Luận án phó tiến sỹ Bài toán biến tự do trong cơ học môi trường liên tục

BOGIAODue v AoAo TAO
TRUONG 8AT I-IQC TONG HOP THANH FHO HO CHI MINH
TR~NH ANH NGQC
BAI TOAN BI:B:N TIJDO
TRaNG CO HQC Mor TRUONG LIEN TUC
Chuyen nganh: cO HQC V~T R \N BIE'N D~NG
Mil so': 1.02.21
T6MTATLU~N AN
Ph6 Tie'nSi Toan Ly
:
Thanh Ph6 If() Chi wUnh
- 1996 -
Lu~n an duqe heaD thanh l~i Moa Toan - Tin hge
Tru'CJng.B~i H9CT6ng Hqp Thanh pho'H6 Cbi I\Hnh
Ngu'oi hu'dng din:
Giao suTie'n sl B4ng Blnh Ang
B~i Hqc T6ng Hqp Thanh pho'H6 Cbi Minh
Ngu'oi nh4n xet 1:
Ngu'Oinh4n xet 2:
Cel quan nh~n xet:

Lu4n an nay se duqc bao v~ ~i HQidong cham lu4n an NhB.nude
h9P ~i Tru'CJngB~i H9C T6ng Hqp Thanh pho'H6 Chi IvIinh
vao hie gi<1,Ngay thang niim1996
C6 th~ 11mhi~u lu4n an ~i cae tIlt]'vi~n Khoa hge:
- Tnthng B~i Hge T6ng Hqp Thanh pbo' Ho Chi Minh.
- Thu vi~n Khoa b9CT6ng Hqp ThAnh ph[) H6 Cbi Minh
BAI TO~{N BrENn;' 00 TRONG co HQC MOl
TRUONG LIEN T1)C
:'vIa DA U
Bat todn bien t,! do la bai toan bien, trong do bien hoac mot pilau

bien cua mien khao sat khong dUCfCcho truck (goi la hien tt' do hay
bien di dong). Tuy tUng twang hqp cu th~, bien tl1 do co thJ lit m~t
pilau cilia moi twCtng thana cac thana phan (pha.) co cae dac trung
tr~ng thai va chuy~n dong khac nhau; aoae la. mat gian dean cila cae
dac tnmg nay. Mot dac di~rn cila loai bai toan nay la. bien t1Jdo phai
du<;1cxac dinh trong qua trlnh gia.i bili teaR nhu mot thana phan cua
nghi~m.
Ba.itoan bien tl.1do xua:t hien trong nhieu lanh Vl,!Ckhoa hoc. D~c
bi~t, trong ccJh9CmOl tru<mg lien t~c, biLitoan bien tl,!do co lien quan
d~n Ii thuy~t tuCfng tae giiia. cac moitruang co CCftinh khae nhau,
Ii thuy~t va ch~m, pM, huy, xam nh~p cu.a doc va,t th~ co bi~n d~ng
ngoiLigiro h~n dan hOi, Do Mn chat d~c sac cua. hiLitoan cling nhu
nhu ca.u cua cae nganh khoa h9C lien quan, ba.iloan bien tl,t do da. tau
hUt Sl,!cha i cu.a nhieu nha khoa h9C tren tM giro. Nhi~u ba.i toau
cia.du~c d~t va gicii quy~t: hiLi toan Stefan trong Ii thuy~t truy~n
nhi~t, biLitoan bien W do trong Ii thny~t va.ch~, cac biLitoan ve
Sl,!phat tri~n v~t nUt trong cd h9C phi My, dOng dat, aVi~t Na.m,
tit nhiing na.m 80 tra 1~ day, cac Gong trlnh ve hiLitoan bien t1,ldo
cM y~u xuat bien trong lanh V1,lCCCfh9C LUllth~, Ii thny~t trny~n
nhi~t; c~t~g h~n cac bili toan tham clia GMt long vito mOltru<mg rcLn,-
qua trlnh khu~ch tan clia GMt khi d6i vdi GMt ran, qua. trlnh truy~n
nhi~t trong v~t li~u CaDphan tu. Ga.n day, D.D. Ang et aL (1991) da.
nghien cUn bai toan bien tl,! do trong Cd h<;>cx3.m nha.p.
Lu~n an nay nhcim nghien cUn mot s6 bai toan bien W do trong
CcJh9c mOl truang lien tuc co nhieu thtg d~ng quail trong trong kj
thu~t:
1. Bai loan bien tu do trong cCfh<;>cxam nha,p,
2. Bai toan va ch~m cila thanh deo nhdt vao vat can dan hOi.
Trong qua trlnh nghien cUn, chung t6i cia.giai quyet mQt s6 van
d~ lien quail Mn:

- Xay dung mo hinh toan hoc,
- PhuCfng phap toan giciiquyet bili loan toan hoc,
- Phucrng phap tinh gAll dung
cUe:bai toaD bien tl,r do.
Mo hinh tO8.n hQc. Chung toi dung mo hlnh Bingham. hi~n ducre
coj Iii.mo hlnh mo ph6ng kha tot cae qua trinh va cham, xam nh~p
clla v~t r3-nbi~n d~g. Di~u ki~n tren bien tv do duqc xay d\!IIg dt,la
tren tinh eMt v~t If eua hi~n tuqng. Vi~e dua vao cae di~u kien nay
thuitng d~n d~n mqt 80 kh6 kh<ln ve mi,!-ttoan hge; e~ th~ Ia su hien
dieD cna cae dai Iuqng chua duqe xae dinh mootren bien tv do. Trong
tUng bili toan, chung toi vuqt qua khO khAn nay Mng each dua vao
cae ~n ham thiGh hqp.
Pbl1<1Dg phap tom b9C. Cho Mn nay, cac GOngC1,1toaD h~)Cduqe
cae nha toan h9C Ung d1,1ngsu d1,lngkill kha.o cUn cae bili toan bien W
do ra':tda d~f; vaphong phu; chAng h~n phuong phap lap bien c1ia von
Karman va Pohlhausen, phl1ong phap bi~n phan (thich hqp tho vi~c
giai 86 bAng may tinh di~n tu nha cac phuong phap rCri.r~e hoa nhu:
phuong phap sai bi~n phan, phuong phap phan tu hUn h~n, phuang
phap phan tu bien). Trong Iu~ an, chUng toi sU d1,1ng-phu<1Dgphap
ham Green, nguyen If anh x~ co d~ gicb cac biLitoan toaD h9C nh~
duqe. Ly dochlnh bi~n minh tho vi~c ap d1).ngphuang phap nay lit
vi~c thi~t l~p cae ham Green d6i voo cac phuong trlnh d~ ham rieng
thu9C Io~ parabolic, xdt hi~n trong cae biLitoaD duqc xet, tuong d6i
dan gicin. Han nua, phuang phap nay con tho p1ep um nghi~m khong
chi vi tri cua bien tt,l do theo thCri.gian ma ccitruang v~ toe, trudng
Ung 8uAt phan b6 bell trong v~t tM. BAng cach ap d1,1ngnguyen If'
et,lc d~ chUng toi chUng minh 8t,ltOn t~i nghi~m toan c~e eila cae biLi
toan duqe trlnh bay. Cae k~t qua lien quaD d~n nghi~m toaD cue cho
phep ta dl,I bao ve qua trinh, dang di~u c1ia chung, thCrigian xci}' ra
va eha:m dill hi~n tuqng. Day cling thuCtng IiLyell diu cila cae nganh

kS'thuat .
Phu<1Ilg phap tinh. Ta:t ca cae thu~t toaD trong Iuan an ducre xay
dvng dt,la tren nguyen If anh Xa co. 5u hQi tu cila cae thu~t toaD nay
BUYtrue tiep tu chUng minh su ton tai nghiem d!a phucrng cila biLi
toaL tucrng l1ng. Toe dQ h6i tu ciia chung, nhu each xay dung anh
xa co t uy thlloC viw khoang thOi glan trong do nghi~m eua bili toaD
eucre tinh xap xi.
=_uanan gom 4 chuang va phan ket lu~n:
C'hlwng 0: M,j ddu. Cic1i thieu bai toa.n bien tH do d6i tIWH'~
cung nhu plnwng phiLp nghien uru cua. luau a.n) va lbng quail tmh
hlnh nghien clm trong va ngoai mrcie ve loill bai toan nay
Chuang 1: PhuO'ng trinh tn,mg thdl CO'hyco Gll1leu each ngan gOft
d,c t{nh chat ((1 hoc cua vat th~ chiu bli:indang Qua. do. gial rhieu
mot ma hlnh cct hoc (Bingham) eho phep dinh ltwng cae dae tnrng
ca hoc, cling nhu dinh t{nh nhiing hieu Lhtgca hoc quail trong duae
quail tam trong cae biLitoan se duac de cap (r chuang 2, 3 eua luan
an. Noi dung cua chuang na.y se IiLcct sa phuang phap luau eno cae
bien giai ve sail.
Chuang 2: Eai tocin bien tf! do trong CO'hQc xdm nhtip. Trinh
ba.y mQt so ki:it qua ve su t6n tai va.cluy nMt nghi~m toa.n cue cua.
mot ba.itoan thuQc lanh vuc CC1hoc xam nMp. Cac ki:itqua dltCfcde
c~p Mn d day co th~ xem nhu tii:ip n6i bai baa:
Penetration mechanics: Predicting the location of a viscoplastic bound-
ary and its effect on the stresses, J. Solids and Structure 28115 (1991)
cua D.D. Ang et al. Trong phb cu6i cu.a chuang, chUng toi trinh bay
thu~t toan tinh gb dung va. xet mQt s6 vi d~ minD hQa dOng thai
cling ca:p bue tranh v~t If cua hi~n tU<;1IlgUng duen cae tic d~ng cua
nhiing h,re ngoai kh.ic nhau, K~t qua.thu duQ'c da duQ'ccong bo trong
(2, 3].
ChuC1ng 3: Va ch(Jm cua thanh dio nhcft ViIO v(it can dan hOi

