BÀI TẬP VỀ LƯỢNG GIÁC ĐẦY ĐỦ

Bài tập lượng giác Gv: Bùi Quý Mười
BÀI TẬP VỀ CÁC HỆ THỨC CƠ BẢN
1.1. Tính các giá trị lượng giác của cung
α
biết:
a)
5
os ,(0 )
13 2
c
π
α α
= < <
b)
1 3
sin ,( )
4 2
π
α π α
= − < <
c)
14 3
ot ,( 2 )
9 2
c
π
α α π
= − < <
d)
7
tan ,(0 )

3 2
π
α α
= < <
1.2. Cho
cot15 2 3
o
= +
. Tính
sin15 , os15 , tan15 .
o o o
c
1.3. Biết
3
sin ,( )
4 2
π
α α π
= < <
. Tính giá trị của các biểu thức sau:
2 tan 3cot
os tan
A
c
α α
α α
−
=
+
2 2

os cot
tan cot
c
B
α α
α α
+
=
−
1.4. Cho
3
tan
5
α
=
. Tính giá trị của các biểu thức sau:
sin os
sin os
c
A
c
α α
α α
+
=
−
2 2
sin . os
sin os
c

B
c
α α
α α
=
−
1.5. Cho
sin osc m
α α
+ =
. Tính giá trị của các biểu thức sau:
sin . osA c
α α
=
sin osB c
α α
= −
4 4
sin osC c
α α
= −
2 2
tan cotD
α α
= +
1.6. Cho
1
sin
3
α

=
. Tính
tan cot
tan cot
A
α α
α α
+
=
−
1.7. Cho
tan 2
α
= −
. Tính
2sin 3cos
3sin 2cos
B
α α
α α
+
=
−
1.8. Cho
cot 3.
α
= −
Tính
2 2
2

sin 3sin os 2cos
1 4sin
c
C
α α α α
α
+ −
=
+
1.9. Cho
3
tan 8cot 2, < <
2
π
α α π α
− =
. Tính giá trị các biểu thức:
sin osA c
α α
= +
2sin tan
os cot
B
c
α α
α α
−
=
+
1.10. Chứng minh các đẳng thức sau:

1.
4 4 2 2
sin os 1 2sin cos .x c x x x+ = −
2.
4 4 2
sin os 1 2cos .x c x x− = −
3.
6 6 2 2
sin os 1 3sin cos .x c x x x+ = −
4.
2 2 2 2
tan sin tan sin .
α α α α
− =
5.
2 2 2 2
cot os cot os .c c
α α α α
− =
6.
2
2 2
2 2
1 2cos
tan cot
sin osc
α
α α
α α
−

= −
−
7.
2
2
2
1 sin
1 2 tan
1 sin
α
α
α
+
= +
−
8.
cos 1
tan
1 sin cos
x
x
x x
+ =
+
9.
sin 1 cos 2
1 os sin sin
x x
c x x x
+

+ =
+
10.
sin cos 1 cos
sin cos 1 1 sin
x x x
x x x
+ −
=
+ + +
11.
1 cos 1 cos 4cot
1 cos 1 cos sin
x x x
x x x
+ −
− =
− +
12.
2 2
sin os
1 sin cos
1 cot 1 tan
x c x
x x
x x
− − =
+ +
13.
2

1
(1 cos )(1 cot )
1 cos
x x
x
− + =
+
14.
2 2 2 2
2 2 2 2
tan tan sin sin
tan tan sin cos
x y x y
x y x x
− −
=
15.
sin cos 1 2cos
1 cos sin cos 1
x x x
x x x
+ −
=
− − +
16.
2
2
1 sin 1 sin
4 tan
1 sin 1 sin

x x
x
x x
 
+ −
− =
 ÷
 ÷
− +
 
Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng Tài liệu ôn thi ĐH-CĐ
-Trang 1-
Bài tập lượng giác Gv: Bùi Quý Mười
17.
3 3
sin os
1 sin cos
sin cos
x c x
x x
x x
+
= −
+
18.
2 2
sin os tan 1
1 2sin cos tan 1
x c x x
x x x

− −
=
+ +
19.
2
2
sin sin cos
sin cos
sin cos tan 1
x x x
x x
x x x
+
− = +
− −
20.
2 2 4
2 2 2 2
tan 1 cot 1 tan
1 tan cot tan cot
x x x
x x x x
+ +
=
+ +
21.
1 sin cos
cos 1 sin
x x
x x

−
=
+
22.
2
2
tan cot 1
1
1 tan cot
α α
α α
−
× =
−
23.
2
2 2 2
1 tan 1
1 tan os sin
x
x c x x
+
=
− −
24.
2 2
1 2sin cos tan 1
sin os tan 1
x x x
x c x x

+ +
=
− −
25.
2 2 4
4
2 2 4
sin os os
tan
os sin sin
x c x c x
x
c x x x
− +
=
− +
26.
2 2
6
2 2
sin tan
tan
os cot
x x
x
c x x
−
=
−
27.

