cơ học môi trường liên tục

PGS. ts. TrÇn v¨n Liªn





c¬ häc
m«i tr−êng
liªn tôc







hμ néi, 2008
Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên

1
Lời nói đầu
Cơ học môi trờng liên tục l ngnh khoa học nghiên cứu về chuyển vị, biến dạng v
ứng suất trong các môi trờng liên tục ở điều kiện cân bằng hay chuyển động do các
tác động bên ngoi nh ngoại lực, chuyển vị, nhiệt độ, v.v Cơ học môi trờng liên
tục l cơ sở chung để nghiên cứu v phát triển các ngnh cụ thể hơn nh thủy khí
động lực, lý thuyết đn hồi, lý thuyết dẻo, lý thuyết từ biến, nhiệt động lực học, v.v
Cuốn sách ny đợc biên soạn trên cơ sở các bi giảng về cơ học môi trờng liên tục
của tác giả cho các lớp kỹ s chất lợng cao (PFIEV) v kỹ s công trình tại Trờng
Đại học Xây dựng. Mục đích của tác giả l giúp cho cho ngời đọc không những có
cái nhìn tổng quan về các môn cơ học trong các trờng kỹ thuật m còn cung cấp
những khái niệm cơ bản, những phơng pháp cần thiết v những ứng dụng có tính

minh hoạ của cơ học môi trờng liên tục trong các tính toán kỹ thuật. Đồng thời cuốn
sách ny có thể sử dụng lm ti liệu học tập, nghiên cứu cho sinh viên thuộc các
ngnh kỹ thuật nh xây dựng, giao thông, thủy lợi, hng hải, cơ khí, v.v , các học
viên cao học v các cán bộ khoa học trẻ trong lĩnh vực chuyên ngnh Cơ học vật rắn
biến dạng.
Xin cảm ơn Trờng Đại học Xây dựng, Bộ môn sức bền vật liệu đã tạo điều kiện v
ủng hộ trong việc hon thnh cuốn sách ny. Đặc biệt xin cảm ơn GS TSKH Đ
o
Huy Bích, GS TS Nguyễn Văn Phó, GS TSKH Nguyễn Tiến Khiêm, PGS TS Lê Ngọc
Hồng, PGS TS Lê Ngọc Thạch v PGS TS Tô Văn Tấn cùng các đồng nghiệp ở Bộ
môn sức bền vật liệu Trờng Đại học Xây dựng đã đọc kỹ v cho nhiều ý kiến xác
đáng về nội dung cũng nh cách trình by.
Cuốn sách ny chắc không tránh khỏi những sai sót, mong rằng sẽ nhận đợc những
góp ý của các đồng nghiệp. Các ý kiến góp ý luôn đợc đón nhận một cách trân trọng
v xin gửi về: Bộ môn sức bền vật liệu - Trờng Đại học Xây dựng, 55 đờng Giải
phóng, H Nội, Tel (04)38691462.
Tác giả


Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên

2
Mục lục
Lời nói đầu
1
Mục lục
2
Danh mục ký hiệu
5
Mở đầu

0.1. Khái niệm về cơ học môi trờng liên tục 9
0.2. Các giả thiết cơ bản của cơ học môi trờng liên tục 10
Chơng 1. Khái niệm về ten xơ
1.1. Khái niệm về đại lợng vô hớng, véc tơ v ten xơ 13
1.2. Trờng vô hớng 14
1.3. Véc tơ v trờng véc tơ 15
1.4. Ten xơ trong hệ tọa độ Descartes vuông góc 20
Chơng 2. Trạng thái biến dạng
2.1. Nghiên cứu chuyển động theo Lagrange v Euler 38
2.2. Ten xơ biến dạng trong hệ tọa độ Descartes vuông góc 44
2.3. Nghiên cứu trạng thái biến dạng của môi trờng liên tục 55
2.4. Các phơng trình tơng thích biến dạng 60
2.5. Ten xơ tốc độ biến dạng 63
Chơng 3. Trạng thái ứng suất
3.1. Ngoại lực 66
3.2. Trạng thái ứng suất 67
3.3. Phơng trình vi phân cân bằng hay chuyển động 70
3.4. Ten xơ ứng suất 75
3.5. Nghiên cứu trạng thái ứng suất của môi trờng liên tục 78
3.6. Phân tích ten xơ ứng suất thnh ten xơ lệch v ten xơ cầu 84
Chơng 4. Các phơng trình cơ bản của cơ học môi trờng liên tục
4.1. Định luật bảo ton khối lợng. 92
4.2. Định luật biến thiên động lợng. Định luật biến thiên mômen động lợng 94
4.3. Các quá trình nhiệt động lực của môi trờng 97
4.4. Định luật nhiệt động lực học thứ nhất 98
4.5. Định luật nhiệt động lực học thứ hai 102
4.6. Các phơng trình cơ bản của cơ học môi trờng liên tục 105
Ch
ơng 5. Lý thuyết đn hồi tuyến tính
5.1. Định luật Hooke tổng quát 110

5.2. Định luật Hooke cho vật thể đn hồi tuyến tính, thuần nhất v đẳng hớng 116
5.3. Cách đặt bi toán của lý thuyết đn hồi tuyến tính, thuần nhất v đẳng hớng 122
5.4. Cách giải bi toán đn hồi theo chuyển vị. Phơng trình Lamé 126
Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên

3
5.5. Cách giải bi toán đn hồi theo ứng suất. Phơng trình Beltrami Michell 128
5.6. Định lý Kirchhoff về sự duy nhất nghiệm của bi toán đn hồi tĩnh 131
5.7. Cách đặt bi toán thuận v ngợc của lý thuyết đn hồi. Nguyên lý cục bộ
Saint Venant. Nguyên lý độc lập tác dụng
133
5.8. Kéo nén thanh thẳng hình lăng trụ 136
5.9. Xoắn thanh thẳng hình lăng trụ 138
Chơng 6. Bi toán phẳng của lý thuyết đn hồi trong hệ tọa độ Descartes
vuông góc
6.1. Trạng thái biến dạng phẳng 144
6.2. Trạng thái ứng suất phẳng. Trạng thái ứng suất phẳng suy rộng 147
6.3. Các phơng trình cơ bản của bi toán phẳng 151
6.4. Hm ứng suất Airy 153
6.5. Hm ứng suất có dạng đa thức đại số 158
6.6. Hm ứng suất có dạng chuỗi lợng giác 167
6.7. Phơng pháp sai phân hữu hạn 170
Chơng 7. Bi toán phẳng của lý thuyết đn hồi trong hệ tọa độ cực
7.1. Các phơng trình cơ bản 178
7.2. Trờng hợp ứng suất không phụ thuộc vo góc cực: Bi toán đối xứng trục v
bi toán uốn thuần túy thanh cong
182
7.3. Bi toán nêm chịu lực tập trung tại đỉnh 189
7.4. Bi toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên 194
7.5. Bi toán bán không gian chịu lực tập trung trên biên 199

Chơng 8. Tấm mỏng đn hồi
8.1. Định nghĩa v giả thiết 201
8.2. Quan hệ chuyển vị v biến dạng 202
8.3. ứng lực. Quan hệ vật lý
203
8.4. Phơng trình vi phân cân bằng 206
8.5. Điều kiện biên 211
8.6. Phân loại bi toán tấm mỏng 214
8.7. Uốn tấm hình chữ nhật 216
8.8. Phơng pháp sai phân 220
8.9. Bi toán tấm trong hệ tọa độ cực 224
Chơng 9. Phơng pháp phần tử hữu hạn trong bi toán đn hồi tuyến tính
9.1. Phơng pháp phần tử hữu hạn 228
9.2. Mô tả toán học phơng pháp phần tử hữu hạn 231
9.3. Phơng pháp phần tử hữu hạn trong bi toán thanh 239
9.4. Phơng pháp phần tử hữu hạn trong bi toán phẳng của lý thuyết đn hồi 254
9.5. Phơng pháp phần tử hữu hạn trong bi toán tấm chịu uốn 261
Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên

4
9.6. Phơng pháp ma trận độ cứng động lực 264
Chơng 10. Lý thuyết dẻo
10.1. Quan hệ ứng suất biến dạng ngoi giới hạn đn hồi 273
10.2. Điều kiện dẻo. Mặt chảy v đờng cong chảy 276
10.3. Các lý thuyết dẻo đơn giản 280
10.4. Về các lý thuyết dẻo hiện nay 287
10.5. Cách đặt bi toán v phơng pháp giải của lý thuyết dẻo 289
10.6. Các đờng trợt của trạng thái biến dạng phẳng 292
10.7. Bi toán ống hình trụ chịu áp lực trong 298
Chơng 11. Lý thuyết từ biến

11.1. ảnh hởng của thời gian đến ứng suất v biến dạng
302
11.2. Lý thuyết từ biến 305
11.3. Các mô hình cơ học của vật thể biến dạng 308
11.4. Cách đặt bi toán v phơng pháp giải của lý thuyết từ biến 313
11.5. Một số ví dụ tính toán theo lý thuyết từ biến ổn định 316
Chơng 12. Cơ học chất lỏng v chất khí
12.1. áp suất thủy tĩnh. Ten xơ ứng suất nhớt
320
12.2. Chất lỏng nhớt tuyến tính Newton 321
12.3. Chất lỏng lý tởng 324
12.4. Khái niệm về dòng chảy dừng, dòng không xoáy, dòng chảy có thế 327
Bi tập
329
Ti liệu tham khảo
351
Phụ lục A. Ma trận v các phép tính ma trận 352
Phụ lục B. Chơng trình phần tử hữu hạn tính toán số v symbolic trên MatLab 361
Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên

5
Danh mục các ký hiệu

Hệ tọa độ, ten xơ
x
1
, x
2
, x
3

Các tọa độ Euler của hệ Descartes vuông góc
X
1
, X
2
, X
3

Các tọa độ Lagrange của hệ Descartes vuông góc
x, y, z
Tọa độ Descartes vuông góc
r,

, z
Tọa độ cực (trụ)
i
e
r

Véc tơ đơn vị của hệ trục tọa độ

,

,


Hệ tọa độ trên mặt cắt có pháp tuyến ngoi

r

t
Thời gian
V
Miền không gian do môi trờng liên tục chiếm chỗ
S
Mặt biên của thể tích V
()()
321321
,,;,, llll
r
r


Véc tơ pháp tuyến ngoi của mặt

ij

Ten xơ Kronecker
e
ijk

Ten xơ Levi Civita
a
i
, a
ij
, a
ijk

Ten xơ hạng 1 (véc tơ), hạng 2, hạng 3
I
1
, I
2
, I
3

Bất biến thứ nhất, thứ hai v thứ ba của ten xơ hạng hai


Toán tử nabla

,

1

Toán tử Laplace ba chiều, hai chiều
c
ij

Ma trận các côsin chỉ phơng
grad
Građiên của hm vô hớng
div, rot
Đive v rôta của trờng véc tơ
J
Ma trận Jacobian của phép biến đổi
det(A)
Định thức của ma trận A

Hằng số, đặc trng cơ học vật liệu
E
Môđun đn hồi Young
G
Môđun đn hồi khi trợt


Hệ số nở ngang Poisson


Mật độ khối lợng

,


Các hằng số Lamé
K
Môđun biến dạng thể tích
D
Độ cứng trụ
E
t

Môđun tái bền

tl

Giới hạn tỷ lệ

ch
,

ch

Giới hạn chảy khi kéo, khi trợt thuần túy

b
(

b,k
,

b,n
)
Giới hạn bền (khi kéo, khi nén)

dh

Giới hạn bền di hạn
H
Môđun đn hồi tức thời


Hệ số nhớt hay hệ số cản trong của vật liệu

*
,

*

Các hệ số nhớt của chất lỏng
Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên

6

*

Hệ số nhớt khối của chất lỏng

Môi trờng liên tục
m
Khối lợng
R
r

Véc tơ động lợng của môi trờng
H
r

Véc tơ mô men động lợng của môi trờng
K
Động năng của môi trờng
U
Nội năng của môi trờng hay thế đn hồi ton phần cho
vật thể đn hồi
u
Nội năng riêng (mật độ nội năng) của môi trờng hay thế
đn hồi trên một đơn vị khối lợng cho vật thể đn hồi
Q

Nhiệt năng của môi trờng
A
Công cơ năng của môi trờng
b
Hằng số bức xạ nhiệt
()
321
,, cccc
r

Véc tơ vận tốc truyền nhiệt
T
Nhiệt độ tuyệt đối (Kelvin)
k
Hệ số truyền nhiệt Fourier
S
Entrôpi của môi trờng
s
Mật độ entrôpi
p
áp suất nhiệt động

&

Tốc độ biến dạng thể tích
W
Thế năng biến dạng trên một đơn vị thể tích
W
*

Công bù
W


Thế năng biến dạng thể tích
W
D

Thế năng biến dạng hình dáng
W
P

Công biến dạng dẻo

Chuyển vị, biến dạng
()
(
)
()
zr
zyx
uuuu
uuuuuuuu
,,
,,;,,
321

r
r
r

Chuyển vị của điểm vật chất trong hệ tọa độ Descartes v
hệ tọa độ cực (trụ)
()
321
,, vvvv
r

Vận tốc chuyển động
(
)
321
,, wwww
r

Gia tốc chuyển động
G
ij

Ten xơ biến dạng hữu hạn Green
A
ij

Ten xơ biến dạng hữu hạn Almansi

ij

Ten xơ biến dạng bé

ij

Ten xơ quay tuyến tính
r
r

Véc tơ quay tuyến tính


Biến dạng thể tích tỷ đối


Biến dạng góc

tb

Độ dãn trung bình của ten xơ biến dạng bé

1
,

2
,

3

Các biến dạng chính của ten xơ biến dạng bé



Biến dạng di tơng đối theo phơng

r

Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên

7
D
ij


Ten xơ lệch biến dạng
S
ij


Ten xơ cầu biến dạng


Cờng độ biến dạng trợt

u

Cờng độ biến dạng
ij


Ten xơ chỉ hớng biến dạng
e
ij

Ten xơ tốc độ biến dạng

ij

Ten xơ xoáy biến dạng
ij

&

Ten xơ tốc độ biến dạng bé
u

&

Cờng độ tốc độ biến dạng

E

Biến dạng đn hồi

P

Biến dạng dẻo, biến dạng d

C

Biến dạng từ biến
w
Độ võng của tấm

Ngoại lực, ứng suất
()
()
()
zr
zyx
FFFF
FFFFFFFF
,,
,,;,,
321

r
r
r

Lực thể tích trong hệ tọa độ Descartes v hệ tọa độ cực
(trụ)
(
)
321
,, KKKK
r

Lực khối
()
(
)
zyx
PPPPPPPP

,,;,,
321
r
r

Lực mặt trên biên có pháp tuyến

r

()
321
,,

pppp
r

Véc tơ ứng suất ton phần trên mặt cắt có pháp tuyến

r


ij

Ten xơ ứng suất


r

Véc tơ ứng suất pháp trên mặt cắt có pháp tuyến

r



r

Véc tơ ứng suất tiếp trên mặt phẳng



tb

Giá trị ứng suất pháp trung bình của ten xơ ứng suất

1
,

2
,

3

Các ứng suất chính của ten xơ ứng suất
D
ij


Ten xơ lệch ứng suất
S

ij


Ten xơ cầu ứng suất

1
,

2
,

3

Các ứng suất tiếp chính
T
Cờng độ ứng suất tiếp

u

Cờng độ ứng suất
ij


Ten xơ chỉ hớng ứng suất
ij

&

Ten xơ tốc độ ứng suất

ij

Ten xơ ứng suất nhớt
S
Hm tổng ứng suất


Hm xoắn Saint Venant


Hm ứng suất Prandtl


Hm ứng suất Airy
Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên

8
N
x
, N
y
, S
x
, S
y
, S, Q
x
, Q
y
,

M
x
, M
y
, M
xy
, M
yx
, H
Các thnh phần ứng lực trên mặt trung bình của tấm
p
Tải trọng ngang phân bố của tấm
F
Hm ứng lực