tuye'n tanh. Nghien eUn mQt bai toan dali thuy~t va cham, ma rong
bai toan do Barentbla.tt va Ishlinskii long b6 n::l.m1963:
On the impact of a viscopiastic bar on a rigid obstacle, P.M.M., Vol.
26 , No. 3(1963), - - -
ven gia.thi~t v~t can la.dan hoi tuy~n tinh thay VIcUng tuy~t doi. Ven
each ti~p e~n cua chUng toi (v~t can la.dan h()i), bai teaR d~t ra t6ng
quat han bai toan duQ'c xet trong bai bao cu.a Fasano va.Primicerio:
Viscopiastic impact of a rod on a wall, Bollettino U.M.I. (4) 11, Suppl.
fasl. 3 (1975) 531-553. -
Trong do cac tae gia. da S11d1;lnggia. thi~t v~t can bi nen khi va cham
va dich chuy~n cUa no co dang mQt ham da bi~t thee thai gian phil
thuQc mQt tham so rho trucic. Su tOn t~ va cluy nhat nghiem dia
phuang duQ'c chUng minh. Them va.o do, mot danh gia:.loa.n cuc ':e
su tOn t~ va.duJ nhat nghiem cling dual thi~t lap. Cae kth qua du(1C
cong b6 trong [4, 5. 6J. Cuoi cling, dua tren cae he thuG bieu dien
'3
tich pha-n chung t6i dua, ra thuat toa.n giai gim dung bai toan toan
hoc. Mot VIdu s6 duqc xet M kiem dinh me hinh toan hoc va danh
gia thuat toan,
Pha-n Ktt lugn tOng ket cac ket qua dat duqc trong iua-nan va I
de xuat m9t s6 nhan xet co tinh phucrngpilip iua-ntrong vi~cdii,tva !
gia.iqu~et cae bai toan bien t1,tdo. \
4
C IIl(O'Ug 1
PHUONG TRlNH TRf~NG THAI CO HQC
Dl1c1i ide dl,lng cua J\!C ngoaj (hlC khc5i, Jut mat) '-"at ~n~
dang. :.Jg\1Ctita pha.n biet d.c qua trinh bien cla.ng
lJien
.Qua irlnh bien dang can bang va. thuq.n flgh~ch. L.:i Tftuyet. dan
h6i t.uy~n t{nh khao sat cae qua trinh dua tren gia ~hiet bien

dang 1,1,thuan nghich
.Qua trlnh bien d<?-ngla can biing (doc Lip vm thai glani ~immg
kh()ng thut;in ngh~'ch. Cac qua trlnh n,1,Yla.d6i ':l!<;Ingnghien .~tru.
cila ly thuyet bien d~ng deo, ly thuyei chay cleo.
.Ca.e qua trlnh bien dang (dan hoi, deo) kh6ng can oJng th~
hi~n (; t(nh nhdt eiia m6i tr11erng(do chuy~n d<)ngnhi~t ciia ca.e
nguyen tu trong v~t tM gay ra). Khi do ca.n phai pha nt{eh qua
trinh bi~n d~ng theo thili gian va dq,e bi~t Ia inh hu<mgc1iav~
toe bien d~g.
D6i vm cae bili toan trong do h,re ngoai tae d1,lngtrong khoang thai
gian ng.in (chAng h~ dao de)ng, va eh~) thuerng phai tiAh den de)
nhcrt. Cae bai toan duqe xet den trong lu~n an nay, ho~c do -cantnie
v~t Ii eila v~t tM hoq.c do dien ki~n tudng tic (va eh~m, xam nM.p),
chu yell lien quail d~n cae qua trinh bi~n d",ng khong can b~g cia.de
c~p den (; teen.
Trong-cO' h<;>emoi trnern-g lien tuc, d~ thi~t I~p roO-hlnh toan h9C
cho phep gia.i quy~t ca.e van de d~t fa, ngoai cae dinh Juat ea bin
nhu dinh Iu~t bao toan kMi Iuqng (phudng trlnh lien t1,tc), dinh Iy
bien thien de)ng Iuqng (phudng trlnh ehuy~n d9ng), dinh Ii bien thien
moment dQng luqng, din pha.i xay dt;mg phudng trinh trang thai me
ta quan h~ giua Ung suat va. bien d<;tng. Cae quan h~ nay duO'cde
xua:t va.ki~m chUng nha thue nghi~m. Mo hlnh ducrc Slt dung trong
cae bai toan trong luau an 1a.mo hlnh Bingham.
Quy lu~t Ung sua:t - bien dang Bingham co d~ng
de ,
I
CT = (Ts+ fJdt v0'1117 2: 17,;
khi Irrl< cr, moi twang kh6ng bi bien dang.
~:Jein x~t
EhJ lIng suat khOng doi va vucrt. qua. ung suat gicri han as th\

a- a,
Hong vat the, bitin dang tang theo thai gian ti le veri =:
Il
. 5<1do v~t li~u Bingham phan anh mot th\1c tt! 111,d6i vcri nhieu
vAt li~u su chay dang ke chi xdt bien vt1itcii tn,mg xac dinh,
dong thm t6c do cMy ph1,lthuQe vao dQ nh&t cua moi twang.
110 hlnh nay do Bingham de xu<1tna.m 1922 cho ta m6i quaIl hE;giua
ttng suat va biEindi;tngthich hqp de mo phong eae qua trlnh va ChID.
Ga.n day, roOhlnh nay con duqc dung d~ tinh toan cae qua trlnh xam
nha.p cna cae va.t tM bi~n dC;tllg.