2
2
sin sin cos
sin cos
sin cos 1 tan
x x x
x x
x x x
+
+ = +
− −
28.
4 4 6 6 2 2
sin os sin os sin cosx c x x c x x x+ − − =
29.
2 2
sin tan os cot 2sin cos tan cotx x c x x x x x x+ + = +
30.
1 sin cos tan (1 cos )(1 tan )x x x x x+ + + = + +
31.
cos sin
(sin cos )(tan cot 1)
tan cot
x x
x x x x
x x
+ = + + −
32.
2 3
3

sin cos
1 tan tan tan
os
x x
x x x
c x
+
+ + + =
33.
2 2 2 2 2 2
2sin os (tan cot ) (tan cot ) 1 tanx c x x x x x x− + + − + =
34.
3 3
sin (1 cot ) cos (1 tan ) sin cosx x x x x x+ + + = +
35.
1 1
(1 tan )(1 tan ) 2tan
cos cos
x x x
x x
+ + + − =
36.
2 2
(1 2sin cos )(tan 1) (sin os )(tan 1)x x x x c x x+ − = − +
37.
4 4
cos (sin cos )(1 tan ) os sinx x x x c x x+ − = −
1.11. Rút gọn các biểu thức sau đây:
2 2
(tan cot ) (tan cot )A x x x x= + − −

2 2 2
(1 sin )cot 1 cotB x x x= − + −
1 sin 1 sin
1 sin 1 sin
x x
C
x x
+ −
= +
− +
cos
1 sin
x
D = tanx+
x+
2
cos tan
cot cos
sin
x x
E x x
x
= −
2 2
1
, 2 .
sin cot os
F x
x x c x
π π

= < <
− −
3 3
(1 cot )sin (1 tan )cosG x x x x= + + +
2 2
2
sin 2cos 1
cot
x x
H
x
+ −
=
2 2
2 2
sin tan
os cot
x x
I
c x x
−
=
−
2
(sin cos ) 1
cot sin cos
x x
J
x x x
+ −

=
−
1.12. Chứng minh các biểu thức sau độc lập với x.
4 2 4 2
os (2cos 3) sin (2sin 3)A c x x x x= − + −
4 2 2 2
os sin cos sinB c x x x x= + +
4 4 2 2 2
2cos sin sin cos 3sinC x x x x x= − + +
4 2 4 2
os (3 2cos ) sin (3 2sin )D c x x x x= − + −
4 4 2 2 2 8 8
2(sin os sin cos ) (sin os )E x c x x x x c x= + + − +
8 8 6 6 4
3(sin os ) 4( os 2sin ) 6cos .F x c x c x x x= − + − +
4 2 4 2
sin 4cos os 4sinG x x c x x= + + +
6 6
4 4
sin os 1
sin os 1
x c x
H
x c x
+ −
=
+ −
4 4
6 6 2
sin 3cos 1

sin os 3cos 1
x x
I
x c x x
+ −
=
+ + −
2 2
2
cot os sin cos
cot cot
x c x x x
J
x x
−
= +
2 2
2 2 2
(1 tan ) 1
4 tan 4sin cos
x
K
x x x
−
= −
2 cot 1
tan 1 cot 1
x
L
x x

+
= +
− −
2 2
sin (1 cot ) os (1 tan )M x x c x x= + + −
2 2 2 2 2
sin tan 2sin tan osN x x x x c x= + − +
Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng Tài liệu ôn thi ĐH-CĐ
-Trang 2-
Bài tập lượng giác Gv: Bùi Quý Mười
2 2 2 2
2 2
tan os cot sin
sin os
x c x x x
O
x c x
− −
= +
2
1 cos 1 cos
sin (1 )(1 )
1 cos 1 cos
x x
P x
x x
− +
= + +
+ −
(1 sin cos )(1 sin cos )

sin (sin 1)
x x x x
Q
x x
− − − +
=
−
2 2
2 2
2
4sin cos 1
os (tan cotx)
1 os
x x
R c x x
c x
−
= − +
−
BÀI TẬP VỀ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CÁC CUNG LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
1.13. Tính giá trị lượng giác của các cung sau đây:
a)
150 , 240 , 315 , 3180 , -300 , -1380
o o o o o o
b)
29 16 1988 115 159
11 , , - , , - , -
6 3 3 6 4
π π π π π
π

