Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông qua dạy học giải toán về bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC










NGÔ THỊ CHUNG







RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG
HỌC PHỔ THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN VỀ BẤT
ĐẲNG THỨC CÔSI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC
BUNHIACOPXKI

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN







HÀ NỘI – 2012

2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC




NGÔ THỊ CHUNG



RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN
VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC
BUNHIACOPXKI

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN


CHUYÊN NGÀNH: Lý luận và phƣơng pháp dạy học (Bộ môn Toán)
Mã số: 601410



Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Thành Văn







HÀ NỘI – 2012

83
MỤC LỤC

Lời cảm ơn i
Danh mục kí hiệu viết tắt ii
Danh mục các bảng v
Danh mục các biểu đồ vi
MỞ ĐẦU 1
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 9
1.1 Tƣ duy và tƣ duy sáng tạo 9
1.1.1. Tƣ duy 9

1.1.2. Tƣ duy sáng tạo 11
1.2. Vị trí và chức năng và vai trò của bài tập toán học 16
1.3. Các quy trình giải một bài toán theo bốn bƣớc của Polya 17
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 19
Chƣơng 2 : RÈN LUYỆN TƢ DUY VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI
THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀ BẤT
ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI. 20
2.1. Bất đẳng thức Côsi 20
2.1.1. Bất đẳng thức Côsi: 20
2.1.2 Một số kĩ thuật thƣờng sử dụng 21
2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki 50
2.2.1. Bất đẳng thức Bunhiacopxki 50
2.2.2. Một số hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki 50
2.2.3. Một số kĩ thuật thƣờng dùng 51
2.3. Các bài toán sáng tạo bất đẳng thức 67
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 72
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 74
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm sƣ phạm 74
3.1.1. Mục đích của thực nghiệm 74
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm 74
3.2. Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm 74
3.3. Nội dung thực nghiệm sƣ phạm 74
3.3.1. Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm 74
iii

84
3.3.2. Đề kiểm tra 75
3.4. Những đánh giá từ kết quả bài giảng và bài kiểm tra 77
3.4.1. Kết quả từ bài giảng 77
3.4.2. Kết quả từ bài kiểm tra của học sinh 77

KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 79
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 80
TÀI LIỆU THAM KHẢO 81


iv

4
DANH MỤC KÍ HIỆU VIẾT TẮT
BĐT : Bất đẳng thức
GV : Giáo viên
HS : Học sinh
THPT : Trung học phổ thông
VT : Vế trái
VP : Vế phải

5

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1: Kết quả thống kê từ giáo viên về tính khả thi của giờ dạy.
Bảng 3.2: Tỉ lệ bài trên trung bình và dƣới trung bình của học sinh.
Bảng 3.3: Tỉ lệ bài khá, giỏi của học sinh.




DANH MỤC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 3.1: Kết quả bài kiểm tra, đánh giá của học sinh.

6
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nƣớc ta đang trong giai đoạn công nghiệp hóa, hiện đại hóa và hội nhập với
cộng đồng quốc tế. Trong sự nghiệp đổi mới toàn diện của đất nƣớc, đổi mới giáo
dục là trọng tâm của sự phát triển. Nhân tố quyết định thắng lợi của công cuộc công
nghiệp hóa, hiện đại hóa và hội nhập quốc tế là con ngƣời. Công cuộc đổi mới này
đòi hỏi nhà trƣờng phải tạo ra những con ngƣời lao động năng động, sáng tạo để
làm chủ đất nƣớc, tạo nguồn nhân lực cho xã hội phát triển.
Luật giáo dục nƣớc Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã quy định
“Phƣơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tƣ duy sáng
tạo của ngƣời học, bồi dƣỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vƣơn
lên.” [13].
Những quy định trên phản ánh nhu cầu đổi mới phƣơng pháp giáo dục để giải
quyết mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con ngƣời mới với phƣơng pháp giáo dục của
nƣớc ta hiện nay. Mâu thuẫn này đã làm nảy sinh và thúc đẩy một cuộc vận động
đổi mới phƣơng pháp dạy học ở tất cả các cấp trong ngành giáo dục với định hƣớng
đổi mới là: phƣơng pháp dạy học cần hƣớng vào việc tổ chức cho ngƣời học học tập
trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo.
Nhìn chung, tƣ tƣởng chủ đạo của phƣơng pháp đổi mới là: tập trung vào các
hoạt động của trò; trò tự nghiên cứu, tìm tòi, khám phá; tăng cƣờng giao lƣu trao
đổi giữa trò và trò.
Vấn đề rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh đã đƣợc khá nhiều ngƣời quan
tâm nghiên cứu. Tuy nhiên, việc khai thác và ứng dụng những lí luận này vào thực
tế giảng dạy môn toán ở các trƣờng phổ thông nƣớc ta còn nhiều hạn chế vì hầu hết
giáo viên chƣa thấy đƣợc tác dụng to lớn của phƣơng pháp này nên chƣa đƣợc coi
trọng và áp dụng vào thực tế. Ngoài ra, giáo viên cũng chƣa có nhiều kinh nghiệm

và thiếu những cơ sở lí luận để xây dựng các hoạt động tƣơng thích với nội dung ,
chƣa đƣợc huấn luyện một cách có hệ thống, chƣa có điều kiện để thực hiện,…
Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó trong chƣơng trình toán phổ thông nhƣng
cũng là một phần toán sơ cấp đẹp và thú vị. Trong các kì thi tuyển sinh đại học, thi

