJ




to ra trng vi cng đ
11
, HE



, ti đim
(2) tn ti các ngun đin và t khác vi mt đ
22
,
me
JJ




to ra trng có cng đ
22
, HE



. Các
ngun và trng ca chúng đu có cùng tn s góc là ω. Các phng trình Amxwell vit cho biên

đ phc ca trng và ngun  hai đim (1) và (2) đu có dng:

1111 e
JEiEHrot








++=
ωεγ
(1)

111 m
JHiErot






−−=
ωμ
(2)

2222 e
JEiEHrot









++=
ωεγ
(3)

15

222 m
JHiErot






−−=
ωμ
(4)

Tin hành phép tính nh sau:
- Nhân vô hng 2 v ca (2) vi
2
H



và hai v ca (3) vi
1
E


, sau đó tr v theo v. Áp
dng hng đng thc vect, ta đc:
[
]
211221212121
HJEJEEHHiEEiHxEdiv
me

























−−−−−=
γωμωε
(5)
- Nhân vô hng 2 v ca (4) vi
1
H


và 2 v ca (1) vi
2
E


, làm tng t nh bc đu
tiên, ta đc:

[
]
122121212112
HJEJEEHHiEEiHxEdiv
me

























−−−−−=
γωμωε
(6)
- Tr (5) cho (6) v theo v:

[
]

[
]
)(
122112211221
HJHJEJEJHxEdivHxEdiv
mmee

























−−−=− (1.8.1)

H thc (1.8.1) đc gi là b đ Lorentz dng vi phân.
Ly tích phân 2 v theo th tích V bao c hai đim (1) và (2) đc gii hn bi mt kín S
ri áp dng đnh lý Gauss cho v trái, ta nhn đc dng tích phân ca b đ Lorentz nh sau:
[
]
[
]
{
}
[
]
[
]
{
}
dVEJEJEJEJdSHxEHxE
V
mmee
S
∫∫
−−−=−
122112211221

























(1.8.2)
Nu m rng vùng V ra không gian vô hn gii hn bi mt cu bán kính r -> ∞ , b đ
Lorentz dng tích phân cho vùng không gian rng vô hn là:
(
)
(
)
{
}
∫
∞
=−−−

V
mmee
dVHJHJEJEJ 0
12211221
















(1.8.3)

1.8.2. Nguyên lý tng h
Gi s rng trong mt môi trng đng nht và đng hng, ngun đin và ngun t (1)
ch phân b trong th tích V
1
, còn ngun đin và ngun t th hai ch phân b trong th tích V
2
.
Hai th tích này không có min chung. Nh vy tích phân theo th tích V

∞
 v trái ca (1.8.3)
đc phân ra làm 3 tí`ch phân: theo các vùng V
1
, V
2
, và vùng còn li. Tích phân ca các vùng
còn li bng không vì không có ngun tn ti trong vùng này. Biu thc (1.8.3) tr thành:
∫∫
−=−
21
)()(
12122121
V
me
V
me
dVHJEJdVHJEJ

















(1.8.4)
Biu thc (1.8.4) gi là nguyên lý tng h ca trng đin t và ngun ca chúng  hai
vùng khác nhau.
Bây gi ta đi áp dng nguyên lý tng h cho các trng hp khác nhau sau:
1. Vi 2 lng cc đin
Nu trong th tích V
1
đt mt lng cc đin có mt đ dòng
1e
J


dài l
1
tit đin S
1
, trong
th tích V
2
đt mt lng cc th hai có mt đ dòng
2e
J


chiu dài l
2

, tit din S
2
. Các ngun t
0
21
==
mm
JJ




. Ta ký hiu đin trng trong lng cc đin 1 do ngun trong lung cc đin 2
to ra là
21
E

và đin trng trong lng cc đin th hai do lung cc đin th nht to ra là
12
E

.
Khi đó nguyên lý tung h vit cho hai lung cc đin 1 và 2 có dng:

∫∫
=
21
122211
V
e

V
e
dVEJdVEJ








(1.8.5)
Ta ký hiu:
∫
=
1
11
S
e
SdJI







16

∫

=
1
22
S
e
SdJI







∫
=
1
2121
l
ldEe







∫
=
2
1212

l
ldEe




(1.8.6)

222111
; IqPIqP









==


ωω
i
I
q
i
I
q
2

2
1
1
;




==

 đây,
221
,,, qqII
q





là dòng đin và đint ích ca lng cc đin 1 và 2.
21
, PP




là các
mômen đin ca hai lung cc,
21
e


là sc đin đng cm ng trong lng cc 1 do lng cc 2
to ra,
12
e

là sc đin đng trong ng cc 2 do lng cc 1 to ra. T các biu thc (1.8.5) và
(1.8.6), ta có:

122211
eIeI






= (1.8.7)
Và:
122211
EPEP








= (1.8.8)

Nu hai lng cc đin 1 và 2 có kích thc ging nhau (S
1
= S
2
, l
1
= l
2
) và mt đ dòng
đin trong chúng bng nhau
21 ee
JJ




= thì t (1.8.7) và (1.8.8) ta suy ra rng; tác dng ca lng
cc đin 1 lên lng cc đin 2 cng bng tác dng ca lng cc đin 2 lên lng cc đin 1.


2. Vi hai lng cc t

Nu trong th tích V
1
ch có lung cc t th nht vi mt đ dòng t
1m
J


và trong th

tích V
2
ch có lng cc t th hai vi mt đ dòng t
1m
J


, các ngun đin bng không thì t
(1.8.4) ta có biu thc ca nguyên lý tng h cho hai lng cc t là:

122211
HPHP
mm








=
(1.8.9)
Vi
21
,
mm
PP





là momen t ca lng cc t th nht và th hai.
21
H


là cng đ t
trng trong lng cc 1 do lng cc 2 to ra,
12
H


là cng đ trng t trong lng cc 2 do
lng cc 1 to ra.

3. Vi mt lng cc đin và mt lng cc t

Nu trong th tích V
1
ch có 1 lng cc đin vi mt đ dòng
1e
J


và trong th tích V
2

cng ch có 1 lng cc t vi mt đ dòng
1m

J


, ta nhn đc nguyên lý tng h cho 1 lng
cc đin và mt lng cc t nh sau:

122211
HPEP
me








= (1.8.10

1.9. Nguyên lý đng dng đin đng
Nguyên lý đng dng đin đng xác đnh mi quan h gia trng đin t, các tham s
đin và hình hc ca h đin t và môi trng đi vi 2 h đin t đng dng đin đng vi nhau.

17
Trc tiên chúng ta chuyn các pho97ng trình Maxwell dng c bn có th nguyên v
dng không th nguyên.
t:
6655
4433
2211

;
;
;
atal
aJaJ
aEaH
αα
αα
αα
==
==
==








(1.9.1)

Trong đó:
4321
;;; aaaa




là các vect đn v không có th nguyên ch s ph thuc ca

cng đ trng và ngun vào ta đ và thi gian; a
5
; a
6
là các đn v vô hng xác đnh ta đ
và thi gian trong toán t vi phân, các h s t l α có th nguyên tng ng là:

α
1
(A/m)
,
α
2
(V/m)
,
α
3
(A/m
2
)
α
4
(V/m
2
), α
5
(m), α
6
(S)

Thay (1.9.1) vào hai phng trình th nht và th hai ca h phng trình Maxwell ri
tin hành các phép tính vi phân theo ta đ và thi gian theo quy tc ca các hàm hp, ta nhn
đc h phng trình mi dng:

6
1
5442
33
6
2
2211
a
a
cacarot
ac
a
a
cacarot
∂
∂
−−=
+
∂
∂
+=







(1.9.2)
 đây, các h s mi c không có th nguyên có biu thc sau:
c
1
= γα
2
α
5
/α
1
; c
2
= εα
2
α
5
/α
1
α
6
; c
3
= α
3
α
5
/α
1
; c