1.14. Cho
12
sin
13
α
= −
với
3
2
2
π
α π
 
< <
 ÷
 
. Tính GTLG sau đây:
a)
osc
α
b)
sin( )
2
π
α
−
c)
os( )c
π α
−

d)
tan( )
2
π
α
−
e)
cot( )
π α
+
f)
5
os( )
2
c
π
α
+
1.15. Cho
3
tan( ) 1 2, ( 2 )
2
x x
π
π π
+ = − < <
a) Tính
tan , cotx, sinx, cosx x
b) Tính
5 7

cot( ), tan( ), sin(x-3 ), cos( )
2 2 2
x x x
π π π
π
+ − +
1.16. Tính giá trị của các biểu thức sau:
os0 os20 os40 os160
o o o o
A c c c c= + + + +
0 0
os105 os75 sin105 sin 75
o o
B c c= −
0
tan10 tan 20 tan30 tan 70 tan80
o o o o
C =
os20 os40 os60 os160
o o o o
D c c c c= + + + +
tan1 tan 2 tan3 tan88 tan89
o o o o o
E =
2 2 2 2 0
sin 10 sin 20 sin 30 sin 180
o o o
F = + + + +
1.17. Tính giá trị của các biểu thức sau:
sin825 os( 15 ) os75 sin( 195 ) tan155 tan 245

o o o o o o
A c c= − + − +
0
sin190 4sin( 530 ) os280 tan170 . os( 10 )
o o o o
B c c= − − + + −
cot585 2cos1440 2sin1125
o o o
C = − +
sin( 234 ) os216
tan36
sin144 os126
o o
o
o o
c
D
c
− −
= ×
−
(cot 44 tan 226 ) os406
tan18 tan 72
os316
o o o
o o
o
c
E
c

+
= ×
1.18. Đơn giản các biêu thức sau đây:
9 5
sin(13 ) os( ) cot(12 ) tan( )
2 2
A c
π π
π α α π α α
= + − − + − + −
7 3 3
os(15 ) sin( ) tan( ).cot( )
2 2 2
B c
π π π
π α α α α
= − + − − + −
19
tan( ). os(36 ).sin( 5 )
2
9
sin( ). os( 99 )
2
x c x x
C
x c x
π
π π
π
π

− − −
=
− −
1 2sin 2550 . os( 188 )
tan368 2cos638 os98
o o
o o o
c
D
c
−
= +
+
sin( ) sin(2 ) sin(3 ) sin(100 )E x x x x
π π π π
= + + + + + + + +
3
sin( ) os( ) cot(2 ) tan( )
2 2
F x c x x x
π π
π π
= + − − + − + −
Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng Tài liệu ôn thi ĐH-CĐ
-Trang 3-
Bài tập lượng giác Gv: Bùi Quý Mười
3 3
os( ) sin( ) tan( )cot( )
2 2 2
G c x x x x

π π π
π
= − + − − + −
3
sin( ) os( ) cot(2 ) tan( )
2 2
K x c x x x
π π
π π
= + + − + − + −
1.19. Chứng minh rằng:
a)
2
2
2
2
3
os ( )
os ( )
2
1
3
tan ( 2 )
tan ( )
2
c
c
π
α
α

π
α π
α
−
−
+ =
−
−
b)
sin( ) tan( ) os(2 )
sin
3
cot( )
cot( ) os( )
2 2
c
c
π α α π π α
α
π π
π α
α α
+ − −
× × =
+
− −
1.20. Cho A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
a)
sin( ) sinA B C+ =
b)

cos os( ) 0A c B C+ + =
c)
cos os( 2 ) 0C c A B C+ + + =
d)
sin os
2 2
A B C
c
+
=
e)
3
sin os 0
2
A B C
A c
+ +
+ =
f)
3
sin cos
2
A B C
C
+ +
=
g)
os( ) os2c A B C c C+ − = −
h)
2 3

tan cot
2 2
A B C C+ −
=
i)
os( ) os(2 ) 0c A B c B C− + + =
j)
sin os( )
2 2
B C A
c C
−
= +
BÀI TẬP VỀ CÔNG THỨC CỘNG
1.21. Tính giá trị lượng giác của các cung sau đây:
a)
0 0 0
15 , 75 , 105 , 165 , 285 , 3045
o o o
b)
7 13 19 103 299
, , , ,
12 12 12 12 12
π π π π π
1.22. Cho
12 3
sin , ( 2 )
13 2
π
α α π