Phơng pháp phần tử hữu hạn
M, C, K
Ma trận khối lợng, cản, độ cứng của cả hệ
U
Véc tơ chuyển vị nút của cả hệ trong hệ tọa độ tổng thể
P
Véc tơ tải trọng quy về nút của cả hệ
u
e

Trờng chuyển vị của phần tử trong hệ tọa độ địa phơng
U
e

Véc tơ chuyển vị nút trong hệ tọa độ của phần tử

N
e
=(N
1
, N
2
, )
Hm dạng của phần tử hữu hạn
B
e

Ma trận quan hệ biến dạng chuyển vị nút của phần tử

e
,

e

Véc tơ các thnh phần biến dạng, ứng suất của phần tử
D
e

Ma trận các hằng số đn hồi của phần tử hữu hạn
M
e
, C
e
, K
e

Ma trận khối lợng, cản, độ cứng của từng phần tử
P
V
, P
S

Véc tơ tải trọng thể tích, lực mặt quy về nút
00
;

PP
Véc tơ tải trọng quy về nút do ứng suất, biến dạng ban đầu
P
C

Véc tơ tải trọng tập trung tại nút trong hệ tọa độ tổng thể
T
e

Ma trận chuyển đổi các chuyển vị nút từ hệ tọa độ địa
phơng sang hệ tọa độ tổng thể
A
Diện tích tiết diện thanh
I
Mô men quán tính của tiết diện thanh
A
e

Diện tích phần tử tam giác phẳng
h

Độ dầy của phần tử tam giác phẳng, phần tử tấm
i
Số ảo
1=i
K


Ma trận độ cứng động lực
U


Véc tơ biên độ phức của chuyển vị nút
P


Véc tơ biên độ phức của tải trọng quy về nút


Tần số dao động

i

Tần số dao động riêng của hệ


Tham số động lực

e

Biên độ của chuyển vị dọc trục hay chuyển vị ngang

*
e
q

Biên độ của tải trọng dọc trục hay tải trọng ngang
E


Môđun đn hồi phức

1
,

2

Hệ số cản nhớt của vật liệu v môi trờng
K
1
, K
2
, K
3
, K
4

Các hm Krylov
4321
,,,
eeee
qqqq v

e
q
Các thnh phần v véc tơ tải trọng
R
e1
, R
e2
, R
e3
, R
e4
v
e
R


Các thnh phần v véc tơ ứng lực tại tiết diện thanh
Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên

9
Mở đầu
0.1. khái niệm về cơ học Môi trờng liên tục
0.1.1. Đối tợng, mục đích v phạm vi của cơ học môi trờng liên tục
Đối tợng của cơ học môi trờng liên tục l những vật thể hữu hạn có cấu tạo vật
chất liên tục v khoảng cách giữa các điểm của chúng thay đổi trong thời gian
chuyển động. Các vật thể ny đợc gọi l các môi trờng liên tục hay các
continuum. Khái niệm môi trờng đợc dùng để chỉ vật thể với ý nghĩa l kích
thớc của vật thể lớn hơn rất nhiều so với kích thớc của các hạt vật chất, các phân
tử, các mạng tinh thể cấu tạo nên vật chất. Tính chất liên tục đợc hiểu l tại mỗi
điểm hình học trong không gian của vật thể, ta luôn có thể lấy ra đợc một phần tử

vật chất bé tùy ý bao quanh điểm đó (hay l vật chất lấp đầy không gian vật thể).
Mục đích của cơ học môi trờng liên tục l thiết lập các tính chất chung v các quy
luật chuyển động của môi trờng liên tục nh quy luật về lực do chất lỏng tác dụng
lên các vật chuyển động trong nó; sự liên quan giữa tải trọng ngoi v biến dạng của
vật thể rắn, v.v
Nếu cơ học lý thuyết nghiên cứu cân bằng hay chuyển động của chất điểm, hệ chất
điểm rời rạc v vật rắn tuyệt đối thì cơ học môi trờng liên tục l một phần rộng lớn
của cơ học, nghiên cứu chuyển động của các môi trờng có biến dạng nh các chất
khí, chất lỏng, vật rắn biến dạng v các môi trờng đặc biệt nh trờng điện từ,
trờng bức xạ, trờng hấp dẫn, v.v Các phơng trình cân bằng hay chuyển động
của cơ học môi trờng liên tục l sự mở rộng các phơng trình của cơ học lý thuyết.
Cơ học môi trờng liên tục l cơ sở chung để phát triển lý thuyết đn hồi, lý thuyết
dẻo, lý thuyết từ biến, thủy động lực học, khí động lực học, nhiệt động lực học v
nhiều ngnh khác của vật lý v cơ học. Tính chất chung v sự liên hệ mật thiết giữa
các ngnh cơ học v vật lý kể trên, m thoạt tiên tởng nh khác nhau, bắt buộc ta
phải nghiên cứu chúng nh một thể thống nhất.
0.1.2. Nội dung v phơng pháp của cơ học môi trờng liên tục
Các nghiên cứu về cơ học môi trờng liên tục phát triển theo hai hớng:
- Nghiên cứu tính chất cơ học của môi trờng, tức l phát hiện v nghiên cứu các
quy luật vật lý của môi trờng khi chịu tác dụng của lực ngoi.
- Thiết lập các bi toán cơ học thnh các bi toán toán học v phát triển phơng
pháp giải các bi toán cụ thể.
Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên

10
Bản thân việc giải quyết các bi toán cụ thể của cơ học môi trờng liên tục bằng
toán học cũng đợc xem l cơ học môi trờng liên tục. Điều đó giải thích rằng thậm
chí trong những trờng hợp đơn giản nhất, các bi toán của cơ học môi trờng liên
tục đợc đặt ra về mặt toán học cũng rất khó v không thể giải đợc một cách có
hiệu quả bằng các phơng tiện toán học hiện đại. Do đó buộc phải thay đổi cách đặt