4
= α
4
α
5
/α
2
; c
5
= μα
1
α
5
/α
2
α
6
(1.9.3)

H phng trình mi (1.9.2) là dng không có th nguyên, nó mô t các h đin t khác
nhau qua các h s c (1.9.3) khác nhau. Hai h đin t có các h s c tng ng bng nhau gi là
hai h đng dng đin đng vi nhau. Biu thc ca nguyên lý đng dng đin đng cho hai h
đin t s là:
c
1
= c
1
’ ; c
2
= c

2
’ ; c
3
= c
3
’ ; c
4
= c
4
’ ; c
5
= c
5
’ (1.9.4)

Ta xét mt ví d minh ha cho vic áp dng nguyên lý đng dng đin đng:
Cho mt h đin t thc làm vêc trong môi trng đin môi lý tng và không có ngun
ngoài. Chúng ta cn xác đnh mt h mu ca nó cng đt trong môi trng trên sao cho trng
đin t trong h thc và h mu có giá tr nh nhau. Chúng ta hãy tìm điu kin cho h mu khi
áp dng nguyên lý đ
ng dng đin đng. Thao điu kin đt ra thì:
γ = 0,
0==
me
JJ



= ε’, μ = μ’, α
1

= α
1
’, α
2
= α
2
’

Nêu t (1.9.3) và (1.9.4) suy ra:
c
1
= c
1
’ = 0, c
3
= c
3
’ = 0, c
4
= c
4
’ = 0
c
2
= c
2
’ và c
5
= c
5

’

Hay nhn đc kt qu vi các h s t l:
α
6
’/α
6
= α
5
’/α
5
(1.9.5)

Biu thc (1.9.5) cho ta mi quan h gia các tham s ca h thc và h mu nh sau: nu
chn h mu có kích thc ln hn hay nh hn kích thc ca h thc bao nhiêu ln thì chu k
dao đng ca trng đin t trong h mu cng phi ln hn chu k dao đng ca trng đin t
trong h thc b
y nhiêu ln. Kích thc và tn s làm vic ca trng trong hai h mu và thc li
t l vi nhau.

18
Nguyên lý này rt có li trong vic nghiên cu thc nghêm các h đin t nh: tìm dng
các lai anten, đo s phn x và tán x sóng đin t t máy bay …

1.10. Trng tnh đin
1.10.1. Các phng trình Maxwell ca trng đin t tnh
Trng đên t tnh là trng đin t tha mãn hai điu kin sau:
1. Các đi lng đin và t không thay đi theo thi gian. o hàm riêng các đi
lung này theo thi gian đu bng không.
2. Không có s chuyn đng ca các ht mang đin, ngha là mt đ dòng đin

luôn bng không.

Áp dng vào h phng trình Maxwell (1.4.20) và điu kin biên ca tr
ng đin t, ta
đc:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
0
0
Bdiv
Hrot


(1.10.1)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=−
Σ
Σ
}0)({
}0)({

21
21
HHxn
BBn





(1.10.3)
HB


μ
=

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
ρ
Ddiv
Erot


0
(1.10.2)

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=−
Σ
Σ
}0)({
})({
21
21
EExn
DDn





σ
(1.10.4)
ED


ε
=

Phng trình và điu kin biên ca trng đin t tnh đc tách thành hai nhóm đc lâp,
mi nhóm ch cha các đi lng liên quan đn trng t hoc trng đin. Trong tài liu này ch

kho sát trng đin tnh. ó là trng đin không thay đi theo thi gian ca các đin tích đng
yên.

