SKKN một số trao đổi về bài toán giá trị nguyên của biểu thức.

Vũ Trọng Quyền
một số trao đổi về
bài toán giá trị nguyên của biểu thức.

A. Đặt vấn đề :
1. Giới thiệu : Toán học là môn học khá trìu tợng , đòi hỏi tính chính
xác cao và thực sự khó đối với nhiều học sinh . Bài toán tính giá trị của
biểu thức không khó , nhng tìm giá trị của biến để biểu thức đạt giá trị
nguyên lại là vấn đề rất khó đối với nhiều học sinh từ lớp 6 đến lớp 9 .
Điều này khiến tôi luôn để tâm trong quá trình giảng dạy của mình và
muốn trao đổi cùng đồng nghiệp .
2. Thực tế :
+) Với học sinh :
Trong các kì thi học sinh giỏi các cấp , các em thờng gặp bài
toán Giá trị nguyên của biểu thức . Đối với những bài toán này , các
em thờng tỏ ra lúng túng và hay mắc phải sai lầm . Chẳng hạn bài
toán : Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên
khác với bài toán : Tìm giá trị của biến để biểu thức nhận giá trị
nguyên . Bên cạnh đó , các em còn lúng túng không biết bắt đầu từ
đâu khi găp dạng toán này .Điều này khiến các em rất ngại khi phải
tiếp xúc với những bài toán về Giá trị nguyên của biểu thức - ngay
với cả các em học sinh khá và giỏi cũng vậy !
+) Với giáo viên :
Là một giáo viên dạy Toán , tôi nhận thấy dạng toán về Giá
trị nguyên của biểu thức rất hay và quan trọng đối với các em học sinh
trung học cơ sở . Đây là dạng toán rất phổ biến trong các kì thi - đặc
biệt là các kì thi học sinh giỏi môn toán từ lớp 6 đến lớp 9 . Mà với các
em học sinh , phơng pháp để giải loại toán này còn nhiều hạn chế . Tôi
muốn cùng các em học sinh của mình tháo gỡ vấn đề này .
3. Phạm vi đề tài :
Trong phạm vi bài viết này , tôi muốn hớng dẫn các em học sinh giỏi

toán ở cấp trung học cơ sở một số phơng pháp và một số bài tập về
Giá trị nguyên của biểu thức
1
Vũ Trọng Quyền
B . Nội dung :
I . Chuẩn bị :
Trong quá trình giảng dạy cũng nh bồi dỡng học sinh giỏi , tôi luôn
bám sát kiến thức cơ bản , trọng tâm và lu ý học sinh :
- Nắm vững cách rút gọn phân thức .
- Nắm vững phép cộng , trừ phân thức .
- Có kĩ năng thực hiện phép chia đa thức .
- Tìm đúng đủ ớc nguyên của một số nguyên.
- Có kĩ năng tách ( thêm , bớt ) số .
-Nắm vững các tính chất chia hết của một tổng ( lớp 6 ) .
- Quan sát biểu thức một cách linh hoạt .
II . Hớng thực hiện :
Về bài toán tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên:
Ta có thể giải nh sau:
1/ Tách phần nguyên:
B
k
C
B
A
+=
Khi k là một hằng số; B là biểu thức nguyên của biến. Khi đó
B
A
nhận giá trị nguyên

B nhận giá trị là ớc nguyên của k. Vì vậy ta cần
tìm các ớc k
i
của k và giải các phơng trình B = k
i
rồi tìm các giá trị
nguyên của biến.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
1x
5x2


nhận giá trị
nguyên?
Giải: Ta có A =
1x
5x2


=
1x
3
2


.
Khi x

Z ta có x -1

Z, vậy A

Z

1x
3

nhận giá trị nguyên


x -1 nhận giá trị là ớc nguyên của 3







=
=
=
=







=

=
=
=

2
4
0
2
31
31
11
11
x
x
x
x
x
x
x
x
(thoả mãn x

Z)
2
Vũ Trọng Quyền
Vậy với x
{ }
2,4,0,2

thì biểu thức nhận giá trị nguyên.

