Rèn luyện cho học sinh khá giỏi kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến chủ đề chia hết trong môn Toán trung học cơ sở

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
KHOA SƢ PHẠM


Nguyễn Thị Hợp



RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI KĨ NĂNG
GIẢI QUYẾT CÁC VẤN ĐỀ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN CHỦ ĐỀ
CHIA HẾT TRONG MÔN TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ



Luận văn Thạc sĩ sư phạm Toán học








Hà Nội, 2008



ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
KHOA SƢ PHẠM

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI KĨ NĂNG
GIẢI QUYẾT CÁC VẤN ĐỀ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN CHỦ ĐỀ
CHIA HẾT TRONG MÔN TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ



Luận văn Thạc sĩ sư phạm Toán học
Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học (trong môn Toán)
Mã số : 001410





Lớp cao học ngành sư phạm Toán học K
2

Người hướng dẫn : PGS. TS Nguyễn Nhuỵ




1
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

N : Tập hợp các số tự nhiên
N
*
: Tập hợp các số tự nhiên khác 0
Z : Tập hợp các số nguyên
R : Tập hợp các số thực
Q : Tập hợp các số hữu tỉ


: Chia hết cho
/ : Chia hết


: Không chia hết
ƯC : Ước chung
Ư : Ước
B : Bội
BC : Bội chung
ƯCLN : Ước chung lớn nhất
BCNN : Bội chung nhỏ nhất


: Tổng


: Tích



2

MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU 1
1. Lí do chọn đề tài 4
2. Lịch sử nghiên cứu 6
3. Mục tiêu nghiên cứu 7
4. Phạm vi nghiên cứu 7
5. Mẫu khảo sát 7
6. Câu hỏi nghiên cứu 7
7. Giả thuyết khoa học 7
8. Phương pháp chứng minh luận điểm 7
9. Đóng góp của luận văn 8
10. Cấu trúc của luận văn 8
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VỀ KĨ NĂNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 9
1.1. Kĩ năng 9
1.1.1. Khái niệm kĩ năng 9
1.1.2. Sự hình thành các kĩ năng 11
1.2. Chủ đề chia hết 16
1.2.1. Định nghĩa và tính chất chia hết trong tập hợp Z 16
1.2.2. Tính chất chia hết đối với đa thức một biến 19
1.2.3. Một số dạng bài tập ứng dụng và phương pháp giải tương ứng về chủ
đề chia hết trong dạy toán ở THCS 21
1.2.4. Sự chia hết và nghiệm nguyên của phương trình 35
1.3. Dấu hiệu chia hết trong hệ thập phân 45
CHƢƠNG 2: NHỮNG BIỆN PHÁP NHẰM RÈN LUYỆN CHO HỌC
SINH KHÁ, GIỎI KĨ NĂNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
ĐẾN CHỦ ĐỀ CHIA HẾT TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở THCS 53
2.1 Biện pháp 1: Giúp học sinh hiểu đúng bản chất bài toán trong từng
trường hợp cụ thể 53
2.2. Biện pháp 2: Tạo cho học sinh ý thức phân chia tình huống và hình

thành kĩ năng phát hiện các tiêu chí để phân chia tình huống trong các bài
toán có chứa dạng tổng quát 55



3
2.3. Biện pháp 3: Hình thành kĩ năng phát hiện sự tương ứng để từ đó rèn
luyện kĩ năng chuyển đổi ngôn ngữ và cách phát biểu bài toán 57
2.4. Biện pháp 4: Trang bị kiến thức về phép biến đổi tương đương, giúp học
sinh phân chia các bài toán khác nhau về các lớp đặc biệt 59
2.5. Biện pháp 5: Hình thành khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá các
dạng bài tập cho học sinh một cách có hệ thống từ đơn giản đến phức tạp 61
2.6. Kết luận chương 2 64
CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 65
3.1. Mục đích thực nghiệm 65
3.2. Nội dung thực nghiệm 65
3.2.1. Định nghĩa tính chia hết trên tập hợp số nguyên bội số và ước số 65
3.2.2. Các tính chất 65
3.2.3. Các ví dụ 68
3.3. Một số phương pháp nghiên cứu tính chia hết của các số 73
3.3.1. Phương pháp phân tích thành nhân tử 73
3.3.2. Phương pháp xét số dư 74
3.3.3. Phương pháp quy nạp toán học 76
3.3.4. Phương pháp chứng minh bằng phản chứng 78
3.3.5. Các số Fermat 80
3.4. Mở rộng tính chia hết đối với đa thức 81
3.4.1. Lý thuyết 81
3.4.2. Các dạng bài tập thường gặp 81
3.5. Tổ chức thực nghiệm 87
3.5.1. Đối tượng thực nghiệm 87