bi toán v tìm cách giải gần đúng dựa trên cơ sở các giả thuyết v các kiến thức cơ
học khác nhau.
0.2. Các giả thiết cơ bản của cơ học môi trờng liên tục
0.2.1. Quan điểm hiện tợng vĩ mô
Cấu trúc của các phân tử v các lực tơng tác giữa chúng rất phức tạp, không phải
lúc no cũng biết đợc. Ta không thể theo dõi chuyển động của từng hạt cơ bản, vì
chúng rất nhiều v cha biết trớc lực tơng tác giữa chúng với nhau. Điều quan
trọng l cần chú ý rằng, thông thờng không cần thiết phải biết chuyển động của
từng hạt cơ bản.
Trên thực tế, ta chỉ cần một số đặc trng trung bình quy ớc dựa trên các quy luật
v các giả thuyết chung thu đợc bằng thực nghiệm trên các vật thể có kích thớc vĩ
mô (hữu hạn). Đây l quan điểm hiện tợng vĩ mô - chỉ chú ý đến các quá trình, các
hiệu ứng v các tính chất quan trọng đối với vật thể hữu hạn m ta quan sát hoặc sử
dụng trong những hiện tợng khác nhau của thiên nhiên v kỹ thuật.
Một phơng pháp khác nghiên cứu các môi trờng vật chất đã đợc phát triển trong
vật lý l phơng pháp thống kê dựa trên quan điểm xác xuất sử dụng các đặc trng
trung bình từ tập hợp lớn các hạt. Các phơng pháp thống kê luôn dùng những giả
thuyết bổ sung về tính chất của hạt, tơng tác của chúng v giản ớc các tính chất
v tơng tác ny. Cần lu ý rằng trong nhiều trờng hợp không tồn tại cơ sở để xây
dựng các phơng pháp nh vậy. Tuy nhiên chúng không phải l phơng tiện hiệu
quả để giải các bi toán, vì các phơng trình tơng ứng thu đợc vô cùng phức tạp.
0.2.2. Giả thuyết về tính chất liên tục của môi trờng
Tất cả vật chất cấu tạo từ các hạt riêng lẻ nhng chúng có rất nhiều trong mọi thể
tích bất kỳ m ta quan tâm, nên có thể xem gần đúng nh môi trờng chiếm chỗ
không gian một cách liên tục.
Giả thiết về tính liên tục của môi trờng vật chất đợc đặt ra xuất phát từ quan
điểm vĩ mô. Nh vậy, môi trờng liên tục hay continuum dùng để chỉ những vật
thể có cấu tạo vật chất liên tục v khoảng cách giữa các điểm của chúng thay đổi
trong thời gian chuyển động.
Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên

11
Việc lý tởng hóa nh vậy l cần thiết, bởi vì khi nghiên cứu chuyển động của môi
trờng liên tục, ta sử dụng công cụ tính toán l các phép tính vi phân v tích phân
của các hm liên tục.
0.2.3. Giả thuyết không gian Euclide
Không gian l tập hợp các điểm đợc cho trớc bằng những con số gọi l tọa độ của
điểm. Không gian Euclide l không gian m trong đó ta có thể xây dựng một hệ tọa
độ Descartes duy nhất cho mọi điểm của không gian. Vị trí các điểm của không gian
hon ton xác định nhờ hệ tọa độ Descartes vuông góc duy nhất cho ton bộ không
gian x, y, z. Khoảng cách giữa hai điểm M
1
(x
1
,y
1
,z
1
) v điểm M
2
(x
2
,y
2
,z
2
) bất kỳ xác
định theo công thức
()()()
2

21
2
21
2
21
zzyyxxr ++= (0.2.1)
Cơ học môi trờng liên tục giả thiết không gian l Euclide ba chiều. Cơ học xây dựng
trong các không gian Euclide gọi l cơ học Newton. Kinh nghiệm chứng tỏ rằng
không gian vật lý thực trong phạm vi không lớn lắm với độ chính xác cao có thể xem
l không gian Euclide.
Không phải bất kỳ không gian no đều có thể vẽ một hệ tọa độ Descartes duy nhất
cho ton không gian. Để đơn giản ta xét không gian hai chiều. Rõ rng l trên mặt
phẳng bao giờ ta cũng có thể vẽ một hệ tọa độ Descartes duy nhất có hai tọa độ cho
ton mặt phẳng. Trên mặt cầu bán kính cong của nó khác không, ta không thể vẽ
một hệ có hai tọa độ, để khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên đó l độ di cung
đờng tròn lớn đợc xác định bằng công thức (0.2.1). Trên mặt cầu chỉ có thể vẽ hệ
tọa độ Descartes trong miền lân cận bé của mỗi điểm. Trong trờng hợp không gian
ba chiều cũng không phải lúc no cũng có thể vẽ một hệ tọa độ Descartes duy nhất
cho ton không gian.
Để tránh nhầm lẫn giữa điểm của môi trờng liên tục v điểm của không gian do
môi trờng liên tục chiếm chỗ, ta dùng khái niệm điểm để chỉ vị trí trong không
gian cố định, còn khái niệm phần tử hay hạt để chỉ vật chất chứa trong thể tích
vô cùng bé của môi trờng liên tục (chất điểm).
0.2.4. Giả thuyết thời gian tuyệt đối trong các hệ quy chiếu quán tính
Khái niệm thời gian liên quan đến thực nghiệm v rất cần thiết trong cơ học. Mỗi
hiện tợng cơ học bất kỳ luôn luôn đợc mô tả theo quan điểm ngời quan sát no
đó. Nói chung, thời gian có thể phụ thuộc vo hệ quy chiếu của ngời quan sát.
Hệ quy chiếu, trong đó chuyển động tự do của các môi trờng (l chuyển động của
các vật hay môi trờng không chịu tác động của lực ngo
i) xảy ra với vận tốc không

đổi, đợc gọi l hệ quy chiếu quán tính. Nếu hai hệ chuyển động thẳng đều với nhau,
Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên

12
trong đó một hệ l quy chiếu quán tính, thì hệ kia cũng l hệ quy chiếu quán tính.
Do đó mọi hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều đối với một hệ quy chiếu quán tính
cũng l hệ quy chiếu quán tính.
Cơ học môi trờng liên tục giả thiết thời gian tuyệt đối, lý tởng, trôi qua nh nhau
đối với mọi ngời quan sát trong các hệ quy chiếu quán tính: trong tu hỏa, trong
máy bay, trong giảng đờng, v.v do đó ta sẽ dùng thời gian tuyệt đối lý tởng hóa
để mô tả thực tế v nó chỉ đúng khi không kể đến các hiệu ứng của lý thuyết tơng
đối hẹp.
Trên đây, ta đã đa ra ba giả thuyết cơ bản dùng để xây dựng lý thuyết chuyển
động của các vật thể biến dạng. Các kết luận rút ra từ lý thuyết ny thờng phù hợp
với thực nghiệm, nhng không phải lúc no cũng vậy. Trong những trờng hợp cần
thiết, mô hình không gian v thời gian có thể chính xác hóa v mở rộng. Nhng tất
cả những sự mở rộng sau ny đều xây dựng trên cơ sở cơ học Newton dựa vo các giả
thuyết cơ bản đã trình by ở trên. Bản chất của các giả thuyết đó trở nên dễ hiểu
hơn trong quá trình phát triển lý thuyết sau ny.
Tóm lại, cơ học môi trờng liên tục l ngnh khoa học nghiên cứu, thiết lập các tính
chất, các quy luật chuyển động của môi trờng với giả thiết rằng môi trờng l liên
tục (continuum) trong không gian Euclide v dùng thời gian tuyệt đối, lý tởng, nh
nhau với mọi ngời quan sát trong các hệ quy chiếu quán tính.

Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên

13
Chơng 1
khái niệm về ten xơ
1.1. Khái niệm về đại lợng vô hớng, véc tơ v ten xơ

Trong toán học v vật lý nói chung, đặc biệt trong cơ học nói riêng, ta thờng gặp
các loại đại lợng khác nhau:
- Đại lợng vô hớng l đại lợng m nó đợc đặc trng bằng một con số theo một
đơn vị đo đã chọn nh nhiệt độ, khối lợng, tỷ khối, năng lợng, độ ẩm, v.v
- Đại lợng véc tơ l đại lợng m nó đợc đặc trng không những bằng con số chỉ
số đo của nó theo một đơn vị đo xác định, m còn bằng hớng của nó trong không
gian nh chuyển dịch của chất điểm, vận tốc, gia tốc, lực, v.v Cần phân biệt ba
loại véc tơ: véc tơ tự do có điểm đặt chọn tùy ý; véc tơ trợt có điểm đặt thay đổi
dọc theo chính véc tơ đó, ví dụ lực đặt vo một vật thể rắn l véc tơ trợt; véc tơ
buộc có điểm đặt cố định, ví dụ nh khi xét chuyển động của điểm vật chất phải
lấy điểm tác dụng lực l vị trí của điểm vật chất đó. Việc nghiên cứu các véc tơ
buộc v các véc tơ trợt dẫn đến việc nghiên cứu các véc tơ tự do, vì vậy dới đây
ta chỉ xét các véc tơ tự do.
- Đại lợng ten xơ đặc trng cho trạng thái của vật thể nh trạng thái biến dạng,
trạng thái ứng suất của môi trờng liên tục, sự phân bố các mômen quán tính đối
với các trục khác nhau đi qua điểm no đó của vật thể rắn, năng xung lợng của
trờng điện từ, độ cong của mỗi điểm trong không gian phi Euclide, v.v
Ten xơ l đại lợng tổng quát bao hm cả các đại lợng vô hớng v véc tơ. Dựa vo
khái niệm ten xơ, ta có thể bao quát mọi đặc trng của tất cả các đại lợng, xem
chúng l các ten xơ hạng không (vô hớng), hạng một (véc tơ) v hạng bất kỳ.
Ten xơ có đặc điểm chung l không phụ thuộc vo cách chọn hệ tọa độ dùng để mô tả
chúng, nghĩa l trong một hệ tọa độ có thể cho ten xơ bằng một hệ thống đại lợng
no đấy, gọi l các thnh phần của ten xơ. Nếu các thnh phần của ten xơ đã cho
trong một hệ tọa độ, thì nó đợc xác định trong bất kỳ một hệ tọa độ no khác, vì
trong định nghĩa ten xơ đã bao hm quy luật biến đổi các thnh phần của nó.
Các qui luật vật lý v cơ học thờng đợc biểu diễn dới dạng các hệ thức ten xơ.
Viết các phơng trình dới dạng ten xơ, cho phép thiết lập các quy luật bất biến,
không phụ thuộc vo cách chọn hệ tọa độ. Do tính chất tuyến tính v đồng nhất của
các phép biến đổi ten xơ, nên các phơng trình ten xơ đã đúng trong hệ tọa độ ny,
cũng đúng trong hệ tọa độ khác. Tính bất biến của các hệ thức ten xơ đối với phép

Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên

14
biến đổi hệ tọa độ l một trong những nguyên nhân cơ bản để sử dụng có hiệu quả
phép tính ten xơ trong cơ học v vật lý.
1.2. Trờng vô hớng
Trờng vô hớng l một hm vô hớng của các tọa độ điểm trong miền xác định của
hm số ),,,(
321
txxx

với x
1
, x
2
, x
3
l các tọa độ không gian, còn t l thời gian.
Građiên của trờng vô hớng l véc tơ có hớng m hm

tăng nhanh nhất v có độ
lớn bằng đạo hm theo hớng đó
3
3
2
2
1
1
e
x

e
x
e
x
grad
rrr


+


+


==




(1.2.1)
với
321
,, eee
rrr
l các véc tơ chỉ phơng đơn vị của hệ tọa độ cơ sở Ox
1
x
2
x
3

, ký hiệu

đọc
l nabla. Về mặt hình học, véc tơ građiên vuông góc với mặt mức (hay mặt đẳng trị)
đợc xác định từ phơng trình consttxxx
=
),,,(
321

. Khi đó véc tơ pháp tuyến đơn vị

r
tại điểm cho trớc của mặt ny l
2
3
2
2
2
1
3
3
2
2
1
1

+










+












+

+


==
xxx
e
x
e
x
e
x
grad
grad





rrr
r
(1.2.2)
Ký hiệu

với
2
3
2
2

2
2
2
1
2
xxx

+


+


==


(1.2.3)
đợc gọi l toán tử Laplace, đọc l laplacien. Phơng trình vi phân đạo hm riêng
0
2
3
2
2
2
2
2
1
2
=

+


+


=
xxx


(1.2.4)
đợc gọi l phơng trình Laplace v nghiệm của phơng trình Laplace đợc gọi l
hm điều hòa. Theo định lý trung bình của hm điều hòa, giá trị của hm điều hòa
tại một điểm no đó bằng trung bình số học của các giá trị hm số trên một mặt cầu
(v do đó cả theo thể tích) bất kỳ với tâm tại điểm đã cho. Phơng trình
0
2
3
2
2
2
2
2
1
2
2
3
2
2

2
2
2
1
2
2
=










+


+

+


+


=
xxxxxx


(1.2.5)
đợc gọi l phơng trình song điều hòa hay điều hòa kép v nghiệm phơng trình
ny đợc gọi l các hm song điều hòa hay điều hòa kép.
Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên

15
Ví dụ 1.2.1: Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua ba điểm A(a,0,0), B(0,b,0),
C(0,0,c) cho trớc nằm trên các trục tọa độ nh trên hình 1.2.1.
Giải: Phơng trình của mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C l
01),,(
3
21
321
=++=
c
x
b

x
a
x
xxx


Véc tơ građiên có dạng
321
111
e
c
e
b
e
a
grad
rrr
++=


Do đó, véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng l
222
321
111
111

+






+






++
==
cba
e
c
e
b
e
a
grad
grad
rrr
r

Nếu mặt phẳng ABC nghiêng đều ba trục tọa độ
(
)
cba == , véc tơ pháp tuyến l
321
3
1
3
1
3
1
eee
rrr
r

+

+

=

, thông thờng ta hay chọn

3
1
,
3
1
,
3
1

r
.
1.3. Véc tơ v trờng véc tơ
1.3.1. Các phép tính véc tơ
Trong không gian ba chiều, ta lập một hệ tọa độ Descartes vuông góc Ox
1
x
2
x
3
l một
tam diện thuận theo quy tắc bn tay phải. Một véc tơ
a
r
bất kỳ trong không gian
đợc xác định bởi ba hình chiếu a
1
, a
2

, a
3
của nó trên các trục tọa độ (hình 1.3.1) v
a
1
, a
2
, a
3
đợc gọi l các tọa độ vuông góc hay l các thnh phần của véc tơ a
r
. Độ di
của véc tơ
a
r
xác định theo công thức
2
3
2
2
2
1
aaaa ++=
r
(1.3.1)
Đờng chéo OB của hình bình hnh dựng trên các véc
tơ aOA
r
= v bAB
r

= l tổng của hai véc tơ baOB
r
r
+= ,
còn đờng chéo CA l hiệu của các véc tơ ny baCA
r
r
=
(hình 1.3.2).
Tích vô hớng (hay tích trong) của hai véc tơ a
r
v b
r
l
một đại lợng vô hớng có giá trị bằng tích độ di của
các véc tơ đó với côsin của góc giữa chúng
Hình 1.2.1.
C
B
A
x
3

x
1

x
2

e
1

e
2

e
3

O
Hình 1.3.1.
x
3

x
1

x
2

a
a
1

a
2

a
3

O
Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên

16
),cos( babaabba
r
r
r
r
r
r
r
r
== (1.3.2)
Nếu véc tơ a
r
vuông góc với véc tơ b
r
thì tích vô hớng
của hai véc tơ ny bằng không. Tích vô hớng của các
véc tơ đơn vị tọa độ l




=
==
ji
ji
ee

ijji
0
1
.

rr
(1.3.3)
Nếu 1=b
r
thì hình chiếu của véc tơ
a
r
lên véc tơ
b
r
bằng tích vô hớng của hai véc tơ
ny. Tọa độ a
i
l tích vô hớng của véc tơ a
r
v véc tơ đơn vị
i
e
r

ii
eaa
r
r
.

