Bài giảng Lý thuyết trường điện từ: Các phương trình Laplace & Poisson

N
g
u
y
ễn Côn
g
Phươn
g
gy g g
Lý thuyếttrường điệntừ
Lý

thuyết

trường

điện

từ
Các phương trình Poisson & Laplace
Nội dun
g
1. Giới thiệu
2. Giải tích véctơ
3. Luật Coulomb & cường độ điện trường
4. Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive
5. Năng lượng & điện thế
6. Dòng điện & vật dẫn
7. Điện môi & điện dun
g
g

8. Các phương trình Poisson & Laplace
9. Từ trường dừng
10. L
ự
c từ & đi
ệ
n cảm
ự ệ
11. Trường biến thiên & hệ phương trình Maxwell
12. Sóng phẳng
13.
Phảnxạ &tánxạ sóng phẳng
Các phương trình Poisson & Laplace
2
13.
Phản

xạ

&

tán

xạ

sóng

phẳng
14. Dẫn sóng & bức xạ
Các phươn

g
trình Laplace & Poisson
•
Phương trình Poisson
Phương

trình

Poisson
•Phương trình Laplace
•
Định lý nghiệm duy nhất
•
Định

lý

nghiệm

duy

nhất
•Giải phương trình Laplace
•
Giảiphương trình Poisson
•
Giải

phương

trình

Poisson
• Nghiệm tích của phương trình Laplace
Phươ há lưới
•
Phươ
ng p
há
p
lưới
Các phương trình Poisson & Laplace
3
Phươn
g
trình Poisson (1)
Luật Gauss:
v

.D
0
DE


() ( )
v
V


    .D . E .

V

E
Gradient th
ế
:
v
V



.
V


.
(Phương trình Poisson)
VVV

x
yz
VVV
V
x
yz

  

aaa
A

A
A



y
x
z
A
A
A
x
yz







.A
222
V
V
V
VVV





   


Các phương trình Poisson & Laplace
4
222
.
y
x
z
V
V
V
VVV
V
x
xyyzz xyz




   


      



     




Phươn
g
trình Poisson (2)
v
V



.
V


.
222
222
.
VVV
V

   

222
2
222
v
VVV
V
xyz




   

Đặt
2
.
222
x
yz

xyz


(Hệ Descartes)
22
22 2
11
v
VVV
z



 

  



 

(Hệ trụ)
2
2
22 222
11 1
sin
sin sin
v
VVV
r
rr r r r


   
   
  

  
   
  
Các phương trình Poisson & Laplace
5
sin sin
rr r r r
   
   
  
(Hệ cầu)

Các phươn
g
trình Laplace & Poisson
•
Phương trình Poisson
Phương

trình

Poisson
• Phương trình Laplace
•
Định lý nghiệm duy nhất
•
Định

lý

nghiệm

duy

nhất
•Giải phương trình Laplace
•
Giảiphương trình Poisson
•
Giải

phương

trình

Poisson
• Nghiệm tích của phương trình Laplace
Phươ há lưới
•
Phươ
ng p
há
p
lưới
Các phương trình Poisson & Laplace
6
Phươn
g
trình Laplace
222
2
v
VVV
V






Phương trình Poisson:
0

v


222
V
xyz




222
Phương

trình

Poisson:
(Phương trình Laplace, hệ Descartes)
222
2
222
0
VVV
V
xyz

   

22
22 2
11

0
VVV
z

   

  


 

(Hệ trụ)
2
2
22 222
11 1
sin 0
sin sin
VVV
r
rr r r r

  
   
  

  
   
  
Các phương trình Poisson & Laplace

7
sin sin
rr r r r
  
   
  