1.10.2. Th vô hng ca trng đin t tnh
Công ca lc đin tnh khi di chuyn mt đin tích dq theo mt đng cong kín C nh
sau:
0 ===
∫∫
SC
ldErotdqldEdqA





vi S là mt đc bao bi C.
Vì vy ngi ta nói rng trng đin tnh có tính cht th. Công ca lc tnh đin ch ph
thuc v trí đim đu và đim cui, không ph thuc vào đng đi.
i lng đc trng cho v trí đó đc gi là đin th ϕ, đn v la Volt. in th
ϕ đc
đnh ngha:
ϕ
gradE −=

(V/m) (1.10.5)
ây chính là nghim ca phng trình th nht
0=Erot

vì rotgradϕ = 0
Du tr  (1.10.5) ch là quy c: chiu ca vec t cng đ đin trng là chiu gim

ca ϕ.
Theo đnh gnha ca toán t gradient:

ldgradd

.
ϕϕ
=
Vì vy: ldEd


.−=
ϕ

CldE +−=
∫


.
ϕ
(V) (1.10.6)
in th là mt đi lng không đn tr. Giá tr ca nó ph thuc vào vic xác đnh gc
đin th, là đim mà đin th đc xem là bng không. Trong thc t, ngi ta thng chn th
đin bng không là đin th ca trái đt. Mt đi lng khác quan trng hn đin th, đó là hiu
đi
n th. Hiu đin th gia hai đim P và Q đc xác đnh nh sau:

∫
=−
Q

P
ldEQP


.)()(
ϕϕ
(1.10.7)

19

1.10.3. Phng trình Poisson – Laplace
Ta bt đu bng phng trình:
ρ
=Ddiv


Thay:
ϕε
gradEED −==



;

Ta đc: div(ε.gradϕ) = -ρ
Nu min kho sát là đng nht, đ thm đin là hng s:
div.gradϕ = -ρ/ε
Hay: Δϕ = - ρ/ε (1.10.8)
Vi Δ là toán t Laplace. Phng trình (1.10.8) là phng trình Poisson. Phng trình này
th hin quan h gia đin th ca trng tnh đin vi phân b đin tích to nên trong tnh đi

n
đó.
Nu trong min kho sát không có đin tích, phng trình (1.10.8) tr thành:
Δϕ = 0 (1.10.9)
Phng trình (1.10.9) đc gi là phng trình Laplace.

1.10.4. Nng lng ca trng tnh đin, đin dung
Gi s mt h gm N vt dn ln lt mang đin tích: q
1
, q
2
, q
3
… q
N
. in th ti v trí
ca mi đin tích đim ln lt là ϕ
1
, ϕ
2
… ϕ
N
.
Nng lng ca trng tnh đin đc tính nh sau:

∑
−
=
N
k

kke
qW
1
.
2
1
ϕ
(1.10.10)

in dung b phân riêng ca vt dn k:

∑
=
=
N
m
kmkk
AC
1
(1.10.11)

in dung b phân tng h gia vt dn k và vt dn m:
C
km
= - A
km

Vi:
∑
=

=
N
m
mkmk
Aq
1
.
ϕ


1.11. T trng ca dòng đin không đi
Trng thái riêng th hai ca trng đin t là trng do dòng đin không đi to ra. ây
là trng thái dng ca trng đin t.trng đin t dng là trng đin t có các đi lng đin
t không đi theo thi gian. H phng trình Maxwell tr thành nh sau:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
0Bdiv
JHrot



(1.11.1)
HB



μ
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
ρ
Ddiv
Erot


0
(1.11.2)
ED


ε
=
Các phng trình (1.11.2) có dng ging nh các phng trình ca trng đin tnh, do
vây trng đin dng cng tng t nh trng đin tnh và là mt trng th. iu khác nhau là
trng đin dng tn ti trong vt dn mang đin trong khi trng đin tnh bên trong vtt dn cân
bng đin thì bng không.
Ph
ng trình (1.11.2) ch ra rng t trng ca trng t dng có dng xon. Có th biu
din:

M

ArotH


μ
1
=
(1.11.3)
Vi
M
A

đc gi là th vect. Hàm th vect
M
A

hòan toàn xác đnh khi ta bit div và rot
ca nó. Vì vy ngoài biu thc (1.11.3), ta đt thêm điu kin ph sau:

20
div
M
A

= 0 (1.11.4)
t biu thc (1.11.3) vào phng trình th nht ca (1.11.2), áp dng hng đng thc
sau:
rot rot
M
A


= grad div
M
A

-Δ
M
A


Kt hp vi điu kin (1.11.4), ta nhn đc:

JA
M


μ
−=Δ (1.11.5)
ây là phng trình Poisson cho
M
A

.

Tóm tt chng 1

Chng th nht tp trung vào các vn đ tng quát ca trng đin t:
- Các đi lng c bn ca trng đin t.
- Các đnh lut c bn ca trng đin t. Chng này cng đi vào thit lp các phng
trình toán hc t các phát biu ca các đnh lut. H phng trình Maxwell đc thành lp
t các ph

ng trình toán hc này.
- iu kin b: là điu kin đ tìm nghim ca các phng trình Maxwell sau này.
- Mt s nguyên lý ca trng đin t: nguyên lý tng h, nguyên lý đng dng đin
đng.
- nh lý Poynting v nng lng ca trng đin t.
- T các kin thc đã trình bày, tìm hiu hai trng hp đc bit ca trng đin t
:
trng đin tnh và trng đin t dng ca dòng đin không đi.
- Chng này cng đã trình bày các phng trình Maxwell ca trng đin t bin thiên
điu hòa.
Các phng trình quan trng trong chng này nh sau:
• nh lut bo toàn đin tích
0=
∂
∂
+
t
Jdiv
ρ


•
H phng trình Maxwell
t
D
JHrot
∂
∂
+=






t
B
Erot
∂
∂
−=




0=Bdiv



ρ
=Ddiv


• Các phng trình liên h (môi trng đng hng, tuyn tính)
EJMHBHHB
PEDEED
r
r







γμμμμ
εεεε
=+===
+===
);(;
;
00
00
;
•
Các điu kin biên
{
}
Σ
=−
σ
)(
21
DDn



{
}
Σ
=− 0)(
21

BBn




Σ
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∂
∂
−=−
t
JJn
σ
)(
21



{
}
Σ
=− 0)(
21
EExn





{
}
Σ
=−
S
JHHxn )(
21




•
Vect Poynting:
)( HxEP



=

•
nh lý Poynting

21
dV
t
B
H

t
D
EdVEJSdP
VVS
∫∫∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+=−









Bài tp chng 1

1.
in tích th q chuyn đng trong min có trng đin t vi vn tc
yx
iiV



+= (m/s). Tìm cng đ trng đin
E

nu bit trng t có
zx
iiB



2
−= và lc
ca trng đin t tác dng lên đin tích th bng không.

2. Mt qu cu vt cht bán kính a có đ thm đin ε đt trong không khí. Mt đin lng
Q phân b đu trong th tích qu cu. Hãy tìm cng đ đin trng
E

 trong và ngoài
qu cu.

3. Tìm cng đ đin trng
E


ca mt si dây thng dài vô hn đt trong không khí tích
đin vi mt đ đin tích dài λ
1
(C/m).

4. Tính cng đ đin trng
E

ca mt lng cc đin đt trong không khí. Lng cc
có chiu dài l và đin tích  hai đu ca nó là đin tích đim có giá tr q và –q.


5.
Tính cng đ trng
E

và th ϕ ca hai si dây mnh thng dài vô hn đt song
song trong không khí, cách nhau mt khong d. Mi si ch tích đin vi mt đ đin tích
dài λ
1
và -λ
2
(C/m)
.


6. Tìm cng đ t trng
H

trên đng thng vuông góc đi qua tâm ca vòng dây dn

mnh bán kính R đt trong không khí. Dòng đin không đi chy trong vòng dây có cng đ
là I.