= − < <
. Tính
os( )
3
c
π
α
−
1.23. Cho
40 3
sin , ( )
41 2
π
α π α
= − < <
. Tính
tan( )
4
π
α
−
1.24. Cho
4 8
sin , (0 ), sinb= , ( )
5 2 17 2
a a b
π π
π
= < < < <
. Tính :

os( ), sin(a-b), tan(a+b)c a b+
1.25. Cho
3 12
os , ( ), sin = , ( )
5 2 13 2
c
π π
α α π β β π
= − < < < <
. Tính
os( ), sin( ), tan( )c
α β α β α β
+ − +
1.26. Tính
tan( )
α β
+
, từ đó suy ra
α β
+
, biết
,
α β
là hai góc nhọn và:
a)
1 1
tan , tan
2 3
α β
= =

b)
1 3
tan , tan
7 4
α β
= =
1.27. Cho hai góc nhọn x và y thỏa mãn:
4
tan .tan 3 2 2
x y
x y
π

+ =



= −

Tính:
tan( ), tanx+tanyx y+
. Từ đó tính
tan , tanx y
và suy ra x và y.
1.28. Tính
os( )
3
c
π
α

−
biết
12 3
sin à
13 4 2
v
π α
α π
= − < <
.
1.29. Cho
1 1
cos , cos . ính A=cos( ). os( )
3 4
a b T a b c a b= = + −
Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng Tài liệu ôn thi ĐH-CĐ
-Trang 4-
Bài tập lượng giác Gv: Bùi Quý Mười
1.30. Cho a, b là hai góc nhọn với
8 5
sin , tan .
17 12
a b= =
Tính
sin( ), cos( ), tan(a-b)a b a b− +
.
1.31. Cho
.
3
a b

π
− =
Tính giá trị các biểu thức sau:
2 2
(cos cos ) (sin sin )A a b a b= + + +
2 2
(cos sin ) (cos sin )B a b b a= + + −
1.32. Tính giá trị các biêu thức sau đây:
sin 20 os10 sin10 os20
o o o o
A c c= +
tan 25 tan 20
1 tan 25 tan 20
o o
o o
B
+
=
−
1 tan15
1 tan15
o
o
C
−
=
+
0
sin15 3 cos15
o

D = −
0
tan 225 cot81 .cot 69
cot 261 tan 201
o o
o o
E
−
=
+
0
3
sin15 cos15
3
o
F = +
1.33. Rút gon các biểu thức sau:
os( ) sin .sin
os( ) sin .sin
c a b a b
A
c a b a b
+ +
=
− −
sin( ) sin( )
sin( ) sin( )
a b a b
B
a b a b

+ + −
=
+ − −
sin( ) 2cos .sin
2cos .cos os( )
a b a b
C
a b c a b
− +
=
− −
sin(45 ) os(45 )
sin(45 ) os(45 )
o o
o o
x c x
D
x c x
+ − +
=
+ + +
2sin( )
tan
os( ) os( )
a b
E b
c a b c a b
+
= −
+ + −

2
os( ) os( ) sinF c x y c x y x= + − +
sin( ) sin( )sin( )
2
G a b a b
π
= + + − −
2
1
os( ) os( ) sin
4 4 2
H c c
π π
α α α
= + − +
os( )sin( ) sin( )
2 2
I c a b a b
π π
= − − − −
sin( ) os( ) sin( ) os( )
3 4 4 3
K x c x x c x
π π π π
= − − + − −
sin 4 .cot 2 os4L x x c x
= −
2
tan tan( ) tan( )
3 3

M x x x
π π
= + + + +
3
os( ) os( ) os( ) os( )
3 4 6 6
N c x c x c x c x
π π π π
= − + + + +
2 2
tan .tan( ) tan( ) tan( ) tan( ) tan
3 3 3 3
O x x x x x x
π π π π
= + + + + + +
1.34. Chứng minh các đẳng thức sau:
1.
2 2 2 2
os( ). os( ) os sin os sinc a b c a b c a b c b a+ − = − = −
2.
sin( ). os( ) sin cos sin cosa b c a b a a b b+ − = +
3.
2 2 2 2
sin( ).sin ( ) sin sin os osa b a b a b c b c a+ − = − = −
4.
sin( ) sin( ) 2 sin
4 4
a a a
π π
+ − − =

5.
os( ) cot .cot 1
os( ) cot .cot 1
c a b a b
c a b a b
− +
=
+ −
6.
1
cos . os( ). os( ) os3
3 3 4
x c x c x c x
π π
− + =
7.
3sin15 3tan 30 . os15 6
o o o
c+ =
8.
sin 5 cos3 sin3 cos5
sin
2cos
a a a a
a
a
−
=
9.
2 2

2 2
tan 2 tan
t ana.tan 3
1 tan 2 .tan
a a
a
a a
−
=
−
10.
2 cos 2cos( )
4
t ana
2sin( ) 2 sin
4
a a
a a
π
π
− +
=
+ −
11.
2 2
2 2
2 2
sin ( ) sin ( )
tan tan
2cos osc

α β α β
α β
α β
+ + −
= +
12.
2 2
2 2
2 2
os ( ) os ( )
1 cot cot
2sin .sin
c c
α β α β
α β
α β
+ + −
= +
Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng Tài liệu ôn thi ĐH-CĐ
-Trang 5-
Bài tập lượng giác Gv: Bùi Quý Mười
13.
sin( ) sin( ) sin( )
0
sin .sin sin .sin sin .sin
a b b c c a
a b b c c a
− − −
+ + =
14.