Ví dụ 2 : Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
56
23
2
2
+
+
xx
xx
nhận giá trị
nguyên ?
Giải : Ta có B =
56
23
2
2
+
+
xx
xx
=
)x)(x(
)x)(x(
51
21



=
5

3
1
5
2

+=


xx
x

Khi x

Z ta có x -5

Z , vậy A

Z


Z
x


5
3



x-5 nhận giá trị là ớc nguyên của 3

)Zxnãmảtho(
x
x
x
x
x
x
x
x







=
=
=
=







=
=

=
=

2
8
4
6
35
35
15
15
Vậy với x

{ 6; 4; 8; 2 } thì biểu thức nhận giá trị nguyên .
2/ Một vấn đề đặt ra : khi phần d không chỉ là một hằng số, mà phần d
là một biểu thức của biến, bậc nhỏ hơn bậc của B?
Khi đó ta viết
B
K
C
B
A
+=
. Do hiểu sai bản chất vấn đề nên một số
học sinh cho rằng :

B
A
nhận giá trị nguyên là phép chia A cho B có d bằng 0, nên tiến
hành giải phơng trình: K = 0 để tìm giá trị của biến, vì vậy lời giải sai

bản chất và thiếu nghiệm.
Chúng ta phải hiểu đây không phải là bài toán chia hết của đa thức mà
phải là : giá trị của biểu thức A chia hết cho biểu thức B nên phải tìm
giá trị của biến để giá trị của biểu thức K chia hết cho giá trị của B.
3
Vũ Trọng Quyền
Khi đó với học sinh lớp 7, 8 các em có thể dùng tính chất chia hết
của số nguyên để biến đổi bài toán về dạng 1
Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
1x2
1x
2
+


nhận giá trị nguyên
Giải : Giả sử tồn tại x

Z để (x -1)

(2x
2
+1)

)x()x( 121
22
+


)1x2()21x2(

22
++


)1x2(2
2
+


{ }
2112
2
,x
+

0x
=

Z
Thử lại: với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị -1

Z
Vậy với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị nguyên.
L u ý : Đối với cách làm này , ta nhất thiết phải có bớc thử lại rồi mới
kết luận vì trong quá trình làm ta đã dùng tính chất :
a

b

a.c

b (c

Z ) mà a.c

b có đợc a

b chỉ khi (b,c) = 1.
Với học sinh lớp 9 các em có thể dùng điều kiện có nghiệm của phơng
trình để tìm miền giá trị của biểu thức
B
K
. Trên cơ sở đó tìm các giá trị
nguyên có thể có của biểu thức.
Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
1xx
1x3xx
A
2
34
++
+
=

nhận giá trị nguyên.
Ta có:
1xx
x2
1xA
2

2
++
+=
Với x

Z ta có x
2
- 1

Z nên A

Z


1xx
x2
y
2
++
=
nhận giá trị nguyên.
Giả sử y
0
là 1 giá trị của biểu thức. Khi đó tồn tại x để
1xx
x2
y
2
0
++

=


phơng trình: 2x = y
0
(x
2
+x+1) có nghiệm x.


y
0
x
2
+ (y
0
- 2)x + y
0
= 0 (1) có nghiệm
+) Xét y
0
= 0 phơng trình có nghiệm x = 0
4
Vũ Trọng Quyền
+) Xét y
0


0 phơng trình có nghiệm

= (y
0
-2)
2
- 4y
0


0


- 2

y
0


3
2
(y
0


0)
Do đó điều kiện để phơng trình có nghiệm là - 2

y
0

3
2

Những giá trị nguyên của y có thể đạt đợc là y

{ -2 ; -1 ; 0 }
+) Với y = -2 ta có phơng trình : 2x
2
+ 4x +2 = 0

x= -1

Z
+) Với y = -1 ta có phơng trình : x
2
+3x+1 = 0


=9 - 4 = 5 không chính phơng

phơng trình có nghiệm x

Z (loại)
+) Với y = 0

x = 0

Z
Vậy x= 0 hoặc x= -1 thì biểu thức A nhận giá trị nguyên.

L u ý: Khi giải bài tập tìm giá trị nguyên của phân thức theo phơng
pháp miền giá trị thì biểu thức ở mẫu là biểu thức nguyên không đổi
dấu.
Khi nói về miền giá trị của biểu thức ta có thể đề cập đến những
bài toán sau:
Bài 1: Tìm x để biểu thức
2
4
2
2
++
++
=
xx
xx
y
nhận giá trị nguyên.
ở bài này học sinh đọc lớt qua thấy thật là dễ ?
Rất nhiều học sinh đã giải:
2
2
1
2
++
+=
xx
y
và yêu cầu (x
2
+ x + 2) là -

