ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN
■1« mì* ^
»Ị» »1» »1» #Ị» rj» »ị» rỊ*
ĐỂ TÀI
MÔ HÌNH TOÁN HỌC VÀ THUẬT TOÁN GIẢI s ố MỘT LỚP CÁC
BÀI TOÁN BIÊN TRONG THỦY ĐỘNG Lực HỌC, TRONG TRUYEN
TẢI, KHUẾCH TÁN VÀ ổ NHIEM m ô i t r ư ờ n g
MẢ SỐ: QG 04-29
CHỦ TRÌ: PGS.TS. Trần Huy Hổ
CÁC CÁN BỘ THAM GIA
1. PGS.TS. Nguyẽn Thúy Thanh, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội.
2. PGS.TS. Trần Gia Lịch, Viện Toán học.
3. TS. Phan Ngọc Vinh, Viện Cơ học.
4. ThS. Lê Huy Chuẩn, ĐH Osaka, Nhật bủn.
5. PGS.TS. Nguyễn Xuân Thao, Trường Đại học Thủy lợi Hà Nội
6. TS. Lê Văn Thành, Viện cơ học.
7. TS. Pham Thanh Nam, Viện cơ học.
HÀ NỘI - 2006
I - MOC QUOC Gia ha NU'
Ị rpỤNG THC-NG tin ĩhu viện
BÁO CÁO TÓM TẮT
Tên đề tài: Mồ hình toán học và thuật toán giải số một lớp các bài tóan biên
trong thủy động lực học, trong truyền tải, khuếch tán và ô nhiễm môi trường.
Mã sô: QG 04-29.
Chủ trì: PGS.TS. Trần Huy Hổ.
Các cán bộ tham gia:
1. PGS.TS Nguyen Thủy Thanh, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội.
2. PGS.TS. Trần Gia Lịch, Viện Toán học.
3. TS. Phan Ngọc Vinh, Viện Cơ học.
4. ThS. Lê Huy Chuẩn, ĐH Osaka, Nhật bản.
5. PGS.TS. Nguyễn Xuân Tháo, Trường Đại học Thủy lợi Hà Nội.
6. TS. Lê Văn Thành, Viện cơ học.
7. TS. Pham Thanh Nam, Viện Cơ học.
Mục tiêu và nội dung:
Đồ tài nghicn cứu mô hình loán học trong một số vấn dồ liên quan đốn bao vệ
môi lrường: Vấn đồ truyền tải vật chất Irong nước, trong không khí và sự xổi lở
bờ bicn gia lăng ở những nơi rừng ngập mặn đang dần bị phá hủy. Đáy là những
vân dề hôi sức quan trọng được dặt ra, khi mà ca nước la dang Irong lliời kỳ
công nghiệp hóa và hiện đại hóa các nqành kinh tế. Thực lc' phát Iricn kinh tố' ở
Việt nam và các nước phút triển khác trong những năm qua cho thây, nhữim lợi
ích mà phát triển kinh tế đcm lại không phải lúc nào cũng vượt trội so với những
gì những người dân sinh sống trong một vùng cụ thê phái gánh chịu VC mồi
trường sống. Ô nhiẽm môi trường được đặt ra như bài loán tất yếu cho sự phát
triển kinh tế của mọi quốc gia. Đề tài tập trung nghiên cứu vé mặt lý Ihuyéì một
vài mô hình toán học, nhằm mô phỏng quá trình truyền lái vật chất trong không
khí, trong môi trường nước. Từ những nghicn cứu bài toán truyền tải nói trcn,
chúng tôi nhận thày có sự liên quan chặt chẽ giữa nhữne hiện tượng xói lở bờ
bicn với những khu rừng ngập mặn. Đó là: ơ những nơi nào rừng ngập mặn phái
triển, ở dó ít có hiện tượng xói lở bờ biển. Bởi vậy, đề tài đề xuất mội mô hình
toán học nghiên cứu sự phát triển của rừng ngập mặn thôim qua sự lan lỏa của
sóng hiên, của đất, của nước và của hạt cây tro nu khu vực có rừng.
Những kết quả chính:
1. Giải số bài tóan dòng chảy hai chiều với số liệu giả định, từ đó xác định mức
độ ô nhiễm môi trường khi có chất thải từ một nhà máy, xí nghiêp đang vận
2. Xây dựng mô hình toán học về sự lan tỏa cây giống trong mội khu rừng ngập
mặn và giải số (với số liệu giả định) việc phát triển của rừng ngập mặn.
Tình hình kinh phí
Tổng kinh phí: 60.000.000VNĐ, được chia làm hai năm: Năm 2004 được cấp
30.000.000VNĐ, năm 2005 được cấp 30.000.000VNĐ.
hành.
KHOA QUẢN LÝ
CHỦ TRÌ ĐỂ TÀI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN
SUMMARY
Title of the Project: Mathematical model and numerical solving algorithsm
for the boundary-value problems in hydro-dynamics, transporttation, diffusion
and environmental polution.
Name of leader: Prof.Dr. Tran Huy Ho.
Index of Code: QG 04-29.
Members of Project:
1. Prof.Dr. Nguyen Thuy Thanh, HUS, VNU, Vietnam.
2. Prof.Dr. Tran Gia Lich, Institute of Mathematics, Vietnam.
3. Dr. Phan Ngoe vinh, Institute of Mechanics, Vietnam.
4. Ms. Le Huy Chuan, Osaka University, Japan.
5. Prof.Dr. Nguyen Xuan Thao, Hanoi University of Water Resourscs,
Vietnam.
6. Dr. Le Van Thanh, Institute of Mathematics, Vietnam.
7. Dr. Pham Thanh Nam, Institute of Mathematics, Vietnam.
The Arms and Results
1. Calculation of the hori/.oial iwo-dimcnsional unsteady flows by the mclhod
OÍ characteristics. In lliis problem, wc sludy the cluuaclcrislics form of the
Iwo-dimcnsional Sainl-vcnant equation syatcm, llic supplcmalcry equations
at ihc houndaics, Ihc method of characteristics for solving the equal ion
system and some numerical experiments.
2. Determination of the plant locations for ensuring some cmvironmenlal
crilcria. We present Ihc algorithms for solving Ihc two-dimensional mailer
propagation and its adjoint problems, the stability of the difference schemcs
and the non-ncgalivc property of numerical solutions, ddetermination of Ihc
plant locations so that some emvironmental criteria satisfied, and Ihc
numerical cxperimenlsfor the test cases and for Halong Bav area.
