lý thuyết kỹ thuật rung trong xây dựng

NGUYÊN ĐÌNH CHIỀU
NGUYÊN TRỌNG.
NGUYÊN ANH TUẤN

_

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

)

THUAT

RUNG
_TR0NG XÂY DỰNG
LT/
NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT


NGUYÊN ĐÌNH CHIỀU (Chủ biên)

NGUYEN TRONG - NGUYEN ANH TUẤN

CO SỞ
LY THUYET KY THUAT RUNG
TRONG XAY DUNG

I

NHÀ XUẤT BAN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT
HÀ NỘI - 2004

LỜI NÓI ĐẦU
các thiết
Kỹ thuật rung đầu tiên được đưa vào các dụng cụ đo đạc:
yếu thực biện các kích rung
bị thí nghiệm: các máy, trong đó chủ
đã đưa kỹ
gây ra lực kích động có mục dich. Dan dan, người ta
nghệ sản
thuật rung vào các máy và thì št bị thực hiện trong công
xuất, xây dựng, khử rung và giảm rung, điểu khiển rung..

đặc
Kỹ thuật rung. trước hết dựa trên cơ sở của lý thuyết dao động,

biệt là đao động của hệ phi tuyến. Trong ly thu:

t, kỹ thuật rung

thuyết
đã sử dụng các thành tựu của toán học. cơ học giải tích, lý

vực khoa
ẩn định chuyển động, lý thuyết tự điều khiển và các lĩnh
với động lực
học khác. Lý thuyết kỹ thuật rung liên quan chặt chế
siêu âm,
học máy và cơng trình, kỹ thuật điện, vơ tuyến điện,

địa chấn..

thể liệt kê
Các lĩnh vực áp dụng kỹ thuật rung ngày một tăng. Có
một số lĩnh vực quan trọng, đó là:
«

Tạo hình sản phẩm
khung rung.

«

Làm

chặt

hỗn hợp

bêtơng cốt thép trên bàn rung hay trên các

bêtơng

trong các cơng trình thủ)

nơng, Xâv

các máy
dựng nhà. móng và trụ cầu bằng các máy rung mặt và
rung sâu.

«

mặt đường bằng
Làm chặt đất nền đường, làm chặt lớp áo
... nhờ
bêtông átphan, lớp phủ mặt đường bằng bêtông ximăng

các thiết bị rung khác nhau.

+

chất.
Sử dụng búa rung và búa va rung khi khoan thăm dị địa

«

dạng. hệ sé ma
Phan loai vật liệu theo kích thước. mật độ, hình
sát trên các thiết bị rung (ưới và sàng rung)...


|+

CƠ SỞ LÝ THUYẾT KỸ THUẬT RUNG TRONG XÂY DUNG
Kỹ thuật rung và công nghệ rung là một lĩnh vực mới mẻ. Do đó
cịn nhiều vấn để tổn tại cä về lý thuyết cũng như thực tế chưa

cần phải

được làm sáng tỏ. Để giải quyết nó và đảm bảo sự tiến bộ

vì

tiến hành nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm trong một phạm
trong
rộng. Hàng loạt các vấn để và các bài tốn được các tác giả

và ngồi nước quan tâm. đó chính là:

© Nhóm
q

thứ nhất: các vấn để liên quan đến việc nghiên cứu các

trình phát ra dao động cơ học, chẳng hạn:

nghiên

cứu các

máy kích động như các bộ biến đổi năng lượng nguồn vào nang
lượng cơ học, các máy phát dao động cơ học ngẫu nhiên.