7
học sinh giỏi, các bài toán bất đẳng thức hay đƣợc đề cập và là một thử thách thực
sự với các thí sinh.
Xuất phát từ những lí do trên, tôi chọn nghiên cứu đề tài “Rèn luyện tư duy
sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy học giải toán về bất đẳng thức Côsi và bất
đẳng thức Bunhiacopxki”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận của việc rèn tƣ duy.
- Nghiên cứu một số kỹ năng áp dụng bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức
Bunhiacopxki vào chứng minh bất đẳng thức.
- Xây dựng hệ thống bài tập về bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki.
- Thực nghiệm sƣ phạm để kiểm tra tính khả thi của đề tài, trên cơ sở đó đƣa ra
giải pháp nhằm nâng cao chất lƣợng dạy học toán, góp phần tích cực vào công cuộc
đổi mới phƣơng pháp dạy học toán ở trƣờng phổ thông hiện nay.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Các nhiệm vụ nghiên cứu:
- Làm rõ cơ sở lí luận về tƣ duy, tƣ duy sáng tạo và rèn tƣ duy.
- Xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thuận lợi cho việc rèn tƣ duy.
- Thực nghiệm sƣ phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
4. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu nội dung bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki trong
chƣơng trình Toán THPT.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng đƣợc hệ thống bài tập về bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức
Bunhiacopxki với nội dung kiến thức phong phú, sâu sắc và GV biết khai thác triệt

để các bài tập đó để rèn luyện tƣ duy cho HS (rèn năng lực quan sát, rèn các thao
tác tƣ duy, rèn năng lực tƣ duy độc lập, sáng tạo,… ) thì năng lực tƣ duy của HS sẽ
phát triển.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận
- Nghiên cứu tài lí luận về tƣ duy, tƣ duy sáng tạo và tƣ duy toán học.

8
- Nghiên cứu sách giáo khoa, sách giáo viên, sách nâng cao, sách chuẩn kiến thức
có liên quan đến bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Nghiên cứu thực tiễn
- Dự giờ, tổng kết, rút kinh nghiệm khi dạy theo chủ đề này.
- Phỏng vấn, điều tra ý kiến của học sinh, giáo viên về việc dạy và học phần này.
- Thực nghiệm sƣ phạm và thống kê.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chƣơng
Chƣơng 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chƣơng 2. Rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải một
số bài toán về bất đẳng thức Cô si và bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm.

9
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1 Tƣ duy và tƣ duy sáng tạo
1.1.1. Tư duy
1.1.1.1. Định nghĩa
Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con ngƣời chƣa biết. Nhiệm vụ của
cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con ngƣời phải hiểu biết cái chƣa biết
đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra những cái bản chất và
những quy luật tác động của chúng. Quá trình nhận thức đó đƣợc gọi là tƣ duy.
Tƣ duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mối liên
hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiên tƣợng trong hiện thực
khách quan mà trƣớc đó ta chƣa biết [11].
Theo từ điển triết học: “Tƣ duy, sản phẩm cao nhất của vật chất đƣợc tổ chức
một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan
trong các khái niệm, phán đoán, lí luận. Tƣ duy xuất hiện trong quá trình hoạt động
sản xuất xã hội của con ngƣời và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát
hiện những mối liên hệ hợp quy luật. Tƣ duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể
tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội
loài ngƣời cho nên tƣ duy của con ngƣời đƣợc thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ

với lời nói và những kết quả của tƣ duy đƣợc ghi nhận trong ngôn ngữ. Tiêu biểu
cho tƣ duy là quá trình trừu tƣợng hóa, phân tích và tổng hợp. Kết quả của quá trình
tƣ duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó.”
1.1.1.2. Các thao tác của tư duy
a. Phân tích
Là quá trình tách các sự vật, hiện tƣợng tự nhiên của hiện thực với các dấu
hiệu và thuộc tính của chúng cũng nhƣ các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo
một hƣớng xác định. Xuất phát từ góc độ phân tích, các hoạt động tƣ duy đi sâu vào
bản chất thuộc tính của bộ phận từ đó đi tới những giả thiết và những kết luận khoa
học. Trong học tập, hoạt động này rất phổ biến.
b. Tổng hợp