3. The model simulate and prcdictcs Icndcncics of accrction, erosion, changes
of the bottom topography in the coastal zone from Hoa Duan, Thuan An to
Hai Duong, Thua Thien Hue Province.
4. The unsteady flow after dan breaking. In this problem, we study the
unsteady Jlows on the river and reservoirs, the discontinuous wave and
unsteady flows after dam breaking, the numerical experiments for some test
eases of natural Da river.
5. The asymptotic behavior of solutions for forest kincmatic model. Wc also
cosidcr the dynamic system for forest kincmatic model.
The results: One arcticlc published before this Project starting, three (3) articles
to be published in 2006, 2007 and for preprints.
MỞ ĐẦU
Đề tài nghiên cứu mô hình toán học trong một số vấn đề liên quan đến bảo vệ
môi trường: Vấn đề truyền tải vật chất trong nước, trong không khí và sự xói lở
bờ biển gia tăng ở những nơi rừng ngập mặn đang dần bị phú hủy. Đây là những
vấn đề hết sức quan trọng được đặt ra, khi mà cả nước ta dang trong thời kỳ
công nghiệp hóa và hiện đại hóa các ngành kinh tế. Thực tế phát triển kinh tế ở
Việt nam và các nước phát triển khác trong những năm qua cho thấy, nhữne lợi
ích mà phát triển kinh tế đcm lại không phải lúc nào cũng vượi trội so với những
gì những người dân sinh sống Irong một vùng cụ thể phải gánh chịu vé mồi
trường sống. 0 nhiễm môi trường được đặt ra như là một bài toán tất yếu cho sự
phát triển kinh tế của mọi quốc gia. Đề tài tập trung nghiên cứu về mặt lý thuyết
một vài mô hình toán học, nhằm mô phỏng quá trình truyền tải vật chất trong
không khí, trong môi trường nước. Từ những nghiên cứu bài loán truyền tải nói
trên, chúng tôi nhận thấy có sự liên quan chặt chõ giữa những hiện tượng xói lở
bờ biển với những khu rừng ngập mặn. Đó là: Ớ những nơi nào rừng ngập mặn
phát triển, ở đó ít có hiện tượng xói lở bờ biển. Bởi vậy, đề tài đề xuất mội mô
hình loán học nghiên cứu sự phát triển của rừng ngập mặn thông qua sự lan tỏa
của sóng biển, của đất, của nước và của hạt cây trong khu vực có rừng.
NỘI DUNG
Đc tài đã hoàn thành nhưng mục liêu đề ra và đạt được nhũng kốl quá sau đây:
1. Tính toán số cho những dòng chảy hai chiều nằm nsang bằng phương
pháp đặc trưng. Trong bài toán này, chúng tôi nghiên cứu một dạng đặc
trưng của hộ phương trình Saint-Venant, phương trình bổ sung trốn bicn
và phương pháp đặc trưng đổ giai sô nhữim pluroìm trình ctậl ra.
2. Xác định vị trí xáy dựng nhà máy, xí nghiệp để đảm bảo các điểu kiện về
tiêu chuẩn môi trường. Trong vấn đề này, chúng tôi giải bài toán truyền
tải, khuyếch tán vật chất trong môi trườnc khí, xác định mức độ ô nhiễm
không khí khi có nguồn như nhà máy, xí nghiệp. Từ vấn đề đã nghiên cứu
ở trcn, có thể xác định được vị trí xây dựns xí nghiệp nhà máy trcn cơ sỏ'
những điểu kiện về phát triển kinh tế từng vùng và đảm báo tiêu chuẩn
môi trường cho phcp.
3. Mô hình mô phỏng và dự báo xu thê' xói lở bờ biên và nhữnc biến đổi địa
hình tại tầng đáy bờ biển khu vực tỉnh Thừa Thiên Huế. Đề tài đưa ra các
mô hình mô phỏng và dự báo xu thế bồi tụ, xói lở bờ biển và biến đổi địa
hình đáy: Lan truycn sóng, dòng cháy vcn bờ sông, dòng vận chuvển bùn
cát, biến đổi địa hình đày và bồi xói ngang bờ. Thuật loán giái các bài
toán trên bằng phương pháp sai phân theo sơ đồ ngược và biến đổi về
phương trình ba đường chéo, và giải bằng phương pháp truy đuổi theo
các trục tọa độ. Phương pháp này luôn cho nghiêm gần đúng và sai sô
tích lũy nhỏ.
4. Đề tài đề cập đến những dòng chảy không ổn định trên sông, sóng không
liên tục trong lũ lụt do vỡ đập và những tính tóan trên sô" liệu giả định
cho đập sông Đà.
5. Đề tài nghiên cứu rừng ngập mặn. Một mô hình phát triển của rừng
được xây dựng. Trên cơ sở mô hình đưa ra, đề tài xác định được dáng
điệu tiệm cận nghiệm của hệ động lực rừng ngập mặn. Xác định được
một sô" điều kiện để rừng phát triển hoặc bị diệt vong.
6. Về mặt đào tạo: Đề tài nằm trong khuôn khổ của Chương trình hdp tác
giũa các trưòng đại học trọng điểm là ĐHQG Hà Nội và Đại học Tổng
hợp Osaka, Nhật bản. Có một luận án tiến sỹ toán học đã bảo vệ, vào
tháng 12 năm 2006 tại Nhật bản.
7. Họat động chung: Đề tài tổ chức và tài trợ ba hội thảo khoa học, trong
đó có một hội thảo quôc tế:
+ Tháng 10-2004: Hội thảo quôc tê về ứng dụng tóan trong các vấn đê
về môi trường.
+ Tháng 5-2005: Hội thảo tại Tam Đảo, Vĩnh Phúc.
+ Tháng 4-2006: Hội thảo tại Ba Vì, Hà Tây.
K ẾT LUẬN
•
Dề tài đề cập đến một số vấn để liên quan đến môi trường, Đây là những vấn
tề thò sự trong điều kiện đất nước ta trong thờ kỳ gia tăng tốc độ công nghiệp
lóa và hiện đại hóa. Những vấn đề đưa ra và đã giải quyết trong phạm vi của
tề tài có ý nghĩa nhất định về mặt lý thuyết và thực tiễn, về mặt lý thuyết,
:ây dựng cơ sở toán học và chứng minh chặt chẽ những kết quả nêu ra. Một sô'
tịnh lý toán học đã được chứng minh, đặc biệt trong bài toán về rừng ngập
nặn. Về mặt thực tế, do hạn chế về phạm vi nghiên cứu, kinh phí cũng như
;hả năng nhân lực, đề tài chỉ tính toán trên cơ sở các sô' liệu giả định. Vì vậy,
ihững bài toán về truyền tải vật chất ô nhiễm trong môi trường còn nhiều vấn
.ề bỏ ngỏ, chưa được giải quyết. Tuy nhiên, những kết quả ban đầu về mặt
□án học, đã mở ra những hướng nghiên cứu tiếp theo, nhằm đáp ứng nhu cầu
em kết quả nghiên cứu khoa học cơ bản vào thực tiễn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đề cương nghiên cứu đề tài NCKH đặc biệt cấp Đại học Quốc Gia Hà
Nội năm 2004.