=
(1.3.4)
Tích véc tơ (hay tích ngoi, tích có hớng) của hai véc tơ
a
r
v b
r
l một véc tơ c
r
có
độ lớn bằng diện tích hình bình hnh dựng trên các véc tơ
ba
r
r
,
v có hớng vuông
góc với mặt phẳng của các véc tơ ny sao cho tam diện hình thnh bởi các véc tơ
cba
r
r
r
,, l tam diện thuận (hình 1.3.3)
),sin(; babacbac
r
r
r
r
r
r
r

r
=ì= (1.3.5)
Biểu diễn dới dạng định thức










=ì
321
321
321
det
bbb
aaa
eee
ba
r
r
r
r
r
(1.3.6)
Tích véc tơ không có tính giao hoán tức l
dabbac

v
r
r
r
r
r
=ì=ì=
Tích hỗn hợp (hay tích véc tơ kép) của ba véc tơ
cba
r
r
r
,, l một đại lợng vô hớng có
giá trị bằng thể tích hình hộp giới hạn bởi các véc tơ ny. Tích hỗn hợp ny l số
dơng nếu các véc tơ
cba
r
r
r
,,
lập thnh một tam diện thuận
[]

=ì=
321
321
321
det).(
ccc
bbb
aaa
cbacba
r
r
rr
r
r
(1.3.7)
1.3.2. Biến đổi của các thnh phần véc tơ khi quay trục tọa độ
Giả thiết hệ trục tọa độ Descartes ban đầu x
i
với các véc tơ đơn vị
i
e
r
xoay quanh gốc
tọa độ O trở thnh hệ trục tọa độ Descartes mới
i
x

với các véc tơ đơn vị mới

i
e

r
nh
Hình 1.3.3.
a
b
c=a
ì
b

d=bìa
Hình 1.3.2.
a
b
a
b
a+b
O
A
B
C
a-b
Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên

17
trên hình 1.3.4. Ký hiệu
(
)

ij
cC = l ma trận các côsin của góc hợp giữa trục mới
i
x


với trục cũ x
j
v cũng l góc giữa véc tơ
i
e

r
v véc tơ
j
e
r
. Theo (1.3.2), ta có
jijijiij
eeeexxc
r
r
r
r

=

=

= ),cos(),cos(

(1.3.8)










Các véc tơ đơn vị mới
i
e

r
có thể biểu diễn qua các véc tơ đơn vị cũ
j
e
r

=




















=

3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
e
e
e
C
e
e
e
ccc
ccc
ccc
e
e

e
r
r
r
r
r
r
r
r
r
(1.3.9)
Ngợc lại, ký hiệu
(
)
ij
cC

=

l ma trận các cô sin của góc hợp giữa trục cũ x
i
với trục
mới
j
x

, ta có
jijijiij
eeeexxc
r

r
r
r

=

=

=

),cos(),cos( (1.3.10)
So sánh (1.3.8) v (1.3.10), ta thấy ngay rằng
jiij
cc
=
'
tức l ma trận
(
)
ij
cC

=

v ma
trận
(
)
ij
cC =

l chuyển vị của nhau.
Từ (1.3.10), ta biểu diễn các véc tơ cơ sở cũ
i
e
r
qua các véc tơ cơ sở mới
j
e

r















=

=

3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
e
e
e
C
e
e
e
ccc
ccc
ccc
e
e
e
r
r

r
r
r
r
r
r
r
(1.3.11)
So sánh (1.3.9) v (1.3.11), ta thấy rằng ma trận
(
)
ij
cC

=

v ma trận
(
)
ij
cC
=
l
nghịch đảo của nhau.
Hình 1.3.4.
e
1

2
e

1
x


3
e


3
x


x
3

x
1

x
2

a
e
2

e
3

O
1
e


2
x


Hình 1.3.5.
e
1

2
e


1
x


33
ee =


33
xx
=

x
1

x
2

e
2

O
1
e


2
x



Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên

18
Nh vậy, ma trận các côsin chỉ phơng
(
)
ij
c lập thnh một ma trận trực giao
T
CCC ==

1
(1.3.12)
Khi hệ trục tọa độ Descartes ban đầu Ox
1
x
2
x
3
quay trong mặt phẳng Ox
1
x
2
một góc


ngợc chiều kim đồng hồ quanh trục x
3
trở thnh hệ trục tọa độ mới
321
xxxO



nh
trên hình 1.3.5, ma trận các côsin chỉ phơng có dạng
()
(
)
()

=










+

==
100
0cossin
0sincos
0cos90cos90cos
90coscos90cos
90cos90coscos
000

00
00




ij
cC
(1.3.13)
Bây giờ ta xét sự thay đổi của các thnh phần véc tơ
a
r
khi quay hệ trục tọa độ. Khi
đó bản thân véc tơ
a
r
không thay đổi, nhng các thnh phần tọa độ a
i
của véc tơ
a
r

trong hệ trục cũ x
j
sẽ thay đổi thnh
i
a

trong hệ trục mới
i

x

. Ta có khai triển
i
i
ii
i
i
eaeaa

==

==
rrr
3
1
3
1
(1.3.14)
với
ii
eaa
r
r
.= v
ii
eaa

=

r
r
. . Sử dụng (1.3.8) kết hợp với (1.3.9), ta đợc

===
===

=

3
1
3
1
3
1

i
jij
i
jij
i
jijii
aceacecaeaa
rrrrrr
(1.3.15)
Tơng tự, sử dụng (1.3.10) kết hợp với (1.3.11) ta có

===

=

=

==
3
1
3
1
3
1

i
jji
i
jji
i
jijii
aceacecaeaa
rrrrrr
(1.3.16)
1.3.3. Trờng véc tơ
Trờng véc tơ l một hm véc tơ của các tọa độ điểm trong miền không gian xác
định của hm số
),,,(
321
txxxa
r
với x
1
, x

2
, x
3
l các tọa độ không gian, t l thời gian.
Đại lợng vô hớng
()
3
3
2
2
1
1
.
x
a
x
a
x
a
aadiv


+


+


==
rr

(1.3.17)
đợc gọi l đive (hay phân kỳ) của trờng véc tơ a
r
. Đại lợng véc tơ
()
3
2
1
1
2
2
1
3
3
1
1
3
2
2
3
321
321
321
det e
x
a
x
a
e
x

a
x
a
e
x
a
x
a
aaa
xxx
eee
aarot
rrr
r
r
r
rr

+













+













=

=ì=
(1.3.18)
đợc gọi l rôta (hay xoáy) của trờng véc tơ a
r
.
Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên

19
Các đại lợng
(
)()
arotadiv
rr

; đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu các môi trờng
liên tục. Giá trị đive liên quan đến lợng vật chất đi qua mặt của một thể tích vô
cùng bé bao quanh điểm đang xét. Véc tơ rôta liên quan đến chuyển động quay của
các chất điểm quanh điểm đang xét.
Ví dụ 1.3.1: Khai triển véc tơ
(
)
1,2,1a
r
thnh hai véc tơ
vv
a


r
r
r
+
=
trong đó véc tơ
v

r

theo phơng pháp tuyến với mặt phẳng ABC nghiêng đều với ba trục tọa độ (ví dụ
1.2.1), véc tơ
v

r
nằm trong mặt phẳng ABC.