3.5.2. Phương pháp thực nghiệm 87
3.5.3. Giáo án và mẫu phiếu bài tập 84
3.6. Kết quả thực nghiệm 100
3.7. Kết luận thực nghiệm 100
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 102
TÀI LIỆU THAM KHẢO 104


X
1
Đã có
từ định lý




4

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Dạy toán là dạy hoạt động Toán học (A. Stoliar), trong đó hoạt động
chủ yếu là hoạt động giải toán. Bài tập Toán học mang nhiều chức năng:
chức năng giáo dục, chức năng giáo dưỡng, chức năng phát triển tư duy và
chức năng kiểm tra đánh giá.
Dạy học giải bài tập Toán học được xem là một trong những tình
huống điển hình trong dạy học môn Toán. Khối lượng bài tập Toán ở trường


5
phổ thông là nhiều và hết sức phong phú, đa dạng. Có những lớp bài toán có
thuật giải nhưng phần lớn là những bài chưa có, thậm chí không có thuật
giải. Đứng trước những bài toán đó, giáo viên gợi ý và hướng dẫn học sinh
thế nào để giúp họ giải quyết được bài toán  đó là một vấn đề hết sức quan
trọng. Thực chất của việc rèn luyện phương pháp giải Toán chính là rèn
luyện các kĩ năng giải toán. Tuy nhiên, đây là vấn đề hết sức khó khăn bởi vì
nêu lên những gợi ý hợp lí, sử dụng được các kĩ năng thích hợp chính là
nghệ thuật sư phạm của người giáo viên.
Trong các phân môn của Toán học thì số học là một trong những phân
môn có một lịch sử lâu đời nhất và được mệnh danh là “Bà chúa của Toán
học”. Sau quá trình phát triển lâu dài, số học đã xây dựng được một hệ thống
đồ sộ lí thuyết và bài tập, đồng thời thu lượm được một khối lượng hết sức
phong phú về thuật giải, có lẽ không ở đâu lại đòi hỏi nhiều kĩ năng trong
quá trình giải bài tập như số học.
Một chủ đề hết sức thú vị của số học là chủ đề chia hết. Chủ đề này đã
đúc kết được nhiều phương pháp xây dựng và thuật giải hết sức phong phú.
Chủ đề chia hết vừa có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực của cuộc sống và

trong khoa học, lại vừa có tính chất như một trò chơi trí tuệ lí thú (cho những ai
hiểu biết và yêu mến môn học này), nghệ thuật đoán định và tìm kiếm các
dấu hiệu chia hết giúp người học và rèn luyện tư duy Toán học hết sức có
hiệu quả. Tuy nhiên, thực tiễn hoạt động giảng dạy Toán học cho thấy đứng
trước chủ đề chia hết, học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn và lúng túng
vì thiếu những công cụ kiểm tra có tính hệ thống, đồng thời cũng khó tìm lối
thoát cho các phương hướng giải quyết và thực hiện các kĩ năng xử lí các
loại bài tập thuộc chủ đề này. Về phía giáo viên, do sự tinh tế và phức tạp
của môn học, lại đòi hỏi những tư duy sắc sảo khi biểu đạt nên nhiều người
có tâm lí lảng tránh khi đề cập đến chủ đề này.