2. Atsushi Yagi, M athematical Analysis for Nonlinear Difusion System,
Osaka University, Japan, 2005 (to be published).
CÁC ẤN PHẨM
393
A dvances in M athem atical
Scien ces and Ap plications
Vol. 16, N o. 2 (2006), pp. 393-409
G A KK0 T 0SH 0
TO KYO JAPAN
D Y N A M ICA L SYSTEM F O R
FO R E S T K IN E M A T IC M O DEL
L e H u y C h u a n
Department, of Environmental Technology, Osaka University, Suita, Osaka 565-0871,
Japan
(chuanỉh©ap.eng.osaka-u.ac.jp)
A t s u s h i Y a g i
Department of Applied Physics, Osaka University, Suita, Osaka 565-0871, Japan
()
A b s tr ac t. Tl I is paper studies an a^<!-sl,ni<:Uiml, continuous space, forest, k i
11
(L
111
a I i (
model which was presented by Kuznetsov ct ill. [3]. Not, only I.Ill’ global exist,(’]»•(• of
solution is shown in the two-dimensional case but also a dynamical syst em is const n u t ('(I.
Furthermore, it. is proved that, the dynamical system possesses a bounded absorbing set
and that every trajectory lias a nonempty w-liinit set in a suitable weak topology.
Communicated hy Y. Yainada; Received June 27, 2005; Revised March 17. 2006.
This work is supported l>y Grant-in-Aid for Scientific Research (No. 1G34004G) Ij} Jai)an Society for t Ilf'
Promotion of Scicncr and is partly supported by the Coro University Program botw wn Japan Society
for the Promotion of Science and Vietnamese Academy of Science and Tcrlmolo^y.
AMS Subject Classification: 3ÕK57, 37LÕ0, 92D4U.
394
1. Introduction
In the study of forest kinetics, mathematical methods on the basis of kinematic models are
becoming one of indispensable approaches. Observations of forest require us extreme y
long time and experiments cost immensely. There are already many kinematic models
which have been presented in different scopes, such as individual-based model, individual-
based continuous space model, age-structured model and age-structured continuous space
model (see Ị16] for a survey of these models).
We arc conccrncd, in this paper, with the age-structurcd continuous spacc model which
was presented by Kuznetsov, Antonovsky, Biktashev and Aponina [3]. The age-structured
continuous space model intends to describe the forestry ccosystcm by regeneration proccss,
furthermore, this process is divided into four stages, namely, seed production, seed trans
port, seed deposition and seed establishment, and by age-dependent tree relationships.
In [3], they consider a prototype ecosystem, that is, the forest consists of a mono-species
and the generation is divided into only two age classcs, the young age class and the old
age class.
Their model is written by the initial-boundary value problem for a parabolic-ordinary
system
in a two-dimensional bounded domain ÍX The unknown functions u(x, t) and v(x, t)
denote the tree densities of young and old age Glasses, respectively, at a position X e Í2
and at time I € [0, 00). The third unknown function w(x,l) denotes the density of seeds
in the air at X € and t G [0, oc). The third equation dcscribcs the kinctics of seeds;
d > 0 is a diffusion constant of seeds, and Q > 0 and p > 0 arc seed production and seed
deposition rates rcspcctivcly. While the first and sccond equations describe the growth
of young and old trees respectively; 0 < Ổ ^ 1 is a seed establishment rate, 7 (1;) > 0 is
a mortality of young trees which is allowed to depend on the old-trce density V, / > 0
is an aging rate, and h > 0 is a mortality of old trees. On w, the Neumann boundary
conditions are imposed on the boundary ỠÍ1 Nonnegative initial functions Uo(x) ^ 0,
fo(x) ^ 0 and u/o(£) ^ 0 are given in Q.
Several authors have already been interested in such a model but only in the one-
dimensional ease. Wu [8] studied the stability of travelling wave solutions. Wu and Lin
|9] discusscd the stability of stationary solutions. Lin and Liu [4j extended this result to
a ease when the model includes nonlocal effects.
The main purpose of this paper is to construct, in the two-dimensional case, a global so
lution to (1.1) for each triplet (uo, Vo, w0) of initial functions and to construct a dynamical
in íì X (0 ,00),
in fix (0, 00),
in fix (0, 00),
u(x, 0) u0(x), i’(a:,0) M z), w(x, 0) - w0(x),
on ỠVt X (0, 00 ),
in Í2
395
system determined from the problem. Furthermore, we show that the dynamical system
possesses a bounded absorbing set and consequently every trajectory has a nonempty
o/-limit set in a suitable weak topology.
We regard and handle the system (1.1) as a degenerate nonlinear diffusion system with
respect to [u,v,w). The word “degenerate” here means that the diffusion constants for u
and V both vanish. But the general methods for constructing local and global solutions
are available if we take an underlying space carefully. In fact, we shall verify that the
abstract result obtained in [7, Theorem 3.1] is still applicable for the present problem if
X is taken as
(1.2) X = I j ; u e £,°°(fi), V e and w e L2(0)
Nonnegativity of local solutions and a priori estimates for local solutions will be es
tablished in ordinary manners.
We have to pay much attention, however, that, owing to the degeneracy of dissipation,
we have no longer smoothing effect of solutions. What is even worse, we observe at least
numerically (see [6]) that, even if the initial functions {uo,Vo,Wo) are very smooth, the
solution {u(t), v(t), V)(t)) can tend to a discontinuous stationary solution (ũ, Ữ, w) as t —*
00, Ũ and V being discontinuous and w being continuous in Í2. This suggests furthermore
that some trajcctorics of the dynamical system no longer possess any nonempty cj-iimit
sets in the usual sense (sec [10], 113] and f 14]) in the underlying space X given by (1.2).