1 t ana.tan os( )
1 t ana.tan os( )
b c a b
b c a b
+ −
=
− +
15.
2sin( )
t ana tan
os( ) os( )
a b
b
c a b c a b
+
+ =
+ + −
16.
2 2
2 2
sin( ).sin( )
tan tan
os . os
a b a b
a b
c a c b
+ −
− =
17.
2 2

2 2
os(a+b).cos( )
1 tan .tan
os . os
c a b
a b
c a c b
−
= −
18.
2 2
2 2
sin( ).sin( )
os .sin
1 tan .cot
a b a b
c a b
a b
− +
= −
−
19.
2 2
2 2
tan tan
tan( ).tan( )
1 tan .tan
x y
x y x y
x y

−
= + −
−
20.
2
3
os sin( ).sin( )
6 6 4
c x x x
π π
− + − =
21.
tan tan tan tan
2 tan .tan
tan( ) tan( )
x y x y
x y
x y x y
+ −
− = −
+ −
22.
tan( ) t ana tan tan a tan tan( )a b b b a b+ − − = +
23.
sin cos 2 sin( )
4
a a a
π
± = ±
24.

os sin 2 os( )
4
c a a c a
π
± = m
25.
cos .sin( ) cos .sin( ) cos .sin( ) 0a b c b c a c a b− + − + − =
26.
t ana tan t ana tan
2 tan .tan
tan( ) tan( )
b b
a b
a b a b
+ −
− = −
+ −
27.
tan( ) tan os( ) 1 t ana.tanb
tan( ) tan os( ) 1 t ana.tan
a b b c a b
a b b c a b b
− + + −
= =
+ − − +
28.
sin( )
t ana tan tan t ana.tan .tan
cos .cos .cos
a b c

b c b c
a b c
+ +
+ + − =
29.
t ana tan tan tana.tan .tan
tan( )
1 t ana.tan tan .tan tan .t ana
b c b c
a b c
b b c c
+ + −
+ + =
− − −
1.35. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x.
2 2 2
os os ( ) os ( )
3 3
A c x c x c x
π π
= + + + −
2 2 2
2 2
sin sin ( ) sin ( )
3 3
B x x x
π π
= + + + −
2 2
tan tan( ) tan( )tan( ) tan( ) tan

3 3 3 3
C x x x x x x
π π π π
= + + + + + +
2
sin os( ) os( )
3 3
D x c x c x
π π
= + − +
1.36. Cho A, B, C là ba đỉnh cảu một tam giác. Chứng minh rằng:
1.
sin sin . os sin .cosA B c C C B= +
2.
os sin .sin os .cosc A B C c C B= −
3.
sin os os sin sin
2 2 2 2 2
A B C B C
c c= −
4.
os sin os os sin
2 2 2 2 2
A B C B C
c c c= −
5.
t anA tan tan t anA.tan .tan ( , , )
2
B C B C A B C
π

+ + = ≠
6.
tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
+ + =
7.
cot cot cot cot cot cot
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
+ + =
8.
cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A+ + =
BÀI TẬP VỀ CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI VÀ HẠ BẬC
1.37. Tính giá trị lượng giác của cung
2
α
biết:
a)
5 3
os =- ,
13 2
c
π
α π α
 
< <
 ÷
 
b)

tan 2
α
=
1.38. Tính
sin 2
α
biết:
a)
4
sin ,
5 2
π
α α π
 
= < <
 ÷
 
b)
1
os . 0
3 2
c
π
α α
 
= < <
 ÷
 
c)
1

tan
15
α
=
d)
1 3
sin os ,
2 4
c
π
α α α π
 
+ = < <
 ÷
 
Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng Tài liệu ôn thi ĐH-CĐ
-Trang 6-
Bài tập lượng giác Gv: Bùi Quý Mười
1.39. Cho
5
sin 2 ,
9 2
π
α α π
= − < <
. Tính
sin , và cos
α α
1.40. Cho
tan m