6
Theo Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn, dạy Toán là dạy kiến thức, kĩ năng,
tư duy và tính cách, trong đó dạy kĩ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng,
bởi vì nếu không có kĩ năng thì không thể phát triển được tư duy và không
tìm được lối thoát cho việc giải quyết vấn đề. Kĩ năng giải quyết vấn đề liên
quan đến chủ đề chia hết là hết sức thiết thực đối với học sinh phổ thông, đặc
biệt là học sinh trung học cơ sở. Chính vì sự hấp dẫn và tầm quan trọng của
nó nên trong nhiều kì thi học sinh giỏi, kì thi kiểm tra chất lượng, thi kết thúc
đánh giá môn học, v.v… có rất nhiều bài tập liên quan đến chủ đề chia hết.
Trong quá trình tham gia giảng dạy số học nói chung và chủ đề
chia hết nói riêng, chúng tôi nhận thấy rằng cần phải có những công trình
nghiên cứu nhằm đưa ra những thủ pháp dạy học, những hướng dẫn sư
phạm để giúp người giáo viên dạy tốt những kiến thức có trong chủ đề
chia hết, nhất là những kiến thức nhằm phân lớp đối tượng nghiên cứu để
xây dựng các kĩ năng.
Mặc dù đã có rất nhiều công trình liên quan đến rèn luyện kĩ năng,
nhưng theo tác giả, đến nay vẫn chưa có nhiều công trình nghiên cứu việc
rèn luyện kĩ năng xử lí các bài toán liên quan đến chủ đề chia hết. Vì những

lí do nói trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn này là: “Rèn
luyện cho học sinh khá giỏi kĩ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến
chủ đề chia hết trong môn Toán Trung học cơ sở”.
2. Lịch sử nghiên cứu
Thực chất rất nhiều các nhà toán học trong nước và quốc tế đã nghiên
cứu và thành công khi tìm hiểu một dạng bài chia hết nào đó, nhưng chưa ai
có thể chỉ rõ tất cả các biện pháp tối ưu khi giải những dạng bài đó. Một số
những nhà viết sách cho khối THCS cũng đã đề cập đến chủ đề này như Vũ
Dương Thuỵ, Nguyễn Ngọc Đạm, Vũ Hữu Bình, Nguyễn Văn Tuyên… cũng
đã ít nhiều đề cập đến chủ đề này.


7
3. Mục tiêu nghiên cứu
- Hệ thống hoá cơ sở lí luận về kĩ năng giải quyết vấn đề.
- Nghiên cứu cơ sở lý luận và kĩ năng chia hết.
- Nghiên cứu nội dung về chương trình toán THCS mà cụ thể là chủ
đề chia hết của lớp 6, 7, 8, 9 liên quan đến chủ đề chia hết.
- Nghiên cứu những biện pháp nhằm rèn luyện cho học sinh khá
giỏi kĩ năng giải quyết vấn đề liên quan đến chủ đề chia hết trong dạy học
toán ở THCS.
4. Phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu về các dạng toán chia hết trong trường THCS.
- Nghiên cứu các phương pháp giải các dạng toán đó nhằm rèn luyện
kĩ năng giải các bài toán đó.
- Nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến chủ đề chia hết trên các tài
liệu hiện có.
5. Mẫu khảo sát
Học sinh trường THCS Mỹ Đình, trường bán công THCS Nguyễn Tất
Thành, trường dân lập Nguyễn Bỉnh Khiêm, trường THCS Dịch Vọng,

trường dân lập Lương Thế Vinh.
6. Câu hỏi nghiên cứu
Rèn luyện cho học sinh khá, giỏi kĩ năng giải quyết các vấn đề liên
quan đến chủ đề chia hết trong môn toán THCS như thế nào?
7. Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất và xây dựng được những biện pháp, những hướng dẫn sư
phạm thích hợp thì sẽ rèn luyện được cho học sinh THCS kĩ năng giải quyết
vấn đề liên quan đến chủ đề chia hết, góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học
Toán ở trường phổ thông.
8. Phƣơng pháp chứng minh luận điểm
- Dựa vào mẫu khảo sát và thực tế kết quả của học sinh.