In fact, if a smooth trajectory (it(£),t;(£),tu(<)), 0 < t < 00, has a cluster point (u,v,w)
in X, then it is impossible that Ũ and V are discontinuous in Í1 The dynamical system is
neither ox peeled to possess the global attractor in general. Ry this reason wc will cont,onl,
ourselves with constructing nonempty cư-limii sets in a suitable weak topology of X only.
As will be shown in the last section, the system (1.1) enjoys some Lyapunov function. If
we use this function, we can deduce stronger results for the weak cư-limit set, see [1].
As a matter of fact, wc can rigorously know cxistcncc of discontinuous stationary
solutions to the present system (1.1) (see [2]). The interface of a discontinuous stationary
solution is then considered as an internal forest boundary or an ccotone of forest which
has a significant meaning from the viewpoint of ccology (|3]). In this sense also it is quite
natural to choose an underlying space in the form (1.2).
Throughout the paper, ÍÌ is a bounded, convex or c 2 domain in ]R2. According to
[12], the Poisson problem —dAw + Ị3w — V in under the Neumann boundary conditions
= 0 on dĩì enjoys the optimal shift property that V 6 L2(fi) always implies that
w € / / 2(i2). We assume as in [3, p. 220] that the mortality of young trees is given by a
square function of the form
(1.3) l{v) = a(v - b)2 + c,
where a, 6, c > 0 are positive constants. This means that the mortality takes its minimum
when the old-age tree density is a specific value 6. As mentioned, d, f , h , a , p > 0 are all
positive constants and 0 < Ố ^ 1.
We will organize the paper as follows. Section 2 is a preliminary section. In Section
3, local solutions to (1.1) are constructed. Nonnegativity of local solutions and a priori
396
estimates are shown in Section 4 and in Section 5, respectively. The dyn am ical system
determined from (1.1) is constructed in Section 6. In Section 7, we mention the Lyapunov
function for our dynamical system.
2. Preliminary
We shall first rccall some known results for semilincar abstract evolution equations studied
in Ị7Ị. Consider the initial value problem for a semilinear equation
in a Banach space X. Here, A is a closed linear operator in A", the spectral set of which
is contained in a sectorial domain £ = {\ (E C; I arg A| < u>} with some angle 0 < u <
and the resolvent satisfies the estimate
with some constant M > 1. This assumption implies that —A generates an analytic
semigroup e~lA ori X . The initial value ƯQ is taken from T>(A^) with an estimate
here n is some exponent such Uml 0 < II < 1 and /{ > 0 is a constant. The nonlinear
operator F(U) is a mapping from X>(J'lr?) to X, where 1] is a sccond exponent such that
n < TỊ < 1, and is assumed to satisfy a Lipschitz condition of the form
where v?( ) is some continuous increasing function. Then, the following theorem is known:
Theorem 2.1 ([7, Theorem 3.1]). Let 0 < ụ. < 7? < 1 and let (2.2), (2.3) and (2.4) be
satisfied. Then (2.1) possesses a unique local solution in the function space
(2.1)
(2.2)
(2.3)
IM'UII < R,
{2A) \\F(U) - F(V)\\ < <p(\\A»U\\ + n il 'll )
X {\\AV(Ư - V)\\ + (WA'UW + WA'VIDWA^U - K)||}, (/, V €
I u € e([0,tr\-V(A»)) n e1 ((0,Tn]'t X) n e((0,Tr\i D(A))t
where Tr > 0 is determined by R. Moreover, the estimate
(’-'■|MƠ(Í)II + \\A“U(l)\\ <c„, 0 < ( < 7/i
holds with some constant Cfi > 0 determined by R alone.
397
Wc next list some well-known results in the theories of function spaccs and of scctorial
operators. Let n be a bounded, con vex or c 2 domain in R2. For 0 < s < 2, / / a(Q)
denotes the Sobolev space, its norm being denoted by II • II (see [12, Chap. 1] and
[15]). For 0 < So < s < Si < 2, coincides with the complex interpolation space
Ị//'°(íĩ), where s = (1 — 0)so + 0s\, and the estimate
(2.5) II • 11«. < c\\ ■ o ■ 115,.,
holds. When 0 < s < 1, Ha(íì) c where - = - - y with continuous embedding
(2.6) II ■ Wlp < C7.ll • II*
When a = 1, H J(ii) c Lq(ii) for any finite 2 < q < oo with the estimate
(2.7) IH U ,< c , ,"-»f
pqll ■ II//1* II ■ IfLP1
where 1 < p < q < oo. When s > 1, Ha(Q) c C(fi) with continuous embedding
(2.8) b We < c.w ■ \\h-
Consider a sesquilinear form given by
a(u,v) = d Ị Vu ■ Vvcte +/3 / uvdx, u, V € H l(Q)
Jil Jn
on the space H 1(ũ). From this form we can define realization A of the Laplace operator
—dA I- p in L2(£l) under the Neumann boundary conditions on the boundary dữ (see
[11, Chap. VIỊ). The realization A > p is a positive definite self-adjoint, operator of L2(Q)
and its domain is characterized by
(2.9) V{A) = H ị{ũ) = {uG | = 0 on ỠÍĨ}.
For 9 > 0, the fractional power A6 of A is defined and is also self-adjoint and positive
definite in L2(Q). As shown in [5], for 0 < 6 < 1, 9 Ỷ 4 5 we can characterize its domain
in the form
(2.10) V(Ae) = l H *>{Q) when 0 < Ớ < |,
v ' ì v ' = { u € //" ( fi); ga = 0 onỡfì} when I < Ớ < 1,
and the following estimate
(2.11) Ci\\Ae • ||x,2 < II • ||j,20 < C2\\A9- ||x,3
holds with some constants 0 < C\ < Ơ2 -
Finally, consider the initial value problem for an ordinary differential equation
( du _ _
(2.12) I f = p(i)« + 0 < t < T ,
u(0) = u 0
in the Banach space L°°(Q). Here, p, q e e([0,71; L°°(Q)) are given L°°-valued continuous
functions and Uo € L°°(Q) is an initial value. Let u E c l([0, T]] be a solution to
(2.12). For each 0 < t < T, we set the function
<p{s) = ertp{r)dru(s), 0 < s < t.
Since the operator: / M is a Frechet differentiable mapping from L°°(ũ) into Itself and
its derivative is given by the multiplication operator: g t—> e*g on it follows that
(0 € (^ ((o, t}\ l° ° (ii)) and
(ef‘1p(r)dru(s))' = ef’ p(r)dr(-p(s))u(s) + e ^ p{r)drú(s) = ef‘tp(r)drg(s).