7. Tính cng đ t trng
H

 ngoài, gia và trong mt ng dây dn hình tr tròn dài vô
hn đt trong không khí. Bit rng ng dây dn có bán kính trong là R
1
và bán kính ngoài R
2

có dòng đin không đi I chy qua.

8. Tính cng đ t trng
H

trên trc ca ng dây dài l bán kính a cun N vòng dây dn,
có dòng đin không đi chy qua.

9. Có mt t đin phng, đin môi không khí, to thành t hai bn tròn bán kính r = 2cm và
khong cách gia chúng d = 0,2 cm. T đin này là mt phn ca mch giao đng. Trên hai
bn t có mt đin áp điu hòa dng
U = U
m
sinωt
U
m
= 500V, ω = 217.10
6

rad/s
Nu b qua hiu ng mép, hãy tìm dòng đin dch toàn phn chy qua 2 bn t và cng
đ t trng
H

ti không gian gia hai bn t cách tâm mt khong r’ = 1 cm.

10. Tìm biu thc ca đin nng tích tr trong mt t đin phng không khí có hiu th đin
U và đin dung C.

11. Tìm giá tr trung bình ca đin nng cha trong mt t đin kép phng gm 3 bn vi din
tích mi bn S = 4cm
2
, khong cách gia các bn d = 0,1 cm. in môi gia các bn t là
không khí, đin trng bin đi trong t dng hình sin vi biên đ E
m
= 3.10
3
V/m.


22
12. Chng minh rng trên gii hn phân chia gia hai môi trng đin môi, đng sc đin
trng b khúc x theo h thc:
tgβ
1
/tgβ
2
= ε
1

/ε
2

 đây,
β
1
và β
2
là góc to bi vect cng đ đin trng vi pháp tuyn ca mt gii
hn trong các môi trng đin môi 1 và 2,
ε
1
và ε
2
là đ thm đin tuyt đi ca hai môi
trng trên.

13. in môi có đ thm đin ε = 80ε
0
, đ dn đin γ = 1 S/m. Xác đnh tn s ca dòng
đin điu hòa mà  đó biên đ dòng đin dn bng biên đ dòng đin dch.

14. Hai môi trng phân cách bi mt phng có phng trình x + y =1 trong h ta đ
Descartes. Min 1 cha gc ta đ có đ thm đin ε
1
= 4ε
0
, min 2 có ε
2
= 8ε

0.
Cng đ
trng đin trong min 1 ti mt phân cách là
zy
iiE



32
1
+=

. Tìm cng đ trng đin
tron min 1 ti mt phân cách. Gi s trên mt phân cách không có đin tích t do.

15. Cáp đng trc có bán kính lõi bng a, bán kính v bng b, trong không gian gia lõi và
v có trng đin xuyên trc E
r
= E
0
/r và trng t phng v H
φ
= H
0
/r. Vi E
0
, H
0
là
hng s. Tính công sut truyn dc cáp.

16. Chng minh rng tng cng đ các dòng đin dn và dòng đin dch qua mt kín bt
k thì bng không.

17. Ti thi đim t = 0, mt phn vt dn mang đin tích vi mt đ ρ
0
. Chng minh rng
mt đ đin tích bên trong vt dn gim rt nhanh v không.

18. Xác đnh cng đ trng đin, th đin trong chân không bên trên mt dn phng rt
rng, mt trên mang đin tích mt phân b đu vi mt đ σ.

19. Trong h ta đ Descartes, cng đ trng đin có dng:
zyx
ixyizxiyzE




++= . Tìm
hiu đin th gia hai đim A(0; 22,7; 99) và B(1; 1; 1).

20. Xác đnh th đin và cng đ đin trng ti mt đim trên trc ca mt đa tròn
phng bán kính a tích đin đu vi mt đ σ. Môi trng xung quanh là không khí.