8
- Dựa vào các lập luận logic.
- Dựa vào các kết quả thực nghiệm dễ nhất.
- Dựa vào kinh nghiệm được tổng kết của các tài liệu có liên quan.
9. Đóng góp của luận văn
- Hệ thống hoá cơ sở lí luận về kĩ năng giải quyết vấn đề.
- Hệ thống cơ sở lí luận và kĩ năng chia hết.
- Đề xuất được các biện pháp rèn luyện cho học sinh khá, giỏi kĩ năng
giải quyết vấn đề liên quan đến chủ đề chia hết.
- Tiến hành thực nghiệm các biện pháp đã nêu.
10. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và kiến nghị, tài liệu tham khảo, nội
dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Một vài cơ sở lý luận về kĩ năng giải quyết vấn đề
Chương 2: Những biện pháp nhằm rèn luyện cho học sinh khá, giỏi kĩ
năng giải quyết các vấn đề liên quan đến chủ đề chia hết trong môn toán THCS
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

9
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VỀ KĨ NĂNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1.1. Kĩ năng
1.1.1. Khái niệm kĩ năng
Thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra cho con người những nhiệm vụ thuộc
các lĩnh vực lí luận, thực hành hay nhận thức. Để giải quyết được công việc,
con người ta cần vận dụng vốn hiểu biết và kinh nghiệm để xử lí vấn đề được
đặt ra. Yêu cầu cốt lõi nằm ở chỗ phải vận dụng được những kiến thức chung
nhất cho từng trường hợp cụ thể. Trong quá trình đó, con người dần hình
thành cho mình các kĩ năng để giải quyết vấn đề đặt ra.
Theo giáo trình Tâm lí học đại cương: “Kĩ năng là năng lực sử dụng
các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để
phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công
những nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định” (Petrovski A. V. Tâm lí lứa
tuổi và tâm lí sư phạm, tập 2, NXB GD HN, 1982).
Theo Từ điển Tiếng Việt: “Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến
thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế”.
Như vậy, dù phát biểu dưới góc độ nào, các tác giả đều thống nhất
rằng, kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương
pháp, …) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra.
Tuy nhiên, thực tiễn giáo dục lại chỉ ra rằng, học sinh gặp rất nhiều khó
khăn trong việc vận dụng những khái niệm và những nguyên tắc đã lĩnh hội
được cho việc giải quyết những nhiệm vụ cụ thể. Cái khó nằm ở chỗ, học sinh
không biết tách ra khỏi đối tượng nhận thức những tri thức thứ yếu và không
bản chất, đồng thời cũng không phát hiện được mối liên hệ bản chất giữa tri
thức đã có với đối tượng đó. Trong trường hợp này tri thức không biến thành

công cụ của hoạt động nhận thức, và như vậy, khối tri thức mà họ có là một


10
khối tri thức khô cứng, không gắn với thực tiễn và không biến thành cơ sở của
các kĩ năng.
Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh những
thuộc tính khác nhau của các sự vật, những thuộc tính bản chất về các mặt
phù hợp của các đối tượng khác nhau cho những hoạt động với các mục đích
nhất định. Như vậy, để tri thức trở thành cơ sở lựa chọn đúng đắn các hành
động, thì cần phải biết lựa chọn đúng các tri thức hợp lí nhất. Nói khác đi,
cần lựa chọn tri thức phản ánh được thuộc tính của sự vật, lựa chọn tri thức
phản ánh được thuộc tính bản chất phù hợp với mục tiêu đặt ra trước hành
động, để sao cho hành động hay một dãy các hành động đạt tới mục tiêu. Để
minh hoạ ta xem xét ví dụ sau:
“Tìm các số nguyên n để giá trị của biểu thức
 
2
A n 10n n 10  

chia hết cho
 
B n n 1
”.
Tri thức phản ánh trong sự vật ở đây có rất nhiều: tham số, công thức,
dấu hiệu chia hết, … Để tiến hành giải Toán ta phải lựa chọn tri thức phù
hợp với mục tiêu là để:
 Học sinh nhận biết được đây là kiểu bài tìm
nZ
để

   
A n B n
.
 Quan hệ ở đây là
   
A n B n
với
nZ
.