Integrating this equality in [0, ij, we obtain the formula
(2.13) u(t) = ef°p(r)druo f [ e ^ p(r)drq{s)ds, 0 < t < T.
Jo
Conversely, the function u(t) given by (2.13) is seen to be a unique solution of (2.12).
3. Local solutions
In this section, we construct a local solution to our problem (1.1) by handling it as an
abstract equation of the form (2.1).
The underlying space X is set by a product function space as (1.2). The linear operator
A is defined by
7 0 0\ [ (u
(3.1) /1-10 h 0 with V{A) 4 t. I ; u,v £ L°°(Q) and w G Ilị(n ) s ,
0 0 A,
where A is the operator defined in Scction 2. It is clear that A satisfies (2.2). Moreover,
0 Ỷ
3
4 ’
0 0
h6
0
0 A0
A * - [ o hs o ) with 'DịA9) — I I u I ; U,Ỉ)Ễ L°°{Q) and w G 'Di A9) 1
\0 0 ATJ j
The initial data {uo,Vq,wq) is taken from
(3-2) K — ị ^ lio > 0,^0 > 0 and Wo > o ị ,
where [i is an arbitrarily fixed exponent such that ị < fi < I The nonlinear operator F
is set by
/ ậ ỗ w - 7 ( vjii\ I u \
(3-3) W ) I fu J , C/= M € © ( ^ ) .
399
Then, the problem (1.1) is rewritten in the form (2.1).
Let us now verify that the condition (2.4) is fulfilled with ụ, — 1]. In fact,
for u , v £ we have
(
Pỏ{Wi - w2) - - u2) - (7(vi) - l{v2))u2'
/(til - tta)
a{v 1 - v2)
where u = and V = (U25V2,U>2)- In view of (1.3), (2.8) and (2.11), it follows
that the estimate
(3.4) ||F(i/) - F(V0H < CiWxm - w2\\Loo + Ih - V2\\L2
+ (llttlllỉ- + llvl|li~ + IIw2|Il» + 11^2Ili« + l)(llul - W2||l“ + \\vi — V2|U“ )}
< C ( ||/W ||2 + WA^VW2 + \)\\A»{U - V)\\
holds with some constant c > 0. This shows that (2.4) is fulfilled. By virtue of Theorem
2.1, we then conclude the following result:
T h eorem 3.1. For any initial value (uo,i>o,iuo) € K ) the problem (1.1) possesses a unique
local solution (u, V, lư) in the function space
(3.5)
V 6 e([0,r1];L“ (fi))ne>((0,T1];£“ (fi)),
w € e([0,r,];Á a»(íi)) n e1((0,7\]! ư(ữ)) n e((0,T’1); fl* (ÍÌ)),
[ i 1- '‘w e 2 ((0, r , l ; ^ ( i 2)).
Here, T\ > 0 is determined by the norm IIuoIIl00 + ll^ollz/* + ||^o||//2m alone. Moreover,
the estimate
(■-"IMMiJII + M M O II < 0 < Í < T,
holds with some constant Gu0 „0 ,„0 > 0 determined by IIuoIIl00 + ||^o||l°° + alone.
4. N onnegativity of solutions
We next verify that nonnegativity of initial functions implies that of the local solutions
obtained in Theorem 3.1.
T heorem 4.1. Let (uoiVq^wq) € K and let (u,v,w) be the local solution of (1.1) obtained
in Theorem 3.1. Then u(t) > 0, v(t) > 0 and w(t) > 0 in Í2 for every 0 < t < To (< T\),
where To > 0 is determined by the norm ||zío||l« + II^oÌIl°° + ll^olli/^ alone.
Proof. By Theorem 3.1, (1.1) possesses a unique local solution {u,v,w) defined on [0, T\]
in function space (3.5).
400
Lcl us now consider an auxiliary problem
(4.1)
^ = 00W - -y(v)u - /Ũ
dv
= f u - h v
- dAw - 0W + ax(ReĩO
at
dw
= 0
dn
u(x,0) — Uo(z)» v(x,0) = vQ{x), w{x,0) = Wo(x)
Here, x(£0 is a cutoff function given by
V if V > 0,
in fix (0,oo),
in fix (0, oo),
in fix (0, oo),
on díì X (0, oo),
in 0 .
x{v) =
0 if V < 0.
It is dear that
lx(wi)-x(fc)l<|vi-$»l. Vi.tfceR.
By repeating the same arguments as in Section 3, we can deduce that (4.1) possesses a
unique local solution {u,v, w) defined on [0,T2] in the function space (3.5), where T2 is
determined by the norm ||u0||l« + IKIIl« + ||«to||j/2** alone. Our goal is then to show
the nonnegativity of w,V and w. In this case, x(^) = V therefore (u,v,w) is also a
local solution of (1.1) on [0,T2]. Then, by the uniqueness of solutions, we conclude that
(u,v,w) oil [0,71)1, wlicn: 70 rnin{7’| , Tj). That, inruns (11) possesses a
unique nonticgalivc local solution in Lho fiuiclion spacc (3.5), where 7’o is determined by
the norm ||iio|U~ I ||volU» I Ikoll/pM.
IvCt us first notice that (u,ti,w) is real valued. Indeed, it is dear that if ( u , v riv) is a
local solution of (4.1), then its complex conjugate is also a local solution; so, they must
coincide; hence, (u,v,w) is real valued.
Let us now verify the nonnegativity. For this purpose, wc use another cutoff function.
Let //(r) be the c 1,1 function defined by
f 0 if T > 0,
= w 2 „
I 2 ifT<0-
We consider the function
rpi(t) = / H(w{x,t))dx, 0 < t < T2.
Jil
Clearly, fa{t) is a nonnegative e1 function with the derivative
V'KO — —d I H " (w )\v w \2dx — Ị3 Ị H '{w )w d x + a [ H '(w )x(v )d x < 0.
Jn Jn J n
401
Since ^i(O) — 0, it follows that ĩị}\(I) 0 for every t e [0,7!;], that is, w(l.) > 0 in |0,T.].
By the same argument, putting
$ 2 (í) I ỉi{ũ{x,t))dx, 0 < t < T2,
Jo.
we observe that Ip2 {t) is a nonnegative c 1 function with I,he derivative
$ ( t ) = 06 f H'(u)wdx - [ i'riv) + f)H\u)udx.
Jil Jn
Since w > 0 and ^2(0) = 0, it follows that u(t) > 0 in [0, 7-2]. It is the same for V. Hence,
the assertion of theorem has been proved. □
5. Global solutions
In this scction, we prove the existence of global solution by establishing a priori estimates
of local solutions. In addition, we verify Lipschitz continuity of solution in initial data.
