Bài giảng bài một số phương trình lượng giác thường gặp đại số 11 (2)

ĐẠI SỐ LỚP 11
MỘT SỐ PHƢƠNG
TRÌNH LƢỢNG GIÁC
THƢỜNG GẶP


Kiểm tra bài cũ:
Giải phương trình sau :

Sin x  Sinx  0
2

Giải pt
bằng cách
nào???

sin x  sin x  2  0
2

Giải

Sin 2 x  Sinx  0  Sinx  Sinx  1  0
 x  k
 Sinx  0


k Z

 x   k 2
 Sinx  1


2


BÀI 3: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP
I. PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC
II.PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC

1)Định nghĩa :
Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng
giác là phương trình có dạng :

at 2  bt  c  0;(a  0)
Trong đó a,b,c là các hằng số và t là một trong
số các hàm số lƣợng giác.

Ví dụ 1: Giải các phƣơng trình sau:
a)3cos 2 x  5cos x  2  0
b)3tan 2 x  2 3 tan x  3  0


a)3cos 2 x  5cos x  2  0
BÀI GIẢI
a

b)3tan 2 x  2 3 tan x  3  0

Đặt t = cosx

ĐK : 1  t  1

Ta đƣợc phƣơng trình :

t  1
3t 2  5t  2  0   2
t
 3

(thoả mãn đk)

Khi t  1  cos x  1  x  k 2 , k  Z
2

x  arccos  k 2

2
2
3
Khi t   cos x   
k Z
3
3
 x   arccos 2  k 2

3
Kết luận:


a)3cos 2 x  5cos x  2  0
b)3tan 2 x  2 3 tan x  3  0
Đặt t = tanx

b

Ta đƣợc phƣơng trình :

3t  2 3t  3  0,   6  0
2

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.


2. Cách giải

Qua các ví dụ trên, hãy nêu
phương
trình
bậc(nếu
hai cĩ)
Bước 1 : Đặt ẩn phụ cách
và đặtgiải
kiều
kiện cho
ẩn phụ
đối với một hàm số lượng giác?
Bước 2 : Giải phương trình theo ẩn phụ
Bước 3 : Đưa về giải các phương trình lượng giác cơ bản
Bước 4 : Kết luận

Ví dụ 2: Giải phương trình

2sin 2 2 x  2 sin 2 x  2  0


2sin 2 2 x  2 sin 2 x  2  0
+)Đặt t = sin2x

ĐK :1  t  1

t   2
(loại)
+)Ta đƣợc pt :
2t 2  2t  2  0 
2
(thoả mãn)
t  2
2
2

) Khi t 
 sin 2 x 
 sin 2 x  sin
2
2
4




x   k
2

x


k
2


8

4

k Z


k Z
3

3

x

 k
2 x 
 k 2

8

4

x   k , k  Z

8
+)KL: Pt đã cho có hai nghiệm
3
x
 k , k  Z
8


Cos2x ???

Sinx ???

Sin2x+
Cos2x=
1

4sin x  4cos x 1  0
2

4cos x  4sin x 1  0
2


3.Phương trình đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Dạng 1:

asin2x + bcosx + c = 0 và acos2x + bsinx + c = 0

Cách giải: Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với một
hàm số lượng giác,áp dụng:

2
2

sin
x

1

cos
x
2
2
sin x  cos x  1   2
2
cos
x

1

sin
x


1/ a sin x  b cos x  c  0
2

2 / a cos 2 x  b sin x  c  0

 a 1  cos 2 x   b cos x  c  0

 a 1  sin 2 x   b sin x  c  0

 a cos x  b cos x  a  c  0

 a sin 2 x  b sin x  a  c  0

2

Đây là phươngtrình bậc hai đối với một hàm số

lượng giác đã biết cách giải ở trên.


Ví dụ áp dụng:
Giải phương trình sau:

4sin x  4cos x 1  0
2

Giải:

4sin x  4cos x 1  0
2

 4 1  cos x   4cos x  1  0
2

 4cos x  4cos x  3  0
2

Đặt: t = cosx;

1  4t
KL:

2

1  t  1

 4t  3  0

3

t  2  l 
 
t  1  tm 


2
1
 cos x 
2
 2
 x  3  k 2

k Z
 x  2  k 2

3

Giải phương trình :

3cos 6x  8sin 3x cos3x  4  0
2

 3cos 6x  4sin 6 x  4  0
2

 3(1  sin 6 x)  4sin 6 x  4  0
2

 3sin 6x  4sin 6x 1  0
2


a tan x  b cot x  c  0

Dạng 2:



cos
x

0
x

 k




k Z
2
ĐK: 
sin x  0

 x  k

1

 tan x  cot x
tan x.cot x  1  
cot x  1

tan x

C1: a tan x  b cot x  c  0 C 2: a tan x  b cot x  c  0
1
1
 b cot x  c  0
 a tan x  b.
 c  0  a.
cot x
tan x

 a tan x  c tan x  b  0  b cot x  c cot x  a  0
2

2

Ví dụ áp dụng:
Giải phương trình sau:

3 tan x  6cot x  2 3  3  0(*)



cos x  0  x   k

k Z
2

sin x  0

 x  k

ĐK :

1
(*)  3 tan x  6
 2 3 3  0
tan x

 3 tan x  (2 3  3) tan x  6  0
2

Đặt t = tanx ta có pt:

t  3
3 t  (2 3  3) t  6  0  
 t  2
2


t 

3  tan x 

3 x


3

 k , k  Z

t  2  tan x  2

 x  arctan(2)  k , k  Z ,(tm)
Vậy pt đã cho có hai nghiệm là:

x


3

 k , k  Z

x  arctan(2)  k , k  Z

II.PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC

1)Định nghĩa :

at 2  bt  c  0;(a  0)

2. Cách giải

3.Phương trình đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

asin2x + bcosx + c = 0 và acos2x + bsinx + c = 0

a tan x  b cot x  c  0
BTVN : bài 2a,3 – sgk - tr36,37


Cảm ơn quý
thầy cô đã đến
dự giờ thăm lớp