       
A n B n .Q n R n  
.
 Vậy có thể giải như thế nào? Phương pháp nào?
Muốn tìm
nZ
 Cần tìm được R(n).
+ Nếu R(n) = 0  Phép chia hết
nZ
.
+ Nếu R(n)  0 
   
R n n 1
.
 Đến đây học sinh có thể


11
       
     

Ph©n tÝch A n B n .Q n R n
HoÆc lÊy A n : B n ®îc d R n






 Vì B(n) = n – 1 bậc 1  Dư là một số nguyên.
Giải
 
 
n 1 ¦ R n
và tìm ra n.
 Cụ thể:
  
2
10n n 10 n 1 10n 11 1     

n1  
Ư(1) = { 1} vì n  1  n = 2.
Qua bài toán người giáo viên cần rèn cho học sinh:
* Năng lực nhận ra kiểu bài toán
* Phát hiện ra quan hệ cần thiết
* Thâu tóm toàn bộ tình huống
* Thủ thuật làm dễ dàng cho sự suy xét:
 Nguyên tắc giải
 Tách ra hay nhấn mạnh những cứ liệu và quan hệ bản chất bài toán.
 Phân tích bài toán.
- Dấu hiệu chia hết trong trường hợp cụ thể này.

1.1.2. Sự hình thành các kĩ năng
Sự hình thành kĩ năng - đó là một quá trình nắm vững cả một hệ thống
phức tạp các thao tác phát hiện và cải biến thông tin chứa đựng trong các tri
thức và tiếp thu được từ các đối tượng, qua một quá trình đối chiếu và xác
lập quan hệ của thông tin với các hành động.
Kĩ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết
các nhiệm vụ đặt ra. Khi tiến hành tư duy trên các sự vật thì chủ thể thường
phải biến đổi, phân tích đối tượng để tách ra những khía cạnh và những
thuộc tính mới. Tất cả những điều này được ghi lại trong tri thức của chủ thể
tư duy và được biểu hiện bằng các từ. Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao
tác phân tích, tổng hợp trừu tượng hoá và khái quát hoá cho tới khi hình


12
thành được mô hình về một mặt nào đó của đối tượng mang ý nghĩa bản
chất đối với việc giải bài toán đã cho. Ở đây mỗi bước thực hiện các thao tác
tư duy mà nhờ khám phá ra những khía cạnh mới của đối tượng đã thúc đẩy
tư duy tiến lên, đồng thời quyết định bước tiếp sau của tư duy. Vì các khía
cạnh mới của đối tượng được phản ánh trong các khái niệm mới, nên tư duy
diễn ra như là một sự diễn đạt lại bài toán nhiều lần, chẳng hạn khi dậy học
sinh lớp 6 gặp bài toán:
“Tìm x, y  N
*
biết
 
1 1 2
1
x y 3

”.

Thực ra bài toán (1) biến đổi về dạng:

    
3x 3y 2xy
2xy 3x 3y 0
2x 3 2y 3 9 2

   
   

Bài toán (2) tương đương với bài toán (1) nhưng học sinh dễ làm hơn:
 
9 2x 3
và (2y – 1)

(2x – 3), (2y – 1)  Ư(9).
2x – 3
– 9
– 3
– 1
1
3
9
x
– 3
0
1
2
3
6

2y – 3
– 1
– 3
– 9
9
3
1
y
1
0
– 3
6
3
2
Do x, y  N
*
 (x, y) = (2, 6), (3, 3), (6, 2).
Vậy khi chuyển bài toán thành bài toán mới thì bài toán đơn giản hơn.
*) Còn phương pháp nào không?
 
1 1 2
x y 3
3x 3y 2xy
x 3 2y 3y
3y
x
2y 3

  
   




Do x  Z thì 2x Z
 
3 2y 3 9
6y
2x
2y 3 2y 3
9
2x 3
2y 3

  




2x  Z  2y – 3  Ư(9).
Từ đó tìm được (x, y) = (2, 6), (3, 3), (6, 2).


13

Để dẫn đến bài toán mới đơn giản hơn.

Tiếp tục phân tích để thấy các bước của thao tác tư duy.

Cuối cùng chính là sự diễn đạt lại bài toán và tiếp theo chủ thể lại
phải diễn đạt bài toán theo khía cạnh mới.