10
Là hoạt động nhận thức phản ánh của tƣ duy biểu hiện trong việc xác lập tính
thống nhất của các phẩm chất, thuộc tính của các yếu tố trong một sự vật nguyên
vẹn có thể có đƣợc trong việc xác định phƣơng hƣớng thống nhất và xác định các
mối liên hệ, các mối quan hệ giữa các yếu tố của sự vật nguyên vẹn đó trong việc
liên kết và liên hệ giữa chúng và chính vì vậy đã thu đƣợc một sự vật và hiện tƣợng
nguyên vẹn mới. Nhƣ vậy, tƣ duy tổng hợp cũng đƣợc phát triển từ sơ đẳng đến
phức tạp với khối lƣợng lớn. Phân tích và tổng hợp không phải là hai phạm trù riêng
rẽ của tƣ duy. Đây là hai quá trình có mối quan hệ biện chứng. Phân tích để tổng
hợp có cơ sở và tổng hợp để phân tich đạt đƣợc chiều sâu bản chất sự vật hiện
tƣợng. Sự phát triển của phân tích và tổng hợp là đảm bảo hình thành của toàn bộ tƣ
duy và các thao tác tƣ duy của học sinh.
c. So sánh
Là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng
nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các sự vật, hiện
tƣợng của hiện thực. Trong hoạt động tƣ duy của học sinh thì so sánh giữ vai trò
tích cực.
d. Trừu tƣợng hóa và khái quát hóa

Trừu tƣợng hóa là quá trình dùng trí óc để gạt bỏ đi những mặt, những thuộc
tính, những mối liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết về phƣơng diện nào đó và
chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết để tƣ duy.
Khái quát hóa là quá trình dùng trí óc để bao quát nhiều đối tƣợng khác nhau
thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những mối liên hệ, quan hệ chung
nhất dịnh. Những thuộc tính này bao gồm hai loại: những thuộc tính giống nhau và
những thuộc tính chung bản chất.
Khái quát hóa và trừu tƣợng hóa có mối liên hệ mật thiết với nhau, chi phối
và bổ sung cho nhau, giống nhƣ mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp nhƣng ở
mức độ cao hơn.
Trên đây là những thao tác tƣ duy cơ bản. Khi xem xét chúng trong một hành
động tƣ duy cụ thể cần chú ý mấy điểm sau:
Thứ nhất, các thao tác tƣ duy có mối quan hệ mật thiết vói nhau, thống nhất
với nhau theo một hƣớng nhất định, do nhiệm vụ của tƣ duy quy định

11
Thứ hai, trong thực tế, các thao tác tƣ duy đan chéo nhau chứ không theo
trình tự máy móc nêu trên.
Cuối cùng tùy theo nhiệm vụ và điều kiện tƣ duy, không nhất thiết hành
động tƣ duy nào cũng phải thực hiện đầy đủ các thao tác trên.
1.1.2. Tư duy sáng tạo
1.1.2.1 Khái niệm tư duy sáng tạo
Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết
vấn đề mới không gò bó và phụ thuộc vào cái đã có. Nội dung của sáng tạo gồm hai
ý chính là có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị hơn cái cũ).
Sáng tạo cần đƣợc nghiên cứu trên nhiều phƣơng diện nhƣ là một quá trình phát
sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, nhƣ một kiểu tƣ duy, nhƣ là một năng lực của con
ngƣời.
Các nhà nghiên cứu đã đƣa ra nhiều quan điểm khác nhau về tƣ duy sáng tạo.
Theo Nguyễn Bá Kim: “Tính linh hoạt, tính độc lập, tính phê phán là những điều

kiện cần thiết của tƣ duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác sáng tạo
của tƣ duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tƣ duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái
mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hƣớng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn mạnh cái
mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ” [11].
Theo Tôn Thân quan niệm: “Tƣ duy sáng tạo là một dạng tƣ duy độc lập tạo
ra ý tƣởng mới, độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao”. Và theo tác giả “tƣ
duy sáng tạo là tƣ duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có. Tính
độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích, vừa trong việc tìm giải pháp”.
Mỗi sản phẩm của tƣ duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo
ra nó [10].
Nhà tâm lí học ngƣời Đức Mehlow cho rằng:”Tƣ duy sáng tạo là hạt nhân
của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục”. Theo ông, tƣ
duy sáng tạo đƣợc đặc trƣng bởi mức độ cao của chất lƣợng, hoạt động trí tuệ nhƣ
tính mềm dẻo, tính chính xác, tính nhạy cảm, tính kế hoạch. Trong khi đó,
J.DanTon lại cho rằng: “Tƣ duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những ý
nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng của kiến thức, trí tƣởng
tƣợng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và học bao gồm những chuỗi