23

CHNG 2: CÁC PHNG PHÁP TÌM
NGHIM H PHNG TRÌNH
MAXWELL


 tìm các vect cng đ ca trng đin t trong các bài toán đin t nói chung, chúng
ta phi gii các phng trình Maxwell tc là tích phân chúng. Chng này trình bày các phng
pháp tích phân các phng trình Maxwell trên c s chuyn chúng v dng phng trình sóng
cho các vect cng đ đin trng, cho các th đin đng và cho các vact Hertz. Áp dng các
phng pháp ph bin trong vt lý toán, chúng ta tìm đc nghim ca các phng trình sóng
trên và dn ra biu thccho các vect
 cng đ trng. Trng đin t bc x ca lng cc
đin, lng cc t, nguyên t đin tích mt đc dn ra trong chng này theo các phng pháp
trên nh nhng vì d minh ha.

2.1. Phng trình sóng cho các vect cng đ đin trng
H phng trình Maxwell trong môi trng đng nht và đng hng có c ngun đin và
t có dng:

μρ
ερ
μ
εγ
/
/
m
m
e
Hdiv
Ediv

t
H
JErot
t
E
JEHrot
=
=
∂
∂
−−=
∂
∂
++=








(2.1.1)
Hai phng trình th nht và th hai bao gm c các vect
E

và
H

cùng các ngun ca

chúng. Chúng ta hãy chuyn v dng ch có mt vect
E

hoc
H

theo các ngun ca chúng.
Ly rot cho c hai v, đ ý rng:
rot rot
M
A

= grad div
M
A

-Δ
M
A


Ta đc:

Hrot
t
JrotEEgraddiv
Erot
t
JrotErotHHgraddiv
m

e






∂
∂
−−=Δ−
∂
∂
++=Δ−
μ
εγ

Thay div
E

và div
H

bng ρ/ε và ρ
m
/μ theo phng trình th ba và th t. Thay rot
E


và rot
H


bi v phi ca nó trong các phng trình th nht và th hai ri chuyn v, ta nhn
đc các biu thc dng:
m
mm
e
J
t
Jgrad
Jrot
t
H
t
H
H






γε
μ
ρ
μγεμ
+
∂
∂
++−=
∂

∂
−
∂
∂
−Δ
2
2

t
J
grad
Jrot
t
E
t
E
E
e
m
∂
∂
++−=
∂
∂
−
∂
∂
−Δ






μ
ε
ρ
μγεμ
2
2
(2.1.2)
Các phng trình (2.1.2) có dng đo hàm riêng bc hai. V trái ch chc mt vect,
v phi cha các vect ngun. các phng trình này đc gi là phng trình sóng không
thun nht. Thng ngi ta ch gii các phng trình trong trng hp không có ngun và
trong môi trng đin môi lý tng. Khi đó, hai phng trình (2.1.2) tr thành các phng
trình sóng thun nht nh sau:

24

0
2
2
=
∂
∂
−Δ
t
H
H



εμ


0
2
2
=
∂
∂
−Δ
t
E
E


εμ
(2.1.3)
Khi tn ti ngun ngoài, ngi ta chuyn các phng trình Maxwell v các phng
trình sóng cho các th đin đng và các vect Hertz.

2.2. Phng trình sóng cho th đin đng
Các phng trình trong h phng trình Maxwell là phng trình tuyn tính. Trng do
hai ngun kích thích đc lp bng tng ca hai trng do mi ngun (ngun kia bng không) to
ra. Mt khác, hu ht các ngun đin và t trong thc t là các ngun đc lâp.
Ta tách h phng trình Maxwell thành hai h, mt h mô t trng đin t do ngun đin
to ra, mt h mô t trng đi
n t do ngun t to ra. Trng đin t tng hp do c hai ngun
to ra s là chng cht trng ca mi ngun to ra.