- - -
(,
CIutl1ng 2
B;\1 TO/\N BI:E~ TT" DO TRaNG co HQC X \1\1'iHAP
Bai toaD cd hQc Vat th~ B veri chien f<;Jng:2H xam nhap VaGvat
the khac dl1&i tac d1,lng cua 1\!c ngoai g(t). Gia. ~n'!rang B la. v~t the
nhci't deo. Hong nen ducic, tuan thee quy Iu~t lIng 5uat - bien dang
cua Bingham:
'111*
r'(x",t") - '0 = ~-:-: (I".t"),
,."Jr"
! 1 i
trong do r" Ia. lIng snat. '0 Ia. l1ng snat gicrihan, tJ 111.he 50 nhal va
(~AIa.van toc thee huang y.
Khi Ung sucH ti~p vuat qua giro han da.n hoi, vat th~ B duqc
chiaothiLnh hai phan (mien chay deo va. mien cUng) ng3.n each bCti
:r" = 8"'(t )(bien tt,ldo).
. Dieu ki~n lIen bien t1,ldo c1ia biLi toan duqc thi~t l~p dl,la tIeR cac
gia. thi~t san:

(HI) TIen di~m phan each mien Cling va.mien cleonhc1t Ung sU.1t
ti~p d~t gia tri giai h~
(H2) Truang van toc va.truang ting su.1t lien t~c khi qua bien tt,l
do.
Bai tom tom hQC. BiLitoan bien bOn hqp cna biLitoin cet h<,>c
(d~ng khong thu nguyen): Cho truc1cTm= > 0, tim u(x, i), s(t) sao
cho

.~(t) lien t~c Lipschitz tIen (0, Tm=]j
. u va.::lien tl,1Cvai 0 ~ x ~ 8 (t), 0 ~ t ~ Tm=;
,J211 au
. -&;2va.at lient~c trong 0 ~ x ~ 8(t) khi0 < t < Tm=,
. u thoa phuangtrlnh dao ha.mrieng
au - 1 fpu f . 5
at - R 8x2 (I, t) + Rg(t)
(2)
trong 0 < x < 5(t), 0 < t ~ Tmax;
.Tren bien tV do set), u thoa. cae dieu kierl
au S 5
m(s(t), t) = Rg(t) - R(1-s(t))'
au
-(set), t) = 0,
ax
&u 5
ox2(s(t),t) = -I-s(t)'
(3)
vm 0< t::; Tmax;
. u va s thOa.cae di~uki~n bien va.dieuki~n da.usau:

seD) = b, 0 < b < 1,

u(:c,O) = tp(x),
- -
u(O,t) = jet),
(4)
vm d.c di~ukien tucrngthlch
'P(O) = /(0),
r,o'(b) = 0,
'P"(b) = -~
1-b'
(5)
trong dou la v~ toe, set) la di~m phan each giila mien cleonh&t va
mien tUng, R =pH2 /I-!Tla so Reynold (ti so giila h,lc qUail tinh va
11;tcnh&t), 5 =ToT/I-!la ti 86 giilal1;tc ngoai va 11;tenh&t.
Dua vao:in ham mm u(x,t) = :(x,t), u(x,t) thoa
au 1 &u , S ,
8t(x,t) = RO:r2(x,t)+R9(t),
-, S. 5
v(s(1), t) = R~ft) - H(I - s(t))
av , 'sfi)
,,(stiLt) = 5 -,'
aT I-s(t)
v(,r,O) = tjJ(x),
v(O,t) = f(t),
f(O) = 11'(0),
S S
1/,(b) = -g(O) '- ~-
R - R(1 - b)
(6)
(7)
(8)

(9)
(10)
(11 j
(12)
8
Ph11crng trinh tich phAn. Ky hieu k =R12 uung cae ham Green.
-T k i k"(x -02
)
~"\.(I,t;~,1") = exp!