Proposition 5.1. Let (ito, Vo, Wo) É K and let (\1 ,V,U)) be any local solution of (1.1) on
an interval [0, Tuvw) such that
fo < u}v € euo,^.,,); £“(«)) n
\0 < w e e ( [ 0 , H 2“(Q)) n e'((0,T,i, i,) ; L2(n)) n € ( ( 0 , 7 ^ . H ị m .
Then, the estimate
(5.1) ||ti(t)iu- + l|u(i)IU- + IMOII//2"
< C[e p<(||wo||x,oo + ỊI^oIIl00 + ll^ollw2^) + lj> 0 < Í < TUtViVJ
holds with some constants c > 0 and p > 0 independent of (u, V, w).
Proof. Throughout the proof, wc shall use a universal notation c (rcsp. p) to denote
positive constants (resp. positive exponents) which axe determined by the constants
a, 6, c, d, /, hj a , Ị3 and Ố and by Q. So, it may change from occurrence to occurrence. If
we want to distinguish the constants (resp. exponents), we shall write Cl, Ơ2, (resp.
Pi, P2, •■•)•
Step 1. Estimate for ||u||l2, IMIl2> IM L 2- Multiply the first equation of (1.1) by u
and integrate the product in Q. Then we have
(5.2) [ u2dx + / [ u2d x~Ịỉỗ I w udx — [ 7 (v)u2dx
2 dt Ju Jti Jn Jn
< f u2dx + C\ f w2dx - f 7 (v)u2dx.
L J n Jn Jũ
f w2dx + 0 f w2dx -d [ |Vu;|2íù: f a / vwdx < ^ f w2lix + C-2 I v2dx.
2 di Jn Jn Jn Jn 1 Jn •'n
Let Ơ3 > 0 be constant such that C1C3 < 4 . Multiply (5.2) by Ơ3 and add the product
to the above inequality. Then,
(5.3) [ u2dx + [ w2dx + —^ [ u2dx + J f w2dx
2 dtJn 2dtJn 2 yn 4 yn
<Cĩ v2dx — Ơ3 I 7 (v)u2dx.
Jn J n
Next, multiply the second equation of (1.1) by f and integrate the product in f2. Then,
- ị Í v2dx + h Ị v 2dx — f [ uv dx .
2 đi Jn yn Jn
Let C4 > 0 be constant such that CAh > 2C2. Multiply the above equation by CA and
add the product to the inequality (5.3) to obtain that
T í i u2dx ' t ắ J / dx 1 2dt 1 ! / <U + Ci
-f [ w2dx < C4/ [ uvclx - C3 [ 7 (v)u2dx.
4 ./n
Multiply the third equation o f (1.1) by U ' and integrate the product ill Then,
W c Iiol.icc tliftl.
6 4 /wu - Q a ( v ) ú 2 = - I C:\(i{v - b) V - C4/(ĩJ - 6)u f Ị
I 463a J
- ( e c u ’ - Ơ 4 / Ò U £ )
I 4C3C / 4C3 \ a c / 'IC3 \a c J
Therefore,
^ J (C3Ú2 + C4Ư2 + w2)dx + p J (C3 U2 + Ơ4V2 + u;2)cte < c.
Solving this, we conclude that
c3\\u(t)\\l, + C4||V(0ị|ỉ3 + Monk < c-^(C3||iio||Ỉ2 + G\\\v0\\l> t KIIỈ2) + a
Hcncc,
(5-1) IMOII/.i I NOII,.* I IMOII/.i
< I I IKII,,;,.) I ]I, 0 < t < 7'w
403
Step 2. Estimate for ||tư(OII/i2''- From Lhc third equation of (1.1), vvc can write iu(l)
in the form
A^wty) = e~tĂ{A/ỉwo} + [ {A^e~^~T^A}av(r)dT.
Jo
In view of (2.11),
M0II/Í* < c w “Will.’ < Ce-ptIMtf* + c [‘{I + (t - r)-'i}e-«'-r>||t;(r)||iJ(ir,
Jo
here we used the estimate ||j4pe~M||x,2 < sup A^e- ^ < {1 + (see [17, p. 312]).
\>0
Moreover, by (5.4),
t i l + ( t - r ) - M}c-w - T)||i;(r)||Ladr < c f {I + (t - T ^ e - W - ^ d r
Jo Jo
+ ơe-«‘ f {1 + (t - r)-'*}e-w-'")(<- r)e-('’-',')Tdr ( K l l i - + Ik lU - + K IIh ’m)
Jo
< C'[e-P li(||uo||L«5 + 11^0IU°° + IIWoIIf/3^) + l]j
where 0 < Pi < min{Prp}. Thus, denoting p] by p, we have obtained that
(5 .5 ) I M O I U * ' — C \c " ( K Ĩ U - . f I11*0 ||l°° + ||^ o ||/ / 2<‘) ~v l]i 0 < t < 7 u lV,w
Step 3. Estimate for ||u(£)||l“ ) ||f (t)IU«- By using the formula (2.13), from the first
equation of (1.1), we have
u{i) = |. fit Ị B-;T'bM*))i/irf-7„(T)fir) ()</.<rUiVtW.
Jo
Therefore,
||w(0IU* < e~ft\\uo\\Loo + c f e~i(t~T)\\zu(r)\\LoodT.
Jo
In addition, by (2.8) and (5.5),
[*e-Ht-T)\\w(T)\\L-dT < c f e~f(t~T)\\w{r)\\H^dT < c [ e~f{t-T)dr
Jo Jo Jo
+ Ce-” ‘ r e -ơ -«K "-)e-(p-«Kdr(||Uo||t_ + 11^,11^ + ll^ll**.)
Jo
< C[e n t(\\uo\\L- + IM U « + ||mo||//2p) 4- l],
where 0 < P2 < min{/,/£>}. Denoting p2 by /?, we conclude that
(5.6) ||u(í)||l°° C[e_pi(||uolU«> + llt'oliz,00 + ||wo||.//2m) + 1], 0 < t < TUiV<w.
Similarly, by the second equation of (1.1) and (5.6), we also verify that
(5.7) M O I U - — Cịe-^iịịuoịịLoo + IKIIlo- + ||w>o||tf2„) + 1]5 0 < t < T U'V<W,
Combining (5.5), (5.6) and (5.7), we obtain the desired a priori estimates (5.1). □
404
As all immediate conscqucnce of a priori estimates, wc prove tiu' following Llicon'jn:
Theorem 5.2. For any initial value (uo, Vo, ĩUo) € K , the problem (1.1) possesses a unique
global solution such that
ị 0 < u, V <E e([0, 00); L°°(n)) n e 2((0, oo);
j o < w e C([0,oo); H^(Q)) n e 1((0,oo); L2(Q)) n e((0, oo); Hị(Q)).