Nhóm:

©—

thứ hai:

các vấn đề dẫn tới giải quyết các bài toán động

lực học của máy rung và va rung:

nghiên cứu quá trình chuyên

và tạo ra các phương pháp giảm công suất yêu cầu. giảm trọng
lượng kết cấu dẫn động, giảm dao dong mạnh khi chuyển qua
cộng hưởng: nghiên cứu hiện tượng động lực của hệ có một và
nhiều bậc tự do khi cộng hưởng và gần cộng hưởng: nghiên cứu
động lực của hệ có Lác dụng của nhiều lực điều hoà. của hệ với

phân bố và của hệ phức tạp: giải các bài toán khi có sự
làm việc đồng thời của hai hay một số máy kích rung.
thơng số

©

Nhóm thứ ba: các vấn để nghiên cứu tính chất của các
mơi trường khác nhau, trong đó có tác động của các may rung
làm việc:

ghiên cứu động lực của mơi trường có dạng hạt thơ và hạt
mịn được áp dụng khi giải các bài toán đối với các máy rung
để phân loại vật liệu. máy dịch chuyên rung. máy làm chật
nhờ rung;
các bài
-- Nghiên cứu động lực của hỗn hợp bêtơng áp dụng vào
và làm
tốn địch chuyên rung. vận chuyển rung, làm chặt
phẳng rụng, tạo hình sản pham...:
- Nghiên

cứu

động

lực biến dạng

dẻo của thép

đưới

vụng và và rụng khi hạ các chỉ tiết bằng phương

tác dụng

pháp

đóng,


5

LỚI NÓI ĐẤU
rèn

đập

và

dáL

vật liệu:

nghiên

cứu

động

lực

của

béténg

ấtphan khi áp dụng làm chặt bằng rung động:

— Nghiên cứu các tính chất hóa lý và cơ lý đo ảnh hưởng rung
trong mơi trường có chất lỏng...
©—

Nhóm

thứ tt:

các vấn để nghiên cứu tương tác của các bộ phận

làm việc của máy rung và và rung với mơi trường. trong đó chú

ý đặc biệt đến tương tác lực: giải các bài toán về sự phân bố lực

và áp lực tác dụng lên máy công tác từ môi trưởng: nghiên cứu

sự thay đổi tác dựng tương hỗ dưới ảnh hưởng của máy cơng tắc
À mơi trường...

Nhóm

«

thứ năm:

lượng của
năng

máy

để liên quan

các vấn
rung.

chu

lượng của hệ phụ

kỳ năng
thuộc

đến

nghiên

lượng và đặc

vào tình

trạng

năng

cứu

trưng hao

máy

tấn

rung và do

tính chất nguồn năng lượng.

»

Nhom thứ sáu: các vấn để về tìm kiếm và tạo ra phương pháp

mới làm sáng tỏ các phương pháp: của các hệ rung tự điều khiến.
nác hệ tự điểu chỉnh rung và tự kiểm tra chất lượng phương tiện
ky thuật rung

là các phương pháp liên
quan tới việc sử dụng các thiết bị rụng (máy rung va bia rung) dé

Các

phương

pháp

rung

trong

xây

dựng

hạ chìm vào đất hay kéo ra từ môi trường đất các kết cấu khác
nhau (cọc, ống. cữ...): để khoan thăm đò: để làm chặt nền đất. các
hỗn hợp bêtông và phá hoại cấu trúc đất nền...
Tên cơ sở kinh nghiệm. ý tưởng hạ chìm các kết cấu vào đất bằng
thiết bị rung được các tác giá đưa

ra vào những

thế kỷ XX. nhưng phải chờ đến những năm
được áp dụng rộng rãi. Các kết quả nghiên
nứa thế k ý qua của các nhà nghiên cứu ở
viêng lẻ và tần mạn
nước ta ịn trình bà
tạp chí, đồng thời không

năm

34 - 40 của

50 cua thé ky XX mdi
cứu và áp dụng trong
ngoài nước cũng như ở
trong các tài liệu hay

được thường xun

cơng bố một

cách

hệ

thống. Vì vậy. mục đích chính của cuốn sách này nhằm trình bày


CƠ SỞ LÝ THUYẾT KỸ THUAT RUNG TRONG XÂY DỰNG
cơ học liên quan trực
mot sé van dé ed bản của lý thuyết đao động
và một vài bài toán cơ
tiếp đến áp dụng kỹ thuật rung nói chung
các tác giả trong và
bản cũng như các kết quả nghiên cứu của
đó đặc biệt chú ý đến
ngoài nước vào những năm gần đây, trong
trong Xây dựng.
những mê hình bài tốn áp dụng kỹ thuật rung