Điều cần lưu ý là chủ thể phải thấy cách diễn đạt nào cho phù hợp với
đối tượng để có thể tiến hành hoạt động giải toán. Quá trình tư duy của con
người diễn ra một cách liên tục và có tính kế thừa. Mỗi cách diễn đạt mới là kết
quả của sự phân tích và tổng hợp những kết quả của giai đoạn trước, được thể
hiện qua các khái niệm và mệnh đề. Khi hoàn thành việc nghiên cứu đối tượng
từ tri thức của chủ thể thì tư duy sẽ ghi lại những thuộc tính bản chất của đối
tượng và nó ít nhiều sẽ giúp ích cho hoạt động sau này. Chính quá trình này sẽ
thúc đẩy tư duy tiến lên nhằm chinh phục đỉnh cao mới và điều này đã làm cho
con người luôn không bao giờ tìm ra giới hạn của tri thức nhân loại. S. L.
Rubinsfein đã chỉ ra, trong quá trình tư duy nhờ phân tích và tổng hợp, thì đối
tượng tham gia vào các mối liên hệ ngày càng mới, rồi những phẩm chất này
lại được ghi trong những khái niệm mới. Như vậy, từ đối tượng dường như
khai thác được ngày càng mới, nên mỗi lần nó quay lại dường như lại khác
và trong nó lại xuất hiện những thuộc tính mới (Petrovski A. V. [Tâm lí lứa
tuổi và tâm lí sư phạm], tập 2, NXB GD HN, 1982, tr. 155).
Theo quan điểm này, sự hình thành các kĩ năng xuất hiện trước hết
như những sản phẩm của tri thức ngày càng được đào sâu. Các kĩ năng được
hình thành trên cơ sở lĩnh hội các tri thức về các mặt và các thuộc tính khác
nhau về đối tượng được nghiên cứu. Các con đường chính của sự hình thành
các kĩ năng - đó là người học phải tự nhìn nhận thấy những mặt khác nhau
trong đối tượng và vận dụng vào đối tượng, phải phát hiện ra những tri thức
khác nhau sẽ diễn đạt mối quan hệ đa dạng giữa đối tượng và tri thức.
biến đổi


14
Có thể dạy cho học sinh kĩ năng bằng những con đường khác nhau.
Một trong những con đường đó là truyền thụ cho học sinh những tri thức cần
thiết, rồi sau đó đề ra cho học sinh những bài toán vận dụng tri thức đó. Đến
lượt mình, học sinh sẽ phải tìm tòi cách giải, bằng những con đường thử

nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm (thử các phương pháp rồi tìm ra phương pháp
tối ưu), qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng, những phương
thức cải biến thông tin, những thủ thuật hoạt động. Người ta còn gọi con
đường dạy học này là dạy học nêu vấn đề. Cũng có thể dạy cho học sinh
bằng con đường khác: Dạy cho học sinh nhận biết những dấu hiệu mà theo
đó có thể đoán nhận được một cách dứt khoát kiểu bài toán và những thao
tác cần thiết để giải bài toán đó. Người ta gọi con đường này là dạy học
angorit hoá hay dạy học trên cơ sở định hướng đầy đủ. Cuối cùng, con
đường thứ ba là như sau: Người ta dạy cho học sinh chủ yếu là những hoạt
động tâm lí cần thiết đối với việc vận dụng tri thức. Trong trường hợp này,
nhà giáo dục không những chỉ cho học sinh tìm hiểu các mốc định hướng để
chọn lọc các dấu hiệu và các thao tác, mà còn tổ chức hoạt động cho học sinh
trong việc cải biến, sử dụng thông tin thu được để giải các bài toán đặt ra.
Con đường này được các nhà tâm lí học nước Nga nghiên cứu, chẳng hạn
như P. J. Galperin, N. F. Talyzyna và những người khác [tài liệu Rehovski
đã dẫn]. Họ cho rằng, để dạy được những điều nêu trên, các thầy cô phải dẫn
dắt học sinh một cách có hệ thống trải qua tất cả các giai đoạn hoạt động của
thao tác tư duy và đòi hỏi phải được định hướng vào các dấu hiệu đã được
ghi lại trong các khái niệm được nghiên cứu.
Trong giai đoạn đầu những mốc định hướng (những dấu hiệu bản
chất) của đối tượng được đưa ra trước học sinh dưới dạng có sẵn, được vật
chất hoá dưới dạng sơ đồ, kí hiệu về các đối tượng, còn các thao tác và các
mốc định hướng thì được thực hiện dưới hình thức những hành động đối
tượng. Chẳng hạn ví dụ. Cho
k
10 1 19 
với k > 1. CMR
2k
10 1 19 
.

