bài giảng phương trình vi phân

Chƣơng 1 –
PHÉP TÍNH VI PHÂN
HÀM NHIỀU
BIẾN
ThS. LÊ HOÀNG TUẤN
Chƣơng 1 – PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin –
),( yxfz 
ĐẠO HÀM RIÊNG
Cho hàm 2 biến xác định trên tập hợp
2
RD 
và điểm
),(
000
yxM
là điểm trong của
D

D
0
M
Cho số gia
x
đủ nhỏ , và giữ cố định y
sao cho
DyxxM  ),(
000
Khi đó hàm số có số gia tương ứng theo x là
),(),(),(
000000

yxfyxxfyxxf 
Lúc này, giới hạn của
x
yxxf

 ),(
00
( khi
0x
)
Chƣơng 1 – PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin –
),( yxf
ĐẠO HÀM RIÊNG
được gọi là đạo hàm riêng theo x của hàm số
tại
),(
00
yx
, và ký hiệu là
),(
00
yx
x
f


,
),('
00

yxf
x
Như vậy,
x
yxfyxxf
yxf
x
x




),(),(
lim),('
0000
0
00
Đặt
xxx 
0
, hay
0
xxx 
, thì ta có
0
0 xxx 
0
000
00
),(),(

lim),('
0
xx
yxfyxf
yxf
xx
x




, lúc này
Chƣơng 1 – PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin –
),( yxf
ĐẠO HÀM RIÊNG
Hoàn toàn tương tự, ta có khái niệm đạo hàm riêng theo y
của hàm số tại
),(
00
yx
là
y
yxfyyxf
yxf
y
y





),(),(
lim),('
0000
0
00
, hay
0
000
00
),(),(
lim),('
0
yy
yxfyxf
yxf
yy
y




Ví dụ Cho
xyxyxf 
2
),(
, với
TXĐ:
2
RD 

, và
2
0
)2,1( RM 
, lúc này ta có
Chƣơng 1 – PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin –
1
)2,1()2,(
lim)2,1(')('
1
0




x
fxf
fMf
x
xx
ĐẠO HÀM RIÊNG
1
)3)(1(
lim
1
)21()2(
lim
1
22

1







x
xx
x
xx
xx
4)3(lim
1


x
x
, và
1
2
31
lim)('
2
0






y
y
Mf
y
y
Lưu ý Thực chất việc tính đạo hàm riêng
của hàm 2 biến là tính đạo hàm của hàm
1 biến khi xem biến số còn lại là hằng số
Chƣơng 1 – PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin –
ĐẠO HÀM RIÊNG
Do đó, mọi quy tắc tính đạo hàm của hàm 1 biến vẫn đúng
(áp dụng được) cho hàm 2 biến
Đạo hàm riêng của hàm 3, 4 … biến được tính tương tự
ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO
Khi tính các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm nhiều biến,
ta thấy chúng cũng là hàm nhiều biến. Do đó
các ĐHR này lại có ĐHR của mình. Ta gọi
ĐHR của ĐHR cấp 1 là ĐHR cấp 2 của
hàm số ban đầu
Chƣơng 1 – PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin –
),( yxf
ĐẠO HÀM RIÊNG
Xét hàm 2 biến
Giả sử nó có 2 đạo hàm riêng cấp 1 là
x
f '
, và

y
f '
2
"")''(
x
xxxx
fff 
: ĐHR cấp 2 theo x 2 lần
2
"")''(
y
yyyy
fff 
: ĐHR cấp 2 theo y 2 lần







xyyx
yxxy
ff
ff
")''(
")''(
: ĐHR cấp 2 hỗn hợp
yxxyxyyx
ffff "")''()''( 

Chƣơng 1 – PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin –
2
2
x
f


Lưu ý
- Đạo hàm riêng cấp 2 của hàm 3 biến luôn có tính chất
các ĐHR cấp 2 hỗn hợp thì bằng nhau (đ/với hàm sơ cấp)
ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN
- Đạo hàm riêng cấp cao còn được ký hiệu ở dạng
;
2
2
y
f


hay
yx
f


2
VI PHÂN
),(),(),(
000000
yxfyyxxfyxf 

gọi là số gia toàn phần của hàm
f
tại
),(
00
yx
Chƣơng 1 – PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin –
),(
00
yxf
VI PHÂN
Nếu biểu diễn được ở dạng
)(),(
22
00
yxyBxAyxf 