đối với các sinh viên
Các tác giả hy vọng cuốn sách sẽ có tác dụng

năm

cuối của ngành

máy và cơng trình; các kỹ sư và cán bộ kỹ

thuật trực tiếp làm cơng tác sản xuất.

thiết kế thi cơng các cơng

có thể làm tài liệu
trình nhà, thủy lợi, giao thơng: đồng thời cũng
cứu sinh mà trong
tham khảo cho các học viên cao học, nghiên
và cơng trình.
cơng việc có liên quan đến động lực học máy

được những
mới được in lần đầu. nên khơng thể tránh
dựng của
Chúng tơi rất mong được sự đóng góp xây
khiếm khu
trong các lần xuất bản
độc giả để cuốn sách ngày càng hoàn chỉnh

Cuốn

sách

tiếp theo.

ÁC TÁC GIÁ


Chương 1

DAO DONG CUONG BUC CUA HE
TUYEN TINH CO MOT VA HAI BAC TU DO
NH
§1.1. PHUONG PHAP THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌ
G
VI PHÂN CHUYỂN BONG CUA HE DAO ĐỘN
1.1.4.

CÁC PHƯƠNG

CHUYEN DONG
Lựa

chọn

THIẾT

PHÁP

phương

thiết

pháp

PHƯƠNG

LẬP
lập

phương

trình

TRÌNH

VI

vi phân

PHAN
chuyển

phụ thuộc vào mơ hình cơ
động dao động của hệ có nhiều bậc tự do

cách sau:
học của hệ, Người ta thường sử dụng ba

IÍ
4.1.1,a. Dùng phương trình Lagrăng loại

tự do; được xác định bởi các
Hơlơnơm có 2 chất điểm và s bậc
2, se s), phương trình Lagrang
tọa độ suy rộng độc lap gq) @ = 1,
Hệ

loại I1 có dạng:

d[£r)\ ot

dt aq}

any

eq,

1.1.1.b. Sử dụng nguyên lý Đalămbe

các lực hoạt động tác dụng
"Theo nguyên lý này, ở mỗi thời điểm
lên cơ hệ và các phản
Ta có:

lực liên kết cân bằng với các lực quán

tính.


CƠ SỞ LÝ THUYẾT KỸ THUẬT RUNG TRONG XÂY DỰNG.

8

SEN,

| RY

rt

Som

So

FF y+ ym,

k

0:

y+ Smee

k

trong dé: Fy!" = -m, W,

_

(1.2)

)=0.

&

.

1.1.1.c. Ap dung phương pháp lực
địch chuyển Lheo hướng¿ đo lực đơn vị Lác dụng theo hướng k
Các
gây ra gọi là dịch chuyển đơn vị. ký hiệu là ä„. Các ỗ¿ còn gọi là

các hệ số ảnh hưởng (hình 1.1). Đối với hệ đàn hồi. theo hướng È
chịu tác đụng của lực P,

thì

địch chuyển do nó gây ra theo hướng

¡ sẽ tỷ lệ với lực. nghĩa là y, = P,3,,. Do dé đưới tác dụng đồng thời
của

các lực

(PP, viên P.).

dich chuyển

toàn

phần

xác định

theo

hệ thức:

(1.3)

v. =3 Pu
k

5.

__|

tT
Hình 1.1

Cơng thức (1.3) là cơ sở để thiết lập phương trình vi phân chuyển

động dao động của hệ. Các hệ số Š„

được xác định theo công thức

Mohr hoặc phép nhân biểu đồ Vêyêsaghin. Theo định lý Mac-xoen
ta c6 8, =5,;1.1.2.

PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN DAO BONG CUA HE n CHAT DIEM CO s

BAC TY DO

Bay gid ta ap dung (1.1) để viết phương trình ví phân dao động cho

hệ n chất điểm có ø bậc tự do, chịu tác dụng của các lực có thế, các
lực cần (nhớU phụ thuộc bậc nhất vào vận tốc và các lực kích động


Chương ¡. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH CĨ MỘT VÀ HAI BẬC TỰ DO

9

ngồi là hàm bất kỳ của thời gian ý. Ta có lực suy rộng của các lực

trên được biểu thị:
i

x

ôn

ge

0G;

9

S3;

QP? saw.

Xét dao động nhỏ thì:
T2313 Ÿ quái, :

“ưa
an

—X...

=3

(1.4)

“ii
Tent

Ð bụớ¡4.

2m

fol

Các hệ số a, =ứ„:

bụ =b„:

điều kiện CwbBecTp.

Thay

cụ =c„

là các hằng số và thỏa mãn

(1.4) vào (1.1) ta nhận

trình vi phân dao động của hệ:

5) du, + bya;

ma

im

được

phương

+ 3 cụa, =Q,(9,(= 1,3, .... 8)

(1.5)

i

Có thể viết (1.5) ở dạng:

fay, a, mai
đại Ay

Oy, || dy

By Bye bie [ah |]
+ Bay

Bay Bay | | Qe

ị

[9. |
Car Car Con |]

mn Bye :/:ƠƠƯỢỨŒ.....Ð

|

—

Q, |

1
(1.ỗa)

§1.2. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC
CỦA HỆ TUYẾN TÍNH CĨ MỘT BẬC TỰ DO
Dao động cưỡng bức xảy ra khi hệ có tác dụng của các kích động
ngồi. Các kích động này có thể tuần hồn hay va chạm.


CƠ SỞ LÝ THUYẾT KỸ THUẬT RUNG TRONG XÂY DỰNG.

10

Phương trình Ioagrăng TI trong trường hợp này có dang:

afer)

dt\eg,;

oT

sị

ơn

aq

@
ms

Với dao động nho: T = ar
Tp

ên

eg?

cẹP

b= 5b

`

*

thay vào phương trình trên, La được:

Dat Q(t) = - @?.

a

(1.6)

G+ 2ng+k’q=Qt).

trong đó: 2n = 6

a

Phương

trình

ÁP,

a

(1.6) là phương

trình

vị phần

dao

động

cưỡng

của hệ tuyến tính một bậc tự do. Trường hợp n < #, nghiệm
quất của nó là:
g = Ae

trong đó:

sin(hi+B,)

tq.

bức

tổng
(1.7)

kỷ = kh” THỂ:
A.D- được xác định từ diều kiện ban dầu:
q - nghiệm riêng của phương trình (1.6).

Nghiệm riêng q tìm đưới dang:

q=e "Z0.

(1.8)

Thay (1.8) vào (1.6). ta nhận được phương trình đối với hàm Z0):

3 +R‡Z =Q0)e".

(1.9)

Nghiệm của (1.9) tìm được bằng phương pháp biến thiên hằng số
Lagrang:

f

Z0)=ny, 1 fer" Qc)sin ke de.

;

(1.10)

Nhu vay. nghiém riéng q của (1.6) xác định bằng biểu thức:

q= 5

;

Jem Qc sin byt de.

a

Gay

Chương

BẬC TỰDO __—_ _—_ 1Í
1 DAO BONG CUONG BUC CỦA HỆ TUYỂN TÍN! CĨ MỘTVÀHAi
t. Do đó. khi tích phân
“tích phân vế phải của (1.11) tính theo biến

h việc thay cận tích phân ta
ta coi £ là hàng số. Sau khi hoàn thàn

nhận được g là hàm của thời gian É,

có dạng:
Cuối éng nghiệm tổng qt của (1.6)

q = Ae" sith, Br) + xTrả fom "Qcosink (ode. 0.12)
1.2.1. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC KHƠNG

CẮN (n=0)

quy luật điểu hịa:
Giá sử lực kích động ngồi biến đổi theo
QW = P.sinpt.
Phương trình (1.6) trở thành:

(1.13

@+k*q =P, sin pt
Khi

pzÈ.