12
phiêu lƣu bao gồm những điều nhƣ: sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tƣởng
tƣợng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm”.
Trong cuốn “Sáng tạo toán học”, G.Polya cho rằng: “Một tƣ duy gọi là có
hiệu quả nếu tƣ duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể coi là
sáng tạo nếu tƣ duy đó tạo ra những tƣ liệu, phƣơng tiện giải các bài toán sau này.
Các bài toán vận dụng phƣơng tiện và tƣ liệu này có số lƣợng càng lớn, có dạng
muôn màu muôn vẻ thì mức độ sang tạo của tƣ duy càng cao. ”[14].
Qua những định nghĩa của các tác giả trên chúng ta đều nhận thấy nét phổ
biến nhất của tƣ duy sáng tạo là tƣ duy sáng tạo ra cái mới. Thật vậy, tƣ duy sáng
tạo dẫn đến những tri thức mới về thế giới, về các phƣơng thức hoạt động. Lene đã
chỉ ra các thuộc tính sau của tƣ duy sáng tạo:

- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kĩ năng sang một tình huống sáng tạo.
- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết “đúng quy cách”.
- Nhìn thấy chức năng mới của đối tƣợng quen biết.
- Nhìn thấy cấu tạo của đối tƣợng đang nghiên cứu.
- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu lời giải.
- Kỹ năng sáng tạo ra một phƣơng pháp giải độc đáo tuy đã biết nhƣng theo một
phƣơng thức khác.
Có thể nói đến tƣ duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng
minh mà học sinh đó chƣa biết đến. Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tƣ duy sáng
tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở
tính hợp lí, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp.
1.1.2.2. Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo
Theo nghiên cứu của các nhà tâm lí học, giáo dục học, về cấu trúc của tƣ duy
sáng tạo, có năm đặc trƣng cơ bản sau:
Tính mềm dẻo
Tính mềm dẻo của tƣ duy là năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trí tuệ này sang
hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tƣ duy này sang thao tác tƣ duy khác, vận dụng
linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tƣợng hóa, khái quát hóa,
cụ thể hóa và các phƣơng pháp suy luận để dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang
giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hƣớng suy nghĩ khi gặp trở ngại. Suy nghĩ không

13
rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức kỹ năng đã có sẵn vào
hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó những yếu tố đã thay đổi, có khả năng thoát
khỏi ảnh hƣởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phƣơng pháp, những cách
suy nghĩ từ trƣớc. Đó là nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy
chức năng mới của đối tƣợng quen biết.
Nhƣ vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tƣ duy sáng
tạo. Do đó, để rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh ta có thể cho các em giải các
bài tập mà thông qua đó rèn luyện đƣợc tính mềm dẻo của tƣ duy.

Tính nhuần nhuyễn
Tính nhuần nhuyễn của tƣ duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh chóng
sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các tình huống, hoàn cảnh, đƣa ra giả thuyết
mới. Các nhà tâm lí học rất coi trọng yếu tố chất lƣợng của ý tƣởng sinh ra, lấy đó
làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo.
Tính nhuần nhuyễn đƣợc đặc trƣng bởi khả năng tạo ra một số lƣợng nhất định
các ý tƣởng. Số ý tƣởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý
tƣởng độc đáo, trong trƣờng hợp này số lƣợng làm nảy sinh chất lƣợng. Tính nhuần
nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2 đặc trƣng sau:
Một là tính đa dạng của các cách xử lí khi giải toán, khả năng tìm đƣợc nhiều
giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trƣớc một vấn đề giải
quyết, ngƣời cố tƣ duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất đƣợc nhiều
phƣơng án tối ƣu.
Hai là khả năng xem xét đối tƣợng dƣới nhiều khía cạnh khác nhau, có cái nhìn
sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tƣợng chứ không phải cái nhìn bất
biến, phiến diện, cứng nhắc.
Tính độc đáo
Tính độc đáo của tƣ duy đƣợc đặc trƣng bởi các khả năng:
- Khả năng tìm ra những hiện tƣợng và những kết hợp mới.
- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài liên tƣởng
nhƣ không có liên hệ với nhau.
- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.

14
Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có mối quan hệ
mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Tính mềm dẻo của tƣ duy sáng tạo tạo
điều kiện cho việc tìm đƣợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác
nhau và nhờ đó đề xuất đƣợc nhiều phƣơng án khác nhau mà có thể tìm đƣợc giải
pháp lạ, đặc sắc. Các yếu tố này có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác nhƣ: tính
chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề. Tất cả các yếu tố đặc trƣng nói