Proof. By Theorem 4.1, there exists a unique local solution (u, V, w) on an interval [0, T0].
Moreover, by Proposition 5.1, ||u(T0)||l«> + ll^(To)IIl°° + l|w(7o)||//2i* is estimated by
||t*o|U°° + ||vo||l~ + IIWoII//2/i alone. This then shows that the solution (uyv,w) can be
extended as a local solution on an interval fo, To + r], where T > 0 is determined by
lluT O IL - -f- llvfToJIli00 + ||tx7(7o)I Ỉ , and hence depends only on IIuoIIl00 + 4-
IIW oII• Repeating this procedure, we obtain the result. □
Wc next verify the Lipschitz continuity of solution in initial data. For any R > 0, let
Ku be the bounded set of initial values:
(5.8) K r = {Ư0 6 K\ ||ơ o b (^ ) < «} .
Of course, by Theorem 5.2, there exists a unique global solution to (1.1) for each ƯQ € Kr.
Proposition 5.3. Let ư (resp. V) be the solution to (1.1) with initial value ƯQ G Kfi
(resp. Vo e Kr). Then, for each T > 0 Jir.ed, there exists some constant CRT > 0
depending on R and T alone such that
(5.9) OlW {U (t) - V/ (í)}|| I \\U(t) - V(t)\\ < CR J\\Uo - Vo||, ()</,< T.
ì}V(H)Ị. Wc Imvc I,he fomml/1
A,ả{U(l.) - \/(/.)} Ả'éc~'A(U0 - \ó) I [ A ^ - ^ ụ ^ ư ị s ) ) - F(V(fi))\dfi.
Jo
From (3.4) and Proposition 5.1, it follows that
t^ịA^U ự) - l/(i)}|| < AJUo - Voll I CnApV1 [ (t - s)IIt/(s) - K(s)}||cfc,
Jo
where Aft sup0<i<T t,‘\\A'1c~tÁ\\. 'l'hcii, by putting
p{t) = t»\\A»{U{t) - V{t)}l 0 < t <T,
we obtain an inequality
(5 .1 0 ) p(t) < IIƯQ - v0\\ + C RA flJ t»(t - s ) - fls~'lp {s)d s, 0 < i < T .
If 0 < t < £•, then
p(t) < AJUo — Vó I! + f tụ(t — s)~tis~tlds sup p(s)
Jo 0<a<£
< A^ịịưo — VóII + CRẢfi£ì~ụ sup p(s).
0 < 3 < e
Therefore, taking c > 0 sufficiently small, \\v conclude l.hat.
s u p p{t) < C R \\U0 - VoII•
0<t<£
For £ < t < T , by (5.10) and the above estimate, we get
p(t) < (a? + CrJ0 ^ \\Uo - Vbll + Cr£->1 j Pit - s)-fip{s)ds.
Hence, it is deduced that
p {t) < CR'T\\Uo — Voll) £ < t < T .
ThuSj we have obtained the first estimate of (5.9).
The second estimate of (5.9) then follows immediately from
F ( í ) - V(t)II < Ao\\Uo - VoII + CR f ||^ { ơ (s) - V(s)}\\ds, 0 < t < T.
Jo
6. Dynamical system
As shown in Scction 5, for each ơo ê K , there exists a unique global solution ư{t\ ƯQ) —
(u(i),t;(£),u/(i)) to (1.1) and this solution is continuous with rcspcct to t,hc initial value.
Therefore, wc can define a semigroup { }i>0 ad.ing on K by sụ.)ỉỉtí (/(/.;(/()), and
the mapping (i, i/o) ► S{t)ƯQ is continuous from [0, oo) X K into K, where K is equipped
with the distance induced from (.he universal space X. Hence, we have constructed a
dynamical system (5(í), Ky X) determined from (1.1).
We now verify that (S(í), K , X) admits a bounded absorbing set. Indeed, let R > 0 be
any radius and let Uo be in K}1 which is defined in (5.8). Then, from (5.1) there exists a
time ÍR such that ||i/(i)||D(/^) < Ơ + 1 for every t > tR, where c is the constant appearing
in (5.1). That is,
sup sup \\S(t)Uoh{Af) < c -I- 1.
Uo€ K r t>tfi
This then shows that the set
!B = {ơ e/f; WUWw a ?) < c + 1}
is a bounded absorbing set of {S(t), K,X).
Since 23 itself is absorbed by 3, there exists a time t-B > 0 such that c ĩ> for
every t>t<b. Wc then consider the set
x = u S{t)(b = ( J S(ty.B.
0<« oo 0<t<tB
406
ỈI is clear flin t X is an a bs orbin g ;m .l in v aria n t b o m u li'il i* 'l o f A'.
\\)
T liro iv m 1.1 we
then verify that
\\AS{l)Uo\\ < 0 < / < 7~, Ơ0 € X
with a sufficiently small time Tị > 0 and a constant Cị > 0. In view of such a smoothing
cíỉcct, wc introduce the set
X = 5(7~)X c X.
It is easy to see that this set is also an absorbing and invariant set. In addition, X c
with the estimate
\\AƯ\\ \\AS(Tỵ)Uo\\ < C ị rq - \ ư S ị T ^ ư o e X, ưo € X.
Wc have thus arrived at the following result:
Theorem 6.1. The dynamical system (S(t), K, X) determined from the problem (1.1)
can be reduced to a dynamical system (S(t), X, A') in which the phase spare is a bounded
set of 'D(A).
Since X is a bounded set of 'Đ{A)J it is meaningful to replace the universal space A' by
Xo = T)(A0) with any exponent 0 < 0 < 1 and consider a dynamical system (S(t), X, A'fl),
where X is now a metric spare with the distance do(ư, V) — II.4Ỡ(r^ — K)||.
Corollary 6.2. For cadi 0 < 0 < 1, {S(t),x, Xg) ừ a dynamical system.
Proof. By the moment, inequality (cf. [15]) and the boundedness of X in rD(A)) it follows
I. hat.
\ ự ụ j - ion < C\\A{U - V)\\n\\u - v \\ '- ° < C xịịu - v \ị'-", u , v g X
with sonic constant, c%. This shows I,hill. I,Ik: mapping (t}U) y-> S{l)U is continuous from
|0, oo) X X into Xfl. □
U't us now consider Llic u>limil sel. 1*01 Oiicli trajectory S(t)ư0ì the u;-limit scl i.s
defined by
= P i { S ( t )U0-} t. < T < oo} (elosure in the topology of A"), ư0 G X.