:
nghiệm tổng quát của (1.13) có dạng

+ C, sinkt +
q=Ó( coshf

P.

“sin

~P

pt.

(1.14)

đ(9) = đ„ ta nhận được:
Lay diéu kién đầu tại £ = 0: ¢O) = gu:
g=q, coskt ~ 4 sin ht —

P.

— sim pt.

(115)

động cường bức thuần túy:

Số bạng cuối của (1.15) biểu thị đao
Pe

~p'

gin pt.

(1.18)

với tấn số lực kích động p: nó
Rõ ràng. dao động cưỡng bức xảy ra
đầu của hệ. Khi & > p thi dau
không phụ thuộc vào điều kiện ban

g pha), khi k < p chúng
của q cing dau với lực kích động (cùn

hợp & = Ð. biểu thức (1.16) và
ngược đấu nhau (ngược phá). Trường
nghĩa. Nếu xét đồng thời nó
số hạng thứ ba trong (1.15) sẽ mất ý


CƠ SỞ LÝ THUYẾT KỸ THUẬT RUNG TRONG XÂY DỰNG

42
.
có dạng

O

5

,
Ap

dung

fora
quy tắc Lôpitan.

*
theo ø và cho

»
x
lấy đạo hàm

p>È. ta được biểu thức:

3k”.

Pt
sinkt -—coske.

Ok

Khi dé

q=@,,coskt + “han ht+ "—..
Như

vậy.

khi p

= &

_

coskt,

(1.17)

cac

ma ti nguy hiểm của
biên độ tăng tuyến tính
với thời gian £ Số hạng
cuối của (1.17) thường

gọi

là thành

phần

đặc

tính của dao động (hình
1.3). Sự trùng nhau

giữa

tân số của lực kích động

p với

riêng & của

hệ và
các hiện tượng xây
ra tiếp sau gọi là hiện
tượng cộng hưởng.

Hình 1.2

1.2.2. DAO ĐỘNG CUGNG BUC CO CAN (n z 0)
'TTa xét lực kích động

ngồi.

biến đổi theo quy luật điểu

hịa

như

phần trên. Phương trình (1.6) có dang:
+ k”a =P, sin pt.
g3 2nủ

(1.18

Khi n < È. nghiệm tổng quát của (1.18) viết được:

q= Ae
với: kỷ =k” -nẺ.

sin(h,t+B,)+9-

(1.19)


Chương 1. DO ĐỘNG CƯỠNG BỨC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH CÓ MỘT VÀ HAI BẬC TỰDO_____

13

Ta tim g dudi dang:
q = Bsin(pt

-c).

(1.30)

Chon B. c sao cho q thỏa mãn đồng nhất phương trình (1.18), ta có:
(1.21)

Tích phần tổng qt (1.18) vit dng:

qg= Ae" sin(k,ộ + B)) +

ya

+4nđ p*

sin(ptô).

(1.22)

Cac hang s6 A. B, được xác định từ điều kiện ban đầu. Số hạng đầu
của (1.32) ứng với đao động tất đần. Sau một khoảng thời gian nào
đó, ta xem hệ chỉ thực hiện đao động bình ổn:
sin(£ ~ ).

(1.23)

Như vậy, đao động cưỡng bức có cần vẫn xảy ra với Lần số lực kích
động p. biên độ của nó khơng

phụ thuộc vào thời gian £ và không

tắt đần do lực cản. Khi xáy ra cộng hưởng (p = È) biên độ này là
hữu hạn và không phải là giá trị lớn nhất. B = B, ‘may Khi p? =k? -2n?

(xảy ra trước cộng hưởng). Khi cộng hưởng, độ lệch pha có giá trị
cực đại và bằng

sẽ Nếu ký hiệu

n là tỷ số giữa biên độ 8 và độ

lệch tĩnh B, của hệ thì:
(1.24)

Hệ số n được gọi là hệ số động lực.