Giải: Véc tơ pháp tuyến ngoi của mặt phẳng ABC nghiêng đều ba trục tọa độ l
(
)
31,31,31

r
. Hình chiếu của véc tơ a
r
lên phơng pháp tuyến

r
l
3
4
1
2
1
3
1
3
1
3
1
.
=

== a
v
r
r
r


v thu đợc véc tơ
v

r

=










==
34
34
34
31
31
31
3
4

r
rr
vv

Từ đó ta xác định đợc véc tơ
v

r
nằm trong mặt phẳng ABC












=

==
31
32
31
34
34
34
1
2
1
v
a


rrr

Độ di véc tơ
v

r
theo (1.3.1) l

3
6
3
1
3
2
3
1
222
=






+






+

=


r

Để kiểm tra kết quả tính, dựa vo điều kiện véc tơ
v

r
vuông góc với véc tơ
v

r
nên
tích vô hớng của hai véc tơ ny bằng không
0
31
32
31
3
1
3
1
3
1
.
=

=


rr
v

Cũng có thể kiểm tra dựa vo hệ thức Pitago
222


r
r
r

+=a , ta có
Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên

20
222
2
2
1216
3
16
9
6
3
4
3
6
++==+=








+

Ví dụ 1.3.2: Xác định các thnh phần véc tơ
(
)
1,2,1a
r
trong hệ tọa độ mới khi mặt
phẳng Ox
1
x
2
xoay quanh trục x
3
một góc 60
0
ngợc chiều kim đồng hồ.
Giải: Theo (1.3.13) v (1.3.15), các thnh phần của véc tơ a
r
trong hệ trục mới l

=






















=

000.1
134.0
232.2
1
2
1
100
02123
02321
3
2
1
a
a
a

1.4. Ten xơ trong hệ tọa độ Descartes vuông góc
1.4.1. Hệ thống phần tử. Quy tắc chỉ số Einstein
a) Hệ thống phần tử đợc đặc trng bởi một hay nhiều chỉ số v đợc sắp xếp theo
thứ tự no đấy, ví dự nh a

i
, a
ij
, a
ijk
, với các chỉ số i,j,k có giá trị 1,2,3. Do đó hệ
thống a
i
có một chỉ số gồm 3 phần tử l a
1
, a
2
, a
3
đợc gọi l hệ thống hạng nhất,
hệ thống a
ij
có hai chỉ số gồm 9 phần tử l a
11
, a
12
, a
13
, a
21
, a
22
, a
23
, a

31
, a
32
, a
33

đợc gọi l hệ thống hạng hai, v.v
b) Ta đa vo hai qui tắc quan trọng đối với chỉ số gọi l qui tắc Einstein:
- Trong một đơn thức, chỉ số no chỉ gặp một lần, ta gọi l chỉ số tự do. Chỉ số
ny lấy giá trị 1,2,3. Ví dụ trong đơn thức a
i
b
jk
, các chỉ số i,j,k l chỉ số tự do.
- Trong một đơn thức, chỉ số no lặp lại hai lần, nó biểu thị tổng theo chỉ số đó
từ 1 đến 3. Ví dụ

=
=++=
3
1
332211
i
iiii
bababababa
. Chỉ số đó gọi l chỉ số câm v
có thể thay bằng chữ khác
mmjjii
bababa
=

=
.
Sử dụng quy tắc ny, công thức (1.3.15) có dạng
jiji
aca
=

(1.4.1)
v (1.3.16) có dạng
jjii
aca

=
(1.4.2)
- Chỉ số no xuất hiện trên hai lần thì không biểu thị tổng; nếu biểu thị tổng
phải ghi chú riêng. Dùng quy ớc trên, trong các tổng ta không phải viết dấu
tổng
nữa.
c) Hệ thống đối xứng v phản đối xứng:
Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên

21
Một hệ thống l đối xứng đối với hai chỉ số no đấy, nếu ta hoán vị hai chỉ số đó
cho nhau, các phần tử của hệ thống không đổi dấu v giá trị. Chẳng hạn hệ
thống a
ij
đối xứng, nếu a
ij
= a
ji

. Hệ thống đối xứng có dạng đặc biệt dùng rộng rãi
trong phép tính ten xơ l ký hiệu Kronecker (1.3.3). Sử dụng ký hiệu ny, công
thức (1.3.12) có dạng đơn giản
ijjkik
cc

=
(1.4.3)
Hệ thống a
ij
l phản đối xứng, nếu ta hoán vị hai chỉ số i, j cho nhau, các phần tử
thay đổi đấu a
ij
= - a
ji
, từ đó suy ra a
11
=a
22
=a
33
=0.
Hệ thống Levi - Civita l hệ thống hạng ba e
ijk
có tính chất:
e
ijk
=1 khi ijk l hoán vị chẵn của 1,2,3; ví dụ e
123
=e

231
=e
312
=1.
e
ijk
=-1 khi ijk l hoán vị lẻ của 1,2,3; ví dụ e
132
=e
213
=e
321
=-1.
e
ijk
=0 khi hai chỉ số bất kỳ bằng nhau; ví dụ e
112
=e
232
=0.
Sử dụng ký hiệu Levi - Civita, định thức ma trận hạng ba có dạng
kjiijk
aaae
aaa
aaa
aaa
321
333231
232221
131211

det =










(1.4.4)
1.4.2. Định nghĩa ten xơ
a) Ten xơ hạng không l những đại lợng vô hớng có 3
0
=1 thnh phần v thnh
phần ny không thay đổi trong phép biến đổi trục tọa độ.
b) Ten xơ hạng một l hệ thống a
i
gồm 3
1
=3 thnh phần cho trong một hệ tọa độ
Descartes no đấy m khi hệ tọa độ ny thay đổi theo quy luật (1.4.1) thì chúng
cũng thay đổi theo quy luật ấy
jiji
aca
=

(1.4.5)
Ta thấy rằng các tọa độ của một véc tơ cho trớc trong mọi hệ tọa độ lập thnh

ten xơ hạng một. Ngợc lại các thnh phần của một ten xơ hạng một có thể xem
l tọa độ của một véc tơ no đấy.
Bộ ba số (

, t
0
, H) với

l khối lợng riêng, t
0
l nhiệt độ, H l độ cao tại điểm
đang xét không phải một ten xơ hạng nhất.
c) Ten xơ hạng hai l hệ thống a
ij
gồm 3
2
=9 thnh phần cho trong một hệ tọa độ
Descartes no đấy m khi hệ tọa độ ny thay đổi theo quy luật (1.4.1) thì chúng
cũng thay đổi theo quy luật ấy
kljlikij
acca
=

(1.4.6)
Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên

22
Ta gặp ten xơ hạng hai khi nghiên cứu trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất
của môi trờng liên tục, sự phân bố các mômen quán tính đối với các trục đi qua
điểm no đó của vật thể rắn, năng xung lợng của trờng điện từ, độ cong của

mỗi điểm trong không gian phi Euclide, v.v
d) Ten xơ hạng n l hệ thống a
ijkl
gồm 3
n
thnh phần cho trong một hệ tọa độ
Descartes no đấy m khi hệ tọa độ ny thay đổi theo quy luật (1.4.1) thì chúng
cũng thay đổi theo quy luật ấy
rstuluktjsirijkl
acccca L
=