α
=
. Tính
tan
2
α
theo m từ đó suy ra
'
tan112 30
o
1.41. Cho
tan 3 và . Tính tan và tan2
2 2
π α
α α π α
= − < <
1.42. Cho
tan 2
2
α
=
. Tính giá trị của biểu thức
2 os
4 5sin
c
A
α
α
+
=

−
1.43. Cho
1
sin ,0
4 2
π
α α
= < <
. Tính
sin 2 , tan4
α α
.
1.44. Tính giá trị lượng giác của cung
8
π
.
1.45.
ính cos2 ,T
α
biết
1
sin os
2 2 2
c
α α
+ = −
1.46. Tính
2
2
1 sin

theo cos2
os
x
B x
c x
+
=
1.47. Biết
2
tan
15
α
=
. Tính
t an -sin
tan sin
A
α α
α α
=
+
1.48. Biết
3
tan .
4
α
=
Tính
sin , os , tan
2 2 2

c
α α α
1.49. Chứng minh rằng:
1
sin .cos . os2 . os4 sin8
8
x x c x c x x=
1.50. Tính giá trị các biểu thức sau:
sin15 . os15 . os30
o o o
A c c=
os10 . os20 . os40 . os80
o o o o
B c c c c=
sin10 .sin 50 .sin 70
o o o
C =
sin 6 .sin 42 .sin 66 .sin78
o o o o
D =
os20 . os40 . os60 . os80
o o o o
E c c c c=
16.sin10 .sin30 .sin50 .sin 70 .sin 90
o o o o o
F =
sin os os
8 4 8
G c c
π π π

=
4 5
os os os
7 7 7
H c c c
π π π
=
2 4
os os os
7 7 7
I c c c
π π π
=
5 7
os os os
9 9 9
J c c c
π π π
=
2 4 8
os os os os
15 15 15 15
K c c c c
π π π π
=
2 4 8 16 32
os os os os os os
65 65 65 65 65 65
L c c c c c c
π π π π π π

=
1.51. Rút gọn các biểu thức sau:
sin .cos . os2A a a c a
=
4 4
os sinB c a a= −
2
2
2cos 1
2tan( ).sin ( )
4 4
a
C
a a
π π
−
=
− +
sin 2 os2
sin cos
a c a
D
a a
= −
4 2 2 4
os 6cos .sin sinE c a a a a= − +
os2
sin cos
c a
F

a a
=
−
sin 3 . os5 sin5 . os3
cos
a c a a c a
G
a
−
=
2 2
1 cos
tan os
1 cos 2
a a
H c a
a
+
= × −
−
2
cot 2
sin 4
I a
a
= −
2 2
2 2
sin 2 4sin
sin 2 4 4

a a
J
a sin a
−
=
+ −
Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng Tài liệu ôn thi ĐH-CĐ
-Trang 7-
Bài tập lượng giác Gv: Bùi Quý Mười
cot t ana
cot tana
a
K
a
+
=
−
sin(60 )
4sin(25 ).sin(75 )
2 2
o
o o
a
L
a a
+
=
+ −
2
(sin cos )

1 sin 2
a a
M
a
+
=
+
1 1 1 1 1 cos
,0
2 2 2 2 2
a
N a
π
+
= + + ≤ ≤
1.52. Chứng minh các đẳng thức sau:
1.
2
cot t ana
sin 2
a
a
+ =
2.
cot tana 2cot 2a a
− =
3.
cot tana 2tan 2 4 tan 4 8cot8a a a a
− − − =
4.

sin 2
t ana
1 os2
a
c a
=
+
5.
os2 1 t ana
1 sin 2 1 t ana
c a
a
−
=
+ +
6.
2
1 cos
cot
1 cos 2
a a
a
+
=
−
7.
1 sin
cot( )
cos 4 2
a a

a
π
+
= −
8.
1
t ana tan( )
cos 2 4
a
a
π
+ = +
9.
1
cos cot
sin 2
a
a
a
+ =
10.
3 3
sin 4
os .sin sin .cos
4
a
c a a a a− =
11.
4 4
os sin cos 2c a a a− =

12.
2 2
os ( ) os ( ) sin 2 .sin 2c a b c a b a b− − + =
13.
2 2
os ( ) sin ( ) os2 . os2c a b a b c a c b− − + =
14.
2 2 2
(sin sin ) (cos cos ) 4sin
2
a b
a b a b
−
− + − =
15.
3 3
sin os 1
1 sin 2
sin cos 2
x c x
x
x x
+
= −
+
16.
2
1 os
t ana
os2 1 2sin 2

c a
c a a
+ =
−
17.
sin cos cos sin
2 tan 2
cos sin cos sin
a a a a
a
a a a a
+ −
− =
− +
18.
2
1 1 sin 2
(1 t ana )(1 t ana )
cos cos os
a
a a c a
+ + + − =
19.
2
sin 2 2sin
tan
sin 2 2sin 2
a a a
a a
−