trên cùng góp phần tạo nên tƣ duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí
tuệ của cin ngƣời.
Tính hoàn thiện
Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động,
phát triển ý tƣởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tƣởng.
Tính nhạy cảm vấn đề
Tính nhạy cảm vấn đề có những đặc trƣng sau:
- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề.
- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chƣa tối ƣu từ đó có nhu
cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới.
Các yếu tố cơ bản của tƣ duy sáng tạo nêu trên đã biểu hiện khá rõ ở học sinh
nói chung và đặc biệt rõ nét đối với học sinh khá giỏi. Trong học tập Toán mà cụ
thể là hoạt động giải toán, các em đã biết di chuyển, thay đổi các hoạt động trí tuệ,
biết sử dụng xen kẽ phân tích và tổng hợp, dùng phân tích khi tìm tòi lời gải và
dùng tổng hợp để trình bày lời giải. Ở học sinh khá giỏi cũng có sự biểu hiện các
yếu tố đặc trƣng của tƣ duy sáng tạo. Điều quan trọng là ngƣời giáo viên phải có
phƣơng pháp dạt học thích hợp để có thể bồi dƣỡng và phát triển tốt hơn năng lực
sáng tạo ở các em.
1.1.2.3. Một số việc cần làm để phát triển tư duy toán học cho học sinh
Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo
Trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dƣỡng từng yếu tố của tƣ duy
sáng tạo: tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo. Có thể khái thác nội dung
các vấn đề giảng dạy, đề xuất các câu hỏi thông minh nhằm giúp học sinh lật đi lật
lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm thật vững bản chất các

15
khái niệm, các mệnh đề, tránh đƣợc lối học thuộc lòng máy móc và vận dụng thiếu
sáng tạo.
Sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tƣ duy sáng
tạo nhƣ: những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là việc áp dụng công thức

tổng quát, những bài tập có nhiều lời giải khác nhau đòi hỏi học sinh phải biết
chuyển từ phƣơng pháp này sang phƣơng pháp khác, những bài tập có những vấn đề
thuận nghịch đi liền với nhau, song song với nhau, giúp việc hình thành các liên
tƣởng ngƣợc xảy ra đồng thời với việc hình thành các liên tƣởng thuận, những bài
toán không theo mẫu, không đƣa đƣợc về các loại giải toán bằng cách áp dụng các
định lí, quy tắc trong chƣơng trình…
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện
khả năng phát hiện vấn đề, khơi dậy những ý tưởng mới
Về giảng dạy lý thuyết, cần tận dụng phƣơng pháp tập dƣợt nghiên cứu, trong
đó giáo viên đƣa ra các tình huống có vấn đề dẫn dắt học sinh tìm tòi, dự đoán đƣợc
những quy luật của thế giới khách quan, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự
đoán đƣợc các kết quả, tìm đƣợc hƣớng giải của một bài toán, hƣớng chứng minh
một định lý. Nói cách khác là tăng cƣờng cả hai bƣớc suy đoán và suy diễn trong
quá trình dạy toán.
Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong đó chƣa rõ điều phải
chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện vấn đề và giải quyết
vấn đề.
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác
Việc bồi dƣỡng tƣ duy sáng tạo cho học sinh cần đƣợc tiến hành trong mối quan hệ
hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác nhƣ: phân tích, tổng hợp, so sánh, tƣơng tự,
trừu tƣợng hóa, đặc biệt hóa, hệ thống hóa trong đó phân tích và tổng hợp đóng vai
trò nền tảng.
Để bồi dƣỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tƣ duy, học sinh cần đƣợc
luyện tập thƣờng xuyên năng lực tiến hành phân tích đồng thời với tổng hợp để nhìn
thấy đối tƣợng dƣới nhiều khía cạnh khác nhau trong những mối quan hệ khác nhau.
Trên cơ sở so sánh các trƣờng hợp riêng lẻ, dùng phép tƣơng tự hóa để chuyển từ
trƣờng hợp riêng lẻ này sang trƣờng hợp riêng lẻ khác, khai thác mối liên hệ mật

16
thiết với trừu tƣợng hóa, làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa mệnh đề xuất phát và

mệnh đề tìm đƣợc bằng đặc biệt hóa và hệ thống hóa, ta có thể luyện tập cho học
sinh khái quát hóa tài liệu toán học, tạo khả năng tìm đƣợc nhiều giải pháp trên
nhiều góc độ và tình huống khác nhau, khả năng tìm ra những mối liên hệ trong
những sự kiện bên ngoài tƣởng nhƣ không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giải
pháp lạ hoặc duy nhất. Các hoạt động này góp phần bồi dƣỡng tính nhuần nhuyễn
cũng nhƣ tính độc đáo của tƣ duy.
1.1.3. Vị trí và chức năng và vai trò của bài tập toán học
1.1.3.1. Vị trí
Bài tập toán học có vai trò đặc biệt quan trọng trong môn Toán ở trƣờng phổ
thông. Giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Thông qua
giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động nhƣ nhận dạng, thể hiện các khái
niệm, định nghĩa, định lí, qui tắc hay phƣơng pháp, những hoạt động toán học phức
hợp, những hoạt động trí tuệ chung, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán
học.
Giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh nắm
vững tri thức, phát triển tƣ duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo và ứng dụng toán học
vào thực tiễn.
1.1.3.2. Chức năng và vai trò của bài tập toán học
Chức năng của bài tập toán học là: dạy học, giáo dục, phát triển và kiểm tra.
Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba bình diện: mục đích, nội dung và phƣơng
pháp của quá trình dạy học. Cụ thể là:
Về mặt mục đích dạy học: bài tập toán thể hiện những chức năng khác nhau
hƣớng đến việc thực hiện mục đích dạy học của môn toán nhƣ:
- Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng toán học ở
những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học
- Phát triển năng lực trí tuệ chung: rèn luyện các thao tác tƣ duy, hình thành các
phẩm chất trí tuệ.
- Hình thành, bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng nhƣ những
phẩm chất đạo đức của ngƣời lao động mới.