(Hệ cầu)
Các phươn
g
trình Laplace & Poisson
•
Phương trình Poisson
Phương

trình

Poisson
•Phương trình Laplace
•
Định lý nghiệm duy nhất
•
Định

lý

nghiệm

duy

nhất

•Giải phương trình Laplace
•
Giảiphương trình Poisson
•
Giải

phương

trình

Poisson
• Nghiệm tích của phương trình Laplace
Phươ há lưới
•
Phươ
ng p
há
p
lưới
Các phương trình Poisson & Laplace
8
ấ
Định l
ý
n
g
hiệm du
y
nh
ấ

t (1)
222
2
0
VVV
V





222
0
V
xyz



Giả sử phương trình Laplace có 2 nghiệm V
1
& V
2
, :
2
0
V

1
0
V


2
2
0V


2
12
()0VV  
Giả sử phương trình Laplace có điềukiệnbờ
V
b
VVV

Giả

sử

phương

trình

Laplace

có

điều

kiện

bờ

V
b
12bbb
VVV

() ( ) ( ).D .D D.VV V
12
VVV

12 12 12 12
[( ) ( )] ( )[ ( )]

VV VV VV VV







12
VVV
12
()D VV 
Các phương trình Poisson & Laplace
9
12 12 12 12
12 12

[( ) ( )] ( )[ ( )]
()()

.
VV VV VV VV
VV VV
   
   
ấ
Định l
ý
n
g
hiệm du
y
nh
ấ
t (2)
12 12 12 12 12 12
[()()]()[()]()() VV VV VV VV VV VV      
12 12 12 12
[( ) ( )] ( )[ ( )]
()()
VV
VV VVdv VV VVdv
VV VVdv
        
 



12 12
()()
V
VV VVdv





.

SV
ddv

DS D

Định lý đive:
12 12 12 12
[( ) ( )] [( ) ( )]
bb bb
VS
VV VVdv V V V V d       

S

12
bbb
VVV



12
bbb
12 12
[( ) ( )] 0
V
VV VVdv    

.
Các phương trình Poisson & Laplace
10
12 12 12 12
0( )[( )] ( )( )
VV
VV VVdv VV VVdv        


ấ
Định l
ý
n
g
hiệm du
y
nh
ấ
t (3)
12 12 12 12
()[()] ()()0
VV

VV VVdv VV VVdv  


VV

2
12 12
()()0. VV VV    
()()0
VV VVd




2
()
VV d


12 12
()()0
V
VV VVd
v





.



12
()
V
VV d
v





2
12
()0VV



2
12
()0VV  
12
constVV
12
()0VV  
VVV
V

  
aaa

x
yz
V
x
yz
  

aaa
Tại biên giới V
1
= V
b1
, V
2
= V
b2
→
const =
V
V
=
0
V
1
= V
2
Các phương trình Poisson & Laplace
11
→
const

=
V
b1
–
V
b2
=

0
12bbb
VVV


Các phươn
g
trình Laplace & Poisson
•
Phương trình Poisson
Phương

trình

Poisson
•Phương trình Laplace
•
Định lý nghiệm duy nhất
•
Định

lý

nghiệm

duy

nhất
• Giải phương trình Laplace
•
Giảiphương trình Poisson
•
Giải

phương

trình

Poisson
• Nghiệm tích của phương trình Laplace
Phươ há lưới
•
Phươ
ng p
há
p
lưới
Các phương trình Poisson & Laplace
12
Giải phươn
g

trình Laplace (1)
Giả sử
V
=
V
(
x
)
2
Ví dụ 1
Giả

sử

V
=

V
(
x
)
222
2
222
0
VVV
V
xyz

   


2
2
0
dV
dx

VAxB 
VV

xyz

1
1
xx
VV


2
2
xx
VV


12
12
VV
A
xx









1221
()()Vx x V x x
V




21 12
12
Vx Vx
B
x
x








12
V

x
x


0
0
x
V


0
Vx
V
d

Các phương trình Poisson & Laplace
13
0
xd
VV


Giải phươn
g
trình Laplace (2)
Mặtdẫn
d
x
V
=

V
(
x
)
V
Ví dụ 1
Mặt

dẫn
x
=
d
(
)
0
0
x
V


0
VV

0
V
x
V
d

E

V

Mặt dẫn
x = 0
0
x
d
VV

E
V


0
Ea
x
V
d

0
Da
V



d
DE


Da

x
d


0
DD a
V

 