Với: A, B là các hằng số không phụ thuộc
yx  ,
yx  ,
là các số gia, quanh
00
, yx
)(
22
yx 

là đại lượng VCB bậc cao hơn
22

yx 
khi
0;0  yx
Lúc này, hàm
),( yxf
khả vi tại
),(
00
yx
yBxAyxdf ),(
00
Chƣơng 1 – PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin –
),( yxf
VI PHÂN
Định lý Nếu khả vi tại
),(
00
yx
thì
),('
00
yxfA
x

và
),('
00
yxfB
y


Do vậy,
yyxfxyxfyxdf
yx
 ),('),('),(
000000
( công thức tính vi phân tại bất kỳ
Dyx ),(
)
hay
dyfdxfdf
yx
'' 
Ứng dụng vi phân tính gần đúng
),(),(),(
000000
yxdfyxfyyxxf 
Chƣơng 1 – PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin –
),( yxfz 
VI PHÂN
Vi phân cấp cao
Xét hàm có vi phân cấp 1 là
df
Vi phân của vi phân cấp 1 là vi phân cấp 2
222
""2")( dyfdxdyfdxfdfdfd
yyxyxx

hay

fdy
y
dx
x
fd
2
2














Tương tự, ta có vi phân cấp n
fdy
y
dx
x
fd
n
n















Chƣơng 1 – PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin –
)(xyy 
HÀM ẨN
HÀM ẨN MỘT BIẾN
Cho phương trình
0),( yxF
Nếu ứng với
Rbax  ),(
mà pt
0),( yxF
xác định thì ta nói
)(xyy 
là hàm ẩn xác định bởi pt đã cho
Lưu ý
Nếu từ pt, ta tìm được công thức biểu diễn y theo x
thì hàm ẩn sẽ trở thành hàm hiện

Và khi không tìm được công thức biểu diễn , lúc đó
ta có hàm ẩn thực sự
Chƣơng 1 – PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin –
Rxyx  ;01
2
HÀM ẨN
Ví dụ Phương trình có
1
2
 xy
là hàm hiện
ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN
Giả sử phương trình
0),( yxF
x/định hàm ẩn
)(xyy 
với
Rbax  ),(
, và
),( yxF
là hàm 2 biến khả vi
Lấy vi phân 2 vế, ta có
0),( yxdF
dyFdxF
yx
'' 
Chƣơng 1 – PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin –
0' 

y
F
HÀM ẨN
Nghĩa là, khi thì
y
x
F
F
dx
dy
'
'

hay
y
x
x
F
F
y
'
'
' 
Ví dụ Tính đạo hàm của hàm ẩn đã cho ở vd trước
Đặt
yxyxF  1),(
2
( để có
0),( yxF
)

Lúc này





1'
2'
y
x
F
xF

xy
x
2' 
Lưu ý Đạo hàm bậc 2 của hàm ẩn được tính
từ đạo hàm bậc nhất theo quan điểm hàm hợp
Chƣơng 1 – PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin –
y
eyxyxF  1),(
2
HÀM ẨN
Ví dụ Xét hàm ẩn
Ta có






y
y
x
eF
xF
1'
2'

y
x
e
x
y


1
2
'
2
'
)1(
'2)1(2
1
2
"
y
x
yy
x

y
xx
e
yxee
e
x
y











Suy ra
2
)1(
1
2
2)1(2
y
y
yy
e
e
x

xee




3
22
)1(
4)1(2
y
yy
e
exe



Chƣơng 1 – PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin –
0),,( zyxF
HÀM ẨN
HÀM ẨN HAI BIẾN
Xét phương trình
Nếu ứng với mỗi cặp giá trị
2
),( Ryx 
mà pt
0),,( zyxF
x/ định một giá trị
),( yxzz 
thì khi đó ta nói đây là

hàm ẩn 2 biến xác định bởi pt đã cho
Tương tự hàm ẩn 1 biến, ta cũng có
z
yx
F
dyFdxF
dz
'
'' 

Chƣơng 1 – PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin –
z
x
x
F
F
z
'
'
' 
HÀM ẨN
Hay là và
z
y
y
F
F
z
'