15
Để chứng minh được
2k
10 1 19 
thì có thể định hướng cho học sinh
hoặc dùng định nghĩa hoặc dùng tính chất chia hết.
Định nghĩa:
 
a b a b.k b Z .  

Tính chất:
 









a m n
m b m n b.
nb

Cụ thể có thể
 
2k

10 1 19.c c Z  
?  Cách này khó.
Vậy có thể định hướng là
   
2k 2 k k k
k k k
10 1 10 10 10 1
10 10 1 10 1
    
   

Mà
k 2k
10 1 19 10 1 19.  

Ở giai đoạn hai, các mốc định hướng và các thao tác cho đối tượng
được thay thế bằng các kí hiệu và các hành động ngôn ngữ. Như ở ví dụ trên
thì giai đoạn này là thao tác từ việc dùng định nghĩa vận dụng không ra kết
quả. Xong lại tiếp tục dùng tính chất và thay thế bởi thêm bớt 10
k
được kết
quả mong muốn. Như vậy, người giáo viên đã định hướng cho học sinh để
chứng minh bài toán trên trước hết phải phân loại dạng bài tập và tìm nội
dung đã được học để tìm cách giải bài toán qua các giai đoạn cụ thể. Từ đó
xây dựng được cho học sinh hai phương pháp chứng minh bài toán chia hết.
 Tuy nhiên để phát triển bài toán và để sâu cho học sinh, người giáo
viên cần cho học sinh mở rộng bài toán
3k
10 1 19 
?

 Còn cách nào để chứng minh bài toán trên nữa không?
VD: Phản chứng, xét số dư của hiệu đó cho 19, …
Như vậy, học sinh được hình thành kĩ năng tư duy suy luận lôgíc.
Người ta còn gợi ý từ dạy học nói trên là phương pháp hình thành các hành
động trí tuệ qua từng giai đoạn.


16
Trên thực tế, khi hình thành các tri thức mới (có nội dung chứ không
phải khái niệm từ ngữ thuần tuý) ai cũng phải trải qua các giai đoạn này.
Tuy nhiên, trong dạy học thông thường những giai đoạn không được tổ chức
một cách có ý thức. Vì thế, học sinh phải tự phát hiện những dấu hiệu cảm
tính hay những dấu hiệu lôgic, mà điều chủ yếu là các em phải tự lựa chọn
những hành động thích hợp để làm điều đó. Do vậy không thể tránh sai lầm
và do vậy, các tri thức không phải bao giờ cũng được hình thành đầy đủ và
đúng đắn. Để cho các khái niệm được hình thành đầy đủ và đúng đắn thì hoạt
động tương ứng của học sinh phải được xây dựng trên cơ sở định hướng đầy
đủ. Nói một cách khác, thầy cô giáo cần phải truyền thụ cho học sinh tất cả
những dấu hiệu bản chất của đối tượng dưới dạng sẵn có và dạy cho họ
những thao tác cần thiết để phát hiện hay tái tạo những dấu hiệu.
Những nguyên tắc trên cho phép cải tiến một cách căn bản việc dạy
các khái niệm, đặc biệt tăng tốc độ lĩnh hội các tri thức, đảm bảo được tính
mềm dẻo và đầy đủ của chúng, và việc vận dụng chúng một cách đúng đắn
còn cho phép hình thành những tri thức trừu tượng phức tạp ở lứa tuổi sớm
hơn nhiều.
1.2. Chủ đề chia hết
1.2.1. Định nghĩa và tính chất chia hết trong tập hợp Z
a) Định nghĩa. Cho hai số nguyên a, b trong đó b  0. Ta nói a chia hết cho
b nếu tồn tại số nguyên q sao cho a = b.q. Khi đó ta nói a chia hết cho b (a là
bội của b, b là ước của a).

b) Tính chất
- Các tính chất chung
1) Bất cứ một số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó.
2) Tính chất bắc cầu: Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a
chia hết cho c.