-,),
2 )7r(t-1') \. it-1'
G(x,t;f;,1') := K(x,t;E"r)-K(x,t:-~,i),
.V(x,t;f;,r) := K(x,t;E;,1')+I((x,t:-f;,i),
(13)
vcii
0 < x < set), 0 < f; < s(t), 0 < T < t.
(14)
Sa.n mot so bi~n d6i xuat phat tu dong nhat thuc Green eila. he
(6)-(12), ta. thu dw;rc phucrng trinh ti'ch pha.n sail:
.)
rei) =~(l-s(t»B(r(t», (15)
trong do
B(1"(t»
= 1& r//(~)N(s(t), t;f;,O)d{
S (t r( 1")
- R Jo (1- s(1"»2N(.(t),t; SeT),r)d1"
S
l
t r(r) 8G

+
R
( ) a ($(t),t;s(r}~1")dT'
0'1-31" -,;-
I
t
[
u S
]
- 0 fer) - Rg(1")N(s(t),t;O,1")dT,
va set) duqc Lie dinh nllet
._. s(t)=b+fo~r(T)dr
trong do fIO(t)=v(s(t),t).
Giai (15) - (17) ta. thn duc;rcset); tit do ta.co th~ unh toan gia.tri
cua.trnetng v~ t6c va.trtldng Ungsnat.
511tOn t~ va duy nhat nghi~m tOM Cl,le-TiI cae bi~udi~n tich
pha.n.eua.nghi~m chung-tOi rut fa. ill<)ts6 kllAngdiu v~ti'nh chinh
qui c1ianghi~m va.cae d~ ham c1ia.no:
Dinh 1:' 2.2 Dttdi cae dieu ki~n cua Dinh (y 2.1 110cae dieu k~n
trctn:
f(t) thuqc (tip C3, get) thutje ldp L-tren (0,+CO), \I'(x) thuijc
, ()3u OZu .
{(1p C4 tren [0, b]; &tox2' &t2 hen tf!.C tren 0 ::; I ::; S(t), 0 < t ::; u
(16)
- . . {In
9
D~t
Tmax = sup{T> 0: (2.17)- (2.20) co nghi~mtIeD [0,T]
va.0 < s(t) < 1 vm m<;>it E [0,T]}. (18)
Tir Dinh Ii 2.1 va.D~n~Iy 2.2 ta co ngay

Bo & 2.1 Dttlii cae dieu ki~n cuo Dinh ly 2.1 (ho~e Dinh ly 2.£),
~t trong cae kef lu~n sou dung
(i) Tmax=+oo.
(ii) Tmax <+00 va Jim s(t) = 1, lim sup 18(t)1< +00.
t-+Tm"" t-+Tm""
(ill) 'Tmax<-+00 va Jim 5(t) = 0, Jim sup 18(t)1< +00.
- t"'tT ",,- . t-tTm;'",;
(iv) Tmax< +00 va lim sup 18(t)1= +00
t-+T""",
I
fPu
1
_-
(i.e. Jim sup lit&. {5(t},t} =+00).
t-+T",ox. 'r
Th,ta tIeD 811tOn t~ va. duyuhat nghi~m dia phu<1Ilg(duqc chi ra
trongbai Mo cua D.D. Ang et al.), ba.ng ca.ch ap d~ng nguyen If C\,IC
d~ cho phu<1Ilgtrinh parabolic chUng toi chUng minh duqc ca.c k~t
qua. sau:
Dinh If 2.3 Dttlii cae dieu ki~n cua Dinh ly £.2 va cae dieu ki~n
sou:
1. i'(t)-Jdl(t) ~ 0 v~i mQit? 0 va M =RsUPt~O Il(t)-ftg(t)1 <
+oc-
[
5 .
]
5
2, t~~oo Rg(t) - J(t) = g*< +00 (g*? R(1- b»'
3. !pfl/(x) ? 0 vdi mQi 0 =s;x =s;b,
To co

" Tmax = +00 (Tmaxnhu trong B6 d~ 2.1), s(t)? 0 ("It ~ 0),
- -'. - 0 : ; 1
q ::.y(x,t) ::.:;Mp ~ x) + FeOr;}:~bI<p"/(X)Ivcri m9i 0 :Sx :Ss(t), t ? 0-
" =
10
Hem nila lim s(t) =1 -
R
s ,
t-++oo g,.
Dinh If 2.4 Dtteli cae dieu "i~n erla [)~nh 1112.2 va cae dieu ki~n
sau:
1. let) - ig(t) ~ 0 velim9it 2:0 vaM < S/8R ironydo M nhtt
trong D~nh 1112.3.
is ,
]
5
2. tEfoo'LRg(t)- J(t) = g,.< R'
3. -! < Ipll/(x)~ 0 velim9i 0 ~ x ~ b.
ta co
- - T~ax -<-+oo(Tmax-n-hu-trong-B6~-2;1), ,
set) ~. 0 (Vt E [O;Tmax]),
- ~- M ~ v(x, t) ~ 0 vai m9i 0 ~ x ~ set), 0 ~ t < Tma.r'
Hun nila, Jim s(t)= O.
t-++00
Dinh ly2.5 Dtteli cae dieu "i~n erla D,'nh 1112.2 va cae dieu ki~n
sau:
1, let) - ig(t) ~ 0 velim{Jit 2:0,
2. U = maxO$r:91p1l/(x) < O.
Ta eoTmax~ R;;:Sbb) va hot)e lim set) =0 hot)elim sup 15(t)1=
. 1 - t)'Tmax - tj"Tmr.x