'
' 
Ví dụ Cho pt
z
ezyx  2
2
xác định hàm ẩn
),( yxzz 
Hãy tính đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 của hàm ẩn này
Trước hết, ta đặt
02),,(
2

z
ezyxzyxF
( để có pt
0),,( zyxF
)
Suy ra
Chƣơng 1 – PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin –








z

z
y
x
eF
F
xF
1'
2'
2'
HÀM ẨN
Lấy đạo hàm riêng cấp 1, ta có
z
x
e
x
z


1
2
'
và
z
y
e
z



1

2
'
Còn đạo hàm riêng cấp 2
3
22
2
)1(
4)1(2
)1(
'2)1(2
"
z
zz
z
x
zz
xx
e
exe
e
xzee
z






32
)1(

4
)1(
'2
"
z
z
z
y
z
yy
e
e
e
ze
z





32
)1(
4
)1(
'2
"
z
z
z
y

z
xy
e
xe
e
zxe
z




Chƣơng 1 – PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin –
)(yxx 
HÀM ẨN
Lưu ý Trong phương trình
0),( yxF
thì vai trò của
x, y là bình đẳng như nhau. Do đó, ta còn có hàm ẩn
Lúc này công thức tính các đạo hàm hàm ẩn
y
x'
,
yy
x"
đều được tính tương tự
Ngoài ra, pt
0),,( zyxF
còn có thể x/đ hàm ẩn
),( zyxx 

ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP
Cho hàm 2 biến
),( yxfz 
, với
)(txx 
)(tyy 
,
Chƣơng 1 – PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin –
),( yxf
ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP
Khi đó, z là hàm hợp theo t
Giả sử hàm số khả vi
, và
)(),( tytx
cũng khả vi
Lúc này
tytxt
yzxzz ''''' 
hay
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz







( công thức tính đạo hàm của hàm hợp 1 biến)
Tuy nhiên, nếu
),( vuxx 
, và
),( vuyy 
Chƣơng 1 – PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin –
uyuxu
yzxzz ''''' 
ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP
Thì ta có
vyvxv
yzxzz ''''' 
CÔNG THỨC TAYLOR
Giả sử hàm số
),( yxf
khả vi đến cấp n+1
tại mọi điểm thuộc hình tròn mở, tâm
),(
000
yxM
bán kính
0


bé tùy ý
Lúc này


122
0
0
00
)(
!
)(
),(




n
n
k
k
yxO
k
Mfd
yyxxf
trong đó
Chƣơng 1 – PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin –



)!1(
),(
)(
00
1
122





n
yyxxfd
yxO
n
n

CÔNG THỨC TAYLOR
với
10 

( phần dư của khai triển Taylor )
Lưu ý
Khi
)0,0(),(
00
yx
ta có trường hợp đặc biệt
của công thức Taylor , là công thức
MACLAURIN

Chƣơng 1 – PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin –
),(
000
yxM
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Điểm được gọi là điểm cực tiểu của hàm
),( yxf
nếu
00
),();()( MyxMMfMf 
Tương tự, ta có
0
M
là điểm cực đại, nếu
00
),();()( MyxMMfMf 
Các điểm cực đại, cực tiểu gọi chung là
CỰC
TRỊ
Chƣơng 1 – PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin –
122),(
22
 yxyxyxf
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Ví dụ
Xét
2

0
)1,1( RDM 
, ta có
112211)1,1( f
Lúc này, ta gọi
0
2
;),( MMRDyxM 
thì
122),()(
22
 yxyxyxfMf
Suy ra,
222)()(
22
0
 yxyxMfMf
0)1()1(
22
 yx
Chƣơng 1 – PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin –
0)()(
0
 MfMf
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Như vậy, , hay
)()(
0
MfMf 


)1,1(
0
M
là điểm cực tiểu của hàm số đã cho
CỰC TRỊ TỰ DO
Xét hàm
),( yxff 
 Tìm điểm dừng, bằng cách giải hệ





0'
0'
y
x
f
f
Nếu hệ này có nghiệm
), ,(),,(
2211
yxyx
thì ta có các điểm dừng tương ứng là
), ,(),,(
222111
yxPyxP