(1.4.7)
Từ định nghĩa ten xơ, ta thấy mỗi thnh phần của ten xơ trong hệ tọa độ mới l tổ
hợp bậc nhất của các thnh phần của ten xơ trong hệ tọa độ cũ. Do đó nếu tất cả các
thnh phần của ten xơ bằng không trong một hệ tọa độ no đấy thì nó cũng bằng
không trong hệ tọa độ mới.
1.4.3. Phân biệt ten xơ với ma trận
Theo định nghĩa ten xơ, các thnh phần của hệ thống a
ijkl
lập thnh một ten xơ xác
định, trong khi đó, các thnh phần c
ij
không phải l một ten xơ m l các thnh
phần của ma trận phép biến đổi tọa độ, thiết lập mối quan hệ giữa hai hệ tọa độ
khác nhau. Đối với các ten xơ có hạng bé hơn hay bằng hai, ta có thể biểu diễn ten
xơ dới dạng ma trận nhng ngợc lại, mọi ma trận không phải l ten xơ.
Dới dạng ma trận, công thức (1.4.6) có dạng
(
)

(
)
T
ijij
CaCa =

(1.4.8)
Mặt khác từ (1.3.12) suy ra
(
)
1det

=
ij
c nên
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
klkljlikij
aacca detdetdetdetdet
=
ì
ì

=

(1.4.9)
nghĩa l định thức của các thnh phần ten xơ hạng hai bất kỳ luôn l bất biến đối
với phép biến đổi trục tọa độ.
1.4.4. Các phép tính đại số ten xơ
Đối với ten xơ, ta có thể thực hiện một số phép tính bất biến, tức l những phép tính
m kết quả của chúng không phụ thuộc vo cách chọn hệ tọa độ:
a) Tổng các ten xơ cùng hạng: Việc lấy tổng (cộng hay trừ) chỉ thực hiện cho các ten
xơ cùng hạng, kết quả cho ta một ten xơ cùng hạng có các thnh phần bằng tổng
các thnh phần tơng ứng của các ten xơ đã cho. Ví dụ, nếu a
ijk
v b
ijk
l các ten
xơ hạng ba thì c
ijk
=a
ijk

b
ijk
cũng l ten xơ hạng ba.
b) Phép cuộn các ten xơ: Phép cuộn ten xơ l phép đồng nhất hai chỉ số bất kỳ của
một ten xơ có hạng lớn hơn hay bằng hai. Điều đó có nghĩa l lấy tổng theo chỉ số
Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên

23
đó. Kết quả cho ta một ten xơ có hạng giảm đi hai đơn vị. Ví dụ, với ten xơ hạng
bốn a

ijkl
, phép cuộn a
ikjk
theo chỉ số thứ 2 v 4 cho ta một ten xơ hạng hai c
ij
= a
ikjk
.
Với ten xơ hạng hai a
ij
, phép cuộn a
ii
cho ta một vô hớng l ten xơ hạng không.
c) Phép nhân các ten xơ: Phép nhân áp dụng cho hai ten xơ có hạng bất kỳ bằng
cách lấy mọi tích có thể có của từng thnh phần ten xơ ny với từng thnh phần
của ten xơ kia, kết quả nhận đợc một ten xơ mới có hạng bằng tổng hạng của
các ten xơ thnh phần. Ví dụ tích của ten xơ hạng ba a
ijk
v ten xơ b
lm
cho ta ten
xơ hạng năm c
ijklm
=a
ijk
b
lm
. Cũng giống nh phép nhân ma trận, phép nhân các
ten xơ không có tính giao hoán.
d) Phép hoán vị chỉ số: Từ ten xơ đã cho, ta lập ten xơ mới có cùng hạng v cùng

những thnh phần đó nhng thứ tự thnh phần khác nhau bằng cách hoán vị
chỉ số của ten xơ đã cho. Ví dụ, với ten xơ a
ijk
, lập ten xơ mới b
ijk
bằng cách ký
hiệu chỉ số i, j, k thnh j, k, i tức l b
jki
= a
ijk
.
Nh vậy, kết quả của các phép tính đại số ten xơ cho ta một ten xơ mới.
1.4.5. Dấu hiệu ngợc lại về ten xơ
Dới đây, ta phát biểu dấu hiệu ngợc lại về ten xơ dới dạng đơn giản, tất nhiên
điều đó có thể mở rộng cho hệ thống hạng bất kỳ.
Chẳng hạn, nếu ta có hệ thức
ijk
cbkjia
=
),,( (1.4.10)
v biết rằng c
i
l một ten xơ xác định, b
jk
l ten xơ tùy ý thì hệ thống a(i,j,k) cũng l
một ten xơ tức l a(i,j,k)=a
ijk
.
Một trờng hợp riêng quan trọng của mệnh đề ny l: Giả sử có x
i

, y
j
, z
k
l thnh
phần của ba véc tơ tùy ý, nếu biết a
ijk
x
i
y
j
z
k
l một bất biến thì ta có thể kết luận a
ijk

l một ten xơ hạng ba. Đôi khi ngời ta dùng tính chất ny để định nghĩa ten xơ đối
với phép biến đổi tuyến tính.
1.4.6. Giá trị chính v phơng chính của ten xơ hạng hai đối xứng
Một tính chất rất quan trọng của ten xơ hạng hai đối xứng (với các thnh phần l
các số thực) l tồn tại ba phơng chính trực giao với nhau.
Phơng chính (hay trục chính)

j
của ten xơ hạng hai đối xứng a
ij
l phơng m véc
tơ a
ij

j
đồng phơng với véc tơ

i
tức l
jijjij
aa



=
hay
(
)
0
=

jijij
aa


(1.4.11)
với a gọi l giá trị chính của ten xơ a
ij
đối với phơng chính

j
. Mặt khác, các thnh
phần

j
của phơng chính phải thỏa mãn phơng trình
Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên

24
1
2
3
2
2
2
1
=++=


jj
(1.4.12)
Vì

j
không đồng thời bằng không nên từ (1.4.11), suy ra
()
0detdet
333231
232221
131211
=

=
aaaa
aaaa
aaaa
aa
ijij

(1.4.13)
Phơng trình (1.4.13) đợc gọi l phơng trình đặc trng của ten xơ a
ij
.
Theo (1.4.9), phơng trình ny bất biến đối với phép biến đổi trục tọa độ nên các
nghiệm của nó cũng l những bất biến. Khai triển (1.4.13), ta có
0
32
2
1
3
=+ IaIaIa
(1.4.14)

trong đó
(
)
()
() ()
2
1233
2
3122
2
23113123123322113
2
31
2
23
2
121133332222112
3322111
2det aaaaaaaaaaaaaaI
aaaaaaaaaaI
aaaaaI
ijij
ij
iiij
+==
++=
+
+
==
(1.4.15)

l các bất biến chính của ten xơ hạng hai đối xứng a
ij
.
Vì a
ij
l các số thực nên phơng trình bậc ba (1.4.14) phải có ít nhất một nghiệm
thực a
r
no đó. Ta lập hệ trục Descartes mới
i
x

sao cho một trục của hệ tọa độ ny
trùng với phơng của giá trị chính a
r
đã biết. Trong hệ trục mới
i
x

ny, ten xơ a
ij

vẫn l ten xơ đối xứng v có dạng
()

=

3332
2322
0
0
00
aa
aa
a
a
r
ij
(1.4.16)
Phơng trình (1.4.13) bây giờ có dạng
()
0
0
0
00
detdet
3332
2322
=

=

aaa
aaa
aa
aa
r
ijij

(1.4.17)
Khai triển (1.4.17) theo hng (hay cột) đầu tiên ta có
()
(
)

(
)
[
]
0
2
2333223322
2
=



+

+

aaaaaaaaa
r

Phơng trình bậc ba ny có một nghiệm a=a
r
đã biết. Phơng trình bậc hai
(
)
(
)
[
]
0
2

2333223322
2
=



+

+

aaaaaaa