G
XÂY DỰNG,
THUẬT RUNG TRỌN
KỸ ẾT
_ CƠ SỞ LÝ THUY
hé 86
Trường hợp khơng có cản (n = 0),

bằng:

(1.25)

\
he

thị theo (1.24) phụ thuộc vào
Các giá trị của hệ số động lực n biểu
\
otk
.
2n
,
.

gs
ke
mơ tả trên hình 1.3.
Pp.
được
Ps
của
nhau
khác
trị
giá
các
P ứng với
h

Hình 1.3

bày ở trên, ta
tính dao động cưỡng bức trình
Laplace [38] dé tinh.
cịn có thể áp dụng phép bién déi

Ngoài

phương

pháp


Chương 1. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH CĨ MỘT VÀ HAI

BẬC TỰ DO

15

1.2.3. KÍCH ĐỘNG RUNG VỚI LỰC CƯỠNG BỨC THEO MỘT HƯỚNG
Xót hệ kích động rung trung tâm với lực cưỡng bức
theo một hướng
(hình 1.4). Trên hình 1.4a biểu diễn sơ đồ hệ kích
động rung trung
tâm với: bộ phận kích động rung (1): bàn rung (2);
16 xo (3) và giảm

chấn (4).

Trên hình 1.4b có: bộ phận kích động rung (1); bàn
rung (9); liên
kết lý tưởng (5) sao cho bàn (2) dịch chuyển theo
một hướng; lò xo

(3) và giảm chấn (4).

=

3

Hình 1.4

Cả hai sơ đồ đều có thể đảm

hướng thang đứng q.

bảo bàn rung 3 dịch chuyển

theo

Phương trình vi phân chuyển động dao động của hệ có dạng:

(m, +m,)G + bộ + cq = mu rô” eosof,
hay rút gọn:

m,ro”
G+ 2ng+k?q =—2"— coset,
m,+m,

trong dé:. 2n =

b
~-——___;
2(m, + m,)

rf

k=

|
Cc
|__~__
\m, +m,

m, - khối lượng quả văng:

(1.26)


CƠ SỞ LÝ THUYẾT KỸ THUẬT RUNG TRONG XÂY DỰNG

16

r- độ lệch tâm của khối lượng quả văng đối với trục
quay cua réto:
mị, - khối lượng của bộ phận công tác của máy:
@ - vận tốc góc quay các quả văng.
Tích

riêng ứng với dao động cường bức bình ổn của phương

phân

trình (1.26) có dạng:

1.32

q= Bcos(@ - 0),
ở đây:

B=
Theo

-

(m, +m,

ae

s

=

(k* -@7)* +

=

4n70)

3

re

1 p= aretg

Rw

.

(1.28)

mơ hình đang xét. áp lực động lực của máy tác dụng lên nền

móng bằng:

(1.28a)

Ry = Ca + Bạ
Khi chú ý đến (1.27). (1.28) La có:
la

Khi

*eos(cot — 0) —@sin(e# — @)] (1.29)

——
(m +m,)ỷ

giảm

bỏ qua

nghiệm

chấn

lên bàn

rung

và

đặt ă =im

tụ,

riêng biểu thị đao động cưỡng bức có dạng:

>

mre

#

@

bien dg,

đặt

cos(mt - ©)+

A= 9s,
C- Me”

(1.30)

Mômen cần thiết làm quay các quả văng bằng:
M,

g

=myr(q+q)sinat.

(1.31)

Công suất động cơ cần thiết làm quay các quả văng là:
N=M,o.