17
Về mặt nội dung dạy học, bài tập toán là một phƣơng tiện để cài đặt nội dung
dƣới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã học ở phần
lý thuyết.
Về mặt phƣơng pháp dạy học, bài tập toán là giá mang những hoạt động để HS
kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy học
khác nhau. Khai thác tốt bài toán nhƣ vậy sẽ góp phần tổ chức tốt cho HS học tập
trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo đƣợc thực
hiện độc lập hoặc trong giao lƣu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán đƣợc sử dụng với những dụng ý khác
nhau. Về phƣơng pháp dạy học, đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc
với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra…Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập toán là
phƣơng tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu kiến thức, khả năng làm
việc độc lập và trình độ phát triển tƣ duy của HS cũng nhƣ hiệu quả giảng dạy của
GV.
1.1.4. Các quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya
Theo Polya (1975), phƣơng pháp chung cho quá trình tìm lời giải bài toán gồm
bốn bƣớc
Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Để tìm hiểu nội dung bài toán, HS cần thực hiện các thao tác: phát biểu đề bài
dƣới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán; phân biệt cái đã cho
và cái phải tìm, phải chứng minh; dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ việc
diễn tả đề bài
Qua các bƣớc ở trên ta thấy, việc đánh giá đƣợc dữ kiện có thỏa mãn không,
thừa hay thiếu…đã bƣớc đầu thể hiện tƣ duy sáng tạo. Nếu làm tốt đƣợc bƣớc này
thì việc giải bài toán có thể rất thuận lợi để tìm đƣợc lời giải đúng.
Bƣớc 2: Tìm cách giải
Để tìm đƣợc cách giải, HS cần thực hiện những hoạt động sau:
Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán nhƣ: biến
đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc

cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với bài toán cũ
tƣơng tự, một trƣờng hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó

18
có liên quan, sử dụng phƣơng pháp đặc thù với từng dạng toán nhƣ chứng minh
phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích…
Kiểm tra lời giải bằng cách xem kĩ từng bƣớc thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết
quả tìm đƣợc hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan. Tìm thêm
cách giải khác, so sánh và chọn ra cách giải hợp lí nhất.
Thực hiện đƣợc các hoạt động ở bƣớc 2, tƣ duy sáng tạo đã đƣợc thể hiện ở
mức độ cao hơn. Chẳng hạn việc liên hệ một bài toán liên quan hay tổng quát chính
là sự thể hiện tƣ duy sáng tạo.
Bƣớc 3: Trình bày lời giải
Trong quá trình tìm kiếm cách giải, học sinh thƣờng phải áp dụng thao tác mò
mẫm dự đoán. Do đó, có thể còn có những ý tƣởng, những thao tác chƣa trọn vẹn,
còn rƣờm rà phức tạp, thậm chí sai xót…, những suy luận dài dòng. Nhƣ vậy, việc
chỉnh sửa những ý tƣởng, thao tác hay suy luận là cần thiết.
Hơn nữa, thực tế cho thấy có nhiều học sinh đã hiểu rõ con đƣờng giải toán
nhƣng lại không thể trình bày một lời giải đúng. Vì vậy, ngoài việc tìm tòi lời giải
bài toán, cần rèn luyện cho học sinh cách trình bày một lời giải sao cho ngắn gọn,
đầy đủ và chính xác. Trong bƣớc này, cần chú ý sử dụng các kí hiệu, ngôn ngữ toán
học một cách thích hợp và chính xác.
Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
- Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn đề.
Trong quá trình giải toán nên cho học sinh biết các nội dung của logic hình
thức một cách có ý thức, xem nhƣ vốn thƣờng trực quan trọng để làm việc với toán
học cũng nhƣ để sử dụng trong quá trình học tập liên tục, thƣờng xuyên. Để thực
hiện điều này, sau khi giải xong mỗi bài toán, cần có phần nhìn lại phƣơng pháp đã
sử dụng, dần dần những hiểu biết về logic hình thức sẽ thâm nhập vào ý thức học

sinh.
Nên hệ thống hóa các bài toán có liên quan với một chủ đề hay một mô hình
nào đấy để học sinh thấy đƣợc những tính chất đa dạng thông qua các chủ đề và mô
hình đó, cũng là cơ sở quan trọng để phát triển tƣ duy sáng tạo trong quá trình hạt
động và nghiên cứu.