+00.
trong do y(x, t) = ~: (x, t) vm w(x, t) =:(x, t) - ~g(t),
K~t qua so,
ThuQ.t toan gicii xap xi s(t) du<;1cxa}' d1,Ingd1,1atIeD (15)-(17) nhll
sau:
Bitin t dll<;1Cphan hoach den bCticac di~m t" i = 0,1,2, , vm
khoang cach d,
.Bttdc '(lP thti nht{t,
cong thuc (17)
Cho tr11<1C r(to) ~~~!tv.H:fehr.",(~~:);;ra
I . ."
t T
H
II
\
iH' ,', - i
. I, /_-!
I
to ' ':
I
!
L
11
oJ
.Btfdc l<)pthrJ n+l. Gia. su biet cae giii tri cuo: r(t,),~(t,) ven
I = 0.1.2, n, (n > 2). Them va.o diem t",< vm gia. tri lap
ban dkll duae di<;ln Ia.
r(tn+1) = 2r(tn) - r(tn-LJ f19)
Dungphepco X.1£dinh Mi (15)-(16),trongd6 a 7epha.ir(t), s(t)
lay gia.t.r:ixap xi eRa bu6c l~p trucrc (hod.cgia :q l~p ban clan),

xac dinh r(t"'+1),roi s(tn+1) (nher(17))
Sf! hi?i tt,l, sat s6 Nh.Ungk~t qua. v?!s11Mi tll cua tJ,lli,LttoaD va.sai
s6 thll~t toem pAn thu9c cae aanh gia trong chUng :ninh s1,tton tai
nghi~m dia phudng cua phuong trlnh tich pha.n. Mi:Ltkhae, trong tinh
toan chUng toi da sir dT,Ulgn9i BUYLagrange d~ tinh gkn dung r(t) va.
s(t). Cae tich pha.n xdt hi~n trong (16), (17), baa gom cae tieh phan
co kY di (thu~ l~ (t - 1')-1/'l), d~n ton t~ TIl1i roe tieD phan s6
vdi sai s6 tin.h t.oa.ntut1ng Ung:
1
~2 1 1
F(.7:)dI:=h[-Fl + -F1] +O(h3P").
.£'1 2 2
(20)
Truirng hqp tich pha.aky di
($2 F(.7:)tb: =h1/'l[Fl+F'l] +O(h3/2P).
Jr:l (.7:2_z)1/2
(21)
d day h =3:2 -3:1 (tmng truang hqp cua. chung ta., 'vdi bi~n th€ri. gia.n
h =L1r, bi~n khO1lg-gi;urh=~&)-: , - -_d -
Ky hi~u T Ia.ci.uh~ co tic B".(O,M) vao chinn no xac dinh bdi-
v~ phai deL (16) viii M s6 co a (0 < a < 1); IIqU",9: sup q(t),
°99"
(q E C[O,in]); T Ia.taU tit .dp xi da. T. Tit co dinh If san:
Dinh Iy 2.6 Dtrtii aie dieu ki~n cua D;nh Iy 2.1, J.~ttde l~p thti
n ta eo cae daM gid lien quan de'n sa; si{ thfj~t loan va sa; sit t{nh
toan sau:
(i) IIF- rlln ~ tr'!vf. Do do thuq.t toan fa hql t~. Hun niia, ta co
111- sUn
~ anMu,
,

c.;
12
"., .'. ""-'. !
- , ," 1
(ii) IIT'70 - Tnroll" < (CjnL1{!/-' + C:d17l- IjL1xj)-
l
:
-Q
(iii) IIT"ro - rUn < o:n}vi+ (C1nL1t3/Z+ '-:"-'z(m- 1).::1x3)~
1 - 0
irony dor la nghi~m cMnh xcic;f(= Tr'ro) IiI nghi~m gan dung d
bttdc I(lp thtf n; ro la gici try igp ban dati; s(t),
s(t) dttqc :uic dinh
tti(17)vdiFl.,t), r(t) tttetngting;C1,CzlG ccichdngst{cMphtj thuQc
vao dil "i~n cho trtJdc cua bai loan va gici tri I(lp ban dttu; m Ia s6'
diem nut !.hong gian ph4n ho(,lch [0,bJ.
B~ qua' Co\d;nh tn, dieu kil]n oond,nh cua set do tinh xiip xi:
.::1tlj2 t1/Z
"
>
n
&2 - bZ
(22)
ThuM toau duQc ap d1,lugcho ba. VIdl,l 86. K~t qua phil hqp vai
cae daub gia If thuy~t, d~c bi~t phU hqp vai k~t qua ciia cae tic gici
trucrc day.
J C
Chuo'ng 3
Va Ch9ffi cua thanh deo nhdt v~w v<).tcan dan hili tuyifn tinh
Bai toan co' hQc. Thanh ehi~u diti L dv6i tae dung clia lHe ngoiti