(1.82)


_Chương 1, DAO ĐỒNG CƯỜNG BỨC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH CÓ MỘT VÀ HAI BẬC TỰ DO

17

Trong thực tế, người ta tạo hình sản phẩm (các sản phẩm bằng
bêtơng cốt thép) bằng chấn động và thực hiện trên bàn rung. Nó
được sử dụng chủ yếu trong các nhà máy bêtơng và trên các

pơlygơn vì đó là thiết bị có cơng suất lớn. Trên bàn rung có thể tạo

hình nhiều loại sản phẩm bêtông cốt thép, dễ thay đổi loại sản
phẩm khi thay đổi khối lượng. Có thể sử dụng các loại bàn rung
với tai trong từ 4 đến 40 tấn. Cae ban rung với dao động có hướng

thẳng đứng được ghép từ các khối rung định hình, khn được kẹp
chắc trên bàn rung bằng các nam châm điện. Để tăng cường khả

năng lèn chặt các hỗn hợp bêtông cứng. người ta còn sử dụng các

loại bàn rung với các dao động gay ra do va dap. Chấn

động dang

nay cho phép tao hinh san phẩm có độ cao lớn với chất lượng, năng
suất cao và có thể làm giảm lượng ximãng.
hướng
“Tính kích động rung trung tâm với lực cưỡng bức theo hai
trình
và bài tốn tổng qt tính kích động rung trung tâm được
bày trong [10].

§1.3. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC

CỦA HỆ TUYẾN TÍNH HAI BẬC TỰ DO
CƯỠNG BỨC KHƠNG CAN

1.3.1. DAO ĐỘNG

có thế
Xét dao động của hệ hai bậc tự do, chịu tác dụng của các lực
là các tọa độ
và các lực kích động điều hịa hình gin. Gợi q, @ = 1. 2)

suy rộng của cơ hệ. Phương trình Isagrăng TI viết ở dạng:
al

]

OT
.
-==e.-+Q7,0=1,2)
.?
ớ

Lo

8

aq

Trường hợp dao động nhỏ:

T=

pp,

em.

adfeT)

—

.

,

s(aigy + 2,94: $y):

‘

@)

(b)

CƠ SỞ LÝ THUYẾT KỸ THUẬT RUNG TRONG XÂY DỰNG

18

lo

()

= (6đ +ÖC,g,đ, + u47).

Thay (b) và (c) vào (a) vA giả thiết rằng các lực kích động là điều
hịa

sốp

tần

có cùng

và

ban

pha

suy

lực

ư. Các

đầu

rộng

của

chúng bằng:

(d)

QP? =H, sin(pt +8). G=1, 2).
Khi đó phương trình vi phân dao động của hệ có dạng:

+ 6g;

lady + @yoGy 4 Cn

.

5
[andy + Ody tend +

Nghiệm

=H, sin(pet +8)

gq, =H, sin(pi + 8).

tổng quát của (1.33) tìm được dưới dạng tổng nghiệm

(1.33)
tổng

quát của phương trình thuần nhất tương ứng và một nghiệm riêng
của nó.

1.3.1.a. Tìm nghiệm tổng qt của phương trình
Cady
-

+ Gude tun

+ CG

= 9

(1.34)

lady + Quy 4 CG) + Cady =9

Nghiệm

Thay

tổng quát của hệ (1.34) tim được dưới dạng:

(1.35)

q, = A,sin(kt +a), @= 1.2).
vao

(1.35)

(1.34)

ta nhén

được

hệ hai

trình

phương

đại

xố.

tuyến tính thuần nhất đối với Á; 0 = 1, 3):

+ Auten ~øi;k*), =0
[Arlen ~an, k*)

(4.38)

[Ay ley — m¿#”)+ Ay ly - a„;k”) =0,

116 (1.36) chứa ba ẩn Á,, A; và kỳ Nếu loại trừ nghiệm tầm thường
đối với A, G@ = 1. 2). để nghiệm đối với chúng khác khơng thì định
thức của hệ phải bằng khơng. Ta sẽ có:

(ey, di”)uy — gu kŸ) = (tụy = a ky

=0.