19

KẾT LUẬN CHƢƠNG 1
Chƣơng này trình bày một số vấn đề thuộc lí luận về tƣ duy, tƣ duy sáng tạo,
các yếu tố đặc trƣng của tƣ duy sáng tạo và phƣơng pháp giải bài tập toán.
Dựa trên những căn cứ lí luận trên, tôi xác định phƣơng hƣớng cho giải pháp
rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học bất đẳng thức Côsi và bất đẳng
thức Bunhiacopxki ở trƣờng THPT sẽ trình bày trong chƣơng 2.

20
CHƢƠNG 2
RÈN LUYỆN TƢ DUY VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI
THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ
SI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI.
2.1. Bất đẳng thức Côsi
2.1.1. Bất đẳng thức Côsi:
Với n số không âm
12
, , , ( 2)
n
a a a n 
, ta có:
12
12

.
n
n
n
a a a

a a a
n
  

.
Đẳng thức xảy ra
12

n
a a a   
.
Trong trƣờng hợp
2n 
, bất đẳng thức Côsi có dạng:
, 0, 0
2
ab
ab a b

  
.
Một số hệ quả thƣờng sử dụng:
1,
1 1 4
, 0, 0ab
a b a b
   

.
2,

2
, 0, 0
11
2
ab
ab a b
ab

   

.
3,
 
 
2
22
2 , 0, 0a b a b a b    
.
Trong trƣờng hợp
3n 
, bất đẳng thức Côsi có dạng:
3
, 0, 0, 0
3
abc
abc a b c

   
.
Một số hệ quả thƣờng sử dụng:

1, Cho
   
, , , 8a b c a b b c c a abc

    
.
2, Cho
2 2 2
, , ,a b c a b c ab bc ca

     
.
3, Cho
, , ,a b c ab bc ca a bc b ca c ab

     
.
4, Cho
1 1 1 1 1 1
, , ,abc
abc
ab ca bc

     
.
5, Cho
 
1 1 1
, , , 9a b c a b c
abc



     



.
Bất đẳng thức Côsi là bất đẳng thức quen thuộc nhất và đƣợc áp dụng rộng
rãi khi chứng minh bất đẳng thức. Sự thành công của việc áp dụng bất đẳng thức

21
Côsi để chứng minh các bài toán về bất đẳng thức hoàn toàn phụ thuộc vào sự linh
hoạt của ngƣời sử dụng và kĩ thuật chọn các số
12
, , ,
n
a a a
.
2.1.2 Một số kĩ thuật thường sử dụng
2.1.2.1. Kĩ thuật cân bằng hệ số
Trong bất đẳng thức, “kĩ thuật cân bằng hệ số” hay “kĩ thuật chọn điểm rơi”
là một kĩ thuật quan trọng. Ý tƣởng của kĩ thuật này chính là việc xác định đƣợc dấu
đẳng thức xảy ra khi nào để có thể sử dụng đƣợc những đánh giá hợp lí. Ta hãy mở
đầu bằng một ví dụ đơn giản sau:
Ví dụ 1: Với
, , 0abc
thỏa mãn
1ab bc ca  
. Chứng minh rằng:
3 3 3

1
3
abc  
.
Chứng minh: Ta có:
3 3 3 3
3
1 1 1
3 3 . 3
3 3 3 3 3
a b a b ab ab    
.
Tƣơng tự:
33
33
1
3,
33
1
3.
33
b c bc
c a ac
  
  

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta đƣợc:
 
 
 

3 3 3
3 3 3
3 3 3
1
2 3 3
3
12
23
33
1
.
3
a b c ab bc ca
abc
abc
      
     
   

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1
3
abc  
.
Ví dụ 2: Với
, , 0abc
. Chứng minh rằng
 
3 3 3
2

1
3
abc
ab bc ac

   
.
Phân tích và định hướng lời giải
Biểu thức dƣới dấu căn bậc 3 là một tích của 2 thừa số. Để sử dụng đƣợc
BĐT Côsi ta cần viết:
.1, .1, .1.ab ab bc bc ca ca  


22
Nói khác đi, ta đã thêm vào thừa số 1 ( hằng số ở đây là 1 ).
Khi đó, theo BĐT Côsi, ta có:
33
33
33
1
.1 ,
3
1
.1 ,
3
1
.1 .
3
ab
ab ab

bc
bc bc
ac
ac ac







Cộng vế với vế của các BĐT trên, ta đƣợc:
   
3 3 3 3 3 3
2 3 2
1.
33
a b c a b c
ab bc ac ab bc ac
    
       