ớc của 2
Mà quên mất rằng x

R thì biểu thức x
2
+ x + 2 không phải lúc nào
cũng có giá trị nguyên.
ở đây x
2
+ x + 2 > 0 nên các em thử dùng miền giá trị để xét xem y có
thể nhận những giá trị nguyên nào nhé!
Giải :
2
2
1
2
4
22
2
++
+=
++
++
=
xxxx
xx
y
nhận giá trị nguyên khi
2
2

2
++
xx
nhận giá trị nguyên . Mà x
2
+ x + 2
4
7
=>
7
8
2
2
0
2

++
<
xx
Vậy giá trị nguyên của
2
2
2
++
xx
là 1
5
Vũ Trọng Quyền

1

2
2
2
=
++
xx
=> x
2
+ x + 2 = 2
=> x
1
= 0 ; x
2
= - 1
Khi đó y
1
= y
2
= 1 + 1 = 2

Vậy giá trị cần tìm của x là : 0 , -1 khi đó giá trị nguyên của y là 2
Bài 2: Cho biểu thức C =
1x
1x
.
1x
3
1x
x
+

+






+

+
Rút gọn biểu thức
Tìm x để C nhận giá trị nguyên.
Ta dễ dàng thu đợc kết quả rút gọn C =
1x
3x
+

( x

0)
Khi đó C = 1 -
1x
4
+
nhận giá trị nguyên khi
1x
4
+
nhận giá trị nguyên.
Mà x

0 nên
0 <
1x
4
+
4
. vậy các giá trị nguyên có thể có của
1x
4
+
là 1, 2, 3, 4.
*)
1x
4
+
=1

x =3 khi đó C=0
*)
1x
4
+
=2

x = 1 khi đó C = -1
*)
1x
4
+

=3

x =
3
1
khi đó C = -2
*)
1
4
+x
= 4

x = 0 khi đó C = -3
Vậy các giá trị nguyên của C là 0, -1,-2, -3 tại giá trị tơng ứng của x
là 3, 1,
3
1
, 0.
Ngoài việc tìm giá trị nguyên của biểu thức ra phải tìm miền giá trị
của hàm số còn giúp cho chúng ta tìm cực trị của biểu thức.
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số:

1x
x4
y
2
+
=
Giải: Giả sử y
0

là một giá trị của hàm số, tồn tại giá trị của x để
6
Vũ Trọng Quyền
y
0
=
1x
x4
2
+

phơng trình y
0
x
2
- 4x +y
0
= 0 có nghiệm

*)Xét y
0
=0 phơng trình có nghiệm x = 0.
*)Xét y
0


0 phơng trình có nghiệm

'

=4 -y
0
2


0


-2
2y
0

(y
0


0)
Vậy giá trị của y để phơng trình có nghiệm là -2
2y



y
min
= -2, y
max
=2.

Trớc khi kết thúc bàiviết tôi đa ra một số bài tập để các em luyện tập:
Bài 1: Tìm x

Z để biểu thức nhận giá trị nguyên.

3
2

+
=
x
x
A

2
452
2
+
++
=
x
xx
C

1
4
2
3
+
+
=
xx

x
E

3
12
2
+
+
=
x
x
B

3
12
+

=
x
x
D

532
45
2
2
+
+
=
xx

xx
F
Bài 2: Tìm giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên:
a)
3
1
+

=
x
x
y
b)
1xx
1xx
y
2
2
++
+
=
b)
32
21
+

=
x
x
y

d)
1xx2
1xx3
y
2
2
++
+
=
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
a)
2
2
1
12
x
x
y


=
b)
2
x
1x
y

=
c)
x

xx
y
21
1
2
+
++
=
d)
1x
2x2x
y
2
2
+
+
=
7
Vũ Trọng Quyền
III. Kết luân :
Với những suy nghĩ và thực hiện nh trên khi hớng dẫn học sinh trên
lớp tôi thấy các em hào hứng và say mê giải các bài tập dạng tơng tự một
cách linh hoạt và sáng tạo .Trớc những bài toán về giá trị nguyên của biểu
thức , các em không tỏ ra lúng túng nh trớc mà bình tĩnh biến đổi biểu
thức và sử dụng thành thạo các phơng pháp đã học để làm .
Trên đây là một số trao đổi nhỏ của tôi với các đồng nghiệp về bài
toán giá trị nguyên của biểu thức . Rất mong sự góp ý , giúp đỡ từ các
đồng nghiệp để tôi hoàn thiện mình hơn và có nhiều kinh nghiệm trong
giảng dạy .
Tôi xin chân thành cảm ơn

Tháng 4/2006
Nhận xét của ban giám hiệu Ngời viết :


Vũ Trọng Quyền
8