= −
+
20.
2
1 sin 2sin ( )
2 4
a
a
π
− = −
21.
4 2
os4 8cos 8cos 1c a a a= − +
22.
cot tana 2tan 2 4tan 4 8cot 4a a a a
− − − =
23.
1
sin .sin( ).sin( ) sin3
3 3 3
a a a a
π π
− + =
24.
1
os . os( ). os( ) os3
3 3 3
c a c a c a c a
π π
− + =

25.
tan .tan( ).tan( ) tan3
3 3
a a a a
π π
− + =
26.
4 4
1 3
sin os os4
4 4
a c a c a+ = +
27.
6 6
3 5
sin os os4
8 8
a c a c a+ = +
28.
4
1 3
4cos 2cos2 os4
2 2
x x c x− − =
29.
2 2
6 2cos 4
cot tan
1 os4
x

x x
c x
+
= +
−
30.
2 2
2 2
sin 3 os 3
8cos2
sin os
x c x
x
x c x
− =
31.
2 2 2
3
os os ( ) os ( )
3 3 2
c c c
π π
α α α
+ + + − =
32.
1
tan (1 ) t ana
2 cos
a
a

+ =
33.
2 2
2 2
os sin 1
(1 os4 )
cot tan 8
c x x
c x
x x
−
= −
−
34.
1 sin 2
sin cos
sin cos
x
x x
x x
+
= +
+
35.
6 6
sin os 1 3
(1 os4 )
8
tan( ).tan( )
4 4

x c x
c x
x x
π π
+ −
= − −
− +
36.
2
2
1 sin 4 1 tan
sin 2
sin 2 os2 1 tan
x x
x
x c x x
+ −
− =
+ +
1.53. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x.
Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng Tài liệu ôn thi ĐH-CĐ
-Trang 8-
Bài tập lượng giác Gv: Bùi Quý Mười
2
sin8 2cos (45 4 )
o
A x x= + +
3 3
os os3 sin sin 3
cos sin

c x c x x x
B
x x
− +
= +
1 1
sin , 0< )
1 cos 1 cos
C x x
x x
π
= + × <
+ −
4 4 4 4
3
sin sin ( ) sin ( ) sin ( )
4 2 4
D x x x x
π π π
= + + + + + +
4 4 6 6
3(sin os ) 2(sin os )E x c x x c x= + − +
6 2 2 6 4
1
sin . os sin . os os 2
8
F x c x x c x c x= + +
2 2
2 2 2
1 (1 tan )

, ( )
4sin . os 4 tan 2
x k
G x k
x c x x
π
−
= − ∀ ≠ ∈Z
BÀI TẬP VỀ CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
1.54. Biến đổi các biểu thức sau đây thành một tổng.
a.
2sin( ).sin( )a b a b+ −
b.
2 os( ). os( )c a b c a b+ −
c.
cos .cos .cosa b c
d.
4cos . os2 . os3x c x c x
e.
sin( ). os( )a b c b a− −
f.
os5 .sin 3c a a
g.
8cos( ). os( ). os( )a b c b c c c a− − −
h.
os( ).cosc a b a+
i.
sin( ).sin( ). os2
6 6
x x c x

π π
+ −
j.
sin .sin 2 .sin3x x x
k.
4sin 2 .sin 4 .sin 6a a a
l.
4sin .sin 2 .sin 4x x x
1.55. Biến đổi thành tích.
a.
sin sin sin( )a b a b+ + +
b.
sin sin 2 sin3x x x+ +
c.
cos cos os( ) 1a b c a b+ + + +
d.
sin sin 3 2sin 2x x x
+ +
e.
1 sin cosa a
+ +
f.
1 cos sina a
− +
g.
2 2
sin sina b−
h.
1 sin os2x c x
+ −

k.
cos cos
cos cos
x y
x y
+
−
l.
sin 7 sin 5
sin 7 sin5
x x
x x
+
−
m.
sin sin 3 sin 5 sin 7x x x x
+ + +
n.
1 sin cos t anaa a
+ − −
o.
cos os2 os3 os4x c x c x c x+ + +
p.
1 cos os2 os3x c x c x+ + +
q.
sin . os3 sin 4 . os2x c x x c x+
r.
2 2 2
sin sin 2 sin 3x x x− +
s.