ehuy~n dong doc true. va cham vito vat can d~1llh6i tuyen t{nh ti1-idau
thanh theo hucfng phap tuyen. Thanh du<1egii thiet thanh la. v~t th~
khong Hen du<1Cva.co th~ mo ta quail he giua Ung su<1tva bien di1-ng
nher qui lu~t Bingham:
au"
a"(x",t")+ao=J1.ax (x"t"), neula"l>ao,
(23)
trong do a* la. Ung suat phap, <70lit Ung su<1t tdi hi;tn, J1.la. M so nMt
va u* v~n toe theo huang x.
Bai toan toan hQc. D<,tng khong thu nguyen ciia bai toan bien hon
h<;1p:
au
-at(X, t)
du
dt(s(t),t) =
au
ox (s(t),t) = 0,
:(O,t) = 5{I+Q[~tu(O,r)dT+a)}.
Di~u ki~n da.u:
1 fPu
= R ax2 (x, t) khi 0 < x < set), 0 < t < T', (24)
5
R(I
- s(t»'
(25)
(26)
(27)
~- _.~-
u(x,O) = ~(x), 0< x < b,
s(0) = b, 0 < b< 1.

(28)
(29)
trong do u la. van tOe, s(t) la. di~m phan ~a.eh giiIa mi~n cleo Rhett va.
mi~n CUng,R va.5 nhu chu<1ng2.
Dih ki~ntu<1ngthich: ham <p(x)pha.ithuQelcfpC2 tIeR (O,b)va.thoa
~'(O) = 5(1 + Qa),
ip'(b) = 0,
5
<p"(b) = :-
1 - ~.
(30)
14
H
" (ftl
{: phl1ctng tnnh tlch ph:m. D~t u == &t' u thoa
au 1 fj2u .
at (x, t) == R ax2lx, t),
5
v(s(t), t) == R(I - s(t»'
au (s(t), t) == - Ss(t) ,
ax 1 - sri)
v(x,O) .== ~'P"(x) ~ t/J(x),
, au
[
t
]
ax (0,t) == SQ Jo ti(O,r)dr + !p(0) ,
S
.
R(I - b)'

SQ!P(O).
,pCb) =
t/J'(O) =
Cho k ==RI/2. Dinh nghia cac ham Green nhu san:
, k
[
P(X-O2
]
R x t. r == ex -
( , ,f, ) 2"hr(t - 1') P 4(t - r) ,
G(x,t;f,1') == K(x,t;L1')-K(x,t;-f,r),
N(x,t;(,1') == K(x,t;(,r) +K(x,t;-(,1'),
(31 )
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
(37)
(38)
vm0 < x < set), 0 < ( < 5(1'), 0 < l' < t. Ta nh~n dl1qc MphuC1ng
trlnh tlch phan che r (t) va VI(t)
r(t) ==
- 2(1 ~s(t)) [lb ~"(OG(s(t),t;(,O)df
1 t aN
-k2 Jo UI(r) ax (s(t),t;O,1')dr
5
1
t r(1') aN. .

R
) a (s(t), t;sir), T)dT
0 1 - s(1' X
S t r(r) . .
1
+ R Jo (1- s(r)pG(s(tJ,t;s(T),r)drj'
SQ [l fob t/J«()N(O,t';~,O)d<dt'
VI(t) ==
15
(39)
,) ,(
-
k
-r; I vd1')lf=Tdr
v'< Jo
s t (' 1 aN
-Rio Jo l=-s(1') 19f.(O,tl;S'(T),T)dTdtl+'P(OJ] (40)
trong do ta da. d.lt
uo(t) = u(s(t),t),
. au
vtit) = ax (s(t),i),
r(t) = Ht).
(41)
(42)
(43)
va set) duqc xa.c dinh b6i
set) = b+ It r(r)dr.
V~y, nghi~m c1ia.bai toan co tM tlm duqc bAng each giai M phuC1ng
trlnh tich pha.n (36)-(37), trong d6 set) duqe xae dinh b6i (41).
Troung v~n tOe va. l1ng snat pha.n bo trong tha.nh du<;1cxac dinh

khi aa. bi~t set).
511 tOn t~ va duy nhat nghi~m. Wi each d~t biLitoan nhu V9.Y
chUng toi chUng minhdl1c;tc hi k~t qua. sa.u:
Dinh Iy 3.1 Gid sd <p(x) thuqc llip C3tren (O,b) va thoa dieu ki~n
tt/dng thach. Thi tlin t~i mqt va chi mqt nghi~m (v(x,t), set)) ctla
h~ (28)-(34) vtfi ° $ t < 6, 6 au be. .
DiM Iy3.JJ)ttlii cae dieukj~n cua D~'nhly-3.L va cac-dieuuki~nu- .
(44)
sau
(i) 'P(0) < 0,
I
S I S
(ii) supo~x9 tj;(x) - R(1- b)I < 2R(1":-b)'
thi ton tq.i T*, E, C > 0 sao cho ne'u -E < <p(0)< 0, 0 < -a < E va
snPO<x<b 1tj;I(x)l < CTO-1 min{b/2, (1- b)/2} thi htf (28)-(34) CDmQt
nyhj~m- duy nh(ft (v(x,t), set») irony mien 0 < x < set), 0 ~ t ~ T+
thoa
0 < T* ~ To,
16
au
-;:-(0, t) - S
dx
au .
ox (0,T") - 5
. 2R(1- b) r .! Sa
]a day To= S l-tp(Oi + '111'(0)2 - R(l- b) .
K~t qua s6. Tuang W nhu trong chuang 2, thu~t toa.n xa:pxi duqc
thiEitl~p nhu .sau:
Bien t duqc phan ho~chden bm cae di~mnut il! i = 0,1,2, vc1i
Hoang each dEmd.