2.2.1. i vi ngun đin

Xét trng trong đin môi lý tng γ = 0, h phng trình Maxwell (2.1.1) vit cho
ngun đin (cho ngun t bng không) có dng:

0
/
=
=
∂
∂
−=
∂
∂
+=
Hdiv
Ediv
t
H
Erot
t
E
JHrot
e







ερ

μ
ε
(2.2.1)
Ngi ta đa vào mt khái nim mi, gi là hàm th vect đin
e
A

:

e
ArotH


μ
1
= (2.2.2)
ây chính là nghim ca phng trình th t vì:

0
1
==
e
AdivrotHdiv


μ

Thay (2.2.2) vào phng trình th hai, ta đc;

0)( =

∂
∂
+
t
A
Erot
e



Gi
ϕ
e
là th đin vô hng, vi:

e
e
e
e
grad
t
A
E
grad
t
A
E
ϕ
ϕ
−

∂
∂
−=
−=
∂
∂
+




(2.2.3)

e
A

và ϕ đc gi chung là các th đin đng ca ngun đin. Các vect ca trng
đc biu din qua các th đin đng theo các biu thc (2.2.2) và (2.2.3)
Thay (2.2.2) và (2.2.3) vào phng trình th nht, ta đc:


e
e
e
e
e
J
t
Adivgrad
t

A
A




μ
ϕ
εμεμ
−=
∂
∂
+−
∂
∂
−Δ )(
2
2


25
Các th đin đng là các hàm chn tùy ý nên đ cho phng trình có dng đn gin,
ngi ta đa vào điu kin ph gi là điu kin ph Lorentz nh sau;

0=
∂
∂
+
t
Adiv

e
e
ϕ
εμ

(2.2.4)
Phng trình tr thành:
e
e
e
J
t
A
A



μεμ
−=
∂
∂
−Δ
2
2
(2.2.5)
Nu thay (2.2.3) vào phng trình th 3 ca (2.2.1), cng áp dng điu kin ph
Lorentz, ta đc phng trình cho th vô tuyn đin:

ερ
ϕ

εμϕ
/
2
2
−=
∂
∂
−Δ
t
e
e
(2.2.6)
Các phng trình (2.2.5) và (2.2.6) đc gi là các phng trình D’Alembert hay còn
gi là các phng trình sóng không thun nht. Ta nhn xét thy khi đa vào các th đin
đng, các phng trình sóng đn gin hn so vi  (2.1.2). Các th đin đng đc s dng
nh là các đi lng trung gian. Các vect cng đ đin trng và t trng có th xác đnh
qua các th đin đng mt cách đn gin.

2.2.2. i vi ngun t
H phng trình Maxwell (2.1.1) đi vi ngun t (cho ngun đin bng không) trong
đin môi lý tng có dng:

μρ
μ
ε
/
0
m
m
Hdiv

Ediv
t
H
JErot
t
E
Hrot
=
=
∂
∂
−−=
∂
∂
=






(2.2.7)
Vì dng ca (2.2.7) và (2.2.1) tng t nhau nên ta có th áp dng nguyên lý đi ln đã
tìm hiu  chng 1 cho các biu thc (2.2.2), (2.2.3) và các phng trình sóng (2.2.5), (2.2.6)
đc các kt qu sau:

m
ArotE



ε
1
=


m
m
grad
t
A
H
ϕ
−
∂
∂
−=


(2.2.8)
m
m
m
J
t
A
A



μεμ

−=
∂
∂
−Δ
2
2

ερ
ϕ
εμϕ
/
2
2
m
m
m
t
−=
∂
∂
−Δ
(2.2.9)
0=
∂
∂
+
t
Adiv
m
m

ϕ
εμ

(2.2.10)

m
A

và ϕ
m
là các th đin đng vect và vô hng ca trng đin t đi vi ngun t.
Nh vy, nu trong môi trng đin môi lý tng tn ti c ngun đin và ngun t thì
trng đin t tng hp bng chng cht trng ca ngun đin và ngun t. Kt hp (2.2.2),
(2.2.3), và (2.2.8), ta đ
c;