2 2 2
os os 2 os 3 1c x c x c x+ + −
1.56. Chứng minh các đẳng thức sau đây:
1.
os5 . os3 sin 7 .sin os2 . os4c x c x x x c x c x+ =
2.
sin 5 2sin ( os2 os4 ) sinx x c x c x x− + =
3.
os5 .cos sin3 .sin os2 . os4c x x x x c x c x+ =
4.
2(sin cos 2 sin 2 cos3 ) sin5 sin 3a a a a a a− + =
5.
sin 2 sin 4 sin 6 4sin cos 2 cos3a a a a a a− + =
6.
1 sin cos 2 2 os os( )
2 4 2
a a
a a c c
π
+ + = −
7.
sin sin 3
tan 2
cos os3
a a
a
a c a
+
=
+

8.
2
1 cos os2 os3
2cos
2cos cos 1
a c a c a
a
a a
+ + +
=
+ −
9.
sin 2 sin 4 sin 6
2sin 2
1 os2 os4
a a a
a
c a c a
+ +
=
+ +
10.
2sin 2 sin 4
tan 2 .cos
2(cos os3 )
a a
a a
a c a
+
=

+
11.
sin 2 sin 3 sin 4
tan3
os2 os3 os4
a a a
a
c a c a c a
− +
=
− +
12.
os5 cos
2sin
sin 4 sin 2
c a a
a
a a
−
= −
+
13.
1 sin 2 os2
cot
1 sin 2 os2
a c a
a
a c a
+ +
=

+ −
14.
3 3
3 1
os cos3 sin .sin 3 os4
4 4
c a a a a c a− = +
15.
3 3
3
cos3 sin sin 3 os sin 4
4
a a ac a a− =
16.
2 2 2
sin sin 2sin sin cos( ) sin ( )a b a b a b a b+ + + = +
17.
cos sin
tan( )
cos sin 4
a a
a
a a
π
+
= +
−
18.
2
1 sin 2

tan ( )
1 sin 2 4
a
a
a
π
−
= −
+
Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng Tài liệu ôn thi ĐH-CĐ
-Trang 9-
Bài tập lượng giác Gv: Bùi Quý Mười
19.
sin sin
tan
cos cos 2
a b a b
a b
+ +
=
+
20.
2 2
3
sin sin ( ) sin .sin( )
3 3 4
x x x x
π π
+ − + − =
21.

2 2
6 2cos 4
tan cot
1 cos 4
x
x x
x
+
+ =
−
22.
4sin sin( )sin( ) sin 3
3 3
x x x x
π π
− + =
23.
4cos os( ) os( ) os3
3 3
xc x c x c x
π π
− + =
24.
2
8cos 2
t ana cot tan3 cot3
sin 6
a
a a a
a

+ + + =
25.
1
cos os( ) os( ) os3
3 3 4
xc x c x c x
π π
− + =
26.
sin sin( ) sin sin( ) sin sin( ) 0a b c b c a c a b− + − + − =
27.
2 2
sin( )sin( ) sin sina b a b a b− + = −
28.
2 2
os( ) os( ) os sinc a b c a b c a b+ − = −
29.
tan9 tan 27 tan 63 tan81 4
o o o o
− − + =
30.
2
sin(2 ). os( ) os(2 ). os( ) cos
3 6 3 3
x c x c x c x x
π π π π
+ − − + − =
31.
cos cos sin( ) 4cos os( )sin( )
2 4 2 4 2

a b a b
a b a b c
π π
+
+ + + = − +
1.57. Tính giá trị của các biểu thức sau:
os35 os85 os25
o o o
A c c c= + −
os130 os110 os10
o o o
B c c c= + −
os36 . os72
o o
C c c=
D =
tan9 tan 27 tan 63 tan81
o o o o
− − +
5 7
os os os
9 9 9
E c c c
π π π
= + +
2 4 6
os os os
7 7 7
F c c c
π π π

= + +
2 3
os os os
7 7 7
G c c c
π π π
= − +
os36 sin18
o o
H c= −
2 4 6 8
os os os os
5 5 5 5
I c c c c
π π π π
= + + +
1
4sin 70
sin10
o
o
J = −
2 3 4
tan tan tan tan
5 5 5 5
K
π π π π
= + + +
2 2 2
5

tan tan tan
12 4 12
L
π π π
= + +
1.58. Cho A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
1.
sin sin sin 4cos .cos .cos
2 2 2
A B C
A B C+ + =
2.
cos cos cos 1 4sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C+ + = +
3.
sin 2 sin 2 sin 2 4sin sin sinA B C A B C+ + =
4.
os2 os2 os2 1 4cos cos cosc A c B c C A B C+ + + = −
5.
2 2 2
sin sin sin 2 2cos cos cosA B C A B C+ + = +
6.
2 2 2
os os os 1 2cos cos cosc A c B c C A B C+ + = −
7.
tan tan tan tan tan tanA B C A B C
+ + =
Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng Tài liệu ôn thi ĐH-CĐ

-Trang 10-