0
V
D



0
V
D

 

0
DD a
Sx
x
d


 

N
D
d


SN
D
d

 
0
VS



0
S
V
QdS dS






Q
C


S



Các phương trình Poisson & Laplace
14
d

S
SS
QdS dS
d



0
C
V

d
Giải phươn
g
trình Laplace (3)
Giả sử V = V(ρ) (hệ trụ)
1
V


Ví dụ 2
22
2
22 2

11
0
VVV
V
z

   

  
   

 

1
0
V

 






   

1
0
ddV
dd


 




0
ddV
dd






dV
A
d





lnVA B

 
0
V

l(/ )

b
0
ln
a
VAaBV



ln 0
()
b
VAbBba
0
0
ln ln
ln
V
A
ab
Vb
B








0

l
n
(/ )
ln( / )
b
VV
ba


Các phương trình Poisson & Laplace
15
()
b


0
ln ln
B
ab






Giải phươn
g
trình Laplace (4)
Giả sử V = V(ρ) (hệ trụ)
l(/ )

b
Ví dụ 2
22
2
22 2
11
0
VVV
V
z

   

  
   

 

0
l
n
(/ )
ln( / )
b
VV
ba


   


0
ln( / )
Ea
V
V
ba



ln( / )
ba

0
()
ln( / )
Na S
V
D
aba




 
ln( / )
aba
0
2VaL
QdS




 

2QL
C


 
Các phương trình Poisson & Laplace
16
ln( / )
S
S
QdS
aba

 

0
ln( / )
C
Vba
 
Giải phươn
g
trình Laplace (5)
z
Giả ử
V

V
(
)(hệ t )
Ví dụ 3
Khe hở
Giả
s
ử

V
=
V
(
φ
)

(hệ

t
rụ
)
22
2
22 2
11
0
VVV
V
z


   

  
   

 

Khe

hở
α
z
   
 

2
22
1
0
V




2
2
0
V





VA B

 




0
0VB



0
0B
V





0
VV



0
VABV





0
V
A





0
E
V
V

Các phương trình Poisson & Laplace
17
0
E
a
V






Giải phươn
g

trình Laplace (6)
Ví dụ 4
Giả ử
V
V
(
θ
)(hệ ầ )
Giả
s
ử

V
=
V
(
θ
)

(hệ
c
ầ
u
)
2
22
22 222
11 1
sin 0
sin sin

VVV
Vr
rr r r r

  
   
  
   
  
   
  
sin sin
rr r r r
  
   
  
1
sin 0
V







2
sin 0
sinr








sin 0
V









sin
dV
A
d



Giả sử r ≠ 0; θ ≠ 0; θ ≠π
i
d
dV A




ln t
g
A
B






d
VA B

 

Các phương trình Poisson & Laplace
18
s
i
n

g
2


sin


Giải phươn

g
trình Laplace (7)
Ví dụ 4
Giả ử
V
V
(
θ
)(hệ ầ )
ln tg
VA B




Giả
s
ử

V
=
V
(
θ
)

(hệ
c
ầ
u

)
ln tg
2
VA B





/2
0V



V = V
0
α
Kh hở
lt



0
(/2)VV





V = 0

Kh
e
hở
0
l
n
t
g
2
ln tg
VV








0
1
sin ln tg
Ea a
V
V
V
r
r







 




ln tg
2


sin ln tg
2
r



0
SN
V
DE



  

Các phương trình Poisson & Laplace
19

sin ln tg
2
r





Giải phươn
g
trình Laplace (8)
Ví dụ 4
Giả ử
V
V
(
θ
)(hệ ầ )
0
V



Giả
s
ử

V
=
V

(
θ
)

(hệ
c
ầ
u
)
0
V
QdS dS



V = V
0
α
Kh hở
0
sin ln tg
2
S
r









0
sin ln tg
2
S
SS
QdS dS
r



 