(1.37)

Phuong trinh (1.37) được gọi là phương trình tần số. Nếu dang
tồn

phương

của động

nàng

và thế năng

xác

định

dương

thì hai

19

Chương 1, DÀO ĐỘNG CƯỠNG BỨC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH CÓ MỘT VÀ HAI BC TỰ DO

nghiệm số đối với ” là thực và đương. Khi này các hàm ạ:. g„ biểu
diễn sự phụ thuộc của hàm số sin vào thời gian ¿ (hệ thực hiện dao
động điểu hịa).
Trường

©

trình

hợp tần số bằng nhau: &\ = ky = Ä; các phương

(1.34) độc lập với nhau. Nghiệm của chúng được biểu diễn:

(1.38)

q,= A,sin(f +o,), (= 1, 9).
trong dé: Aj, a, @ = 1. 2) duge xac định từ các diéu kién dau.

+

Trường hợp tần số khác nhau: &, < k., trong dé k, go 1a tần số
ecø bán (tần số thấp nhất). Các dao động ứng với các tan s6 k,, ky
gợi là các dao động chính của hệ.
Tích phân tổng quát của (1.34) biểu thị bằng:

gi = Ái gindif+ di) + Ai; sindb¿f + dụ):
qy = Ay

(1.39)

.

.

sin(k,t + a,)+ Ay sin(h,t + ay).

Tiến đây ta đưa vào các hệ số phân phối được xác định theo hệ thức

Ay

y=
Ay
na

(

1.39a)
5

Các hệ thức (1.39) trở thành:
+ ay):
a,) + A, sin(kyt
gị =Á¡ sin(it+
đ¿ =tuiÂ;y sinŒ,£ + 0¡) + Huy Ay sin(kyt + ay).

4.40

1.3.1.b. Tim nghiém riéng của hệ (1.33)
Nghiệm

riêng của hệ xác định dao động cưỡng bức thuần

tuý. Ta

tìm chúng dưới dạng:

q) = Ay sin(pt +8), @= 1, 2)
Thay

(1.41 vào (1,33) ta nhận

(@ = 1, 2). Giải hệ này ta có:

được hệ phương

(1.41)
trình xác định Ái,


CƠ SỞ LÝ THUYẾT KỸ THUẬT RUNG TRONG XÂY DỰNG

Fy (Cy ~ Gay P*)~
Hy (Cy = up”)

q43)

ey OP Men — Ay PP) (Cu
Hy -ley, = 8yP)
Fy (Cy, ~ Gaupđ)

â) 4P? Cy = Fy BP")
= (Cy — 6p)”
Các mẫu số trong (1.42) là đa thức bậc hai đối với p”. Khi chú ý đến
(1.37).

các

Ấn số hỷ. hj

là nghiệm

của da thức

trên.

Do

đó ta

viết dược:

Fin= ai “Aye,

A lp =
sp

“(dieu

Mp?

>

Hien a

Rp

bk

(1.43)

(aya, —@° Cp? — ky ip

Với p = bị hoặcp = k, thi các biên độ đao động cưỡng bức sẽ Lăng vô
hạn theo thời gian, Ta có hiện tượng cộng hưởng. Khi này hệ thức
(1.41) sẽ mất. ý nghĩa. Để biểu thị nghiệm riêng g, @ = 1, 2) ta viết
phương trình ở dạng các tọa độ chính.
Các

tọa độ suy rộng

0,.0,

dược chọn

đặc biệt sao cho: biểu thức

động năng¿ của hệ chỉ chứa các số hạng có 6? @ = 1, 2). cồn biếu
số hạng có 0” @= 1. 2) thi
thite thé nang w cua hệ chỉ chứa
0,. 6, gọi là các tọa độ chính của hệ
'Ta biểu diễn nghiệm gq), g› qua các toa dé chinh
đi 79, - By! Gy = May) + Mare-

Sau khi tính các lực suy

0,, 8, d dang:
(1.44)

rộng của cát lực kích động ngồi theo các

tọa độ chính nhờ biểu thức cơng ảo La nhận được phương trình vĩ
phân đao động của hệ ở đạng:
Íla,

;
AL
thea, =!

-

A.
chà:

sin(

+ Š)
(1.45)