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1.abc  

Từ hai ví dụ trên, ta xây dựng phƣơng pháp giải cho dạng toán này nhƣ sau:
Bƣớc 1: Cho
abc
, thay vào điều kiện để xác định
,,abc

.
Bƣớc 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi với
2,3, 4,5 n 
cùng với các số hạng hằng số
đã xác định ở bƣớc 1 để mô tả điều kiện hoặc biểu thức cần chứng minh.
Phƣơng pháp trên đƣợc gọi là phƣơng pháp thêm bớt hệ số khi sử dụng BĐT
Côsi. Vấn đề quan trọng ở chỗ cần chọn hằng số nhƣ thế nào để có thể áp dụng
đƣợc BĐT Côsi vào BĐT cần chứng minh. Đồng thời phải chọn đúng hệ số khi
ghép cặp để đẳng thức có thể xảy ra đƣợc.
Ví dụ 3: Với
1x 
. Hãy tìm gía trị nhỏ nhất của biểu thức
1
3.
2
yx
x


Phân tích và định hướng lời giải
Lời giải sai: sử dụng Côsi dạng
2a b ab
, dễ thấy:
11
3 2 3 . 6.
22
y x x
xx
   

Vậy ta có kết luận min
6.y 

Nguyên nhân của lời giải sai: Lời giải trên sai vì trong đánh giá trên, dấu
bằng của bài toán chỉ xảy ra khi
1
3
2
x
x

tức
1
6
x 
. Tuy nhiên, giá trị này lại không
thỏa mãn điều kiện xác định của bài toán.
Sau đây là lời giải đúng

23
Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi
1x 
. Để bảo toàn dấu bằng khi sử dụng BĐT
Côsi, ta chọn hằng số

sao cho
1
2
x
x



. Cho
1x 
ta đƣợc
1
2


. Từ đó ta có:
1 5 1 5 1 5 5 7
3 2 . 1 1 .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x x x x x
yx
x x x

           



Vậy ,min
7
2
y 
, đạt đƣợc tại
1x 
.
Ví dụ 4: Với
, , 0abc

thỏa mãn
1abc  
. Chứng minh rằng
6.a b b c c a     

Phân tích và định hướng lời giải
Dự đoán dấu của đẳng thức xảy ra khi
1
abc
abc



  

, khi đó
1
3
2
.
3
abc
a b b c c a

  




     




Từ đó, để bảo toàn đƣợc dấu bằng cho bài toán, ta sẽ đánh giá nhƣ sau:
Bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành:
     
2 2 2
2.
3 3 3
a b b c c a     

Tới đây, ta sử dụng BĐT Côsi dạng
2
xy
xy


, ta có:
 
 
 
 
 
 
2 2 2
2 2 2
3 3 3
, , .
3 2 3 2 3 2
a b b c c a

a b b c c a
     
     

Cộng vế với vế các BĐT trên, ta đƣợc BĐT cần chứng minh.
Ví dụ 5: a) Với
1, 1xy
. Chứng minh rằng
1 1 .x y y x xy   

b) Với
,0xy
thỏa mãn
1xy
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
11
1 1 .A
xy


  





24
Phân tích và định hướng lời giải
a) Ý tƣởng đầu tiên chúng ta nghĩ tới là làm thế nào để phá bỏ đƣợc lớp căn
thức ở vế trái ( vì biểu thức vế phải không chứa căn). Một cách tự nhiên, ta nhớ lại
BĐT Côsi bộ hai số dạng:
.
2
ab
ab



Thật vậy, ta để ý rằng:
 
 
11
1 1. 1
22
1.
2
y
y
yy
xy
xy

    
  

Tƣơng tự:
1.
2
xy
yx

Cộng vế với vế 2 BĐT trên ta suy ra đƣợc điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi
1 1 2
1 1 2.
xx
yy
  



  


b) Nhận thấy biểu thức
22
11
11A
xy


  





là biểu thức đối xứng chứa
22
,xy
ở dƣới
mẫu nên ta dự đoán dấu bằng sẽ xảy ra khi
1
2
xy
. Khi đó
9A 
. Ta sẽ đi chứng
minh nhận định này là đúng, tức
9.A 

BĐT này có thể viết lại thành:
   
2 2 2 2 2 2 2 2
1 . 1 9 1 8 .x y x y x y x y      

Vì
 
2
1 xy
nên ta sẽ quy bài toán này về chứng minh
 
2
2 2 2 2
8x y x y x y   

 
2 1 4 0.xy xy  

Điều này luôn đúng vì theo Côsi có:
 
2
1
0.
44
xy
xy

  

Bất đẳng thức đã đƣợc chứng minh xong. Vậy min
9A 
tại
1
.
2
xy

Ví dụ 6: Cho
,xy
là những số thực thỏa mãn điều kiện
8x y xy  
. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
22
.P x y