V = 0
Kh
e
hở
i
dS d d
0
0
2 V
dr









2
0
00
sin
V
rddr
Q
r










s
i
n
dS
r
dd

r



0
ln tg
2




00
sin ln tg
2
r






1
2 r
Q
C




Các phương trình Poisson & Laplace

20
0
ln cotg
2
C
V






Các phươn
g
trình Laplace & Poisson
•
Phương trình Poisson
Phương

trình

Poisson
•Phương trình Laplace
•
Định lý nghiệm duy nhất
•
Định

lý

nghiệm

duy

nhất
•Giải phương trình Laplace
•
Giảiphương trình Poisson
•
Giải

phương

trình

Poisson
• Nghiệm tích của phương trình Laplace
Phươ há lưới
•
Phươ
ng p
há
p
lưới
Các phương trình Poisson & Laplace
21
v

Giải phươn
g

trình Poisson (1)
0
2sechth
vv
xx


0,5
1
0v

Vùng p
Vùng n
2
(sech ;th )
x
x
x
xxx
ee
xx
ee ee





0
vv
aa


–5 –4 –3 –2 –1
12345
–0,5
1
/
x
a
v

2
0
2
sech th
v
dV x x



2
v
V



Phương trình Poisson :
–
1
–5 –4 –3 –2 –1
1

2
3
4
5
0
2
x
v
E
a


E
2
sech th
aa
dx


0
1
2
sech
v
a
dV x
C
dx a



 
0
2
a
x

1
2
3
4
5
–0,5
–1
/
x
a
x
E
x
dV
E
dx

dx a

0
1
2
sech
v

x
a
x
EC
a


 
1
0C
Khi x → ± ∞ thì E
x
→ 0
Các phương trình Poisson & Laplace
22
0
2
sech
v
x
a
x
E
a



v

Giải phươn

g
trình Poisson (2)
0
2sechth
vv
xx


0,5
1
0v

Vùng p
Vùng n
0
vv
aa

2
v
V



Phương trình Poisson :
–5 –4 –3 –2 –1
12345
–0,5
1
/

x
a
v

2
4

0
2
sech
v
x
a
x
E
a



–5 –4 –3 –2 –1
1
2
3
4
5
0
2
x
v
E

a


E
–
1
/
0
2
4
arctg
xa
v
a
VeC


 
1
2
3
4
5
–0,5
–1
/
x
a
0
5

V


x
E
0
V

Giả sử
2
0
4
0
v
a
C


 
2
/
0
4
arctg
xa
v
a
Ve







V
–5 –4 –3 –2 –1
1
2
3
4
5
0,25
0
,
5
2
0
2
v
a

0
0
x
V


Giả

sử

2
0
4
C

 
Các phương trình Poisson & Laplace
23
arctg
4
Ve




1
2
3
4
5
–0,25
–0,5
/
x
a
v

Giải phươn
g
trình Poisson (3)

0
2 sech th
vv
xx


0,5
1
0v

Vùng p
Vùng n
2
/
0
4
arctg
4
xa
v
a
Ve







0

vv
aa

–5 –4 –3 –2 –1
12345
–0,5
1
/
x
a
v

4


2
0
0
2
v
xx
a
VV V


 
 
–
1
000

0
2sechth 2sechth 2
vv v v
VV
x
xxx
Qdv dvS dxaS
aa aa
  

  
 
2
V
00
2
v
V
QS




dV
dQ dQ
0
0
22
v
S

CS
Va




 
Các phương trình Poisson & Laplace
24
0
0
dV
dQ dQ
ICC
dt dt dV
 
0
Các phươn
g
trình Laplace & Poisson
•
Phương trình Poisson
Phương

trình

Poisson
•Phương trình Laplace
•
Định lý nghiệm duy nhất

•
Định

lý

nghiệm

duy

nhất
•Giải phương trình Laplace
•
Giảiphương trình Poisson
•
Giải

phương

trình

Poisson
• Nghiệm tích của phương trình Laplace
Phươ há lưới
•
Phươ
ng p
há
p
lưới
Các phương trình Poisson & Laplace

25