/> n
We do not know that io(Uo) is a nonempty set for every initial value ư0 € X (cf. [61). So
wc will introduce also some tư-limiL set with a weak topology.
Wc introduce the weak* topology of X: a scqucncc {(un,vn>wn)j in X is said to be
weak* convergent to (u,v,w) as n — oc if
Ỉ
un —> u weak* in L00(ÍỈ),
Vn —•■ V weak* in /v°°(n),
—> w strongly in L2(Q).
The weak* uMimit set of trajectory S(t)U0 is defined by
(6.1) W*-UJ{U0) Pi {5(r)ơ0; t < T < oo}
t>0
(closure in the weak* topology of A"), ơo € X
407
T h eorem 6.3. For cach I 0 G X, \\'*-uj(Uu) II tiom Iiiply M I.
Proof. Let ƯQ — (iio,t;o, Wo) Ễ X and U(t) S(t)(J0. Sincc ® is all
absorbing set of (5 (i),x , X), it follows that there exists a sequence of time tn —> oo sucli
that S{in)U0 € T>. Therefore, (u (in)} is a bounded sequence in L°°(Q). By Banacli-
Alaoglu’s theorem, we can choose a subsequence {u(tn>)} of (u (in)} such that u{tni) —> Ũ
weak* in Similarly, from the bounded sequence {u(in')}> we call choose {v(in»)}
such that v{tn") —* V weak* in Finally, by the boundedness of sequence {w(<7i")}
in H2ạ(íì)y there exists a subsequence {w(tn>»)} such I,hat w(tn">) —> w strongly in L2(f2).
Then, by the definition (6.1), we deduce that (u,v,w) belongs to \v * -uj( ư o ). o
7. Lyapunov function
We finally remark that one can construct a Lyapunov function for the system (1.1).
Let (u,v,w ) be the global solution to (1.1) obtained in Theorem 5.2 with initial value
(ito,vo,wo) G K. Set ip{t) — fu(t) — hv(t), 0 < t < oo. From the first and second
equations of (1.1) it is easily observed that
^ - f(3ỗw - {7(1») + / + h}ip - h{7 (t;)v + fv}, 0 < t < oc.
Multiply this by (p(t) — ^ and integrate the product in ÍÌ. Then,
2
( n ) l / dx+hdt L r(v)dx- L d i wdx^ - L [i(vU 1 ' h]\ ỉ ) dx'
where f(v) = fni'yW v + fv}dv.
While, multiplying the third equation of (1.1) by ^ and integrating the product in
fi, wc obtain that
These two energy equalities (7.1) and (7.2) then provide that
(7.3) ị- f ^-<p2 + |Vk;|2 + har(v) + - {ỊaỊ3ỗ)vw\dx
dt JQ z 2 J
(faPỏ)vw \dx
dx < 0, 0 < t < 00.
This shows that the functional
+ ^ r —w2 - (faPỖ)vw dx, Ư 6 T>(A2)
Lỉ
408
i> a ĩ.y apu nm fun ction. M o tv ow r, w«* :|N«| l avr IĨIC following r n . T ^ r .li m u t c
I J a [*»{->(«) + / t M ( | - )
dxdi < oc.
If wo utilize this Lyapunov fund ion an d such an energy estimate. wr arc able lo (Icdwtr
in err results on thr structure of tlir u.'-liniit. and weak u-’-linut sets (s<H' (1]).
si rongrr
References
[1| L. H. Chuan and A. Yagi, Asymptotic behavior of solutions for furcsl kmcmatic model,
Preprint
|2] L. 11. Chuan and A. Yagi, Stationary solutionÒ' to forest kincmatic model. Preprint.
|3| Yu A. Kuznetsov, M. Ya. Antonovsky, V. N. Btktashcv and A. Apomim. A CIDSS-
diffusion model nf forest boundary dynamics, J. Math. Riol. 32 (1H91), 21D-2.Ỉ2.
ị-lị Y. Lin and Y. Liu, Qualitative analysis for a model uỊ forest with diffusion and
nonlocal effects, Nonlinear Analysis 39 (2000), 217-229.
(5| 10. Nakaguchi and A. Yagi, Fully discrete approximation by Galcrkin Rungc-Kutla
methods Ịor quasilincar parabolic systems, Hokkaido Math. J. 31 (2002), 385 429.
|G| H. Nakata, Numerical simulations for forest boundary dynamics model, Master’s the
sis, Osulm I Inivrrsil.y (201)1).
|7| K. Osaki and A. Ya&i, (ilohal exist cure fo r a th.emoltui.s-i/iotulh .'iijslc.m III IK2,
Adv. Math. Sri. Appl. 12 ('2002), r>S7-ii0fi.
[8Ị Y. VVu, Stability of travelling wanes for a cross-diffusion model, J. Malli. Anal. Appli.
215 (1997), 388-414.
|9| Y. Wu and Y. Lin, The stability of steady states for a model with diffusion and spatial
average, J. Math. Anal. Appli. 232 (1999), 259-271.
[10j A. V. Dabin and M. I. Vishik, Attractors of Evolution Equations, North-IIollawl,
Amsterdam, 1992.
fllj R. Dautray and J. L. Lions, Mathematical Analysis and Numerical Methods for Sci
ence and Technology, Vol. 2, Springer-Vcrlag, Berlin, 1988.
[12| P. Grisvard, Elliptic Problems in Nonsmooth Domains, Pitman, London, 1985.
(13] J. c. Robinson, Infinite-Dimensional Dynamical Systems, Cambridge Univ. Press,
Cambridge, 2001.
[14| R. Temam, Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics 2nd
cd., Springer-Verlag, Berlin, 1997.
409
[15] II. T li e b d , Intcrjiolalioii. Theory, F un d ion Fpn.ttDiJJi II Iilinl Oj)f i'iilor.', Norlli-
Holland, Amsterdam, 1078.
[16] A. Yagi, T. H. Ho and c. Due, A mathematical model for manyIVVC forest dynamics,
Annual Report of PY 2003, jVI. p'lijila and p. I[. Viet, (nl.v), Fuji I,a Laboratory of
Osaka University, 21)05, 2(J!J-;ìU;ỉ.
[17] K. Yosida, Functional Analysis, find eel., Springer-Vrrlag, Berlin, 1980.