<
O. Vci, maIO::; t < T+.
=
o.
.BtJa/J(J.p thti nhcft. Cho truac r(to), r(il) va VI(to), Vl(tl) each
tuy y. Tinh S(tl) nha cOngthUc (41).
.BtJac It;ipthti n+l. Gii. sir da. biEitcae gia tri ciia r(td, vl(ii),
S(ti) vGi i =0,1,2, ,n, (n> 2). Them vaa di~m nut in+! vc1i
gia tri l~p ban da.u duqc eh(;mla
rein+!) = 2r(tn)- r(tn-l),
Vl(tn+l) = 2Vl(tn)- Vl(tn-l)'
(45)
(46)
Dung phep co xac dinh bm (36) va.(37), tinh dp xi r(tn+!),
vl(in+!), roi s(tn+!) (nher(41)).
Dinh ly 2.6 va.ndung vai sa do t{nh gall dung (; day. N6i khac di
thu~t toaD h(>itv va. On dinh vai sai s6 duqc danh gia theo Dinh ly
2.6.
Thu~t tOaD duac ap dung cho mot vi du s6.
17
K~t lu~n
Tom l<;ti,Juan an d<;ttdUC1Cmot s6 k~t qua mdi:
(1) ChUng minh duqc 51,!ton t<;tinghi~m toiw CI;J.Cclia. bai toa.n
bien tu do trong C(JhQcxam nM-po Cac ket qua nay cho phep mo ta
dang dieu cua ham s(t) khi t t~ng (51,1phat trieR cila mien deo nhat
theo thCrigian) 0 Han mIa, chi ra ch~n tren cila then diem het pha
(deo) dum cae truerng hap d~t tai khac nhau.
(2) Mo hinh hoa bai toan va ch~m cua. thanh cleO:nhdt vito vat
can dim hOi tuye'n tIn}). Gia thiet vat can dan h6i phil hap vm thuG
t,~ han gia thiet v~t can rein tuY$t d6i igia thiet cua Barenblatt va.

15hliskii). Han mia. khi dQ cUng c1ia.v~t can t~ng leu .(tien ra +00 j
thi bili toan a day trer thanh bai toan vm dieu ki~n vat d.n dng tuY$t
doi.
(3) ChUng minh duqc St,ltOn t~ va duy nha:t nghi~m (dia. phuang,
toan C"l;J.c)cua bili toem va. ch~ ctia. thanh deo nhdt va.o:v~t can dan
hoi.
(4) Thiet l~p dl1qc cae thn~t toan cho nghi~m gitn dung c1ia.hai
bai toem cia:nen. ChUng minh St,lhQi t"I;J.,tinh On dinh cua. sa dOtinh
ga.n dung. Chi fa. sai so cua. thu~t teaR ding nhl1 sai so xa:p xi.
18
CAC CONG TRINH DA CONG BO
(co lien qllan den Juan an)
[1 J Trinh Anh NgQc, D~g Duc TrQng, BiJi tocin bien
it! do
cua dqng It!c h<}cdiJnnhdt - dio nhdt, Ky yeu H<>inghj Khoa
h<.>cDHTH Tp HCM (1995) 395-404.
[2 ] D~g Duc TrQng, Trinh Anh NgQc, ve nghi~m toan c~c
cua bGi toan bien tt! do trong ca h<}c.xam nh~p, Proceedings
of the Ho Chi Minh City Consortium, First Conference, Vol. 1
(1993) \41-146.
[3 ] D.D. .ADg, E.S. Folias, T.A. Ngoc, D.D. Trong, Global
solutions _ofa free baundary problem in penetration mechanics,
Proceedings ~f the International Conference on Engineering Me-
chanics Today, Vol. 2 (1995) 409-415.
[4 ] D.D. Ang, T.A. Ngoc, D.D. Trong, Impact of a viscoplastic
rod against an elastic obstacle, Tuy~n t~p Gong tri.nh Khoa h<.>c
H<>inghi Cct hoc v~t ran bien dang toan qu6c l~n IV, Ha nbi,
1995.
[5 ] Trinh Anh Ngoc, Dang Duc Trong, Impact of a viscoplastic
rod against an elastic obstacle,ACTA MATHEMATIGA VIET-

NAMICA, Vol. 20, No.2 (1995) 207-218.
[6 J T.A. Ngoc, D.D. Trong, D.D. Ang, Impact of a viscoptastic
rod against an elastic obstacle,Tuy~nt~p Hoi nghi Cu Hoc Ung
D1).ngIan thU V, Tp HCM, 1995.
19